Criteria for Similarity of Triangles Questions in Hindi

(D) दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात के प्रमेय के अनुसार,यदि $\Delta ABC \sim \Delta XZY$ है,तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
विशेष रूप से,$\frac{\text{Area}(\Delta ABC)}{\text{Area}(\Delta XZY)} = \frac{AB^2}{XZ^2} = \frac{BC^2}{ZY^2} = \frac{AC^2}{XY^2}$.
संगति $ABC \leftrightarrow XZY$ के अनुसार,भुजा $BC$ भुजा $ZY$ (या $YZ$) के संगत है।
इसलिए,क्षेत्रफलों का अनुपात $BC^2 : YZ^2$ होगा।
अतः,लुप्त पद $YZ^2$ है।

(A) दिया गया है कि $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में,$\angle A = \angle P$ और $\angle B = \angle R$ है।
कोण-कोण $(AA)$ समरूपता कसौटी के अनुसार,यदि एक त्रिभुज के दो कोण दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हों,तो वे दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।
चूंकि $\angle A$ कोण $\angle P$ के संगत है और $\angle B$ कोण $\angle R$ के संगत है,इसलिए तीसरा कोण $\angle C$ कोण $\angle Q$ के संगत होगा (क्योंकि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है)।
अतः,संगति $ABC \leftrightarrow PRQ$ समरूपता $\Delta ABC \sim \Delta PRQ$ को दर्शाती है।

(C) दिया गया है कि संगतता $ABC \leftrightarrow RPQ$ के अंतर्गत $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है। इसका अर्थ है कि $\angle A = \angle R$,$\angle B = \angle P$,और $\angle C = \angle Q$ है।
$\Delta ABC$ में,कोणों का योग $m \angle A + m \angle B + m \angle C = 180^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि $m \angle A + m \angle C = m \angle B$,इसलिए इस मान को योग समीकरण में रखने पर: $m \angle B + m \angle B = 180^{\circ}$,जो $2(m \angle B) = 180^{\circ}$ देता है,अतः $m \angle B = 90^{\circ}$ है।
संगतता के अनुसार $\angle B = \angle P$ होने के कारण,$m \angle P = 90^{\circ}$ होगा।
अतः,$\angle P$ एक समकोण है।

(D) दिया गया है कि $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में,$\angle A = \angle R$ और $\angle B = \angle P$ है।
$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta ABC \sim \Delta R P Q$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AB}{RP} = \frac{BC}{PQ} = \frac{AC}{RQ}$.
हमें $AB = 6$,$BC = 8$ और $PR = 9$ दिया गया है।
अनुपात $\frac{AB}{RP} = \frac{BC}{PQ}$ में मान रखने पर:
$\frac{6}{9} = \frac{8}{PQ}$.
$\frac{6}{9}$ को सरल करने पर $\frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{2}{3} = \frac{8}{PQ}$.
$2 \times PQ = 8 \times 3$.
$2 \times PQ = 24$.
$PQ = \frac{24}{2} = 12$.
इसलिए,$PQ = 12$.

(A) दिया गया है कि $\angle A \cong \angle E$,इसलिए $m \angle A = m \angle E$ है।
समीकरण $m \angle A + m \angle B = m \angle D + m \angle E$ दिया गया है।
समीकरण में $m \angle A = m \angle E$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $m \angle E + m \angle B = m \angle D + m \angle E$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $m \angle E$ घटाने पर,हमें $m \angle B = m \angle D$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\Delta ABC$ के दो कोण $\Delta DEF$ के दो कोणों के सर्वांगसम हैं (विशेष रूप से $\angle A \cong \angle E$ और $\angle B \cong \angle D$),$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार,त्रिभुज समरूप हैं।
संगति को सर्वांगसम कोणों के अनुरूप होना चाहिए: $A, E$ के संगत है,$B, D$ के संगत है,और इसलिए $C, F$ के संगत होना चाहिए।
अतः,संगति $ABC \leftrightarrow EDF$ है।

(D) दिए गए त्रिभुजों की भुजाओं का अनुपात: $\frac{AB}{XZ} = \frac{BC}{XY} = \frac{AC}{YZ}$ है।
$SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार,यदि दो त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समान अनुपात में हों,तो वे त्रिभुज समरूप होते हैं।
अनुपातों को देखने पर:
$AB$ के संगत $XZ$ है।
$BC$ के संगत $XY$ है।
$AC$ के संगत $YZ$ है।
अतः,$\Delta ABC$ के शीर्ष $A, B, C$ क्रमशः $\Delta XYZ$ के शीर्ष $X, Z, Y$ के संगत हैं।
इस प्रकार,संगति $\Delta ABC \sim \Delta XZY$ है।

(A) दिया गया है कि $\square ABCD$ एक चतुर्भुज है जहाँ $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ है।
चूँकि $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$,एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं,अर्थात $\angle MAB = \angle MCD$ और $\angle MBA = \angle MDC$।
$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\triangle MAB \sim \triangle MCD$ है।
समरूप त्रिभुजों के लिए,संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है: $\frac{MA}{MC} = \frac{MB}{MD}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{6}{8} = \frac{9}{MD}$।
वज्र गुणन करने पर: $6 \times MD = 8 \times 9$।
$6 \times MD = 72$।
$MD = \frac{72}{6} = 12$।

