Similarity of Triangles and Basic Proportionality Theorem Questions in Hindi

(D) चूँकि $G$,$\Delta ABC$ का केंद्रक है,यह माध्यिका $\overline{AD}$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। इसलिए,$\frac{GD}{AD} = \frac{1}{3}$ है।
$\Delta ADE$ में,चूँकि $\overline{GK} \parallel \overline{DE}$,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार,$\frac{GD}{AD} = \frac{EK}{AE} = \frac{1}{3}$ होगा।
इससे $AE = 3 \times EK = 3 \times 1.8 = 5.4$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\overline{BE}$,$\overline{AC}$ पर एक माध्यिका है,इसलिए $E$,$\overline{AC}$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$AC = 2 \times AE = 2 \times 5.4 = 10.8$ होगा।

(A) कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\Delta ABC$ में,यदि $\angle B$ का समद्विभाजक $\overline{AC}$ को $D$ पर प्रतिच्छेद करता है,तो सम्मुख भुजा के रेखाखंडों का अनुपात त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।
अतः,$\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}$.
दिया गया है कि $AB = 7.5$ और $\frac{AD}{DC} = \frac{3}{4}$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{7.5}{BC} = \frac{3}{4}$
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर:
$3 \times BC = 7.5 \times 4$
$3 \times BC = 30$
$BC = \frac{30}{3}$
$BC = 10$

(B) कोण समद्विभाजक प्रमेय (Angle Bisector Theorem) के अनुसार,यदि कोई किरण त्रिभुज के एक कोण को समद्विभाजित करती है,तो वह सम्मुख भुजा को उन रेखाखंडों में विभाजित करती है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होते हैं।
$\Delta XYZ$ में,$YM$,$\angle Y$ का समद्विभाजक है,जो $\overline{XZ}$ को $M$ पर प्रतिच्छेद करता है।
इसलिए,कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,भुजा $\overline{XZ}$ के रेखाखंडों का अनुपात त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है:
$\frac{XM}{MZ} = \frac{XY}{YZ}$.
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(D) कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,यदि कोई किरण त्रिभुज के एक कोण को समद्विभाजित करती है,तो वह सम्मुख भुजा को अन्य दो भुजाओं के अनुपात में विभाजित करती है।
$\Delta ABC$ में,चूँकि $AD$,$\angle A$ का समद्विभाजक है,इसलिए यह भुजा $BC$ को इस प्रकार विभाजित करता है:
$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$
वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर हमें प्राप्त होता है:
$BD \times AC = DC \times AB$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
यहाँ,$\angle B$ के सम्मुख भुजा $\overline{AC}$ है,जो कर्ण है।
इसलिए,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$।

(C) एक समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $m \angle A = 90^{\circ}$ और $\overline{AD} \perp \overline{BC}$ है,त्रिभुज दो त्रिभुजों $\Delta ABD$ और $\Delta CAD$ में विभाजित हो जाता है जो मूल त्रिभुज $\Delta ABC$ के समरूप हैं और एक-दूसरे के भी समरूप हैं।
समरूपता के गुणधर्म के अनुसार,$\Delta ABD \sim \Delta CAD$ है।
इसलिए,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है: $\frac{AD}{BD} = \frac{CD}{AD}$।
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर,$AD^{2} = BD \cdot CD$ या $AD^{2} = BD \cdot DC$ प्राप्त होता है।

(A) अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार,किसी भी त्रिभुज $\Delta ABC$ के लिए,यदि $\overline{AD}$ भुजा $\overline{BC}$ पर माध्यिका है,तो दो भुजाओं के वर्गों का योग माध्यिका के वर्ग और माध्यिका द्वारा विभाजित भुजा के आधे भाग के वर्ग के योग के दोगुने के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,इसे $AB^{2} + AC^{2} = 2(AD^{2} + BD^{2})$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $BD = DC = \frac{1}{2}BC$ है।
दिए गए समीकरण $AB^{2} + AC^{2} = 2(AD^{2} + BD^{2})$ के साथ तुलना करने पर,यह स्पष्ट है कि $\overline{AD}$ को भुजा $\overline{BC}$ पर माध्यिका होना चाहिए।

(A) $\Delta ABC$ में,$m \angle B = 90$ और $D$,कर्ण $\overline{AC}$ का मध्य-बिंदु है।
समकोण त्रिभुज में कर्ण पर खींची गई माध्यिका के प्रमेय के अनुसार,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
अतः,$BD = \frac{1}{2} AC$.

