Criteria for Similarity of Triangles Questions in Hindi

(N/A) दिया है: $PQ || RS$.
सिद्ध करना है: $\Delta POQ \sim \Delta SOR$.
उपपत्ति:
$\Delta POQ$ और $\Delta SOR$ में:
$1$. $\angle P = \angle S$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $PQ || RS$ और $PS$ एक तिर्यक रेखा है)।
$2$. $\angle Q = \angle R$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $PQ || RS$ और $QR$ एक तिर्यक रेखा है)।
$3$. $\angle POQ = \angle SOR$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
अतः,$AAA$ (कोण-कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta POQ \sim \Delta SOR$।

$(40^{\circ})$ $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में,
$\frac{AB}{RQ} = \frac{3.8}{7.6} = \frac{1}{2}$,$\frac{BC}{QP} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ और $\frac{CA}{PR} = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$
अर्थात,$\frac{AB}{RQ} = \frac{BC}{QP} = \frac{CA}{PR}$
अतः,$\Delta ABC \sim \Delta RQP$ ($SSS$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
इसलिए,$\angle C = \angle P$ (समरूप त्रिभुजों के संगत कोण)।
$\Delta ABC$ में,त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म द्वारा:
$\angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B$
$\angle C = 180^{\circ} - 80^{\circ} - 60^{\circ} = 40^{\circ}$
चूंकि $\angle C = \angle P$,इसलिए $\angle P = 40^{\circ}$।

(N/A) दिया है: $OA \cdot OB = OC \cdot OD$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{OA}{OC} = \frac{OD}{OB} \quad ...(1)$
साथ ही,हमारे पास है:
$\angle AOD = \angle COB \quad$ (शीर्षाभिमुख कोण) $...(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार:
$\Delta AOD \sim \Delta COB$
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनके संगत कोण बराबर होते हैं:
अतः,$\angle A = \angle C$ और $\angle D = \angle B$.

(A) दिया है: $\Delta ABC \sim \Delta PQR$.
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हैं और संगत कोण बराबर हैं:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{CA}{RP} \quad ...(1)$
$\angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R \quad ...(2)$
चूंकि $CM$ और $RN$ माध्यिकाएँ हैं,$M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $N$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है। इसलिए,$AB = 2AM$ और $PQ = 2PN$.
$(i)$ $(1)$ से,$\frac{2AM}{2PN} = \frac{CA}{RP} \implies \frac{AM}{PN} = \frac{CA}{RP}$.
साथ ही,$\angle MAC = \angle NPR$ ($(2)$ से)।
$SAS$ समरूपता कसौटी द्वारा,$\Delta AMC \sim \Delta PNR$.
$(ii)$ चूंकि $\Delta AMC \sim \Delta PNR$,उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हैं:
$\frac{CM}{RN} = \frac{CA}{RP}$.
$(1)$ से,$\frac{CA}{RP} = \frac{AB}{PQ}$.
अतः,$\frac{CM}{RN} = \frac{AB}{PQ}$.
$(iii)$ $\Delta CMB$ और $\Delta RNQ$ में:
$\frac{CM}{RN} = \frac{BC}{QR}$ ($(ii)$ और $(1)$ से)।
$\frac{BC}{QR} = \frac{BM}{QN}$ (माध्यिका के गुणधर्म से $BC = 2BM$ और $QR = 2QN$ होने के कारण)।
अतः,$\frac{CM}{RN} = \frac{BC}{QR} = \frac{BM}{QN}$.
$SSS$ समरूपता कसौटी द्वारा,$\Delta CMB \sim \Delta RNQ$.

(A) $\triangle ABC$ और $\triangle PQR$ में:
$\angle A = 60^{\circ}, \angle B = 80^{\circ}, \angle C = 40^{\circ}$
$\angle P = 60^{\circ}, \angle Q = 80^{\circ}, \angle R = 40^{\circ}$
चूँकि $\angle A = \angle P = 60^{\circ}$,$\angle B = \angle Q = 80^{\circ}$,और $\angle C = \angle R = 40^{\circ}$ है,इसलिए संगत कोण बराबर हैं।
अतः,$AAA$ (कोण-कोण-कोण) समरूपता कसौटी द्वारा,$\triangle ABC \sim \triangle PQR$ है।

(N/A) $\triangle ABC$ और $\triangle QRP$ में:
$\frac{AB}{QR} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{BC}{RP} = \frac{2.5}{5} = \frac{1}{2}$
$\frac{AC}{QP} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
चूंकि संगत भुजाओं का अनुपात समान है,इसलिए $SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार,त्रिभुज समरूप हैं।
अतः,$\triangle ABC \sim \triangle QRP$.

