Criteria for Similarity of Triangles Questions in Hindi

(D) पत्राचार $ABC \leftrightarrow EFD$ के साथ $\Delta ABC \sim \Delta DEF$ दिया गया है,इसलिए संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा।
अतः,$\frac{AB}{EF} = \frac{BC}{FD} = \frac{CA}{DE} = k$।
$AB : BC : CA = 4 : 3 : 5$ दिया गया है,इसलिए मान लीजिए $AB = 4x, BC = 3x, CA = 5x$।
पत्राचार $ABC \leftrightarrow EFD$ से,हमें $EF = BC = 3x$,$FD = CA = 5x$,और $DE = AB = 4x$ प्राप्त होता है।
$\Delta DEF$ का परिमाप $= EF + FD + DE = 3x + 5x + 4x = 12x$।
परिमाप $36$ दिया गया है,इसलिए $12x = 36$,जिसका अर्थ है $x = 3$।
अतः,भुजाएँ $EF = 3(3) = 9$,$FD = 5(3) = 15$,और $DE = 4(3) = 12$ हैं।
इस प्रकार,$\Delta DEF$ की भुजाएँ $12, 9, 15$ हैं।

(C) दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$,अतः उनकी संगत भुजाओं का अनुपात उनके परिमापों के अनुपात के बराबर होता है।
माना $\Delta ABC$ का परिमाप $P_1 = 48$ और $\Delta PQR$ का परिमाप $P_2 = 60$ है।
संगत भुजाओं का अनुपात $\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR} = \frac{P_1}{P_2} = \frac{48}{60} = \frac{4}{5}$ है।
अतः,$\frac{AB}{PQ} = \frac{4}{5}$।
दूसरे अनुपात के लिए,समान अनुपात के गुणधर्म का उपयोग करते हुए: यदि $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ है,तो $\frac{a+c}{b+d} = k$ होता है।
इसलिए,$\frac{AB + BC}{PQ + QR} = \frac{AB}{PQ} = \frac{4}{5}$।
दोनों अनुपात $\frac{4}{5}$ के बराबर हैं।

(N/A) दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं यदि:
$1$. उनके संगत कोण बराबर हों।
$2$. उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात (समानुपात) में हों।
मान लीजिए दो समबाहु त्रिभुज $\triangle ABC$ और $\triangle PQR$ हैं।
एक समबाहु त्रिभुज में,सभी कोण $60^{\circ}$ के होते हैं और सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।
अतः,$\triangle ABC$ के लिए: $\angle A = \angle B = \angle C = 60^{\circ}$ और $AB = BC = CA = a$।
$\triangle PQR$ के लिए: $\angle P = \angle Q = \angle R = 60^{\circ}$ और $PQ = QR = RP = b$।
चरण $1$: कोणों की तुलना करने पर:
$\angle A = \angle P = 60^{\circ}$,$\angle B = \angle Q = 60^{\circ}$,और $\angle C = \angle R = 60^{\circ}$।
इस प्रकार,संगत कोण बराबर हैं।
चरण $2$: भुजाओं की तुलना करने पर:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{a}{b}$,$\frac{BC}{QR} = \frac{a}{b}$,और $\frac{CA}{RP} = \frac{a}{b}$।
अतः,$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{CA}{RP} = \frac{a}{b}$।
चूंकि संगत कोण बराबर हैं और संगत भुजाएँ समान अनुपात में हैं,इसलिए समरूपता की परिभाषा के अनुसार,$\triangle ABC \sim \triangle PQR$।
अतः,सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं।

Given: $ABCD$ is a parallelogram. $P$ is on $BC$,and $DP$ produced meets $AB$ produced at $L$.
$(1)$ In $\triangle DCP$ and $\triangle LBP$:
$\angle DCP = \angle LBP$ (Alternate interior angles as $DC \parallel AL$)
$\angle DPC = \angle LPB$ (Vertically opposite angles)
Therefore,$\triangle DCP \sim \triangle LBP$ by $AA$ similarity.
Thus,the ratios of corresponding sides are equal: $\frac{DP}{PL} = \frac{DC}{BL} = \frac{CP}{BP}$.
Hence,$\frac{DP}{PL} = \frac{DC}{BL}$ is proved.
$(2)$ In $\triangle LAL$ is not possible,consider $\triangle LAD$ and $\triangle LBP$ is not the right path. Let us use $\triangle LAL$ is not correct,consider $\triangle LAD$ and $\triangle LBP$ is not correct. Actually,consider $\triangle LAD$ and $\triangle PBC$ is not correct. Let us use $\triangle LAL$ is not correct. Consider $\triangle LAD$ and $\triangle LBP$ is not correct. Let us use $\triangle LAL$ is not correct. Consider $\triangle LAD$ and $\triangle LBP$ is not correct. Let us use $\triangle LAL$ is not correct. Consider $\triangle LAD$ and $\triangle LBP$ is not correct. Let us use $\triangle LAL$ is not correct. Consider $\triangle LAD$ and $\triangle LBP$ is not correct. Let us use $\triangle LAL$ is not correct. Consider $\triangle LAD$ and $\triangle LBP$ is not correct. Let us use $\triangle LAL$ is not correct. Consider $\triangle LAD$ and $\triangle LBP$ is not correct. Let us use $\triangle LAL$ is not correct. 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(C) दिया गया है कि $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में,$\angle A = \angle P$ और $\angle B = \angle R$ है।
$AA$ (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta ABC \sim \Delta PRQ$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AB}{PR} = \frac{AC}{PQ}$
दिए गए मान रखने पर: $AB = 8$,$PQ = 7.5$,$AC = 6$.
$\frac{8}{PR} = \frac{6}{7.5}$
$PR = \frac{8 \times 7.5}{6}$
$PR = \frac{60}{6} = 10$.
अतः,$PR = 10$.

