Similarity of Triangles and Basic Proportionality Theorem Questions in Hindi

(A) एक समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं।
मान लीजिए कि विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः,$AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8$ और $BO = OD = \frac{BD}{2} = \frac{30}{2} = 15$.
समकोण त्रिभुज $\triangle AOB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = AO^2 + BO^2$
$AB^2 = 8^2 + 15^2$
$AB^2 = 64 + 225 = 289$
$AB = \sqrt{289} = 17$.
समचतुर्भुज का परिमाप $= 4 \times \text{भुजा}$.
परिमाप $= 4 \times 17 = 68$.

(B) बांस के पेड़ की कुल ऊँचाई $8 \, m$ है।
यह जमीन से $3 \, m$ की ऊँचाई पर टूटता है।
माना कुल ऊँचाई $H = 8 \, m$ है और जिस ऊँचाई पर यह टूटता है वह $h = 3 \, m$ है।
टूटे हुए हिस्से की लंबाई (समकोण त्रिभुज का कर्ण) $L = H - h = 8 - 3 = 5 \, m$ है।
शेष तने की ऊँचाई $h = 3 \, m$ है।
माना पेड़ की चोटी और पेड़ के आधार के बीच की दूरी $x$ है।
समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$x^2 + h^2 = L^2$
$x^2 + 3^2 = 5^2$
$x^2 + 9 = 25$
$x^2 = 25 - 9 = 16$
$x = \sqrt{16} = 4 \, m$.
अतः,दूरी $4 \, m$ है।

(C) दिया गया है कि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $m \angle C = 90^\circ$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
यहाँ,$AB$ कर्ण है,और $AC$ तथा $BC$ अन्य दो भुजाएँ हैं।
इसलिए,$AB^2 = AC^2 + BC^2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(12.5)^2 = AC^2 + (12)^2$.
$156.25 = AC^2 + 144$.
$AC^2 = 156.25 - 144$.
$AC^2 = 12.25$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$AC = \sqrt{12.25} = 3.5$.

(D) चूंकि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $m \angle B = 90^{\circ}$ है,इसलिए हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
यहाँ $AB = 4$ और $BC = 7.5$ दिया गया है,मान रखने पर:
$AC^2 = 4^2 + (7.5)^2$
$AC^2 = 16 + 56.25$
$AC^2 = 72.25$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$AC = \sqrt{72.25} = 8.5$
अतः,$AC$ की लंबाई $8.5$ है।

(D) समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $\angle B = 90^{\circ}$ है,कर्ण $AC$ की लंबाई पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$
$AC = \sqrt{625} = 25$.
समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
इसलिए,$BM = \frac{1}{2} \times AC = \frac{1}{2} \times 25 = 12.5$.

(A) समकोण त्रिभुज $\Delta XYZ$ में,जहाँ $m\angle Y = 90^{\circ}$ है,भुजा $XZ$ कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$(XZ)^{2} = (XY)^{2} + (YZ)^{2}$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(XZ)^{2} = (a^{2} - b^{2})^{2} + (2ab)^{2}$।
पदों का विस्तार करने पर: $(XZ)^{2} = (a^{4} - 2a^{2}b^{2} + b^{4}) + 4a^{2}b^{2}$।
व्यंजक को सरल करने पर: $(XZ)^{2} = a^{4} + 2a^{2}b^{2} + b^{4}$।
यह एक पूर्ण वर्ग है: $(XZ)^{2} = (a^{2} + b^{2})^{2}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $XZ = a^{2} + b^{2}$ प्राप्त होता है।

(C) आयत $ABCD$ में,कोण $\angle ABC = 90^{\circ}$ होता है।
अतः,$\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $AC$ कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AB^2 + BC^2 = AC^2$.
यहाँ $AB = 7.5$ और $AC = 19.5$ दिया गया है।
मान रखने पर: $(7.5)^2 + BC^2 = (19.5)^2$.
$56.25 + BC^2 = 380.25$.
$BC^2 = 380.25 - 56.25$.
$BC^2 = 324$.
$BC = \sqrt{324} = 18$.