(NONE) $\triangle LMP$ और $\triangle DEF$ में:
$\frac{LM}{DE} = \frac{2.7}{4} = 0.675$
$\frac{LP}{DF} = \frac{3}{6} = 0.5$
$\frac{MP}{EF} = \frac{2}{5} = 0.4$
चूंकि संगत भुजाओं का अनुपात समान नहीं है (अर्थात,$\frac{LM}{DE} \neq \frac{LP}{DF} \neq \frac{MP}{EF}$),इसलिए ये दोनों त्रिभुज समरूप नहीं हैं।

(N/A) $\triangle MNL$ और $\triangle QPR$ में:
दिया है कि $\angle M = \angle Q = 70^{\circ}$।
साथ ही,इन कोणों को अंतर्गत करने वाली भुजाओं का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{MN}{QP} = \frac{2.5}{5} = \frac{1}{2}$
$\frac{ML}{QR} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\frac{MN}{QP} = \frac{ML}{QR} = \frac{1}{2}$ और $\angle M = \angle Q$ है,इसलिए $SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार,दोनों त्रिभुज समरूप हैं।
अतः,$\triangle MNL \sim \triangle QPR$।

(NONE) $\triangle ABC$ और $\triangle DEF$ में:
दिया गया है कि $\angle A = 80^{\circ}$ और $\angle F = 80^{\circ}$।
इन कोणों को सम्मिलित करने वाली भुजाएँ हैं:
$AB = 2.5$,$AC$ नहीं दिया गया है।
$DF = 5$,$EF = 6$।
भुजाओं के अनुपात की जाँच करने पर:
$\frac{AB}{DF} = \frac{2.5}{5} = \frac{1}{2} = 0.5$
$\frac{BC}{EF} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5$
चूँकि दो भुजाओं का अनुपात समान है लेकिन उनके बीच का कोण समान नहीं है (कोण $80^{\circ}$,$\triangle ABC$ में $A$ पर है और $\triangle DEF$ में $F$ पर है),इसलिए ये त्रिभुज $SAS$ कसौटी के अनुसार समरूप नहीं हैं।
अतः,दिए गए त्रिभुज समरूप नहीं हैं।

(N/A) $\Delta DEF$ में,त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
दिया है $\angle D = 70^{\circ}$ और $\angle E = 80^{\circ}$।
अतः,$\angle F = 180^{\circ} - (70^{\circ} + 80^{\circ}) = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$।
$\Delta PQR$ में,त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
दिया है $\angle Q = 80^{\circ}$ और $\angle R = 30^{\circ}$।
अतः,$\angle P = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$।
दोनों त्रिभुजों की तुलना करने पर:
$\angle D = \angle P = 70^{\circ}$
$\angle E = \angle Q = 80^{\circ}$
$\angle F = \angle R = 30^{\circ}$
चूंकि सभी संगत कोण बराबर हैं,इसलिए $AAA$ (कोण-कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,त्रिभुज समरूप हैं।
सांकेतिक रूप: $\Delta DEF \sim \Delta PQR$।

(N/A) चूंकि $DB$ एक सीधी रेखा है,$\angle DOC$ और $\angle BOC$ रैखिक युग्म बनाते हैं।
$\angle DOC + \angle BOC = 180^{\circ}$
$\angle DOC + 125^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle DOC = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}$
$\triangle ODC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle DCO + \angle CDO + \angle DOC = 180^{\circ}$
$\angle DCO + 70^{\circ} + 55^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle DCO + 125^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle DCO = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}$
दिया गया है कि $\Delta ODC \sim \Delta OBA$,इसलिए संगत कोण बराबर होते हैं:
$\angle OAB = \angle OCD = \angle DCO$
अतः,$\angle OAB = 55^{\circ}$.
इस प्रकार,$\angle DOC = 55^{\circ}$,$\angle DCO = 55^{\circ}$ और $\angle OAB = 55^{\circ}$.

(N/A) दिया है: $ABCD$ एक समलंब है जिसमें $AB \parallel CD$ है और विकर्ण $AC$ तथा $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है: $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$.
उपपत्ति:
$\triangle OAB$ और $\triangle OCD$ पर विचार कीजिए।
$1$. $\angle AOB = \angle COD$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
$2$. $\angle OAB = \angle OCD$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel CD$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है)।
$3$. $\angle OBA = \angle ODC$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel CD$ और $BD$ एक तिर्यक रेखा है)।
अतः,$AAA$ समरूपता कसौटी द्वारा,$\triangle OAB \sim \triangle OCD$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं:
$\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$।
इति सिद्धम्।

(N/A) $\Delta PQR$ में,दिया है कि $\angle PQR = \angle PRQ$ है।
चूंकि समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $PQ = PR$ $....(i)$
दिया है,
$\frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PR}$
$(i)$ का उपयोग करते हुए,$PR$ को $PQ$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PQ}$ $....(ii)$
अब,$\Delta PQS$ और $\Delta TQR$ में:
$\frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PQ}$ $[(ii)$ से$]$
$\angle Q = \angle Q$ $[\text{उभयनिष्ठ कोण}]$
अतः,$SAS$ समरूपता कसौटी द्वारा,$\Delta PQS \sim \Delta TQR$ है।