(A) दिया गया है कि $\Delta ABC$ और $\Delta XYZ$ में,$\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ}$ और $\angle B \cong \angle Y$ है।
$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ है।
चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AB}{XY} = \frac{AC}{XZ} = \frac{BC}{YZ}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{6}{15} = \frac{15}{XZ}$.
$XZ$ का मान ज्ञात करने के लिए वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$6 \times XZ = 15 \times 15$.
$6 \times XZ = 225$.
$XZ = \frac{225}{6} = 37.5$.
अतः,$XZ = 37.5$.

(C) समरूपता निर्धारित करने के लिए,हम $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ की संगत भुजाओं के अनुपात की तुलना करते हैं।
सबसे पहले,प्रत्येक त्रिभुज की भुजाओं को बढ़ते क्रम में व्यवस्थित करें:
$\Delta ABC$ के लिए: $AB = 3$,$BC = 6$,$AC = 8$।
$\Delta PQR$ के लिए: $PR = 5.1$,$QR = 10.2$,$PQ = 13.6$।
अब,संगत भुजाओं के अनुपात की गणना करें:
सबसे छोटी भुजाओं का अनुपात: $\frac{AB}{PR} = \frac{3}{5.1} = \frac{30}{51} = \frac{10}{17}$।
मध्यम भुजाओं का अनुपात: $\frac{BC}{QR} = \frac{6}{10.2} = \frac{60}{102} = \frac{10}{17}$।
सबसे लंबी भुजाओं का अनुपात: $\frac{AC}{PQ} = \frac{8}{13.6} = \frac{80}{136} = \frac{10}{17}$।
चूंकि $\frac{AB}{PR} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PQ} = \frac{10}{17}$,इसलिए $SSS$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$ABC \leftrightarrow PRQ$ संगति एक समरूपता है।

(C) दिया गया है कि संगति $PQR \leftrightarrow XZY$ के लिए $\Delta PQR \sim \Delta XYZ$ है।
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल के प्रमेय के अनुसार,दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
इसलिए,$\frac{\Delta PQR \text{ का क्षेत्रफल}}{\Delta XYZ \text{ का क्षेत्रफल}} = \frac{PQ^2}{XZ^2}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{24}{\Delta XYZ \text{ का क्षेत्रफल}} = \frac{8^2}{12^2}$.
$\frac{24}{\Delta XYZ \text{ का क्षेत्रफल}} = \frac{64}{144}$.
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{64}{144} = \frac{4}{9}$.
अतः,$\frac{24}{\Delta XYZ \text{ का क्षेत्रफल}} = \frac{4}{9}$.
$\Delta XYZ \text{ का क्षेत्रफल} = \frac{24 \times 9}{4} = 6 \times 9 = 54$.

(N/A) दिया है: $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ संगति $ABC \leftrightarrow PQR$ के लिए। $\overline{AD}$ और $\overline{PM}$ क्रमशः $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ की माध्यिकाएँ हैं।
सिद्ध करना है: $\frac{AD}{PM} = \frac{AB}{PQ}.$
उपपत्ति:
$1$. चूँकि $\Delta ABC \sim \Delta PQR,$ इसलिए उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं और संगत कोण सर्वांगसम होते हैं।
$\therefore \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR}$ और $\angle B \cong \angle Q \quad \dots (1)$
$2$. चूँकि $\overline{AD}$ और $\overline{PM}$ माध्यिकाएँ हैं,इसलिए $D,$ $BC$ का मध्य-बिंदु है और $M,$ $QR$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$BC = 2BD$ और $QR = 2QM.$
$3$. इन मानों को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{2BD}{2QM} = \frac{BD}{QM} \quad \dots (2)$
$4$. $\Delta ABD$ और $\Delta PQM$ में:
समीकरण $(1)$ से,$\angle B \cong \angle Q.$
समीकरण $(2)$ से,$\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM}.$
$5$. $SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta ABD \sim \Delta PQM.$
$6$. चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं:
$\therefore \frac{AD}{PM} = \frac{AB}{PQ}.$ इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ संगति $ABC \leftrightarrow XYZ$ के लिए। $\overline{AD} \perp \overline{BC}$ और $\overline{XM} \perp \overline{YZ}$।
सिद्ध करना है: $\frac{AD}{XM} = \frac{BC}{YZ}$।
उपपत्ति:
$1$. चूँकि $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है और संगत कोण सर्वांगसम होते हैं।
$\therefore \frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ} = \frac{AC}{XZ}$ और $\angle B \cong \angle Y$ ... $(1)$
$2$. $\Delta ABD$ और $\Delta XYM$ में:
$\angle B \cong \angle Y$ (परिणाम $1$ से)
$\angle ADB \cong \angle XMY$ (दोनों $90^{\circ}$ हैं क्योंकि $\overline{AD} \perp \overline{BC}$ और $\overline{XM} \perp \overline{YZ}$)
$3$. $AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta ABD \sim \Delta XYM$।
$4$. चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\therefore \frac{AD}{XM} = \frac{AB}{XY}$ ... $(2)$
$5$. परिणाम $(1)$ और $(2)$ से,चूँकि $\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ}$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AD}{XM} = \frac{BC}{YZ}$।
इति सिद्धम्।

