Mix Examples - Triangles Questions in Hindi

(A) $\triangle OAC$ और $\triangle ODB$ में:
$1$. $\angle AOC = \angle DOB$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
$2$. $\angle OAC = \angle ODB$ (एक ही चाप $CB$ द्वारा परिधि पर बने कोण बराबर होते हैं)।
$3$. $\angle OCA = \angle OBD$ (एक ही चाप $AD$ द्वारा परिधि पर बने कोण बराबर होते हैं)।
अतः, $AAA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\triangle OAC \sim \triangle ODB$ है।
दिया गया है कि $OB = OD$, इसलिए $\triangle ODB$ में, इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होने चाहिए, अर्थात $\angle ODB = \angle OBD$। चूंकि $\angle OAC = \angle ODB$ और $\angle OCA = \angle OBD$, इसलिए $\angle OAC = \angle OCA$ होता है। अतः, $\triangle OAC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $OA = OC$ है।
चूंकि $\triangle OAC \sim \triangle ODB$ और $\triangle OAC$ समद्विबाहु है, इसलिए $\triangle ODB$ भी समद्विबाहु होना चाहिए।
अतः, त्रिभुज समद्विबाहु और समरूप हैं।

(D) हम जानते हैं कि समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे के लंब समद्विभाजक होते हैं।
मान लीजिए समचतुर्भुज $ABCD$ है जिसके विकर्ण $AC = 16 \, cm$ और $BD = 12 \, cm$ हैं जो $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चूँकि विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं,इसलिए:
$AO = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8 \, cm$
$BO = \frac{BD}{2} = \frac{12}{2} = 6 \, cm$
समकोण त्रिभुज $\triangle AOB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = AO^2 + BO^2$
$AB^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$
$AB = \sqrt{100} = 10 \, cm$
अतः,समचतुर्भुज की भुजा की लंबाई $10 \, cm$ है।

(C) $\triangle APB$ और $\triangle DPC$ में,हमारे पास है:
$\angle APB = \angle DPC = 50^{\circ}$ [शीर्षाभिमुख कोण]
अब,समान कोणों को बनाने वाली भुजाओं का अनुपात लेते हैं:
$\frac{PA}{PD} = \frac{6}{5} = 1.2$
$\frac{PB}{PC} = \frac{3}{2.5} = \frac{30}{25} = 1.2$
चूंकि $\frac{PA}{PD} = \frac{PB}{PC}$ है और उनके बीच का कोण समान है,इसलिए $SAS$ समरूपता कसौटी से:
$\triangle APB \sim \triangle DPC$
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनके संगत कोण बराबर होंगे:
$\angle PAB = \angle PDC = 30^{\circ}$
$\triangle APB$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle PAB + \angle APB + \angle PBA = 180^{\circ}$
$30^{\circ} + 50^{\circ} + \angle PBA = 180^{\circ}$
$80^{\circ} + \angle PBA = 180^{\circ}$
$\angle PBA = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$

(C) यह दिया गया है कि $\triangle ABC \sim \triangle DFE$,इसलिए संगत कोण बराबर होते हैं और संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
अतः,$\angle A = \angle D = 30^{\circ}$,$\angle B = \angle F$,और $\angle C = \angle E = 50^{\circ}$।
$\triangle ABC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle B = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 50^{\circ}) = 100^{\circ}$।
इस प्रकार,$\angle F = 100^{\circ}$।
समरूपता $\triangle ABC \sim \triangle DFE$ से,हमें संगत भुजाओं का अनुपात प्राप्त होता है: $\frac{AB}{DF} = \frac{AC}{DE} = \frac{BC}{FE}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{5}{7.5} = \frac{8}{DE}$।
$DE$ के लिए हल करने पर: $DE = \frac{8 \times 7.5}{5} = \frac{60}{5} = 12 \, cm$।
अतः,$DE = 12 \, cm$ और $\angle F = 100^{\circ}$।

(A) दिया गया है कि,$\triangle ABC \sim \triangle QRP$.
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
अतः,$\frac{\operatorname{ar}(\triangle ABC)}{\operatorname{ar}(\triangle QRP)} = \frac{BC^2}{RP^2}$.
यहाँ $\frac{\operatorname{ar}(\triangle ABC)}{\operatorname{ar}(\triangle QRP)} = \frac{9}{4}$ और $BC = 15 \, cm$ दिया गया है।
मान रखने पर,$\frac{9}{4} = \frac{(15)^2}{RP^2}$.
$\frac{9}{4} = \frac{225}{RP^2}$.
$RP^2 = \frac{225 \times 4}{9} = 25 \times 4 = 100$.
$RP = \sqrt{100} = 10 \, cm$.
अतः,$PR$ का मान $10 \, cm$ है।

(B) दिया है,$\triangle PQR$ में,$PS = QS = RS$ ... $(1)$
$\triangle PSR$ में,$PS = RS$ (समीकरण $1$ से),इसलिए $\angle 1 = \angle 2$ ... $(2)$ (समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।
इसी प्रकार,$\triangle RSQ$ में,$RS = QS$ (समीकरण $1$ से),इसलिए $\angle 3 = \angle 4$ ... $(3)$ (समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।
$\triangle PQR$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$
$\angle 2 + \angle 4 + (\angle 1 + \angle 3) = 180^{\circ}$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ से $\angle 2 = \angle 1$ और $\angle 4 = \angle 3$ रखने पर:
$\angle 1 + \angle 3 + \angle 1 + \angle 3 = 180^{\circ}$
$2(\angle 1 + \angle 3) = 180^{\circ}$
$\angle 1 + \angle 3 = 90^{\circ}$
अतः,$\angle R = 90^{\circ}$।
$\triangle PQR$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PR^2 + QR^2 = PQ^2$।

(N/A) नहीं,$\triangle QPR$,$\triangle TSM$ के समरूप नहीं है।
हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\triangle PQR$ में,$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$।
$55^{\circ} + 25^{\circ} + \angle R = 180^{\circ}$।
$\angle R = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$।
$\triangle TSM$ में,$\angle T + \angle S + \angle M = 180^{\circ}$।
$\angle T + 25^{\circ} + 100^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle T = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}$।
$\triangle PQR$ और $\triangle TSM$ के कोणों की तुलना करने पर:
$\angle P = 55^{\circ} = \angle T$
$\angle Q = 25^{\circ} = \angle S$
$\angle R = 100^{\circ} = \angle M$
चूंकि सभी संगत कोण बराबर हैं,इसलिए त्रिभुज समरूप हैं,लेकिन सही संगति $\triangle PQR \sim \triangle TSM$ है।
अतः,$\triangle QPR$,$\triangle TSM$ के समरूप नहीं है क्योंकि शीर्षों का क्रम बराबर कोणों की संगति से मेल नहीं खाता है।

