Resistors in Series and Parallel Questions in Hindi

(N/A) $(i)$ ओम के नियम के अनुसार,किसी प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा $I = V / R$ द्वारा दी जाती है। चूंकि प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए प्रत्येक प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर समान रहता है,अर्थात $V = 6\, V$।
$30\, \Omega$ के प्रतिरोधक के लिए:
$I = 6\, V / 30\, \Omega = 0.2\, A$।
$(ii)$ $R_1 = 5\, \Omega$,$R_2 = 10\, \Omega$,और $R_3 = 30\, \Omega$ के समानांतर संयोजन के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_P$ इस प्रकार है:
$1 / R_P = 1 / R_1 + 1 / R_2 + 1 / R_3$
$1 / R_P = 1 / 5 + 1 / 10 + 1 / 30$
$1 / R_P = (6 + 3 + 1) / 30 = 10 / 30 = 1 / 3$
अतः,$R_P = 3\, \Omega$।
$(b)$ विद्युत उपकरणों को समानांतर क्रम में जोड़ने के दो लाभ:
$(i)$ यदि एक उपकरण खराब हो जाता है या बंद कर दिया जाता है,तो अन्य उपकरण काम करना जारी रखते हैं।
$(ii)$ प्रत्येक उपकरण को विद्युत आपूर्ति का पूर्ण वोल्टेज प्राप्त होता है।

(N/A) परिपथ आरेख चित्र में दर्शाए अनुसार है।
दिया गया है:
$R_1 = 5 \, \Omega$,$R_2 = 10 \, \Omega$,$R_3 = 15 \, \Omega$
$V = 30 \, V$
चूंकि प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,इसलिए कुल प्रतिरोध $R$ होगा:
$R = R_1 + R_2 + R_3$
$R = 5 + 10 + 15 = 30 \, \Omega$
ओम के नियम के अनुसार परिपथ में प्रवाहित धारा $I$:
$I = V / R = 30 \, V / 30 \, \Omega = 1 \, A$
$10 \, \Omega$ के प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर $V'$:
$V' = I \times R_2 = 1 \, A \times 10 \, \Omega = 10 \, V$

(1) आरेख से,हम देख सकते हैं कि प्रतिरोधकों के निम्नलिखित जोड़े समानांतर क्रम में हैं:
$R_1$ और $R_2$,$R_3$ और $R_4$,$R_5$ और $R_6$,तथा $R_7$ और $R_8$।
चूंकि प्रत्येक प्रतिरोधक का मान $2 \, \Omega$ है,इसलिए प्रत्येक समानांतर जोड़े के लिए तुल्य प्रतिरोध होगा:
$\frac{1}{R_{12}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \, \Omega \implies R_{12} = 1 \, \Omega$।
इसी प्रकार,$R_{34} = 1 \, \Omega$,$R_{56} = 1 \, \Omega$ और $R_{78} = 1 \, \Omega$।
अब,$R_{12}$ और $R_{34}$ श्रेणी क्रम में हैं,इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध होगा:
$R_{1234} = R_{12} + R_{34} = 1 + 1 = 2 \, \Omega$।
इसी प्रकार,$R_{56}$ और $R_{78}$ श्रेणी क्रम में हैं,इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध होगा:
$R_{5678} = R_{56} + R_{78} = 1 + 1 = 2 \, \Omega$।
अंत में,$R_{1234}$ और $R_{5678}$ बिंदु $A$ और $B$ के बीच समानांतर क्रम में हैं। अतः कुल प्रतिरोध $R_{eq}$ होगा:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_{1234}} + \frac{1}{R_{5678}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \, \Omega^{-1}$।
अतः,तुल्य प्रतिरोध $1 \, \Omega$ है।