(B) एक समकोण त्रिभुज में,समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
समकोण त्रिभुज में गुणोत्तर माध्य (geometric mean) के गुणधर्म के अनुसार,कर्ण $AC$ पर शीर्षलंब $BD$ निम्नलिखित संबंध को संतुष्ट करता है:
$BD^2 = AD \times CD$
यहाँ $AD = 9$ और $CD = 4$ दिया गया है,इसलिए:
$BD^2 = 9 \times 4$
$BD^2 = 36$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$BD = \sqrt{36} = 6$
अतः,$BD$ की लंबाई $6$ है।

(N/A) दिया है: $\Delta PQR$ में,$m \angle Q = 90^{\circ}$,$\overline{QD}$ कर्ण $PR$ पर एक शीर्षलंब है और $PD = 9RD$ है।
सिद्ध करना है: $PQ = 3QR$ है।
उपपत्ति: $\Delta PQR$ में,चूँकि $m \angle Q = 90^{\circ}$ और $\overline{QD} \perp \overline{PR}$ है,समकोण त्रिभुज में कर्ण पर डाले गए शीर्षलंब के गुणधर्म के अनुसार:
$PQ^2 = PD \times PR$ और $QR^2 = RD \times PR$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{PQ^2}{QR^2} = \frac{PD \times PR}{RD \times PR} = \frac{PD}{RD}$ प्राप्त होता है।
$PD = 9RD$ का मान रखने पर:
$\frac{PQ^2}{QR^2} = \frac{9RD}{RD} = 9$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{PQ}{QR} = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$PQ = 3QR$ सिद्ध होता है।

(A) $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ है।
ज्यामितीय माध्य प्रमेय (या समरूप त्रिभुज $\Delta AMB \sim \Delta BMC$ के गुणों) के अनुसार,$BM^2 = AM \cdot MC$ होता है।
दिया गया है कि $AM = 12$ और $BM = 12$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$12^2 = 12 \cdot MC$
$144 = 12 \cdot MC$
$MC = \frac{144}{12} = 12$।
चूंकि $AC = AM + MC$,इसलिए:
$AC = 12 + 12 = 24$।

(D) $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ है।
ज्यामितीय माध्य प्रमेय (या समरूप त्रिभुजों के गुणों) के अनुसार,एक समकोण त्रिभुज में कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब मूल त्रिभुज के समरूप दो त्रिभुज बनाता है।
विशेष रूप से,$\Delta ABM \sim \Delta ACB$ होता है।
समकोण त्रिभुज में शीर्षलंब के गुण से: $AB^2 = AM \cdot AC$।
दिया गया है $AB = 2\sqrt{10}$,इसलिए $AB^2 = (2\sqrt{10})^2 = 4 \cdot 10 = 40$।
$AM = 5$ दिया गया है,मान रखने पर: $40 = 5 \cdot AC$।
$AC$ के लिए हल करने पर: $AC = 40 / 5 = 8$।
चूंकि $AC = AM + CM$,इसलिए $8 = 5 + CM$।
अतः,$CM = 8 - 5 = 3$।

(A) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं और आपस में भी समरूप होते हैं।
ज्यामितीय माध्य प्रमेय के अनुसार,$BM^2 = AM \cdot CM$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $BM^2 = (2x^2)(8x^2) = 16x^4$।
वर्गमूल लेने पर: $BM = 4x^2$।
$\Delta ABM$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $AB^2 = AM^2 + BM^2 = (2x^2)^2 + (4x^2)^2 = 4x^4 + 16x^4 = 20x^4$।
अतः,$AB = \sqrt{20x^4} = 2\sqrt{5}x^2$।
$\Delta BCM$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $BC^2 = CM^2 + BM^2 = (8x^2)^2 + (4x^2)^2 = 64x^4 + 16x^4 = 80x^4$।
अतः,$BC = \sqrt{80x^4} = 4\sqrt{5}x^2$।

(C) एक समकोण त्रिभुज $\Delta PQR$ में जहाँ $\angle Q = 90^{\circ}$ है, $\overline{QM}$ कर्ण $PR$ पर शीर्षलंब है।
समकोण त्रिभुज के लिए ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) के अनुसार, कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
विशेष रूप से, $\Delta QMR \sim \Delta PMQ$.
समरूपता $\Delta QMR \sim \Delta PMQ$ से, हमें संगत भुजाओं का अनुपात मिलता है: $\frac{QM}{RM} = \frac{PM}{QM}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{14}{7} = \frac{PM}{14}$.
$PM = \frac{14 \times 14}{7} = 2 \times 14 = 28$.
अब, समकोण त्रिभुज $\Delta PMQ$ में, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $PQ^2 = PM^2 + QM^2$.
$PQ^2 = 28^2 + 14^2$.
$PQ^2 = 784 + 196 = 980$.
$PQ = \sqrt{980} = \sqrt{196 \times 5} = 14 \sqrt{5}$.