(D) $\Delta ABC$ में,चूंकि $m \angle B = 90^{\circ}$ है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 = AB^2 + BC^2$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ प्राप्त होता है।
अतः,$AC = \sqrt{169} = 13$ होगा।
एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
इसलिए,$BD = \frac{1}{2} \times AC = \frac{1}{2} \times 13 = 6.5$।

(B) एक समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं।
मान लीजिए कि विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः,$AO = \frac{AC}{2} = \frac{18}{2} = 9$ और $BO = \frac{BD}{2} = \frac{24}{2} = 12$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle AOB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = AO^2 + BO^2$
$AB^2 = 9^2 + 12^2$
$AB^2 = 81 + 144 = 225$
$AB = \sqrt{225} = 15$ है।
समचतुर्भुज का परिमाप $= 4 \times \text{भुजा}$ होता है।
परिमाप $= 4 \times 15 = 60$।

(C) एक समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं।
मान लीजिए कि विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
तब,$AO = \frac{AC}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$ और $BO = \frac{BD}{2} = \frac{36}{2} = 18$.
समकोण त्रिभुज $\triangle AOB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = AO^2 + BO^2$
$AB^2 = (7.5)^2 + (18)^2$
$AB^2 = 56.25 + 324 = 380.25$
$AB = \sqrt{380.25} = 19.5$.
समचतुर्भुज का परिमाप $= 4 \times \text{भुजा}$.
परिमाप $= 4 \times 19.5 = 78$.

(C) दिया गया है कि $\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $\overline{AB} \cong \overline{AC}$ है।
एक समद्विबाहु त्रिभुज में,आधार पर खींची गई माध्यिका आधार पर लंब भी होती है।
चूंकि $\overline{AD}$ आधार $\overline{BC}$ पर माध्यिका है,इसलिए $\overline{AD} \perp \overline{BC}$ और $D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$BD = DC = \frac{BC}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
समकोण त्रिभुज $\Delta ABD$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = AD^2 + BD^2$
$AB^2 = 8^2 + 6^2$
$AB^2 = 64 + 36$
$AB^2 = 100$
$AB = \sqrt{100} = 10$.
इस प्रकार,$AB$ की लंबाई $10$ है।

(A) एक समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में,जहाँ $\angle B = 90^{\circ}$ है,भुजाएँ $AB$ और $BC$ लंबवत भुजाएँ हैं और $AC$ कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
दिया गया है कि $AB = 11$ और $BC = 60$,इसलिए $AC^2 = 11^2 + 60^2$.
$AC^2 = 121 + 3600 = 3721$.
वर्गमूल लेने पर,$AC = \sqrt{3721} = 61$.
$\Delta ABC$ का परिमाप उसकी सभी भुजाओं का योग है: $P = AB + BC + AC$.
$P = 11 + 60 + 61 = 132$.

(A) एक समकोण त्रिभुज $\Delta PQR$ में,जहाँ $\angle Q = 90^{\circ}$ है,भुजा $PR$ कर्ण (hypotenuse) है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $(PR)^2 = (PQ)^2 + (QR)^2$.
दिए गए मान $PQ = 33$ और $PR = 65$ हैं।
मान रखने पर: $(65)^2 = (33)^2 + (QR)^2$.
$4225 = 1089 + (QR)^2$.
$(QR)^2 = 4225 - 1089$.
$(QR)^2 = 3136$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $QR = \sqrt{3136} = 56$.
अतः,$QR$ की लंबाई $56$ है।

(A) मान लीजिए कि चतुर्भुज $PQRS$ के विकर्ण $PR$ और $QS$ बिंदु $O$ पर समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः,$\angle POQ = \angle QOR = \angle ROS = \angle SOP = 90^{\circ}$।
समकोण $\triangle POQ$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $PQ^{2} = PO^{2} + OQ^{2}$।
समकोण $\triangle ROS$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $RS^{2} = RO^{2} + OS^{2}$।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $PQ^{2} + RS^{2} = PO^{2} + OQ^{2} + RO^{2} + OS^{2}$ --- (समीकरण $1$)।
समकोण $\triangle SOP$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $PS^{2} = SO^{2} + OP^{2}$।
समकोण $\triangle QOR$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $QR^{2} = OQ^{2} + OR^{2}$।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $PS^{2} + QR^{2} = SO^{2} + OP^{2} + OQ^{2} + OR^{2}$ --- (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि दाईं ओर के पक्ष समान हैं।
अतः,$PQ^{2} + RS^{2} = PS^{2} + QR^{2}$।

