Similarity of Triangles and Basic Proportionality Theorem Questions in Hindi

(A) $\Delta ABC$ में,चूंकि $m \angle B = 90^{\circ}$ है,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,कर्ण $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$.
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल दो तरीकों से निकाला जा सकता है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 7 \times 24 = 84$.
साथ ही,$AC$ को आधार और $BM$ को ऊंचाई मानते हुए,क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AC \times BM = \frac{1}{2} \times 25 \times BM$.
दोनों क्षेत्रफलों की तुलना करने पर: $\frac{1}{2} \times 25 \times BM = 84$.
$25 \times BM = 168$.
$BM = \frac{168}{25} = 6.72$.

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ है। $N$,$AB$ पर एक बिंदु है और $M$,$BC$ पर एक बिंदु है।
सिद्ध करना है: $AM^{2} + CN^{2} = AC^{2} + MN^{2}$।
उपपत्ति:
$1$. समकोण $\Delta ABM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AM^{2} = AB^{2} + BM^{2}$।
$2$. समकोण $\Delta CBN$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $CN^{2} = CB^{2} + BN^{2}$।
$3$. इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $AM^{2} + CN^{2} = AB^{2} + BM^{2} + CB^{2} + BN^{2}$।
$4$. पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $AM^{2} + CN^{2} = (AB^{2} + BC^{2}) + (BM^{2} + BN^{2})$।
$5$. $\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$।
$6$. समकोण $\Delta MBN$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $MN^{2} = BM^{2} + BN^{2}$।
$7$. इन मानों को चरण $4$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $AM^{2} + CN^{2} = AC^{2} + MN^{2}$।
अतः,कथन सिद्ध हुआ।

(N/A) मान लीजिए कि चतुर्भुज $\square XYZW$ के विकर्ण $XZ$ और $YW$ बिंदु $O$ पर समकोण $(90^{\circ})$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$\triangle XOY$,$\triangle YOZ$,$\triangle ZOW$ और $\triangle WOX$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$XY^{2} = XO^{2} + YO^{2}$ $(1)$
$YZ^{2} = YO^{2} + ZO^{2}$ $(2)$
$ZW^{2} = ZO^{2} + WO^{2}$ $(3)$
$XW^{2} = WO^{2} + XO^{2}$ $(4)$
समीकरण $(1)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$XY^{2} + ZW^{2} = (XO^{2} + YO^{2}) + (ZO^{2} + WO^{2})$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$XY^{2} + ZW^{2} = (YO^{2} + ZO^{2}) + (WO^{2} + XO^{2})$
समीकरण $(2)$ और $(4)$ का मान रखने पर:
$XY^{2} + ZW^{2} = YZ^{2} + XW^{2}$
अतः,यह सिद्ध हुआ।

(N/A) माना $ABCD$ एक आयत है जिसकी भुजाएँ $AB = CD = l$ और $BC = DA = b$ हैं। माना विकर्ण $AC$ और $BD$ हैं।
आयत में,सभी आंतरिक कोण $90^{\circ}$ होते हैं।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ पर विचार करें। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = l^2 + b^2$
इसी प्रकार,समकोण त्रिभुज $\triangle BCD$ में:
$BD^2 = BC^2 + CD^2 = b^2 + l^2$
विकर्णों के वर्गों का योग:
$AC^2 + BD^2 = (l^2 + b^2) + (b^2 + l^2) = 2l^2 + 2b^2$
भुजाओं के वर्गों का योग:
$AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = l^2 + b^2 + l^2 + b^2 = 2l^2 + 2b^2$
अतः,भुजाओं के वर्गों का योग विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर है।

(N/A) दिया है: $\Delta PQR$ में,$\overline{QM} \perp \overline{PR}$। माना $PM = x$। तब $PQ = 2x$ और $RM = 3x$।
समकोण $\Delta QMP$ में,पाइथागोरस प्रमेय द्वारा: $PQ^2 = PM^2 + QM^2 \implies (2x)^2 = x^2 + QM^2 \implies 4x^2 = x^2 + QM^2 \implies QM^2 = 3x^2$।
समकोण $\Delta QMR$ में,पाइथागोरस प्रमेय द्वारा: $QR^2 = QM^2 + RM^2 \implies QR^2 = 3x^2 + (3x)^2 \implies QR^2 = 3x^2 + 9x^2 = 12x^2$।
अब,$\Delta PQR$ की भुजाओं पर विचार करें: $PR = PM + RM = x + 3x = 4x$। अतः,$PR^2 = (4x)^2 = 16x^2$।
जाँचें कि क्या $PQ^2 + QR^2 = PR^2$: $PQ^2 + QR^2 = (2x)^2 + 12x^2 = 4x^2 + 12x^2 = 16x^2$।
चूँकि $PQ^2 + QR^2 = PR^2$,पाइथागोरस प्रमेय के विलोम द्वारा,$\Delta PQR$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle PQR = 90^\circ$ है।

