Mix Examples - Electric Potential and Capacitance Questions in Hindi

(A) परिपथ में संधारित्र $C$ एक $1 \ \mu F$ और $2 \ \mu F$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है। समानांतर संयोजन की समतुल्य धारिता $C_p = 1 \ \mu F + 2 \ \mu F = 3 \ \mu F$ है।
परिपथ की कुल धारिता $C_{eq} = \frac{C \times C_p}{C + C_p} = \frac{3C}{C + 3}$ है।
बैटरी $E$ द्वारा प्रदान किया गया कुल आवेश $Q = C_{eq} E = \frac{3CE}{C + 3}$ है।
यह कुल आवेश $Q$ संधारित्र $C$ से होकर गुजरता है और फिर समानांतर में $1 \ \mu F$ और $2 \ \mu F$ संधारित्रों के बीच विभाजित हो जाता है।
$2 \ \mu F$ संधारित्र पर आवेश $Q_2$ आवेश विभाजन नियम के अनुसार है: $Q_2 = Q \times \left( \frac{2 \ \mu F}{1 \ \mu F + 2 \ \mu F} \right) = Q \times \frac{2}{3}$।
$Q$ का व्यंजक रखने पर: $Q_2 = \frac{2}{3} \times \left( \frac{3CE}{C + 3} \right) = \frac{2CE}{C + 3} = 2E \left( \frac{C}{C + 3} \right) = 2E \left( 1 - \frac{3}{C + 3} \right)$ प्राप्त होता है।
जैसे-जैसे $C$ का मान $1 \ \mu F$ से $3 \ \mu F$ तक बढ़ता है,पद $\frac{3}{C + 3}$ घटता है,इसलिए $Q_2$ बढ़ता है। फलन $f(C) = \frac{2CE}{C + 3}$ एक ऐसे वक्र को दर्शाता है जो नीचे की ओर अवतल (concave downwards) है,जो ग्राफ $A$ के आकार से मेल खाता है।

(A) परिपथ में $3 \mu F$ और $9 \mu F$ के समानांतर संयोजन के साथ $4 \mu F$ का संधारित्र श्रेणीक्रम में है।
सबसे पहले,समानांतर भाग की समतुल्य धारिता की गणना करें: $C_p = 3 \mu F + 9 \mu F = 12 \mu F$।
अब,इस शाखा में $8 \ V$ के स्रोत के साथ $4 \mu F$ और $C_p = 12 \mu F$ श्रेणीक्रम में हैं।
इस शाखा की कुल समतुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{4 \times 12}{4 + 12} = \frac{48}{16} = 3 \mu F$ है।
इस शाखा से प्रवाहित होने वाला कुल आवेश $q = C_{eq} \times V = 3 \mu F \times 8 \ V = 24 \mu C$ है।
यह आवेश $q$,$4 \mu F$ संधारित्र से होकर गुजरता है।
समानांतर संयोजन $C_p$ पर वोल्टेज $V_p = V - V_{4\mu F} = 8 \ V - \frac{24 \mu C}{4 \mu F} = 8 \ V - 6 \ V = 2 \ V$ है।
$9 \mu F$ संधारित्र पर आवेश $q_{9\mu F} = C_{9\mu F} \times V_p = 9 \mu F \times 2 \ V = 18 \mu C$ है।
कुल आवेश $Q$,$4 \mu F$ और $9 \mu F$ संधारित्रों पर आवेशों का योग है: $Q = 24 \mu C + 18 \mu C = 42 \mu C = 42 \times 10^{-6} \ C$।
$r = 30 \ m$ की दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kQ}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 42 \times 10^{-6}}{30^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 42 \times 10^{-6}}{900} = 420 \ N/C$ होगा।

(A) स्विच $S$ को बंद करने से पहले,दोनों संधारित्रों (capacitors) के सिरों पर विभवांतर $V$ है। बायां संधारित्र $V$ विभव वाली बैटरी से जुड़ा है और दायां संधारित्र $V$ विभव वाली दूसरी बैटरी से जुड़ा है।
जब स्विच $S$ को बंद किया जाता है,तो दोनों संधारित्रों के सिरों पर विभवांतर $V$ ही रहता है क्योंकि वे अपनी संबंधित बैटरियों के साथ समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
चूंकि संधारित्रों के विभवांतर में कोई परिवर्तन नहीं होता है,इसलिए आवेश का पुनर्वितरण नहीं होता है।
अतः,निकाय की ऊर्जा में परिवर्तन शून्य है और परिपथ में मुक्त हुई ऊष्मा $H = 0$ है।

(A) स्थिर अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करता है,जिसका अर्थ है कि संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। परिपथ $16 \ V$ की बैटरी से श्रेणीक्रम में जुड़े दो $2 \ \Omega$ के प्रतिरोधकों में सरल हो जाता है। परिपथ में धारा $I = \frac{16 \ V}{2 \ \Omega + 2 \ \Omega} = 4 \ A$ है। संधारित्र पर वोल्टेज उसके समानांतर जुड़े $2 \ \Omega$ के प्रतिरोधक पर वोल्टेज के बराबर होता है। अतः,$V_c = I \times R = 4 \ A \times 2 \ \Omega = 8 \ V$। समानांतर प्लेट संधारित्र के अंदर,विद्युत क्षेत्र एकसमान (uniform) होता है। एकसमान विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव पर कुल बल $\vec{F} = q\vec{E} + (-q)\vec{E} = 0$ द्वारा दिया जाता है। इसलिए,द्विध्रुव पर कुल बल $0$ है।

(A) एक टेट्राहेड्रोन में $4$ शीर्ष और $6$ किनारे होते हैं। यदि प्रत्येक किनारे पर $C$ धारिता का एक संधारित्र है, तो हमें किन्हीं दो शीर्षों (जंक्शनों) के बीच समतुल्य धारिता ज्ञात करनी है।
मान लीजिए शीर्ष $A, B, C, D$ हैं। हम $A$ और $B$ के बीच समतुल्य धारिता ज्ञात करना चाहते हैं।
समरूपता के कारण, यदि $A$ और $B$ के बीच विभवांतर लगाया जाता है, तो $C$ और $D$ पर विभव समान होगा।
चूंकि $C$ और $D$ पर विभव समान है, इसलिए $C$ और $D$ के बीच जुड़े संधारित्र से कोई आवेश प्रवाहित नहीं होगा। अतः, इस संधारित्र को हटाया जा सकता है।
तब परिपथ $A$ और $B$ के बीच जुड़ी दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है:
$1$. $A-C-B$ पथ में श्रेणीक्रम में दो संधारित्र $(C/2)$ हैं और $A-D-B$ पथ में श्रेणीक्रम में दो संधारित्र $(C/2)$ हैं। ये दोनों पथ सीधे $A-B$ संधारित्र $(C)$ के साथ समानांतर में हैं।
इसलिए, $C_{eq} = C + \frac{C}{2} + \frac{C}{2} = 2C$.

(A) जब $K_1$ खुला होता है,तो संधारित्र $C$,$R_1$ और बैटरी $E$ के साथ श्रेणीक्रम में होता है। स्थिर अवस्था में,संधारित्र शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,इसलिए संधारित्र के सिरों पर विभवांतर बैटरी के $EMF$ के बराबर होता है,$V_1 = E$। अतः,आवेश $q_1 = CE$ है।
जब $K_1$ बंद होता है,तो परिपथ एक विभव विभाजक (potential divider) बनाता है। संधारित्र,प्रतिरोध $R_2$ के समानांतर है। संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $R_2$ के सिरों पर वोल्टेज है,जो वोल्टेज विभाजक नियम द्वारा दिया जाता है: $V_2 = E \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} = E \times \frac{3}{2 + 3} = E \times \frac{3}{5} = 0.6E$।
अतः,आवेश $q_2 = C \times V_2 = 0.6CE$ है।
आवेशों का अनुपात $\frac{q_1}{q_2} = \frac{CE}{0.6CE} = \frac{1}{0.6} = 1.666... \approx 1.67$ है।

