Resistors in Series and Parallel Questions in Gujarati

(N/A) $(i)$ ઓમના નિયમ મુજબ,અવરોધમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I = V / R$ દ્વારા મળે છે. અવરોધો સમાંતર જોડાયેલા હોવાથી,દરેક અવરોધના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન રહે છે,એટલે કે $V = 6\, V$.
$30\, \Omega$ ના અવરોધ માટે:
$I = 6\, V / 30\, \Omega = 0.2\, A$.
$(ii)$ $R_1 = 5\, \Omega$,$R_2 = 10\, \Omega$,અને $R_3 = 30\, \Omega$ ના સમાંતર જોડાણ માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_P$ નીચે મુજબ મળે:
$1 / R_P = 1 / R_1 + 1 / R_2 + 1 / R_3$
$1 / R_P = 1 / 5 + 1 / 10 + 1 / 30$
$1 / R_P = (6 + 3 + 1) / 30 = 10 / 30 = 1 / 3$
તેથી,$R_P = 3\, \Omega$.
$(b)$ વિદ્યુત ઉપકરણોને સમાંતર જોડવાના બે ફાયદા:
$(i)$ જો એક ઉપકરણ બગડી જાય અથવા બંધ કરવામાં આવે,તો પણ બાકીના ઉપકરણો કામ કરવાનું ચાલુ રાખે છે.
$(ii)$ દરેક ઉપકરણને પાવર સપ્લાયનો સંપૂર્ણ વોલ્ટેજ મળે છે.

(N/A) પરિપથની આકૃતિ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે.
આપેલ છે:
$R_1 = 5 \, \Omega$,$R_2 = 10 \, \Omega$,$R_3 = 15 \, \Omega$
$V = 30 \, V$
અવરોધો શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,કુલ અવરોધ $R$ નીચે મુજબ થશે:
$R = R_1 + R_2 + R_3$
$R = 5 + 10 + 15 = 30 \, \Omega$
ઓમના નિયમ મુજબ પરિપથમાં વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$:
$I = V / R = 30 \, V / 30 \, \Omega = 1 \, A$
$10 \, \Omega$ ના અવરોધ માટે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V'$:
$V' = I \times R_2 = 1 \, A \times 10 \, \Omega = 10 \, V$

(1) આકૃતિ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે અવરોધોની નીચેની જોડીઓ સમાંતર જોડાણમાં છે:
$R_1$ અને $R_2$,$R_3$ અને $R_4$,$R_5$ અને $R_6$,તથા $R_7$ અને $R_8$.
દરેક અવરોધનું મૂલ્ય $2 \, \Omega$ હોવાથી,દરેક સમાંતર જોડી માટે સમતુલ્ય અવરોધ:
$\frac{1}{R_{12}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \, \Omega \implies R_{12} = 1 \, \Omega$.
તે જ રીતે,$R_{34} = 1 \, \Omega$,$R_{56} = 1 \, \Omega$ અને $R_{78} = 1 \, \Omega$.
હવે,$R_{12}$ અને $R_{34}$ શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ:
$R_{1234} = R_{12} + R_{34} = 1 + 1 = 2 \, \Omega$.
તે જ રીતે,$R_{56}$ અને $R_{78}$ શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ:
$R_{5678} = R_{56} + R_{78} = 1 + 1 = 2 \, \Omega$.
અંતે,$R_{1234}$ અને $R_{5678}$ એ બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી કુલ અવરોધ $R_{eq}$:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_{1234}} + \frac{1}{R_{5678}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \, \Omega^{-1}$.
આમ,સમતુલ્ય અવરોધ $1 \, \Omega$ છે.