(N/A) $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ है।
समकोण त्रिभुज में शीर्षलंब के गुणधर्म के अनुसार,$BM^2 = AM \cdot CM$ होता है।
दिया गया है कि $BM = 2 CM$,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$(2 CM)^2 = AM \cdot CM$
$4 CM^2 = AM \cdot CM$
चूंकि $CM \neq 0$,दोनों पक्षों को $CM$ से विभाजित करने पर $AM = 4 CM$ प्राप्त होता है।
अब,कर्ण $AC$ रेखाखंड $AM$ और $CM$ का योग है:
$AC = AM + CM$
$AC = 4 CM + CM$
$AC = 5 CM$.
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।

(N/A) $1$. $\Delta PQR$ में,$\angle Q = 90^{\circ}$ है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PR^{2} = PQ^{2} + QR^{2}$।
$2$. चूंकि $\overline{PM}$ भुजा $\overline{QR}$ पर एक माध्यिका है,इसलिए $M$,$\overline{QR}$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$QM = RM = \frac{1}{2} QR$,जिसका अर्थ है कि $QR = 2RM$।
$3$. समकोण $\Delta PQM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PM^{2} = PQ^{2} + QM^{2}$। अतः,$PQ^{2} = PM^{2} - QM^{2}$।
$4$. $PQ^{2} = PM^{2} - QM^{2}$ और $QR = 2RM$ के मानों को पहले समीकरण में रखने पर: $PR^{2} = (PM^{2} - QM^{2}) + (2RM)^{2}$।
$5$. चूंकि $QM = RM$,इसलिए $QM$ के स्थान पर $RM$ रखने पर: $PR^{2} = PM^{2} - RM^{2} + 4RM^{2}$।
$6$. व्यंजक को सरल करने पर,हमें $PR^{2} = PM^{2} + 3RM^{2}$ प्राप्त होता है। इति सिद्धम्।

(N/A) माना कि $BC$ को बिंदु $D$ और $E$ द्वारा तीन बराबर भागों में विभाजित किया गया है। माना $BD = DE = EC = x$ है। अतः $BE = 2x$ और $BC = 3x$ होगा।
समकोण $\Delta ABE$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AE^{2} = AB^{2} + BE^{2} = AB^{2} + (2x)^{2} = AB^{2} + 4x^{2}$।
दोनों पक्षों को $8$ से गुणा करने पर: $8AE^{2} = 8AB^{2} + 32x^{2}$।
समकोण $\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} = AB^{2} + (3x)^{2} = AB^{2} + 9x^{2}$।
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर: $3AC^{2} = 3AB^{2} + 27x^{2}$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $8AE^{2} - 3AC^{2} = (8AB^{2} + 32x^{2}) - (3AB^{2} + 27x^{2}) = 5AB^{2} + 5x^{2}$।
चूंकि $DE = x$ है,इसलिए $DE^{2} = x^{2}$ होगा। अतः,$8AE^{2} - 3AC^{2} = 5AB^{2} + 5DE^{2}$।

(N/A) माना कि समचतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चूँकि समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $AO = OC = \frac{AC}{2}$ और $BO = OD = \frac{BD}{2}$ होगा।
समकोण त्रिभुज $\triangle AOB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^{2} = AO^{2} + BO^{2}$
$AO$ और $BO$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$AB^{2} = (\frac{AC}{2})^{2} + (\frac{BD}{2})^{2}$
$AB^{2} = \frac{AC^{2}}{4} + \frac{BD^{2}}{4}$
$AB^{2} = \frac{AC^{2} + BD^{2}}{4}$
दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करने पर:
$4AB^{2} = AC^{2} + BD^{2}$
अतः,यह सिद्ध हुआ कि $AC^{2} + BD^{2} = 4AB^{2}$।

