Motion of Charged Particle In Magnetic Field Questions in Gujarati

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F$ નું સૂત્ર $F = qvB \sin \theta$ છે.
આપેલ કિંમતો:
પ્રોટોનનો વિદ્યુતભાર,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
વેગ,$v = 2.5 \times 10^7 \ m/s$
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા,$B = 2.5 \ T$
ખૂણો,$\theta = 30^{\circ}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = (1.6 \times 10^{-19}) \times (2.5 \times 10^7) \times (2.5) \times \sin 30^{\circ}$
$F = (1.6 \times 10^{-19}) \times (6.25 \times 10^7) \times 0.5$
$F = 10 \times 10^{-12} \times 0.5$
$F = 5 \times 10^{-12} \ N$

$(A)$ $\text{ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા}$,$B = 1.5 \,Wb \,m^{-2}$
$\text{પ્રોટોનનો વેગ}$,$v = 2 \times 10^7 \,ms^{-1}$
$\text{ખૂણો}$,$\theta = 30^{\circ}$
$\text{પ્રોટોન પરનો વિદ્યુતભાર}$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \,C$
$\text{ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ } F \text{ નું સૂત્ર } F = Bqv \sin \theta \text{ છે।}$
$\text{કિંમતો મૂકતા:}$
$F = (1.5) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (2 \times 10^7) \times \sin 30^{\circ}$
$F = 1.5 \times 1.6 \times 2 \times 10^{-12} \times 0.5$
$F = 4.8 \times 0.5 \times 10^{-12} \,N$
$F = 2.4 \times 10^{-12} \,N$

(D) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = qvB \sin(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઇલેક્ટ્રોન વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતો હોવાથી,વેગ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપ છે,તેથી $\theta = 90^\circ$ અને $\sin(90^\circ) = 1$.
$F = (1.6 \times 10^{-19} \ C) \times (4 \times 10^6 \ m/s) \times (2 \times 10^{-1} \ T) = 1.28 \times 10^{-13} \ N$.
ચુંબકીય બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે,તેથી $F = \frac{mv^2}{r}$.
ત્રિજ્યા $r$ માટે સૂત્ર: $r = \frac{mv}{qB} = \frac{(9 \times 10^{-31} \ kg) \times (4 \times 10^6 \ m/s)}{1.6 \times 10^{-19} \ C \times 2 \times 10^{-1} \ T}$.
$r = \frac{36 \times 10^{-25}}{3.2 \times 10^{-20}} = 11.25 \times 10^{-5} \ m \approx 1.1 \times 10^{-4} \ m$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ માટે વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યુટ્રોન વિદ્યુતની દ્રષ્ટિએ તટસ્થ હોવાથી $(q = 0)$,તેના પર કોઈ ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ $(F = qvB \sin \theta)$ લાગતું નથી. તેથી,તે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરશે નહીં; તે સીધી રેખામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે. આમ,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
પરિભ્રમણનો સમયગાળો $T$ એ $T = \frac{2\pi m}{qB}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે. આ દર્શાવે છે કે $T \propto m$. તેથી,કારણ $(R)$ સાચું છે.
આમ,$(A)$ ખોટું છે અને $(R)$ સાચું છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi m}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રોટોન માટે,$T_p = \frac{2\pi m_p}{eB}$.
$\alpha$-કણ માટે,$m_{\alpha} = 4m_p$ અને $q_{\alpha} = 2e$ છે. તેથી,$T_{\alpha} = \frac{2\pi (4m_p)}{(2e)B} = 2 \left( \frac{2\pi m_p}{eB} \right) = 2T_p$.
જ્યારે પ્રોટોનનો વેગ $90^{\circ}$ જેટલી દિશા બદલે છે,ત્યારે તે તેના વર્તુળાકાર પથનો ચોથો ભાગ પૂર્ણ કરે છે,જેનો અર્થ છે કે વીતેલો સમય $t = \frac{T_p}{4}$ છે.
આ જ સમય $t$ માં,$\alpha$-કણ $\theta_{\alpha} = \omega_{\alpha} t = \left( \frac{2\pi}{T_{\alpha}} \right) \left( \frac{T_p}{4} \right) = \left( \frac{2\pi}{2T_p} \right) \left( \frac{T_p}{4} \right) = \frac{\pi}{4} = 45^{\circ}$ જેટલો ખૂણો કાપે છે.
કણોને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવ્યા હોવાથી,પ્રોટોન અને $\alpha$-કણના વેગ સદિશો વચ્ચેનો અંતિમ ખૂણો $45^{\circ}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે:
બ્લોકનું દળ, $m = 20 \,g = 0.02 \,kg$
બ્લોક પરનો વીજભાર, $q = 4 \,mC = 4 \times 10^{-3} \,C$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર, $B = 1 \,T$
ઢાળનો ખૂણો, $\theta = 45^{\circ}$
ગતિ કરતા વીજભારિત બ્લોક પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m = qvB$ છે, જે ઢળતી સપાટીને લંબ (ઉપરની તરફ) લાગે છે.
જ્યારે ચુંબકીય બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળના લંબ ઘટક જેટલું થાય ત્યારે બ્લોક સપાટી સાથેનો સંપર્ક ગુમાવે છે:
$F_m = mg \cos \theta$
$qvB = mg \cos \theta$
$v = \frac{mg \cos \theta}{qB}$
બ્લોકને લીસા ઢાળ પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવતો હોવાથી, તેનો પ્રવેગ $a = g \sin \theta$ છે। $t$ સમયે વેગ $v$:
$v = u + at = 0 + (g \sin \theta)t = gt \sin \theta$
$v$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$gt \sin \theta = \frac{mg \cos \theta}{qB}$
$t = \frac{m \cos \theta}{qB \sin \theta} = \frac{m \cot \theta}{qB}$
કિંમતો મૂકતા:
$t = \frac{0.02 \times \cot 45^{\circ}}{4 \times 10^{-3} \times 1}$
$t = \frac{0.02 \times 1}{0.004} = 5 \,s$
આમ, બ્લોક $5 \,s$ પછી સંપર્ક ગુમાવે છે.