(N/A) नहीं,सामान्यतः यह कहना सही नहीं है कि $\triangle PQD \sim \triangle RPD$ है।
$\triangle PQD$ और $\triangle RPD$ में:
$1$. $\angle PDQ = \angle PDR = 90^{\circ}$ (दिया है कि $PD \perp QR$)
$2$. $PD = PD$ (उभयनिष्ठ भुजा)
दो त्रिभुजों के समरूप होने के लिए,हमें $AA$,$SAS$,या $SSS$ समरूपता कसौटियों की आवश्यकता होती है। यहाँ,हमारे पास केवल एक कोण और एक भुजा समान है। हमारे पास अन्य कोणों की समानता या अन्य भुजाओं के अनुपात के बारे में कोई जानकारी नहीं है।
अतः,$\triangle PQD$ का $\triangle RPD$ के समरूप होना आवश्यक नहीं है,जब तक कि $\triangle PQR$ एक विशिष्ट प्रकार का त्रिभुज न हो (उदाहरण के लिए,यदि $\angle P = 90^{\circ}$ हो और $PD$ कर्ण पर लंब हो,तो $AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\triangle PQD \sim \triangle RPD$ होगा)।

(B) माना $ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जो $B$ पर समकोण है,जहाँ $AB = 16 \,cm$ और $BC = 8 \,cm$ है। इस त्रिभुज में अंतर्निहित सबसे बड़ा वर्ग $BRSP$ है।
माना वर्ग की भुजा की लंबाई $x \,cm$ है। अतः,$PB = x \,cm$ और $BR = x \,cm$.
तब $AP = AB - PB = (16 - x) \,cm$.
$\triangle APS$ और $\triangle ABC$ में,$\angle A = \angle A$ (उभयनिष्ठ) और $\angle APS = \angle ABC = 90^{\circ}$ है।
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी से $\triangle APS \sim \triangle ABC$.
इसका अर्थ है कि $\frac{AP}{AB} = \frac{PS}{BC}$.
मान रखने पर,$\frac{16 - x}{16} = \frac{x}{8}$.
वज्र-गुणन करने पर,$8(16 - x) = 16x$.
$128 - 8x = 16x$.
$128 = 24x$.
$x = \frac{128}{24} = \frac{16}{3} \,cm$.

(N/A) दिया है: $\triangle NSQ \cong \triangle MTR$ और $\angle 1 = \angle 2.$
सिद्ध करना है: $\triangle PTS \sim \triangle PRQ.$
उपपत्ति: चूँकि $\triangle NSQ \cong \triangle MTR,$ $CPCT$ द्वारा,हमारे पास $SQ = TR$ और $NS = MT$ है।
साथ ही,दिया है $\angle 1 = \angle 2,$ अतः $\triangle PST$ में,समान कोणों के सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $PT = PS$ है।
सर्वांगसमता $\triangle NSQ \cong \triangle MTR$ से,हमारे पास $NQ = MR$ है। दोनों पक्षों से $SQ = TR$ घटाने पर,हमें $NS = MT$ प्राप्त होता है।
चूँकि $PT = PS$ और $PQ = PT + TQ$ तथा $PR = PS + SR$ है,और समरूपता के आधार पर,हम दिखा सकते हैं कि $\frac{PS}{PQ} = \frac{PT}{PR}.$
अब,$\angle P = \angle P$ (उभयनिष्ठ कोण) और $\frac{PS}{PQ} = \frac{PT}{PR}$ होने के कारण,$SAS$ समरूपता कसौटी से,$\triangle PTS \sim \triangle PRQ$ सिद्ध होता है।

(B) माना $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा $8 \, cm$ है।
एक समबाहु त्रिभुज में,शीर्ष $A$ से आधार $BC$ पर खींचा गया शीर्षलंब $AD$ आधार को समद्विभाजित करता है।
इसलिए,$BD = CD = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4 \, cm$.
समकोण त्रिभुज $ABD$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = AD^2 + BD^2$
$8^2 = AD^2 + 4^2$
$64 = AD^2 + 16$
$AD^2 = 64 - 16 = 48$
$AD = \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4 \sqrt{3} \, cm$.
वैकल्पिक रूप से,समबाहु त्रिभुज के शीर्षलंब का सूत्र $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{भुजा}$ होता है।
$h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 8 = 4 \sqrt{3} \, cm$.

(TRUE) सत्य।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करते हुए:
$\triangle ABC$ के लिए:
$AB = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4$
$BC = \sqrt{(0 - 2)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$AC = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$\triangle DEF$ के लिए:
$DE = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = 8$
$EF = \sqrt{(0 - 4)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$DF = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
संगत भुजाओं के अनुपातों की तुलना करने पर:
$\frac{AB}{DE} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$\frac{BC}{EF} = \frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
$\frac{AC}{DF} = \frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = \frac{1}{2}$,इसलिए $SSS$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ है।

(N/A) $OA$,$OB$ और $OC$ को मिलाइए।
$\triangle AOF$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$OA^{2} = OF^{2} + AF^{2}$ --- $(i)$
इसी प्रकार,$\triangle BOD$ में:
$OB^{2} = OD^{2} + BD^{2}$ --- $(ii)$
इसी प्रकार,$\triangle COE$ में:
$OC^{2} = OE^{2} + CE^{2}$ --- $(iii)$
समीकरणों $(i)$,$(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$OA^{2} + OB^{2} + OC^{2} = OF^{2} + AF^{2} + OD^{2} + BD^{2} + OE^{2} + CE^{2}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$OA^{2} + OB^{2} + OC^{2} - OD^{2} - OE^{2} - OF^{2} = AF^{2} + BD^{2} + CE^{2}$
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।