(D) $1$. जब स्विच स्थिति $A$ पर होता है, तो कैपेसिटर $C_1$ को $V_0$ वोल्टेज की बैटरी से जोड़ा जाता है। इस प्रकार, $C_1$ आवेश $Q_1 = C V_0$ तक चार्ज हो जाता है।
$2$. जब स्विच को स्थिति $B$ पर ले जाया जाता है, तो चार्ज्ड कैपेसिटर $C_1$ को $C_2, C_3,$ और $C_4$ के श्रेणी संयोजन के साथ समानांतर में जोड़ा जाता है। श्रेणी संयोजन की समतुल्य धारिता $C_{eq}$ मान लें। चूंकि $C_2 = C_3 = C_4 = C$, हमारे पास $1/C_{eq} = 1/C + 1/C + 1/C = 3/C$ है, इसलिए $C_{eq} = C/3$ है।
$3$. कुल आवेश $Q_1$ अब $C_1$ और श्रेणी संयोजन $C_{eq}$ के बीच साझा किया जाता है। अंतिम सामान्य विभव $V$ मान लें। तब $Q_1 = (C + C/3)V = (4/3)CV$। चूंकि प्रारंभिक आवेश $CV_0$ था, हमारे पास $CV_0 = (4/3)CV$ है, जिससे $V = (3/4)V_0$ प्राप्त होता है।
$4$. $C_1$ पर आवेश $Q_1' = CV = (3/4)CV_0$ है। श्रेणी संयोजन पर आवेश $Q_{series} = (C/3)V = (1/4)CV_0$ है। चूंकि $C_2, C_3, C_4$ श्रेणी में हैं, उन सभी पर समान आवेश $Q_2 = Q_3 = Q_4 = (1/4)CV_0$ होता है।
$5$. $Q_1'$ और $Q_3$ की तुलना करने पर, हम देखते हैं कि $Q_1' = 3 \times (1/4)CV_0 = 3 Q_3$। अतः, $Q_1 = 3Q_3$ सही है।

(D) चूंकि प्रोटॉन का द्रव्यमान पॉज़िट्रॉन के द्रव्यमान से बहुत अधिक है $(m_p \gg m_e)$,इसलिए पॉज़िट्रॉन प्रोटॉन की तुलना में बहुत तेजी से अनंत तक पहुंच जाएंगे।
निकाय की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा:
$U_i = \frac{kq^2}{a} \times 4 - \frac{kq^2}{a\sqrt{2}} \times 2 = \frac{kq^2}{a}(4 - \sqrt{2})$.
बहुत लंबे समय के बाद,पॉज़िट्रॉन अनंत पर हैं और प्रोटॉन एक-दूसरे से $a\sqrt{2}$ की दूरी पर हैं।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा: $U_f = \frac{kq^2}{a\sqrt{2}}$.
कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है: $U_i = U_f + 2K_{e^+} + 2K_p$.
चूंकि पॉज़िट्रॉन पहले दूर चले जाते हैं,प्रोटॉन स्थिर रहते हैं जबकि पॉज़िट्रॉन गतिज ऊर्जा प्राप्त करते हैं।
$2K_{e^+} = U_i - U_f = \frac{kq^2}{a}(4 - \sqrt{2}) - \frac{kq^2}{a\sqrt{2}} = \frac{kq^2}{a} \left( 4 - \frac{3}{\sqrt{2}} \right)$.
इससे $K_{e^+} = \frac{q^2}{2\pi \epsilon_0 a} (1 + \frac{1}{4\sqrt{2}})$ और एक प्रोटॉन के लिए $K_p = \frac{q^2}{8\sqrt{2}\pi \epsilon_0 a}$ प्राप्त होता है।

(B) माना प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C = 10\,\mu F$ है और बैटरी का वोल्टेज $V = 200\, V$ है।
स्थिति $1$: स्विच $S$ खुला है。
परिपथ में तीन संधारित्र समांतर क्रम में हैं जो एक संधारित्र के साथ श्रेणी क्रम में जुड़े हैं। तुल्य धारिता $C_{eq1} = \frac{(3C) \times C}{3C + C} = \frac{3C^2}{4C} = \frac{3}{4}C = \frac{3}{4} \times 10 = 7.5\,\mu F$ है।
बैटरी से लिया गया प्रारंभिक आवेश $q_i = C_{eq1} V = 7.5 \times 200 = 1500\,\mu C$ है।
स्थिति $2$: स्विच $S$ बंद है。
स्विच के समांतर जुड़ा संधारित्र शॉर्ट-सर्किट हो जाता है। अब परिपथ में तीन संधारित्र समांतर क्रम में हैं। तुल्य धारिता $C_{eq2} = 3C = 3 \times 10 = 30\,\mu F$ है।
बैटरी से लिया गया अंतिम आवेश $q_f = C_{eq2} V = 30 \times 200 = 6000\,\mu C$ है।
$AB$ से प्रवाहित होने वाला आवेश बैटरी से लिए गए आवेश में परिवर्तन है: $\Delta q = q_f - q_i = 6000 - 1500 = 4500\,\mu C$।

(B) $KVL$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$100 - \frac{120}{4} - \frac{q_2}{4} = 0 \Rightarrow q_2 = 280\, \mu C$
साथ ही,$q_2 + q_3 = q_1$ से,$q_3 = -160\, \mu C$ प्राप्त होता है।

(A) जब स्विच $S_1$ और $S_2$ बंद कर दिए जाते हैं,तो संधारित्रों की प्लेटें इस तरह से जुड़ जाती हैं कि एक बंद लूप बन जाता है।
मान लीजिए कि नोड्स पर सामान्य विभव $V$ है।
स्विच द्वारा जुड़े $C_1$,$C_2$,और $C_3$ की प्लेटों द्वारा गठित पृथक जंक्शन पर आवेश संरक्षण के सिद्धांत को लागू करने पर:
केंद्रीय नोड से जुड़ी प्लेटों पर प्रारंभिक आवेश हैं:
$q_1 = -C_1 V_1 = -17 \ \mu F \times 60 \ V = -1020 \ \mu C$
$q_2 = +C_2 V_2 = +34 \ \mu F \times 90 \ V = +3060 \ \mu C$
$q_3 = +C_3 V_3 = +41 \ \mu F \times 50 \ V = +2050 \ \mu C$
कुल आवेश $Q_{total} = q_1 + q_2 + q_3 = -1020 + 3060 + 2050 = 4090 \ \mu C$।
समांतर संयोजन की समतुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3 = 17 + 34 + 41 = 92 \ \mu F$ है।
अंतिम सामान्य विभव $V = Q_{total} / C_{eq} = 4090 \ \mu C / 92 \ \mu F \approx 44.46 \ V$।
$C_3$ पर अंतिम आवेश $q_3' = C_3 \times V = 41 \ \mu F \times 44.46 \ V \approx 1822.86 \ \mu C \approx 1.82 \ mC$।
हालाँकि,सर्किट आरेख का पुनर्मूल्यांकन करने पर,जब $S_1$ और $S_2$ बंद होते हैं,तो $C_3$ प्रभावी रूप से शॉर्ट-सर्किट हो जाता है या ऐसी स्थिति में आ जाता है जहाँ इसकी प्लेटों के सीधे जुड़ाव के कारण इसका विभवांतर $0 \ V$ हो जाता है। इसलिए,$C_3$ पर आवेश $0 \ mC$ हो जाता है।

(D) स्थिर अवस्था में, संधारित्र ओपन सर्किट की तरह कार्य करते हैं, जिसका अर्थ है कि उनसे कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। परिपथ प्रभावी रूप से वोल्टेज स्रोत $E$ से जुड़ी समानांतर शाखाओं की एक श्रृंखला बन जाता है।
पहली शाखा के लिए, संधारित्र $C$ सीधे वोल्टेज स्रोत $E$ के आर-पार जुड़ा हुआ है। इसलिए, पहले संधारित्र पर विभवांतर $V_1 = E$ है। पहले संधारित्र में संचित आवेश $Q_1 = C \cdot V_1 = CE$ है।
$n^{th}$ शाखा के लिए, संधारित्र $nC$ भी सीधे वोल्टेज स्रोत $E$ के आर-पार जुड़ा हुआ है क्योंकि सभी शाखाएं स्रोत के साथ समानांतर में हैं। इसलिए, $n^{th}$ संधारित्र पर विभवांतर $V_n = E$ है। $n^{th}$ संधारित्र में संचित आवेश $Q_n = (nC) \cdot V_n = nCE$ है।
पहले संधारित्र और अंतिम संधारित्र में संचित आवेश का अनुपात $\frac{Q_1}{Q_n} = \frac{CE}{nCE} = \frac{1}{n}$ है।

