Criteria for Similarity of Triangles Questions in Hindi

(C) दिया गया है कि संगतता $ABC \leftrightarrow DEF$ के लिए $\Delta ABC \sim \Delta DEF$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है।
अतः,$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$।
दिया गया है $3 AB = 5 DE$,जिसे हम $\frac{AB}{DE} = \frac{5}{3}$ लिख सकते हैं।
समरूपता अनुपात का उपयोग करते हुए,$\frac{AC}{DF} = \frac{AB}{DE}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{AC}{9} = \frac{5}{3}$।
$AC = \frac{5}{3} \times 9 = 5 \times 3 = 15$।
अतः,$AC = 15$।

(B) दी गई संगति $PQR \leftrightarrow YZX$ एक समरूपता है,इसलिए संगत कोण बराबर होते हैं।
अतः,$m \angle P = m \angle Y$,$m \angle Q = m \angle Z$,और $m \angle R = m \angle X$।
दिया गया है कि $m \angle X = 120^\circ$,इसलिए $m \angle R = 120^\circ$।
$\Delta PQR$ में,कोणों का योग $m \angle P + m \angle Q + m \angle R = 180^\circ$ होता है।
मान रखने पर: $m \angle P + m \angle Q + 120^\circ = 180^\circ$,जिसका अर्थ है कि $m \angle P + m \angle Q = 60^\circ$।
दिया गया है कि $m \angle P = 2 m \angle Q$,इसलिए समीकरण में मान रखने पर: $2 m \angle Q + m \angle Q = 60^\circ$।
$3 m \angle Q = 60^\circ \implies m \angle Q = 20^\circ$।
अतः,$m \angle P = 2 \times 20^\circ = 40^\circ$।
चूंकि $m \angle Y = m \angle P$,इसलिए $m \angle Y = 40^\circ$।

(C) $\Delta ABC$ में, $P$ और $Q$ क्रमशः $\overline{AB}$ और $\overline{AC}$ के मध्य-बिंदु हैं।
अतः, मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार, $PQ \parallel BC$ और $PQ = \frac{1}{2} BC$ है।
इसका अर्थ है कि $AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\Delta APQ \sim \Delta ABC$ है।
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
अतः, $\frac{\text{Area}(\Delta APQ)}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \left( \frac{AP}{AB} \right)^2$.
चूंकि $P$, $AB$ का मध्य-बिंदु है, इसलिए $\frac{AP}{AB} = \frac{1}{2}$ है।
अतः, $\frac{12 \sqrt{3}}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.
इस प्रकार, $\text{Area}(\Delta ABC) = 12 \sqrt{3} \times 4 = 48 \sqrt{3}$.

(B) समलंब चतुर्भुज $ABCD$ में,$\overline{ AD } \| \overline{ BC }$ और $\overline{ AC } \cap \overline{ BD } = \{ P \}$ है।
चूँकि $\overline{ AD } \| \overline{ BC }$,एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं,अर्थात $\angle PAD = \angle PCB$ और $\angle PDA = \angle PBC$.
इसलिए,$AA$ समरूपता कसौटी द्वारा,$\triangle PAD \sim \triangle PCB$.
चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है:
$\frac{ PA }{ PC } = \frac{ PD }{ PB }$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{5}{ PC } = \frac{9}{7.2}$
$PC = \frac{5 \times 7.2}{9} = \frac{36}{9} = 4$.
अब,$AC = PA + PC = 5 + 4 = 9$.

(C) समलंब चतुर्भुज $ABCD$ में,$\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ और $\overline{AC} \cap \overline{BD} = \{P\}$ है।
चूँकि $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$,एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं,अर्थात $\angle PAB = \angle PCD$ और $\angle PBA = \angle PDC$।
$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\triangle PAB \sim \triangle PCD$ है।
इसलिए,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होगा:
$\frac{PA}{PC} = \frac{PB}{PD}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{10}{15} = \frac{PB}{12}$
$\frac{2}{3} = \frac{PB}{12}$
$PB = \frac{2 \times 12}{3} = 8$
अब,विकर्ण $BD$ की लंबाई है:
$BD = PB + PD = 8 + 12 = 20$.