(N/A) $OA$,$OB$ और $OC$ को मिलाइए।
समकोण त्रिभुजों $\triangle AFO$,$\triangle BDO$ और $\triangle CEO$ में,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$OA^{2} = AF^{2} + OF^{2} \implies AF^{2} = OA^{2} - OF^{2}$ ... $(i)$
$OB^{2} = BD^{2} + OD^{2} \implies BD^{2} = OB^{2} - OD^{2}$ ... $(ii)$
$OC^{2} = CE^{2} + OE^{2} \implies CE^{2} = OC^{2} - OE^{2}$ ... $(iii)$
$(i)$,$(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AF^{2} + BD^{2} + CE^{2} = (OA^{2} - OF^{2}) + (OB^{2} - OD^{2}) + (OC^{2} - OE^{2})$ ... $(iv)$
इसी प्रकार,समकोण त्रिभुजों $\triangle AEO$,$\triangle CDO$ और $\triangle BFO$ में:
$OA^{2} = AE^{2} + OE^{2} \implies AE^{2} = OA^{2} - OE^{2}$
$OC^{2} = CD^{2} + OD^{2} \implies CD^{2} = OC^{2} - OD^{2}$
$OB^{2} = BF^{2} + OF^{2} \implies BF^{2} = OB^{2} - OF^{2}$
इन्हें जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AE^{2} + CD^{2} + BF^{2} = (OA^{2} - OE^{2}) + (OC^{2} - OD^{2}) + (OB^{2} - OF^{2})$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,यह समीकरण $(iv)$ के दाहिने पक्ष के बराबर है।
अतः,$AF^{2} + BD^{2} + CE^{2} = AE^{2} + CD^{2} + BF^{2}$।

(N/A) दिया है: $AD$,$\Delta ABC$ की माध्यिका है,इसलिए $BD = DC = \frac{BC}{2}$.
साथ ही,$AM \perp BC$.
समकोण $\Delta ABM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^{2} = AM^{2} + BM^{2}$
समकोण $\Delta ADM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AD^{2} = AM^{2} + DM^{2} \implies AM^{2} = AD^{2} - DM^{2}$
पहले समीकरण में $AM^{2}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$AB^{2} = (AD^{2} - DM^{2}) + BM^{2}$
चूंकि $BM = BD - DM$,हमारे पास है:
$AB^{2} = AD^{2} - DM^{2} + (BD - DM)^{2}$
$AB^{2} = AD^{2} - DM^{2} + BD^{2} + DM^{2} - 2 \cdot BD \cdot DM$
$AB^{2} = AD^{2} + BD^{2} - 2 \cdot BD \cdot DM$
चूंकि $BD = \frac{BC}{2}$,इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$AB^{2} = AD^{2} + \left(\frac{BC}{2}\right)^{2} - 2 \cdot \left(\frac{BC}{2}\right) \cdot DM$
$AB^{2} = AD^{2} + \left(\frac{BC}{2}\right)^{2} - BC \cdot DM$

(N/A) $\Delta ABM$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AM^2 + MB^2 = AB^2 \quad \dots(1)$
$\Delta AMC$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AM^2 + MC^2 = AC^2 \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2AM^2 + MB^2 + MC^2 = AB^2 + AC^2$
चूंकि $AD$ एक माध्यिका है,इसलिए $BD = DC = \frac{BC}{2}$ है।
हम $MB = BD - DM$ और $MC = DC + DM = BD + DM$ लिख सकते हैं।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$2AM^2 + (BD - DM)^2 + (BD + DM)^2 = AB^2 + AC^2$
$2AM^2 + (BD^2 + DM^2 - 2BD \cdot DM) + (BD^2 + DM^2 + 2BD \cdot DM) = AB^2 + AC^2$
$2AM^2 + 2BD^2 + 2DM^2 = AB^2 + AC^2$
$2(AM^2 + DM^2) + 2BD^2 = AB^2 + AC^2$
$\Delta ADM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AM^2 + DM^2 = AD^2$ है।
अतः,$2AD^2 + 2(\frac{BC}{2})^2 = AB^2 + AC^2$
$2AD^2 + 2(\frac{BC^2}{4}) = AB^2 + AC^2$
$2AD^2 + \frac{BC^2}{2} = AB^2 + AC^2$

(N/A) मान लीजिए $A$ मछली पकड़ने वाली छड़ी का सिरा है और $B$ पानी की सतह पर $A$ के ठीक नीचे का बिंदु है। मान लीजिए $C$ मक्खी की प्रारंभिक स्थिति है। दिया गया है $AB = 1.8 \, m$ और $BC = 2.4 \, m$.
समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = (1.8)^2 + (2.4)^2 = 3.24 + 5.76 = 9.00$
$AC = \sqrt{9} = 3 \, m$.
अतः,बाहर निकाली गई डोरी की लंबाई $3 \, m$ है।
वह $5 \, cm/s = 0.05 \, m/s$ की दर से डोरी खींचती है।
$12 \, \text{सेकंड}$ में,खींची गई डोरी की लंबाई $12 \times 0.05 = 0.6 \, m$ है।
मान लीजिए $12 \, \text{सेकंड}$ के बाद मक्खी की नई स्थिति $D$ है। डोरी की नई लंबाई $AD = AC - 0.6 = 3 - 0.6 = 2.4 \, m$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle ADB$ में:
$AD^2 = AB^2 + BD^2$
$(2.4)^2 = (1.8)^2 + BD^2$
$5.76 = 3.24 + BD^2$
$BD^2 = 5.76 - 3.24 = 2.52$
$BD = \sqrt{2.52} \approx 1.587 \, m$.
नाज़िमा से मक्खी की कुल क्षैतिज दूरी $BD + 1.2 \, m = 1.587 + 1.2 = 2.787 \, m \approx 2.79 \, m$ है।

(C) माना $AB$ एक ऊर्ध्वाधर दीवार है और $AC = 10\,m$ सीढ़ी की लंबाई है।
सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार के आधार से दूरी $BC = 6\,m$ है।
समकोण $\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$(10)^2 = AB^2 + (6)^2$
$100 = AB^2 + 36$
$AB^2 = 100 - 36 = 64$
$AB = \sqrt{64} = 8\,m$.
अतः,दीवार पर उस बिंदु की ऊँचाई जहाँ सीढ़ी का ऊपरी सिरा पहुँचता है,$8\,m$ है।