(C) $\triangle ABC$ में,चूँकि $m \angle A = 90^{\circ}$ है,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$
$BC^{2} = 8^{2} + 15^{2}$
$BC^{2} = 64 + 225$
$BC^{2} = 289$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$BC = \sqrt{289} = 17$।

(A) $\Delta PQR$ में,$\angle R$ के समकोण होने के लिए,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $PR^2 + QR^2 = PQ^2$ होना चाहिए।
यहाँ $PQ = 25$ और $QR = 24$ दिया गया है।
मान रखने पर: $PR^2 + 24^2 = 25^2$.
$PR^2 + 576 = 625$.
$PR^2 = 625 - 576 = 49$.
$PR = \sqrt{49} = 7$.

(A) समकोण त्रिभुज $\Delta PQR$ में,जहाँ $\angle Q = 90^{\circ}$ है और $\overline{QM}$ कर्ण $\overline{PR}$ पर डाला गया शीर्षलंब है। ज्यामितीय माध्य प्रमेय (Geometric Mean Theorem) के अनुसार,कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
समकोण त्रिभुज में कर्ण पर शीर्षलंब के गुणधर्म के अनुसार:
$QM^{2} = PM \cdot RM$
यहाँ $PM = 8$ और $RM = 12$ दिया गया है:
$QM^{2} = 8 \times 12$
$QM^{2} = 96$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$QM = \sqrt{96}$
$QM = \sqrt{16 \times 6}$
$QM = 4 \sqrt{6}$

(D) $\Delta ABC$ में,$m \angle B = 90^\circ$ और $\overline{BM}$ कर्ण $AC$ पर एक शीर्षलंब है।
समकोण त्रिभुज के लिए ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) के अनुसार,कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
विशेष रूप से,$BM^2 = AM \cdot CM$ होता है।
यहाँ $AM = 8$ और $BM = 8$ दिया गया है,इसलिए मान रखने पर:
$8^2 = 8 \cdot CM$
$64 = 8 \cdot CM$
$CM = \frac{64}{8} = 8$.
अब,कर्ण $AC$ की लंबाई $AM$ और $CM$ का योग है:
$AC = AM + CM = 8 + 8 = 16$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) के अनुसार,$BD^2 = AD \cdot CD$ होता है।
दिया गया है कि $BD = 2 \sqrt{30}$ और $CD = 6$ है।
मान रखने पर: $(2 \sqrt{30})^2 = AD \cdot 6$।
$4 \cdot 30 = 6 \cdot AD$।
$120 = 6 \cdot AD$।
$AD = 20$।
चूंकि $AC = AD + CD$,इसलिए $AC = 20 + 6 = 26$।

(D) $\Delta PQR$ में,चूँकि $m \angle Q = 90^{\circ}$ और $\overline{QS} \perp \overline{PR}$,समकोण त्रिभुज के गुणों के अनुसार,हमारे पास $PQ^2 = PS \cdot PR$ और $QR^2 = SR \cdot PR$ है।
इन दोनों समीकरणों को घटाने पर: $PQ^2 - QR^2 = (PS - SR) \cdot PR$.
दिया गया है कि $PQ^2 - QR^2 = 260$ और $PS - SR = 10$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $260 = 10 \cdot PR$.
अतः,$PR = \frac{260}{10} = 26$.

(A) $\Delta ABC$ की भुजाएँ $AB = 17$,$BC = 15$ और $AC = 8$ दी गई हैं।
सबसे पहले,पाइथागोरस प्रमेय के विलोम का उपयोग करके जाँचें कि क्या यह एक समकोण त्रिभुज है।
$BC^2 + AC^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$.
$AB^2 = 17^2 = 289$.
चूँकि $BC^2 + AC^2 = AB^2$,इसलिए $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण $AB = 17$ है।
समकोण त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा उसका कर्ण होती है।
समकोण त्रिभुज के गुणधर्म के अनुसार,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
माध्यिका की लंबाई = $\frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{2} \times 17 = 8.5$.