(A) एक समकोण त्रिभुज $\Delta XYZ$ में जहाँ $\angle Y = 90^{\circ}$ है,$\overline{YM}$ कर्ण $\overline{XZ}$ पर शीर्षलंब है।
समकोण त्रिभुज के लिए ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) के अनुसार,कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
विशेष रूप से,$YM^2 = XM \cdot MZ$ होता है।
यहाँ $YM = 12$ और $XM = 8$ दिया गया है,इसलिए:
$12^2 = 8 \cdot MZ$
$144 = 8 \cdot MZ$
$MZ = 144 / 8 = 18$.
कर्ण $XZ$ की लंबाई $XM$ और $MZ$ के योग के बराबर होती है:
$XZ = XM + MZ = 8 + 18 = 26$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
शीर्षलंब के लिए ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) के अनुसार: $BM^2 = AM \cdot CM$.
दिए गए मानों को रखने पर: $BM^2 = 4 \cdot 5 = 20$.
अतः,$BM = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$\Delta ABM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AB^2 = AM^2 + BM^2$.
$AB^2 = 4^2 + (2\sqrt{5})^2 = 16 + 20 = 36$.
अतः,$AB = \sqrt{36} = 6$.

(C) एक समकोण त्रिभुज में,समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं और आपस में भी समरूप होते हैं।
ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) के अनुसार,कर्ण $\overline{AC}$ पर शीर्षलंब $\overline{BM}$ निम्नलिखित संबंध को संतुष्ट करता है: $BM^2 = AM \times CM$.
दिया गया है कि $AM = 12$ और $CM = 3$ है।
मान रखने पर: $BM^2 = 12 \times 3 = 36$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $BM = \sqrt{36} = 6$.

(A) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब मूल त्रिभुज के समरूप दो त्रिभुज बनाता है। ज्यामितीय माध्य प्रमेय के अनुसार,$BM^2 = AM \cdot CM$ होता है।
यहाँ $AM = 4$ और $CM = 12$ दिया गया है,इसलिए $BM^2 = 4 \cdot 12 = 48$,जिसका अर्थ है $BM = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$।
$\Delta ABM$ में,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,$AB^2 = AM^2 + BM^2 = 4^2 + (4\sqrt{3})^2 = 16 + 48 = 64$। अतः,$AB = \sqrt{64} = 8$।
$\Delta CBM$ में,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,$BC^2 = CM^2 + BM^2 = 12^2 + (4\sqrt{3})^2 = 144 + 48 = 192$। अतः,$BC = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$।

(D) समकोण त्रिभुज $\Delta PQR$ में जहाँ $\angle Q = 90^{\circ}$ है,$\overline{QM}$ कर्ण $\overline{PR}$ पर शीर्षलंब है।
ज्यामितीय माध्य प्रमेय (या समरूप त्रिभुजों के गुणों) के अनुसार,$QM^2 = PM \cdot MR$ होता है।
माना $PM = x$ है। चूँकि $PR = 10$ है,इसलिए $MR = 10 - x$ होगा।
दिया गया है $QM = 4$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$4^2 = x(10 - x)$
$16 = 10x - x^2$
$x^2 - 10x + 16 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x - 2)(x - 8) = 0$
अतः,$x = 2$ या $x = 8$ है।
इसलिए,$PM$ का मान $2$ या $8$ हो सकता है।

(C) एक समकोण त्रिभुज में,यदि समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर शीर्षलंब खींचा जाता है,तो शीर्षलंब के दोनों ओर बने त्रिभुज मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
विशेष रूप से,$\Delta RMQ \sim \Delta RQP$.
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार,संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{RM}{RQ} = \frac{RQ}{RP}$.
यहाँ $QR = 9$ और $PR = 13.5$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\frac{RM}{9} = \frac{9}{13.5}$.
$RM = \frac{9 \times 9}{13.5}$.
$RM = \frac{81}{13.5}$.
$RM = 6$.

(B) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
यहाँ,$\angle B = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\overline{BE}$ कर्ण $\overline{AC}$ पर माध्यिका है।
अतः,$BE = \frac{1}{2} AC$.
दिया गया है $BE = 8.5$,इसलिए $8.5 = \frac{1}{2} AC$,जिसका अर्थ है $AC = 17$.
$\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 + BC^2 = AC^2$.
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $15^2 + BC^2 = 17^2$.
$225 + BC^2 = 289$.
$BC^2 = 289 - 225 = 64$.
$BC = \sqrt{64} = 8$.

(C) माना कि समद्विबाहु समकोण त्रिभुज की दो समान भुजाएँ $x$ हैं।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, $x^2 + x^2 = (\text{कर्ण})^2$.
यहाँ कर्ण $24$ दिया गया है, इसलिए $2x^2 = 24^2$.
$2x^2 = 576$.
$x^2 = 288$.
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ, आधार $= x$ और ऊँचाई $= x$ है, इसलिए क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times x \times x = \frac{1}{2}x^2$.
$x^2$ का मान रखने पर, क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 288 = 144$.