(N/A) $\triangle AOF$ और $\triangle BOD$ में:
$\angle O = \angle O$ (उभयनिष्ठ कोण) और $\angle A = \angle B = 90^{\circ}$.
अतः,$\triangle AOF \sim \triangle BOD$ ($AA$ समरूपता).
इसलिए,$\frac{OA}{OB} = \frac{FA}{DB}$ .........$(1)$
साथ ही,$\triangle FAC$ और $\triangle EBC$ में:
$\angle A = \angle B = 90^{\circ}$ और $\angle FCA = \angle ECB$ (शीर्षाभिमुख कोण).
अतः,$\triangle FAC \sim \triangle EBC$ ($AA$ समरूपता).
इसलिए,$\frac{FA}{EB} = \frac{AC}{BC}$.
चूंकि $OB$,$DE$ का लंब समद्विभाजक है,इसलिए $EB = DB$.
अतः,$\frac{FA}{DB} = \frac{AC}{BC}$ ......$(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AC}{BC} = \frac{OA}{OB}$.
चूंकि $AC = OC - OA$ और $BC = OB - OC$,हमें मिलता है:
$\frac{OC - OA}{OB - OC} = \frac{OA}{OB}$.
$OB(OC - OA) = OA(OB - OC)$.
$OB \cdot OC - OA \cdot OB = OA \cdot OB - OA \cdot OC$.
$OB \cdot OC + OA \cdot OC = 2(OA \cdot OB)$.
दोनों पक्षों को $(OA \cdot OB \cdot OC)$ से भाग देने पर:
$\frac{OB \cdot OC}{OA \cdot OB \cdot OC} + \frac{OA \cdot OC}{OA \cdot OB \cdot OC} = \frac{2(OA \cdot OB)}{OA \cdot OB \cdot OC}$.
$\frac{1}{OA} + \frac{1}{OB} = \frac{2}{OC}$.

(B) पहले हवाई जहाज द्वारा $1 \frac{1}{2}$ घंटे (या $1.5$ घंटे) में तय की गई दूरी $= 300 \times 1.5 = 450 \, km$.
दूसरे हवाई जहाज द्वारा $1.5$ घंटे में तय की गई दूरी $= 400 \times 1.5 = 600 \, km$.
चूंकि एक हवाई जहाज उत्तर की ओर और दूसरा पश्चिम की ओर उड़ता है,इसलिए उनके रास्ते एक-दूसरे के लंबवत हैं,जो एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं,जहाँ हवाई अड्डा समकोण के शीर्ष पर है।
मान लीजिए $O$ हवाई अड्डा है,$A$ पहले हवाई जहाज की स्थिति है और $B$ दूसरे हवाई जहाज की स्थिति है।
अतः $OA = 450 \, km$ और $OB = 600 \, km$.
$\triangle AOB$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$AB^2 = OA^2 + OB^2$
$AB^2 = (450)^2 + (600)^2$
$AB^2 = 202500 + 360000$
$AB^2 = 562500$
$AB = \sqrt{562500} = 750 \, km$.
इस प्रकार,$1 \frac{1}{2}$ घंटे के बाद दोनों हवाई जहाज एक-दूसरे से $750 \, km$ की दूरी पर होंगे।

(N/A) दिया गया है कि $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ है।
अतः,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा:
$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD}$
दिए गए व्यंजकों को रखने पर:
$\frac{2x - 1}{18} = \frac{2x + 2}{3x + 9} = \frac{3x}{6x}$
पहले और तीसरे अनुपात को लेने पर:
$\frac{2x - 1}{18} = \frac{3x}{6x}$
$\frac{2x - 1}{18} = \frac{1}{2}$
वज्र-गुणन करने पर:
$2(2x - 1) = 18$
$4x - 2 = 18$
$4x = 20$
$x = 5$
अब,भुजाओं की लंबाई की गणना करने पर:
$\triangle ABC$ के लिए:
$AB = 2(5) - 1 = 9 \, cm$
$BC = 2(5) + 2 = 12 \, cm$
$CA = 3(5) = 15 \, cm$
$\triangle DEF$ के लिए:
$DE = 18 \, cm$
$EF = 3(5) + 9 = 24 \, cm$
$FD = 6(5) = 30 \, cm$

(D) माना $AC$ लंबाई $5\,m$ की सीढ़ी है और $BC = 4\,m$ दीवार की ऊँचाई है जहाँ सीढ़ी टिकी है। यदि सीढ़ी के निचले सिरे को $1.6\,m$ दीवार की ओर खिसकाया जाता है,अर्थात $AD = 1.6\,m$,तो सीढ़ी ऊपर की ओर $ED$ नई स्थिति में खिसक जाती है।
समकोण $\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$5^2 = AB^2 + 4^2$
$25 = AB^2 + 16$
$AB^2 = 9 \Rightarrow AB = 3\,m$.
अब,दीवार से निचले सिरे की नई दूरी $DB = AB - AD = 3 - 1.6 = 1.4\,m$ है।
समकोण $\triangle EBD$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$ED^2 = EB^2 + DB^2$
$5^2 = EB^2 + (1.4)^2$
$25 = EB^2 + 1.96$
$EB^2 = 25 - 1.96 = 23.04$
$EB = \sqrt{23.04} = 4.8\,m$.
सीढ़ी का ऊपरी सिरा जितनी दूरी ऊपर की ओर खिसकता है,वह $EC = EB - BC = 4.8 - 4 = 0.8\,m$ है।

(B) माना $BC = 18 \, m$ ध्वजदंड है और इसकी छाया $AB = 9.6 \, m$ है। ध्वजदंड के शीर्ष $(C)$ की छाया के दूरस्थ सिरे $(A)$ से दूरी $AC$ है।
समकोण $\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = (9.6)^2 + (18)^2$
$AC^2 = 92.16 + 324$
$AC^2 = 416.16$
$AC = \sqrt{416.16} = 20.4 \, m$
अतः,अभीष्ट दूरी $20.4 \, m$ है।