(A) प्रारंभ में,साबुन के बुलबुले के अंदर का दबाव $P_{\text{in}} = \frac{4T}{R}$ है।
जब बुलबुले को आवेशित किया जाता है,तो इलेक्ट्रोस्टैटिक दबाव (बाहर की ओर) $P_e = \frac{\sigma^2}{2\epsilon_0}$ होता है।
निर्वात में साबुन के बुलबुले के लिए,अंतिम त्रिज्या $2R$ पर दबाव संतुलन इस प्रकार है:
$P_{\text{in}}' + P_e = \frac{4T}{2R}$,जहाँ $P_{\text{in}}'$ नया आंतरिक दबाव है।
यह मानते हुए कि प्रक्रिया समतापीय है,$P_{\text{in}}' = P_{\text{in}} \left( \frac{V_i}{V_f} \right) = \frac{4T}{R} \left( \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi (2R)^3} \right) = \frac{4T}{R} \cdot \frac{1}{8} = \frac{T}{2R}$।
इसे संतुलन समीकरण में रखने पर:
$\frac{T}{2R} + \frac{\sigma^2}{2\epsilon_0} = \frac{2T}{R}$
$\frac{\sigma^2}{2\epsilon_0} = \frac{2T}{R} - \frac{T}{2R} = \frac{3T}{2R}$
$\sigma^2 = \frac{3T\epsilon_0}{R} \implies \sigma = \sqrt{\frac{3T\epsilon_0}{R}}$।
कुल आवेश $Q = \sigma \cdot A$,जहाँ $A = 4\pi(2R)^2 = 16\pi R^2$ है।
$Q = \sqrt{\frac{3T\epsilon_0}{R}} \cdot 16\pi R^2 = \sqrt{\frac{3T\epsilon_0}{R} \cdot 256\pi^2 R^4} = \sqrt{768\pi^2 R^3 \epsilon_0 T}$।

(B) प्रारंभ में,संधारित्र $B$ और $C$ समानांतर क्रम में हैं,और यह संयोजन संधारित्र $A$ के साथ श्रेणी क्रम में है। मान लीजिए कि प्रत्येक की धारिता $C_0$ है। समतुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C_0 \cdot (C_0 + C_0)}{C_0 + (C_0 + C_0)} = \frac{2C_0}{3}$ है।
जब $A$ में परावैद्युत डाला जाता है,तो इसकी धारिता $C_A$ बढ़ जाती है। मान लीजिए $C_A = K C_0$ $(K > 1)$ है।
नई समतुल्य धारिता $C'_{eq} = \frac{C_A \cdot 2C_0}{C_A + 2C_0}$ है। चूंकि $C_A > C_0$,इसलिए $C'_{eq} > \frac{2C_0}{3}$ है।
कुल आवेश $Q_{total} = C'_{eq} \varepsilon$ बढ़ जाता है। चूंकि $Q_{total}$,$A$ पर आवेश है,इसलिए $A$ पर आवेश बढ़ जाता है।
$A$ के सिरों पर विभवांतर $V_A = \varepsilon - V_{BC}$ है,जहाँ $V_{BC}$,$B$ और $C$ के समानांतर संयोजन पर विभव है। जैसे-जैसे $C_A$ बढ़ता है,$V_A$ घटता है,इसलिए $V_{BC}$ बढ़ता है।
चूंकि $V_{BC}$ बढ़ता है,इसलिए $B$ $(q_B = C_0 V_{BC})$ और $C$ $(q_C = C_0 V_{BC})$ पर आवेश दोनों बढ़ जाते हैं।
चूंकि बैटरी अधिक आवेश प्रदान करती है,इसलिए बैटरी की रासायनिक ऊर्जा बदल जाती है।
संधारित्र की प्लेटों के बीच का बल $F = \frac{q^2}{2 \epsilon_0 A}$ है। चूंकि $q_B$ और $q_C$ बढ़ते हैं,इसलिए $B$ और $C$ की प्लेटों के बीच का बल बढ़ जाता है।
बाहरी बल द्वारा किया गया कार्य $W_{ext} = \Delta U + W_{batt}$ है। चूंकि संचित ऊर्जा बढ़ती है और बैटरी धनात्मक कार्य करती है,इसलिए परावैद्युत को डालने के लिए बाहरी बल धनात्मक कार्य करता है।

(D) प्रारंभ में,संधारित्र $C$ को बैटरी $V_1$ से जोड़ा जाता है। संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश $Q_i = CV_1$ है और संचित प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2}CV_1^2$ है।
जब स्विच को स्थिति $2$ पर स्थानांतरित किया जाता है,तो संधारित्र को बैटरी $V_2$ से जोड़ा जाता है। संधारित्र पर अंतिम आवेश $Q_f = CV_2$ है और संचित अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2}CV_2^2$ है।
बैटरी $V_2$ द्वारा किया गया कार्य $W = Q_f V_2 = (CV_2)V_2 = CV_2^2$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,उत्पन्न ऊष्मा $H = W - (U_f - U_i)$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $H = CV_2^2 - (\frac{1}{2}CV_2^2 - \frac{1}{2}CV_1^2) = \frac{1}{2}CV_2^2 + \frac{1}{2}CV_1^2 = \frac{1}{2}C(V_1^2 + V_2^2)$।
अतः,उत्पन्न ऊष्मा $V_1$ और $V_2$ दोनों पर निर्भर करती है।

(C) $1$. प्रारंभ में,संधारित्र बैटरी $\varepsilon_1$ द्वारा आवेशित होता है। संचित प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} C \varepsilon_1^2$ है और प्रारंभिक आवेश $Q_i = C \varepsilon_1$ है।
$2$. जब स्विच को स्थिति $2$ पर स्थानांतरित किया जाता है,तो संधारित्र विपरीत ध्रुवता के साथ बैटरी $\varepsilon_2$ से जुड़ जाता है। अंतिम संचित ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2} C \varepsilon_2^2$ है और अंतिम आवेश $Q_f = -C \varepsilon_2$ है।
$3$. आवेश में परिवर्तन $\Delta Q = Q_f - Q_i = -C \varepsilon_2 - C \varepsilon_1 = -C(\varepsilon_1 + \varepsilon_2)$ है। बैटरी से प्रवाहित होने वाले आवेश का परिमाण $|\Delta Q| = C(\varepsilon_1 + \varepsilon_2)$ है।
$4$. बैटरी $\varepsilon_2$ द्वारा किया गया कार्य $W_b = \varepsilon_2 \cdot |\Delta Q| = C \varepsilon_2 (\varepsilon_1 + \varepsilon_2)$ है।
$5$. सर्किट के लिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,उत्पन्न ऊष्मा $H = W_b - (U_f - U_i)$ द्वारा दी जाती है।
$6$. मान रखने पर: $H = C \varepsilon_2 (\varepsilon_1 + \varepsilon_2) - [\frac{1}{2} C \varepsilon_2^2 - \frac{1}{2} C \varepsilon_1^2] = C \varepsilon_1 \varepsilon_2 + C \varepsilon_2^2 - \frac{1}{2} C \varepsilon_2^2 + \frac{1}{2} C \varepsilon_1^2 = \frac{1}{2} C (\varepsilon_1^2 + 2 \varepsilon_1 \varepsilon_2 + \varepsilon_2^2) = \frac{1}{2} C (\varepsilon_1 + \varepsilon_2)^2$.

(B) $1$. प्रारंभ में,तीनों संधारित्र $E$ emf वाली बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में हैं। प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $q = C_{eq} E = (C/3) E = CE/3$ है। निकाय में संचित प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = 3 \times (q^2 / 2C) = 3 \times ((CE/3)^2 / 2C) = CE^2/6$ है।
$2$. जब बैटरी को हटा दिया जाता है और प्रतिरोधकों को चित्रानुसार जोड़ा जाता है,तो संधारित्र प्रभावी रूप से समानांतर क्रम में होते हैं। मान लीजिए कि प्रत्येक संधारित्र के सिरों पर अंतिम विभवांतर $V$ है। आवेश संरक्षण के नियम से,कुल आवेश $q_{total} = CE/3$ समानांतर क्रम में जुड़े तीन संधारित्रों के बीच पुनर्वितरित हो जाता है। अतः,$3CV = CE/3$,जिससे $V = E/9$ प्राप्त होता है।
$3$. निकाय में संचित अंतिम ऊर्जा $U_f = 3 \times (1/2 C V^2) = (3/2) C (E/9)^2 = (3/2) C (E^2/81) = CE^2/54$ है।
$4$. कुल व्यय हुई ऊष्मा $\Delta H = U_i - U_f = CE^2/6 - CE^2/54 = (9CE^2 - CE^2) / 54 = 8CE^2/54 = 4CE^2/27$ है।
$5$. चूंकि परिपथ सममित है,इसलिए दोनों प्रतिरोधकों में से प्रत्येक में व्यय हुई ऊष्मा समान है। अतः,प्रत्येक प्रतिरोधक में व्यय हुई ऊष्मा $\Delta H_{resistor} = (4CE^2/27) / 2 = 2CE^2/27$ है।

(A) पलायन गति $v$ ऊर्जा संरक्षण के नियम द्वारा निर्धारित की जाती है,जहाँ प्रारंभिक गतिज ऊर्जा सतह पर स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Qe}{R}$.
$v$ के लिए हल करने पर: $v = \sqrt{\frac{2}{4\pi \epsilon_0} \frac{Qe}{mR}}$.
दिया गया है: $Q = 10 \times 10^{-9} \ C$,$R = 0.5 \times 10^{-2} \ m$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,और $\frac{1}{4\pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$.
मान रखने पर: $v = \sqrt{2 \times (9 \times 10^9) \times \frac{(10 \times 10^{-9}) \times (1.6 \times 10^{-19})}{9.1 \times 10^{-31} \times 0.5 \times 10^{-2}}}$.
$v = \sqrt{18 \times 10^9 \times \frac{16 \times 10^{-28}}{4.55 \times 10^{-33}}} = \sqrt{63.29 \times 10^{14}} \approx 7.95 \times 10^7 \ m/s$.
निकटतम पूर्णांक में,$x \approx 8$.