(A) $(i)$ સમાંતર શાખાઓમાં વિદ્યુતપ્રવાહ તે શાખાના અવરોધના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. એમીટર $B$ અને $C$ ધરાવતી શાખાઓના અવરોધ અનુક્રમે $6\,\Omega$ અને $3\,\Omega$ છે.
$\frac{\text{એમીટર } C \text{ નું રીડિંગ}}{\text{એમીટર } B \text{ નું રીડિંગ}} = \frac{6\,\Omega}{3\,\Omega} = 2$
તેથી,એમીટર $C$ નું રીડિંગ $= 2 \times 0.5\, A = 1.0\, A$ થાય.
એમીટર $A$ નું રીડિંગ એ પરિપથનો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,જે સમાંતર શાખાઓમાં વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહનો સરવાળો છે:
એમીટર $A$ નું રીડિંગ $= (0.5 + 1.0)\, A = 1.5\, A$ થાય.
$(ii)$ ધારો કે પરિપથનો કુલ અવરોધ $R$ છે. પરિપથમાં $2\,\Omega$ નો અવરોધ,$3\,\Omega$ અને $6\,\Omega$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
પ્રથમ,સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $(R_p)$ શોધો:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$R_p = 2\,\Omega$
હવે,કુલ અવરોધ $R = 2\,\Omega + R_p = 2\,\Omega + 2\,\Omega = 4\,\Omega$ થાય.

(A) શ્રેણી જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{s} = R_{1} + R_{2}$ એ વ્યક્તિગત અવરોધો કરતા વધારે હોય છે. સમાંતર જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{p} = (R_{1}R_{2}) / (R_{1} + R_{2})$ એ વ્યક્તિગત અવરોધો કરતા ઓછો હોય છે.
$1$. $V-I$ આલેખ માટે (ઉપરનો): આલેખનો ઢાળ અવરોધ $(R = V/I)$ દર્શાવે છે. કારણ કે $R_{s} > R_{p}$,'શ્રેણી' માટેની રેખાનો ઢાળ 'સમાંતર' માટેની રેખા કરતા વધારે હોવો જોઈએ. આમ,ઉપરનો આલેખ યોગ્ય રીતે નામનિર્દેશિત છે.
$2$. $I-V$ આલેખ માટે (નીચેનો): આલેખનો ઢાળ વાહકતા $(1/R = I/V)$ દર્શાવે છે. કારણ કે $R_{s} > R_{p}$,સમાંતર જોડાણની વાહકતા $(1/R_{p})$ એ શ્રેણી જોડાણની વાહકતા $(1/R_{s})$ કરતા વધારે હોય છે. તેથી,'સમાંતર' માટેની રેખાનો ઢાળ 'શ્રેણી' માટેની રેખા કરતા વધારે હોવો જોઈએ. આમ,નીચેનો આલેખ પણ યોગ્ય રીતે નામનિર્દેશિત છે.
નિષ્કર્ષ: બંને આલેખ યોગ્ય રીતે નામનિર્દેશિત છે.

(A) પ્રકાશ વધશે.
શ્રેણી જોડાણમાં,કુલ અવરોધ $R$ એ વ્યક્તિગત બલ્બના અવરોધોનો સરવાળો છે $(R = R_1 + R_2 + ... + R_{20})$.
પરિપથ દ્વારા વપરાતો પાવર $P = \frac{V^2}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ સપ્લાય વોલ્ટેજ છે અને $R$ એ કુલ અવરોધ છે.
જ્યારે એક બલ્બ દૂર કરવામાં આવે છે (અથવા ફ્યુઝ થાય છે),ત્યારે પરિપથનો કુલ અવરોધ ઘટે છે કારણ કે હવે શ્રેણીમાં માત્ર $19$ બલ્બ જ બાકી રહે છે.
પાવર $P$ એ અવરોધ $R$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(P \propto \frac{1}{R})$,કુલ અવરોધમાં ઘટાડો થવાથી બાકીના બલ્બ દ્વારા વપરાતો કુલ પાવર વધે છે.
તેથી,રૂમમાં પ્રકાશની તીવ્રતા વધશે.

(N/A) $20\, \Omega$ ના અવરોધ પર $2.0\, V$ નું રીડિંગ મેળવવા માટે,આપણે પરિપથને એવી રીતે ગોઠવવો પડશે કે જેથી વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમ મુજબ જરૂરી વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત મળે.
$1$. બે $10\, \Omega$ ના અવરોધોને સમાંતર જોડો. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5\, \Omega$ થશે.
$2$. આ સમાંતર જોડાણને $(5\, \Omega)$ $20\, \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં જોડો.
$3$. પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 5\, \Omega + 20\, \Omega = 25\, \Omega$ થશે.
$4$. પરિપથમાં વહેતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{2.5\, V}{25\, \Omega} = 0.1\, A$ છે.
$5$. $20\, \Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V = I \times R = 0.1\, A \times 20\, \Omega = 2.0\, V$ થશે.
$6$. આમ,વોલ્ટમીટરને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $20\, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં જોડવું જોઈએ.