(A) $(i)$ समानांतर शाखाओं में विद्युत धारा शाखा के प्रतिरोध के व्युत्क्रमानुपाती होती है। एमीटर $B$ और $C$ वाली शाखाओं के प्रतिरोध क्रमशः $6\,\Omega$ और $3\,\Omega$ हैं।
$\frac{\text{एमीटर } C \text{ का पाठ्यांक}}{\text{एमीटर } B \text{ का पाठ्यांक}} = \frac{6\,\Omega}{3\,\Omega} = 2$
अतः,एमीटर $C$ का पाठ्यांक $= 2 \times 0.5\, A = 1.0\, A$ होगा।
एमीटर $A$ का पाठ्यांक परिपथ की कुल विद्युत धारा है,जो समानांतर शाखाओं में प्रवाहित धाराओं का योग है:
एमीटर $A$ का पाठ्यांक $= (0.5 + 1.0)\, A = 1.5\, A$ होगा।
$(ii)$ मान लीजिए परिपथ का कुल प्रतिरोध $R$ है। परिपथ में $2\,\Omega$ का प्रतिरोध,$3\,\Omega$ और $6\,\Omega$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा है।
सबसे पहले,समानांतर भाग का तुल्य प्रतिरोध $(R_p)$ ज्ञात करें:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$R_p = 2\,\Omega$
अब,कुल प्रतिरोध $R = 2\,\Omega + R_p = 2\,\Omega + 2\,\Omega = 4\,\Omega$ होगा।

(A) श्रेणी संयोजन में,तुल्यांकी प्रतिरोध $R_{s} = R_{1} + R_{2}$ व्यक्तिगत प्रतिरोधों से अधिक होता है। समांतर संयोजन में,तुल्यांकी प्रतिरोध $R_{p} = (R_{1}R_{2}) / (R_{1} + R_{2})$ व्यक्तिगत प्रतिरोधों से कम होता है।
$1$. $V-I$ ग्राफ के लिए (ऊपर वाला): ग्राफ का ढाल प्रतिरोध $(R = V/I)$ को दर्शाता है। चूंकि $R_{s} > R_{p}$,'श्रेणी' के लिए रेखा का ढाल 'समांतर' के लिए रेखा से अधिक होना चाहिए। अतः,ऊपर वाला ग्राफ सही ढंग से लेबल किया गया है।
$2$. $I-V$ ग्राफ के लिए (नीचे वाला): ग्राफ का ढाल चालकता $(1/R = I/V)$ को दर्शाता है। चूंकि $R_{s} > R_{p}$,समांतर संयोजन की चालकता $(1/R_{p})$,श्रेणी संयोजन की चालकता $(1/R_{s})$ से अधिक होती है। इसलिए,'समांतर' के लिए रेखा का ढाल 'श्रेणी' के लिए रेखा से अधिक होना चाहिए। अतः,नीचे वाला ग्राफ भी सही ढंग से लेबल किया गया है।
निष्कर्ष: दोनों ग्राफ सही ढंग से लेबल किए गए हैं।

(A) प्रकाश बढ़ जाएगा।
श्रेणीक्रम परिपथ में,कुल प्रतिरोध $R$ व्यक्तिगत बल्बों के प्रतिरोधों का योग होता है $(R = R_1 + R_2 + ... + R_{20})$।
परिपथ द्वारा खपत की गई शक्ति $P = \frac{V^2}{R}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ सप्लाई वोल्टेज है और $R$ कुल प्रतिरोध है।
जब एक बल्ब हटा दिया जाता है (या फ्यूज हो जाता है),तो परिपथ का कुल प्रतिरोध कम हो जाता है क्योंकि अब श्रेणीक्रम में केवल $19$ बल्ब ही शेष रहते हैं।
चूँकि शक्ति $P$ प्रतिरोध $R$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(P \propto \frac{1}{R})$,इसलिए कुल प्रतिरोध में कमी आने से शेष बल्बों द्वारा खपत की गई कुल शक्ति बढ़ जाती है।
अतः,कमरे में प्रकाश की तीव्रता बढ़ जाएगी।