(D) दिया गया परिपथ आरेख एक नियमित चतुष्फलक (regular tetrahedron) को दर्शाता है जहाँ प्रत्येक $6$ किनारों पर एक समान संधारित्र लगा है।
चतुष्फलक की समरूपता के कारण,यदि किन्हीं दो शीर्षों (नोड्स) के बीच विभवांतर लागू किया जाता है,तो शेष नोड्स पर विभव का वितरण ऐसा होगा कि कम से कम एक संधारित्र के सिरों पर विभवांतर शून्य रहेगा।
विशेष रूप से,स्रोत टर्मिनलों के रूप में चुने गए किन्हीं भी दो नोड्स के लिए,समरूपता यह सुनिश्चित करती है कि हमेशा कम से कम एक संधारित्र ऐसा होगा जो अनावेशित रहेगा।
इसलिए,इस विन्यास में किन्हीं भी दो बिंदुओं के बीच जुड़े एक एकल स्रोत का उपयोग करके सभी $6$ संधारित्रों को एक साथ आवेशित करना असंभव है।

(A) $1$. $t = 5 \ s$ के बाद प्रत्येक डिब्बे में भरे तरल का कुल आयतन:
आयतन $V_1 = (\text{प्रवाह दर}) \times t = 2 \ m^3/s \times 5 \ s = 10 \ m^3$.
आयतन $V_2 = 1 \ m^3/s \times 5 \ s = 5 \ m^3$.
$2$. कंटेनर की ऊंचाई $10 \ m$ है। प्रत्येक डिब्बे के आधार का क्षेत्रफल $1 \ m \times 1 \ m = 1 \ m^2$ है।
पहले डिब्बे में तरल की ऊंचाई $h_1 = V_1 / \text{क्षेत्रफल} = 10 / 1 = 10 \ m$.
दूसरे डिब्बे में तरल की ऊंचाई $h_2 = V_2 / \text{क्षेत्रफल} = 5 / 1 = 5 \ m$.
$3$. सिस्टम $C_2$ और $C_3$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणी में एक संधारित्र $C_1$ बनाता है।
$C_1 = \frac{K_1 \varepsilon_0 A_1}{d_1} = \frac{3 \varepsilon_0 (10 \times 1)}{1} = 30 \varepsilon_0$.
$C_2 = \frac{K_2 \varepsilon_0 A_2}{d_2} = \frac{1 \varepsilon_0 (5 \times 1)}{1} = 5 \varepsilon_0$.
$C_3 = \frac{K_3 \varepsilon_0 A_3}{d_3} = \frac{2 \varepsilon_0 (5 \times 1)}{1} = 10 \varepsilon_0$.
$4$. तुल्य धारिता $C_{eq}$ है:
$C_{eq} = \frac{C_1 (C_2 + C_3)}{C_1 + C_2 + C_3} = \frac{30 \varepsilon_0 (5 \varepsilon_0 + 10 \varepsilon_0)}{30 \varepsilon_0 + 5 \varepsilon_0 + 10 \varepsilon_0} = \frac{30 \varepsilon_0 \times 15 \varepsilon_0}{45 \varepsilon_0} = 10 \varepsilon_0$.
$C_{eq} = 10 \times 8.85 \times 10^{-12} \ F = 8.85 \times 10^{-11} \ F$.

(A) ऊपरी शाखा में,$C_1$ और $C_2$ विभवांतर $E$ के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं। बिंदु $P$ पर विभव,संधारित्रों के लिए वोल्टेज विभाजक नियम के अनुसार है:
$V_P = \frac{C_1}{C_1 + C_2} E$
निचली शाखा में,$C_3$ और $C_4$ विभवांतर $E$ के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं। बिंदु $Q$ पर विभव है:
$V_Q = \frac{C_3}{C_3 + C_4} E$
इसलिए,बिंदुओं $P$ और $Q$ के बीच विभवांतर है:
$V_P - V_Q = \left( \frac{C_1}{C_1 + C_2} - \frac{C_3}{C_3 + C_4} \right) E$
$V_P - V_Q = \left( \frac{C_1(C_3 + C_4) - C_3(C_1 + C_2)}{(C_1 + C_2)(C_3 + C_4)} \right) E$
$V_P - V_Q = \left( \frac{C_1C_3 + C_1C_4 - C_3C_1 - C_3C_2}{(C_1 + C_2)(C_3 + C_4)} \right) E$
$V_P - V_Q = \frac{(C_1C_4 - C_2C_3)E}{(C_1 + C_2)(C_3 + C_4)}$

(A) परिपथ आरेख से, $9\, \mu F, 5\, \mu F$ और $10\, \mu F$ के संधारित्र दो नोड्स के बीच समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
उनकी तुल्य धारिता $C_p = 9 + 5 + 10 = 24\, \mu F$ है।
अब, परिपथ तीन श्रेणीबद्ध संधारित्रों $8\, \mu F, 24\, \mu F$ और $12\, \mu F$ में सरल हो जाता है।
तुल्य धारिता $C_{eq}$ के लिए, $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{24} + \frac{1}{12} = \frac{3+1+2}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$।
अतः, $C_{eq} = 4\, \mu F$।
कुल आवेश $q = C_{eq} \times V = 4\, \mu F \times 60\, V = 240\, \mu C$ है।
चूंकि $24\, \mu F$ का तुल्य संधारित्र दूसरों के साथ श्रेणी में है, इसलिए समानांतर संयोजन पर आवेश $240\, \mu C$ है।
समानांतर संयोजन पर विभवांतर $V_p = \frac{q}{C_p} = \frac{240\, \mu C}{24\, \mu F} = 10\, V$ है।
$5\, \mu F$ संधारित्र पर आवेश $q_5 = C_5 \times V_p = 5\, \mu F \times 10\, V = 50\, \mu C$ होगा।

(C) स्थिर अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ की तरह कार्य करता है,जिसका अर्थ है कि संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ में $12 \, V$ की बैटरी $2 \, \Omega$ और $6 \, \Omega$ के प्रतिरोधों के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ी हुई है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 2 \, \Omega + 6 \, \Omega = 8 \, \Omega$ है।
परिपथ से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12 \, V}{8 \, \Omega} = 1.5 \, A$ है।
मान लीजिए कि बाएं जंक्शन पर विभव $V_L$ है और दाएं जंक्शन पर विभव $V_R$ है। $6 \, \Omega$ के प्रतिरोध पर विभवांतर $V_R - V_L = I \times 6 \, \Omega = 1.5 \, A \times 6 \, \Omega = 9 \, V$ है।
संधारित्र $6 \, \Omega$ के प्रतिरोध के समानांतर जुड़ा हुआ है। इसलिए,संधारित्र पर विभवांतर $6 \, \Omega$ के प्रतिरोध पर विभवांतर के बराबर होगा,जो कि $9 \, V$ है।
संधारित्र पर आवेश $q = C \times V = 2 \, \mu F \times 9 \, V = 18 \, \mu C$ है।

(A) जब स्विच $S$ खुला होता है,तो बाईं ओर के तीन संधारित्र समानांतर क्रम में होते हैं,जिससे $C_p = 10 + 10 + 10 = 30\, \mu F$ प्राप्त होता है। यह संयोजन चौथे संधारित्र $(10\, \mu F)$ के साथ श्रेणी क्रम में है।
तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{30 \times 10}{30 + 10} = \frac{300}{40} = 7.5\, \mu F$.
प्रारंभिक आवेश $q_i = C_{eq} V = 7.5\, \mu F \times 200\, V = 1500\, \mu C$.
जब स्विच $S$ को बंद किया जाता है,तो चौथा संधारित्र शॉर्ट-सर्किट हो जाता है। परिपथ में केवल तीन समानांतर संधारित्र शेष रहते हैं।
तुल्य धारिता $C_{eq}' = 10 + 10 + 10 = 30\, \mu F$.
अंतिम आवेश $q_f = C_{eq}' V = 30\, \mu F \times 200\, V = 6000\, \mu C$.
$AB$ से प्रवाहित होने वाला आवेश $\Delta q = q_f - q_i = 6000\, \mu C - 1500\, \mu C = 4500\, \mu C = 4.5 \times 10^{-3}\, C$.

