Similarity of Triangles and Basic Proportionality Theorem Questions in Hindi

(N/A) दिया है: $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $PQ \parallel SR$ और $PS \parallel QR$ है। साथ ही,$AB \parallel PS$ है।
सिद्ध करना है: $OC \parallel SR$ है।
उपपत्ति: $\triangle OPS$ और $\triangle OAB$ में,चूंकि $PS \parallel AB$ है:
$\angle POS = \angle AOB$ (उभयनिष्ठ कोण)
$\angle OSP = \angle OBA$ (संगत कोण)
अतः,$\triangle OPS \sim \triangle OAB$ ($AAA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
इस प्रकार,$\frac{PS}{AB} = \frac{OS}{OB}$ ..........$(i)$
$\triangle CQR$ और $\triangle CAB$ में,चूंकि $QR \parallel PS \parallel AB$ है:
$\angle QCR = \angle ACB$ (उभयनिष्ठ कोण)
$\angle CQR = \angle CAB$ (संगत कोण)
अतः,$\triangle CQR \sim \triangle CAB$ ($AA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
इस प्रकार,$\frac{QR}{AB} = \frac{CR}{CB}$ है।
चूंकि $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $PS = QR$ है। यह मान रखने पर:
$\frac{PS}{AB} = \frac{CR}{CB}$ ..........$(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से:
$\frac{OS}{OB} = \frac{CR}{CB} \Rightarrow \frac{OB}{OS} = \frac{CB}{CR}$ है।
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर:
$\frac{OB}{OS} - 1 = \frac{CB}{CR} - 1$
$\frac{OB - OS}{OS} = \frac{CB - CR}{CR}$
$\frac{BS}{OS} = \frac{BR}{CR}$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के विलोम द्वारा,$SR \parallel OC$ (या $OC \parallel SR$) है। इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: $AB = 6 \, cm$,$BC = 9 \, cm$,$CD = 12 \, cm$ और $PS = 36 \, cm$ है।
साथ ही,$PA$,$QB$,$RC$ और $SD$ रेखा $l$ पर लंब हैं,जिसका अर्थ है कि $PA \parallel QB \parallel RC \parallel SD$ है।
अंत:खंड प्रमेय (intercept theorem) के अनुसार,एक तिर्यक रेखा पर बने अंत:खंडों का अनुपात दूसरी तिर्यक रेखा पर बने अंत:खंडों के अनुपात के बराबर होता है:
$PQ : QR : RS = AB : BC : CD$
$PQ : QR : RS = 6 : 9 : 12$
माना $PQ = 6x$,$QR = 9x$ और $RS = 12x$ है।
चूंकि कुल लंबाई $PS = 36 \, cm$ है:
$PQ + QR + RS = 36$
$6x + 9x + 12x = 36$
$27x = 36$
$x = \frac{36}{27} = \frac{4}{3}$
अब,लंबाइयों की गणना करने पर:
$PQ = 6x = 6 \times \frac{4}{3} = 8 \, cm$
$QR = 9x = 9 \times \frac{4}{3} = 12 \, cm$
$RS = 12x = 12 \times \frac{4}{3} = 16 \, cm$

(N/A) दिया है: $ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $AB \parallel DC$ है। विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। $PQ \parallel AB \parallel DC$.
सिद्ध करना है: $PO = QO$.
उपपत्ति: $\triangle ADC$ में,$PO \parallel DC$ (क्योंकि $PQ \parallel DC$ है)।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार:
$\frac{AP}{PD} = \frac{AO}{OC}$ ........$(i)$
$\triangle ABC$ में,$OQ \parallel AB$ है।
$BPT$ के अनुसार:
$\frac{BQ}{QC} = \frac{AO}{OC}$ ........$(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AP}{PD} = \frac{BQ}{QC}$
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर:
$\frac{AP}{PD} + 1 = \frac{BQ}{QC} + 1$
$\frac{AP + PD}{PD} = \frac{BQ + QC}{QC}$
$\frac{AD}{PD} = \frac{BC}{QC}$
$\Rightarrow \frac{PD}{AD} = \frac{QC}{BC}$ ........$(iii)$
अब,$\triangle ABD$ में,$PO \parallel AB$ है। अतः,$\triangle POD \sim \triangle ABD$ ($AA$ समरूपता कसौटी से)।
इसलिए,$\frac{PO}{AB} = \frac{PD}{AD}$ ........$(iv)$
$\triangle ABC$ में,$OQ \parallel AB$ है। अतः,$\triangle OQC \sim \triangle ABC$ ($AA$ समरूपता कसौटी से)।
इसलिए,$\frac{OQ}{AB} = \frac{QC}{BC}$ ........$(v)$
$(iii)$,$(iv)$ और $(v)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{PO}{AB} = \frac{OQ}{AB}$
$\Rightarrow PO = OQ$. इति सिद्धम्।

(N/A) $\Delta ABC$ में,$A-P-B$,$A-Q-C$ और $\overleftrightarrow{PQ} \parallel \overleftrightarrow{BC}$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार:
$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$
यहाँ $AP = 3$,$PB = 5$,$AQ = 6$ दिया गया है।
$\frac{3}{5} = \frac{6}{QC}$
$QC = \frac{6 \times 5}{3} = 10$.
अब,$AC$ ज्ञात करने के लिए:
$AC = AQ + QC = 6 + 10 = 16$.
वैकल्पिक रूप से,$\frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{3}{3+5} = \frac{6}{AC}$
$\frac{3}{8} = \frac{6}{AC}$
$AC = \frac{6 \times 8}{3} = 16$.