(N/A) $20\, \Omega$ के प्रतिरोधक पर $2.0\, V$ का पाठ्यांक प्राप्त करने के लिए,हमें परिपथ को इस तरह व्यवस्थित करना होगा कि वोल्टेज विभाजक नियम के अनुसार वांछित विभवांतर प्राप्त हो।
$1$. दो $10\, \Omega$ के प्रतिरोधकों को समानांतर क्रम में जोड़ें। उनका समतुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5\, \Omega$ होगा।
$2$. इस समानांतर संयोजन $(5\, \Omega)$ को $20\, \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणी क्रम में जोड़ें।
$3$. परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 5\, \Omega + 20\, \Omega = 25\, \Omega$ होगा।
$4$. परिपथ में कुल विद्युत धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{2.5\, V}{25\, \Omega} = 0.1\, A$ है।
$5$. $20\, \Omega$ के प्रतिरोधक पर वोल्टेज $V = I \times R = 0.1\, A \times 20\, \Omega = 2.0\, V$ होगा।
$6$. इस प्रकार,वोल्टमीटर को आरेख में दिखाए अनुसार $20\, \Omega$ के प्रतिरोधक के समानांतर जोड़ा जाना चाहिए।

(C) समानांतर परिपथ में,प्रत्येक घटक पर विभवांतर (voltage) आपूर्ति वोल्टेज $(V)$ के समान ही रहता है।
हीटर द्वारा उत्पन्न ऊष्मा की दर का सूत्र $P = V^2 / R$ है,जहाँ $V$ वोल्टेज है और $R$ हीटर का प्रतिरोध है।
चूंकि हीटर मुख्य आपूर्ति के साथ समानांतर में जुड़ा है,इसलिए इसके साथ समानांतर में जुड़े बल्ब को बदलने पर भी इसका वोल्टेज $V$ स्थिर रहता है।
अतः,$60\, W$ के बल्ब को $100\, W$ के बल्ब से बदलने पर हीटर पर वोल्टेज में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
परिणामस्वरूप,हीटर द्वारा उत्पन्न ऊष्मा की दर समान रहती है।

(A) $I-V$ ग्राफ में,ढाल (slope) चालकता को दर्शाती है,जो प्रतिरोध $(1/R)$ का व्युत्क्रम है।
श्रेणी संयोजन निर्धारित करने के लिए,$V$ अक्ष पर किसी भी बिंदु से एक लंबवत रेखा खींचें ताकि वह ग्राफ $1, 2$ और $3$ को क्रमशः $P, Q$ और $R$ बिंदुओं पर काटे,जैसा कि दिए गए समाधान चित्र में दिखाया गया है।
एक स्थिर विभव $V$ के लिए,तीनों ग्राफ के संगत धाराएं $I_1, I_2$ और $I_3$ हैं।
ग्राफ से,हम देखते हैं कि $I_1 < I_2 < I_3$ है।
चूंकि $R = V/I$ होता है,एक निश्चित $V$ के लिए,कम धारा का अर्थ है अधिक प्रतिरोध। इसलिए,$R_1 > R_2 > R_3$ है।
श्रेणी संयोजन में,तुल्यांकी प्रतिरोध $(R_s = R_a + R_b)$ हमेशा व्यक्तिगत प्रतिरोधों ($R_a$ और $R_b$) से अधिक होता है।
चूंकि ग्राफ $1$ में दिए गए विभव के लिए सबसे कम धारा है,यह सबसे अधिक प्रतिरोध के अनुरूप है। अतः,ग्राफ $1$ अन्य दो प्रतिरोधकों (ग्राफ $2$ और $3$) के श्रेणी संयोजन का प्रतिनिधित्व करता है।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक प्रतिरोधक का प्रतिरोध $R$ है।
जब $n$ प्रतिरोधकों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{s} = nR$ होता है।
जब $n$ प्रतिरोधकों को समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{p} = R / n$ होता है।
अधिकतम प्रतिरोध (श्रेणीक्रम) और न्यूनतम प्रतिरोध (समांतर क्रम) का अनुपात इस प्रकार है:
अनुपात $= R_{s} / R_{p} = (nR) / (R / n) = n^{2}$।

(D) जब प्रतिरोधों को समांतर क्रम में जोड़ा जाता है, तो प्रत्येक प्रतिरोध के सिरों पर विभवांतर (वोल्टेज) समान रहता है。
ओम के नियम के अनुसार, $V = IR$, जिसका अर्थ है $I = V/R$।
चूंकि दोनों प्रतिरोधों के लिए $V$ स्थिर है, इसलिए विद्युत धारा $I$, प्रतिरोध $R$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(I \propto 1/R)$।
अतः, कम प्रतिरोध वाले तार में विद्युत धारा अधिक होगी और अधिक प्रतिरोध वाले तार में विद्युत धारा कम होगी。
इस प्रकार, दोनों प्रतिरोधों में वोल्टेज समान होता है।