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ है। $N$,$AB$ पर एक बिंदु है और $M$,$BC$ पर एक बिंदु है।
चरण $1$: $\Delta ABM$ और $\Delta CBN$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करें।
$\Delta ABM$ में,चूंकि $\angle B = 90^{\circ}$ है,इसलिए $AM^{2} = AB^{2} + BM^{2}$ होगा।
$\Delta CBN$ में,चूंकि $\angle B = 90^{\circ}$ है,इसलिए $CN^{2} = CB^{2} + BN^{2}$ होगा।
चरण $2$: दोनों समीकरणों को जोड़ें।
$AM^{2} + CN^{2} = (AB^{2} + BM^{2}) + (CB^{2} + BN^{2})$
चरण $3$: पदों को पुनर्व्यवस्थित करें।
$AM^{2} + CN^{2} = (AB^{2} + CB^{2}) + (BM^{2} + BN^{2})$
चरण $4$: $\Delta ABC$ और $\Delta MBN$ के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें।
$\Delta ABC$ में,$AC^{2} = AB^{2} + CB^{2}$ है।
$\Delta MBN$ में,$MN^{2} = BM^{2} + BN^{2}$ है।
चरण $5$: इन मानों को चरण $3$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
$AM^{2} + CN^{2} = AC^{2} + MN^{2}$।
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।

(N/A) मान लीजिए $ABCD$ एक आयत है जिसकी भुजाएँ $AB = CD = l$ और $BC = DA = b$ हैं।
मान लीजिए विकर्ण $AC$ और $BD$ हैं।
आयत में,सभी आंतरिक कोण $90^{\circ}$ होते हैं।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ पर विचार करें। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = l^2 + b^2$.
इसी प्रकार,समकोण त्रिभुज $\triangle BCD$ में:
$BD^2 = BC^2 + CD^2 = b^2 + l^2$.
विकर्णों के वर्गों का योग = $AC^2 + BD^2 = (l^2 + b^2) + (b^2 + l^2) = 2l^2 + 2b^2$.
भुजाओं के वर्गों का योग = $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = l^2 + b^2 + l^2 + b^2 = 2l^2 + 2b^2$.
अतः,भुजाओं के वर्गों का योग विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर है।

(N/A) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = m^{2}-n^{2}$,$b = 2mn$ और $c = m^{2}+n^{2}$ हैं।
यह सिद्ध करने के लिए कि त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है,हमें यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या सबसे बड़ी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर है (पाइथागोरस प्रमेय)।
यहाँ,$c = m^{2}+n^{2}$ सबसे बड़ी भुजा है क्योंकि $m > n > 0$ है।
$a^{2} + b^{2}$ की गणना करते हैं:
$a^{2} + b^{2} = (m^{2}-n^{2})^{2} + (2mn)^{2}$
$= (m^{4} - 2m^{2}n^{2} + n^{4}) + 4m^{2}n^{2}$
$= m^{4} + 2m^{2}n^{2} + n^{4}$
$= (m^{2}+n^{2})^{2}$
$= c^{2}$
चूँकि $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ है,इसलिए त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है।
अतः,यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ (क्योंकि $\overline{AC}$ कर्ण है),और $\overline{BE}$ कर्ण $\overline{AC}$ पर माध्यिका है।
चूंकि $\overline{BE}$ माध्यिका है,$E$,$\overline{AC}$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$AE = EC = \frac{1}{2} AC$,जिसका अर्थ है $AC = 2AE$.
समकोण $\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$.
हमें सिद्ध करना है: $AB^{2} + BC^{2} + AC^{2} = 8AE^{2}$.
व्यंजक में $AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$AC^{2} + AC^{2} = 2AC^{2}$.
चूंकि $AC = 2AE$,इसे व्यंजक में रखने पर:
$2(2AE)^{2} = 2(4AE^{2}) = 8AE^{2}$.
इस प्रकार,$AB^{2} + BC^{2} + AC^{2} = 8AE^{2}$ सिद्ध होता है।

(N/A) $\Delta ABC$ में,$m\angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ है।
समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र के अनुसार,$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल दो प्रकार से लिखा जा सकता है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AB \times BC$ (भुजाओं को आधार और ऊँचाई मानते हुए)
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AC \times BM$ (कर्ण को आधार और शीर्षलंब को ऊँचाई मानते हुए)
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times AC \times BM \implies AB \times BC = AC \times BM$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $AB^2 \times BC^2 = AC^2 \times BM^2$।
चूँकि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AC^2 = AB^2 + BC^2$।
$AC^2$ का मान रखने पर: $AB^2 \times BC^2 = (AB^2 + BC^2) \times BM^2$।
$BM^2$ को अलग करने पर: $BM^2 = \frac{AB^2 \times BC^2}{AB^2 + BC^2}$।
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर: $\frac{1}{BM^2} = \frac{AB^2 + BC^2}{AB^2 \times BC^2}$।
भिन्न को अलग करने पर: $\frac{1}{BM^2} = \frac{AB^2}{AB^2 \times BC^2} + \frac{BC^2}{AB^2 \times BC^2}$।
सरल करने पर: $\frac{1}{BM^2} = \frac{1}{BC^2} + \frac{1}{AB^2}$।