(C) मान लीजिए $A$ खंभे पर लगे स्ट्रीट लाइट बल्ब की स्थिति है,जहाँ $AB = 6 \, m$ है और $CD = 1.5 \, m$ महिला की ऊँचाई है और उसकी छाया $ED = 3 \, m$ है। मान लीजिए खंभे और महिला के बीच की दूरी $x \, m$ है।
यहाँ,महिला और खंभा दोनों लंबवत खड़े हैं।
इसलिए,$CD \parallel AB$.
$\triangle CDE$ और $\triangle ABE$ में,$\angle E = \angle E$ [उभयनिष्ठ कोण]।
$\angle ABE = \angle CDE = 90^{\circ}$ [प्रत्येक $90^{\circ}$ है]।
अतः,$\triangle CDE \sim \triangle ABE$ [$AAA$ समरूपता कसौटी द्वारा]।
तब,$\frac{ED}{EB} = \frac{CD}{AB}$.
$\frac{3}{3 + x} = \frac{1.5}{6}$.
$3 \times 6 = 1.5(3 + x)$.
$18 = 4.5 + 1.5x$.
$1.5x = 18 - 4.5$.
$1.5x = 13.5$.
$x = \frac{13.5}{1.5} = 9 \, m$.
अतः,वह खंभे के आधार से $9 \, m$ की दूरी पर है।

(N/A) दिया है,$\Delta PQR$ जिसमें $\angle Q = 90^{\circ}$,$QS \perp PR$,$PQ = 6 \, cm$ और $PS = 4 \, cm$ है।
समकोण $\Delta PSQ$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PQ^2 = PS^2 + QS^2$
$6^2 = 4^2 + QS^2$
$36 = 16 + QS^2$
$QS^2 = 20$
$QS = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \, cm$.
चूंकि $\Delta PSQ \sim \Delta QSR$,इसलिए:
$\frac{PS}{QS} = \frac{QS}{RS}$
$QS^2 = PS \times RS$
$20 = 4 \times RS$
$RS = 5 \, cm$.
समकोण $\Delta QSR$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$QR^2 = QS^2 + RS^2$
$QR^2 = 20 + 5^2$
$QR^2 = 20 + 25 = 45$
$QR = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \, cm$.
अतः,$QS = 2\sqrt{5} \, cm$,$RS = 5 \, cm$ और $QR = 3\sqrt{5} \, cm$ है।

(N/A) दिया है: $\triangle PQR$ में,$PD \perp QR$,$PQ = a$,$PR = b$,$QD = c$ और $DR = d$ है।
सिद्ध करना है: $(a+b)(a-b) = (c+d)(c-d)$।
उपपत्ति: समकोण $\triangle PDQ$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PQ^2 = PD^2 + QD^2$
$a^2 = PD^2 + c^2$
$PD^2 = a^2 - c^2$ ...... $(i)$
समकोण $\triangle PDR$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PR^2 = PD^2 + DR^2$
$b^2 = PD^2 + d^2$
$PD^2 = b^2 - d^2$ ...... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से:
$a^2 - c^2 = b^2 - d^2$
$a^2 - b^2 = c^2 - d^2$
$(a - b)(a + b) = (c - d)(c + d)$
अतः,$(a + b)(a - b) = (c + d)(c - d)$ सिद्ध हुआ।

(N/A) दिया है: एक चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें $\angle A + \angle D = 90^{\circ}$ है।
सिद्ध करना है: $AC^{2} + BD^{2} = AD^{2} + BC^{2}$।
रचना: $AB$ और $DC$ को आगे बढ़ाएं ताकि वे बिंदु $E$ पर मिलें।
उपपत्ति: $\triangle AED$ में,$\angle A + \angle D = 90^{\circ}$ (दिया है)।
चूंकि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle E = 180^{\circ} - (\angle A + \angle D) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$।
समकोण $\triangle AED$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AD^{2} = AE^{2} + DE^{2}$ ... $(i)$
समकोण $\triangle BEC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $BC^{2} = BE^{2} + CE^{2}$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर: $AD^{2} + BC^{2} = AE^{2} + DE^{2} + BE^{2} + CE^{2}$ ... $(iii)$
समकोण $\triangle AEC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AC^{2} = AE^{2} + CE^{2}$ ... $(iv)$
समकोण $\triangle BED$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $BD^{2} = BE^{2} + DE^{2}$ ... $(v)$
$(iv)$ और $(v)$ को जोड़ने पर: $AC^{2} + BD^{2} = AE^{2} + CE^{2} + BE^{2} + DE^{2}$ ... $(vi)$
$(iii)$ और $(vi)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है: $AC^{2} + BD^{2} = AD^{2} + BC^{2}$।
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है कि $l \parallel m$ और रेखाखंड $AB, CD$ और $EF$ बिंदु $P$ पर संगामी हैं।
सिद्ध करना है: $\frac{AE}{BF} = \frac{AC}{BD} = \frac{CE}{FD}$।
उपपत्ति:
$\triangle APC$ और $\triangle BPD$ में,
$\angle APC = \angle BPD$ [शीर्षाभिमुख कोण]
$\angle PAC = \angle PBD$ [एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $l \parallel m$]
अतः,$\triangle APC \sim \triangle BPD$ [$AA$ समरूपता कसौटी द्वारा]
तब,$\frac{AP}{PB} = \frac{AC}{BD} = \frac{PC}{PD}$ ......$(i)$
$\triangle APE$ और $\triangle BPF$ में,
$\angle APE = \angle BPF$ [शीर्षाभिमुख कोण]
$\angle PAE = \angle PBF$ [एकांतर अंतःकोण]
अतः,$\triangle APE \sim \triangle BPF$ [$AA$ समरूपता कसौटी द्वारा]
तब,$\frac{AP}{PB} = \frac{AE}{BF} = \frac{PE}{PF}$ ......$(ii)$
$\triangle PEC$ और $\triangle PFD$ में,
$\angle EPC = \angle FPD$ [शीर्षाभिमुख कोण]
$\angle PCE = \angle PDF$ [एकांतर अंतःकोण]
अतः,$\triangle PEC \sim \triangle PFD$ [$AA$ समरूपता कसौटी द्वारा]
तब,$\frac{PE}{PF} = \frac{PC}{PD} = \frac{CE}{FD}$ ......$(iii)$
समीकरण $(i), (ii)$ और $(iii)$ से,
$\frac{AP}{PB} = \frac{AC}{BD} = \frac{AE}{BF} = \frac{PE}{PF} = \frac{CE}{FD}$
अतः,$\frac{AE}{BF} = \frac{AC}{BD} = \frac{CE}{FD}$। इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: $\triangle ABC$ में,$E$,$CA$ का मध्य-बिंदु है और $\angle AEF = \angle AFE$ है।
सिद्ध करना है: $\frac{BD}{CD} = \frac{BF}{CE}$.
रचना: $AB$ पर एक बिंदु $G$ इस प्रकार लीजिए कि $CG \parallel EF$ हो।
उपपत्ति: चूँकि $E$,$CA$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $CE = AE$ $(i)$.
$\triangle ACG$ में,$CG \parallel EF$ और $E$,$CA$ का मध्य-बिंदु है,अतः मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से,$F$,$AG$ का मध्य-बिंदु है। इसलिए,$GF = AF$ $(ii)$.
$\triangle AEF$ में,$\angle AEF = \angle AFE$ होने के कारण,$AE = AF$ है।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,$CE = AE = AF = GF$ है। अतः,$CE = GF$ है।
अब,$\triangle BDF$ में,$CG \parallel EF$ होने के कारण,आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ से,$\frac{BD}{CD} = \frac{BF}{GF}$ प्राप्त होता है।
$GF = CE$ रखने पर,हमें $\frac{BD}{CD} = \frac{BF}{CE}$ प्राप्त होता है।
इति सिद्धम्।