(A) प्रतिरोधों के श्रेणीक्रम संयोजन में,तुल्य प्रतिरोध $(R_{eq})$ व्यक्तिगत प्रतिरोधों के योग के बराबर होता है: $R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3 + ... + R_n$.
चूंकि प्रत्येक व्यक्तिगत प्रतिरोध धनात्मक होता है,इसलिए योग $R_{eq}$ हमेशा परिपथ में मौजूद किसी भी व्यक्तिगत प्रतिरोध से अधिक होगा।
अतः,तुल्य प्रतिरोध सबसे बड़े व्यक्तिगत प्रतिरोध से भी अधिक होता है।

(D) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है, $L$ लंबाई है, और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है。
चूंकि दोनों तार एक ही धातु के हैं, $\rho$ स्थिर है। यह दिया गया है कि $L$ भी समान है, इसलिए $R \propto \frac{1}{A}$ होगा。
मान लीजिए $A_1$ मोटे तार का क्षेत्रफल है और $A_2$ पतले तार का क्षेत्रफल है। दिया गया है $A_1 : A_2 = 3 : 1$, इसलिए $A_1 = 3A$ और $A_2 = A$ है。
मोटे तार का प्रतिरोध $(R_1)$ $10\, \Omega$ है। चूंकि $R_1 = \frac{\rho L}{3A} = 10\, \Omega$, इसलिए $\frac{\rho L}{A} = 30\, \Omega$ होगा。
पतले तार का प्रतिरोध $(R_2)$ $R_2 = \frac{\rho L}{A} = 30\, \Omega$ होगा。
जब उन्हें श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है, तो कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_1 + R_2 = 10\, \Omega + 30\, \Omega = 40\, \Omega$ होगा।

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक प्रतिरोधक का प्रतिरोध $R$ है। हम इन तीन प्रतिरोधकों को निम्नलिखित तरीकों से जोड़ सकते हैं:
$1$. तीनों श्रेणीक्रम में: $R_{eq} = R + R + R = 3R$.
$2$. तीनों समांतर क्रम में: $1/R_{eq} = 1/R + 1/R + 1/R = 3/R$,अतः $R_{eq} = R/3$.
$3$. दो श्रेणीक्रम में और एक उनके साथ समांतर क्रम में: $R_{eq} = (2R \times R) / (2R + R) = 2R^2 / 3R = (2/3)R$.
$4$. दो समांतर क्रम में और एक उनके साथ श्रेणीक्रम में: $R_{eq} = R + (R \times R) / (R + R) = R + R/2 = (3/2)R$.
इस प्रकार,कुल $4$ अलग-अलग तुल्य प्रतिरोध मान प्राप्त किए जा सकते हैं।

(A) श्रेणीक्रम परिपथ में,विद्युत धारा के बहने के लिए केवल एक ही मार्ग होता है। इसलिए,परिपथ के किसी भी बिंदु से प्रति इकाई समय में गुजरने वाले आवेश की मात्रा स्थिर रहती है। परिणामस्वरूप,श्रेणीक्रम में जुड़े प्रत्येक प्रतिरोधक से होकर बहने वाली विद्युत धारा $(I)$ समान रहती है।

(A) समानांतर परिपथ में,सभी घटक समान दो बिंदुओं (नोड्स) के बीच जुड़े होते हैं।
इसलिए,प्रत्येक प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर (वोल्टेज),स्रोत द्वारा प्रदान किए गए कुल वोल्टेज के बराबर होता है।
यह समानांतर परिपथ का एक मूलभूत गुण है।

(A) श्रेणी परिपथ में,सभी घटक एक के बाद एक जुड़े होते हैं,जो विद्युत धारा के प्रवाह के लिए एक ही निरंतर लूप बनाते हैं। इसलिए,इलेक्ट्रॉनों के लिए केवल एक ही पथ होता है।
समानांतर परिपथ में,घटक समान दो बिंदुओं के बीच जुड़े होते हैं,जिससे कई शाखाएं बनती हैं। यह विद्युत धारा को विभाजित होने और एक साथ विभिन्न पथों से प्रवाहित होने की अनुमति देता है।

