Criteria for Similarity of Triangles Questions in Hindi

(B) यह दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta DEF$ है।
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल के प्रमेय के अनुसार,दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
$\therefore \frac{\text{ar}(\Delta ABC)}{\text{ar}(\Delta DEF)} = \left(\frac{BC}{EF}\right)^2$
दिया गया है कि $\text{ar}(\Delta ABC) = 64 \text{ cm}^2$,$\text{ar}(\Delta DEF) = 121 \text{ cm}^2$ और $EF = 15.4 \text{ cm}$ है।
$\frac{64}{121} = \left(\frac{BC}{15.4}\right)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{\frac{64}{121}} = \frac{BC}{15.4}$
$\frac{8}{11} = \frac{BC}{15.4}$
$BC = \frac{8 \times 15.4}{11}$
$BC = 8 \times 1.4 = 11.2 \text{ cm}$.

(4:1) चूँकि $AB \parallel CD,$
$\therefore \angle OAB = \angle OCD$ और $\angle OBA = \angle ODC$ (एकांतर अंतःकोण)।
$\triangle AOB$ और $\triangle COD$ में,
$\angle AOB = \angle COD$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
$\angle OAB = \angle OCD$ (एकांतर अंतःकोण)।
$\angle OBA = \angle ODC$ (एकांतर अंतःकोण)।
$\therefore \triangle AOB \sim \triangle COD$ ($AAA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
$\therefore \frac{\operatorname{ar}(\triangle AOB)}{\operatorname{ar}(\triangle COD)} = \left(\frac{AB}{CD}\right)^2$.
दिया है $AB = 2 CD,$
$\therefore \frac{\operatorname{ar}(\triangle AOB)}{\operatorname{ar}(\triangle COD)} = \left(\frac{2 CD}{CD}\right)^2 = \left(\frac{2}{1}\right)^2 = \frac{4}{1} = 4:1$.
अतः,त्रिभुजों $AOB$ और $COD$ के क्षेत्रफलों का अनुपात $4:1$ है।

(N/A) मान लीजिए कि हम रेखा $BC$ पर दो लंब $AP$ और $DM$ खींचते हैं।
हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ होता है।
अतः,$\frac{\operatorname{ar}(\Delta ABC)}{\operatorname{ar}(\Delta DBC)} = \frac{\frac{1}{2} \times BC \times AP}{\frac{1}{2} \times BC \times DM} = \frac{AP}{DM}$.
$\triangle APO$ और $\triangle DMO$ में:
$\angle APO = \angle DMO = 90^{\circ}$ (रचना से)।
$\angle AOP = \angle DOM$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
अतः,$\triangle APO \sim \triangle DMO$ ($AA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा:
$\frac{AP}{DM} = \frac{AO}{DO}$.
इस मान को हमारे क्षेत्रफल के अनुपात के समीकरण में रखने पर:
$\frac{\operatorname{ar}(\Delta ABC)}{\operatorname{ar}(\Delta DBC)} = \frac{AO}{DO}$।

(N/A) मान लीजिए कि दो समरूप त्रिभुज $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ हैं।
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के प्रमेय के अनुसार:
$\frac{\text{ar}(\triangle ABC)}{\text{ar}(\triangle PQR)} = \left(\frac{AB}{PQ}\right)^2 = \left(\frac{BC}{QR}\right)^2 = \left(\frac{AC}{PR}\right)^2$ $...(1)$
दिया गया है कि,$\text{ar}(\triangle ABC) = \text{ar}(\triangle PQR)$.
इसलिए,$\frac{\text{ar}(\triangle ABC)}{\text{ar}(\triangle PQR)} = 1$.
इस मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1 = \left(\frac{AB}{PQ}\right)^2 = \left(\frac{BC}{QR}\right)^2 = \left(\frac{AC}{PR}\right)^2$.
इसका अर्थ है:
$\left(\frac{AB}{PQ}\right)^2 = 1 \Rightarrow AB^2 = PQ^2 \Rightarrow AB = PQ$
$\left(\frac{BC}{QR}\right)^2 = 1 \Rightarrow BC^2 = QR^2 \Rightarrow BC = QR$
$\left(\frac{AC}{PR}\right)^2 = 1 \Rightarrow AC^2 = PR^2 \Rightarrow AC = PR$
चूंकि तीनों संगत भुजाएँ बराबर हैं,इसलिए $SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\triangle ABC \cong \triangle PQR$ सिद्ध होता है।

(1:4) दिया गया है कि $D, E$ और $F$ क्रमशः $\Delta ABC$ की भुजाओं $AB, BC$ और $CA$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,एक त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर और उसकी लंबाई का आधा होता है।
इसलिए,$DE \parallel AC$ और $DE = \frac{1}{2} AC$.
इसी प्रकार,$EF \parallel AB$ और $EF = \frac{1}{2} AB$,तथा $DF \parallel BC$ और $DF = \frac{1}{2} BC$.
$\Delta DEF$ और $\Delta ABC$ में:
$\frac{DE}{AC} = \frac{EF}{AB} = \frac{DF}{BC} = \frac{1}{2}$.
$SSS$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta DEF \sim \Delta ABC$.
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
इसलिए,$\frac{\operatorname{ar}(\Delta DEF)}{\operatorname{ar}(\Delta ABC)} = \left(\frac{DE}{AC}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
अतः,$\Delta DEF$ और $\Delta ABC$ के क्षेत्रफलों का अनुपात $1:4$ है।