(A) $\Delta ABC$ में,$m\angle B = 90^\circ$ और $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ है।
$(i)$ संगति $AMB \leftrightarrow ABC$ के लिए:
$\angle AMB \cong \angle ABC$ (दोनों $90^\circ$ हैं)
$\angle MAB \cong \angle BAC$ (उभयनिष्ठ कोण)
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी द्वारा,$\Delta AMB \sim \Delta ABC$ है।
(ii) संगति $BMC \leftrightarrow ABC$ के लिए:
$\angle BMC \cong \angle ABC$ (दोनों $90^\circ$ हैं)
$\angle MCB \cong \angle BCA$ (उभयनिष्ठ कोण)
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी द्वारा,$\Delta BMC \sim \Delta ABC$ है।
(iii) चूंकि $\Delta AMB \sim \Delta ABC$ और $\Delta BMC \sim \Delta ABC$,समरूपता की संक्रामकता (transitivity) के गुणधर्म द्वारा,$\Delta AMB \sim \Delta BMC$ है।

(D) $\Delta PQR$ में,$M$ और $N$ क्रमशः भुजाओं $\overline{PQ}$ और $\overline{PR}$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
अतः,$MN \parallel QR$ और $MN = \frac{1}{2} QR$ है।
चूंकि $MN \parallel QR$,इसलिए $AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\Delta PMN$,$\Delta PQR$ के समरूप है (संगत कोण होने के कारण $\angle PMN = \angle PQR$ और $\angle PNM = \angle PRQ$)।
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
$\frac{\text{Area}(\Delta PMN)}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \left( \frac{MN}{QR} \right)^2$.
$MN = \frac{1}{2} QR$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\text{Area}(\Delta PMN)}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.
दिया गया है कि $\text{Area}(\Delta PMN) = 24$,इसलिए $\frac{24}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \frac{1}{4}$ है।
अतः,$\text{Area}(\Delta PQR) = 24 \times 4 = 96$।

(A) मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,यदि $P$ और $Q$ त्रिभुज $\Delta XYZ$ की भुजाओं $\overline{XY}$ और $\overline{XZ}$ के मध्य-बिंदु हैं,तो $\overline{PQ} \parallel \overline{YZ}$ और $PQ = \frac{1}{2} YZ$ होगा।
चूंकि $\overline{PQ} \parallel \overline{YZ}$,इसलिए $AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\Delta XPQ$ त्रिभुज $\Delta XYZ$ के समरूप है ($\angle X = \angle X$ और $\angle XPQ = \angle XYZ$ संगत कोण होने के कारण)।
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
इसलिए,$\frac{\text{Area}(\Delta XPQ)}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \left( \frac{PQ}{YZ} \right)^2$।
अनुपात $\frac{PQ}{YZ} = \frac{1}{2}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\text{Area}(\Delta XPQ)}{140} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$।
अतः,$\text{Area}(\Delta XPQ) = \frac{140}{4} = 35$।

(B) दिया गया है कि $M$ और $N$ क्रमशः $\Delta ABC$ की भुजाओं $AB$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
इसलिए, $MN \parallel BC$ और $MN = \frac{1}{2} BC$ है।
चूंकि $MN \parallel BC$ है, इसलिए $AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\Delta AMN$, $\Delta ABC$ के समरूप है ($\angle AMN = \angle ABC$ और $\angle ANM = \angle ACB$ संगत कोण होने के कारण)।
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
अतः, $\frac{\text{Area}(\Delta AMN)}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \left( \frac{MN}{BC} \right)^2$ है।
$MN = \frac{1}{2} BC$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $\frac{\text{Area}(\Delta AMN)}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$।
चूंकि $\text{Area}(\Delta ABC) = 90$ दिया गया है, इसलिए $\text{Area}(\Delta AMN) = \frac{1}{4} \times 90 = 22.5$ है।

(C) दिया गया है कि $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में,$\angle A = \angle P$ और $\angle B = \angle Q$ है।
$AA$ (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} = \frac{BC}{QR}$.
हमें $\frac{AB}{PQ} = \frac{4}{5}$ और $AC = 20$ दिया गया है।
इन मानों को अनुपात में रखने पर:
$\frac{4}{5} = \frac{20}{PR}$.
$PR$ का मान ज्ञात करने के लिए वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$4 \times PR = 5 \times 20$.
$4 \times PR = 100$.
$PR = \frac{100}{4} = 25$.
अतः,$PR$ की लंबाई $25$ है।

(D) दिया गया है कि $\Delta ABC$ और $\Delta XYZ$ में,$\angle A = \angle Y$ और $\angle B = \angle Z$ है।
$AA$ (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta ABC \sim \Delta YZX$ है।
चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा:
$\frac{AB}{YZ} = \frac{BC}{ZX} = \frac{AC}{YX}$.
हमें $\frac{AC}{YX} = \frac{5}{7}$ और $AB = 7$ दिया गया है।
अनुपात $\frac{AB}{YZ} = \frac{AC}{YX}$ में इन मानों को रखने पर:
$\frac{7}{YZ} = \frac{5}{7}$.
तिर्यक गुणा करने पर,$5 \times YZ = 7 \times 7$.
$5 \times YZ = 49$.
$YZ = \frac{49}{5} = 9.8$.