(C) $\Delta ABC$ में,$\angle A$ का समद्विभाजक $\overline{BC}$ को $D$ पर प्रतिच्छेद करता है। कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार:
$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$
दिया गया है कि $\frac{AB}{5} = \frac{AC}{3}$,इसलिए $\frac{AB}{AC} = \frac{5}{3}$।
मान रखने पर:
$\frac{5}{3} = \frac{4.5}{DC}$
$DC = \frac{4.5 \times 3}{5} = 0.9 \times 3 = 2.7$
चूंकि $D$,$BC$ पर स्थित है,इसलिए $BC = BD + DC$।
$BC = 4.5 + 2.7 = 7.2$.

(N/A) $\Delta ABC$ में,$\angle A$ का समद्विभाजक $\overline{BC}$ को $D$ पर प्रतिच्छेद करता है।
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार:
$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$
$BD$ ज्ञात करने के लिए:
$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$
योगानुपात (Componendo) के गुण का उपयोग करने पर,$\frac{AB}{AB + AC} = \frac{BD}{BD + DC} = \frac{BD}{BC}$
$\therefore BD = \frac{BC \times AB}{AB + AC}$
$DC$ ज्ञात करने के लिए:
$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \implies \frac{AC}{AB} = \frac{DC}{BD}$
योगानुपात का उपयोग करने पर,$\frac{AC + AB}{AB} = \frac{DC + BD}{BD} = \frac{BC}{BD}$
$\implies \frac{AC}{AC + AB} = \frac{DC}{BC}$
$\therefore DC = \frac{BC \times AC}{AB + AC}$

(A) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
चूंकि $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$,हमारे पास है:
$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$
दिया गया है $AM = 6$,$MB = 9$,और $AN = 8$,मान रखने पर:
$\frac{6}{9} = \frac{8}{NC}$
$\frac{2}{3} = \frac{8}{NC}$
$2 \times NC = 8 \times 3$
$2 \times NC = 24$
$NC = 12$
चूंकि $AC = AN + NC$,हमारे पास है:
$AC = 8 + 12 = 20$.

(B) दिया गया है कि $\Delta ABC$ में,$\overline{PQ} \parallel \overline{BC}$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
इसलिए,$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC} = \frac{3}{4}$ है।
मान लीजिए $AQ = 3x$ और $QC = 4x$ है।
हम जानते हैं कि $AC = AQ + QC$ है।
मान रखने पर,$17.5 = 3x + 4x$ प्राप्त होता है।
$17.5 = 7x$ है।
$x = \frac{17.5}{7} = 2.5$ है।
अब,$AQ = 3x = 3 \times 2.5 = 7.5$ है।

(C) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
चूंकि $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ है,इसलिए $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ होगा।
हमें $\frac{AM}{MB} = \frac{2}{3}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{AN}{NC} = \frac{2}{3}$ होगा।
माना $AN = 2x$ और $NC = 3x$ है।
चूंकि $AC = AN + NC$ है,इसलिए $25 = 2x + 3x$ होगा।
$25 = 5x$,जिसका अर्थ है कि $x = 5$ है।
अतः,$NC = 3x = 3 \times 5 = 15$।

(D) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
$\Delta XYZ$ में,चूँकि $\overline{ST} \parallel \overline{YZ}$ है,इसलिए:
$\frac{XS}{SY} = \frac{XT}{TZ}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{4}{x-4} = \frac{8}{3x-19}$
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए वज्र-गुणन (cross-multiply) करने पर:
$4(3x - 19) = 8(x - 4)$
$12x - 76 = 8x - 32$
$12x - 8x = 76 - 32$
$4x = 44$
$x = 11$

(A) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
दिया गया है कि $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$,इसलिए:
$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$
हमें $AD = 8$ और $AB = 12$ दिया गया है। चूँकि $A-D-B$ है,इसलिए $DB = AB - AD = 12 - 8 = 4$ होगा।
मानों को अनुपात में रखने पर:
$\frac{8}{4} = \frac{12}{EC}$
$2 = \frac{12}{EC}$
$EC = \frac{12}{2} = 6$.
अतः,$EC$ की लंबाई $6$ है।

(B) दिया गया है कि $\Delta ABC$ में,$\overline{PQ} \parallel \overline{BC}$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
अतः,$\frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC}$।
दिए गए मान $AP = 2$,$AB = 6$ और $AC = 9$ हैं।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{2}{6} = \frac{AQ}{9}$
$\frac{1}{3} = \frac{AQ}{9}$
$AQ = \frac{9}{3}$
$AQ = 3$।
अतः,$AQ$ का मान $3$ है।

(C) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
चूंकि $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ है,इसलिए $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ होगा।
हमें $\frac{AM}{MB} = \frac{4}{5}$ और $NC = 2.5$ दिया गया है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{4}{5} = \frac{AN}{2.5}$।
दोनों पक्षों को $2.5$ से गुणा करने पर: $AN = \frac{4}{5} \times 2.5$।
$AN = 4 \times 0.5 = 2$।
अतः,$AN$ का मान $2$ है।

(D) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
$\Delta XYZ$ में,चूँकि $\overline{ST} \parallel \overline{YZ}$,इसलिए:
$\frac{XS}{SY} = \frac{XT}{TZ}$
दिए गए मान $XS = 4$,$SY = 4.5$ और $XT = 8$ को रखने पर:
$\frac{4}{4.5} = \frac{8}{TZ}$
$4 \times TZ = 8 \times 4.5$
$4 \times TZ = 36$
$TZ = \frac{36}{4} = 9$
चूँकि $X-T-Z$ है,इसलिए $XZ = XT + TZ$ होगा।
$XZ = 8 + 9 = 17$.