(N/A) $\Delta RPQ$ और $\Delta RST$ में:
$\angle RTS = \angle RPQ$ (दिया है)
$\angle R = \angle R$ (उभयनिष्ठ कोण)
अतः,$\Delta RPQ \sim \Delta RTS$ ($AA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।

(N/A) दिया है: $\Delta ABE \cong \Delta ACD.$
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$.
अतः,$AB = AC$ $...(1)$
और,$AE = AD$ $...(2)$
अब,$\Delta ADE$ और $\Delta ABC$ पर विचार करें:
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$
साथ ही,$\angle DAE = \angle BAC$ (उभयनिष्ठ कोण)।
अतः,$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी द्वारा,$\Delta ADE \sim \Delta ABC$ है।

(N/A) $\Delta AEP$ और $\Delta CDP$ में:
$\angle AEP = \angle CDP = 90^{\circ}$ (चूँकि $AD \perp BC$ और $CE \perp AB$)
$\angle APE = \angle CPD$ (शीर्षाभिमुख कोण)
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी द्वारा,
$\Delta AEP \sim \Delta CDP$.

(N/A) $\Delta ABD$ और $\Delta CBE$ में:
$\angle ADB = \angle CEB = 90^{\circ}$ (चूँकि $AD \perp BC$ और $CE \perp AB$)
$\angle ABD = \angle CBE$ (उभयनिष्ठ कोण)
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी का उपयोग करने पर,
$\Delta ABD \sim \Delta CBE$

(N/A) $\triangle AEP$ और $\triangle ADB$ में:
$1. \angle AEP = \angle ADB = 90^{\circ}$ (दिया है कि $AD$ और $CE$ शीर्षलंब हैं)।
$2. \angle PAE = \angle DAB$ (उभयनिष्ठ कोण)।
अतः,$AA$ (कोण-कोण) समरूपता कसौटी द्वारा,हम प्राप्त करते हैं:
$\triangle AEP \sim \triangle ADB$।

(N/A) $\Delta PDC$ और $\Delta BEC$ में:
$\angle PDC = \angle BEC = 90^{\circ}$ (चूँकि $AD \perp BC$ और $CE \perp AB$)
$\angle PCD = \angle BCE$ (उभयनिष्ठ कोण)
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी का उपयोग करने पर,
$\Delta PDC \sim \Delta BEC$.

(N/A) $\triangle ABE$ और $\triangle CFB$ में:
$1$. $\angle A = \angle C$ (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।
$2$. $\angle AEB = \angle CBF$ (चूंकि $AE \parallel BC$ और $BE$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए ये एकांतर अंतःकोण हैं)।
अतः,$AA$ (कोण-कोण) समरूपता कसौटी द्वारा,$\triangle ABE \sim \triangle CFB$ है।

(C) $\triangle ADB$ और $\triangle ADC$ में:
$\angle ADB = \angle ADC = 90^{\circ}$ (चूंकि $AD \perp BC$)
$\angle BAD = \angle ACD$ (दोनों $\angle CAD$ के पूरक कोण हैं)
$\angle ABD = \angle CAD$ (दोनों $\angle BAD$ के पूरक कोण हैं)
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\triangle ADB \sim \triangle CDA$ है।
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म से,संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AD}{CD} = \frac{BD}{AD}$
वज्र-गुणन करने पर:
$AD^{2} = BD \cdot CD$

(B) दिया गया है,$\triangle ABC \sim \triangle EDF$.
अतः,संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा:
$\frac{AB}{ED} = \frac{BC}{DF} = \frac{AC}{EF}$.
$\frac{AB}{ED} = \frac{BC}{DF}$ से,हमें $AB \cdot DF = ED \cdot BC$ प्राप्त होता है,अर्थात $BC \cdot DE = AB \cdot DF$। अतः,विकल्प $(d)$ सत्य है।
$\frac{BC}{DF} = \frac{AC}{EF}$ से,हमें $BC \cdot EF = AC \cdot DF$ प्राप्त होता है। अर्थात $BC \cdot EF = AC \cdot FD$। अतः,विकल्प $(c)$ भी सत्य है।
$\frac{AB}{ED} = \frac{AC}{EF}$ से,हमें $AB \cdot EF = AC \cdot ED$ प्राप्त होता है,अर्थात $AB \cdot EF = AC \cdot DE$। अतः,विकल्प $(a)$ भी सत्य है।
इस प्रकार,विकल्प $(b)$ सत्य नहीं है।