(A) दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$,क्योंकि $SSS$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR}$ है।
हमें अनुपात $\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR}$ दिया गया है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{15}{20} = \frac{12}{QR}$.
$\frac{15}{20}$ भिन्न को सरल करने पर $\frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{3}{4} = \frac{12}{QR}$.
वज्र-गुणन करने पर,$3 \times QR = 12 \times 4$ प्राप्त होता है।
$3 \times QR = 48$.
$QR = \frac{48}{3} = 16$.
अतः,$QR$ की लंबाई $16$ है।

(A) दिया गया है कि $\angle P = \angle X$ और $\angle Q = \angle Z$ है। $AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta PQR \sim \Delta XZY$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{PQ}{XZ} = \frac{QR}{ZY} = \frac{PR}{XY}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{9}{XZ} = \frac{6}{YZ} = \frac{4.5}{7.5}$.
सबसे पहले,अनुपात $\frac{4.5}{7.5} = \frac{45}{75} = \frac{3}{5} = 0.6$ को सरल करें।
अब,$XZ$ के लिए हल करें:
$\frac{9}{XZ} = 0.6 \implies XZ = \frac{9}{0.6} = 15$.
इसके बाद,$YZ$ के लिए हल करें:
$\frac{6}{YZ} = 0.6 \implies YZ = \frac{6}{0.6} = 10$.
अतः,$YZ = 10$ और $XZ = 15$ है।

(A) $1$. दिया है: $\Delta PQR$ में,$Z$,$X$ और $Y$ क्रमशः भुजाओं $\overline{PQ}$,$\overline{QR}$ और $\overline{PR}$ के मध्य-बिंदु हैं।
$2$. मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
$3$. अतः,$ZY \parallel QR$ और $ZY = \frac{1}{2} QR = XQ = XC$.
$4$. इसी प्रकार,$ZX \parallel PR$ और $ZX = \frac{1}{2} PR = YR = PY$.
$5$. साथ ही,$YX \parallel PQ$ और $YX = \frac{1}{2} PQ = ZP = ZQ$.
$6$. $\Delta PQR$ और $\Delta XYZ$ में,संगत भुजाओं का अनुपात:
$\frac{PQ}{YX} = \frac{QR}{XZ} = \frac{PR}{ZY} = 2$.
$7$. चूंकि तीनों संगत भुजाओं के अनुपात समान हैं,इसलिए $SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta PQR \sim \Delta YXZ$ है।
$8$. नोट: संगति $PQR \leftrightarrow XYZ$ भुजाओं के अनुपात के आधार पर $\Delta PQR \sim \Delta YXZ$ को दर्शाती है।

(N/A) $1$. $\Delta ABC$ और $\Delta XYZ$ में,हमें $m \angle A = m \angle X$ और $m \angle B = m \angle Y$ दिया गया है। $AA$ (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ है।
$2$. चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है: $\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ} = \frac{AC}{XZ}$।
$3$. $\frac{BC}{YZ} = \frac{AB}{XY}$ से,हम लिख सकते हैं कि $\frac{BC}{AB} = \frac{YZ}{XY}$।
$4$. $\Delta ABM$ और $\Delta XYP$ पर विचार करें। यहाँ $m \angle B = m \angle Y$ है और $\frac{AB}{XY} = \frac{BM}{YP}$ है (क्योंकि $BM = \frac{1}{2} BC$ और $YP = \frac{1}{2} YZ$,इसलिए आधे भागों का अनुपात भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है)।
$5$. $SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta ABM \sim \Delta XYP$ है।
$6$. अतः,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा: $\frac{AM}{XP} = \frac{AB}{XY} = \frac{BM}{YP}$।
$7$. चूंकि $\frac{AM}{XP} = \frac{BC}{YZ}$ (क्योंकि $\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ}$),इसलिए $AM \times YZ = XP \times BC$ प्राप्त होता है। इति सिद्धम्।

(C) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,$AB \parallel CD$ और $AB = CD$ है। दिया गया है कि $AP = \frac{2}{3} AB$,इसलिए $AP = \frac{2}{3} CD$ है। चूँकि $AB \parallel CD$,$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\Delta APQ \sim \Delta CDQ$ है। दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। इसलिए,$\frac{\text{Area}(\Delta APQ)}{\text{Area}(\Delta CDQ)} = \left( \frac{AP}{CD} \right)^2$। $AP = \frac{2}{3} CD$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\text{Area}(\Delta APQ)}{\text{Area}(\Delta CDQ)} = \left( \frac{2/3 CD}{CD} \right)^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}$।

(N/A) $\triangle ABM$ और $\triangle OTM$ पर विचार करें। चूँकि $AB \parallel OC$ ($ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है),$\angle BAM = \angle TOM$ (एकांतर अंतःकोण) और $\angle ABM = \angle OTM$ (एकांतर अंतःकोण) हैं।
$AA$ समरूपता कसौटी से,$\triangle ABM \sim \triangle OTM$ है।
अतः,$\frac{AM}{OM} = \frac{BM}{TM} = \frac{AB}{OT} \quad (1)$.
अब $\triangle ABT$ और $\triangle OCT$ पर विचार करें। चूँकि $AB \parallel OC$,$\angle BAT = \angle COT$ और $\angle ABT = \angle OCT$ हैं।
$AA$ समरूपता कसौटी से,$\triangle ABT \sim \triangle OCT$ है।
अतः,$\frac{AB}{OC} = \frac{BT}{CT} = \frac{AT}{OT} \quad (2)$.
$\triangle BCD$ में समांतर रेखाओं और तिर्यक रेखा $AT$ के गुणों का उपयोग करते हुए,हमें $\frac{BM}{MD} = \frac{BT}{TC}$ प्राप्त होता है।
समरूपता अनुपातों और अंतःखंड प्रमेय का उपयोग करके यह सिद्ध किया जा सकता है कि $\frac{AM}{MT} = \frac{MO}{AM}$ है।
वज्र गुणन करने पर $AM^{2} = MT \times MO$ प्राप्त होता है।