(N/A) मान लीजिए कि दो समरूप त्रिभुज $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ हैं। मान लीजिए $AD$ और $PS$ इन त्रिभुजों की माध्यिकाएँ हैं।
चूँकि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$,इसलिए:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR} \quad ...(1)$
और $\angle B = \angle Q \quad ...(2)$
चूँकि $AD$ और $PS$ माध्यिकाएँ हैं,$D$ और $S$ क्रमशः $BC$ और $QR$ के मध्य-बिंदु हैं।
इसलिए,$BD = \frac{BC}{2}$ और $QS = \frac{QR}{2}$.
इन मानों को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{2BD}{2QS} = \frac{BD}{QS} \quad ...(3)$
$\triangle ABD$ और $\triangle PQS$ में:
$\angle B = \angle Q$ [समीकरण $(2)$ से]
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QS}$ [समीकरण $(3)$ से]
इसलिए,$SAS$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\triangle ABD \sim \triangle PQS$.
इसका अर्थ है कि $\frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PS} \quad ...(4)$
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है:
$\frac{\text{ar}(\Delta ABC)}{\text{ar}(\Delta PQR)} = \left(\frac{AB}{PQ}\right)^2$
समीकरण $(4)$ से,$\frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PS}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\text{ar}(\Delta ABC)}{\text{ar}(\Delta PQR)} = \left(\frac{AD}{PS}\right)^2$
इति सिद्धम्।

(N/A) $\Delta ACD$ और $\Delta ABC$ में:
$\angle ADC = \angle ACB = 90^{\circ}$
$\angle CAD = \angle CAB$ (उभयनिष्ठ कोण)
अतः,$\Delta ACD \sim \Delta ABC$ ($AA$ समरूपता कसौटी से)।
इसका अर्थ है $\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC}$,इसलिए $AC^{2} = AB \cdot AD$ $...(1)$
$\Delta BCD$ और $\Delta BAC$ में:
$\angle BDC = \angle BCA = 90^{\circ}$
$\angle CBD = \angle ABC$ (उभयनिष्ठ कोण)
अतः,$\Delta BCD \sim \Delta BAC$ ($AA$ समरूपता कसौटी से)।
इसका अर्थ है $\frac{BC}{BA} = \frac{BD}{BC}$,इसलिए $BC^{2} = BA \cdot BD$ $...(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से भाग देने पर:
$\frac{BC^{2}}{AC^{2}} = \frac{BA \cdot BD}{AB \cdot AD}$
चूंकि $BA = AB$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{BC^{2}}{AC^{2}} = \frac{BD}{AD}$

(C) यदि दो त्रिभुज एक-दूसरे के समरूप हैं,तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
दिया गया है कि भुजाओं का अनुपात $4:9$ है।
अतः,इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात $= (4/9)^2 = 16/81$ होगा।
इसलिए,सही उत्तर $(C)$ है।

(N/A) माना $\angle MPR = x$ है।
$\Delta MPR$ में,
$\angle MRP = 180^{\circ} - 90^{\circ} - x = 90^{\circ} - x$ है।
इसी प्रकार,$\Delta MPQ$ में,
$\angle MPQ = 90^{\circ} - \angle MPR = 90^{\circ} - x$ है।
$\Delta MPQ$ में,
$\angle MQP = 180^{\circ} - 90^{\circ} - (90^{\circ} - x) = x$ है।
अब,$\Delta QMP$ और $\Delta PMR$ में:
$\angle MPQ = \angle MRP = 90^{\circ} - x$
$\angle MQP = \angle MPR = x$
$\angle PMQ = \angle RMP = 90^{\circ}$
अतः,$\Delta QMP \sim \Delta PMR$ ($AA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{QM}{PM} = \frac{PM}{MR}$
$\Rightarrow PM^{2} = QM \cdot MR$।

(N/A) दिया है: $\triangle ABD$ में,$\angle BAD = 90^\circ$ और $AC \perp BD$ है।
सिद्ध करना है: $AB^2 = BC \cdot BD$.
उपपत्ति: $\triangle BCA$ और $\triangle BAD$ पर विचार करें।
$\triangle BCA$ और $\triangle BAD$ में:
$\angle BCA = \angle BAD = 90^\circ$ (दिया है $AC \perp BD$ और $\angle BAD = 90^\circ$)
$\angle B = \angle B$ (उभयनिष्ठ कोण)
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी द्वारा,$\triangle BCA \sim \triangle BAD$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है:
$\frac{BC}{BA} = \frac{BA}{BD}$
वज्र गुणन करने पर:
$BA \cdot BA = BC \cdot BD$
$AB^2 = BC \cdot BD$.
इति सिद्धम।

(N/A) दिया है: $\triangle ABD$ में,$\angle A = 90^{\circ}$ और $AC \perp BD$ है।
सिद्ध करना है: $AC^{2} = BC \cdot DC$.
उपपत्ति:
$\triangle BCA$ और $\triangle ACD$ में:
$\angle BCA = \angle ACD = 90^{\circ}$ (चूंकि $AC \perp BD$ है)
$\angle CBA = 90^{\circ} - \angle CAB$ ($\triangle ABC$ में,$\angle B + \angle CAB = 90^{\circ}$)
साथ ही,$\angle CAD = 90^{\circ} - \angle CAB$ (चूंकि $\angle A = 90^{\circ}$ है,$\angle CAD + \angle CAB = 90^{\circ}$)
अतः,$\angle CBA = \angle CAD$.
$AA$ समरूपता कसौटी से,$\triangle BCA \sim \triangle ACD$.
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{BC}{AC} = \frac{AC}{DC}$
वज्र-गुणन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AC^{2} = BC \cdot DC$.
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: $\triangle ABD$ में,$\angle A = 90^{\circ}$ और $AC \perp BD$.
सिद्ध करना है: $AD^{2} = BD \cdot CD$.
उपपत्ति: $\triangle ACD$ और $\triangle BAD$ पर विचार करें।
$\triangle ACD$ और $\triangle BAD$ में:
$\angle ACD = \angle BAD = 90^{\circ}$।
$\angle D = \angle D$ (उभयनिष्ठ कोण)।
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी द्वारा,$\triangle ACD \sim \triangle BAD$।
चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है:
$\frac{AC}{BA} = \frac{CD}{AD} = \frac{AD}{BD}$।
अनुपात के अंतिम दो भागों को लेने पर:
$\frac{CD}{AD} = \frac{AD}{BD}$।
वज्र-गुणन करने पर:
$AD^{2} = BD \cdot CD$।
इति सिद्धम्।