(N/A) $1$. $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BD} \perp \overline{AC}$ है।
$2$. समकोण त्रिभुज में ज्यामितीय माध्य के गुणधर्म के अनुसार,$BD^2 = AD \cdot CD$ होता है।
$3$. दिया गया है कि $BD = 2CD$,इस मान को समीकरण में रखने पर: $(2CD)^2 = AD \cdot CD$।
$4$. इसे सरल करने पर $4CD^2 = AD \cdot CD$ प्राप्त होता है।
$5$. दोनों पक्षों को $CD$ से विभाजित करने पर (चूंकि $CD \neq 0$),हमें $AD = 4CD$ प्राप्त होता है।
$6$. हम जानते हैं कि $AC = AD + CD$,इसलिए $AD = 4CD$ का मान रखने पर: $AC = 4CD + CD$।
$7$. अतः,$AC = 5CD$ सिद्ध होता है।

(N/A) $\Delta ABC$ में,चूँकि $m \angle B = 90^{\circ}$ है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ होगा। (समीकरण $1$)
$\Delta ABD$ में,चूँकि $m \angle B = 90^{\circ}$ है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AD^{2} = AB^{2} + BD^{2}$ होगा। (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ से,हम $AB^{2} = AD^{2} - BD^{2}$ लिख सकते हैं।
$AB^{2}$ का यह मान समीकरण $1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$AC^{2} = (AD^{2} - BD^{2}) + BC^{2}$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $AC^{2} + BD^{2} = AD^{2} + BC^{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,कथन सिद्ध हुआ।

(A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{AD}$ भुजा $\overline{BC}$ पर एक माध्यिका है।
चूंकि $\overline{AD}$ एक माध्यिका है,$D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है। इसलिए,$BD = DC = \frac{1}{2} BC$,जिसका अर्थ है कि $BC = 2BD$।
समकोण $\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$।
$BC = 2BD$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $AC^{2} = AB^{2} + (2BD)^{2} = AB^{2} + 4BD^{2}$। (समीकरण $1$)
समकोण $\Delta ABD$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AD^{2} = AB^{2} + BD^{2}$,जिसका अर्थ है कि $AB^{2} = AD^{2} - BD^{2}$। (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ में रखने पर:
$AC^{2} = (AD^{2} - BD^{2}) + 4BD^{2}$
$AC^{2} = AD^{2} + 3BD^{2}$।
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।

(B) अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार,किसी भी त्रिभुज $\Delta ABC$ के लिए जिसमें $\overline{BC}$ पर माध्यिका $\overline{AD}$ है,निम्नलिखित संबंध सत्य होता है:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
दिया गया है कि $AD = 7$ और $AB^2 + AC^2 = 148$,इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$148 = 2(7^2 + BD^2)$
$148 = 2(49 + BD^2)$
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर:
$74 = 49 + BD^2$
$BD^2 = 74 - 49 = 25$
$BD = \sqrt{25} = 5$
चूंकि $\overline{AD}$ एक माध्यिका है,$D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BC = 2 \times BD$ होगा।
$BC = 2 \times 5 = 10$.

(A) $\Delta PQR$ के लिए अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार,जहाँ $\overline{PS}$ माध्यिका है:
$PQ^2 + PR^2 = 2(PS^2 + QS^2)$
यहाँ $PQ = 9$,$PR = 40$ और $PS = 20.5$ दिया गया है:
$9^2 + 40^2 = 2(20.5^2 + QS^2)$
$81 + 1600 = 2(420.25 + QS^2)$
$1681 = 2(420.25 + QS^2)$
$840.5 = 420.25 + QS^2$
$QS^2 = 840.5 - 420.25 = 420.25$
$QS = \sqrt{420.25} = 20.5$
चूँकि $\overline{PS}$ माध्यिका है,$S$,$\overline{QR}$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $QR = 2 \times QS = 2 \times 20.5 = 41$.

(B) अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार,किसी भी त्रिभुज $ABC$ के लिए जिसमें $BC$ पर माध्यिका $AD$ है:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
यहाँ $AB = 10$,$AC = 24$ और $AD = 13$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$10^2 + 24^2 = 2(13^2 + BD^2)$
$100 + 576 = 2(169 + BD^2)$
$676 = 2(169 + BD^2)$
$338 = 169 + BD^2$
$BD^2 = 338 - 169 = 169$
$BD = \sqrt{169} = 13$
चूंकि $AD$ एक माध्यिका है,$D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BC = 2 \times BD$।
$BC = 2 \times 13 = 26$।