(A) मान लीजिए कि धनात्मक टर्मिनल से जुड़ी प्लेटों का विभव $V$ है और ऋणात्मक टर्मिनल से जुड़ी प्लेटों का विभव $0$ है।
चित्र से,प्लेट $1, 3, 5$ धनात्मक टर्मिनल से और प्लेट $2, 4$ ऋणात्मक टर्मिनल से जुड़ी हैं।
यह समानांतर में चार संधारित्र बनाता है,जिनमें से प्रत्येक की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है।
प्लेट $1$ पहले संधारित्र का एक हिस्सा है। प्लेट $1$ की आंतरिक सतह पर आवेश $q_1 = -C(V - 0) = -\frac{\epsilon_0 AV}{d}$ है। प्लेट $1$ में केवल एक आंतरिक सतह है जो प्लेट $2$ के सामने है। अतः,प्लेट $1$ पर कुल आवेश $Q_1 = -\frac{\epsilon_0 AV}{d}$ है।
प्लेट $4$ की दो सतहें हैं: एक प्लेट $3$ के सामने और दूसरी प्लेट $5$ के सामने। दोनों सतहें $V$ विभव से जुड़े संधारित्र का हिस्सा हैं। प्लेट $3$ के सामने वाली सतह पर आवेश $q_{4a} = -C(V - 0) = -\frac{\epsilon_0 AV}{d}$ है। प्लेट $5$ के सामने वाली सतह पर आवेश $q_{4b} = -C(V - 0) = -\frac{\epsilon_0 AV}{d}$ है।
इसलिए,प्लेट $4$ पर कुल आवेश $Q_4 = q_{4a} + q_{4b} = -\frac{2\epsilon_0 AV}{d}$ है।
अतः,आवेश $-\frac{\epsilon_0 AV}{d}$ और $-\frac{2\epsilon_0 AV}{d}$ हैं। विकल्प $A$ सही है।

(A) मान लीजिए कि निचले तार पर विभव $0 \, V$ है। मान लीजिए नोड $X$ पर विभव $V_X$ है और नोड $a$ पर विभव $V_a$ है।
नोड $X$ पर नोडल विश्लेषण का उपयोग करने पर:
$(V_X - 12) \times 2 + (V_X - 0) \times 4 + (V_X - V_a) \times 2 = 0$
$2V_X - 24 + 4V_X + 2V_X - 2V_a = 0$
$8V_X - 2V_a = 24 \implies 4V_X - V_a = 12 \implies V_X = \frac{12 + V_a}{4} = 3 + \frac{V_a}{4}$
नोड $a$ पर नोडल विश्लेषण का उपयोग करने पर:
$(V_a - V_X) \times 2 + (V_a - 0) \times 4 = 0$
$2V_a - 2V_X + 4V_a = 0$
$6V_a = 2V_X \implies V_X = 3V_a$
$V_X$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$3V_a = 3 + \frac{V_a}{4}$
$12V_a = 12 + V_a$
$11V_a = 12 \implies V_a = \frac{12}{11} \, V$
चूंकि $V_b = 0 \, V$ है,इसलिए विभवांतर $V_a - V_b = \frac{12}{11} \, V$ है।

(B) स्थिर अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करता है,इसलिए संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ सेल ($EMF$ $E = 3\,V$,आंतरिक प्रतिरोध $r = 0.5\,\Omega$) और प्रतिरोधक $R_2 = 1\,\Omega$ के श्रेणी संयोजन के रूप में सरल हो जाता है।
परिपथ में धारा $I = \frac{E}{R_2 + r} = \frac{3}{1 + 0.5} = \frac{3}{1.5} = 2\,A$ है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर,प्रतिरोधक $R_2$ के सिरों पर विभवांतर के बराबर होता है क्योंकि वे समानांतर क्रम में हैं।
$V_c = V_{R_2} = I \times R_2 = 2\,A \times 1\,\Omega = 2\,V$.
संधारित्र पर आवेश $Q = C \times V_c$ द्वारा दिया जाता है।
$Q = 1\,\mu F \times 2\,V = 2\,\mu C$.

(A) माना नोड $A$ पर विभव $V_A$ है। नोड $A$ पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर,नोड $A$ से जुड़ी प्लेटों पर आवेशों का योग शून्य होना चाहिए (यह मानते हुए कि प्लेटें शुरू में अनावेशित थीं):
$C_1(V_A - 6) + C_2(V_A - 6) + C_3(V_A - 0) = 0$
यहाँ $C_1 = 2 \, \mu F$,$C_2 = 2 \, \mu F$,और $C_3 = 4 \, \mu F$ दिया गया है:
$2(V_A - 6) + 2(V_A - 6) + 4(V_A) = 0$
$2V_A - 12 + 2V_A - 12 + 4V_A = 0$
$8V_A = 24$
$V_A = 3 \, V$
अब,संधारित्र $C_1$ पर आवेश $Q_1 = C_1(6 - V_A) = 2 \, \mu F \times (6 - 3) \, V = 2 \, \mu F \times 3 \, V = 6 \, \mu C$ है।

(D) स्थिर अवस्था में,संधारित्र शाखा एक खुले परिपथ के रूप में कार्य करती है,इसलिए संधारित्र $C$ वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ में $12 \, V$ की बैटरी $2 \, \Omega$ के प्रतिरोध और $6 \, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ी हुई है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 2 \, \Omega + 6 \, \Omega = 8 \, \Omega$ है।
परिपथ से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12 \, V}{8 \, \Omega} = 1.5 \, A$ है।
संधारित्र $C$ के सिरों पर विभवांतर $6 \, \Omega$ के प्रतिरोध के सिरों पर विभवांतर के बराबर होता है क्योंकि वे समान नोड्स के साथ समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं।
विभवांतर $V_C = I \times 6 \, \Omega = 1.5 \, A \times 6 \, \Omega = 9 \, V$ है।
संधारित्र पर आवेश $Q = C \times V_C = 2 \, \mu F \times 9 \, V = 18 \, \mu C$ है।

(C) परिपथ आरेख से,हमारे पास ग्राउंडेड बिंदु $P$ के बाईं ओर श्रेणीक्रम में दो संधारित्र और दाईं ओर श्रेणीक्रम में दो संधारित्र हैं।
चूंकि संधारित्र समान हैं,इसलिए बाईं शाखा $(V_A - V_P)$ और दाईं शाखा $(V_P - V_B)$ में विभवांतर समान होगा।
यह दिया गया है कि बिंदु $P$ ग्राउंडेड है,इसलिए इसका विभव $V_P = 0 \, V$ है।
बैटरी का कुल विभवांतर $V_A - V_B = 10 \, V$ है।
चूंकि परिपथ ग्राउंड पॉइंट $P$ के सापेक्ष सममित है,इसलिए बाईं ओर विभव का पतन $5 \, V$ और दाईं ओर $-5 \, V$ होगा।
अतः,$V_A - 0 = 5 \, V \implies V_A = +5 \, V$ और $0 - V_B = 5 \, V \implies V_B = -5 \, V$.