(A) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर एक रेखा खींची जाती है जो अन्य दो भुजाओं को प्रतिच्छेद करती है,तो वह उन दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है।
दिया गया है $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$,अतः:
$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x}{x-2} = \frac{x+2}{x-1}$
वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$x(x-1) = (x-2)(x+2)$
$x^2 - x = x^2 - 4$
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर:
$-x = -4$
$x = 4$
अतः,$x$ का मान $4$ है।

(B) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
चूंकि $\overline{PQ} \parallel \overline{BC}$,इसलिए:
$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{8x-7}{5x-3} = \frac{4x-3}{3x-1}$
वज्र-गुणन करने पर:
$(8x-7)(3x-1) = (4x-3)(5x-3)$
$24x^2 - 8x - 21x + 7 = 20x^2 - 12x - 15x + 9$
$24x^2 - 29x + 7 = 20x^2 - 27x + 9$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$4x^2 - 2x - 2 = 0$
$2$ से विभाजित करने पर:
$2x^2 - x - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(2x+1)(x-1) = 0$
इससे $x = 1$ या $x = -0.5$ प्राप्त होता है।
चूंकि लंबाई हमेशा धनात्मक होती है,इसलिए $x = 1$ सही उत्तर है।

(C) आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
चूँकि $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ है,इसलिए:
$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x-3}{2x-7} = \frac{x+3}{2x+3}$
वज्र-गुणन (Cross-multiplication) करने पर:
$(x-3)(2x+3) = (x+3)(2x-7)$
$2x^2 + 3x - 6x - 9 = 2x^2 - 7x + 6x - 21$
$2x^2 - 3x - 9 = 2x^2 - x - 21$
दोनों पक्षों से $2x^2$ घटाने पर:
$-3x - 9 = -x - 21$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$-3x + x = -21 + 9$
$-2x = -12$
$x = 6$
अतः,$x$ का मान $6$ है।

(D) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
दिया गया है कि $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$,इसलिए:
$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2.5}{3} = \frac{3.75}{NC}$
$NC = \frac{3.75 \times 3}{2.5}$
$NC = \frac{11.25}{2.5} = 4.5$
चूंकि $A-N-C$ है,इसलिए $AC = AN + NC$ होगा।
$AC = 3.75 + 4.5 = 8.25$.

(A) कोण समद्विभाजक प्रमेय (Angle Bisector Theorem) के अनुसार,यदि कोई किरण त्रिभुज के एक कोण को समद्विभाजित करती है,तो वह सम्मुख भुजा को उन भागों में विभाजित करती है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होते हैं।
$\Delta ABC$ में,चूंकि $AD,$ $\angle A$ का समद्विभाजक है,इसलिए हमारे पास अनुपात है:
$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$
दिए गए मान $AB = 6,$ $BD = 4,$ और $DC = 3$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{6}{AC} = \frac{4}{3}$
$AC$ का मान ज्ञात करने के लिए वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$4 \times AC = 6 \times 3$
$4 \times AC = 18$
$AC = \frac{18}{4} = 4.5$
अतः,$AC$ की लंबाई $4.5$ है।

(A) कोण समद्विभाजक प्रमेय (Angle Bisector Theorem) के अनुसार,त्रिभुज के एक कोण का समद्विभाजक सम्मुख भुजा को उन दो भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होती हैं।
अतः,$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$ है।
दिया गया है कि $AB = 10$ और $AC = 14$,इसलिए $\frac{BD}{DC} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$ है।
मान लीजिए कि $BD = 5x$ और $DC = 7x$ है।
चूंकि $BC = BD + DC = 6$ है,इसलिए $5x + 7x = 6$,जिसका अर्थ है कि $12x = 6$,अतः $x = 0.5$ है।
इस प्रकार,$BD = 5(0.5) = 2.5$ और $DC = 7(0.5) = 3.5$ है।

(C) कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,यदि कोई किरण किसी त्रिभुज के कोण को समद्विभाजित करती है,तो वह सम्मुख भुजा को उन रेखाखंडों में विभाजित करती है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होते हैं।
$\Delta ABC$ में,चूँकि $AD$,$\angle A$ का समद्विभाजक है,इसलिए हमारे पास अनुपात है:
$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$
दिए गए मान $AB = 5$,$AC = 4.2$ और $BD = 2.5$ हैं।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{5}{4.2} = \frac{2.5}{DC}$
$5 \times DC = 4.2 \times 2.5$
$5 \times DC = 10.5$
$DC = \frac{10.5}{5}$
$DC = 2.1$
अतः,$DC$ की लंबाई $2.1$ है।

(D) कोण समद्विभाजक प्रमेय (Angle Bisector Theorem) के अनुसार,यदि कोई किरण त्रिभुज के एक कोण को समद्विभाजित करती है,तो वह सम्मुख भुजा को उन खंडों में विभाजित करती है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होते हैं।
$\Delta PQR$ में,चूंकि $PS$,$\angle P$ का समद्विभाजक है,इसलिए हमारे पास अनुपात है:
$\frac{PQ}{PR} = \frac{QS}{SR}$
दिए गए मान $PQ = 5, QS = 2$ और $SR = 3$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{5}{PR} = \frac{2}{3}$
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2 \times PR = 5 \times 3$
$2 \times PR = 15$
$PR = \frac{15}{2} = 7.5$
अतः,$PR$ की लंबाई $7.5$ है।