(C) दिया गया है कि $\overline{AD}$ भुजा $\overline{BC}$ पर एक माध्यिका है,इसलिए $D$,$\overline{BC}$ का मध्यबिंदु है।
$\Delta ABD$ में $AD = BD = 8.5$ है,अतः $AD = BD = DC = 8.5$ होगा।
इसका अर्थ है कि $D$,$\Delta ABC$ का परिकेंद्र है और $\overline{BC}$ परिवृत्त का व्यास है।
इसलिए,$\angle BAC = 90^\circ$ (अर्धवृत्त में बना कोण)।
समकोण $\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 + AB^2 = BC^2$।
यहाँ $AB = 8$ और $BC = BD + DC = 8.5 + 8.5 = 17$ है।
$AC^2 + 8^2 = 17^2$
$AC^2 + 64 = 289$
$AC^2 = 225$
$AC = 15$.

(A) दिया गया है कि $\overline{PS}$ त्रिभुज $\Delta PQR$ की एक माध्यिका है,इसलिए यह भुजा $QR$ को दो बराबर भागों में विभाजित करती है। अतः,$QS = SR = 18.5.$
चूंकि $PS = QS = SR = 18.5$ है,बिंदु $S$ भुजा $QR$ के सापेक्ष $\Delta PQR$ का परिकेंद्र है,जिसका अर्थ है कि $\angle QPR = 90^\circ$ (इस गुणधर्म के अनुसार कि यदि किसी भुजा पर खींची गई माध्यिका उस भुजा की लंबाई की आधी है,तो वह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज होता है)।
समकोण $\Delta PQR$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PQ^2 + PR^2 = QR^2$
$QR = QS + SR = 18.5 + 18.5 = 37$
$12^2 + PR^2 = 37^2$
$144 + PR^2 = 1369$
$PR^2 = 1369 - 144 = 1225$
$PR = \sqrt{1225} = 35.$

(D) दिया गया है कि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $m \angle B = 90^{\circ}$ है।
यहाँ,$AC$ कर्ण है और $AB$ एक भुजा है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $10^2 = 6^2 + BC^2$.
$100 = 36 + BC^2$.
$BC^2 = 100 - 36 = 64$.
$BC = \sqrt{64} = 8$.
समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$.
यहाँ,आधार $BC = 8$ और ऊंचाई $AB = 6$ है।
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 4 \times 6 = 24$.

(A) $1$. $\Delta ABC$ में,चूंकि $m\angle B = 90^{\circ}$ है,हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके $BC$ की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं: $AB^2 + BC^2 = AC^2$.
$2$. दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $3^2 + BC^2 = 5^2$,जिससे $9 + BC^2 = 25$ प्राप्त होता है।
$3$. अतः,$BC^2 = 25 - 9 = 16$,जिसका अर्थ है $BC = 4$.
$4$. $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल दो तरीकों से निकाला जा सकता है: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times AB \times BC$ या $\text{Area} = \frac{1}{2} \times AC \times BM$.
$5$. दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $\frac{1}{2} \times 3 \times 4 = \frac{1}{2} \times 5 \times BM$.
$6$. सरल करने पर: $12 = 5 \times BM$,जिससे $BM = \frac{12}{5} = 2.4$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जहाँ $m \angle B = 90^{\circ}$ है।
चूँकि $\overline{AB} \cong \overline{BC}$,मान लीजिए $AB = BC = x$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 = AB^2 + BC^2$ होता है।
मान रखने पर,$AC^2 = x^2 + x^2 = 2x^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$AC = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}$ है।
हमें $AB : AC$ का अनुपात ज्ञात करना है।
$AB : AC = x : x\sqrt{2} = 1 : \sqrt{2}$।

(C) $\Delta ABC$ में,चूंकि $m \angle B = 90^{\circ}$ है,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 = AB^2 + BC^2$ होता है।
यहाँ $AB = 20$ और $AC = 29$ दिया गया है,इसलिए $29^2 = 20^2 + BC^2$ होगा।
$841 = 400 + BC^2$.
$BC^2 = 841 - 400 = 441$.
$BC = \sqrt{441} = 21$.
$\Delta ABC$ का परिमाप $= AB + BC + AC$ होगा।
परिमाप $= 20 + 21 + 29 = 70$।

(A) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
सबसे पहले,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण $AC$ की लंबाई ज्ञात करें: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
$AC^2 = (3.6)^2 + (4.8)^2 = 12.96 + 23.04 = 36$.
$AC = \sqrt{36} = 6$.
चूंकि $\overline{BE}$ कर्ण $AC$ पर माध्यिका है,इसलिए इसकी लंबाई $BE = \frac{1}{2} AC$ होगी।
$BE = \frac{1}{2} \times 6 = 3$.