(C) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
सबसे पहले,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण $PR$ की लंबाई ज्ञात करें: $PR^2 = PQ^2 + QR^2$.
$PR^2 = 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$.
$PR = \sqrt{841} = 29$.
चूंकि $\overline{QM}$ कर्ण $PR$ पर माध्यिका है,इसलिए इसकी लंबाई $QM = \frac{1}{2} \times PR$ होगी।
$QM = \frac{29}{2} = 14.5$.

(A) $\Delta GBS$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ और $BM \perp GS$ है।
समकोण त्रिभुज में कर्ण पर शीर्षलंब खींचे जाने पर बनने वाले त्रिभुज मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
अतः,$\Delta GMB \sim \Delta GBS$ और $\Delta BMS \sim \Delta GBS$ है।
$\Delta GMB \sim \Delta GBS$ से,$\frac{GB}{GS} = \frac{GM}{GB}$,जिसका अर्थ है $GB^{2} = GM \cdot GS$ (समीकरण $1$)।
$\Delta BMS \sim \Delta GBS$ से,$\frac{BS}{GS} = \frac{SM}{BS}$,जिसका अर्थ है $BS^{2} = SM \cdot GS$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ को समीकरण $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{GB^{2}}{BS^{2}} = \frac{GM \cdot GS}{SM \cdot GS} = \frac{GM}{SM}$।
अतः,यह सिद्ध हुआ।

(N/A) $1$. $\Delta PQR$ में,$\angle Q = 90^{\circ}$ और $\overline{QD} \perp \overline{PR}$ है।
$2$. समकोण त्रिभुज में समरूपता के गुणधर्म के अनुसार,$\Delta PDQ \sim \Delta PQR$ और $\Delta RDQ \sim \Delta RQP$ होता है।
$3$. समकोण त्रिभुज में कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के और आपस में समरूप होते हैं।
$4$. अतः,$\Delta PDQ \sim \Delta QDR$ है।
$5$. समरूपता $\Delta PDQ \sim \Delta QDR$ से,संगत भुजाओं का अनुपात: $\frac{PD}{QD} = \frac{QD}{RD} = \frac{PQ}{QR}$ है।
$6$. हमें दिया गया है कि $PQ = 3QR$,जिसका अर्थ है कि $\frac{PQ}{QR} = 3$ है।
$7$. $\frac{PD}{QD} = \frac{PQ}{QR}$ से,हमें $PD = 3QD$ प्राप्त होता है।
$8$. $\frac{QD}{RD} = \frac{PQ}{QR}$ से,हमें $QD = 3RD$ प्राप्त होता है।
$9$. $PD = 3QD$ में $QD = 3RD$ का मान रखने पर,$PD = 3(3RD) = 9RD$ प्राप्त होता है।
$10$. अतः,$PD = 9RD$ सिद्ध होता है।

(N/A) $\Delta XYZ$ में,$\angle Y = 90^{\circ}$ और $\overline{YM} \perp \overline{XZ}$ है।
ज्यामितीय माध्य प्रमेय (Geometric Mean Theorem) के अनुसार,एक समकोण त्रिभुज में कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब दो ऐसे त्रिभुज बनाता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
विशेष रूप से,$\Delta XMY \sim \Delta YMZ$ है।
समरूपता $\Delta XMY \sim \Delta YMZ$ से,हमें संगत भुजाओं का अनुपात मिलता है:
$\frac{XY}{YZ} = \frac{XM}{YM} = \frac{YM}{ZM}$.
समकोण त्रिभुज में शीर्षलंब के गुण का उपयोग करते हुए:
$XY^2 = XM \cdot XZ$ और $YZ^2 = ZM \cdot XZ$ है।
इन दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{XY^2}{YZ^2} = \frac{XM \cdot XZ}{ZM \cdot XZ} = \frac{XM}{ZM}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $XM = 16ZM$,इसलिए:
$\frac{XY^2}{YZ^2} = \frac{16ZM}{ZM} = 16$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{XY}{YZ} = \sqrt{16} = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$XY = 4YZ$ सिद्ध होता है।

(N/A) $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^\circ$ और $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ है।
समकोण त्रिभुज में ज्यामितीय माध्य के गुणधर्म के अनुसार,$\Delta AMB \sim \Delta BMC$ होता है।
इसलिए,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है: $\frac{AB}{BC} = \frac{AM}{BM} = \frac{BM}{CM}$।
$\frac{AB}{BC} = \frac{BM}{CM}$ से,हमें $BM = \frac{AB \cdot CM}{BC}$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$\Delta AMB \sim \Delta ABC$ से,हमारे पास $\frac{AB}{AC} = \frac{AM}{AB}$ है,जिसका अर्थ है $AB^2 = AM \cdot AC$।
इसी प्रकार,$\Delta BMC \sim \Delta ABC$ से,हमारे पास $\frac{BC}{AC} = \frac{CM}{BC}$ है,जिसका अर्थ है $BC^2 = CM \cdot AC$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AM \cdot AC}{CM \cdot AC} = \frac{AM}{CM}$।
दिया गया है कि $AM = 4CM$,इसलिए इस मान को अनुपात में रखने पर: $\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{4CM}{CM} = 4$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{AB}{BC} = \sqrt{4} = 2$।
अतः,$AB = 2BC$ सिद्ध होता है।