(C) एक समबाहु त्रिभुज की $3$ भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं और $3$ कोण प्रत्येक $60^{\circ}$ के होते हैं।
मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $A, B$ और $C$ हैं।
त्रिभुज की स्वयं के साथ संगति उसके शीर्षों का एक क्रमचय (permutation) है।
$3$ शीर्षों के कुल क्रमचयों की संख्या $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ है।
ये $6$ संगतियाँ इस प्रकार हैं:
$1. (A \to A, B \to B, C \to C)$
$2. (A \to A, B \to C, C \to B)$
$3. (A \to B, B \to A, C \to C)$
$4. (A \to B, B \to C, C \to A)$
$5. (A \to C, B \to A, C \to B)$
$6. (A \to C, B \to B, C \to A)$
चूँकि सभी भुजाएँ समान हैं और सभी कोण $60^{\circ}$ हैं,शीर्षों का कोई भी क्रमचय एक ऐसी संगति प्रदान करता है जो संगत भुजाओं के अनुपात (सभी अनुपात $1$ हैं) और संगत कोणों की समानता को बनाए रखता है। अतः,सभी $6$ संगतियाँ समरूपता हैं।

(C) दिया गया है कि $ABC \leftrightarrow XYZ$ संगति के लिए $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ है।
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है।
इसलिए,$\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ} = \frac{AC}{XZ}$ होता है।
दिए गए समीकरण $\frac{AB}{4} = \frac{XY}{5}$ से,हम $\frac{AB}{XY}$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित कर सकते हैं।
दोनों पक्षों को $XY$ से विभाजित करने और $4$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{AB}{XY} = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{BC}{YZ} = \frac{AB}{XY}$ है,इसलिए $\frac{BC}{YZ} = \frac{4}{5}$ होगा।

(B) $\Delta ABC$ का परिमाप = $AB + BC + AC = 4 + 8 + 10 = 22$ है।
चूंकि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है,इसलिए उनके परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।
अतः,$\frac{\Delta ABC \text{ का परिमाप}}{\Delta PQR \text{ का परिमाप}} = \frac{AC}{PR}$।
दिए गए मान रखने पर: $\frac{22}{\Delta PQR \text{ का परिमाप}} = \frac{10}{15}$।
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{22}{\Delta PQR \text{ का परिमाप}} = \frac{2}{3}$।
इस प्रकार,$\Delta PQR$ का परिमाप = $\frac{22 \times 3}{2} = 11 \times 3 = 33$ है।

(B) दिया गया है कि संगतता $ABC \leftrightarrow XYZ$ के लिए $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ है।
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ} = \frac{AC}{XZ} = k$
समान अनुपात के गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\frac{AB + BC}{XY + YZ} = \frac{AC}{XZ}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{7}{10.5} = \frac{5}{XZ}$
$XZ = \frac{5 \times 10.5}{7}$
$XZ = \frac{52.5}{7} = 7.5$
अतः,$XZ = 7.5$.

(D) $\Delta ABC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$m \angle B = 180^{\circ} - m \angle A - m \angle C = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 60^{\circ} = 90^{\circ}$।
अब,$\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ की तुलना करने पर:
$m \angle A = 30^{\circ}$ और $m \angle Q = 30^{\circ}$,इसलिए $m \angle A = m \angle Q$।
$m \angle B = 90^{\circ}$ और $m \angle P = 90^{\circ}$,इसलिए $m \angle B = m \angle P$।
$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार,शीर्षों को उनके समान कोणों के क्रम में संगत होना चाहिए।
अतः,संगति $ABC \leftrightarrow QPR$ एक समरूपता है।

(D) दो समरूप त्रिभुजों के लिए,उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
दिया गया है,संगत भुजाओं का अनुपात $= 4:9 = \frac{4}{9}$।
अतः,उनके क्षेत्रफलों का अनुपात $= \left(\frac{4}{9}\right)^2 = \frac{16}{81} = 16:81$ होगा।

(C) $\Delta DEF$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि $m \angle E + m \angle F = 130^{\circ}$ है।
अतः,$m \angle D = 180^{\circ} - (m \angle E + m \angle F) = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$।
चूंकि संगतता $ABC \leftrightarrow FDE$ एक समरूपता है,इसलिए संगत कोण बराबर होते हैं।
यहाँ,$\angle B$ के संगत कोण $\angle D$ है।
इसलिए,$m \angle B = m \angle D = 50^{\circ}$।