(N/A) $DB$ को मिलाइए।
हमारे पास $DN \parallel CB,$ $DM \parallel AB,$ और $\angle B = 90^{\circ}$ है।
अतः,$DMBN$ एक आयत है।
इस प्रकार,$DN = MB$ और $DM = NB$ है।
चूँकि $D,$ $B$ से $AC$ पर खींचे गए लंब का पाद है,इसलिए $\angle CDB = 90^{\circ}$ है।
$\angle 2 + \angle 3 = 90^{\circ} \dots(1)$
$\Delta CDM$ में,$\angle 1 + \angle 2 + \angle DMC = 180^{\circ} \Rightarrow \angle 1 + \angle 2 = 90^{\circ} \dots(2)$
$\Delta DMB$ में,$\angle 3 + \angle DMB + \angle 4 = 180^{\circ} \Rightarrow \angle 3 + \angle 4 = 90^{\circ} \dots(3)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें $\angle 1 = \angle 3$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ और $(3)$ से,हमें $\angle 2 = \angle 4$ प्राप्त होता है।
$\Delta DCM$ और $\Delta BDM$ में,
$\angle 1 = \angle 3$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$\angle 2 = \angle 4$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
अतः,$\Delta DCM \sim \Delta BDM$ ($AA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
इस प्रकार,$\frac{BM}{DM} = \frac{DM}{MC}$ है।
चूँकि $BM = DN,$ इसलिए $\frac{DN}{DM} = \frac{DM}{MC}$ है।
अतः,$DM^{2} = DN \cdot MC$ सिद्ध होता है।

(N/A) चतुर्भुज $DMBN$ में,चूंकि $\angle DMB = 90^{\circ},$ $\angle DNB = 90^{\circ},$ और $\angle MBN = 90^{\circ}$ (दिया है कि $\angle ABC = 90^{\circ}$),इसलिए चौथा कोण $\angle MDN$ भी $90^{\circ}$ होगा। अतः,$DMBN$ एक आयत है।
इसलिए,$DM = NB$ और $DN = MB.$
$\Delta ABC$ में,$BD \perp AC.$ समकोण त्रिभुज में समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार,$\Delta ADN \sim \Delta ABD$ और $\Delta BDC \sim \Delta ABD$ होता है।
अधिक स्पष्ट रूप से,$\Delta DNB$ और $\Delta ADN$ में:
$\angle DNB = \angle DNA = 90^{\circ}.$
$\angle NDB = \angle DAN$ (क्योंकि दोनों $\angle ADN$ के पूरक कोण हैं)।
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी से $\Delta DNB \sim \Delta ADN$ है।
इसलिए,$\frac{DN}{AN} = \frac{NB}{DN}.$
$DN^{2} = AN \cdot NB.$
चूंकि $NB = DM,$ इसलिए हमें प्राप्त होता है $DN^{2} = AN \cdot DM.$

(N/A) $\Delta APC \sim \Delta DPB$ सिद्ध करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
$1$. $CB$ और $AD$ को मिलाइए।
$2$. $\Delta APC$ और $\Delta DPB$ पर विचार कीजिए।
$3$. $\angle APC = \angle DPB$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
$4$. $\angle CAP = \angle BDP$ (एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं,यहाँ चाप $CB$ द्वारा अंतरित कोण)।
$5$. अतः,$AA$ (कोण-कोण) समरूपता कसौटी द्वारा,$\Delta APC \sim \Delta DPB$।

(N/A) $AP \cdot PB = CP \cdot DP$ सिद्ध करने के लिए,हम त्रिभुजों $\Delta APC$ और $\Delta DPB$ पर विचार करते हैं।
$1$. $\angle APC = \angle DPB$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
$2$. $\angle CAP = \angle BDP$ (एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं)।
$AA$ (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta APC \sim \Delta DPB$ है।
चूंकि समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं,इसलिए:
$\frac{AP}{DP} = \frac{PC}{PB} = \frac{AC}{DB}$
प्रथम दो अनुपातों को लेने पर:
$\frac{AP}{DP} = \frac{PC}{PB}$
वज्र-गुणन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AP \cdot PB = PC \cdot DP$ (या $AP \cdot PB = CP \cdot DP$)।

(N/A) $\Delta PAC$ और $\Delta PDB$ पर विचार कीजिए।
$1$. $\angle P = \angle P$ (उभयनिष्ठ कोण)।
$2$. एक चक्रीय चतुर्भुज $ABDC$ में,बहिष्कोण अपने सम्मुख अंतःकोण के बराबर होता है। इसलिए,$\angle PAC = \angle PDB$ (क्योंकि $\angle PAC + \angle CAB = 180^{\circ}$ और $\angle PDB + \angle CAB = 180^{\circ}$)।
$3$. $AA$ (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta PAC \sim \Delta PDB$।

(N/A) $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ सिद्ध करने के लिए,$\triangle PAD$ और $\triangle PCB$ पर विचार करें।
$1$. $\angle P = \angle P$ (उभयनिष्ठ कोण)।
$2$. $\angle PDA = \angle PBC$ (चक्रीय चतुर्भुज का बहिष्कोण उसके अंतः सम्मुख कोण के बराबर होता है,या चूँकि $\angle PAD + \angle DAB = 180^{\circ}$ और $\angle BCD + \angle DAB = 180^{\circ}$,इसलिए $\angle PAD = \angle BCD$,और इस प्रकार $AA$ समरूपता कसौटी द्वारा $\triangle PAD \sim \triangle PCB$ है)।
चूँकि $\triangle PAD \sim \triangle PCB$ है,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा:
$\frac{PA}{PC} = \frac{PD}{PB} = \frac{AD}{CB}$।
पहले दो भागों को लेने पर:
$\frac{PA}{PC} = \frac{PD}{PB}$
वज्र-गुणन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$PA \cdot PB = PC \cdot PD$।