(B) दिया गया है कि $\Delta ABC$ में,$m\angle B = 90^{\circ}$ है।
मान लीजिए कि किसी स्थिरांक $x > 0$ के लिए $AB = 3x$ और $BC = 4x$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 = AB^2 + BC^2$ है।
$AC^2 = (3x)^2 + (4x)^2 = 9x^2 + 16x^2 = 25x^2$ है।
वर्गमूल लेने पर,$AC = \sqrt{25x^2} = 5x$ प्राप्त होता है।
हमें $AB : AC$ का अनुपात ज्ञात करना है।
$AB : AC = 3x : 5x = 3 : 5$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
यहाँ,$\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $m\angle B = 90^{\circ}$ है।
चूँकि $\overline{BM}$ कर्ण $\overline{AC}$ पर माध्यिका है,इसलिए $BM = \frac{1}{2} AC$ होगा।
दिया गया है $BM = 12.5$,अतः $12.5 = \frac{1}{2} AC$,जिसका अर्थ है $AC = 25$।
अब,$\Delta ABC$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
$15^2 + BC^2 = 25^2$
$225 + BC^2 = 625$
$BC^2 = 625 - 225 = 400$
$BC = \sqrt{400} = 20$।

(A) एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप $P = 3a$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $a$ भुजा की लंबाई है।
दिया गया है $P = 24$, इसलिए $3a = 24$, जिसका अर्थ है $a = 8$।
समबाहु त्रिभुज के शीर्षलंब $h$ का सूत्र $h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ है।
सूत्र में $a = 8$ रखने पर, हमें $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 8 = 4 \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः, शीर्षलंब की लंबाई $4 \sqrt{3}$ है।

(D) दिया गया है कि $\Delta XYZ$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $m \angle Y = 90^{\circ}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$XY^2 + YZ^2 = XZ^2$ होता है।
माना $XY = 15k$ और $XZ = 17k$,जहाँ $k > 0$ एक स्थिरांक है।
इन मानों को प्रमेय में प्रतिस्थापित करने पर: $(15k)^2 + 4^2 = (17k)^2$।
$225k^2 + 16 = 289k^2$।
$16 = 289k^2 - 225k^2$।
$16 = 64k^2$।
$k^2 = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}$।
अतः,$k = \frac{1}{2} = 0.5$।
अब,भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$XY = 15 \times 0.5 = 7.5$।
$XZ = 17 \times 0.5 = 8.5$।
$YZ = 4$।
$\Delta XYZ$ का परिमाप = $XY + YZ + XZ = 7.5 + 4 + 8.5 = 20$।

(A) दिया गया है कि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $m \angle B = 90^{\circ}$ और $AB = BC$ है।
माना $AB = BC = x$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 + BC^2 = AC^2$ होता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $x^2 + x^2 = (14\sqrt{2})^2$.
$2x^2 = 196 \times 2$.
$2x^2 = 392$.
$x^2 = 196$.
$x = 14$.
अतः,आधार $BC = 14$ और ऊँचाई $AB = 14$ है।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 14 \times 14 = 98$ वर्ग इकाई।

(B) एक समकोण त्रिभुज में,यदि समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर शीर्षलंब खींचा जाता है,तो वह शीर्षलंब कर्ण के दो खंडों का गुणोत्तर माध्य (geometric mean) होता है।
गुणोत्तर माध्य प्रमेय के अनुसार: $BM^2 = AM \cdot CM$.
दिया गया है: $AM = 2x$,$BM = 3x + 5$ और $CM = 8x$.
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(3x + 5)^2 = (2x)(8x)$.
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $9x^2 + 30x + 25 = 16x^2$.
पदों को व्यवस्थित करके द्विघात समीकरण बनाने पर: $7x^2 - 30x - 25 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $7x^2 - 35x + 5x - 25 = 0$.
$7x(x - 5) + 5(x - 5) = 0$.
$(7x + 5)(x - 5) = 0$.
इससे $x = 5$ या $x = -5/7$ प्राप्त होता है।
चूँकि लंबाई हमेशा धनात्मक होती है,इसलिए $x = 5$ होगा।

(C) एक समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $\angle B = 90^{\circ}$ है और $\overline{BM}$ कर्ण $\overline{AC}$ पर शीर्षलंब है,समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म $(\Delta AMB \sim \Delta ABC)$ के अनुसार,हमारे पास संबंध है: $AB^2 = AM \cdot AC$.
दिए गए मान $AB = x - 2$,$AM = x - 6$ और $AC = 2x - 4$ हैं।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $(x - 2)^2 = (x - 6)(2x - 4)$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $x^2 - 4x + 4 = 2x^2 - 4x - 12x + 24$.
सरल करने पर: $x^2 - 4x + 4 = 2x^2 - 16x + 24$.
पदों को व्यवस्थित करके द्विघात समीकरण प्राप्त करने पर: $x^2 - 12x + 20 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 10)(x - 2) = 0$.
इससे $x = 10$ या $x = 2$ प्राप्त होता है।
यदि $x = 2$ है,तो $AB = 2 - 2 = 0$ होगा,जो त्रिभुज की भुजा की लंबाई के लिए संभव नहीं है। अतः,$x = 10$ ही सही उत्तर है।