(A) कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,यदि कोई किरण त्रिभुज के एक कोण को समद्विभाजित करती है,तो वह सम्मुख भुजा को अन्य दो भुजाओं के अनुपात में विभाजित करती है।
$\Delta XYZ$ में,$XM$,$\angle X$ का समद्विभाजक है,इसलिए:
$\frac{XY}{XZ} = \frac{YM}{MZ}$
दिया गया है $XY = 3.6$,$XZ = 4.2$,और $MZ = 2.8$।
मान रखने पर:
$\frac{3.6}{4.2} = \frac{YM}{2.8}$
$YM = \frac{3.6 \times 2.8}{4.2}$
$YM = \frac{3.6 \times 2}{3} = 1.2 \times 2 = 2.4$
अतः,$YM = 2.4$।

(A) कोण समद्विभाजक प्रमेय (Angle Bisector Theorem) के अनुसार,त्रिभुज के एक कोण का समद्विभाजक सम्मुख भुजा को उन दो भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होती हैं।
अतः,$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$ है।
दिया गया है कि $AB = 8$ और $AC = 10$,इसलिए $\frac{BD}{DC} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ है।
माना $BD = 4x$ और $DC = 5x$ है।
चूँकि $BC = BD + DC = 9$ है,इसलिए $4x + 5x = 9$,जिसका अर्थ है कि $9x = 9$,अतः $x = 1$ है।
इस प्रकार,$BD = 4(1) = 4$ और $DC = 5(1) = 5$ है।

(C) कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज के एक कोण का समद्विभाजक सम्मुख भुजा को उन खंडों में विभाजित करता है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होते हैं।
$\Delta ABC$ में,चूंकि $AD,$ $\angle A$ का समद्विभाजक है,इसलिए हमारे पास अनुपात है: $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}.$
दिया गया है कि $BC = 5$ और $DC = 3,$ इसलिए $BD = BC - DC = 5 - 3 = 2.$
अब,ज्ञात मानों को अनुपात में रखने पर: $\frac{AB}{4.2} = \frac{2}{3}.$
$AB$ के लिए हल करने पर: $AB = \frac{2 \times 4.2}{3} = \frac{8.4}{3} = 2.8.$
अतः,$AB$ की लंबाई $2.8$ है।

(D) कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज के एक कोण का समद्विभाजक सम्मुख भुजा को उन खंडों में विभाजित करता है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होते हैं।
$\Delta XYZ$ में,$XM$,$\angle X$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\frac{XY}{XZ} = \frac{YM}{MZ}$ है।
दिया गया है: $XY = 8$,$XZ = 6$ और $MZ = 4.8$।
मान रखने पर: $\frac{8}{6} = \frac{YM}{4.8}$।
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{4}{3} = \frac{YM}{4.8}$।
$YM$ के लिए हल करने पर: $YM = \frac{4 \times 4.8}{3} = 4 \times 1.6 = 6.4$।
$YZ$ की लंबाई $YM + MZ$ होगी।
$YZ = 6.4 + 4.8 = 11.2$।

(A) कोण समद्विभाजक प्रमेय (Angle Bisector Theorem) के अनुसार,त्रिभुज के एक कोण का समद्विभाजक सम्मुख भुजा को उन खंडों में विभाजित करता है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के अनुपात में होते हैं।
$\Delta ABC$ में,चूंकि $AD$,$\angle A$ का समद्विभाजक है,इसलिए हमारे पास अनुपात है: $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$।
यह दिया गया है कि $AB : AC = 3 : 4$,इसलिए $\frac{BD}{DC} = \frac{3}{4}$ होगा।
मान लीजिए $BD = 3x$ और $DC = 4x$ है।
हमें दिया गया है कि $BC = 14$,इसलिए $BD + DC = 14$ होगा।
मान रखने पर,$3x + 4x = 14$,जो सरल होकर $7x = 14$ हो जाता है।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$BD = 3x = 3(2) = 6$।

(B) कोण समद्विभाजक प्रमेय (Angle Bisector Theorem) के अनुसार,त्रिभुज के एक कोण का समद्विभाजक सम्मुख भुजा को उन खंडों में विभाजित करता है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होते हैं।
$\Delta PQR$ में,चूंकि $PS$,$\angle P$ का समद्विभाजक है,इसलिए हमारे पास है:
$\frac{PQ}{PR} = \frac{QS}{SR}$
दिया गया है कि $QR = 12.6$ और $QS = 5.6$,इसलिए हम $SR$ ज्ञात कर सकते हैं:
$SR = QR - QS = 12.6 - 5.6 = 7.0$
अब,ज्ञात मानों को प्रमेय के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{8}{PR} = \frac{5.6}{7}$
$PR = \frac{8 \times 7}{5.6}$
$PR = \frac{56}{5.6} = 10$
अतः,$PR$ की लंबाई $10$ है।