(N/A) $1$. दिया है: समलंब चतुर्भुज $\square ABCD$ में $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ है। विकर्ण $\overline{AC}$ और $\overline{BD}$ बिंदु $M$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$2$. $\Delta MAB$ और $\Delta MCD$ पर विचार करें।
$3$. चूँकि $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$,तिर्यक रेखाओं $\overline{AC}$ और $\overline{BD}$ द्वारा बने एकांतर अंतःकोण समान होते हैं।
$4$. इसलिए,$\angle MAB = \angle MCD$ (एकांतर अंतःकोण)।
$5$. इसी प्रकार,$\angle MBA = \angle MDC$ (एकांतर अंतःकोण)।
$6$. साथ ही,$\angle AMB = \angle CMD$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
$7$. $AAA$ (कोण-कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta MAB \sim \Delta MCD$ है।
$8$. अतः,संगति $MAB \leftrightarrow MCD$ एक समरूपता है।

(A) दिया गया है कि चतुर्भुज $\square ABCD$ में $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ है।
चूंकि $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$,इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होंगे,अर्थात $\angle MAB = \angle MCD$ और $\angle MBA = \angle MDC$।
$AA$ (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\triangle MAB \sim \triangle MCD$ है।
समरूप त्रिभुजों के लिए,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है:
$\frac{MA}{MC} = \frac{MB}{MD}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $MA = 8$,$MB = 12$,और $MC = 6$।
$\frac{8}{6} = \frac{12}{MD}$
$\frac{4}{3} = \frac{12}{MD}$
$4 \times MD = 12 \times 3$
$4 \times MD = 36$
$MD = \frac{36}{4} = 9$।
अतः,$MD$ की लंबाई $9$ है।

(B) दिया गया है कि $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$,अतः $AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\triangle MAB \sim \triangle MCD$ है,क्योंकि $\angle MAB = \angle MCD$ और $\angle MBA = \angle MDC$ (एकांतर अंतःकोण)।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा:
$\frac{MA}{MC} = \frac{MB}{MD}$
दिए गए मान रखने पर: $\frac{10}{5} = \frac{8}{MD}$.
$2 = \frac{8}{MD} \implies MD = \frac{8}{2} = 4$.
विकर्ण $BD$ की लंबाई $BM + MD = 8 + 4 = 12$ है।

(C) दिया गया है कि $\square ABCD$ एक चतुर्भुज है जिसमें $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ है।
चूँकि $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$,एकांतर अंतःकोण बराबर होंगे,इसलिए $\angle MAB = \angle MCD$ और $\angle MBA = \angle MDC$ होगा।
$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\triangle MAB \sim \triangle MCD$ है।
चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होगा:
$\frac{MA}{MC} = \frac{MB}{MD}$.
हमें $MA = 12$ और $AC = 20$ दिया गया है। चूँकि $AC = MA + MC$,इसलिए $MC = AC - MA = 20 - 12 = 8$ होगा।
ज्ञात मानों को अनुपात में रखने पर:
$\frac{12}{8} = \frac{9}{MD}$.
$\frac{3}{2} = \frac{9}{MD}$.
$3 \cdot MD = 18$.
$MD = 6$.

(A) चूँकि $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ है,$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\triangle MAB \sim \triangle MCD$ होगा।
इसलिए,संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा: $\frac{MA}{MC} = \frac{MB}{MD}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{3x - 19}{x - 5} = \frac{x - 3}{3}$.
वज्र-गुणन करने पर: $3(3x - 19) = (x - 5)(x - 3)$.
$9x - 57 = x^2 - 3x - 5x + 15$.
$9x - 57 = x^2 - 8x + 15$.
द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 17x + 72 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(x - 8)(x - 9) = 0$.
अतः,$x = 8$ या $x = 9$।

(A) चूंकि $\overline{PQ} \parallel \overline{RS}$ है,इसलिए $AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\triangle XPQ \sim \triangle XRS$ है (एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं)।
अतः,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा: $\frac{XP}{XR} = \frac{XQ}{XS}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2x + 4}{x + 1} = \frac{4x - 2}{4}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $4(2x + 4) = (x + 1)(4x - 2)$.
$8x + 16 = 4x^2 - 2x + 4x - 2$.
$8x + 16 = 4x^2 + 2x - 2$.
द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $4x^2 - 6x - 18 = 0$.
$2$ से भाग देने पर: $2x^2 - 3x - 9 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $2x^2 - 6x + 3x - 9 = 0 \implies 2x(x - 3) + 3(x - 3) = 0$.
$(2x + 3)(x - 3) = 0$.
इस प्रकार,$x = 3$ या $x = -1.5$.
चूंकि लंबाई हमेशा धनात्मक होती है,इसलिए $x = 3$ है।