(B) दिया गया है कि दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात $2:3$ है।
माना छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल $A_1 = 48 \, cm^2$ है और बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल $A_2$ है।
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल के प्रमेय के अनुसार,दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
$\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$
$\frac{48}{A_2} = \frac{4}{9}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$4 \times A_2 = 48 \times 9$
$A_2 = \frac{432}{4} = 108 \, cm^2$.
अतः,बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल $108 \, cm^2$ है।

(N/A) दिया है: $\Delta PQR$ में,$PR$ पर $N$ एक बिंदु है ताकि $QN \perp PR$ और $PN \cdot NR = QN^2$ हो।
सिद्ध करना है: $\angle PQR = 90^{\circ}$।
उपपत्ति: हमारे पास $PN \cdot NR = QN^2$ है।
इसे $\frac{PN}{QN} = \frac{QN}{NR}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\Delta QNP$ और $\Delta RNQ$ में:
$1$. $\frac{PN}{QN} = \frac{QN}{NR}$ (दिया है)
$2$. $\angle PNQ = \angle RNQ = 90^{\circ}$ ($QN \perp PR$ दिया है)
$SAS$ समरूपता कसौटी से,$\Delta QNP \sim \Delta RNQ$ है।
चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,उनके संगत कोण बराबर होते हैं:
$\angle PQN = \angle QRN$ (मान लीजिए यह $\alpha$ है)
$\angle RQN = \angle QPN$ (मान लीजिए यह $\beta$ है)
$\Delta PQR$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle P + \angle R + \angle PQR = 180^{\circ}$
$\angle QPN + \angle QRN + (\angle PQN + \angle RQN) = 180^{\circ}$
बराबर कोणों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\beta + \alpha + (\alpha + \beta) = 180^{\circ}$
$2(\alpha + \beta) = 180^{\circ}$
$\alpha + \beta = 90^{\circ}$
चूँकि $\angle PQR = \alpha + \beta$,इसलिए $\angle PQR = 90^{\circ}$ है।
इति सिद्धम्।

(D) दिया गया है कि छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल $= 36\, cm^{2}$ और बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल $= 100\, cm^{2}$ है।
साथ ही,बड़े त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई $= 20\, cm$ है।
माना छोटे त्रिभुज की संगत भुजा की लंबाई $x\, cm$ है।
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल के गुणधर्म के अनुसार,दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
$\frac{\text{बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल}}{\text{छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल}} = \frac{(\text{बड़े त्रिभुज की भुजा})^{2}}{(\text{छोटे त्रिभुज की भुजा})^{2}}$
$\Rightarrow \frac{100}{36} = \frac{(20)^{2}}{x^{2}}$
$\Rightarrow x^{2} = \frac{20^{2} \times 36}{100} = \frac{400 \times 36}{100} = 4 \times 36 = 144$
$x = \sqrt{144} = 12\, cm$.
अतः,छोटे त्रिभुज की संगत भुजा की लंबाई $12\, cm$ है।

(A) दिया है: $AC = 8 \, cm$,$AD = 3 \, cm$ और $\angle ACB = \angle CDA = 90^{\circ}$ (आकृति से)।
समकोण $\triangle ADC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^2 = AD^2 + CD^2$
$8^2 = 3^2 + CD^2$
$64 = 9 + CD^2$
$CD^2 = 55$
$CD = \sqrt{55} \, cm$.
अब,$\triangle CDB$ और $\triangle ADC$ पर विचार करें:
$1$. $\angle BDC = \angle ADC = 90^{\circ}$ (दिया है)।
$2$. $\angle DBC = \angle DCA$ (क्योंकि दोनों $90^{\circ} - \angle A$ के बराबर हैं)।
$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\triangle CDB \sim \triangle ADC$.
अतः,संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा:
$\frac{CD}{BD} = \frac{AD}{CD}$
$CD^2 = AD \times BD$
$55 = 3 \times BD$
$BD = \frac{55}{3} \, cm$.

(B) माना $BC = 15\, m$ टावर की ऊँचाई है और $AB = 24\, m$ उसकी छाया की लंबाई है। उस समय सूर्य का उन्नयन कोण $\theta$ है,इसलिए $\angle CAB = \theta$.
माना $EF = h$ टेलीफोन के खंभे की ऊँचाई है और $DE = 16\, m$ उसकी छाया की लंबाई है। उसी समय सूर्य का उन्नयन कोण समान रहता है,इसलिए $\angle EDF = \theta$.
$\triangle ABC$ और $\triangle DEF$ में:
$\angle CAB = \angle EDF = \theta$ (सूर्य का उन्नयन कोण)
$\angle ABC = \angle DEF = 90^{\circ}$ (दोनों समतल जमीन पर खड़ी ऊर्ध्वाधर वस्तुएं हैं)
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ है।
चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}$
दिए गए मान रखने पर:
$\frac{24}{16} = \frac{15}{h}$
$h$ के लिए हल करने पर:
$h = \frac{15 \times 16}{24}$
$h = \frac{15 \times 2}{3}$
$h = 5 \times 2 = 10\, m$.
अतः,टेलीफोन के खंभे की ऊँचाई $10\, m$ है।