(N/A) माना $ABC$ एक समकोण त्रिभुज है,जिसमें $\angle B = 90^\circ$ है और $AB = y, BC = x$ है।
तीन अर्धवृत्त क्रमशः $AB, BC$ और $AC$ भुजाओं पर खींचे गए हैं,जिनके व्यास $AB, BC$ और $AC$ हैं।
माना $AB, BC$ और $AC$ व्यास वाले अर्धवृत्तों के क्षेत्रफल क्रमशः $A_1, A_2$ और $A_3$ हैं।
सिद्ध करना है: $A_3 = A_1 + A_2$.
उपपत्ति: $\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = y^2 + x^2$
$AC = \sqrt{y^2 + x^2}$
हम जानते हैं कि $d$ व्यास वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल $\frac{\pi}{2} \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{8}$ होता है।
अतः,$AC$ पर खींचे गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल:
$A_3 = \frac{\pi (AC)^2}{8} = \frac{\pi (y^2 + x^2)}{8}$ .....$(i)$
अब,$AB$ पर खींचे गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल:
$A_1 = \frac{\pi (AB)^2}{8} = \frac{\pi y^2}{8}$ .....$(ii)$
और $BC$ पर खींचे गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल:
$A_2 = \frac{\pi (BC)^2}{8} = \frac{\pi x^2}{8}$ .....$(iii)$
समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर:
$A_1 + A_2 = \frac{\pi y^2}{8} + \frac{\pi x^2}{8} = \frac{\pi (y^2 + x^2)}{8}$
समीकरण $(i)$ से,हम देख सकते हैं कि $A_1 + A_2 = A_3$.
अतः,कर्ण पर खींचे गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर खींचे गए अर्धवृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।

(N/A) माना $\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle A = 90^\circ$,$AC = y$ और $AB = x$ है।
तीन समबाहु त्रिभुज $\triangle AEC$,$\triangle AFB$ और $\triangle CBD$ क्रमशः भुजाओं $AC$,$AB$ और $BC$ पर खींचे गए हैं।
माना इन समबाहु त्रिभुजों के क्षेत्रफल क्रमशः $A_1$,$A_2$ और $A_3$ हैं।
हमें सिद्ध करना है कि $A_3 = A_1 + A_2$।
$\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $BC^2 = AC^2 + AB^2 = y^2 + x^2$।
$s$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ होता है।
$A_1 = \text{Area}(\triangle AEC) = \frac{\sqrt{3}}{4} AC^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} y^2$ ... $(i)$
$A_2 = \text{Area}(\triangle AFB) = \frac{\sqrt{3}}{4} AB^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ ... $(ii)$
$A_3 = \text{Area}(\triangle CBD) = \frac{\sqrt{3}}{4} BC^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (y^2 + x^2)$ ... $(iii)$
$(i)$,$(ii)$ और $(iii)$ से:
$A_3 = \frac{\sqrt{3}}{4} y^2 + \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 = A_1 + A_2$।
अतः,कर्ण पर बने समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर बने समबाहु त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।

(B) $\Delta XYZ$ में,$XM$,$\angle X$ का समद्विभाजक है,जो $\overline{YZ}$ को $M$ पर प्रतिच्छेद करता है।
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,कोण बनाने वाली भुजाओं का अनुपात सम्मुख भुजा के खंडों के अनुपात के बराबर होता है।
$\therefore \frac{XY}{XZ} = \frac{YM}{MZ}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\therefore \frac{6}{8} = \frac{4.2}{MZ}$
$\therefore MZ = \frac{4.2 \times 8}{6}$
$\therefore MZ = 0.7 \times 8 = 5.6$
अब,$YZ = YM + MZ$ (चूंकि $Y-M-Z$ संरेख हैं)।
$YZ = 4.2 + 5.6 = 9.8$.

(B) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण $AC$ की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जा सकती है: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
समकोण त्रिभुज के अंतःवृत्त की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{AB + BC - AC}{2}$ है।
मान रखने पर: $r = \frac{8 + 6 - 10}{2} = \frac{14 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
अतः,वृत्त की त्रिज्या $2$ है।

(B) $1$. समकोण $\Delta PQR$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PR^2 = PQ^2 + QR^2$ है।
$2$. $PR^2 = 40^2 + 30^2 = 1600 + 900 = 2500$,इसलिए $PR = 50$ है।
$3$. $\Delta PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times PQ \times QR = \frac{1}{2} \times 40 \times 30 = 600$ है।
$4$. साथ ही,$\Delta PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times PR \times QM = 600$,इसलिए $\frac{1}{2} \times 50 \times QM = 600$,जिससे $QM = 24$ प्राप्त होता है।
$5$. $\Delta QMR$ में,$\angle QMR = 90^{\circ}$ है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$MR^2 = QR^2 - QM^2 = 30^2 - 24^2 = 900 - 576 = 324$,इसलिए $MR = 18$ है।
$6$. $\Delta QMR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times QM \times MR = \frac{1}{2} \times 24 \times 18 = 12 \times 18 = 216$ है।