(C) दिया गया है कि $\Delta ABC$ में $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो वह अन्य दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करती है।
अतः,$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$।
हमें $\frac{AM}{AB} = \frac{5}{7}$ और $AN = 4$ दिया गया है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{5}{7} = \frac{4}{AC}$।
तिर्यक गुणा करने पर $5 \times AC = 7 \times 4$,इसलिए $5 \times AC = 28$।
$AC = \frac{28}{5} = 5.6$।
चूंकि $A-N-C$ है,इसलिए $AC = AN + NC$ होगा।
$5.6 = 4 + NC$।
$NC = 5.6 - 4 = 1.6$।

(D) अंतःखंड प्रमेय (Intercept Theorem) के अनुसार,यदि तीन या अधिक समांतर रेखाओं को दो तिर्यक रेखाओं द्वारा काटा जाता है,तो तिर्यक रेखाओं पर बने अंतःखंड समानुपाती होते हैं।
अतः,$\frac{AB}{BC} = \frac{PQ}{QR}$.
दिए गए मान $AB = 5$,$BC = 8$ और $PQ = 6.5$ हैं।
इन मानों को अनुपात में रखने पर: $\frac{5}{8} = \frac{6.5}{QR}$.
वज्र गुणन (Cross-multiplication) करने पर: $5 \times QR = 8 \times 6.5$.
$5 \times QR = 52$.
$QR = \frac{52}{5} = 10.4$.
अतः,$QR$ की लंबाई $10.4$ है।

(A) अंतःखंड प्रमेय (Intercept Theorem) के अनुसार,यदि तीन या अधिक समांतर रेखाओं को दो तिर्यक रेखाएँ काटती हैं,तो वे तिर्यक रेखाओं को समान अनुपात में विभाजित करती हैं।
अतः,पहली तिर्यक रेखा पर बने अंतःखंडों का अनुपात दूसरी तिर्यक रेखा पर बने संगत अंतःखंडों के अनुपात के बराबर होता है:
$\frac{AB}{BC} = \frac{PQ}{QR}$
दिया गया है $AB = 3, BC = 4$ और $QR = 3.6$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{3}{4} = \frac{PQ}{3.6}$
$PQ = \frac{3 \times 3.6}{4}$
$PQ = 3 \times 0.9 = 2.7$
हमें $PR$ ज्ञात करना है,जहाँ $PR = PQ + QR$ है।
$PR = 2.7 + 3.6 = 6.3$
अतः,$PR$ की लंबाई $6.3$ है।

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$XM \parallel AB$ और $XN \parallel AC$ है। $\overline{MN}$,$BC$ को $T$ पर प्रतिच्छेद करती है।
चरण $1$: चूँकि $XM \parallel AB$,$\Delta ABC$ में आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार,$\frac{CX}{XB} = \frac{CM}{MA}$ है।
चरण $2$: चूँकि $XN \parallel AC$,$\Delta ABC$ में $BPT$ के अनुसार,$\frac{BX}{XC} = \frac{BN}{NA}$ है।
चरण $3$: $\Delta ABC$ में,$XM \parallel AB$ और $XN \parallel AC$ होने के कारण,चतुर्भुज $ANXM$ एक समांतर चतुर्भुज है। अतः,$XM = AN$ और $XN = AM$ है।
चरण $4$: $\Delta TXN$ और $\Delta TBM$ पर विचार करते हुए,समांतर रेखाओं के गुणधर्म का उपयोग करने पर,हमें $\frac{TX}{TB} = \frac{TC}{TX}$ प्राप्त होता है।
चरण $5$: वज्र गुणन करने पर $TX^2 = TB \times TC$ प्राप्त होता है। इति सिद्धम्।

(N/A) $\triangle ABC$ में,हमें दिया गया है कि $\overline{PQ} \parallel \overline{BC}$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार,चूँकि $\overline{PQ} \parallel \overline{BC}$ है,इसलिए:
$\frac{AP}{AC} = \frac{AQ}{AB}$ --- $(1)$
$\triangle ADC$ में,हमें दिया गया है कि $\overline{PR} \parallel \overline{DC}$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ का उपयोग करने पर,चूँकि $\overline{PR} \parallel \overline{DC}$ है,इसलिए:
$\frac{AP}{AC} = \frac{AR}{AD}$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,चूँकि दोनों व्यंजक $\frac{AP}{AC}$ के बराबर हैं,इसलिए हम उन्हें बराबर रख सकते हैं:
$\frac{AR}{AD} = \frac{AQ}{AB}$।
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।

(N/A) $\Delta ABC$ में,बिंदु $D$ और $E$,$\overline{AB}$ पर इस प्रकार स्थित हैं कि $A-D-E-B$ और $AD = EB$ है।
चूंकि $A-D-E-B$ है,इसलिए $AE = AD + DE$ और $BD = DE + EB$ होगा।
दिया है कि $AD = EB$,अतः $AE = AD + DE$ और $BD = DE + AD$,जिससे $AE = BD$ प्राप्त होता है ... $(1)$.
$\Delta ABC$ में,चूंकि $\overline{DP} \parallel \overline{BC}$ है,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार:
$\frac{AD}{DB} = \frac{AP}{PC}$ ... $(2)$.
$\Delta ABC$ में,चूंकि $\overline{EQ} \parallel \overline{AC}$ है,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार:
$\frac{BE}{EA} = \frac{BQ}{QC}$ होगा।
$AE = BD$ और $AD = EB$ होने के कारण,यह समीकरण $\frac{AD}{BD} = \frac{BQ}{QC}$ बन जाता है ... $(3)$.
समीकरण $(2)$ और $(3)$ से:
$\frac{AP}{PC} = \frac{BQ}{QC}$ प्राप्त होता है।
$\Delta ABC$ में आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम के अनुसार,यदि $\frac{AP}{PC} = \frac{BQ}{QC}$ है,तो $\overline{PQ} \parallel \overline{AB}$ सिद्ध होता है।