(B) दिया गया है कि $\Delta ABC$ के कोणों का अनुपात $m \angle A : m \angle B : m \angle C = 2 : 3 : 5$ है।
माना कोण $2x, 3x,$ और $5x$ हैं।
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $2x + 3x + 5x = 180^{\circ}$।
$10x = 180^{\circ} \implies x = 18^{\circ}$।
अतः,$m \angle A = 2(18^{\circ}) = 36^{\circ}$,$m \angle B = 3(18^{\circ}) = 54^{\circ}$,और $m \angle C = 5(18^{\circ}) = 90^{\circ}$।
संगति $ABC \leftrightarrow QRP$ समरूपता दर्शाती है,इसलिए संगत कोण बराबर होते हैं।
इस प्रकार,$m \angle A = m \angle Q$,$m \angle B = m \angle R$,और $m \angle C = m \angle P$।
चूंकि $m \angle B = 54^{\circ}$ है,इसलिए $m \angle R = 54^{\circ}$ होगा।

(B) दिया गया है कि $XYZ \leftrightarrow ABC$ संगति के लिए $\Delta XYZ \sim \Delta ABC$ है।
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{XY}{AB} = \frac{YZ}{BC} = \frac{XZ}{AC}$.
हमें दिया गया है कि $\frac{XY}{AB} = \frac{3}{5}$.
इसलिए,$\frac{YZ}{BC} = \frac{3}{5}$.
$\frac{BC}{YZ}$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का व्युत्क्रम (reciprocal) लेते हैं:
$\frac{BC}{YZ} = \frac{5}{3}$.

(B) दिया गया है कि $PQR \leftrightarrow XYZ$ संगति के लिए $\Delta PQR \sim \Delta XYZ$ है।
चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है।
दिया गया है $PQ : QR : PR = 3 : 5 : 7$,इसलिए $XY : YZ : XZ = 3 : 5 : 7$ होगा।
मान लीजिए $XY = 3t$,$YZ = 5t$ और $XZ = 7t$,जहाँ $t > 0$ एक स्थिरांक है।
$\Delta XYZ$ का परिमाप $22.5$ दिया गया है।
इसलिए,$XY + YZ + XZ = 22.5$।
$t$ के पदों में मान रखने पर: $3t + 5t + 7t = 22.5$।
$15t = 22.5$।
$t = \frac{22.5}{15} = 1.5$।
अब,$YZ$ का मान ज्ञात करने पर: $YZ = 5t = 5 \times 1.5 = 7.5$।

(B) दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta MNP.$
समरूप त्रिभुजों के लिए,उनके परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।
इसलिए,$\frac{\Delta ABC \text{ का परिमाप}}{\Delta MNP \text{ का परिमाप}} = \frac{AB}{MN}.$
दिया है: $\Delta ABC$ का परिमाप $= 18,$ $\Delta MNP$ का परिमाप $= 27,$ और $AB = 8.$
मान रखने पर: $\frac{18}{27} = \frac{8}{MN}.$
$\frac{18}{27}$ को सरल करने पर $\frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{2}{3} = \frac{8}{MN}.$
$2 \times MN = 8 \times 3.$
$2 \times MN = 24.$
$MN = \frac{24}{2} = 12.$
इस प्रकार,$MN = 12.$

(B) दिया गया है कि $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में,$m \angle A = m \angle R$ और $m \angle B = m \angle Q$ है।
कोण-कोण $(AA)$ समरूपता कसौटी के अनुसार,यदि एक त्रिभुज के दो कोण दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हों,तो वे दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।
संगति में समान कोणों का क्रम मेल खाना चाहिए।
चूंकि $\angle A = \angle R$,$\angle B = \angle Q$ है,और त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार,$\angle C = \angle P$ होगा।
अतः,संगति $ABC \leftrightarrow RQP$ एक समरूपता है।

(C) दिया गया है कि संगतता $XYZ \leftrightarrow DEF$ के लिए $\Delta XYZ \sim \Delta DEF$ है।
इसका अर्थ है कि संगत कोण बराबर हैं: $\angle X = \angle D$,$\angle Y = \angle E$,और $\angle Z = \angle F$।
$\Delta XYZ$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$m \angle X + m \angle Y + m \angle Z = 180^{\circ}$।
दिए गए मान रखने पर: $50^{\circ} + 75^{\circ} + m \angle Z = 180^{\circ}$।
$125^{\circ} + m \angle Z = 180^{\circ}$।
$m \angle Z = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}$।
चूंकि $\angle Z = \angle F$,इसलिए $m \angle F = 55^{\circ}$।

(B) दिया गया है कि $ABC \leftrightarrow XYZ$ संगति के लिए $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है।
अतः,$\frac{AB}{XY} = \frac{AC}{XZ}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{4}{5} = \frac{6}{XZ}$.
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर,हमें $4 \times XZ = 5 \times 6$ प्राप्त होता है।
$4 \times XZ = 30$.
$XZ = \frac{30}{4} = 7.5$.