(A) $1$. $\Delta ABC$ में,चूँकि $\angle B = 90^{\circ}$ है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ (समीकरण $1$)।
$2$. चूँकि $\overline{AD}$ भुजा $\overline{BC}$ पर एक माध्यिका है,$D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$BD = DC = \frac{1}{2} BC$,जिसका अर्थ है $BC = 2BD$।
$3$. $\Delta ABD$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AD^{2} = AB^{2} + BD^{2}$।
$4$. $BD^{2}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$BD^{2} = AD^{2} - AB^{2}$ प्राप्त होता है।
$5$. $BC = 2BD$ को समीकरण $1$ में प्रतिस्थापित करने पर: $AC^{2} = AB^{2} + (2BD)^{2} = AB^{2} + 4BD^{2}$।
$6$. $BD^{2} = AD^{2} - AB^{2}$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $AC^{2} = AB^{2} + 4(AD^{2} - AB^{2})$।
$7$. सरल करने पर: $AC^{2} = AB^{2} + 4AD^{2} - 4AB^{2} = 4AD^{2} - 3AB^{2}$।
$8$. अतः,$AC^{2} = 4AD^{2} - 3AB^{2}$ सिद्ध हुआ।

(N/A) दिया है: चतुर्भुज $ABCD$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ और $AD^{2} = AB^{2} + BC^{2} + CD^{2}$ है।
सिद्ध करना है: $\angle ACD = 90^{\circ}$।
उपपत्ति: $AC$ को मिलाइए। $\triangle ABC$ में,चूंकि $\angle B = 90^{\circ}$ है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ होगा।
इस मान को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $AD^{2} = (AB^{2} + BC^{2}) + CD^{2}$।
यह $AD^{2} = AC^{2} + CD^{2}$ बन जाता है।
$\triangle ACD$ में,हमारे पास $AD^{2} = AC^{2} + CD^{2}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के विलोम के अनुसार,यदि एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो,तो पहली भुजा के सम्मुख कोण समकोण होता है।
अतः,$\angle ACD = 90^{\circ}$ है।

(N/A) $\Delta ABM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AB^{2} = AM^{2} + BM^{2}$ $(1)$।
$\Delta ACM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AC^{2} = AM^{2} + MC^{2}$ $(2)$।
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर: $AB^{2} - AC^{2} = BM^{2} - MC^{2} = (BM - MC)(BM + MC)$।
चूंकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BD = DC = \frac{BC}{2}$।
हम $BM$ को $BD + DM$ और $MC$ को $DC - DM = BD - DM$ के रूप में लिख सकते हैं।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $BM - MC = (BD + DM) - (BD - DM) = 2DM$।
साथ ही,$BM + MC = BC$।
अतः,$AB^{2} - AC^{2} = (2DM)(BC) = 2 \cdot BC \cdot DM$।

(A) दिया गया है कि $\Delta ABC$ में,$m\angle A + m\angle C = m\angle B$ है।
हम जानते हैं कि त्रिभुज के सभी कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $m\angle A + m\angle B + m\angle C = 180^{\circ}$ है।
समीकरण में $m\angle A + m\angle C = m\angle B$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $m\angle B + m\angle B = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2m\angle B = 180^{\circ}$,इसलिए $m\angle B = 90^{\circ}$ है।
चूंकि $\angle B = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $AC$ कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 = AB^2 + BC^2$ है।
दिए गए मानों को रखने पर,$AC^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$ है।
अतः,$AC = \sqrt{625} = 25$ है।

(D) $\Delta PQR$ में,$\angle P = 90^{\circ}$ और $\overline{PM} \perp \overline{QR}$ है।
ज्यामितीय माध्य प्रमेय (या कर्ण पर डाले गए शीर्षलंब के गुणधर्म) के अनुसार,$PQ^2 = QM \cdot QR$ होता है।
दिया गया है $PQ = \sqrt{20}$,इसलिए $PQ^2 = 20$ है।
मान रखने पर: $20 = 4 \cdot QR$।
अतः,$QR = \frac{20}{4} = 5$।
चूंकि $QR = QM + RM$,इसलिए $5 = 4 + RM$ होगा।
इस प्रकार,$RM = 5 - 4 = 1$।