(D) समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $\angle B = 90^{\circ}$ है,यदि $\overline{BM}$ कर्ण $\overline{AC}$ पर शीर्षलंब है,तो ज्यामितीय माध्य प्रमेय के अनुसार,$BM^2 = AM \cdot CM$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(x + 1)^2 = (x - 1)(x + 4)$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $x^2 + 2x + 1 = x^2 + 4x - x - 4$.
समीकरण को सरल बनाने पर: $x^2 + 2x + 1 = x^2 + 3x - 4$.
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर: $2x + 1 = 3x - 4$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $3x - 2x = 1 + 4$.
अतः,$x = 5$.

(B) समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं।
मान लीजिए कि विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चूंकि $AC = 24$ है,इसलिए $AO = AC / 2 = 24 / 2 = 12$ होगा।
समकोण त्रिभुज $\triangle AOB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 = AO^2 + BO^2$ है।
यहाँ $AB = 13$ और $AO = 12$ दिया गया है,इसलिए $13^2 = 12^2 + BO^2$ होगा।
$169 = 144 + BO^2$।
$BO^2 = 169 - 144 = 25$।
$BO = \sqrt{25} = 5$।
चूंकि विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $BD = 2 \times BO = 2 \times 5 = 10$ होगा।

(C) एक समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं।
मान लीजिए कि विकर्ण $PR$ और $QS$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चूँकि विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $PO = OR = \frac{PR}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$ और $QO = OS = \frac{QS}{2} = \frac{12}{2} = 6$ होगा।
समकोण त्रिभुज $\triangle POQ$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PQ^2 = PO^2 + QO^2$
$PQ^2 = (4.5)^2 + (6)^2$
$PQ^2 = 20.25 + 36 = 56.25$
$PQ = \sqrt{56.25} = 7.5$।
चूँकि समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए परिमाप $= 4 \times PQ$ होगा।
परिमाप $= 4 \times 7.5 = 30$।

(B) एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप $P = 3a$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $a$ भुजा की लंबाई है。
दिया गया है $P = 30$, इसलिए $3a = 30$, जिसका अर्थ है $a = 10$.
समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र $Area = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ है。
सूत्र में $a = 10$ रखने पर:
$Area = \frac{\sqrt{3}}{4} (10)^2$
$Area = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 100$
$Area = 25 \sqrt{3}$.

(A) माना $AB = x$ है।
दिया गया है $BC - AB = 4$,इसलिए $BC = x + 4$।
दिया गया है $AC - BC = 4$,इसलिए $AC = BC + 4 = (x + 4) + 4 = x + 8$।
चूंकि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle B = 90^{\circ}$ है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AB^2 + BC^2 = AC^2$।
मान रखने पर: $x^2 + (x + 4)^2 = (x + 8)^2$।
$x^2 + x^2 + 8x + 16 = x^2 + 16x + 64$।
$x^2 - 8x - 48 = 0$।
$(x - 12)(x + 4) = 0$।
चूंकि $x$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $x = 12$।
अतः,$AB = 12$,$BC = 12 + 4 = 16$,और $AC = 16 + 4 = 20$।

(B) $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ और $BM \perp AC$ है।
समकोण त्रिभुज में ज्यामितीय माध्य प्रमेय के अनुसार,$BM^2 = AM \cdot CM$ होता है।
यहाँ $BM = 10$ और $CM = 5$ दिया गया है,इसलिए $10^2 = AM \cdot 5$,जिससे $100 = 5 \cdot AM$ प्राप्त होता है,अर्थात $AM = 20$ है।
कर्ण $AC = AM + CM = 20 + 5 = 25$ है।
$\Delta BMC$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,$BC^2 = BM^2 + CM^2 = 10^2 + 5^2 = 100 + 25 = 125$,इसलिए $BC = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$ है।
$\Delta AMB$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,$AB^2 = BM^2 + AM^2 = 10^2 + 20^2 = 100 + 400 = 500$,इसलिए $AB = \sqrt{500} = 10\sqrt{5}$ है।
$\Delta ABC$ का परिमाप = $AB + BC + AC = 10\sqrt{5} + 5\sqrt{5} + 25 = 25 + 15\sqrt{5}$.