(D) दी गई समरूपता संगति $\Delta DEF \sim \Delta QPR$ के अनुसार,संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है।
अतः,$\frac{DE}{QP} = \frac{DF}{QR}$.
दिए गए समीकरण $2 DE = 3 PQ$ से,हमें $\frac{DE}{PQ} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को अनुपात में रखने पर: $\frac{3}{2} = \frac{DF}{8}$.
$DF$ का मान ज्ञात करने पर: $DF = \frac{3 \times 8}{2} = 12$.

(C) $XYZ \leftrightarrow EFD$ संगति यह दर्शाती है कि त्रिभुज समरूप हैं।
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल के प्रमेय के अनुसार,दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
$\therefore \frac{\text{Area}(\Delta XYZ)}{\text{Area}(\Delta DEF)} = \left(\frac{XY}{EF}\right)^2$
यहाँ $\text{Area}(\Delta XYZ) = 18$ और $\frac{XY}{EF} = \frac{2}{3}$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{18}{\text{Area}(\Delta DEF)} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$
$\frac{18}{\text{Area}(\Delta DEF)} = \frac{4}{9}$
$\text{Area}(\Delta DEF) = \frac{18 \times 9}{4}$
$\text{Area}(\Delta DEF) = \frac{162}{4} = 40.5$

(B) दिया गया है कि संगति $ABC \leftrightarrow QPR$ के अंतर्गत $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है।
इसका अर्थ है कि $\angle A = \angle Q,$ $\angle B = \angle P,$ और $\angle C = \angle R$ है।
हमें अनुपात $m \angle P : m \angle Q : m \angle R = 2 : 3 : 4$ दिया गया है।
संगत कोणों को प्रतिस्थापित करने पर:
$m \angle B : m \angle A : m \angle C = 2 : 3 : 4$ प्राप्त होता है।
$m \angle A : m \angle B : m \angle C$ के क्रम में व्यवस्थित करने पर,हमें $3 : 2 : 4$ प्राप्त होता है।
अतः,सही अनुपात $3 : 2 : 4$ है।

(D) दो त्रिभुजों $\Delta DEF$ और $\Delta PQR$ के समरूप होने के लिए,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होना चाहिए और उन भुजाओं के बीच का कोण बराबर होना चाहिए।
दिया गया है कि $m \angle D = m \angle R$,$\angle D$ बनाने वाली भुजाएँ $DE$ और $DF$ हैं,और $\angle R$ बनाने वाली भुजाएँ $RQ$ और $RP$ हैं।
$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार,त्रिभुज समरूप होंगे यदि $\frac{DE}{RQ} = \frac{DF}{RP}$ हो।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{DE}{PR} = \frac{DF}{RQ}$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $D$ से मेल खाता है।

(A) दिए गए दो त्रिभुजों की भुजाओं का अनुपात: $\frac{XY}{MN} = \frac{XZ}{NO} = \frac{YZ}{MO}$ है।
$SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार,यदि दो त्रिभुजों की भुजाएँ समानुपाती हैं,तो त्रिभुज समरूप होते हैं।
अनुपातों का अवलोकन करने पर:
$XY$ के संगत $MN$ है।
$XZ$ के संगत $NO$ है।
$YZ$ के संगत $MO$ है।
इसलिए,शीर्षों को उसी क्रम में संगत होना चाहिए: $X \leftrightarrow M$,$Y \leftrightarrow N$,और $Z \leftrightarrow O$।
अतः,संगति $\Delta XYZ \sim \Delta MNO$ है।