(B) दिया गया है कि दो त्रिभुजों $ABC$ और $PQR$ में,$\frac{AB}{QR} = \frac{BC}{PR} = \frac{CA}{PQ}$ है।
यह अनुपात दर्शाता है कि $\triangle ABC$ की भुजाएँ $\triangle PQR$ की संगत भुजाओं के समानुपाती हैं।
विशेष रूप से,भुजा $AB$ के संगत $QR$ है,$BC$ के संगत $PR$ है,और $CA$ के संगत $PQ$ है।
$SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार,यदि दो त्रिभुजों की भुजाएँ समान अनुपात में हों,तो वे त्रिभुज समरूप होते हैं और उनके संगत कोण बराबर होते हैं।
समानुपातिकता के आधार पर शीर्षों का मिलान करने पर:
$A$ के संगत $Q$ है,$B$ के संगत $R$ है,और $C$ के संगत $P$ है।
अतः,$\triangle ABC \sim \triangle QRP$,या समान रूप से,$\triangle CAB \sim \triangle PQR$।

(D) दिया है,$\triangle DEF$ और $\triangle PQR$ में,$\angle D = \angle Q$ और $\angle E = \angle R$ है।
$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\triangle DEF \sim \triangle QRP$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{DE}{QR} = \frac{EF}{RP} = \frac{DF}{QP}$।
अब,दिए गए विकल्पों की जाँच करते हैं:
विकल्प $A$: $\frac{EF}{PR} = \frac{DF}{PQ}$,$\frac{EF}{RP} = \frac{DF}{QP}$ के बराबर है,जो सत्य है।
विकल्प $B$: $\frac{EF}{RP} = \frac{DE}{QR}$ सत्य है।
विकल्प $C$: $\frac{DE}{QR} = \frac{DF}{PQ}$,$\frac{DE}{QR} = \frac{DF}{QP}$ के बराबर है,जो सत्य है।
विकल्प $D$: $\frac{DE}{PQ} = \frac{EF}{RP}$। समरूपता अनुपात से,$\frac{DE}{QR} = \frac{EF}{RP}$ प्राप्त होता है। अतः,$\frac{DE}{PQ} = \frac{EF}{RP}$ आवश्यक रूप से सत्य नहीं है क्योंकि सामान्यतः $PQ \neq QR$ होता है।
इसलिए,विकल्प $D$ सत्य नहीं है।

(A) $\triangle ABC$ और $\triangle DEF$ में,हमें $\angle B = \angle E$ और $\angle F = \angle C$ दिया गया है।
$AA$ (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,चूंकि $\triangle ABC$ के दो कोण $\triangle DEF$ के दो संगत कोणों के बराबर हैं,इसलिए त्रिभुज समरूप हैं,अर्थात $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ है।
दो त्रिभुजों के सर्वांगसम होने के लिए,उनकी संगत भुजाएं बराबर होनी चाहिए। यहाँ,यह दिया गया है कि $AB = 3 DE$,जिसका अर्थ है कि $AB \neq DE$ है।
चूंकि संगत भुजाएं बराबर नहीं हैं,इसलिए त्रिभुज सर्वांगसम नहीं हैं।
अतः,त्रिभुज समरूप हैं लेकिन सर्वांगसम नहीं हैं।

(B) दिया गया है कि $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ और $\frac{BC}{QR} = \frac{1}{3}.$
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
अतः,$\frac{\operatorname{ar}(\triangle PRQ)}{\operatorname{ar}(\triangle BCA)} = \frac{(QR)^2}{(BC)^2} = \left(\frac{QR}{BC}\right)^2.$
चूँकि $\frac{BC}{QR} = \frac{1}{3}$ है,इसलिए $\frac{QR}{BC} = \frac{3}{1} = 3$ होगा।
अतः,$\frac{\operatorname{ar}(\triangle PRQ)}{\operatorname{ar}(\triangle BCA)} = (3)^2 = 9.$

(D) दो त्रिभुजों के $SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी द्वारा समरूप होने के लिए,दो संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होना चाहिए और उन भुजाओं के बीच का अंतर्गत कोण बराबर होना चाहिए।
दिए गए अनुपात $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{FD}$ के अनुसार,$\triangle ABC$ में भुजाएँ $AB$ और $BC$ कोण $\angle B$ बनाती हैं। इसी प्रकार,$\triangle DEF$ में भुजाएँ $DE$ और $FD$ कोण $\angle D$ बनाती हैं।
अतः,$\triangle ABC \sim \triangle EDF$ होने के लिए,उनके अंतर्गत कोण बराबर होने चाहिए,अर्थात $\angle B = \angle D$।