(D) दिया है,$\angle A = \angle C$,$AB = 6 \, cm$,$BP = 15 \, cm$,$AP = 12 \, cm$ और $CP = 4 \, cm$ है।
$\triangle APB$ और $\triangle CPD$ में:
$\angle A = \angle C$ [दिया है]
$\angle APB = \angle CPD$ [शीर्षाभिमुख कोण]
अतः,$\triangle APB \sim \triangle CPD$ [$AA$ समरूपता कसौटी द्वारा]
चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा:
$\frac{AP}{CP} = \frac{BP}{PD} = \frac{AB}{CD}$
दिए गए मान रखने पर:
$\frac{12}{4} = \frac{15}{PD} = \frac{6}{CD}$
पहले दो पदों को लेने पर:
$\frac{12}{4} = \frac{15}{PD} \implies 3 = \frac{15}{PD} \implies PD = \frac{15}{3} = 5 \, cm$
पहले और अंतिम पद को लेने पर:
$\frac{12}{4} = \frac{6}{CD} \implies 3 = \frac{6}{CD} \implies CD = \frac{6}{3} = 2 \, cm$
अतः,$PD$ की लंबाई $5 \, cm$ और $CD$ की लंबाई $2 \, cm$ है।

(N/A) दिया गया है,$\triangle ABC \sim \triangle EDF$। चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं।
अर्थात,$\frac{AB}{ED} = \frac{AC}{EF} = \frac{BC}{DF}$ ...... $(i)$
दिए गए मान $AB = 5 \, cm$,$AC = 7 \, cm$,$DF = 15 \, cm$ और $DE = 12 \, cm$ हैं।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{5}{12} = \frac{7}{EF} = \frac{BC}{15}$
प्रथम और द्वितीय पदों को लेने पर:
$\frac{5}{12} = \frac{7}{EF}$
$\Rightarrow EF = \frac{7 \times 12}{5} = \frac{84}{5} = 16.8 \, cm$
प्रथम और तृतीय पदों को लेने पर:
$\frac{5}{12} = \frac{BC}{15}$
$\Rightarrow BC = \frac{5 \times 15}{12} = \frac{75}{12} = 6.25 \, cm$
अतः,शेष भुजाओं की लंबाई $EF = 16.8 \, cm$ और $BC = 6.25 \, cm$ है।

(N/A) दिया है,$\triangle ABC$ जिसमें $\angle B = 90^{\circ}$ और $BD \perp AC$ है।
साथ ही,$AD = 4 \, cm$ और $CD = 5 \, cm$ है।
$\triangle ADB$ और $\triangle CDB$ में,$\angle ADB = \angle CDB = 90^{\circ}$ है।
साथ ही,$\angle BAD = \angle DBC$ (क्योंकि दोनों $90^{\circ} - \angle C$ के बराबर हैं)।
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी द्वारा $\triangle ADB \sim \triangle CDB$ है।
इस प्रकार,$\frac{BD}{AD} = \frac{CD}{BD}$ प्राप्त होता है।
$\Rightarrow BD^2 = AD \times CD = 4 \times 5 = 20$.
$\Rightarrow BD = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \, cm$.
अब,समकोण $\triangle ADB$ में,पाइथागोरस प्रमेय द्वारा:
$AB^2 = AD^2 + BD^2 = 4^2 + (2\sqrt{5})^2 = 16 + 20 = 36$.
$\Rightarrow AB = \sqrt{36} = 6 \, cm$.
अतः,$BD = 2\sqrt{5} \, cm$ और $AB = 6 \, cm$ है।

(N/A) $\Delta ABC$ में,कोणों का अनुपात $m \angle A : m \angle B : m \angle C = 15 : 8 : 7$ है।
माना कोण क्रमशः $15t$,$8t$ और $7t$ हैं।
चूँकि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^\circ$ होता है,इसलिए $15t + 8t + 7t = 180^\circ$ होगा।
$30t = 180^\circ$,जिससे $t = 6^\circ$ प्राप्त होता है।
अतः,$m \angle A = 15 \times 6^\circ = 90^\circ$,$m \angle B = 8 \times 6^\circ = 48^\circ$ और $m \angle C = 7 \times 6^\circ = 42^\circ$ है।
दी गई समरूपता संगति $ABC \leftrightarrow QPR$ के अनुसार,संगत कोण बराबर होते हैं।
इसलिए,$m \angle Q = m \angle A = 90^\circ$,$m \angle P = m \angle B = 48^\circ$ और $m \angle R = m \angle C = 42^\circ$ है।
अतः,$\Delta PQR$ के कोण $m \angle P = 48^\circ$,$m \angle Q = 90^\circ$ और $m \angle R = 42^\circ$ हैं।

(C) दिया गया है कि $\Delta ABC$ और $\Delta XYZ$ के बीच पत्राचार $ABC \leftrightarrow XYZ$ एक समरूपता है।
इसलिए,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ} = \frac{AC}{XZ}$
दिए गए समीकरण $4AB = 5XY$ से,हम लिख सकते हैं:
$\frac{AB}{XY} = \frac{5}{4}$
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,हमारे पास है:
$\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ}$
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{5}{4} = \frac{12}{YZ}$
$YZ$ के लिए हल करने पर:
$YZ = \frac{12 \times 4}{5} = \frac{48}{5} = 9.6$
अतः,$YZ = 9.6$.