(A) मान लीजिए कि समचतुर्भुज $ABCD$ है जिसके विकर्ण $AC = 24$ और $BD = 10$ हैं।
समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं।
मान लीजिए कि प्रतिच्छेदन बिंदु $O$ है।
अतः,$AO = AC / 2 = 24 / 2 = 12$ और $BO = BD / 2 = 10 / 2 = 5$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle AOB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = AO^2 + BO^2$
$AB^2 = 12^2 + 5^2$
$AB^2 = 144 + 25 = 169$
$AB = \sqrt{169} = 13$।
चूंकि समचतुर्भुज की सभी भुजाएं समान होती हैं,इसलिए प्रत्येक भुजा की लंबाई $13$ है।

(B) $\Delta XYZ$ में,चूँकि $m\angle Y = 90^{\circ}$ है,यह एक समकोण त्रिभुज है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,$XZ^2 = XY^2 + YZ^2$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$XZ^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$।
अतः,$XZ = \sqrt{25} = 5$।
एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
चूँकि $M$,$\overline{XZ}$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\overline{YM}$ कर्ण $\overline{XZ}$ पर माध्यिका है।
अतः,$YM = \frac{1}{2} \times XZ = \frac{1}{2} \times 5 = 2.5$।

(C) माना सीढ़ी की लंबाई $L = 17 \, m$ है।
माना सीढ़ी के आधार की दीवार से दूरी $b = 8 \, m$ है।
माना सीढ़ी दीवार पर $h$ ऊँचाई तक पहुँचती है।
दीवार,जमीन और सीढ़ी एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं जहाँ सीढ़ी कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $h^2 + b^2 = L^2$.
मान रखने पर: $h^2 + 8^2 = 17^2$.
$h^2 + 64 = 289$.
$h^2 = 289 - 64 = 225$.
$h = \sqrt{225} = 15 \, m$.
अतः,सीढ़ी का ऊपरी सिरा दीवार पर $15 \, m$ की ऊँचाई तक पहुँचता है।

(A) समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $\angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ है,हम ज्यामितीय माध्य प्रमेय (या समरूप त्रिभुजों के गुणों) का उपयोग करते हैं।
समकोण त्रिभुज में शीर्षलंब के गुण के अनुसार,भुजा का वर्ग उसके आसन्न कर्ण के खंड और पूरे कर्ण के गुणनफल के बराबर होता है।
विशेष रूप से,$BC^2 = CM \times AC$ होता है।
यहाँ $AM = 7$ और $CM = 9$ दिया गया है,इसलिए कर्ण $AC$ की कुल लंबाई $AC = AM + CM = 7 + 9 = 16$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $BC^2 = 9 \times 16$।
$BC^2 = 144$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$BC = \sqrt{144} = 12$।

(B) $\Delta ABC$ में,चूँकि $m \angle A = 90^\circ$ है,यह एक समकोण त्रिभुज है जिसमें कर्ण $a$,$\angle A$ के सम्मुख भुजा है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$a^2 = b^2 + c^2$ होता है।
दिया गया है कि $b = 12$ और $c = 35$ है।
$a^2 = 12^2 + 35^2$
$a^2 = 144 + 1225$
$a^2 = 1369$
$a = \sqrt{1369} = 37$।
अतः,$a = 37$।

(C) दिया गया है कि $\Delta PQR$ में,$m \angle Q = 90^\circ$ है,अतः यह एक समकोण त्रिभुज है।
मान लीजिए $PQ = x$ और $QR = x$ (क्योंकि $PQ : QR = 1 : 1$ है)।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PR^2 = PQ^2 + QR^2$।
मान रखने पर,$PR^2 = x^2 + x^2 = 2x^2$।
इसलिए,$PR = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}$।
हमें अनुपात $PQ : PR$ ज्ञात करना है।
$PQ : PR = x : x\sqrt{2} = 1 : \sqrt{2}$।

(A) $\Delta MNP$ के लिए अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार,जहाँ $\overline{MX}$ भुजा $\overline{NP}$ पर माध्यिका है:
$MN^2 + MP^2 = 2(MX^2 + NX^2)$
दिया गया है कि $MN^2 + MP^2 = 50$ और $MX = 3$,इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$50 = 2(3^2 + NX^2)$
$50 = 2(9 + NX^2)$
$25 = 9 + NX^2$
$NX^2 = 25 - 9 = 16$
$NX = \sqrt{16} = 4$
चूँकि $\overline{MX}$ एक माध्यिका है,$X$,$\overline{NP}$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $NP = 2 \times NX$.
$NP = 2 \times 4 = 8$.