(C) કારણ કે વેગ $v$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ નથી,તેથી કણનો માર્ગ હેલિકલ (કુંતલાકાર) હોય છે.
હેલિકલ માર્ગની પિચનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$Pitch = (v \cos \theta) \times T = (v \cos \theta) \times \frac{2 \pi m}{B q}$
આપેલ છે:
$v = 4 \times 10^5 \ ms^{-1}$
$\theta = 60^{\circ}$
$B = 0.314 \ T$
$m = 1.6 \times 10^{-27} \ kg$
$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ (પ્રોટોનનો વીજભાર)
કિંમતો મૂકતા:
$Pitch = (4 \times 10^5 \times \cos 60^{\circ}) \times \frac{2 \times 3.14 \times 1.6 \times 10^{-27}}{0.314 \times 1.6 \times 10^{-19}}$
$Pitch = (4 \times 10^5 \times 0.5) \times \frac{2 \times 3.14 \times 10^{-27}}{0.314 \times 10^{-19}}$
$Pitch = 2 \times 10^5 \times \frac{6.28 \times 10^{-27}}{0.314 \times 10^{-19}}$
$Pitch = 2 \times 10^5 \times 20 \times 10^{-8}$
$Pitch = 40 \times 10^{-3} \ m = 4 \times 10^{-2} \ m = 4 \ cm$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ વેગનો ઘટક $v_{\perp} = v \sin(\theta) = 10^7 \times \sin(30^{\circ}) = 10^7 \times 0.5 = 5 \times 10^6 \,m/s$ છે.
વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv_{\perp}}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m = 9.1 \times 10^{-31} \,kg$ અને $q = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ છે.
એક પરિભ્રમણ માટેનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi r}{v_{\perp}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{2 \times 3.14 \times 2}{5 \times 10^6} = \frac{12.56}{5 \times 10^6} = 2.512 \times 10^{-6} \,s$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$T \approx 2.5 \times 10^{-6} \,s$ મળે છે.

(A) જ્યારે કોઈ વીજભારિત કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે ગતિ કરે છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r$ નું સૂત્ર: $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $B$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $B = \frac{mv}{qr}$.
આપેલ કિંમતો:
દળ $m = 9 \times 10^{-31} \ kg$
વેગ $v = 10^6 \ ms^{-1}$
વીજભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
ત્રિજ્યા $r = 10 \ cm = 0.1 \ m$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{(9 \times 10^{-31}) \times (10^6)}{(1.6 \times 10^{-19}) \times (0.1)}$
$B = \frac{9 \times 10^{-25}}{0.16 \times 10^{-19}}$
$B = \frac{9}{0.16} \times 10^{-6} \ T$
$B = 56.25 \times 10^{-6} \ T = 5.625 \times 10^{-5} \ T$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) હેલિકલ પથની પિચનું સૂત્ર $p = v \cos(\theta) \times T$ છે,જ્યાં $T$ એ પરિભ્રમણનો સમયગાળો છે.
સમયગાળો $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2\pi m}{qB}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $m = 1.6 \times 10^{-27} \ kg$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$v = 1.6 \times 10^5 \ m/s$,$B = \frac{\pi}{10} \ T$,અને $\theta = 60^{\circ}$.
$T = \frac{2 \times \pi \times 1.6 \times 10^{-27}}{1.6 \times 10^{-19} \times (\pi / 10)} = \frac{2 \times 10^{-27}}{10^{-19} \times 0.1} = 2 \times 10^{-7} \ s$.
હવે,પિચ $p = v \cos(60^{\circ}) \times T = (1.6 \times 10^5) \times (0.5) \times (2 \times 10^{-7}) = 1.6 \times 10^{-2} \ m$.

(B) ક્રોસ્ડ ફિલ્ડમાં (જ્યાં વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો પરસ્પર લંબ હોય છે) ઇલેક્ટ્રોન સીધી રેખામાં ગતિ કરે તે માટે, તેના પર લાગતું કુલ લોરેન્ઝ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$F_{net} = F_e + F_m = 0$
$eE = evB$
જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે, $E$ એ વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે, $v$ એ વેગ છે અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે।
$v = \frac{E}{B}$
અહીં $E = 20 \times 10^3 \,V/m$ અને $B = 2.0 \,T$ આપેલ છે.
$v = \frac{20 \times 10^3}{2.0} = 10 \times 10^3 \,m/s$.