(D) चूंकि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$,इसलिए संगत कोण बराबर होते हैं: $m \angle A = m \angle P$,$m \angle B = m \angle Q$,और $m \angle C = m \angle R = 100^{\circ}$।
$\Delta ABC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $m \angle A + m \angle B + m \angle C = 180^{\circ}$।
$m \angle C = 100^{\circ}$ रखने पर,हमें $m \angle A + m \angle B = 80^{\circ}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $2 m \angle P = 3 m \angle Q$,और चूंकि $m \angle P = m \angle A$ तथा $m \angle Q = m \angle B$,इसलिए $2 m \angle A = 3 m \angle B$ होगा,जिसका अर्थ है $m \angle A = 1.5 m \angle B$।
इस मान को $m \angle A + m \angle B = 80^{\circ}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$1.5 m \angle B + m \angle B = 80^{\circ}$
$2.5 m \angle B = 80^{\circ}$
$m \angle B = 80 / 2.5 = 32^{\circ}$।

(A) दिया गया है कि पत्राचार $PQR \leftrightarrow ZYX$ एक समरूपता है,इसलिए $\Delta PQR \sim \Delta ZYX$ है।
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार,संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{PQ}{ZY} = \frac{QR}{YX} = \frac{PR}{ZX}$.
हमें $\frac{PQ}{ZY} = \frac{5}{3}$ और $PR = 10$ दिया गया है।
इन मानों को अनुपात $\frac{PQ}{ZY} = \frac{PR}{ZX}$ में रखने पर:
$\frac{5}{3} = \frac{10}{ZX}$.
तिर्यक गुणा करने पर,हमें $5 \times ZX = 3 \times 10$ प्राप्त होता है।
$5 \times ZX = 30$.
$ZX = \frac{30}{5} = 6$.
अतः,$ZX$ की लंबाई $6$ है।

(A) दिया गया है कि संगतता $ABC \leftrightarrow QRP$ के लिए $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है।
इसका अर्थ है कि संगत कोण बराबर हैं:
$m \angle A = m \angle Q$
$m \angle B = m \angle R$
$m \angle C = m \angle P$
दिया है $m \angle A = 80^{\circ}, m \angle B = 40^{\circ}, m \angle C = 60^{\circ}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$m \angle Q = 80^{\circ}$
$m \angle R = 40^{\circ}$
$m \angle P = 60^{\circ}$
अतः,$\Delta PQR$ के कोण $m \angle P = 60^{\circ}, m \angle Q = 80^{\circ}, m \angle R = 40^{\circ}$ हैं।

(C) दिया गया है कि $\Delta XYZ \sim \Delta DEF$ संगतता $XYZ \leftrightarrow EDF$ के साथ है।
इसका अर्थ है कि संगत भुजाओं का अनुपात समान है: $\frac{XY}{ED} = \frac{YZ}{DF} = \frac{ZX}{FE} = k$.
दिया है $XY = 3, YZ = 4, ZX = 6$ और $DF = 12$.
अनुपात $\frac{YZ}{DF} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ से,स्केल फैक्टर $k = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{XY}{ED} = \frac{1}{3} \implies \frac{3}{ED} = \frac{1}{3} \implies ED = 9$.
और $\frac{ZX}{FE} = \frac{1}{3} \implies \frac{6}{FE} = \frac{1}{3} \implies FE = 18$.
$\Delta DEF$ का परिमाप $= ED + DF + FE = 9 + 12 + 18 = 39$.

(D) दिया गया है कि $ABC \leftrightarrow ZYX$ संगति के अंतर्गत $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ है।
इसका अर्थ है कि संगत भुजाओं का अनुपात समान है: $\frac{AB}{ZY} = \frac{BC}{YX} = \frac{CA}{XZ} = k$.
दिए गए मानों से,$AB = 3, BC = 5, CA = 6$ और $XY = 6$ है।
$ABC \leftrightarrow ZYX$ संगति का उपयोग करने पर,हमें अनुपात प्राप्त होता है: $\frac{AB}{ZY} = \frac{BC}{YX} = \frac{CA}{XZ}$.
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{3}{ZY} = \frac{5}{6} = \frac{6}{XZ}$.
$\frac{5}{6} = \frac{3}{ZY}$ से,$ZY = \frac{3 \times 6}{5} = \frac{18}{5} = 3.6$ प्राप्त होता है।
$\frac{5}{6} = \frac{6}{XZ}$ से,$XZ = \frac{6 \times 6}{5} = \frac{36}{5} = 7.2$ प्राप्त होता है।
$\Delta XYZ$ का परिमाप $= XY + YZ + ZX = 6 + 3.6 + 7.2 = 16.8$।

(A) $\Delta ABC$ में,कोणों का योग $m \angle A + m \angle B + m \angle C = 180^{\circ}$ होता है।
दिया गया है $m \angle A + m \angle B = 130^{\circ}$,इसे योग में प्रतिस्थापित करने पर $130^{\circ} + m \angle C = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,अतः $m \angle C = 50^{\circ}$।
दिया गया है $m \angle B + m \angle C = 125^{\circ}$,$m \angle C = 50^{\circ}$ रखने पर $m \angle B + 50^{\circ} = 125^{\circ}$ प्राप्त होता है,अतः $m \angle B = 75^{\circ}$।
चूंकि $m \angle A + m \angle B = 130^{\circ}$ है,इसलिए $m \angle A + 75^{\circ} = 130^{\circ}$ होगा,जिससे $m \angle A = 55^{\circ}$ प्राप्त होता है।
$ABC \leftrightarrow QPR$ पत्राचार के अनुसार,संगत कोण $\angle A \leftrightarrow \angle Q$,$\angle B \leftrightarrow \angle P$,और $\angle C \leftrightarrow \angle R$ हैं।
अतः,$m \angle Q = m \angle A = 55^{\circ}$ होगा।

(N/A) दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं यदि:
$1$. उनके संगत कोण बराबर हों।
$2$. उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात (या समानुपात) में हों।

(C) दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta RPQ$ है।
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार,उनके संगत कोण बराबर होते हैं।
संगति $A \leftrightarrow R$,$B \leftrightarrow P$,और $C \leftrightarrow Q$ है।
इसलिए,$m\angle A = m\angle R = 35^{\circ}$ और $m\angle B = m\angle P = 50^{\circ}$ है।
$\Delta ABC$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$m\angle C = 180^{\circ} - (m\angle A + m\angle B) = 180^{\circ} - (35^{\circ} + 50^{\circ}) = 180^{\circ} - 85^{\circ} = 95^{\circ}$।
चूंकि $C \leftrightarrow Q$ है,इसलिए $m\angle C = m\angle Q$ होगा।
अतः,$m\angle Q = 95^{\circ}$।