(C) समकोण त्रिभुज $\Delta PQR$ में जहाँ $m \angle Q = 90^{\circ}$ है,$\overline{QD}$ कर्ण $\overline{PR}$ पर डाला गया शीर्षलंब है।
समकोण त्रिभुज में समरूपता के गुणधर्म के अनुसार,कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
विशेष रूप से,$\Delta PQD \sim \Delta QRD$.
$\Delta PQD$ में,कोण $\angle P$,$\angle PQD$ और $\angle PDQ = 90^{\circ}$ हैं।
$\Delta QRD$ में,कोण $\angle R$,$\angle RQD$ और $\angle RDQ = 90^{\circ}$ हैं।
चूंकि $\angle P + \angle R = 90^{\circ}$ और $\angle P + \angle PQD = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle PQD = \angle R$ होता है।
दिए गए विकल्पों को देखने पर,$\angle DRQ$ (जो $\angle R$ के समान है) $\angle PQD$ के संगत कोण है।

(A) एक समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $\angle B = 90^{\circ}$ है और $\overline{BM}$ कर्ण $\overline{AC}$ पर शीर्षलंब है,तब $\Delta AMB \sim \Delta BMC$ होता है।
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार,संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AM}{BM} = \frac{BM}{CM}$.
तिर्यक गुणा करने पर $BM^2 = AM \cdot CM$ प्राप्त होता है।
अतः,$BM = \sqrt{AM \cdot CM}$,जिसका अर्थ है कि $BM$,$AM$ और $CM$ का गुणोत्तर माध्य है।

(A) समकोण त्रिभुज $\Delta PQR$ में जहाँ $\angle Q = 90^{\circ}$ है,$\overline{QM}$ कर्ण $PR$ पर डाला गया शीर्षलंब है।
ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) के अनुसार,$QM^2 = PM \times MR$ होता है।
यहाँ $QM = 6$ और $MR = 9$ दिया गया है,इसलिए $6^2 = PM \times 9$।
$36 = PM \times 9$,जिसका अर्थ है कि $PM = 36 / 9 = 4$।
अतः,कर्ण $PR$ की लंबाई $PR = PM + MR = 4 + 9 = 13$ होगी।

(B) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींचा गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं और आपस में भी समरूप होते हैं।
विशेष रूप से,$\Delta AMB \sim \Delta BMC$.
इन त्रिभुजों की समरूपता से,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AM}{BM} = \frac{BM}{CM}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{12}{BM} = \frac{BM}{3}$.
वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$BM^2 = 12 \times 3$.
$BM^2 = 36$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$BM = \sqrt{36} = 6$.
अतः,$BM$ की लंबाई $6$ है।

(D) चूंकि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $m\angle B = 90^\circ$ है,इसलिए हम पाइथागोरस प्रमेय लागू कर सकते हैं।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $(AC)^2 = (AB)^2 + (BC)^2$.
यहाँ $AB = 12$ और $BC = 5$ दिया गया है।
मान रखने पर: $(AC)^2 = (12)^2 + (5)^2$.
$(AC)^2 = 144 + 25 = 169$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $AC = \sqrt{169} = 13$.
अतः,कर्ण $AC$ की लंबाई $13$ है।

(A) $\Delta PQR$ में,चूँकि $m \angle Q = 90^{\circ}$ है,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
यहाँ,$PR$ कर्ण है ($90^{\circ}$ के कोण के सामने की भुजा)।
अतः,$PR^{2} = PQ^{2} + QR^{2}$।
दिए गए मान रखने पर: $17^{2} = 8^{2} + QR^{2}$।
$289 = 64 + QR^{2}$।
$QR^{2} = 289 - 64$।
$QR^{2} = 225$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$QR = \sqrt{225} = 15$।

(C) समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $m\angle B = 90^{\circ}$ है,भुजा $b$ कर्ण (hypotenuse) को दर्शाती है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$b^2 = a^2 + c^2$ होता है।
दिया गया है कि $a = 16$ और $c = 12$ है।
मान रखने पर: $b^2 = 16^2 + 12^2$।
$b^2 = 256 + 144$।
$b^2 = 400$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$b = \sqrt{400} = 20$।

(D) $\Delta PQR$ में,चूँकि $m\angle Q = 90^\circ$ है,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
यहाँ,$PR$ कर्ण है।
अतः,$PR^2 = PQ^2 + QR^2$।
दिया गया है कि $PQ = 8$ और $QR = 15$ है।
$PR^2 = 8^2 + 15^2$।
$PR^2 = 64 + 225$।
$PR^2 = 289$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$PR = \sqrt{289} = 17$।