(A) जब $R$ प्रतिरोध वाले तार को $n$ समान टुकड़ों में काटा जाता है,तो प्रत्येक टुकड़े का प्रतिरोध $R' = R/n$ हो जाता है।
यहाँ,मूल प्रतिरोध $R = 5\, \Omega$ और टुकड़ों की संख्या $n = 5$ है।
इसलिए,प्रत्येक टुकड़े का प्रतिरोध $R' = 5\, \Omega / 5 = 1\, \Omega$ होगा।
जब समान प्रतिरोध $R'$ वाले $n$ प्रतिरोधकों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R'/n$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$R_{eq} = 1\, \Omega / 5 = 0.2\, \Omega$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए परिपथ में,सभी प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं।
जब प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ व्यक्तिगत प्रतिरोधों के योग के बराबर होता है।
$R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + R_5$
यहाँ,$5$ प्रतिरोधक हैं,जिनमें से प्रत्येक $2 \, \Omega$ का है।
$R_{eq} = 2 \, \Omega + 2 \, \Omega + 2 \, \Omega + 2 \, \Omega + 2 \, \Omega = 10 \, \Omega$.
अतः,बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच तुल्य प्रतिरोध $10 \, \Omega$ है।

(A) दिए गए परिपथ में,बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच दो शाखाएँ जुड़ी हुई हैं।
शाखा $1$ में $4 \, \Omega$ के दो प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में जुड़े हैं। इस शाखा का तुल्य प्रतिरोध $R_1 = 4 \, \Omega + 4 \, \Omega = 8 \, \Omega$ है।
शाखा $2$ में $8 \, \Omega$ का एक प्रतिरोधक सीधे $A$ और $B$ के बीच जुड़ा है।
अब,ये दोनों शाखाएँ ($R_1 = 8 \, \Omega$ और $R_2 = 8 \, \Omega$) समांतर क्रम में जुड़ी हैं।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ का सूत्र: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$R_{eq} = 4 \, \Omega$ होगा।

(C) $1$. समांतर संयोजन को पहचानें: $5 \, \Omega$ के दो प्रतिरोधक समांतर क्रम में जुड़े हैं। इस समांतर भाग का तुल्य प्रतिरोध $(R_p)$ $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $R_p = 2.5 \, \Omega$ है।
$2$. श्रेणी संयोजन को पहचानें: अब परिपथ में तीन प्रतिरोधक श्रेणी क्रम में हैं: तुल्य प्रतिरोध $R_p = 2.5 \, \Omega$ और अन्य दो $5 \, \Omega$ के प्रतिरोधक।
$3$. कुल प्रतिरोध की गणना करें: कुल तुल्य प्रतिरोध $(R_{eq})$ श्रेणी क्रम में इन प्रतिरोधों का योग है: $R_{eq} = 2.5 \, \Omega + 5 \, \Omega + 5 \, \Omega = 12.5 \, \Omega$.

(C) जब प्रतिरोधकों को समांतर क्रम (parallel) में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध का व्युत्क्रम (reciprocal) व्यक्तिगत प्रतिरोधों के व्युत्क्रमों के योग के बराबर होता है।
तीन प्रतिरोधकों $R_{1}$,$R_{2}$ और $R_{3}$ के लिए सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}$
$R$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम योग का व्युत्क्रम लेते हैं:
$R = \frac{1}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}}$
$R = \frac{R_{1}R_{2}R_{3}}{R_{1}R_{2} + R_{2}R_{3} + R_{3}R_{1}}$

(D) जब प्रतिरोधकों को श्रेणीक्रम (series) में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R$ व्यक्तिगत प्रतिरोधों के योग के बराबर होता है।
श्रेणीक्रम में तुल्य प्रतिरोध का सूत्र $R = R_1 + R_2 + R_3$ है।
दिए गए मान $R_1 = 5 \Omega$,$R_2 = 10 \Omega$ और $R_3 = 15 \Omega$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $R = 5 \Omega + 10 \Omega + 15 \Omega = 30 \Omega$।
अतः,तुल्य प्रतिरोध $30 \Omega$ है।

(C) जब प्रतिरोधों $R_{1}$ और $R_{2}$ को समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ का व्युत्क्रम व्यक्तिगत प्रतिरोधों के व्युत्क्रमों के योग के बराबर होता है।
सूत्र इस प्रकार है: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$.
इसे सरल बनाने के लिए,हम उभयनिष्ठ हर (common denominator) लेते हैं,जो $R_{1} R_{2}$ है।
अतः,$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{R_{2} + R_{1}}{R_{1} R_{2}}$.
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर,हमें तुल्य प्रतिरोध प्राप्त होता है: $R_{eq} = \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$.