(D) दिया गया है कि संगतता $ABC \leftrightarrow PQR$ के लिए $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है।
समरूप त्रिभुजों के लिए,उनके परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।
$\therefore \frac{\Delta ABC \text{ का परिमाप}}{\Delta PQR \text{ का परिमाप}} = \frac{AC}{PR}$
यहाँ,$\Delta ABC$ का परिमाप $= 35$,$\Delta PQR$ का परिमाप $= 28$,और $PR = 4\sqrt{10}$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\frac{35}{28} = \frac{AC}{4\sqrt{10}}$
भिन्न $\frac{35}{28}$ को $7$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{5}{4}$ प्राप्त होता है।
$\frac{5}{4} = \frac{AC}{4\sqrt{10}}$
$AC = \frac{5}{4} \times 4\sqrt{10}$
$AC = 5\sqrt{10}$

(D) $\Delta ABC$ और $\Delta XYZ$ में,हमें $m\angle A = m\angle X$ और $m\angle B = m\angle Y$ दिया गया है।
$AA$ (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AB}{XY} = \frac{AC}{XZ} = \frac{BC}{YZ}$.
दिया गया है कि $\frac{AB}{XY} = \frac{2}{3}$ और $AC = 7.2$,इसलिए:
$\frac{2}{3} = \frac{7.2}{XZ}$.
$XZ$ का मान ज्ञात करने के लिए वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$2 \times XZ = 7.2 \times 3$.
$2 \times XZ = 21.6$.
$XZ = \frac{21.6}{2} = 10.8$.

(D) दिया गया है कि संगतता $ABC \leftrightarrow QPR$ एक समरूपता है।
साथ ही,संगतता $PQR \leftrightarrow YZX$ एक समरूपता है।
समरूपता के सममितता गुणधर्म के अनुसार,यदि $PQR \leftrightarrow YZX$ एक समरूपता है,तो $QPR \leftrightarrow ZYX$ भी एक समरूपता होगी।
अब,हमारे पास $ABC \leftrightarrow QPR$ और $QPR \leftrightarrow ZYX$ है।
समरूपता के संक्रामकता गुणधर्म के अनुसार,संगतता $ABC \leftrightarrow ZYX$ एक समरूपता है।

(D) मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर और उसकी लंबाई का आधा होता है।
अतः,$PQ = \frac{1}{2} AC$,$QR = \frac{1}{2} AB$,और $RP = \frac{1}{2} BC$ है।
$1$. $\Delta PQR$ और $\Delta ABC$ की भुजाओं का अनुपात $1:2$ है। इसलिए,$\Delta PQR$ का परिमाप $= \frac{1}{2} \times \Delta ABC$ का परिमाप होता है। (कथन $C$ सत्य है)।
$2$. मध्य-बिंदुओं को जोड़ने से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का $\frac{1}{4}$ होता है। इसलिए,$\Delta PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \times \Delta ABC$ का क्षेत्रफल होता है। (कथन $A$ सत्य है,कथन $D$ असत्य है)।
$3$. चूंकि भुजाएं समानुपाती हैं,$\Delta PQR \sim \Delta CBA$ है। संगति $ABC \leftrightarrow QRP$ यह दर्शाती है कि $\frac{AB}{QR} = \frac{BC}{RP} = \frac{AC}{PQ} = 2$,जो एक समरूपता है। (कथन $B$ सत्य है)।
अतः,जो कथन सत्य नहीं है वह $D$ है।

(A) त्रिभुजों की भुजा-भुजा-भुजा $(SSS)$ समरूपता कसौटी के अनुसार,संगत भुजाओं का अनुपात समान होना चाहिए।
हमें दिया गया है कि $\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{PR} = \frac{CA}{QR}$ है।
अनुपातों में शीर्षों का अवलोकन करने पर:
- भुजा $AB$,भुजा $PQ$ के संगत है।
- भुजा $BC$,भुजा $PR$ के संगत है।
- भुजा $CA$,भुजा $QR$ के संगत है।
अतः शीर्षों के मिलान के अनुसार: $A$ का संगत $P$ है,$B$ का संगत $Q$ है,और $C$ का संगत $R$ है।
इसलिए,संगति $ABC \leftrightarrow PQR$ है।