(D) दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ संगति $ABC \leftrightarrow XZY$ के अंतर्गत है।
इसका अर्थ है कि संगत भुजाओं का अनुपात उनके परिमापों के अनुपात के बराबर होता है।
अतः,$\frac{AB}{XZ} = \frac{BC}{ZY} = \frac{AC}{XY} = \frac{\Delta ABC \text{ का परिमाप}}{\Delta XYZ \text{ का परिमाप}}$.
दिया है: $\Delta ABC \text{ का परिमाप} = 45$,$\Delta XYZ \text{ का परिमाप} = 30$ और $AB = 21$.
मानों को अनुपात में रखने पर: $\frac{21}{XZ} = \frac{45}{30}$.
$\frac{45}{30}$ भिन्न को सरल करने पर $\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{21}{XZ} = \frac{3}{2}$.
तिर्यक गुणा करने पर $3 \times XZ = 21 \times 2$.
$3 \times XZ = 42$.
$XZ = \frac{42}{3} = 14$.
इस प्रकार,$XZ$ की लंबाई $14$ है।

(A) चूंकि $\Delta PQR \sim \Delta XYZ$,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{PQ}{XY} = \frac{QR}{YZ} = \frac{PR}{XZ}$.
दिए गए समीकरण $\frac{PQ}{3} = \frac{XY}{5}$ से,हम इसे $\frac{PQ}{XY} = \frac{3}{5}$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस अनुपात को समरूपता की शर्त $\frac{PQ}{XY} = \frac{QR}{YZ}$ में रखने पर:
$\frac{3}{5} = \frac{9}{YZ}$.
तिर्यक गुणा करने पर,$3 \times YZ = 5 \times 9$,जो सरल होकर $3 \times YZ = 45$ हो जाता है।
अतः,$YZ = \frac{45}{3} = 15$.

(A) दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{3}{PQ} = \frac{4}{6} = \frac{5}{PR}$.
सबसे पहले,$PQ$ के लिए हल करें:
$\frac{3}{PQ} = \frac{4}{6} \implies \frac{3}{PQ} = \frac{2}{3} \implies 2 \cdot PQ = 9 \implies PQ = 4.5$.
इसके बाद,$PR$ के लिए हल करें:
$\frac{4}{6} = \frac{5}{PR} \implies \frac{2}{3} = \frac{5}{PR} \implies 2 \cdot PR = 15 \implies PR = 7.5$.
अतः,$PQ = 4.5$ और $PR = 7.5$ प्राप्त होता है।

(C) चूंकि $\Delta ABC \sim \Delta DEF$,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF} = k$
यहाँ $AB = 8$,$DE = 12$,$AC = 10$,और $EF = 18$ दिया गया है।
समरूपता का अनुपात $k = \frac{AB}{DE} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ है।
अब,$\Delta DEF$ की शेष भुजाएँ ज्ञात कीजिए:
$\frac{AC}{DF} = \frac{2}{3} \implies \frac{10}{DF} = \frac{2}{3} \implies DF = \frac{10 \times 3}{2} = 15$.
$\frac{BC}{EF} = \frac{2}{3} \implies \frac{BC}{18} = \frac{2}{3} \implies BC = \frac{18 \times 2}{3} = 12$.
अब,$\Delta DEF$ का परिमाप = $DE + EF + DF = 12 + 18 + 15 = 45$.

(D) दी गई संगतता $ABC \leftrightarrow XZY$ के अनुसार,त्रिभुज समरूप हैं,अर्थात $\Delta ABC \sim \Delta XZY$।
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म से,संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AB}{XZ} = \frac{BC}{ZY} = \frac{AC}{XY}$।
दिया गया है $AB = 6$,$XY = 12$,$YZ = 6$,और $ZX = 9$।
संगतता $ABC \leftrightarrow XZY$ का उपयोग करते हुए,भुजाएँ इस प्रकार समानुपाती हैं:
$\frac{AB}{XZ} = \frac{BC}{ZY} = \frac{AC}{XY}$
$\frac{6}{9} = \frac{BC}{6} = \frac{AC}{12}$
सबसे पहले,$BC$ ज्ञात करें: $\frac{6}{9} = \frac{BC}{6} \implies BC = \frac{6 \times 6}{9} = \frac{36}{9} = 4$।
इसके बाद,$AC$ ज्ञात करें: $\frac{6}{9} = \frac{AC}{12} \implies AC = \frac{6 \times 12}{9} = \frac{72}{9} = 8$।
$\Delta ABC$ का परिमाप $= AB + BC + AC = 6 + 4 + 8 = 18$।

(A) दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta PQR.$
समरूप त्रिभुजों के गुणों के अनुसार,उनके परिमाप का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।
इसलिए,$\frac{\Delta ABC \text{ का परिमाप}}{\Delta PQR \text{ का परिमाप}} = \frac{AB}{PQ}.$
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{16}{24} = \frac{6}{PQ}.$
$\frac{16}{24}$ अनुपात को सरल करने पर $\frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{2}{3} = \frac{6}{PQ}.$
वज्र-गुणन करने पर $2 \times PQ = 18$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$PQ = \frac{18}{2} = 9.$
सही विकल्प $A$ है।

(B) $\Delta PQR$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$m \angle P + m \angle Q + m \angle R = 180^{\circ}$.
$80^{\circ} + 40^{\circ} + m \angle R = 180^{\circ}$.
$120^{\circ} + m \angle R = 180^{\circ} \implies m \angle R = 60^{\circ}$.
दी गई संगति $PQR \leftrightarrow YZX$ के अनुसार,संगत कोण बराबर होते हैं:
$m \angle P = m \angle Y = 80^{\circ}$,
$m \angle Q = m \angle Z = 40^{\circ}$,
$m \angle R = m \angle X = 60^{\circ}$.
अतः,$m \angle Z = m \angle Q = 40^{\circ}$.