(N/A) $\Delta ABC$ में,$m\angle B = 90^\circ$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 = AB^2 + BC^2$ है।
$AC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$ है।
$AC = 10$ है।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times AC \times BM$ है।
$\frac{1}{2} \times 8 \times 6 = \frac{1}{2} \times 10 \times BM$ है।
$48 = 10 \times BM \implies BM = 4.8$ है।
$\Delta AMB$ में,$m\angle M = 90^\circ$ है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 = AM^2 + BM^2$ है।
$8^2 = AM^2 + (4.8)^2$ है।
$64 = AM^2 + 23.04$ है।
$AM^2 = 64 - 23.04 = 40.96$ है।
$AM = \sqrt{40.96} = 6.4$ है।
चूंकि $AC = AM + CM$ है,इसलिए $10 = 6.4 + CM$ है।
$CM = 10 - 6.4 = 3.6$ है।
अतः,$AM = 6.4$,$BM = 4.8$ और $CM = 3.6$ है।

(N/A) $\Delta ABC$ में,त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$m \angle A + m \angle C + m \angle B = 180^{\circ}$
चूंकि $m \angle A + m \angle C = m \angle B$,प्रतिस्थापित करने पर:
$m \angle B + m \angle B = 180^{\circ}$
$2 m \angle B = 180^{\circ}$
$m \angle B = 90^{\circ}$
समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में,कर्ण $\overline{AC}$ पर शीर्षलंब $\overline{BM}$ होने पर,ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) के अनुसार:
$BM^2 = AM \times CM$
$BM^2 = 16 \times 9 = 144$
$BM = 12$
अब,समकोण त्रिभुज के गुणों का उपयोग करते हुए:
$AC = AM + CM = 16 + 9 = 25$
$AB^2 = AM \times AC = 16 \times 25 = 400 \implies AB = 20$
$BC^2 = CM \times AC = 9 \times 25 = 225 \implies BC = 15$
अतः,$BM = 12$,$AB = 20$ और $BC = 15$।

(D) चतुर्भुज के विकर्णों के गुणों के आधार पर सही मिलान इस प्रकार है:
$1$. समचतुर्भुज के लिए,विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं $(b)$।
$2$. समांतर चतुर्भुज के लिए,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं $(a)$।
$3$. आयत के लिए,विकर्ण सर्वांगसम होते हैं और एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं $(d)$।
$4$. वर्ग के लिए,विकर्ण सर्वांगसम होते हैं और एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं $(c)$।
अतः,सही विकल्प $(1-b), (2-a), (3-d), (4-c)$ है।

(A) $\Delta ABC$ में,$\overline{AD}$ आधार $\overline{BC}$ पर एक माध्यिका है।
चूंकि $\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $\overline{AB} \cong \overline{AC}$ है,आधार पर माध्यिका $\overline{AD}$ आधार पर शीर्षलंब भी है।
इसलिए,$\overline{AD} \perp \overline{BC}$ और $\angle ADB = 90^{\circ}$ है।
मान लीजिए $AB = AC = x$ है। $\Delta ABC$ का परिमाप $AB + AC + BC = 36$ है।
$x + x + BC = 36 \implies BC = 36 - 2x$।
चूंकि $D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BD = \frac{BC}{2} = \frac{36 - 2x}{2} = 18 - x$।
समकोण $\Delta ABD$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = AD^2 + BD^2$
$x^2 = 12^2 + (18 - x)^2$
$x^2 = 144 + 324 - 36x + x^2$
$36x = 468$
$x = 13$।
अतः,$BD = 18 - 13 = 5$,इसलिए $BC = 2 \times 5 = 10$।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times BC \times AD$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60$।

(B) $\Delta ABC$ में,हमें $AC - AB = 27$ और $AC - BC = 6$ दिया गया है।
अतः,$AB = AC - 27$ और $BC = AC - 6$ है।
चूंकि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = (AC - 27)^2 + (AC - 6)^2$
$AC^2 = (AC^2 - 54AC + 729) + (AC^2 - 12AC + 36)$
$AC^2 = 2AC^2 - 66AC + 765$
$0 = AC^2 - 66AC + 765$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(AC - 51)(AC - 15) = 0$
अतः,$AC = 51$ या $AC = 15$ है।
यदि $AC = 15$ है,तो $AB = 15 - 27 = -12$ होगा,जो संभव नहीं है क्योंकि भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अतः,$AC = 51$ है।
अब,$AB = 51 - 27 = 24$ और $BC = 51 - 6 = 45$ है।
$\Delta ABC$ का परिमाप $= AB + BC + AC = 24 + 45 + 51 = 120$।

(B) मान लीजिए $\overline{AB}$ दीवार को दर्शाता है,$\overline{AC}$ सीढ़ी को दर्शाता है,और $C$ जमीन पर सीढ़ी का निचला सिरा है।
दिया गया है: $AB = 12 \, m$,$BC = 9 \, m$ और $\angle B = 90^{\circ}$।
समकोण $\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 12^2 + 9^2$
$AC^2 = 144 + 81$
$AC^2 = 225$
$AC = \sqrt{225} = 15 \, m$।
अतः,सीढ़ी की लंबाई $15 \, m$ है।

(C) समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
माना विकर्ण $\overline{AC}$ और $\overline{BD}$ बिंदु $M$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः,$m\angle AMB = 90^{\circ}$।
चूँकि विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,$AM = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2}(12) = 6$ और $BM = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2}(16) = 8$।
समकोण त्रिभुज $\Delta AMB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = AM^2 + BM^2$
$AB^2 = 6^2 + 8^2$
$AB^2 = 36 + 64 = 100$
$AB = \sqrt{100} = 10$।
समचतुर्भुज का परिमाप $= 4 \times \text{भुजा की लंबाई}$।
परिमाप $= 4 \times AB = 4 \times 10 = 40$।
अतः,समचतुर्भुज $ABCD$ का परिमाप $40$ है।

(D) वर्ग का परिमाप $4 \times \text{भुजा}$ द्वारा दिया जाता है।
माना वर्ग की भुजा की लंबाई $s$ है।
$4s = 48$
$s = 12$
वर्ग $ABCD$ में, सभी भुजाएँ $12$ हैं और प्रत्येक कोण $90^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 12^2 + 12^2$
$AC^2 = 144 + 144 = 288$
$AC = \sqrt{288} = \sqrt{144 \times 2} = 12 \sqrt{2}$.
अतः, वर्ग $ABCD$ के विकर्ण $\overline{AC}$ की लंबाई $12 \sqrt{2}$ है।

(C) $\Delta ABC$ में,$m \angle B = 90^{\circ}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$
$AC^{2} = 20^{2} + 21^{2}$
$AC^{2} = 400 + 441$
$AC^{2} = 841$
$AC = \sqrt{841} = 29$.
एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
इसलिए,$BM = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 29 = 14.5$.
अतः,$BM = 14.5$.