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$A-D-B$,$A-E-C$,$BD = CE$ और $m\angle B = m\angle C$ है।
चरण $1$: चूँकि $m\angle B = m\angle C$,समान कोणों के सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं। इसलिए,$AB = AC$ है।
चरण $2$: हम भुजाओं को $AB = AD + DB$ और $AC = AE + EC$ के रूप में लिख सकते हैं (क्योंकि $A-D-B$ और $A-E-C$ है)।
चरण $3$: इन्हें $AB = AC$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $AD + DB = AE + EC$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: चूँकि $BD = CE$ है,हम समीकरण में $CE$ के स्थान पर $BD$ रख सकते हैं: $AD + DB = AE + DB$।
चरण $5$: दोनों पक्षों से $DB$ घटाने पर,हमें $AD = AE$ प्राप्त होता है।
चरण $6$: अब,अनुपात $\frac{AD}{DB}$ और $\frac{AE}{EC}$ पर विचार करें। चूँकि $AD = AE$ और $DB = EC$ है,इसलिए $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ होता है।
चरण $7$: आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के विलोम के अनुसार,यदि कोई रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है,तो वह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है। इसलिए,$\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ है।

(N/A) दिया है: बिंदु $O$,$\Delta PQR$ के आंतरिक भाग में स्थित है। $O-A-P$,$O-B-Q$,$O-C-R$,$\overline{AB} \parallel \overline{PQ}$ और $\overline{BC} \parallel \overline{QR}$।
सिद्ध करना है: $\overline{AC} \parallel \overline{PR}$।
उपपत्ति:
$\Delta OPQ$ में,चूंकि $\overline{AB} \parallel \overline{PQ}$,आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार:
$\frac{OA}{AP} = \frac{OB}{BQ} \quad \dots (1)$
$\Delta OQR$ में,चूंकि $\overline{BC} \parallel \overline{QR}$,आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार:
$\frac{OB}{BQ} = \frac{OC}{CR} \quad \dots (2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{OA}{AP} = \frac{OC}{CR}$
$\Delta OPR$ में,चूंकि $\frac{OA}{AP} = \frac{OC}{CR}$,आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के विलोम के अनुसार:
$\overline{AC} \parallel \overline{PR}$।

(N/A) $\triangle ABC$ में,$AE$,$\angle BAC$ का कोण समद्विभाजक है। कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,हमारे पास $\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC}$ है।
$\triangle ADC$ में,$AF$,$\angle DAC$ का कोण समद्विभाजक है। कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,हमारे पास $\frac{DF}{FC} = \frac{AD}{AC}$ है।
चूंकि यह दिया गया है कि $AB = AD$,हम दूसरे समीकरण में $AD$ को $AB$ से प्रतिस्थापित कर सकते हैं: $\frac{DF}{FC} = \frac{AB}{AC}$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें $\frac{BE}{EC} = \frac{DF}{FC}$ प्राप्त होता है।
$\triangle BCD$ में,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के विलोम के अनुसार,चूंकि $\frac{BE}{EC} = \frac{DF}{FC}$ है,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $\overline{EF} \parallel \overline{BD}$ है।

(A) $\Delta AOB$ में,$OD$,$\angle AOB$ का कोण समद्विभाजक है। कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,कोण के सम्मुख भुजा के रेखाखंडों का अनुपात त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।
इसलिए,$\frac{AD}{DB} = \frac{OA}{OB}$.
इसी प्रकार,$\Delta BOC$ में,$OE$,$\angle BOC$ का कोण समद्विभाजक है। अतः,$\frac{BE}{EC} = \frac{OB}{OC}$.
$\Delta COA$ में,$OF$,$\angle COA$ का कोण समद्विभाजक है। अतः,$\frac{CF}{FA} = \frac{OC}{OA}$.
इन तीनों समीकरणों का गुणा करने पर:
$\frac{AD}{DB} \times \frac{BE}{EC} \times \frac{CF}{FA} = \frac{OA}{OB} \times \frac{OB}{OC} \times \frac{OC}{OA}$.
$\frac{AD \times BE \times CF}{DB \times EC \times FA} = 1$.
अतः,$AD \times BE \times CF = DB \times EC \times FA$.

(N/A) $\Delta ABD$ में,$DE$,$\angle ADB$ का समद्विभाजक है। कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\frac{AE}{EB} = \frac{AD}{DB}$ है।
चूंकि $\overline{AD}$ एक माध्यिका है,$D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $DB = DC$ है। अतः,$\frac{AE}{EB} = \frac{AD}{DC}$ है।
$\Delta ADC$ में,$DF$,$\angle ADC$ का समद्विभाजक है। कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\frac{AF}{FC} = \frac{AD}{DC}$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें $\frac{AE}{EB} = \frac{AF}{FC}$ प्राप्त होता है।
$\Delta ABC$ में आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के विलोम के अनुसार,चूंकि $\frac{AE}{EB} = \frac{AF}{FC}$ है,इसलिए $\overline{EF} \parallel \overline{BC}$ सिद्ध होता है।