(A) $\Delta DEF$ में,चूंकि $m \angle D = 90^{\circ}$ है,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
यहाँ,$EF$ कर्ण है क्योंकि यह $D$ पर समकोण के सम्मुख है।
इसलिए,$EF^2 = DE^2 + DF^2$।
दिया गया है कि $EF = 6$ और $DF = 4$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$6^2 = DE^2 + 4^2$
$36 = DE^2 + 16$
$DE^2 = 36 - 16$
$DE^2 = 20$
$DE = \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2 \sqrt{5}$।

(B) दिया गया है कि $\Delta XYZ$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $m\angle Y = 90^{\circ}$ है।
चूंकि $XY = YZ$ है,मान लीजिए $XY = YZ = x$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$XY^2 + YZ^2 = XZ^2$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$x^2 + x^2 = 10^2$ प्राप्त होता है।
$2x^2 = 100$।
$x^2 = 50$।
$x = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$।
अतः,$XY = 5\sqrt{2}$।

(C) माना कि वर्ग की भुजा $a$ है।
एक वर्ग में, विकर्ण $d$ और भुजा $a$ के बीच का संबंध $d = a \sqrt{2}$ होता है।
दिया गया है कि विकर्ण $d = 6$, इसलिए:
$a \sqrt{2} = 6$
$a = \frac{6}{\sqrt{2}}$
हर का परिमेयकरण करने के लिए, अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करें:
$a = \frac{6 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{6 \sqrt{2}}{2} = 3 \sqrt{2}$.
अतः, वर्ग की भुजा की लंबाई $3 \sqrt{2}$ है।

(A) एक आयत में,प्रत्येक कोण समकोण $(90^{\circ})$ होता है।
मान लीजिए कि आयत की भुजाएँ $a = 12$ और $b = 35$ हैं।
आयत का विकर्ण $d$ दो आसन्न भुजाओं के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाता है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$d^2 = a^2 + b^2$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $d^2 = 12^2 + 35^2$।
$d^2 = 144 + 1225$।
$d^2 = 1369$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $d = \sqrt{1369} = 37$।
अतः,विकर्ण की लंबाई $37$ है।

(B) आयत $ABCD$ में,कोण $\angle B = 90^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $AB$ और $BC$ भुजाएँ हैं और $AC$ कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 = AB^2 + BC^2$।
यहाँ $AB = 2.4$ और $BC = 3.2$ दिया गया है।
$AC^2 = (2.4)^2 + (3.2)^2$।
$AC^2 = 5.76 + 10.24$।
$AC^2 = 16$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$AC = \sqrt{16} = 4$।

(C) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
दिया गया है कि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $m\angle B = 90^{\circ}$ है,इसलिए भुजा $\overline{AC}$ कर्ण है।
$\overline{BM}$ कर्ण $\overline{AC}$ पर माध्यिका है।
इसलिए,$BM = \frac{1}{2} \times AC$ होगा।
चूंकि $AC = 20$ दिया गया है,इसलिए $BM = \frac{1}{2} \times 20 = 10$ होगा।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
दिया गया है कि $\Delta XYZ$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $m\angle Y = 90^{\circ}$ है,इसलिए भुजा $XZ$ कर्ण है।
$\overline{YP}$ कर्ण $XZ$ पर माध्यिका है।
इसलिए,$YP = \frac{1}{2} \times XZ$।
चूंकि $YP = 6$ दिया गया है,इसलिए $6 = \frac{1}{2} \times XZ$।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,हमें $XZ = 6 \times 2 = 12$ प्राप्त होता है।

(C) $\triangle PQR$ में,हमें $PQ = 10$,$QR = 10$ और $PR = 10\sqrt{2}$ दिया गया है।
पाइथागोरस प्रमेय के विलोम का उपयोग करके जांचें कि क्या $\triangle PQR$ एक समकोण त्रिभुज है:
$PQ^2 + QR^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200$.
$PR^2 = (10\sqrt{2})^2 = 100 \times 2 = 200$.
चूंकि $PQ^2 + QR^2 = PR^2$,इसलिए $\triangle PQR$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle PQR = 90^\circ$ है।
एक चतुर्भुज में,यदि दो आसन्न भुजाएँ बराबर हैं और उनके बीच का कोण $90^\circ$ है,तो यह एक वर्ग की विशेषता है।