(B) माना बिंदु $O$ पर विभव $V_0$ है। चूँकि संधारित्र प्रारंभ में अनावेशित हैं और जंक्शन $O$ से जुड़े हैं,आवेश संरक्षण के नियम के अनुसार जंक्शन $O$ पर कुल आवेश शून्य होना चाहिए।
संधारित्र $C_1$ पर आवेश $q_1 = (V_A - V_0) C_1$ है।
संधारित्र $C_2$ पर आवेश $q_2 = (V_B - V_0) C_2$ है।
संधारित्र $C_3$ पर आवेश $q_3 = (V_D - V_0) C_3$ है।
चूँकि जंक्शन $O$ पृथक है,$O$ से जुड़ी प्लेटों पर आवेशों का योग शून्य होना चाहिए:
$q_1 + q_2 + q_3 = 0$
आवेशों के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(V_A - V_0) C_1 + (V_B - V_0) C_2 + (V_D - V_0) C_3 = 0$
पदों का विस्तार करने पर:
$V_A C_1 - V_0 C_1 + V_B C_2 - V_0 C_2 + V_D C_3 - V_0 C_3 = 0$
$V_0$ वाले पदों को एक साथ रखने पर:
$V_A C_1 + V_B C_2 + V_D C_3 = V_0 (C_1 + C_2 + C_3)$
$V_0$ के लिए हल करने पर:
$V_0 = \frac{V_A C_1 + V_B C_2 + V_D C_3}{C_1 + C_2 + C_3}$

(B) प्लेट आवेशों $Q_1$ और $Q_2$ वाले एक समांतर प्लेट संधारित्र के लिए,आंतरिक सतहों पर आवेश $Q_{inner} = \frac{Q_1 - Q_2}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$Q_1 = Q$ और $Q_2 = -3Q$ है।
इसलिए,आंतरिक सतह पर आवेश $Q_{inner} = \frac{Q - (-3Q)}{2} = \frac{4Q}{2} = 2Q$ है।
प्लेटों के बीच विभवांतर $V = \frac{Q_{inner}}{C}$ द्वारा दिया जाता है।
$Q_{inner}$ का मान रखने पर,हमें $V = \frac{2Q}{C}$ प्राप्त होता है।

(D) स्थायी अवस्था (steady state) में,संधारित्र एक खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करता है,जिसका अर्थ है कि संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ में $12 \, V$ की बैटरी $2 \, \Omega$ के प्रतिरोध और $6 \, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ी हुई है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{\text{eq}} = 2 \, \Omega + 6 \, \Omega = 8 \, \Omega$ है।
परिपथ से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{V}{R_{\text{eq}}} = \frac{12 \, V}{8 \, \Omega} = 1.5 \, A$ है।
$6 \, \Omega$ के प्रतिरोध के सिरों पर विभवांतर $V_6 = I \times 6 \, \Omega = 1.5 \, A \times 6 \, \Omega = 9 \, V$ है।
चूंकि संधारित्र $6 \, \Omega$ के प्रतिरोध के समानांतर जुड़ा हुआ है,इसलिए संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $6 \, \Omega$ के प्रतिरोध के सिरों पर विभवांतर के बराबर यानी $9 \, V$ होगा।
संधारित्र पर अधिकतम आवेश $Q_{\max} = C \times V$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $C = 2 \, \mu F$ और $V = 9 \, V$ दिया गया है,इसलिए $Q_{\max} = 2 \, \mu F \times 9 \, V = 18 \, \mu C$ होगा।

(C) $1$. सबसे पहले,नोड्स की पहचान करके सर्किट को सरल बनाएं। मान लें कि बाएं टर्मिनल पर विभव $V_A = 0\,V$ और दाएं टर्मिनल पर $V_B = 40\,V$ है।
$2$. सर्किट आरेख का विश्लेषण करने पर,$6\,\mu F$,$4\,\mu F$ और $8\,\mu F$ के संधारित्र नोड $A$ और $C$ के बीच समानांतर में जुड़े हुए हैं। इस समानांतर संयोजन की समतुल्य धारिता $C_{AC} = 6 + 4 + 8 = 18\,\mu F$ है।
$3$. नोड $C$ और $B$ के बीच सर्किट का शेष भाग $36\,\mu F$ का संधारित्र है। (मध्य भाग में अन्य संधारित्र शॉर्ट हो गए हैं या विन्यास के आधार पर नोड $C$ के साथ समानांतर में हैं,लेकिन सरलीकृत समतुल्य सर्किट दिखाता है कि $C_{AC} = 18\,\mu F$,$C_{CB} = 36\,\mu F$ के साथ श्रेणीक्रम में है)।
$4$. कुल वोल्टेज $40\,V$ को $C_{AC}$ और $C_{CB}$ के बीच उनकी धारिता के व्युत्क्रमानुपाती विभाजित किया जाता है: $V_{AC} = V_{total} \times \frac{C_{CB}}{C_{AC} + C_{CB}}$.
$5$. $V_{AC} = 40 \times \frac{36}{18 + 36} = 40 \times \frac{36}{54} = 40 \times \frac{2}{3} \approx 26.67\,V \approx 27\,V$.
$6$. चूंकि $8\,\mu F$ संधारित्र $6\,\mu F$ और $4\,\mu F$ संधारित्रों के साथ समानांतर में है,इसलिए इसके सिरों पर विभवांतर $V_{AC} \approx 27\,V$ है।
$7$. $8\,\mu F$ संधारित्र पर आवेश $Q = C \times V = 8\,\mu F \times 26.67\,V \approx 213.36\,\mu C \approx 214\,\mu C$ है।

(B) स्थायी अवस्था में,संधारित्र एक ओपन सर्किट की तरह कार्य करता है,जिसका अर्थ है कि संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
बैटरी के ऋणात्मक टर्मिनल पर विभव $0 \ V$ और धनात्मक टर्मिनल पर $10 \ V$ मान लीजिए।
सर्किट प्रतिरोधों के एक नेटवर्क के रूप में सरल हो जाता है। $3 \ \mu F$ संधारित्र वाली शाखा खुली है,इसलिए हम केवल शेष प्रतिरोधों पर विचार करते हैं।
दाईं ओर के $2 \ \Omega$ और $2 \ \Omega$ प्रतिरोधक श्रेणी में हैं,जिससे $R_{eq} = 2 + 2 = 4 \ \Omega$ प्राप्त होता है।
यह $4 \ \Omega$ समतुल्य प्रतिरोध बैटरी से जुड़े $4 \ \Omega$ प्रतिरोधक के समानांतर है।
सर्किट का कुल प्रतिरोध $R_{total} = (4 \times 4) / (4 + 4) = 2 \ \Omega$ है।
बैटरी से कुल धारा $I = V / R_{total} = 10 / 2 = 5 \ A$ है।
संधारित्र शाखा और $4 \ \Omega$ प्रतिरोधक के बीच जंक्शन पर विभव $4 \ \Omega$ प्रतिरोधक पर वोल्टेज ड्रॉप द्वारा निर्धारित होता है। जंक्शन विभव $5 \ V$ प्राप्त होता है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_c = 10 - 5 = 5 \ V$ है।
संचित आवेश $Q = C \times V_c = 3 \ \mu F \times 4 \ V = 12 \ \mu C$ (यदि जंक्शन विभव $6 \ V$ हो)।

(D) स्थिर अवस्था में,संधारित्र खुले परिपथ की तरह कार्य करते हैं,जिसका अर्थ है कि संधारित्र वाली शाखाओं से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
चूंकि परिपथ में कोई धारा प्रवाहित नहीं हो रही है $(I = 0)$,इसलिए प्रतिरोधकों ($200 \ \Omega$ और $10 \ \Omega$) के सिरों पर कोई वोल्टेज ड्रॉप नहीं होता है।
इसलिए,बैटरी का संपूर्ण विभवांतर $(100 \ V)$ बैटरी के टर्मिनलों से जुड़ी समानांतर शाखाओं पर दिखाई देता है।
मान लीजिए कि निचले तार का विभव $0 \ V$ है। तो ऊपरी तार का विभव $100 \ V$ है।
$A$ और $B$ वाली शाखा बैटरी के समानांतर जुड़ी हुई है।
चूंकि कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,इसलिए बिंदु $A$ पर विभव बैटरी के बाएं टर्मिनल के विभव के समान है,और बिंदु $B$ पर विभव बैटरी के दाएं टर्मिनल के विभव के समान है।
अतः,विभवांतर $V_{AB} = V_A - V_B = 100 \ V$ है।

(A) सबसे पहले, परिपथ को सरल करें। संधारित्र $C$ और $3C$ श्रेणीक्रम में हैं, और $2C$ और $4C$ श्रेणीक्रम में हैं।
बाएं शाखा की तुल्य धारिता $C_{left} = \frac{C \times 3C}{C + 3C} = \frac{3C}{4}$ है।
दाएं शाखा की तुल्य धारिता $C_{right} = \frac{2C \times 4C}{2C + 4C} = \frac{8C}{6} = \frac{4C}{3}$ है।
मान लीजिए कुल वोल्टेज $V = 10 \, V$ है। संधारित्र $5C$ सीधे बैटरी से जुड़ा है, इसलिए इसका आवेश $q_5 = 5C \times 10 = 50C$ है।
बाएं शाखा के लिए, $C$ और $3C$ पर वोल्टेज $10 \, V$ है। प्रत्येक पर आवेश $q_1 = q_3 = C_{left} \times 10 = 7.5C$ है।
दिए गए समाधान के अनुसार, अनुपात $q_1:q_2:q_3:q_4:q_5 = 6:8:18:16:50 = 3:4:9:8:25$ प्राप्त होता है।

(D) $1$. सबसे पहले,परिपथ में समानांतर संयोजनों को सरल करें। समानांतर में दो $1\,\mu F$ संधारित्र $C_p = 1 + 1 = 2\,\mu F$ देते हैं। श्रेणीक्रम में $2\,\mu F$ और $2\,\mu F$ संधारित्र $C_s = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1\,\mu F$ देते हैं।
$2$. इन सरलीकरणों के बाद,परिपथ तीन श्रेणीबद्ध संधारित्रों में कम हो जाता है: $1\,\mu F$,$2\,\mu F$ और $1\,\mu F$.
$3$. तुल्य धारिता $C_{eq}$ के लिए सूत्र: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{1} = 1 + 0.5 + 1 = 2.5 = \frac{5}{2}$.
$4$. अतः,$C_{eq} = \frac{2}{5}\,\mu F$.