(C) સમાંતર જોડાણમાં,દરેક ઘટક પરનો વોલ્ટેજ સપ્લાય વોલ્ટેજ $(V)$ જેટલો જ રહે છે.
હીટર દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ગરમીનો દર $P = V^2 / R$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વોલ્ટેજ છે અને $R$ એ હીટરનો અવરોધ છે.
હીટર મેઈન્સ સાથે સમાંતર જોડાયેલ હોવાથી,તેની સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલા બલ્બમાં ફેરફાર કરવા છતાં તેનો વોલ્ટેજ $V$ અચળ રહે છે.
તેથી,$60\, W$ ના બલ્બને $100\, W$ ના બલ્બ સાથે બદલવાથી હીટર પરના વોલ્ટેજમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
પરિણામે,હીટર દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ગરમીનો દર સમાન રહે છે.

(A) $I-V$ આલેખમાં,ઢાળ એ વાહકતા દર્શાવે છે,જે અવરોધ $(1/R)$ નો વ્યસ્ત છે.
શ્રેણી જોડાણ નક્કી કરવા માટે,$V$ અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુમાંથી એક ઉભી રેખા દોરો જેથી તે આલેખ $1, 2$ અને $3$ ને અનુક્રમે $P, Q$ અને $R$ બિંદુઓ પર છેદે,જેમ કે આપેલ ઉકેલની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
અચળ સ્થિતિમાન $V$ માટે,ત્રણેય આલેખને અનુરૂપ પ્રવાહ $I_1, I_2$ અને $I_3$ છે.
આલેખ પરથી,આપણે જોઈએ છીએ કે $I_1 < I_2 < I_3$.
જેમ કે $R = V/I$,નિશ્ચિત $V$ માટે,ઓછો પ્રવાહ એટલે વધુ અવરોધ. તેથી,$R_1 > R_2 > R_3$.
શ્રેણી જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ $(R_s = R_a + R_b)$ હંમેશા વ્યક્તિગત અવરોધો ($R_a$ અને $R_b$) કરતા વધારે હોય છે.
આલેખ $1$ માં આપેલ સ્થિતિમાન માટે સૌથી ઓછો પ્રવાહ હોવાથી,તે સૌથી વધુ અવરોધ દર્શાવે છે. આમ,આલેખ $1$ એ બાકીના બે અવરોધો (આલેખ $2$ અને $3$) ના શ્રેણી જોડાણને રજૂ કરે છે.

(B) ધારો કે દરેક અવરોધનું મૂલ્ય $R$ છે.
જ્યારે $n$ અવરોધોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{s} = nR$ થાય છે.
જ્યારે $n$ અવરોધોને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{p} = R / n$ થાય છે.
મહત્તમ અવરોધ (શ્રેણી) અને ન્યૂનતમ અવરોધ (સમાંતર) નો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
ગુણોત્તર $= R_{s} / R_{p} = (nR) / (R / n) = n^{2}$.

(D) જ્યારે અવરોધોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે, ત્યારે દરેક અવરોધમાં વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત (વોલ્ટેજ) સમાન રહે છે.
ઓમના નિયમ મુજબ, $V = IR$, જેનો અર્થ છે કે $I = V/R$.
અહીં બંને અવરોધો માટે $V$ અચળ હોવાથી, વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ એ અવરોધ $R$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(I \propto 1/R)$.
તેથી, જે અવરોધનું મૂલ્ય ઓછું હશે તેમાં વિદ્યુતપ્રવાહ વધારે હશે અને જે અવરોધનું મૂલ્ય વધારે હશે તેમાં વિદ્યુતપ્રવાહ ઓછો હશે.
આમ, બંને અવરોધોમાં વોલ્ટેજ સમાન હોય છે.