(C) दिया गया है कि $\Delta XYZ \sim \Delta DEF$,इसलिए संगत कोण बराबर हैं: $m \angle X = m \angle D$,$m \angle Y = m \angle E$,और $m \angle Z = m \angle F$.
$\Delta XYZ$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $m \angle X + m \angle Y + m \angle Z = 180^{\circ}$.
दिया गया है $2 m \angle X = 3 m \angle Y$,इसलिए $m \angle X = 1.5 m \angle Y$.
इन मानों को योग समीकरण में रखने पर: $1.5 m \angle Y + m \angle Y + 30^{\circ} = 180^{\circ}$.
$2.5 m \angle Y = 150^{\circ}$.
$m \angle Y = 150^{\circ} / 2.5 = 60^{\circ}$.
चूंकि $\Delta XYZ \sim \Delta DEF$,इसलिए $m \angle E = m \angle Y = 60^{\circ}$.

(D) दिया गया है कि $PQR \leftrightarrow ZYX$ पत्राचार के अंतर्गत $\Delta PQR \sim \Delta XYZ$ है,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है।
इसका अर्थ है कि $\frac{PQ}{ZY} = \frac{QR}{YX} = \frac{PR}{ZX}$.
यहाँ $PQ = 6$,$QR = 8$ और $XY = 12$ दिया गया है।
$PQR \leftrightarrow ZYX$ पत्राचार के अनुसार,भुजा $QR$,$YX$ के संगत है।
अतः,$\frac{PQ}{ZY} = \frac{QR}{YX}$.
दिए गए मान रखने पर: $\frac{6}{YZ} = \frac{8}{12}$.
$\frac{8}{12}$ को सरल करने पर $\frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{6}{YZ} = \frac{2}{3}$.
वज्र-गुणन करने पर $2 \times YZ = 6 \times 3$,जिसका अर्थ है $2 \times YZ = 18$.
अतः,$YZ = \frac{18}{2} = 9$.

(N/A) दिया गया है कि $\Delta PQR \sim \Delta DEF$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{PQ}{DE} = \frac{QR}{EF} = \frac{PR}{DF}$.
दिए गए समीकरण $3 PQ = 2 DE$ से,हमें $\frac{PQ}{DE} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अब,अनुपात $\frac{PQ}{DE} = \frac{QR}{EF}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{2}{3} = \frac{QR}{6} \implies QR = \frac{2 \times 6}{3} = 4$.
इसके बाद,अनुपात $\frac{PQ}{DE} = \frac{PR}{DF}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{2}{3} = \frac{8}{DF} \implies DF = \frac{8 \times 3}{2} = 12$.
अतः,$QR = 4$ और $DF = 12$ है।

(B) दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है।
समरूप त्रिभुजों के गुणों के अनुसार,उनके परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।
इसलिए,$\frac{\Delta ABC \text{ का परिमाप}}{\Delta PQR \text{ का परिमाप}} = \frac{AB}{PQ}$।
हमें दिया गया है कि $\frac{AB}{PQ} = \frac{3}{4}$ और $\Delta PQR$ का परिमाप $= 24$ है।
माना कि $\Delta ABC$ का परिमाप $x$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{x}{24} = \frac{3}{4}$।
$x = \frac{3}{4} \times 24$।
$x = 3 \times 6 = 18$।
अतः,$\Delta ABC$ का परिमाप $18$ है।

(C) दिया गया है कि $\Delta PQR \sim \Delta XYZ$,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है।
अतः,$\frac{PQ}{XY} = \frac{QR}{YZ} = \frac{PR}{XZ}$.
दिए गए समीकरण $3 QR = 4 YZ$ से,हम अनुपात $\frac{QR}{YZ} = \frac{4}{3}$ लिख सकते हैं।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,संगत भुजाओं का अनुपात स्थिर रहता है,इसलिए $\frac{PR}{XZ} = \frac{QR}{YZ} = \frac{4}{3}$ होगा।
दिए गए मान $PR = 8$ को समीकरण में रखने पर,हमें $\frac{8}{XZ} = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
$XZ$ के लिए हल करने पर: $4 XZ = 8 \times 3$,जिसका अर्थ है $4 XZ = 24$।
अतः,$XZ = \frac{24}{4} = 6$।

(D) चूंकि $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है।
अतः,$\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ} = \frac{AC}{XZ}$.
दिया गया है कि $\frac{AB}{XY} = \frac{4}{5}$ और $YZ = 20$ है।
अनुपात $\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ}$ में मान रखने पर:
$\frac{4}{5} = \frac{BC}{20}$.
दोनों पक्षों को $20$ से गुणा करने पर:
$BC = \frac{4}{5} \times 20$.
$BC = 4 \times 4 = 16$.
इस प्रकार,$BC$ की लंबाई $16$ है।

(A) चूंकि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है।
अतः,$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR} = k$ (जहाँ $k$ एक स्केल फैक्टर है)।
अनुपात के गुणों के अनुसार,यदि $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ है,तो $\frac{a+c}{b+d} = k$ होता है।
इस प्रकार,$\frac{AB + BC}{PQ + QR} = \frac{AC}{PR}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{12}{15} = \frac{8}{PR}$.
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{4}{5} = \frac{8}{PR}$.
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर: $4 \times PR = 5 \times 8$.
$4 \times PR = 40$.
$PR = \frac{40}{4} = 10$.
अतः,$PR$ की लंबाई $10$ है।