(B) नहीं,यह सत्य नहीं है।
यह दिया गया है कि $\triangle FED \sim \triangle STU$,इसलिए संगत शीर्ष $F \leftrightarrow S$,$E \leftrightarrow T$ और $D \leftrightarrow U$ हैं।
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होना चाहिए।
अतः,सही अनुपात $\frac{FE}{ST} = \frac{ED}{TU} = \frac{FD}{SU}$ है।
दिए गए व्यंजक $\frac{DE}{ST} = \frac{EF}{TU}$ की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि यह भुजाओं की संगतता से मेल नहीं खाता है।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है,हम पाइथागोरस प्रमेय की जाँच करते हैं,जिसके अनुसार एक समकोण त्रिभुज के लिए सबसे लंबी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए भुजाएँ $a = 25 \, cm$,$b = 5 \, cm$ और $c = 24 \, cm$ हैं।
सबसे लंबी भुजा $a = 25 \, cm$ है।
सबसे लंबी भुजा का वर्ग ज्ञात कीजिए: $a^2 = (25)^2 = 625 \, cm^2$.
अन्य दो भुजाओं के वर्गों का योग ज्ञात कीजिए: $b^2 + c^2 = (5)^2 + (24)^2 = 25 + 576 = 601 \, cm^2$.
चूँकि $a^2 \neq b^2 + c^2$ $(625 \neq 601)$,इसलिए त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,$25 \, cm$,$5 \, cm$ और $24 \, cm$ भुजाओं वाला त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज नहीं है।

(B) यह कथन असत्य है।
हम जानते हैं कि यदि दो त्रिभुज समरूप होते हैं,तो उनके संगत कोण समान होते हैं।
दिया गया है कि $\triangle DEF \sim \triangle RPQ$,इसलिए संगतता इस प्रकार है:
$D \leftrightarrow R$
$E \leftrightarrow P$
$F \leftrightarrow Q$
अतः,सही समानताएं $\angle D = \angle R$,$\angle E = \angle P$ और $\angle F = \angle Q$ हैं।
चूंकि $\angle F = \angle Q$ है न कि $\angle P$,इसलिए $\angle F = \angle P$ वाला कथन गलत है।

(A) हाँ,$\triangle PBC \sim \triangle PDE$ है।
$\triangle PBC$ और $\triangle PDE$ में:
$\angle BPC = \angle EPD$ [शीर्षाभिमुख कोण]
अब,कोणों को सम्मिलित करने वाली भुजाओं के अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{PB}{PD} = \frac{5 \text{ cm}}{10 \text{ cm}} = \frac{1}{2}$ ......$(i)$
$\frac{PC}{PE} = \frac{6 \text{ cm}}{12 \text{ cm}} = \frac{1}{2}$ ......$(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से:
$\frac{PB}{PD} = \frac{PC}{PE}$
चूंकि $\triangle PBC$ का एक कोण $\triangle PDE$ के एक कोण के बराबर है और इन कोणों को सम्मिलित करने वाली भुजाएं समानुपाती हैं,इसलिए $SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार,त्रिभुज समरूप हैं।
अतः,$\triangle PBC \sim \triangle PDE$ है।

(A) हाँ,दोनों त्रिभुज समरूप हैं।
माना पहले त्रिभुज की भुजाएँ $a_1, b_1, c_1$ हैं और उसका परिमाप $P_1 = a_1 + b_1 + c_1$ है।
माना दूसरे त्रिभुज की भुजाएँ $a_2, b_2, c_2$ हैं और उसका परिमाप $P_2 = a_2 + b_2 + c_2$ है।
दिया गया है कि $a_1 = 3a_2$,$b_1 = 3b_2$ और $P_1 = 3P_2$ है।
चूँकि $P_1 = a_1 + b_1 + c_1$ और $P_2 = a_2 + b_2 + c_2$,इसलिए $3P_2 = 3a_2 + 3b_2 + c_1$ होगा।
$P_2 = a_2 + b_2 + c_2$ का मान रखने पर,हमें $3(a_2 + b_2 + c_2) = 3a_2 + 3b_2 + c_1$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $3c_2 = c_1$ मिलता है।
चूँकि तीनों संगत भुजाएँ समानुपाती हैं $(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = 3)$,इसलिए $SSS$ समरूपता कसौटी के अनुसार,दोनों त्रिभुज समरूप हैं।

(A) हाँ,दोनों त्रिभुज समरूप होंगे।
मान लीजिए कि दो समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ और $\triangle PQR$ हैं,जहाँ $\angle B = \angle Q = 90^{\circ}$ है।
यह दिया गया है कि पहले त्रिभुज का एक न्यूनकोण दूसरे त्रिभुज के एक न्यूनकोण के बराबर है,मान लीजिए $\angle A = \angle P$ है।
$\triangle ABC$ और $\triangle PQR$ में:
$1$. $\angle B = \angle Q = 90^{\circ}$ (दिया है)
$2$. $\angle A = \angle P$ (दिया है)
$AA$ (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,चूंकि एक त्रिभुज के दो कोण दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हैं,इसलिए त्रिभुज समरूप हैं $(\triangle ABC \sim \triangle PQR)$।
यह $AAA$ समरूपता कसौटी का एक विशिष्ट मामला भी है,क्योंकि त्रिभुज के कोण योग गुण के कारण तीसरे कोण भी समान होंगे।

(B) यह कथन असत्य है।
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के प्रमेय के अनुसार,दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनके संगत शीर्षलंबों के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
$\frac{\text{Area}_1}{\text{Area}_2} = \left( \frac{\text{Altitude}_1}{\text{Altitude}_2} \right)^2$
चूंकि शीर्षलंबों का अनुपात $\frac{3}{5}$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{\text{Area}_1}{\text{Area}_2} = \left( \frac{3}{5} \right)^2 = \frac{9}{25}$
चूंकि $\frac{9}{25} \neq \frac{6}{5}$,इसलिए दिया गया कथन गलत है।