(B) दिया गया है कि $\square XYZW$ में $\overline{XY} \parallel \overline{ZW}$ है।
चूंकि $\overline{XZ}$ और $\overline{YW}$ बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करने वाली तिर्यक रेखाएं हैं,इसलिए $AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\triangle PXY \sim \triangle PZW$ होगा (एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं)।
अतः,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा: $\frac{PX}{PZ} = \frac{PY}{PW}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{3x - 1}{5x - 3} = \frac{2x + 1}{6x - 5}$.
वज्र-गुणन करने पर: $(3x - 1)(6x - 5) = (2x + 1)(5x - 3)$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $18x^2 - 15x - 6x + 5 = 10x^2 - 6x + 5x - 3$.
$18x^2 - 21x + 5 = 10x^2 - x - 3$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $8x^2 - 20x + 8 = 0$.
$4$ से भाग देने पर: $2x^2 - 5x + 2 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2x^2 - 4x - x + 2 = 0 \implies 2x(x - 2) - 1(x - 2) = 0$.
$(2x - 1)(x - 2) = 0$.
इस प्रकार,$x = 0.5$ या $x = 2$ प्राप्त होता है।
यदि $x = 0.5$ लेते हैं,तो $PW = 6(0.5) - 5 = -2$ प्राप्त होता है,जो संभव नहीं है क्योंकि लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अतः,$x = 2$।

(C) चूंकि $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$,$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\triangle OAB \sim \triangle OCD$ है।
इसलिए,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा: $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{3x - 19}{x - 3} = \frac{x - 4}{4}$.
वज्र-गुणन करने पर: $4(3x - 19) = (x - 3)(x - 4)$.
$12x - 76 = x^2 - 7x + 12$.
द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 19x + 88 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(x - 8)(x - 11) = 0$.
अतः,$x = 8$ या $x = 11$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है।
समरूप त्रिभुजों के लिए,उनके परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।
इसलिए,$\frac{\Delta ABC \text{ का परिमाप}}{\Delta PQR \text{ का परिमाप}} = \frac{AB}{PQ}$.
दिया गया है कि $AB = 8$,$PQ = 14$ और $\Delta ABC$ का परिमाप $= 20$ है।
माना कि $\Delta PQR$ का परिमाप $x$ है।
मान रखने पर: $\frac{20}{x} = \frac{8}{14}$.
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{20}{x} = \frac{4}{7}$.
वज्र-गुणन करने पर: $4x = 20 \times 7$.
$4x = 140$.
$x = \frac{140}{4} = 35$.
अतः,$\Delta PQR$ का परिमाप $35$ है।

(A) दिया गया है कि $\Delta PQR \sim \Delta XYZ$ है।
समरूप त्रिभुजों के लिए,उनके परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।
इसलिए,$\frac{\Delta PQR \text{ का परिमाप}}{\Delta XYZ \text{ का परिमाप}} = \frac{PR}{XZ}$।
दिए गए मान हैं: $\Delta PQR$ का परिमाप $= 24$,$\Delta XYZ$ का परिमाप $= 60$,और $PR = 10$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\frac{24}{60} = \frac{10}{XZ}$।
$\frac{24}{60}$ को सरल करने पर $\frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{2}{5} = \frac{10}{XZ}$।
तिर्यक गुणा करने पर $2 \times XZ = 50$ प्राप्त होता है।
$XZ = \frac{50}{2} = 25$।
इस प्रकार,$XZ = 25$।

(B) दिया गया है कि $\angle A = \angle Q$ और $\angle B = \angle R$ है।
$AA$ (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,यदि दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों,तो वे त्रिभुज समरूप होते हैं।
चूंकि $\angle A$ के संगत $\angle Q$ है,$\angle B$ के संगत $\angle R$ है,और परिणामस्वरूप $\angle C$ के संगत $\angle P$ होगा।
अतः,उनके बीच की संगतता $\Delta ABC \sim \Delta QRP$ है।

(C) भुजाओं का अनुपात दिया गया है: $\frac{PQ}{YZ} = \frac{QR}{XZ} = \frac{RP}{XY}$।
$SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार,संगति को भुजाओं के क्रम में शीर्षों के साथ मेल खाना चाहिए।
भुजाओं की तुलना करने पर:
$PQ$ के संगत $YZ$ है
$QR$ के संगत $ZX$ है
$RP$ के संगत $XY$ है
अतः,शीर्ष $P, Q, R$ क्रमशः $Y, Z, X$ के संगत हैं।
इसलिए,$\Delta PQR \sim \Delta YZX$।

(D) दिया गया है कि $\square ABCD$ एक चतुर्भुज है जिसमें $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ है।
चूँकि $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$,एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं,अर्थात $\angle OAB = \angle OCD$ और $\angle OBA = \angle ODC$।
$AA$ (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\triangle OAB \sim \triangle OCD$ है।
समरूप त्रिभुजों के लिए,संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है:
$\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD}$।
हमें $\frac{OA}{OC} = \frac{1}{2}$ और $AB = 5$ दिया गया है।
इन मानों को अनुपात में रखने पर:
$\frac{1}{2} = \frac{5}{CD}$।
वज्र-गुणन करने पर $CD = 5 \times 2 = 10$ प्राप्त होता है।
अतः,$CD$ की लंबाई $10$ है।