(D) $\Delta ABC$ में,हमें $m \angle B = 90^{\circ}$ और $m \angle C = 30^{\circ}$ दिया गया है।
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $m \angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$।
एक $30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ त्रिभुज में,$30^{\circ}$ के सम्मुख भुजा कर्ण की आधी होती है।
यहाँ,$AB$ कोण $C$ $(30^{\circ})$ के सम्मुख है,इसलिए $AB = \frac{1}{2} AC$।
$AB = 5$ दिया गया है,इसलिए $5 = \frac{1}{2} AC$,जिसका अर्थ है $AC = 10$।
समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
इसलिए,$BD = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 10 = 5$।

(A) एक समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $\angle B = 90^\circ$ है,यदि $\overline{BM}$ कर्ण $AC$ पर शीर्षलंब है,तो ज्यामितीय माध्य प्रमेय (Geometric Mean Theorem) (या समरूप त्रिभुजों $\Delta BMC \sim \Delta BCA$ के गुणों) के अनुसार,हमारे पास संबंध है: $BC^2 = CM \cdot AC$.
यहाँ $BC = 2x + 2$,$CM = x + 1$ और $AC = 5x$ दिया गया है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $(2x + 2)^2 = (x + 1)(5x)$.
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $(2(x + 1))^2 = 4(x + 1)^2 = 4(x^2 + 2x + 1)$.
अतः,$4(x^2 + 2x + 1) = 5x^2 + 5x$.
$4x^2 + 8x + 4 = 5x^2 + 5x$.
पदों को व्यवस्थित करके द्विघात समीकरण बनाने पर: $x^2 - 3x - 4 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 4)(x + 1) = 0$.
इससे $x = 4$ या $x = -1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x$ लंबाई का एक भाग दर्शाता है और $BC, CM, AC$ धनात्मक होने चाहिए,इसलिए हम $x = -1$ को छोड़ देते हैं।
अतः,$x = 4$।

(A) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
शीर्षलंब के लिए ज्यामितीय माध्य प्रमेय के अनुसार: $BM^2 = AM \cdot CM$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $BM^2 = 4 \cdot 5 = 20$.
अतः,$BM = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$\Delta ABM$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $AB^2 = AM^2 + BM^2 = 4^2 + (2\sqrt{5})^2 = 16 + 20 = 36$.
अतः,$AB = \sqrt{36} = 6$.
$\Delta CBM$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $BC^2 = CM^2 + BM^2 = 5^2 + (2\sqrt{5})^2 = 25 + 20 = 45$.
अतः,$BC = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.

(A) $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ और $BE \perp AC$ है।
समकोण त्रिभुज में कर्ण पर शीर्षलंब खींचे जाने पर,शीर्षलंब के दोनों ओर के त्रिभुज मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं और आपस में भी समरूप होते हैं।
$1$. $\Delta ABE \sim \Delta ABC$ ($AA$ समरूपता द्वारा)।
अतः,$\frac{AB}{AC} = \frac{AE}{AB}$,जिसका अर्थ है $AB^2 = AE \cdot AC$ --- $(1)$।
$2$. $\Delta CBE \sim \Delta ABC$ ($AA$ समरूपता द्वारा)।
अतः,$\frac{BC}{AC} = \frac{CE}{BC}$,जिसका अर्थ है $BC^2 = CE \cdot AC$ --- $(2)$।
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AE \cdot AC}{CE \cdot AC}$।
अंश और हर से $AC$ को काटने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AE}{CE}$।
इति सिद्धम्।

(N/A) $\Delta PQR$ में,$\angle Q = 90^{\circ}$ और $QD \perp PR$ है।
समकोण त्रिभुज में ज्यामितीय माध्य (geometric mean) के गुणधर्म के अनुसार,$\Delta PDQ \sim \Delta QDR$ होता है।
त्रिभुजों की समरूपता से,संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है: $\frac{PQ}{QR} = \frac{PD}{QD} = \frac{QD}{DR}$।
$\frac{PQ}{QR} = \frac{QD}{DR}$ से,हमें प्राप्त होता है $PQ^2 = QR^2 \cdot \frac{PD}{DR}$।
दिया गया है कि $PD = 25 DR$,इसलिए $\frac{PD}{DR} = 25$।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,$PQ^2 = QR^2 \cdot 25$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$PQ = 5 QR$ प्राप्त होता है।