(N/A) माना $\triangle ABC$ एक त्रिभुज है जहाँ $AD$,$\angle A$ का कोण समद्विभाजक है,इस प्रकार कि $D$,$BC$ पर स्थित है और $BD = DC$ है।
$\triangle ABD$ और $\triangle ACD$ में:
$1$. $\angle BAD = \angle CAD$ (चूंकि $AD$,$\angle A$ का कोण समद्विभाजक है)।
$2$. $AD = AD$ (उभयनिष्ठ भुजा)।
$3$. $BD = DC$ (दिया गया है)।
भुजा-कोण-भुजा $(SAS)$ सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\triangle ABD \cong \triangle ACD$ है।
चूंकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$AB = AC$ है।
चूंकि त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर हैं,इसलिए $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(N/A) दिया है: $\overline{BD}$,$\angle B$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle EBD = \angle DBC = \frac{1}{2} \angle B$.
$\overline{CE}$,$\angle C$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle DCE = \angle ECB = \frac{1}{2} \angle C$.
चूँकि $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$,एकांतर अंतःकोणों के कारण,$\angle EDB = \angle DBC$.
अतः,$\angle EDB = \angle EBD$,जिसका अर्थ है कि $\Delta EBD$ समद्विबाहु है और $EB = ED$.
इसी प्रकार,$\angle DEC = \angle ECB$,इसलिए $\angle DEC = \angle DCE$,जिसका अर्थ है कि $\Delta DCE$ समद्विबाहु है और $DC = ED$.
इसलिए,$EB = DC$.
$\Delta ABC$ में,चूँकि $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,$\frac{AE}{EB} = \frac{AD}{DC}$.
चूँकि $EB = DC$,हमें $AE = AD$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $EB$ जोड़ने पर: $AE + EB = AD + DC$,जिससे $AB = AC$ प्राप्त होता है।
चूँकि दो भुजाएँ बराबर हैं,$\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(N/A) $1$. $\Delta ABC$ में,मान लीजिए $BO$,$\angle B$ का समद्विभाजक है और $CO$,$\angle C$ का समद्विभाजक है। चूँकि $O$ इन समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु है,त्रिभुज के अंतःकेंद्र के गुणधर्म के अनुसार $AO$,$\angle A$ का समद्विभाजक है।
$2$. कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\Delta ABC$ में,यदि $AP$,$\angle A$ का समद्विभाजक है जो $BC$ को $P$ पर काटता है,तो कोण बनाने वाली भुजाओं का अनुपात सम्मुख भुजा के खंडों के अनुपात के बराबर होता है।
$3$. अतः,$\frac{AB}{AC} = \frac{BP}{PC}$।
$4$. यह $\Delta ABC$ के लिए कोण समद्विभाजक प्रमेय की पुष्टि करता है जहाँ $AP$,$\angle A$ का आंतरिक कोण समद्विभाजक है।

(N/A) माना कि $ABCD$ एक उत्तल चतुर्भुज है। माना कि $P, Q, R,$ और $S$ क्रमशः भुजाओं $AB, BC, CD,$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं।
$AC$ को मिलाइए। $\triangle ABC$ में,$P$ और $Q$ भुजाओं $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC$ (समीकरण $1$)।
$\triangle ADC$ में,$S$ और $R$ भुजाओं $AD$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2} AC$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ से,हमें $PQ \parallel SR$ और $PQ = SR$ प्राप्त होता है।
चूँकि चतुर्भुज $PQRS$ की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समांतर और बराबर है,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।

(N/A) $1$. $\triangle ABD$ में,हमें $\frac{AP}{PB} = \frac{AS}{SD}$ दिया गया है। आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के विलोम द्वारा,$PS \parallel BD$ है।
$2$. $\triangle BCD$ में,हमें $\frac{CB}{QB} = \frac{CR}{RD}$ दिया गया है। इसे $\frac{BQ}{QC} = \frac{DR}{RC}$ के रूप में लिखा जा सकता है। आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के विलोम द्वारा,$QR \parallel BD$ है।
$3$. चूँकि $PS \parallel BD$ और $QR \parallel BD$ है,और एक ही रेखा के समांतर रेखाएँ परस्पर समांतर होती हैं,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $PS \parallel QR$ है।

(N/A) $1$. $\Delta ADB$ में,$DP$,$\angle ADB$ का समद्विभाजक है। कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\frac{AP}{PB} = \frac{AD}{BD}$,जिसका अर्थ है $AP = \frac{AD \times PB}{BD}$।
$2$. $\Delta ADC$ में,$DQ$,$\angle ADC$ का समद्विभाजक है। कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\frac{AQ}{QC} = \frac{AD}{DC}$,जिसका अर्थ है $AQ = \frac{AD \times QC}{DC}$।
$3$. इन दोनों समीकरणों का गुणा करने पर: $AP \times AQ = \frac{AD \times PB}{BD} \times \frac{AD \times QC}{DC} = \frac{AD^2 \times PB \times QC}{BD \times DC}$।
$4$. पुनर्व्यवस्थित करने पर $AP \times AQ \times BD \times DC = AD^2 \times PB \times QC$ प्राप्त होता है।
$5$. यदि $\overleftrightarrow{PQ} \parallel \overleftrightarrow{BC}$ है,तो $\Delta ABC$ में आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार,$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$ होगा।
$6$. कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\frac{AP}{PB} = \frac{AD}{BD}$ और $\frac{AQ}{QC} = \frac{AD}{DC}$ है।
$7$. अतः,$\frac{AD}{BD} = \frac{AD}{DC}$,जिसका अर्थ है $BD = DC$। इस प्रकार,$D$,$\overline{BC}$ का मध्यबिंदु है।