(B) $\Delta ABC$ में,$m \angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BM}$ कर्ण $AC$ पर एक शीर्षलंब है।
समकोण त्रिभुज के गुणों के अनुसार:
$AB^{2} = AM \times AC$
$BC^{2} = CM \times AC$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$AB^{2} - BC^{2} = (AM \times AC) - (CM \times AC)$
$AB^{2} - BC^{2} = AC(AM - CM)$
दिया गया है कि $AB^{2} - BC^{2} = 260$ और $AM - CM = 10$:
$260 = AC(10)$
$AC = \frac{260}{10} = 26$
अतः,$AC = 26$.

(N/A) दिया है: $AB + BC = 23$ $(i)$,$BC + AC = 32$ $(ii)$ और $AB + AC = 25$ $(iii)$.
$(i)$,$(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर: $2(AB + BC + AC) = 23 + 32 + 25 = 80$.
अतः,$AB + BC + AC = 40$ $(iv)$.
$(iv)$ में से $(ii)$ घटाने पर: $AB = 40 - 32 = 8$.
$(iv)$ में से $(iii)$ घटाने पर: $BC = 40 - 25 = 15$.
$(iv)$ में से $(i)$ घटाने पर: $AC = 40 - 23 = 17$.
अब,भुजाओं की जाँच करने पर: $AB^2 + BC^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$.
साथ ही,$AC^2 = 17^2 = 289$.
चूँकि $AB^2 + BC^2 = AC^2$,पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से,$\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle B = 90^\circ$ है।

(C) $\Delta ABC$ में,कोणों का योग $m \angle A + m \angle B + m \angle C = 180^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि $m \angle A = m \angle B + m \angle C$,इसलिए $m \angle A + m \angle A = 180^{\circ}$,अर्थात $2m \angle A = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $m \angle A = 90^{\circ}$।
चूँकि $\overline{AM}$,$\overline{BC}$ पर एक शीर्षलंब है,$\Delta ABM$ और $\Delta ACM$ बिंदु $M$ पर समकोण त्रिभुज हैं।
माना $BM = x$ है। तो $MC = 8 - x$ होगा।
$\Delta ABM$ में,$AB^2 = AM^2 + BM^2 = 12 + x^2$।
$\Delta ACM$ में,$AC^2 = AM^2 + MC^2 = 12 + (8 - x)^2$।
$\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 + AC^2 = BC^2$,इसलिए $(12 + x^2) + (12 + (8 - x)^2) = 8^2$।
$24 + x^2 + 64 - 16x + x^2 = 64$।
$2x^2 - 16x + 24 = 0$।
$x^2 - 8x + 12 = 0$।
$(x - 6)(x - 2) = 0$।
अतः,$x = 6$ या $x = 2$।

(B) दिया गया है कि $\Delta PQR$ में,$m \angle P = m \angle Q + m \angle R$ है।
हम जानते हैं कि त्रिभुज के सभी कोणों का योग $180^\circ$ होता है,इसलिए $m \angle P + m \angle Q + m \angle R = 180^\circ$ है।
$m \angle Q + m \angle R = m \angle P$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $m \angle P + m \angle P = 180^\circ$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $2(m \angle P) = 180^\circ$,इसलिए $m \angle P = 90^\circ$ है।
अतः,$\Delta PQR$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें कर्ण $QR = 25$ और एक भुजा $PQ = 7$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,$PQ^2 + PR^2 = QR^2$ है।
$7^2 + PR^2 = 25^2$ है।
$49 + PR^2 = 625$ है।
$PR^2 = 625 - 49 = 576$ है।
$PR = \sqrt{576} = 24$ है।
$\Delta PQR$ का परिमाप = $PQ + QR + PR = 7 + 25 + 24 = 56$ है।

(D) $1$. समचतुर्भुज का परिमाप $4 \times \text{भुजा}$ द्वारा दिया जाता है। मान लीजिए भुजा की लंबाई $s$ है। अतः, $4s = 116$, जिससे $s = 29$ प्राप्त होता है।
$2$. समचतुर्भुज में, विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं।
$3$. मान लीजिए विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। तब $AO = AC / 2 = 42 / 2 = 21$.
$4$. समकोण त्रिभुज $\triangle AOB$ में, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AO^2 + BO^2 = AB^2$.
$5$. मान रखने पर: $21^2 + BO^2 = 29^2$.
$6$. $441 + BO^2 = 841$.
$7$. $BO^2 = 841 - 441 = 400$.
$8$. $BO = \sqrt{400} = 20$.
$9$. चूंकि विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, इसलिए $BD = 2 \times BO = 2 \times 20 = 40$.

(A) दिया गया है कि $m \angle A + m \angle B = m \angle C$ है।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $m \angle A + m \angle B + m \angle C = 180^{\circ}$।
$m \angle A + m \angle B = m \angle C$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $m \angle C + m \angle C = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2m \angle C = 180^{\circ}$,अतः $m \angle C = 90^{\circ}$।
इस प्रकार,$\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें कर्ण $AB = 17.5$ है।
दिया गया है कि $AC : BC = 3 : 4$,मान लीजिए $AC = 3x$ और $BC = 4x$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 + BC^2 = AB^2$।
$(3x)^2 + (4x)^2 = (17.5)^2$।
$9x^2 + 16x^2 = 306.25$।
$25x^2 = 306.25$।
$x^2 = 12.25$,इसलिए $x = 3.5$।
अतः,$AC = 3(3.5) = 10.5$ और $BC = 4(3.5) = 14$।
$\Delta ABC$ का परिमाप = $AC + BC + AB = 10.5 + 14 + 17.5 = 42$।

(D) एक समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं।
मान लीजिए कि विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
दिया गया है $AB = 25$ और $AC = 14$।
चूंकि विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $AO = OC = AC / 2 = 14 / 2 = 7$।
समकोण त्रिभुज $\triangle AOB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AO^2 + OB^2 = AB^2$
$7^2 + OB^2 = 25^2$
$49 + OB^2 = 625$
$OB^2 = 625 - 49 = 576$
$OB = \sqrt{576} = 24$।
चूंकि $BD = 2 \times OB$,इसलिए $BD = 2 \times 24 = 48$।