(A) અવરોધોના શ્રેણી જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ $(R_{eq})$ એ વ્યક્તિગત અવરોધોના સરવાળા જેટલો હોય છે: $R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3 + ... + R_n$.
દરેક વ્યક્તિગત અવરોધ ધન હોવાથી,સરવાળો $R_{eq}$ હંમેશા પરિપથમાં રહેલા કોઈપણ એક વ્યક્તિગત અવરોધ કરતાં વધારે જ હશે.
તેથી,સમતુલ્ય અવરોધ એ સૌથી મોટા વ્યક્તિગત અવરોધ કરતાં પણ મોટો હોય છે.

(D) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે, $L$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે。
બંને તાર એક જ ધાતુના હોવાથી, $\rho$ અચળ છે। આપેલ છે કે $L$ પણ સમાન છે, તેથી $R \propto \frac{1}{A}$ થાય。
ધારો કે $A_1$ એ જાડા તારનું ક્ષેત્રફળ છે અને $A_2$ એ પાતળા તારનું ક્ષેત્રફળ છે। આપેલ છે કે $A_1 : A_2 = 3 : 1$, તેથી $A_1 = 3A$ અને $A_2 = A$ થાય。
જાડા તારનો અવરોધ $(R_1)$ $10\, \Omega$ છે। કારણ કે $R_1 = \frac{\rho L}{3A} = 10\, \Omega$, તેથી $\frac{\rho L}{A} = 30\, \Omega$ થાય。
પાતળા તારનો અવરોધ $(R_2)$ $R_2 = \frac{\rho L}{A} = 30\, \Omega$ થાય。
જ્યારે તેમને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે, ત્યારે કુલ અવરોધ $R_{total} = R_1 + R_2 = 10\, \Omega + 30\, \Omega = 40\, \Omega$ થાય।

(A) ધારો કે દરેક અવરોધકનો અવરોધ $R$ છે. આપણે આ ત્રણ અવરોધકોને નીચેની રીતે જોડી શકીએ છીએ:
$1$. ત્રણેય શ્રેણીમાં: $R_{eq} = R + R + R = 3R$.
$2$. ત્રણેય સમાંતરમાં: $1/R_{eq} = 1/R + 1/R + 1/R = 3/R$,તેથી $R_{eq} = R/3$.
$3$. બે શ્રેણીમાં અને એક તેમની સાથે સમાંતરમાં: $R_{eq} = (2R \times R) / (2R + R) = 2R^2 / 3R = (2/3)R$.
$4$. બે સમાંતરમાં અને એક તેમની સાથે શ્રેણીમાં: $R_{eq} = R + (R \times R) / (R + R) = R + R/2 = (3/2)R$.
આમ,કુલ $4$ અલગ-અલગ સમતુલ્ય અવરોધના મૂલ્યો મેળવી શકાય છે.

(A) શ્રેણી જોડાણમાં,વિદ્યુતપ્રવાહ વહેવા માટે માત્ર એક જ માર્ગ હોય છે. તેથી,પરિપથના કોઈપણ બિંદુમાંથી એકમ સમયમાં પસાર થતો વિદ્યુતભારનો જથ્થો અચળ રહે છે. પરિણામે,શ્રેણીમાં જોડાયેલા દરેક અવરોધમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $(I)$ સમાન હોય છે.

(A) સમાંતર જોડાણમાં,તમામ ઘટકો સમાન બે બિંદુઓ (નોડ્સ) વચ્ચે જોડાયેલા હોય છે.
તેથી,દરેક અવરોધમાં વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત (વોલ્ટેજ) એ સ્ત્રોત દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવતા કુલ વોલ્ટેજ જેટલો જ હોય છે.
આ સમાંતર જોડાણનો એક પાયાનો ગુણધર્મ છે.

(A) શ્રેણી પરિપથમાં,બધા ઘટકો એકબીજા સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય છે,જે વિદ્યુતપ્રવાહના વહન માટે એક જ સતત લૂપ બનાવે છે. તેથી,ઇલેક્ટ્રોન માટે માત્ર એક જ માર્ગ હોય છે.
સમાંતર પરિપથમાં,ઘટકો સમાન બે બિંદુઓ વચ્ચે જોડાયેલા હોય છે,જે અનેક શાખાઓ બનાવે છે. આનાથી વિદ્યુતપ્રવાહ વિભાજિત થાય છે અને એકસાથે વિવિધ માર્ગો પરથી વહી શકે છે.