(D) माना बांस की लंबाई कर्ण $c = 15 \, m$ है।
दीवार पर पहुँची ऊँचाई एक भुजा $a = 12 \, m$ है।
दीवार के आधार से दूरी दूसरी भुजा $b$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$a^2 + b^2 = c^2$ होता है।
मान रखने पर,$(12)^2 + b^2 = (15)^2$ प्राप्त होता है।
$144 + b^2 = 225$।
$b^2 = 225 - 144 = 81$।
$b = \sqrt{81} = 9 \, m$।
अतः,बांस का निचला सिरा दीवार के आधार से $9 \, m$ दूर है।

(B) आयत $ABCD$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ होता है।
$\triangle ABC$ में पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ होता है।
हमें दिया गया है कि $AB^{2} + BC^{2} = 64$ है।
इसलिए,$AC^{2} = 64$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$AC = \sqrt{64} = 8$ प्राप्त होता है।
अतः,विकर्ण $AC$ की लंबाई $8$ है।

(D) $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ है।
समकोण त्रिभुज में ज्यामितीय माध्य के गुणधर्म के अनुसार,$BM^2 = AM \cdot MC$ होता है।
यहाँ $BM = 12$ और $AM = 9$ दिया गया है,इसलिए $12^2 = 9 \cdot MC$ होगा।
$144 = 9 \cdot MC \implies MC = \frac{144}{9} = 16$।
$\Delta ABM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 = AM^2 + BM^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$।
अतः,$AB = \sqrt{225} = 15$।
$\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 = AB^2 + BC^2$ होगा।
पहले $\Delta BMC$ में $BC^2$ ज्ञात करते हैं: $BC^2 = BM^2 + MC^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$।
इस प्रकार,$AC^2 = 225 + 400 = 625$।
$AC = \sqrt{625} = 25$।
वैकल्पिक रूप से,$AC = AM + MC = 9 + 16 = 25$।

(B) माना कि वर्ग की भुजा की लंबाई $a$ है।
हम जानते हैं कि वर्ग का विकर्ण $d$ निकालने का सूत्र $d = a \sqrt{2}$ है।
यहाँ विकर्ण $d = 12$ दिया गया है,इसलिए:
$12 = a \sqrt{2}$
$a = \frac{12}{\sqrt{2}}$
हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर:
$a = \frac{12 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}$
$a = \frac{12 \sqrt{2}}{2}$
$a = 6 \sqrt{2}$
अतः,वर्ग की प्रत्येक भुजा की लंबाई $6 \sqrt{2}$ है।

(D) दिया गया है कि $\Delta PQR$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $m\angle Q = 90^{\circ}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,$PR^2 = PQ^2 + QR^2$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$PR^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ प्राप्त होता है।
अतः,$PR = \sqrt{100} = 10$ है।
समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
चूंकि $T$,$\overline{PR}$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\overline{QT}$ कर्ण $\overline{PR}$ पर माध्यिका है।
इसलिए,$QT = \frac{1}{2} \times PR = \frac{1}{2} \times 10 = 5$।

(A) माना सीढ़ी की लंबाई कर्ण $h = 2.6 \,m$ है।
माना सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार से दूरी आधार $b = 1 \,m$ है।
माना सीढ़ी दीवार पर $a$ ऊँचाई तक पहुँचती है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$a^2 + b^2 = h^2$ होता है।
मान रखने पर: $a^2 + (1)^2 = (2.6)^2$।
$a^2 + 1 = 6.76$।
$a^2 = 6.76 - 1 = 5.76$।
$a = \sqrt{5.76} = 2.4 \,m$।
अतः,सीढ़ी का ऊपरी सिरा दीवार पर $2.4 \,m$ की ऊँचाई तक पहुँचेगा।

(B) यदि किसी त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो,तो वह एक समकोण त्रिभुज होता है (पाइथागोरस प्रमेय)।
विकल्प $A$ के लिए: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$,जबकि $12^2 = 144$। चूंकि $100 \neq 144$,यह समकोण त्रिभुज नहीं है।
विकल्प $B$ के लिए: $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$,और $25^2 = 625$। चूंकि $625 = 625$,यह पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है।
विकल्प $C$ के लिए: $7^2 + 15^2 = 49 + 225 = 274$,जबकि $17^2 = 289$। चूंकि $274 \neq 289$,यह समकोण त्रिभुज नहीं है।
विकल्प $D$ के लिए: $3^2 + 7^2 = 9 + 49 = 58$,जबकि $9^2 = 81$। चूंकि $58 \neq 81$,यह समकोण त्रिभुज नहीं है।
अतः,$7, 24, 25$ भुजाओं वाला त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