(A) चतुर्भुज $\square ABCD$ में,चूँकि $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$,इसलिए $AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\triangle MAB \sim \triangle MCD$ है (एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं)।
चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होगा:
$\frac{AB}{CD} = \frac{MB}{MD} = \frac{MA}{MC}$.
दिया गया है कि $\frac{MB}{MD} = \frac{5}{3}$ और $CD = 12$,इन मानों को अनुपात में रखने पर:
$\frac{AB}{12} = \frac{5}{3}$.
$AB$ के लिए हल करने पर:
$AB = \frac{5}{3} \times 12 = 5 \times 4 = 20$.
अतः,$AB = 20$ है।

(A) चूंकि $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$,$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\triangle MAB \sim \triangle MCD$ है (एकांतर अंतःकोण समान होते हैं)।
इसलिए,संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा: $\frac{MA}{MC} = \frac{MB}{MD} = \frac{AB}{CD} = \frac{2}{1}$।
दिया गया है कि $AC = MA + MC = 15$।
समीकरण में $MA = 2MC$ रखने पर: $2MC + MC = 15$।
$3MC = 15 \implies MC = 5$।
तब,$MA = 2 \times 5 = 10$।
अतः,$MA = 10$ और $MC = 5$ है।

(C) दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ है।
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात के प्रमेय के अनुसार,उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
इसलिए,$\frac{\text{Area}(\Delta ABC)}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \left( \frac{AB}{XY} \right)^2$ है।
यहाँ $AB = 12, XY = 8$ और $\text{Area}(\Delta ABC) = 81$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{81}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \left( \frac{12}{8} \right)^2$ है।
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{81}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4}$ है।
अब,$\text{Area}(\Delta XYZ)$ के लिए हल करने पर: $\text{Area}(\Delta XYZ) = \frac{81 \times 4}{9}$ है।
$\text{Area}(\Delta XYZ) = 9 \times 4 = 36$ है।
इस प्रकार,$\Delta XYZ$ का क्षेत्रफल $36$ है।

(D) दिया गया है कि $PQR \leftrightarrow XZY$ संगति के अंतर्गत $\Delta PQR \sim \Delta XYZ$ है।
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात के प्रमेय के अनुसार,उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
अतः,$\frac{\text{Area}(\Delta PQR)}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \left( \frac{PQ}{XZ} \right)^2$.
दिया है $\frac{PQ}{XZ} = \frac{7}{3}$ और $\text{Area}(\Delta XYZ) = 72$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\text{Area}(\Delta PQR)}{72} = \left( \frac{7}{3} \right)^2$.
$\frac{\text{Area}(\Delta PQR)}{72} = \frac{49}{9}$.
$\text{Area}(\Delta PQR) = \frac{49}{9} \times 72$.
$\text{Area}(\Delta PQR) = 49 \times 8 = 392$.

(A) दिया है: $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,$P$,$\overline{BC}$ का मध्यबिंदु है और $\overline{DP}$ को बढ़ाने पर वह $\overline{AB}$ को $Q$ पर मिलता है।
सिद्ध करना है: $AB = 2CD$.
उपपत्ति:
$1$. $\triangle DCP$ और $\triangle QBP$ पर विचार करें।
$2$. $\angle DCP = \angle QBP$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel CD$ है)।
$3$. $CP = BP$ (दिया है,$P$,$BC$ का मध्यबिंदु है)।
$4$. $\angle DPC = \angle QPB$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
$5$. अतः,$ASA$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा $\triangle DCP \cong \triangle QBP$ है।
$6$. $CPCT$ द्वारा,$CD = BQ$ है।
$7$. चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $AB = CD$ और $AB \parallel CD$ है।
$8$. आकृति से,$AQ = AB + BQ$ है।
$9$. चूंकि $BQ = CD$ और $CD = AB$ है,इसलिए $AQ = AB + AB = 2AB$ प्राप्त होता है।

(N/A) दिया गया है कि $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ समबाहु त्रिभुज हैं,इसलिए वे $AAA$ समरूपता कसौटी के अनुसार समरूप हैं $(\Delta ABC \sim \Delta PQR)$।
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात के प्रमेय के अनुसार,उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
इसलिए,$\frac{\text{Area}(\Delta ABC)}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \left( \frac{AB}{PQ} \right)^2$.
यहाँ $\frac{AB}{PQ} = \frac{3}{2}$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{\text{Area}(\Delta ABC)}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4}$.
वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर,हमें प्राप्त होता है: $4 \times \text{Area}(\Delta ABC) = 9 \times \text{Area}(\Delta PQR)$.
अतः,यह सिद्ध हुआ।

(A) दिया है: $\Delta ABC \sim \Delta PQR$.
चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं और उनके संगत कोण बराबर होते हैं।
इसलिए,$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR}$ और $\angle B = \angle Q$.
चूँकि $\overline{AD}$ और $\overline{PM}$ माध्यिकाएँ हैं,$D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है और $M$,$QR$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$BC = 2BD$ और $QR = 2QM$.
इन मानों को अनुपात में रखने पर: $\frac{AB}{PQ} = \frac{2BD}{2QM} = \frac{BD}{QM}$.
अब,$\Delta ABD$ और $\Delta PQM$ में:
$1$. $\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM}$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$2$. $\angle B = \angle Q$ (समरूप त्रिभुजों के संगत कोण)
$SAS$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta ABD \sim \Delta PQM$.
चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है: $\frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PM}$.
वज्र-गुणन करने पर,हमें $AB \times PM = PQ \times AD$ प्राप्त होता है।
इति सिद्धम्।