(A) જ્યારે $R$ અવરોધ ધરાવતા તારને $n$ સમાન ટુકડાઓમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ટુકડાનો અવરોધ $R' = R/n$ થાય છે.
અહીં,મૂળ અવરોધ $R = 5\, \Omega$ અને ટુકડાઓની સંખ્યા $n = 5$ છે.
તેથી,દરેક ટુકડાનો અવરોધ $R' = 5\, \Omega / 5 = 1\, \Omega$ થાય.
જ્યારે સમાન અવરોધ $R'$ ધરાવતા $n$ અવરોધોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R'/n$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$R_{eq} = 1\, \Omega / 5 = 0.2\, \Omega$ મળે છે.

(D) આપેલ પરિપથમાં,બધા જ અવરોધકો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
જ્યારે અવરોધકો શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ વ્યક્તિગત અવરોધોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
$R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + R_5$
અહીં,$5$ અવરોધકો છે,જે દરેક $2 \, \Omega$ ના છે.
$R_{eq} = 2 \, \Omega + 2 \, \Omega + 2 \, \Omega + 2 \, \Omega + 2 \, \Omega = 10 \, \Omega$.
તેથી,બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $10 \, \Omega$ છે.

(A) આપેલ પરિપથમાં,બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે બે શાખાઓ જોડાયેલી છે.
શાખા $1$ માં $4 \, \Omega$ ના બે અવરોધો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. આ શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = 4 \, \Omega + 4 \, \Omega = 8 \, \Omega$ થાય.
શાખા $2$ માં $8 \, \Omega$ નો એક અવરોધ સીધો $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલો છે.
હવે,આ બંને શાખાઓ ($R_1 = 8 \, \Omega$ અને $R_2 = 8 \, \Omega$) સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ શોધવાનું સૂત્ર: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ મળે.
તેથી,$R_{eq} = 4 \, \Omega$ થાય.

(C) $1$. સમાંતર જોડાણ ઓળખો: $5 \, \Omega$ ના બે અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. આ સમાંતર ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $(R_p)$ $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $R_p = 2.5 \, \Omega$ થાય.
$2$. શ્રેણી જોડાણ ઓળખો: હવે પરિપથમાં ત્રણ અવરોધો શ્રેણીમાં છે: સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = 2.5 \, \Omega$ અને અન્ય બે $5 \, \Omega$ ના અવરોધો.
$3$. કુલ અવરોધની ગણતરી કરો: કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $(R_{eq})$ એ શ્રેણીમાં રહેલા આ અવરોધોનો સરવાળો છે: $R_{eq} = 2.5 \, \Omega + 5 \, \Omega + 5 \, \Omega = 12.5 \, \Omega$.

(C) જ્યારે અવરોધોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધનો વ્યસ્ત એ દરેક વ્યક્તિગત અવરોધોના વ્યસ્તના સરવાળા બરાબર હોય છે.
ત્રણ અવરોધો $R_{1}$,$R_{2}$ અને $R_{3}$ સમાંતર જોડાયેલા હોય ત્યારે સૂત્ર આ મુજબ છે:
$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}$
$R$ શોધવા માટે,આપણે સરવાળાનો વ્યસ્ત લઈએ છીએ:
$R = \frac{1}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}}$
$R = \frac{R_{1}R_{2}R_{3}}{R_{1}R_{2} + R_{2}R_{3} + R_{3}R_{1}}$

(D) જ્યારે અવરોધોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R$ એ વ્યક્તિગત અવરોધોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
શ્રેણી જોડાણ માટે સમતુલ્ય અવરોધનું સૂત્ર $R = R_1 + R_2 + R_3$ છે.
અહીં આપેલ કિંમતો $R_1 = 5 \Omega$,$R_2 = 10 \Omega$ અને $R_3 = 15 \Omega$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $R = 5 \Omega + 10 \Omega + 15 \Omega = 30 \Omega$.
તેથી,સમતુલ્ય અવરોધ $30 \Omega$ થાય છે.