(N/A) $1$. $\Delta PQR$ में,$\angle Q = 90^{\circ}$ और $\overline{QD} \perp \overline{PR}$ है।
$2$. समकोण त्रिभुज में समरूपता के गुणधर्म के अनुसार,$\Delta PDQ \sim \Delta QDR \sim \Delta PQR$ होता है।
$3$. $\Delta PDQ \sim \Delta QDR$ से,संगत भुजाओं का अनुपात: $\frac{PD}{QD} = \frac{QD}{RD} = \frac{PQ}{QR}$ प्राप्त होता है।
$4$. अनुपात $\frac{PD}{QD} = \frac{PQ}{QR}$ से,$PD = QD \cdot \frac{PQ}{QR}$ मिलता है।
$5$. अनुपात $\frac{QD}{RD} = \frac{PQ}{QR}$ से,$QD = RD \cdot \frac{PQ}{QR}$ मिलता है।
$6$. $PD$ के व्यंजक में $QD$ का मान रखने पर: $PD = (RD \cdot \frac{PQ}{QR}) \cdot \frac{PQ}{QR} = RD \cdot (\frac{PQ}{QR})^2$।
$7$. दिया गया है कि $PQ = 4QR$,इसलिए $\frac{PQ}{QR} = 4$ है।
$8$. अतः,$PD = RD \cdot (4)^2 = 16RD$ सिद्ध होता है।

(N/A) दिया है: $\Delta PQR$ में,$\overline{PM} \perp \overline{QR}$ और $PM^2 = QM \times RM$ है।
चरण $1$: दिए गए समीकरण से,हमें $\frac{PM}{QM} = \frac{RM}{PM}$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: $\Delta PMQ$ और $\Delta RMP$ में,$\angle PMQ = \angle RMP = 90^\circ$ (क्योंकि $\overline{PM}$ एक शीर्षलंब है)।
चरण $3$: $SAS$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta PMQ \sim \Delta RMP$ है।
चरण $4$: चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनके संगत कोण बराबर हैं: $\angle QPM = \angle PRM$ और $\angle PQM = \angle RPM$ है।
चरण $5$: $\Delta PQR$ में,कोणों का योग $180^\circ$ होता है। अतः,$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^\circ$ है।
चरण $6$: कोणों का मान प्रतिस्थापित करने पर,$\angle QPM + \angle RPM + \angle Q + \angle R = 180^\circ$ प्राप्त होता है।
चरण $7$: चूंकि $\angle QPM = \angle R$ और $\angle RPM = \angle Q$ है,इसलिए $\angle R + \angle Q + \angle Q + \angle R = 180^\circ$,जिसे सरल करने पर $2(\angle Q + \angle R) = 180^\circ$ प्राप्त होता है,अतः $\angle Q + \angle R = 90^\circ$ है।
चरण $8$: इसलिए,$\angle P = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ है। अतः,$\Delta PQR$ एक समकोण त्रिभुज है।

(N/A) $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BD} \perp \overline{AC}$ है।
समकोण त्रिभुज में ज्यामितीय माध्य के गुणधर्म के अनुसार,$BD^2 = AD \cdot CD$ होता है।
दिया गया है कि $AC = 5 CD$ है। चूँकि $AC = AD + CD$,इसलिए $AD + CD = 5 CD$,जिसका अर्थ है कि $AD = 4 CD$ है।
$AD = 4 CD$ को ज्यामितीय माध्य के समीकरण में रखने पर:
$BD^2 = (4 CD) \cdot CD$
$BD^2 = 4 CD^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$BD = \sqrt{4 CD^2} = 2 CD$ प्राप्त होता है।
अतः,यह सिद्ध हुआ कि $BD = 2 CD$ है।

(C) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के और एक-दूसरे के समरूप होते हैं।
विशेष रूप से,$\Delta AMB \sim \Delta BMC$.
समरूपता $\Delta AMB \sim \Delta ABC$ से,हमारे पास गुणधर्म है: $BM^2 = AM \cdot MC$.
यहाँ $AC = 25$ और $AM = 16$ दिया गया है,इसलिए $MC = AC - AM = 25 - 16 = 9$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $BM^2 = 16 \cdot 9$.
$BM^2 = 144$.
वर्गमूल लेने पर,$BM = \sqrt{144} = 12$.

(B) $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ है।
$\Delta ABM$ और $\Delta ABC$ पर विचार करें।
$\Delta ABM$ में,$\angle AMB = 90^{\circ}$ है। अतः,$\angle BAM + \angle ABM = 90^{\circ}$।
$\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ है। अतः,$\angle BAM + \angle C = 90^{\circ}$।
इन दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें $\angle ABM = \angle C$ (या $\angle MCB$) प्राप्त होता है।
साथ ही,$\Delta BMC$ में,$\angle BMC = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle MBC + \angle C = 90^{\circ}$।
चूंकि $\angle BAM + \angle C = 90^{\circ}$ और $\angle MBC + \angle C = 90^{\circ}$,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $\angle BAM = \angle MBC$।