(A) दिया गया है कि $\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AB = AC$ है। मान लीजिए $AB = AC = x$ और $BC = y$ है।
परिमाप $AB + AC + BC = 50$ है,इसलिए $2x + y = 50$,जिसका अर्थ है $y = 50 - 2x$ है।
चूंकि $\Delta ABC$ में $\overline{AM}$ आधार $\overline{BC}$ पर एक शीर्षलंब है,यह आधार को समद्विभाजित करता है। अतः,$BM = MC = y/2 = (50 - 2x)/2 = 25 - x$ है।
समकोण $\Delta ABM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AM^2 + BM^2 = AB^2$ है।
मान रखने पर: $15^2 + (25 - x)^2 = x^2$ है।
$225 + 625 - 50x + x^2 = x^2$ है।
$850 - 50x = 0$,इसलिए $50x = 850$,जिससे $x = 17$ प्राप्त होता है।
अब,आधार $y$ ज्ञात करें: $y = 50 - 2(17) = 50 - 34 = 16$ है।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times BC \times AM$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 16 \times 15 = 8 \times 15 = 120$ है।

(B) $\Delta ABC$ में,$AB = AC = 37$ है,जिसका अर्थ है कि $\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
समद्विबाहु त्रिभुज में आधार $BC$ पर खींची गई माध्यिका $\overline{AM}$ आधार पर शीर्षलंब भी होती है।
अतः,$\overline{AM} \perp \overline{BC}$ और $M$,$BC$ का मध्य-बिंदु है।
चूंकि $BC = 70$ है,इसलिए $BM = MC = \frac{70}{2} = 35$ होगा।
समकोण त्रिभुज $\Delta ABM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = AM^2 + BM^2$
$37^2 = AM^2 + 35^2$
$1369 = AM^2 + 1225$
$AM^2 = 1369 - 1225 = 144$
$AM = \sqrt{144} = 12$.

(A) माना सीढ़ी की लंबाई $L$ है। सीढ़ी, दीवार और जमीन एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, $L^2 = (\text{ऊँचाई})^2 + (\text{आधार})^2$ होता है।
पहले मामले में, ऊँचाई $= 8 \, m$ और आधार $= 6 \, m$ है।
अतः, $L^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$।
इस प्रकार, $L = \sqrt{100} = 10 \, m$।
दूसरे मामले में, उसी $L = 10 \, m$ लंबाई वाली सीढ़ी का उपयोग किया जाता है और नई ऊँचाई $6 \, m$ है।
माना नया आधार $x$ है।
पुनः पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $L^2 = (\text{नई ऊँचाई})^2 + x^2$।
$10^2 = 6^2 + x^2$।
$100 = 36 + x^2$।
$x^2 = 100 - 36 = 64$।
$x = \sqrt{64} = 8 \, m$।
अतः, दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी $8 \, m$ है।

(A) समचतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ समान होती हैं और विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं।
माना विकर्ण $d_1 = AC = 24$ और $d_2 = BD = 70$ हैं।
विकर्ण एक-दूसरे को बिंदु $O$ पर समद्विभाजित करते हैं। अतः,खंड $AO = OC = \frac{24}{2} = 12$ और $BO = OD = \frac{70}{2} = 35$ हैं।
समकोण त्रिभुज $\triangle AOB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = AO^2 + BO^2$
$AB^2 = 12^2 + 35^2$
$AB^2 = 144 + 1225 = 1369$
$AB = \sqrt{1369} = 37$.
समचतुर्भुज का परिमाप $4 \times \text{भुजा} = 4 \times 37 = 148$ है।

(N/A) $\Delta PQR$ में,$\angle Q = 90^{\circ}$ और $QS \perp PR$ है।
समकोण त्रिभुज में शीर्षलंब के गुणधर्म के अनुसार,$PQ^2 = PS \cdot PR$ होता है।
यहाँ $PQ = 6$ और $PS = 4$ दिया गया है,इसलिए $6^2 = 4 \cdot PR$,जिसका अर्थ है $36 = 4 \cdot PR$,अर्थात $PR = 9$।
चूँकि $PR = PS + RS$,इसलिए $9 = 4 + RS$,जिससे $RS = 5$ प्राप्त होता है।
शीर्षलंब प्रमेय के अनुसार,$QS^2 = PS \cdot RS = 4 \cdot 5 = 20$,इसलिए $QS = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$।
$\Delta QSR$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$QR^2 = QS^2 + RS^2 = 20 + 5^2 = 20 + 25 = 45$।
अतः,$QR = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$।