(N/A) हाँ,यह सत्य है।
$\triangle ADE$ और $\triangle ACB$ में:
$1$. $\angle A = \angle A$ (दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ कोण)।
$2$. $\angle D = \angle C$ (प्रश्न में दिया गया है)।
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\triangle ADE \sim \triangle ACB$ है।

(B) यह कथन $False$ (असत्य) है।
$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार,दो त्रिभुज समरूप होते हैं यदि एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो और इन कोणों को अंतर्गत करने वाली भुजाएँ समानुपाती हों।
दिए गए कथन में,दो भुजाएँ समानुपाती हैं,लेकिन यह आवश्यक नहीं है कि वे भुजाएँ समान कोण को अंतर्गत करती हों। इसलिए,$SAS$ समरूपता की शर्त पूरी नहीं होती है,और त्रिभुज समरूप हों यह आवश्यक नहीं है।

(N/A) दिया है: $\triangle PQR$ में,$PR^{2} - PQ^{2} = QR^{2}$ और $QM \perp PR$ है।
सिद्ध करना है: $QM^{2} = PM \times MR$ है।
उपपत्ति: चूंकि $PR^{2} - PQ^{2} = QR^{2}$,इसलिए $PR^{2} = PQ^{2} + QR^{2}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से,$\triangle PQR$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण $Q$ समकोण है।
$\triangle QMR$ और $\triangle PMQ$ में:
$\angle M = \angle M = 90^{\circ}$ (दिया है $QM \perp PR$ और $\angle PQR = 90^{\circ}$ का अर्थ है $\angle MQR + \angle MQP = 90^{\circ}$)।
चूंकि $\angle P + \angle R = 90^{\circ}$ और $\angle MQR + \angle R = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle MQR = \angle P$ है।
इसी प्रकार,$\angle MQP = \angle R$ है।
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी द्वारा $\triangle QMR \sim \triangle PMQ$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{QM}{PM} = \frac{MR}{QM}$।
इसलिए,$QM^{2} = PM \times MR$ है। इति सिद्धम्।

(D) दिया है कि $PQRS$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $PQ \parallel RS$ और $PQ = 3 RS$ है।
$\frac{PQ}{RS} = \frac{3}{1}$ ......$(i)$
$\triangle POQ$ और $\triangle ROS$ में:
$\angle SOR = \angle QOP$ [शीर्षाभिमुख कोण]
$\angle OSR = \angle OPQ$ [एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $PQ \parallel RS$]
$\therefore \triangle POQ \sim \triangle ROS$ [कोण-कोण $(AA)$ समरूपता कसौटी द्वारा]
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल के गुणधर्म के अनुसार,उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है:
$\frac{\text{ar}(\triangle POQ)}{\text{ar}(\triangle ROS)} = \left(\frac{PQ}{RS}\right)^2 = \left(\frac{3}{1}\right)^2 = \frac{9}{1}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $9: 1$ है।

(N/A) दिया है: $AC$ और $PQ$ एक-दूसरे को बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं और $AB \parallel DC$ है।
सिद्ध करना है: $OA \cdot CQ = OC \cdot AP$.
उपपत्ति:
$\triangle AOP$ और $\triangle COQ$ में:
$1$. $\angle AOP = \angle COQ$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
$2$. $\angle OAP = \angle OCQ$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel DC$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है)।
$3$. $\angle OPA = \angle OQC$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel DC$ और $PQ$ एक तिर्यक रेखा है)।
अतः,$\triangle AOP \sim \triangle COQ$ ($AAA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं:
$\frac{OA}{OC} = \frac{AP}{CQ}$
वज्र गुणन करने पर:
$OA \cdot CQ = OC \cdot AP$.
इति सिद्धम्।

(C) दिया गया है कि $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{4}{6} = \frac{BC}{9} = \frac{AC}{12}$.
अब,$BC$ के लिए हल करने पर:
$\frac{4}{6} = \frac{BC}{9} \implies BC = \frac{4 \times 9}{6} = 6 \, cm$.
$AC$ के लिए हल करने पर:
$\frac{4}{6} = \frac{AC}{12} \implies AC = \frac{4 \times 12}{6} = 8 \, cm$.
$\triangle ABC$ का परिमाप $= AB + BC + AC$.
परिमाप $= 4 + 6 + 8 = 18 \, cm$.