(D) $\Delta PQR$ में,$\angle Q = 90^{\circ}$ और $\overline{QD} \perp \overline{PR}$ है।
समकोण त्रिभुज में शीर्षलंब के गुणधर्म के अनुसार,$QD^2 = PD \times DR$ होता है।
साथ ही,$\Delta PQD$ और $\Delta PQR$ की समरूपता से,$PQ^2 = PD \times PR$ होता है।
दिया गया है कि $PD = 9 DR$,इसलिए $PR = PD + DR = 9 DR + DR = 10 DR$ होगा।
इन मानों को $PQ^2$ के व्यंजक में रखने पर:
$PQ^2 = (9 DR) \times (10 DR) = 90 DR^2$।
इसी प्रकार,$\Delta QDR$ और $\Delta PQR$ के लिए,$QR^2 = DR \times PR$ होता है।
$QR^2 = DR \times (10 DR) = 10 DR^2$।
अब,अनुपात $\frac{PQ^2}{QR^2} = \frac{90 DR^2}{10 DR^2} = 9$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{PQ}{QR} = \sqrt{9} = 3$ मिलता है।
अतः,$PQ = 3 \times QR$ होगा।

(B) एक समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $\angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ है,त्रिभुज दो त्रिभुजों $\Delta AMB$ और $\Delta BMC$ में विभाजित हो जाता है जो मूल त्रिभुज $\Delta ABC$ के समरूप होते हैं।
समरूपता के गुणधर्म के अनुसार,$\Delta AMB \sim \Delta ABC$ है।
इसका अर्थ है कि संगत भुजाओं का अनुपात समान है: $\frac{AM}{AB} = \frac{AB}{AC}$।
तिर्यक गुणा करने पर $AB^2 = AM \cdot AC$ प्राप्त होता है।
अतः,$AB$,$AM$ और $AC$ का गुणोत्तर माध्य है।

(C) एक समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $\angle B = 90^{\circ}$ है और $\overline{BM}$ कर्ण $AC$ पर शीर्षलंब है,समरूप त्रिभुजों के गुणों के अनुसार $(\Delta BMC \sim \Delta BCA)$:
$\frac{BC}{AC} = \frac{MC}{BC}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$BC^2 = MC \cdot AC$
इसका अर्थ है कि $BC$,$CM$ और $AC$ का गुणोत्तर माध्य है।

(D) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींचा गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं और आपस में भी समरूप होते हैं।
विशेष रूप से,$\Delta AMB \sim \Delta BMC$.
इन त्रिभुजों की समरूपता से,हमें संगत भुजाओं का अनुपात प्राप्त होता है:
$\frac{AM}{BM} = \frac{BM}{CM}$.
यह ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) की ओर ले जाता है: $BM^2 = AM \times CM$.
चूंकि $AM = 8$ और $CM = 2$ दिया गया है,हम इन मानों को समीकरण में रखते हैं:
$BM^2 = 8 \times 2 = 16$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $BM = \sqrt{16} = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$BM$ की लंबाई $4$ है।

(C) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींचा गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
विशेष रूप से,$\Delta AMB \sim \Delta BMC$ है।
समरूपता के गुणधर्म के अनुसार,संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AM}{BM} = \frac{BM}{CM}$।
इसका अर्थ है $BM^2 = AM \times CM$।
चूंकि $AM = 4$ और $CM = 6$ दिया गया है,इसलिए:
$BM^2 = 4 \times 6 = 24$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$BM = \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$।

(A) $\Delta PQR$ में,$\angle P = 90^{\circ}$ और $\overline{PX} \perp \overline{QR}$ है।
ज्यामितीय माध्य प्रमेय (या कर्ण पर शीर्षलंब के गुणधर्म) के अनुसार,एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
विशेष रूप से,$\Delta QXP \sim \Delta QPR$ होता है।
समरूपता $\Delta QXP \sim \Delta QPR$ से,हमें प्राप्त होता है $\frac{QX}{PQ} = \frac{PQ}{QR}$।
अतः,$PQ^2 = QX \cdot QR$।
यहाँ $QX = 4$ और $RX = 5$ दिया गया है,इसलिए $QR = QX + RX = 4 + 5 = 9$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$PQ^2 = 4 \cdot 9 = 36$।
इसलिए,$PQ = \sqrt{36} = 6$।

(A) $\Delta XYZ$ में,कोणों का अनुपात $m \angle X : m \angle Y : m \angle Z = 2 : 3 : 5$ है।
माना कोण $2k, 3k, 5k$ हैं।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $2k + 3k + 5k = 180^{\circ}$,जिससे $10k = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,अतः $k = 18^{\circ}$।
इस प्रकार,$m \angle X = 2(18^{\circ}) = 36^{\circ}$,$m \angle Y = 3(18^{\circ}) = 54^{\circ}$,और $m \angle Z = 5(18^{\circ}) = 90^{\circ}$।
संगति $XYZ \leftrightarrow EFD$ एक समरूपता है,जिसका अर्थ है $\Delta XYZ \sim \Delta EFD$।
इसलिए,संगत कोण बराबर होते हैं: $m \angle X = m \angle E$,$m \angle Y = m \angle F$,और $m \angle Z = m \angle D$।
चूंकि $m \angle Z = 90^{\circ}$ है,इसलिए $m \angle D = 90^{\circ}$ होगा।
अतः,$\angle D$ एक समकोण है।