(C) दिया गया है कि $\Delta ABC$ और $\Delta DEF$ में,$\frac{AB}{DF} = \frac{BC}{EF}$ और $\angle B = \angle F$ है।
$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार,यदि एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो और इन कोणों को अंतर्गत करने वाली भुजाएँ समानुपाती हों,तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।
यहाँ,भुजाएँ $AB$ और $BC$ कोण $\angle B$ को अंतर्गत करती हैं,और भुजाएँ $DF$ और $EF$ कोण $\angle F$ को अंतर्गत करती हैं।
चूँकि भुजाओं का अनुपात समान है और अंतर्गत कोण सर्वांगसम हैं,इसलिए $SAS$ शर्त के अनुसार संगति $ABC \leftrightarrow DFE$ एक समरूपता है।

(B) दो त्रिभुजों की समरूपता के लिए मानदंड $AAA$ (कोण-कोण-कोण),$AA$ (कोण-कोण),$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) और $SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) हैं।
$ASA$ (कोण-भुजा-कोण) त्रिभुजों की सर्वांगसमता के लिए एक मानदंड है,न कि उनकी समरूपता के लिए।
इसलिए,$ASA$ दो त्रिभुजों की समरूपता के लिए एक शर्त नहीं है।

(B) $1.$ $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में,यदि $\angle A = \angle P$ और $\angle C = \angle Q$ है,तो $AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta ABC \sim \Delta PRQ$ होगा। अतः,$(1-d)$.
$2.$ $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में,यदि $\frac{AB}{QR} = \frac{BC}{PQ}$ और $\angle B = \angle Q$ है,तो $SAS$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta ABC \sim \Delta RQP$ होगा। अतः,$(2-a)$.
$3.$ $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में,यदि $\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{PR} = \frac{CA}{QR}$ है,तो $SSS$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta ABC \sim \Delta PQR$ होगा। अतः,$(3-c)$.
$4.$ $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में,यदि $\frac{AB}{PQ} = \frac{CA}{PR}$ और $\angle A = \angle P$ है,तो $SAS$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta ABC \sim \Delta QPR$ होगा। अतः,$(4-b)$.
इस प्रकार,सही मिलान $(1-d), (2-a), (3-c), (4-b)$ है।

$(A)$ सही मिलान निर्धारित करने के लिए, हम त्रिभुजों की समरूपता की शर्तों का विश्लेषण करते हैं:
$1.$ दिया गया है कि $\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ}$ और $\angle B \cong \angle Y$। यह $SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता की शर्त को पूरा करता है। अतः, $1-b$।
$2.$ दिया गया है कि $\angle A \cong \angle X, \angle B \cong \angle Y$, और $\angle C \cong \angle Z$। यह $AAA$ (कोण-कोण-कोण) समरूपता की शर्त को पूरा करता है। अतः, $2-c$।
$3.$ दिया गया है कि $\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ} = \frac{CA}{ZX}$। यह $SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) समरूपता की शर्त को पूरा करता है। चूंकि भाग $II$ में $SSS$ विकल्प के रूप में नहीं दिया गया है, इसलिए यह $d$ (कोई भी शर्त लागू नहीं होती) के साथ मेल खाता है।
अतः, सही मिलान $1-b, 2-c, 3-d$ है।

(C) $\Delta ABC$ और $\Delta ADB$ में:
$1$. $m \angle ABC = m \angle ADB = 90^{\circ}$ (दिया गया है)।
$2$. $m \angle BAC = m \angle DAB$ (उभयनिष्ठ कोण)।
$AA$ (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,त्रिभुज समरूप हैं।
अतः,संगति $ABC \leftrightarrow ADB$ एक समरूपता है।

(A) $\Delta ABC$ में,$m\angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BM}$ कर्ण $AC$ पर एक शीर्षलंब है।
समकोण त्रिभुज के लिए ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) के अनुसार,कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज और एक-दूसरे के समरूप होते हैं।
अतः,$BM^2 = AM \cdot CM$ होता है।
यहाँ $AC = 13$ और $CM = 9$ दिया गया है,इसलिए $AM = AC - CM = 13 - 9 = 4$ होगा।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $BM^2 = 4 \cdot 9 = 36$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$BM = \sqrt{36} = 6$।

(B) $\Delta ABC$ में,$m \angle B = 90^{\circ}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.
अतः,$AC = \sqrt{100} = 10$.
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल दो तरीकों से निकाला जा सकता है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times AB \times BC$ या $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times AC \times BM$.
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $\frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times AC \times BM$.
$AB \times BC = AC \times BM$.
$8 \times 6 = 10 \times BM$.
$48 = 10 \times BM$.
$BM = \frac{48}{10} = 4.8$.