(D) दिया है,$DE \parallel BC,$ $DE = 6 \, cm$ और $BC = 12 \, cm.$
$\triangle ABC$ और $\triangle ADE$ में,
$\angle ABC = \angle ADE$ [संगत कोण]
$\angle ACB = \angle AED$ [संगत कोण]
$\angle A = \angle A$ [उभयनिष्ठ कोण]
अतः,$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ [$AAA$ समरूपता कसौटी द्वारा].
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
$\frac{\operatorname{ar}(ADE)}{\operatorname{ar}(ABC)} = \frac{(DE)^2}{(BC)^2}$
$= \frac{(6)^2}{(12)^2} = \left(\frac{6}{12}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}.$
माना $\operatorname{ar}(ADE) = k,$ तो $\operatorname{ar}(ABC) = 4k.$
अब,$\operatorname{ar}(DECB) = \operatorname{ar}(ABC) - \operatorname{ar}(ADE) = 4k - k = 3k.$
अतः,अभीष्ट अनुपात $\operatorname{ar}(ADE) : \operatorname{ar}(DECB) = k : 3k = 1 : 3$ है।

(N/A) $\Delta ABC$ और $\Delta AMP$ में:
$\angle ABC = \angle AMP = 90^{\circ}$ (दिया है)
$\angle A = \angle A$ (उभयनिष्ठ कोण)
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी से $\Delta ABC \sim \Delta AMP$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
अतः,$\frac{CA}{PA} = \frac{BC}{MP}$।

(N/A) यह दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta FEG$ है।
अतः,$\angle A = \angle F, \angle B = \angle E,$ और $\angle ACB = \angle FGE$ है।
चूंकि $\angle ACB = \angle FGE$ है,इसलिए उनके समद्विभाजक भी बराबर होंगे।
अतः,$\angle ACD = \angle FGH$ (कोण समद्विभाजक)।
और,$\angle DCB = \angle HGE$ (कोण समद्विभाजक)।
$(i)$ $\Delta DCA$ और $\Delta HGF$ में:
$\angle A = \angle F$ (दिया है)
$\angle ACD = \angle FGH$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
अतः,$\Delta DCA \sim \Delta HGF$ ($AA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है:
$\frac{CD}{GH} = \frac{AC}{FG}$।
$(ii)$ $\Delta DCB$ और $\Delta HGE$ में:
$\angle DCB = \angle HGE$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$\angle B = \angle E$ (दिया है)
अतः,$\Delta DCB \sim \Delta HGE$ ($AA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
$(iii)$ $\Delta DCA$ और $\Delta HGF$ में:
$\angle A = \angle F$ (दिया है)
$\angle ACD = \angle FGH$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
अतः,$\Delta DCA \sim \Delta HGF$ ($AA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।

(N/A) दिया है: $ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AB = AC$ है।
चूंकि $AB = AC$,इसलिए इनके सम्मुख कोण बराबर होंगे,अर्थात $\angle ABC = \angle ACB$।
चूंकि $E$,$CB$ को बढ़ाने पर स्थित एक बिंदु है,इसलिए $\angle ABC = \angle ACB$ का उपयोग करते हुए:
$\Delta ABD$ और $\Delta ECF$ में:
$1$. $\angle ADB = \angle EFC = 90^{\circ}$ (दिया है)।
$2$. $\angle ABD = \angle ECF$ (क्योंकि $\angle ABC = \angle ACB$)।
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी द्वारा,$\Delta ABD \sim \Delta ECF$।

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में,$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AD}{PM}$ है।
चूँकि $AD$ और $PM$ माध्यिकाएँ हैं,इसलिए $D$ और $M$ क्रमशः $BC$ और $QR$ के मध्य-बिंदु हैं।
अतः,$BD = \frac{BC}{2}$ और $QM = \frac{QR}{2}$ है।
इन मानों को दिए गए अनुपात में रखने पर:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{2BD}{2QM} = \frac{AD}{PM} \Rightarrow \frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM}$ है।
$\Delta ABD$ और $\Delta PQM$ में:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM}$ (ऊपर सिद्ध किया गया)।
अतः,$SSS$ समरूपता कसौटी से $\Delta ABD \sim \Delta PQM$ है।
इसका अर्थ है कि $\angle B = \angle Q$ (समरूप त्रिभुजों के संगत कोण)।
अब,$\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में:
$1$. $\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR}$ (दिया है)
$2$. $\angle B = \angle Q$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
अतः,$SAS$ समरूपता कसौटी से $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है।

(N/A) $\triangle ADC$ और $\triangle BAC$ में:
$\angle ADC = \angle BAC$ (दिया है)
$\angle ACD = \angle BCA$ (उभयनिष्ठ कोण)
अतः,$\triangle ADC \sim \triangle BAC$ ($AA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
इसलिए,$\frac{CA}{CB} = \frac{CD}{CA}$।
वज्र-गुणन करने पर,$CA^2 = CB \cdot CD$ प्राप्त होता है।