(C) जब प्रतिरोधों को समानांतर क्रम (parallel) में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R$ का सूत्र है: $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$।
यहाँ $R_1 = 3 \Omega$ और $R_2 = 6 \Omega$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{1}{R} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$।
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{1}{R} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6}$।
अतः,$\frac{1}{R} = \frac{1}{2}$।
इस प्रकार,तुल्य प्रतिरोध $R = 2 \Omega$ प्राप्त होता है।

(A) प्रतिरोधों के श्रेणीक्रम संयोजन में,प्रतिरोधों को एक-दूसरे से इस प्रकार जोड़ा जाता है कि प्रत्येक प्रतिरोध से समान मात्रा में विद्युत धारा $(I)$ प्रवाहित होती है।
ओम के नियम $(V = IR)$ के अनुसार,चूंकि विद्युत धारा $(I)$ स्थिर रहती है और प्रत्येक प्रतिरोध का मान $(R)$ अलग-अलग हो सकता है,इसलिए प्रत्येक प्रतिरोध पर वोल्टेज ड्रॉप $(V)$ अलग-अलग होगा।
श्रेणीक्रम परिपथ में तुल्य प्रतिरोध $(R_{eq})$ व्यक्तिगत प्रतिरोधों का योग $(R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3)$ होता है,जो हमेशा सबसे बड़े व्यक्तिगत प्रतिरोध से भी अधिक होता है।
अतः,यह कथन कि प्रत्येक प्रतिरोध से प्रवाहित होने वाली विद्युत धारा समान होती है,सही है।

(C) प्रतिरोधों के समानांतर संयोजन में,प्रत्येक प्रतिरोध के सिरों के बीच विभवांतर $(V)$ समान रहता है।
हालाँकि,विद्युत धारा $(I)$ प्रत्येक प्रतिरोध के मान के अनुसार विभाजित हो जाती है।
समानांतर संयोजन के लिए तुल्य प्रतिरोध $(R_{eq})$ का सूत्र $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ... + \frac{1}{R_n}$ है।
इस व्युत्क्रम संबंध के कारण,तुल्य प्रतिरोध $(R_{eq})$ हमेशा परिपथ में मौजूद सबसे छोटे प्रतिरोध से भी कम होता है।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(D) प्रतिरोधों के श्रेणीक्रम संयोजन में:
$1$. प्रत्येक प्रतिरोध से बहने वाली विद्युत धारा $(I)$ समान रहती है।
$2$. संयोजन पर कुल वोल्टेज $(V)$ प्रत्येक प्रतिरोध पर वोल्टेज ड्रॉप के योग के बराबर होता है: $V = V_1 + V_2 + ... + V_n$.
$3$. तुल्य प्रतिरोध $(R_{eq})$ व्यक्तिगत प्रतिरोधों के योग के बराबर होता है: $R_{eq} = R_1 + R_2 + ... + R_n$.
$4$. चूंकि $R_{eq}$ सभी प्रतिरोधों का योग है,इसलिए यह हमेशा श्रेणी में मौजूद सबसे बड़े प्रतिरोध के मान से भी अधिक होता है।
अतः,यह कथन कि 'तुल्य प्रतिरोध का मान सबसे छोटे प्रतिरोध से कम होता है' गलत है।