(C) दिया गया है कि संगतता $ABC \leftrightarrow ZXY$ के लिए $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ है।
इसका अर्थ है कि संगत भुजाओं का अनुपात समान है:
$\frac{AB}{ZX} = \frac{BC}{XY} = \frac{CA}{YZ}$.
अनुपात के गुणों के अनुसार,$\frac{AB}{ZX} = \frac{BC + CA}{XY + YZ}$ होता है।
दिए गए मान रखने पर: $AB = 12, BC = 8, CA = 10, ZX = 10$.
$\frac{12}{10} = \frac{8 + 10}{XY + YZ}$.
$\frac{6}{5} = \frac{18}{XY + YZ}$.
$XY + YZ = \frac{18 \times 5}{6} = 3 \times 5 = 15$.
अतः,$XY + YZ = 15$.

(B) दो समरूप त्रिभुजों के लिए,उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
माना क्षेत्रफल $A_1 = 25$ और $A_2 = 16$ हैं।
माना संगत भुजाएँ $s_1$ और $s_2$ हैं।
अतः,$\frac{A_1}{A_2} = (\frac{s_1}{s_2})^2$.
$\frac{25}{16} = (\frac{s_1}{s_2})^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{s_1}{s_2} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.
दो समरूप त्रिभुजों के परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।
इसलिए,उनके परिमापों का अनुपात $5: 4$ है।

(C) दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ संगतता $ABC \leftrightarrow PQR$ के अंतर्गत है।
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के प्रमेय के अनुसार,दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
इसलिए,$\frac{\text{Area}(\Delta ABC)}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \left(\frac{AB}{PQ}\right)^2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{36}{64} = \left(\frac{12}{PQ}\right)^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\sqrt{\frac{36}{64}} = \frac{12}{PQ}$.
$\frac{6}{8} = \frac{12}{PQ}$.
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{3}{4} = \frac{12}{PQ}$.
वज्र गुणन करने पर: $3 \times PQ = 12 \times 4$.
$3 \times PQ = 48$.
$PQ = \frac{48}{3} = 16$.

(D) दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ संगति $ABC \leftrightarrow XYZ$ के लिए है।
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल के प्रमेय के अनुसार,दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
इसलिए,$\frac{\text{Area}(\Delta ABC)}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \left(\frac{BC}{YZ}\right)^2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{72}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \left(\frac{6}{10}\right)^2$.
$\frac{72}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \frac{36}{100}$.
$\text{Area}(\Delta XYZ) = \frac{72 \times 100}{36}$.
$\text{Area}(\Delta XYZ) = 2 \times 100 = 200$.

(C) $\Delta ABC$ में,$D$,$E$,और $F$ क्रमशः $\overline{AB}$,$\overline{BC}$ और $\overline{CA}$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$EF \parallel AB$ और $EF = \frac{1}{2} AB$,$DF \parallel BC$ और $DF = \frac{1}{2} BC$,तथा $DE \parallel AC$ और $DE = \frac{1}{2} AC$ है।
अतः,$\frac{DE}{AC} = \frac{EF}{AB} = \frac{DF}{BC} = \frac{1}{2}$ है।
$SSS$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta DEF \sim \Delta CAB$ (क्योंकि $D$ के संगत $C$,$E$ के संगत $A$,और $F$ के संगत $B$ है)।
इस प्रकार,संगति $DEF \leftrightarrow CAB$ एक समरूपता है।

(A) $\Delta ADB$ और $\Delta BDC$ में:
$\angle ADB = \angle BDC = 90^{\circ}$ (क्योंकि $\overline{BD} \perp \overline{AC}$)।
$\Delta ABC$ में,$\angle A + \angle C = 90^{\circ}$।
$\Delta ADB$ में,$\angle A + \angle ABD = 90^{\circ}$।
अतः,$\angle ABD = \angle C$।
$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$A \leftrightarrow B$,$D \leftrightarrow D$,और $B \leftrightarrow C$ का पत्राचार प्राप्त होता है।
अतः,$ADB \leftrightarrow BDC$ सही पत्राचार है।

(A) दिया गया है कि संगति $ABC \leftrightarrow BAC$ और $ABC \leftrightarrow ACB$ समरूपताएँ हैं।
$ABC \leftrightarrow BAC$ से,हमें प्राप्त होता है कि $\angle A = \angle B$,$\angle B = \angle A$ और $\angle C = \angle C$।
$ABC \leftrightarrow ACB$ से,हमें प्राप्त होता है कि $\angle A = \angle A$,$\angle B = \angle C$ और $\angle C = \angle B$।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $\angle A = \angle B$ और $\angle B = \angle C$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\angle A = \angle B = \angle C$।
चूंकि तीनों कोण बराबर हैं,इसलिए त्रिभुज समकोणीय है।
एक समकोणीय त्रिभुज हमेशा एक समबाहु त्रिभुज होता है।
अतः,$\Delta ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है।