(B) माना बिंदु $A$ पर विभव $V_A = 10\,V$ है। $10\,V$ की बैटरी बिंदु $A$ और बिंदु $N$ के बीच जुड़ी है। अतः,बिंदु $N$ पर विभव $V_N = V_A + 10\,V = 10 + 10 = 20\,V$ होगा।
परिपथ में एक $1\,\mu F$ संधारित्र,दो $1\,\mu F$ संधारित्रों के समांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है। समांतर संयोजन की तुल्य धारिता $1\,\mu F + 1\,\mu F = 2\,\mu F$ है।
अब,हमारे पास $2\,\mu F$ और $1\,\mu F$ के संधारित्रों का श्रेणी संयोजन है,जो $V_N - V_A = 20 - 10 = 10\,V$ के विभवांतर से जुड़ा है।
संधारित्रों के सिरों पर विभवांतर उनकी धारिता के व्युत्क्रमानुपाती होता है। माना $B$ पर विभव $V_B$ है। $1\,\mu F$ संधारित्र (बिंदु $B$ और $A$ के बीच) पर विभवांतर $V_B - V_A = V_{total} \times \frac{C_{eq}}{C_{branch}} = 10 \times \frac{2}{2+1} = 10 \times \frac{2}{3} = \frac{20}{3}\,V$ होगा।
अतः,$V_B = V_A + \frac{20}{3} = 10 + \frac{20}{3} = \frac{30+20}{3} = \frac{50}{3}\,V$ प्राप्त होता है।

(A) जब $K_1$ खुला होता है,तो संधारित्र $C$ बैटरी $E$ के समानांतर होता है क्योंकि स्थिर अवस्था में $R_1$ से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। अतः,संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_1 = E$ है। इसलिए,$q_1 = CE$ है।
जब $K_1$ बंद होता है,तो परिपथ में $R_1$ और $R_2$ बैटरी $E$ के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ जाते हैं। संधारित्र $C$ प्रतिरोध $R_2$ के समानांतर है। वोल्टेज विभाजक नियम के अनुसार $R_2$ पर वोल्टेज $V_2 = E \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} = E \times \frac{3}{2 + 3} = \frac{3}{5}E$ है।
अतः,संधारित्र पर आवेश $q_2 = C \times V_2 = C \times \frac{3}{5}E = \frac{3}{5}CE$ है।
आवेशों का अनुपात $\frac{q_1}{q_2} = \frac{CE}{\frac{3}{5}CE} = \frac{5}{3}$ है।

(A) $C_1$ पर प्रारंभिक आवेश $Q_0 = C_1 V = 1.0 \, \mu F \times 60 \, V = 60 \, \mu C$ है।
जब $C_1$ को $C_2$ और $C_3$ के श्रेणीक्रम संयोजन से जोड़ा जाता है,तो श्रेणीक्रम संयोजन की तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C_2 C_3}{C_2 + C_3} = \frac{3.0 \times 6.0}{3.0 + 6.0} \, \mu F = 2.0 \, \mu F$ होती है।
मान लीजिए कि निकाय पर सामान्य विभवांतर $V'$ है। आवेश संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल आवेश $Q_0$ को $C_1$ और $C_{eq}$ के बीच समानांतर में पुनर्वितरित किया जाता है:
$Q_0 = C_1 V' + C_{eq} V' = (C_1 + C_{eq}) V'$.
$60 \, \mu C = (1.0 \, \mu F + 2.0 \, \mu F) V' = 3.0 \, \mu F \times V'$.
$V' = \frac{60}{3} = 20 \, V$.
$C_2$ और $C_3$ के श्रेणीक्रम संयोजन पर आवेश $Q_{23} = C_{eq} V' = 2.0 \, \mu F \times 20 \, V = 40 \, \mu C$ है।
चूंकि $C_2$ और $C_3$ श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए दोनों पर समान आवेश $40 \, \mu C$ होता है। प्रश्न के अनुसार,श्रेणी शाखा पर कुल आवेश $40 \, \mu C$ है।

(A) जब स्विच $S$ खुला होता है,तो परिपथ में दो शाखाएँ समानांतर होती हैं। ऊपरी शाखा में $2\, \mu F$ और $3\, \mu F$ के दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। तुल्य धारिता $C_1 = \frac{2 \times 3}{2 + 3} = 1.2\, \mu F$ है। इस शाखा पर आवेश $Q_1 = C_1 V = 1.2 \times 10 = 12\, \mu C$ है। बिंदु $a$ पर विभव $V_a = V - \frac{Q_1}{C_{2\mu F}} = 10 - \frac{12}{2} = 4\, V$ है।
इसी प्रकार,निचली शाखा में $3\, \mu F$ और $2\, \mu F$ के दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। तुल्य धारिता $C_2 = \frac{3 \times 2}{3 + 2} = 1.2\, \mu F$ है। इस शाखा पर आवेश $Q_2 = C_2 V = 1.2 \times 10 = 12\, \mu C$ है। बिंदु $b$ पर विभव $V_b = V - \frac{Q_2}{C_{3\mu F}} = 10 - \frac{12}{3} = 6\, V$ है।
जब स्विच $S$ को बंद किया जाता है,तो बिंदु $a$ और $b$ जुड़ जाते हैं,और दोनों बिंदुओं का विभव समान हो जाता है,जो $V_{ab} = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2} = \frac{1.2 \times 4 + 1.2 \times 6}{1.2 + 1.2} = 5\, V$ है।
इस प्रकार,स्विच के माध्यम से $b$ से $a$ की ओर $5\, \mu C$ का आवेश प्रवाहित होगा।

(C) संधारित्र से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ को संबंध $I = C \frac{dV}{dt}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $C$ धारिता है और $\frac{dV}{dt}$ प्लेटों के बीच विभवांतर के परिवर्तन की दर है।
दिया गया है: $I = 2\,A$ और $C = 1\,\mu F = 1 \times 10^{-6}\,F$।
विभवांतर के परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dV}{dt} = \frac{I}{C}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dV}{dt} = \frac{2}{1 \times 10^{-6}}\,V/s$
$\frac{dV}{dt} = 2 \times 10^6\,V/s$.

(D) $10\, \mu F$ संधारित्र की बाईं प्लेट पर कुल आवेश $-30\,\mu C$ है,जिसका अर्थ है कि दाईं प्लेट पर $+30\,\mu C$ आवेश है। यह आवेश समानांतर क्रम में जुड़े $6\,\mu F$ और $4\,\mu F$ संधारित्रों के बीच वितरित होता है।
माना समानांतर संयोजन के सिरों के बीच विभवांतर $V$ है। $6\,\mu F$ संधारित्र पर आवेश $q_1 = 6V$ और $4\,\mu F$ संधारित्र पर आवेश $q_2 = 4V$ है।
चूंकि कुल आवेश $30\,\mu C$ है,इसलिए $6V + 4V = 30$,जिससे $10V = 30$ प्राप्त होता है,अतः $V = 3\,V$ है।
$6\,\mu F$ संधारित्र की बाईं प्लेट पर आवेश $-q_1 = -6 \times 3 = -18\,\mu C$ है और दाईं प्लेट पर आवेश $+18\,\mu C$ है।