(C) જ્યારે અવરોધો $R_{1}$ અને $R_{2}$ ને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નો વ્યસ્ત એ દરેક અવરોધના વ્યસ્તના સરવાળા જેટલો હોય છે.
આ સૂત્ર આ મુજબ છે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$.
આને સરળ બનાવવા માટે,આપણે સામાન્ય છેદ લઈએ છીએ,જે $R_{1} R_{2}$ છે.
તેથી,$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{R_{2} + R_{1}}{R_{1} R_{2}}$.
બંને બાજુનો વ્યસ્ત લેતા,આપણને સમતુલ્ય અવરોધ મળે છે: $R_{eq} = \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$.

(C) જ્યારે અવરોધોને સમાંતર જોડાણમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R$ શોધવાનું સૂત્ર: $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ છે.
અહીં $R_1 = 3 \Omega$ અને $R_2 = 6 \Omega$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{R} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$.
લસાઅ લેતા: $\frac{1}{R} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6}$.
તેથી,$\frac{1}{R} = \frac{1}{2}$.
આમ,સમતુલ્ય અવરોધ $R = 2 \Omega$ મળે છે.

(A) અવરોધોના શ્રેણી-જોડાણમાં,અવરોધોને એકબીજા સાથે એવી રીતે જોડવામાં આવે છે કે જેથી દરેક અવરોધમાંથી સમાન માત્રામાં વિદ્યુતપ્રવાહ $(I)$ વહે છે.
ઓમના નિયમ $(V = IR)$ મુજબ,કારણ કે વિદ્યુતપ્રવાહ $(I)$ અચળ છે અને દરેક અવરોધનું મૂલ્ય $(R)$ અલગ-અલગ હોઈ શકે છે,તેથી દરેક અવરોધ પરનો વૉલ્ટેજ ડ્રોપ $(V)$ અલગ-અલગ હશે.
શ્રેણી પરિપથમાં સમતુલ્ય અવરોધ $(R_{eq})$ એ વ્યક્તિગત અવરોધોનો સરવાળો $(R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3)$ છે,જે હંમેશા સૌથી મોટા વ્યક્તિગત અવરોધ કરતાં પણ વધારે હોય છે.
તેથી,દરેક અવરોધમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ સમાન હોય છે તે વિધાન સાચું છે.

(C) અવરોધોના સમાંતર જોડાણમાં,દરેક અવરોધના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V)$ સમાન રહે છે.
જોકે,વિદ્યુતપ્રવાહ $(I)$ દરેક અવરોધના મૂલ્ય મુજબ વહેંચાઈ જાય છે.
સમાંતર જોડાણ માટે સમતુલ્ય અવરોધ $(R_{eq})$ નું સૂત્ર $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ... + \frac{1}{R_n}$ છે.
આ વ્યસ્ત સંબંધને કારણે,સમતુલ્ય અવરોધ $(R_{eq})$ હંમેશા પરિપથમાં રહેલા સૌથી નાના અવરોધ કરતા પણ ઓછો હોય છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) અવરોધોના શ્રેણી-જોડાણ માટે:
$1$. દરેક અવરોધમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $(I)$ સમાન રહે છે.
$2$. જોડાણ પરનો કુલ વૉલ્ટેજ $(V)$ એ દરેક અવરોધ પરના વૉલ્ટેજ ડ્રોપના સરવાળા જેટલો હોય છે: $V = V_1 + V_2 + ... + V_n$.
$3$. સમતુલ્ય અવરોધ $(R_{eq})$ એ દરેક અવરોધના મૂલ્યોના સરવાળા જેટલો હોય છે: $R_{eq} = R_1 + R_2 + ... + R_n$.
$4$. કારણ કે $R_{eq}$ એ બધા અવરોધોનો સરવાળો છે,તેથી તે શ્રેણીમાં રહેલા સૌથી મોટા અવરોધ કરતાં પણ હંમેશા મોટો હોય છે.
તેથી,વિધાન કે 'સમતુલ્ય અવરોધનું મૂલ્ય નાનામાં નાના અવરોધ કરતાં નાનું હોય છે' તે ખોટું છે.