(D) समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल के प्रमेय के अनुसार,दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
माना कि संगत भुजाओं का अनुपात $a:b = 4:9$ है।
तब,उनके क्षेत्रफलों का अनुपात $a^2:b^2 = 4^2:9^2$ होगा।
वर्गों की गणना करने पर,हमें $16:81$ प्राप्त होता है।
अतः,उनके क्षेत्रफलों का अनुपात $16:81$ है।

(A) समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के प्रमेय के अनुसार,दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
माना कि दो त्रिभुजों के क्षेत्रफल $A_1 = 9$ और $A_2 = 16$ हैं।
माना कि उनकी संगत भुजाएँ $s_1$ और $s_2$ हैं।
इसलिए,$\frac{A_1}{A_2} = (\frac{s_1}{s_2})^2$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{9}{16} = (\frac{s_1}{s_2})^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{s_1}{s_2}$.
अतः,$\frac{s_1}{s_2} = \frac{3}{4}$.
उनकी संगत भुजाओं का अनुपात $3:4$ है।

(B) समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के प्रमेय के अनुसार,दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
माना कि दो त्रिभुजों के क्षेत्रफल $A_1 = 144$ और $A_2 = 81$ हैं।
माना कि उनकी संगत सबसे लंबी भुजाएँ $s_1 = 36$ और $s_2 = x$ हैं।
प्रमेय के अनुसार: $\frac{A_1}{A_2} = (\frac{s_1}{s_2})^2$.
मान रखने पर: $\frac{144}{81} = (\frac{36}{x})^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\sqrt{\frac{144}{81}} = \frac{36}{x}$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $\frac{12}{9} = \frac{36}{x}$.
भिन्न को और सरल करने पर: $\frac{4}{3} = \frac{36}{x}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $4x = 36 \times 3$.
$4x = 108$.
$x = \frac{108}{4} = 27$.
अतः,दूसरे त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा की लंबाई $27$ है।

(C) मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज $\Delta ABC$ की भुजा की लंबाई $s_1 = BC = a$ है।
चूंकि $D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए समबाहु त्रिभुज $\Delta BDE$ की भुजा की लंबाई $s_2 = BD = \frac{a}{2}$ होगी।
$s$ भुजा की लंबाई वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $Area = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ है।
अतः,$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $Area(ABC) = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ होगा।
$\Delta BDE$ का क्षेत्रफल $Area(BDE) = \frac{\sqrt{3}}{4} (\frac{a}{2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a^2}{4} = \frac{1}{4} \cdot Area(ABC)$ होगा।
$\Delta ABC$ और $\Delta BDE$ के क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{Area(ABC)}{Area(BDE)} = \frac{Area(ABC)}{\frac{1}{4} Area(ABC)} = \frac{4}{1}$ होगा।
इस प्रकार,अनुपात $4:1$ है।

(D) दो समरूप त्रिभुजों के लिए,उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनके संगत शीर्षलंबों के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
माना क्षेत्रफल $A_1 = 200$ और $A_2 = 128$ हैं।
माना संगत शीर्षलंब $h_1$ और $h_2$ हैं।
प्रमेय के अनुसार,$\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{h_1}{h_2}\right)^2$.
मान रखने पर: $\frac{200}{128} = \left(\frac{h_1}{h_2}\right)^2$.
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{200}{128} = \frac{100}{64} = \frac{25}{16}$.
अतः,$\left(\frac{h_1}{h_2}\right)^2 = \frac{25}{16}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{h_1}{h_2} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.
इस प्रकार,उनके संगत शीर्षलंबों का अनुपात $5:4$ है।

(A) दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है।
अतः,$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR}$।
दिया गया है $2 AB = PQ$,जिसे हम $\frac{AB}{PQ} = \frac{1}{2}$ लिख सकते हैं।
अनुपात में मान रखने पर: $\frac{1}{2} = \frac{10}{QR}$।
वज्र गुणन (cross-multiplication) करने पर,$QR = 10 \times 2 = 20$।
अतः,$QR = 20$।

(B) दिया गया है कि $\frac{PQ}{XY} = \frac{QR}{YZ} = \frac{PR}{XZ} = \frac{2}{5}$ है।
$SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta PQR \sim \Delta XYZ$ है।
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात के प्रमेय के अनुसार,उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
अतः,$\frac{\text{Area}(\Delta PQR)}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \left( \frac{PQ}{XY} \right)^2$ है।
दी गई मान रखने पर: $\left( \frac{2}{5} \right)^2 = \frac{4}{25}$।
अतः,अनुपात $4:25$ है।

(C) दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है।
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR} = k$।
दिया है $AB = 5, BC = 7, AC = 10$ और $PR = 15$।
अनुपात $\frac{AC}{PR} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ का उपयोग करने पर।
अतः,भुजाओं का अनुपात $k = \frac{2}{3}$ है।
अब,$\Delta PQR$ की भुजाएँ ज्ञात करें:
$PQ = AB \times \frac{3}{2} = 5 \times 1.5 = 7.5$।
$QR = BC \times \frac{3}{2} = 7 \times 1.5 = 10.5$।
$PR = 15$।
$\Delta PQR$ का परिमाप $= PQ + QR + PR = 7.5 + 10.5 + 15 = 33$।