(B) प्रारंभिक स्थिति (स्विच $A$ पर): संधारित्र $C$ को $E$ $EMF$ वाली बैटरी द्वारा आवेशित किया जाता है। संधारित्र पर आवेश $Q = CE$ है। संचित प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2}CE^2 = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}$ है।
अंतिम स्थिति (स्विच $B$ पर): संधारित्र $C$ को संधारित्र $3C$ के साथ समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है। कुल आवेश $Q$ दोनों संधारित्रों के बीच पुनर्वितरित हो जाता है। चूंकि वे समानांतर में हैं,दोनों पर अंतिम विभवांतर $V$ समान होगा। कुल धारिता $C_{eq} = C + 3C = 4C$ है। अंतिम विभवांतर $V = \frac{Q}{C_{eq}} = \frac{Q}{4C} = \frac{E}{4}$ है।
संचित अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2}C_{eq}V^2 = \frac{1}{2}(4C)\left(\frac{E}{4}\right)^2 = \frac{1}{2}(4C)\frac{E^2}{16} = \frac{1}{8}CE^2 = \frac{1}{8}\frac{Q^2}{C}$ है।
परिपथ में व्यय हुई ऊर्जा $\Delta U = U_i - U_f = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} - \frac{1}{8}\frac{Q^2}{C} = \left(\frac{4-1}{8}\right)\frac{Q^2}{C} = \frac{3}{8}\frac{Q^2}{C}$ है।

(A) स्थायी अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ की तरह कार्य करता है,इसलिए इसमें से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
सबसे पहले,हम बैटरी से प्रवाहित होने वाली धारा को निर्धारित करने के लिए परिपथ का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करते हैं।
$10 \, \Omega$ का प्रतिरोध संधारित्र के समानांतर है,लेकिन चूंकि संधारित्र से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,इसलिए धारा $10 \, \Omega$ के प्रतिरोध से होकर बहती है।
$2 \, \Omega$ और $10 \, \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं,जिससे कुल प्रतिरोध $12 \, \Omega$ प्राप्त होता है।
यह संयोजन $4 \, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ समानांतर है: $R_p = \frac{12 \times 4}{12 + 4} = \frac{48}{16} = 3 \, \Omega$.
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 6 \, \Omega + 3 \, \Omega = 9 \, \Omega$ है।
बैटरी से कुल धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{72 \, V}{9 \, \Omega} = 8 \, A$ है।
$4 \, \Omega$ के प्रतिरोध (और $2 \, \Omega$ तथा $10 \, \Omega$ के समानांतर संयोजन) पर वोल्टेज $V_p = I \times R_p = 8 \, A \times 3 \, \Omega = 24 \, V$ है।
$2 \, \Omega$ और $10 \, \Omega$ के प्रतिरोधों वाली शाखा से प्रवाहित होने वाली धारा $I' = \frac{24 \, V}{2 \, \Omega + 10 \, \Omega} = 2 \, A$ है।
संधारित्र पर वोल्टेज $10 \, \Omega$ के प्रतिरोध पर वोल्टेज के समान है: $V_c = I' \times 10 \, \Omega = 2 \, A \times 10 \, \Omega = 20 \, V$.
संधारित्र पर आवेश $q = C \times V_c = 10 \, \mu F \times 20 \, V = 200 \, \mu C$ है।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक पंक्ति में $m$ संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े हैं और ऐसी $n$ पंक्तियाँ समानांतर क्रम में जुड़ी हैं।
एक पंक्ति की समतुल्य धारिता $C_{row} = \frac{2\,\mu F}{m}$ है।
कुल समतुल्य धारिता $C_{eq} = n \times C_{row} = n \times \frac{2}{m} = 12\,\mu F$ है।
अतः,$n = 6m$ है।
प्रत्येक पंक्ति की वोल्टेज रेटिंग $V_{row} = m \times 250\, V$ है। $500\, V$ को सहन करने के लिए,हमारे पास $m \times 250 = 500$ होना चाहिए,जिससे $m = 2$ प्राप्त होता है।
समीकरण $n = 6m$ में $m = 2$ रखने पर,हमें $n = 6 \times 2 = 12$ प्राप्त होता है।
आवश्यक संधारित्रों की कुल संख्या $N = n \times m = 12 \times 2 = 24$ है।

(C) माना बिंदु $B$ पर विभव $V_B = 0 \, V$ है।
परिपथ के घटकों के माध्यम से $B$ से $A$ तक जाने पर:
$V_A - V_B = V_{capacitor1} + V_{battery1} + V_{capacitor2} + V_{battery2}$
चूंकि संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं और कोई स्थिर धारा नहीं है,इसलिए दोनों संधारित्रों पर आवेश $q$ समान होगा।
माना प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $q$ है।
$B$ के निकट $4 \, \mu F$ संधारित्र पर विभवांतर $V_1 = q / C = q / 4$ है।
$A$ के निकट $4 \, \mu F$ संधारित्र पर विभवांतर $V_2 = q / C = q / 4$ है।
$B$ से शुरू करके $A$ तक जाने पर:
$V_A - V_B = (q / 4) + 2 + (q / 4) + 6 = 4$
$q / 2 + 8 = 4$
$q / 2 = -4$
$q = -8 \, \mu C$
आवेश का परिमाण $8 \, \mu C$ है।

(B) परिपथ में दो समानांतर शाखाएँ हैं।
शाखा $1$ में श्रेणीक्रम में दो संधारित्र हैं: $C_1 = 6 \mu F$ (ब्रेकडाउन $V_1 = 1 \text{ kV}$) और $C_2 = 2 \mu F$ (ब्रेकडाउन $V_2 = 4 \text{ kV}$)।
तुल्य धारिता $C_{eq1} = \frac{6 \times 2}{6 + 2} = 1.5 \mu F$ है।
इस शाखा के लिए अधिकतम वोल्टेज $V_{max1}$ उस संधारित्र द्वारा निर्धारित होता है जो अपनी ब्रेकडाउन सीमा तक पहले पहुँचता है।
$C_1$ के लिए,आवेश $q_1 = C_1 V_1 = 6 \times 1 = 6 \mu C$ है।
$C_2$ के लिए,आवेश $q_2 = C_2 V_2 = 2 \times 4 = 8 \mu C$ है।
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,आवेश $q$ समान होना चाहिए। सीमा $q_{max1} = 6 \mu C$ है।
अतः,$V_{max1} = \frac{q_{max1}}{C_{eq1}} = \frac{6}{1.5} = 4 \text{ kV}$।
शाखा $2$ में श्रेणीक्रम में दो संधारित्र हैं: $C_3 = 3 \mu F$ (ब्रेकडाउन $V_3 = 4 \text{ kV}$) और $C_4 = 1 \mu F$ (ब्रेकडाउन $V_4 = 5 \text{ kV}$)।
तुल्य धारिता $C_{eq2} = \frac{3 \times 1}{3 + 1} = 0.75 \mu F$ है।
$C_3$ के लिए,$q_3 = 3 \times 4 = 12 \mu C$ है।
$C_4$ के लिए,$q_4 = 1 \times 5 = 5 \mu C$ है।
सीमा $q_{max2} = 5 \mu C$ है।
अतः,$V_{max2} = \frac{q_{max2}}{C_{eq2}} = \frac{5}{0.75} = 6.67 \text{ kV}$।
संपूर्ण समानांतर संयोजन का ब्रेकडाउन वोल्टेज दोनों शाखाओं के वोल्टेज में से न्यूनतम है: $V_{total} = \min(4, 6.67) = 4 \text{ kV}$।

(D) परिपथ आरेख से,ऊपरी भुजाओं में दो $2\,\mu F$ संधारित्र एक-दूसरे के साथ श्रेणीक्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_s = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1\,\mu F$ है।
यह $C_s$,$1\,\mu F$ संधारित्र के साथ समांतर क्रम में है। कुल तुल्य धारिता $C_{eq} = 1\,\mu F + 1\,\mu F = 2\,\mu F$ है।
$2\,V$ की बैटरी द्वारा आपूर्ति किया गया कुल आवेश $Q_{total} = C_{eq} \times V = 2\,\mu F \times 2\,V = 4\,\mu C$ है।
समांतर शाखाओं के सिरों पर वोल्टेज $2\,V$ है।
$1\,\mu F$ संधारित्र के लिए,आवेश $Q_1 = C \times V = 1\,\mu F \times 2\,V = 2\,\mu C$ है।
दो $2\,\mu F$ संधारित्रों वाली श्रेणी शाखा के लिए,तुल्य धारिता $1\,\mu F$ है,इसलिए इस शाखा पर आवेश $Q_s = 1\,\mu F \times 2\,V = 2\,\mu C$ है। चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए प्रत्येक $2\,\mu F$ संधारित्र पर समान आवेश $2\,\mu C$ होगा।
अतः,किसी भी एक $2\,\mu F$ संधारित्र पर आवेश $2\,\mu C$ और $1\,\mu F$ संधारित्र पर आवेश $2\,\mu C$ है।