(B) मान लीजिए समचतुर्भुज $ABCD$ है जिसके विकर्ण $d_1 = 10$ और $d_2 = 24$ हैं।
समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं।
मान लीजिए विकर्ण बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। अतः,विकर्णों के आधे भाग $d_1/2 = 5$ और $d_2/2 = 12$ होंगे।
ये भाग समचतुर्भुज की भुजा के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं,जिसमें भुजा कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए: $\text{भुजा}^2 = (d_1/2)^2 + (d_2/2)^2$.
$\text{भुजा}^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.
$\text{भुजा} = \sqrt{169} = 13$.
अतः,समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई $13$ है।

(B) समकोण त्रिभुज $\Delta PQR$ में,जहाँ $\angle P = 90^{\circ}$ है और $\overline{PM}$ कर्ण $\overline{QR}$ पर शीर्षलंब है,ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) के अनुसार,कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब कर्ण के दो खंडों का ज्यामितीय माध्य होता है।
अतः,संबंध $PM^{2} = QM \cdot RM$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$PM^{2} = (2x^{2}) \cdot (8x^{2})$
$PM^{2} = 16x^{4}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$PM = \sqrt{16x^{4}}$
$PM = 4x^{2}$

(C) $\Delta PQR$ में,हमें दिया गया है कि $m \angle P = m \angle Q + m \angle R$ है।
हम जानते हैं कि त्रिभुज के सभी कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $m \angle P + m \angle Q + m \angle R = 180^{\circ}$ है।
$m \angle Q + m \angle R$ के स्थान पर $m \angle P$ रखने पर,हमें $m \angle P + m \angle P = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2 \cdot m \angle P = 180^{\circ}$,अतः $m \angle P = 90^{\circ}$ है।
चूंकि $\Delta PQR$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण $P$ पर $90^{\circ}$ है,इसलिए $QR$ कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$QR^2 = PQ^2 + PR^2$ है।
दिए गए मानों को रखने पर,$25^2 = 20^2 + PR^2$ है।
$625 = 400 + PR^2$,इसलिए $PR^2 = 625 - 400 = 225$ है।
अतः,$PR = \sqrt{225} = 15$ है।
$\Delta PQR$ का परिमाप = $PQ + QR + PR = 20 + 25 + 15 = 60$ है।

(D) $\Delta ABC$ में,चूँकि $m \angle B = 90^{\circ}$ है,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
यहाँ,$b$ कर्ण है ($\angle B$ के सम्मुख भुजा)।
अतः,$b^{2} = a^{2} + c^{2}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $b^{2} = 9^{2} + 12^{2}$।
$b^{2} = 81 + 144 = 225$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$b = \sqrt{225} = 15$।

(B) एक समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $m \angle A = 90^{\circ}$ है,भुजा $a$ कर्ण है,और $b$ तथा $c$ अन्य दो भुजाएँ हैं।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $a^2 = b^2 + c^2$.
यहाँ $a = 20$ और $b = 12$ दिया गया है,मान रखने पर:
$20^2 = 12^2 + c^2$
$400 = 144 + c^2$
$c^2 = 400 - 144$
$c^2 = 256$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $c = \sqrt{256} = 16$ प्राप्त होता है।

(D) यदि त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो,तो वह एक समकोण त्रिभुज होता है (पाइथागोरस प्रमेय)।
विकल्प $A$ के लिए: $5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169 = 13^{2}$। यह एक समकोण त्रिभुज है।
विकल्प $B$ के लिए: $3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5^{2}$। यह एक समकोण त्रिभुज है।
विकल्प $C$ के लिए: $7^{2} + 24^{2} = 49 + 576 = 625 = 25^{2}$। यह एक समकोण त्रिभुज है।
विकल्प $D$ के लिए: $8^{2} + 24^{2} = 64 + 576 = 640$,जबकि $26^{2} = 676$। चूंकि $640 \neq 676$,इसलिए ये एक समकोण त्रिभुज की भुजाएं नहीं हैं।

(C) अपोलोनियस का प्रमेय बताता है कि किसी भी त्रिभुज $\Delta ABC$ में,यदि $\overline{AD}$ भुजा $\overline{BC}$ पर एक माध्यिका है,तो दो भुजाओं के वर्गों का योग माध्यिका के वर्ग और तीसरी भुजा के आधे के वर्ग के योग का दोगुना होता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$।
चूंकि $\overline{AD}$ एक माध्यिका है,$D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BD = DC$।
$BD$ के स्थान पर $DC$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + DC^2)$ प्राप्त होता है।