(A) दिया है कि,
$\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} = \frac{AD}{PM}$
मान लीजिए कि हम $AD$ और $PM$ को क्रमशः बिंदु $E$ और $L$ तक इस प्रकार बढ़ाते हैं कि $AD = DE$ और $PM = ML$ हो। फिर,$B$ को $E$ से,$C$ को $E$ से,$Q$ को $L$ से और $R$ को $L$ से जोड़िए।
हम जानते हैं कि माध्यिका सम्मुख भुजा को विभाजित करती है। इसलिए,$BD = DC$ और $QM = MR$ है।
साथ ही,$AD = DE$ (रचना से) और $PM = ML$ (रचना से) है।
चतुर्भुज $ABEC$ में,विकर्ण $AE$ और $BC$ एक-दूसरे को बिंदु $D$ पर समद्विभाजित करते हैं। इसलिए,चतुर्भुज $ABEC$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$\therefore AC = BE$ और $AB = EC$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)।
इसी प्रकार,हम सिद्ध कर सकते हैं कि चतुर्भुज $PQLR$ एक समांतर चतुर्भुज है और $PR = QL, PQ = LR$ है।
यह दिया गया था कि $\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} = \frac{AD}{PM}$ है।
$\Rightarrow \frac{AB}{PQ} = \frac{BE}{QL} = \frac{2AD}{2PM}$
$\Rightarrow \frac{AB}{PQ} = \frac{BE}{QL} = \frac{AE}{PL}$
$\therefore \Delta ABE \sim \Delta PQL$ ($SSS$ समरूपता कसौटी से)।
हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं।
$\therefore \angle BAE = \angle QPL \dots(1)$
इसी प्रकार,यह सिद्ध किया जा सकता है कि $\Delta AEC \sim \Delta PLR$ और $\angle CAE = \angle RPL \dots(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle BAE + \angle CAE = \angle QPL + \angle RPL$
$\Rightarrow \angle CAB = \angle RPQ \dots(3)$
$\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR}$ (दिया है)
$\angle CAB = \angle RPQ$ (समीकरण $(3)$ का उपयोग करते हुए)
$\therefore \Delta ABC \sim \Delta PQR$ ($SAS$ समरूपता कसौटी से)।

(C) माना $AB$ मीनार की ऊँचाई है और $CD$ खंभे की ऊँचाई है।
माना $BE$ मीनार की छाया है और $DF$ खंभे की छाया है।
चूँकि सूर्य की किरणें एक ही समय पर समान कोण पर पड़ती हैं,इसलिए वस्तुओं और उनकी छायाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज समरूप होते हैं।
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\triangle ABE \sim \triangle CDF$ है।
इसका अर्थ है कि उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AB}{CD} = \frac{BE}{DF}$
दिया गया है कि $CD = 6\, m$,$DF = 4\, m$,और $BE = 28\, m$ है।
मान रखने पर:
$\frac{AB}{6} = \frac{28}{4}$
$\frac{AB}{6} = 7$
$AB = 7 \times 6 = 42\, m$ है।
अतः,मीनार की ऊँचाई $42\, m$ है।

(N/A) यह दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta PQR.$
हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
$\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} = \frac{BC}{QR} \dots(1)$
साथ ही,$\angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R \dots(2)$
चूँकि $AD$ और $PM$ माध्यिकाएँ हैं,वे अपनी सम्मुख भुजाओं को दो बराबर भागों में विभाजित करती हैं।
$BD = \frac{BC}{2}$ और $QM = \frac{QR}{2} \dots(3)$
समीकरण $(1)$ और $(3)$ से,हमें प्राप्त होता है
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC/2}{QR/2} = \frac{BD}{QM} \dots(4)$
$\Delta ABD$ और $\Delta PQM$ में,
$\angle B = \angle Q$ [समीकरण $(2)$ का उपयोग करते हुए]
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM}$ [समीकरण $(4)$ का उपयोग करते हुए]
$\therefore \Delta ABD \sim \Delta PQM$ ($SAS$ समरूपता कसौटी द्वारा)
$\Rightarrow \frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM}$

(D) हमें दिया गया है कि $XY \parallel AC$ है।
$\angle BXY = \angle A$ और $\angle BYX = \angle C$ (संगत कोण)।
अतः,$\Delta ABC \sim \Delta XBY$ ($AA$ समरूपता कसौटी)।
$\frac{\operatorname{ar}(ABC)}{\operatorname{ar}(XBY)} = \left(\frac{AB}{XB}\right)^2$ (समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात का प्रमेय)।
चूंकि $XY$ त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करता है,इसलिए $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \operatorname{ar}(XBY)$ है।
$\frac{\operatorname{ar}(ABC)}{\operatorname{ar}(XBY)} = \frac{2}{1}$।
अतः,$\left(\frac{AB}{XB}\right)^2 = \frac{2}{1}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{AB}{XB} = \frac{\sqrt{2}}{1}$।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{XB}{AB} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अब,$\frac{AX}{AB} = \frac{AB - XB}{AB} = 1 - \frac{XB}{AB} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}$।
हर का परिमेयकरण करने पर,$\frac{AX}{AB} = \frac{(\sqrt{2} - 1) \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$।