(B) यह परिपथ बिंदु $A$ और $B$ के बीच जुड़ी तीन समानांतर शाखाओं से बना है।
शाखा $1$ में प्रतिरोध $R_1$ और $R_2$ श्रेणीक्रम में हैं: $R_{s1} = R_1 + R_2 = 3 \ \Omega + 3 \ \Omega = 6 \ \Omega$.
शाखा $2$ में प्रतिरोध $R_3$ और $R_4$ श्रेणीक्रम में हैं: $R_{s2} = R_3 + R_4 = 3 \ \Omega + 3 \ \Omega = 6 \ \Omega$.
शाखा $3$ में प्रतिरोध $R_5$ सीधे $A$ और $B$ के बीच जुड़ा है: $R_5 = 6 \ \Omega$.
अब,ये तीनों शाखाएं ($R_{s1}$,$R_{s2}$,और $R_5$) समानांतर क्रम में जुड़ी हुई हैं।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ के लिए सूत्र: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_{s1}} + \frac{1}{R_{s2}} + \frac{1}{R_5}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
अतः,$R_{eq} = 2 \ \Omega$.

(D) श्रेणी परिपथ में विद्युत धारा के प्रवाह के लिए केवल एक ही मार्ग होता है।
यदि श्रेणी परिपथ में कोई भी एक घटक (जैसे बल्ब) फ्यूज हो जाता है या परिपथ से अलग हो जाता है,तो परिपथ टूट जाता है (open circuit)।
चूंकि खुले परिपथ में विद्युत धारा प्रवाहित नहीं हो सकती,इसलिए विद्युत का प्रवाह पूरी तरह से रुक जाता है।
अतः,यदि तीसरा बल्ब फ्यूज हो जाता है,तो पूरा परिपथ बाधित हो जाता है और बाकी सभी बल्ब बंद हो जाएंगे।

(A) समानांतर परिपथ में,प्रत्येक विद्युत उपकरण (या बल्ब) समान विभवांतर के साथ स्वतंत्र रूप से जुड़ा होता है।
चूंकि प्रत्येक बल्ब के पास विद्युत धारा के प्रवाह के लिए अपना अलग रास्ता होता है,इसलिए एक बल्ब के फ्यूज होने या खराब होने का प्रभाव अन्य बल्बों के संचालन पर नहीं पड़ता है।
अतः,यदि दूसरा बल्ब फ्यूज हो जाता है,तो शेष चारों बल्बों को समान वोल्टेज मिलता रहेगा और वे जलते रहेंगे।

(D) जब प्रतिरोधों को समांतर क्रम (parallel) में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $(R_{eq})$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$
यहाँ $R_1 = 5 \Omega$,$R_2 = 10 \Omega$ और $R_3 = 30 \Omega$ दिए गए हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{1}{30}$
इन भिन्नों को जोड़ने के लिए $5, 10$ और $30$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $30$ है।
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{6}{30} + \frac{3}{30} + \frac{1}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$
अतः,$R_{eq} = 3 \Omega$ होगा।

(A) समानांतर परिपथ में,प्रत्येक प्रतिरोध के सिरों के बीच विभवांतर $(V)$ समान होता है।
ओम के नियम के अनुसार,$I = V / R$ होता है।
चूंकि $V$ स्थिर है,इसलिए विद्युत धारा $(I)$ प्रतिरोध $(R)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $I \propto 1 / R$।
अतः,जिस प्रतिरोध का मान सबसे कम होगा,उससे सबसे अधिक विद्युत धारा प्रवाहित होगी।
दिए गए प्रतिरोधों $R_{1} = 5 \Omega$,$R_{2} = 10 \Omega$ और $R_{3} = 30 \Omega$ में सबसे कम प्रतिरोध $R_{1} = 5 \Omega$ है।
इसलिए,$R_{1}$ से सबसे अधिक विद्युत धारा प्रवाहित होगी।

(B) प्रतिरोधकों के समानांतर संयोजन में,तुल्य प्रतिरोध $(R_{eq})$ का सूत्र है: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{1}{30}$।
लघुत्तम समापवर्त्य $(30)$ लेने पर: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{6 + 3 + 1}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$।
अतः,$R_{eq} = 3 \Omega$।
समानांतर परिपथ में,तुल्य प्रतिरोध हमेशा परिपथ में मौजूद सबसे छोटे व्यक्तिगत प्रतिरोध से कम होता है। चूंकि सबसे छोटा प्रतिरोध $5 \Omega$ है,इसलिए तुल्य प्रतिरोध $5 \Omega$ से कम होगा।