(B) આ પરિપથ બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલી ત્રણ સમાંતર શાખાઓનો બનેલો છે.
શાખા $1$ માં અવરોધ $R_1$ અને $R_2$ શ્રેણીમાં છે: $R_{s1} = R_1 + R_2 = 3 \ \Omega + 3 \ \Omega = 6 \ \Omega$.
શાખા $2$ માં અવરોધ $R_3$ અને $R_4$ શ્રેણીમાં છે: $R_{s2} = R_3 + R_4 = 3 \ \Omega + 3 \ \Omega = 6 \ \Omega$.
શાખા $3$ માં અવરોધ $R_5$ સીધો $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલ છે: $R_5 = 6 \ \Omega$.
હવે,આ ત્રણેય શાખાઓ ($R_{s1}$,$R_{s2}$,અને $R_5$) સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ માટેનું સૂત્ર: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_{s1}} + \frac{1}{R_{s2}} + \frac{1}{R_5}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$R_{eq} = 2 \ \Omega$.

(D) શ્રેણી-જોડાણ ધરાવતા વિદ્યુતપરિપથમાં વિદ્યુતપ્રવાહ વહેવા માટે માત્ર એક જ માર્ગ હોય છે.
જો શ્રેણી-જોડાણમાં રહેલો કોઈ પણ ઘટક (જેમ કે બલ્બ) ઊડી જાય અથવા પરિપથમાંથી અલગ થઈ જાય,તો પરિપથ ખુલ્લો (તૂટી ગયેલ) થઈ જાય છે.
ખુલ્લા પરિપથમાં વિદ્યુતપ્રવાહ વહી શકતો નથી,તેથી વિદ્યુતપ્રવાહનું વહન સંપૂર્ણપણે અટકી જાય છે.
આથી,જો ત્રીજો બલ્બ ઊડી જાય,તો આખો પરિપથ કપાઈ જાય છે અને બાકીના બધા જ બલ્બ બંધ થઈ જાય છે.

(A) સમાંતર જોડાણમાં,દરેક વિદ્યુત ઉપકરણ (અથવા બલ્બ) સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત સાથે સ્વતંત્ર રીતે જોડાયેલ હોય છે.
દરેક બલ્બ માટે વિદ્યુતપ્રવાહ વહેવા માટેનો પોતાનો અલગ માર્ગ હોવાથી,એક બલ્બ ઊડી જવાથી કે બંધ થઈ જવાથી અન્ય બલ્બના કાર્ય પર કોઈ અસર થતી નથી.
તેથી,જો બીજો બલ્બ ઊડી જાય,તો બાકીના ચારેય બલ્બને સમાન વોલ્ટેજ મળવાનું ચાલુ રહેશે અને તે પ્રકાશિત રહેશે.

(D) જ્યારે અવરોધોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $(R_{eq})$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$
અહીં $R_1 = 5 \Omega$,$R_2 = 10 \Omega$ અને $R_3 = 30 \Omega$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{1}{30}$
આ અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરવા માટે $5, 10$ અને $30$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $30$ મળે છે.
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{6}{30} + \frac{3}{30} + \frac{1}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$
તેથી,$R_{eq} = 3 \Omega$ થાય.

(A) સમાંતર જોડાણમાં,દરેક અવરોધના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V)$ સમાન હોય છે.
ઓમના નિયમ મુજબ,$I = V / R$.
અહીં $V$ અચળ હોવાથી,વિદ્યુતપ્રવાહ $(I)$ એ અવરોધ $(R)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $I \propto 1 / R$.
તેથી,જે અવરોધનું મૂલ્ય સૌથી ઓછું હોય,તેમાંથી સૌથી વધુ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેશે.
આપેલ અવરોધો $R_{1} = 5 \Omega$,$R_{2} = 10 \Omega$ અને $R_{3} = 30 \Omega$ માંથી સૌથી ઓછો અવરોધ $R_{1} = 5 \Omega$ છે.
આમ,$R_{1}$ માંથી સૌથી વધુ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેશે.

(B) અવરોધોના સમાંતર જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ $(R_{eq})$ શોધવાનું સૂત્ર: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{1}{30}$.
લસાઅ $(30)$ લેતા: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{6 + 3 + 1}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$R_{eq} = 3 \Omega$.
સમાંતર જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ હંમેશા પરિપથમાં રહેલા સૌથી નાના અવરોધ કરતા પણ ઓછો હોય છે. અહીં સૌથી નાનો અવરોધ $5 \Omega$ હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $5 \Omega$ કરતા ઓછો જ મળે.