(A) दिया गया है कि $\square ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ है।
हमें $AM \times NC = BN \times MD$ दिया गया है,जिसे $\frac{AM}{MD} = \frac{BN}{NC}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $\frac{AM}{MD} = \frac{2}{3}$,इसलिए $\frac{BN}{NC} = \frac{2}{3}$ होगा।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि $\frac{AM}{MD} = \frac{BN}{NC}$ है,तो रेखाखंड $\overline{MN}$ आधार $\overline{AB}$ और $\overline{CD}$ के समानांतर होगा।
माना $\overline{MN} \parallel \overline{AB} \parallel \overline{CD}$ है।
$\triangle ADC$ में,चूंकि $\overline{MO} \parallel \overline{CD}$ है,समरूप त्रिभुजों $(\triangle AMO \sim \triangle ADC)$ के गुणधर्म से,$\frac{AO}{AC} = \frac{AM}{AD}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{AM}{MD} = \frac{2}{3}$,मान लीजिए $AM = 2k$ और $MD = 3k$ है। तब $AD = AM + MD = 2k + 3k = 5k$ होगा।
अतः,$\frac{AO}{AC} = \frac{AM}{AD} = \frac{2k}{5k} = \frac{2}{5}$।

(D) $\Delta ABC$ में,$A-M-B$,$A-N-C$ और $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ है।
चूंकि $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$,इसलिए $\angle AMN \cong \angle ABC$ और $\angle ANM \cong \angle ACB$ (संगत कोण)।
$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta AMN \sim \Delta ABC$ है।
अतः,संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा:
$\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC}$
हम जानते हैं कि $AB = AM + MB = 2 + 3 = 5$ है।
मान रखने पर:
$\frac{2}{5} = \frac{3}{BC}$
$2 \times BC = 3 \times 5$
$2 \times BC = 15$
$BC = \frac{15}{2} = 7.5$

(C) $1$. समकोण $\Delta PQR$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PR^2 = PQ^2 + QR^2$ है।
$2$. $PR^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$,इसलिए $PR = 10$ है।
$3$. $\Delta PQR$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times PQ \times QR = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$ है।
$4$. साथ ही,$\Delta PQR$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times PR \times QM = \frac{1}{2} \times 10 \times QM = 5 \times QM$ है।
$5$. क्षेत्रफलों की तुलना करने पर: $5 \times QM = 24$,इसलिए $QM = 4.8$ है।
$6$. $\Delta QMR$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$MR^2 = QR^2 - QM^2 = 6^2 - (4.8)^2 = 36 - 23.04 = 12.96$ है।
$7$. $MR = \sqrt{12.96} = 3.6$ है।
$8$. $\Delta QMR$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times QM \times MR = \frac{1}{2} \times 4.8 \times 3.6 = 2.4 \times 3.6 = 8.64$ है।

(A) $1$. मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,किसी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का $1/4$ होता है।
$2$. $\Delta XYZ$ के लिए,$\Delta ABC$ इसकी भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को जोड़कर बनाया गया है। इसलिए,$\text{Area}(\Delta ABC) = (1/4) \times \text{Area}(\Delta XYZ)$.
$3$. दिया गया है कि $\text{Area}(\Delta ABC) = 24$,इसलिए $24 = (1/4) \times \text{Area}(\Delta XYZ)$,जिसका अर्थ है कि $\text{Area}(\Delta XYZ) = 24 \times 4 = 96$.
$4$. इसी प्रकार,$\Delta ABC$ के लिए,$\Delta PQR$ इसकी भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को जोड़कर बनाया गया है। इसलिए,$\text{Area}(\Delta PQR) = (1/4) \times \text{Area}(\Delta ABC)$.
$5$. मान रखने पर,$\text{Area}(\Delta PQR) = (1/4) \times 24 = 6$.
$6$. अतः,$\Delta XYZ$ का क्षेत्रफल $96$ है और $\Delta PQR$ का क्षेत्रफल $6$ है।

(A) मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,किसी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का $1/4$ होता है।
माना $\text{Area}(\Delta PQR) = A_1$ और $\text{Area}(\Delta ABC) = A_2$ है।
चूंकि $P, Q, R$ त्रिभुज $\Delta ABC$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए $\text{Area}(\Delta PQR) = \frac{1}{4} \text{Area}(\Delta ABC).$
इसी प्रकार,चूंकि $X, Y, Z$ त्रिभुज $\Delta PQR$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए $\text{Area}(\Delta XYZ) = \frac{1}{4} \text{Area}(\Delta PQR).$
दिया गया है कि $\text{Area}(\Delta XYZ) = 20.$
अतः,$20 = \frac{1}{4} \text{Area}(\Delta PQR) \implies \text{Area}(\Delta PQR) = 20 \times 4 = 80.$
अब,$\text{Area}(\Delta PQR) = \frac{1}{4} \text{Area}(\Delta ABC) \implies 80 = \frac{1}{4} \text{Area}(\Delta ABC) \implies \text{Area}(\Delta ABC) = 80 \times 4 = 320.$
इस प्रकार,$\Delta PQR$ का क्षेत्रफल $80$ है और $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $320$ है।