(B) एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज में,समकोण बनाने वाली दो भुजाएँ लंबाई में समान होती हैं।
मान लीजिए कि इन भुजाओं में से प्रत्येक की लंबाई $x \, cm$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
इसलिए,$(x)^2 + (x)^2 = (8)^2$.
$2x^2 = 64$.
$x^2 = 32$.
$x = \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4 \sqrt{2} \, cm$.
चूंकि लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए अन्य दो भुजाओं में से प्रत्येक की लंबाई $4 \sqrt{2} \, cm$ है।

(C) कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\Delta PQR$ में,यदि $PS$,$\angle P$ का समद्विभाजक है,तो $\frac{PQ}{PR} = \frac{QS}{SR}$ होता है।
दिया गया है कि $\frac{PQ}{PR} = \frac{5}{4}$ और $SR = 5.6 \text{ cm}$ है।
मान रखने पर,$\frac{5}{4} = \frac{QS}{5.6}$ प्राप्त होता है।
अतः,$QS = \frac{5 \times 5.6}{4} = 5 \times 1.4 = 7 \text{ cm}$।
अब,$QR = QS + SR = 7 + 5.6 = 12.6 \text{ cm}$।

(D) दिया गया है कि $\Delta ABC$ में,$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
इसलिए,$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$।
यहाँ $\frac{AM}{AB} = \frac{2}{3}$ और $AC = 15$ दिया गया है।
मान रखने पर,$\frac{2}{3} = \frac{AN}{15}$।
$AN = \frac{2 \times 15}{3} = 10$।
चूँकि $A-N-C$ है,इसलिए $AC = AN + NC$ होगा।
$15 = 10 + NC$।
$NC = 15 - 10 = 5$।

(C) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर एक रेखा खींची जाती है जो अन्य दो भुजाओं को अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है,तो वे अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
चूंकि $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$,इसलिए $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ है।
दिया गया है $AB:AC = 3:4$,मान लीजिए $AB = 3k$ और $AC = 4k$ है।
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार,$\Delta ADE \sim \Delta ABC$ है।
इसलिए,$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{3}{4}$ है।
इसका अर्थ है $AD = \frac{3}{4} AB$ और $AE = \frac{3}{4} AC$ है।
अब,$BD = AB - AD = AB - \frac{3}{4} AB = \frac{1}{4} AB$ है।
इसी प्रकार,$EC = AC - AE = AC - \frac{3}{4} AC = \frac{1}{4} AC$ है।
अब अनुपात $\frac{EC}{BD} = \frac{\frac{1}{4} AC}{\frac{1}{4} AB} = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$EC:BD = 4:3$ है।

(C) कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\Delta ABC$ में,यदि $\angle A$ का समद्विभाजक $\overline{BC}$ को $D$ पर प्रतिच्छेद करता है,तो $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$ होता है।
दिया गया है कि $\frac{AB}{AC} = \frac{3}{4}$ और $BD = 4.5$ है।
मान रखने पर: $\frac{3}{4} = \frac{4.5}{DC}$।
अतः,$DC = \frac{4.5 \times 4}{3} = 1.5 \times 4 = 6$।
अब,चूँकि $BC = BD + DC$,इसलिए $BC = 4.5 + 6 = 10.5$ प्राप्त होता है।

(B) $\Delta ABC$ में,$\overline{BE}$ भुजा $\overline{AC}$ पर एक माध्यिका है।
अतः,$E$,$\overline{AC}$ का मध्य-बिंदु है,जिसका अर्थ है $AE = EC$,या $AC = 2EC$।
$\Delta CEB$ में,$D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है (क्योंकि $\overline{AD}$ एक माध्यिका है) और रेखा $m$ ($D$ से गुजरती हुई) $\overline{BE}$ के समांतर है।
$\Delta CEB$ में मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम के अनुसार,चूंकि $D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है और $\overline{DK} \parallel \overline{BE}$ है,इसलिए $K$ को $\overline{EC}$ का मध्य-बिंदु होना चाहिए।
अतः,$EK = KC = 2.5$।
इस प्रकार,$EC = EK + KC = 2.5 + 2.5 = 5$।
अंत में,$AC = 2EC = 2 \times 5 = 10$।