(B) આપેલ છે: વેગ $v = (3 \hat{i} + 2 \hat{j}) \ m/s$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = (2 \hat{j} + 3 \hat{k}) \ T$,વિશિષ્ટ વીજભાર $\frac{q}{m} = 0.96 \times 10^8 \ C/kg$.
પ્રોટોન પર લાગતું બળ $F = q(v \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશ ગુણાકાર $v \times B$ ની ગણતરી કરતા:
$v \times B = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 0) - \hat{j}(9 - 0) + \hat{k}(6 - 0) = 6 \hat{i} - 9 \hat{j} + 6 \hat{k}$.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી $a = \frac{F}{m} = \frac{q}{m}(v \times B)$.
કિંમતો મૂકતા:
$a = (0.96 \times 10^8) \times (6 \hat{i} - 9 \hat{j} + 6 \hat{k})$
$a = 0.96 \times 10^8 \times 3 \times (2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k})$
$a = 288 \times 10^8(2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) \ m/s^2$.

(C) $\text{આપેલ છે:}$ $m = 0.6 \,g = 0.6 \times 10^{-3} \,kg$,$q = 25 \,nC = 25 \times 10^{-9} \,C$,$v = 1.2 \times 10^4 \,ms^{-1}$,$g = 10 \,ms^{-2}$.
$\text{કણ સમાન વેગથી ગતિ કરતો હોવાથી,તેનો પ્રવેગ શૂન્ય છે. આનો અર્થ એ છે કે કણ પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય છે.}$
$\text{ચુંબકીય બળ કણના વજન (ગુરુત્વાકર્ષણ બળ) ને સંતુલિત કરતું હોવું જોઈએ.}$
$F_m = F_g$
$Bqv = mg$
$B = \frac{mg}{qv}$
$\text{કિંમતો મૂકતા:}$
$B = \frac{0.6 \times 10^{-3} \times 10}{25 \times 10^{-9} \times 1.2 \times 10^4}$
$B = \frac{6 \times 10^{-3}}{30 \times 10^{-5}}$
$B = \frac{6 \times 10^2}{30} = \frac{600}{30} = 20 \,T$.

(A) વિધાન $(A)$ સાચું છે: ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં $\vec{v}$ વેગથી ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો $\vec{v} = 0$ હોય,તો $\vec{F} = 0$ થાય. આમ,તે માત્ર ગતિશીલ વિદ્યુતભાર પર જ બળ લગાડે છે.
વિધાન $(B)$ સાચું છે: વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું વિદ્યુત બળ $\vec{F} = q\vec{E}$ છે,જે વિદ્યુતભાર સ્થિર છે કે ગતિશીલ તેના પર આધાર રાખતું નથી.
વિધાન $(C)$ ખોટું છે: જો વિદ્યુતભાર ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર ગતિ કરે,તો $\vec{v}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^\circ$ અથવા $180^\circ$ થાય. $\vec{v} \times \vec{B} = vB \sin(\theta)$ હોવાથી,બળ શૂન્ય થાય છે.
તેથી,માત્ર વિધાન $(A)$ અને $(B)$ સાચા છે.

(B) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ તેના વેગને લંબરૂપે ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે ચુંબકીય બળ $F = q(v \times B)$ દરેક ક્ષણે વેગ સદિશને લંબરૂપે લાગે છે.
બળ હંમેશા વેગને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = F \cdot ds = 0$ થાય છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ કરેલા કાર્ય જેટલો હોય છે,તેથી ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.
જોકે,કણ વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતો હોવાથી વેગ સદિશની દિશા સતત બદલાતી રહે છે,તેથી વેગમાન $p = mv$ બદલાય છે કારણ કે વેગમાન એ સદિશ રાશિ છે.
તેથી,વેગમાન બદલાય છે જ્યારે ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.

(B) બિંદુ $P(d, d)$ પર તાર $A$ ($-\hat{i}$ અક્ષ પર) ને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર જમણા હાથના નિયમ મુજબ મળે છે. બિંદુ $P$ નું $x$-અક્ષથી અંતર $d$ છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_A = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d} (-\hat{k})$ છે.
બિંદુ $P(d, d)$ પર તાર $B$ ($\hat{j}$ અક્ષ પર) ને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર જમણા હાથના નિયમ મુજબ મળે છે. બિંદુ $P$ નું $y$-અક્ષથી અંતર $d$ છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d} (-\hat{k})$ છે.
બિંદુ $P$ પર પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_A + B_B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d} (-\hat{k}) + \frac{\mu_0 I}{2 \pi d} (-\hat{k}) = \frac{\mu_0 I}{\pi d} (-\hat{k})$ છે.
વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું બળ $F = q(v \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $v = v\hat{i}$ અને $B = -\frac{\mu_0 I}{\pi d} \hat{k}$ આપેલ છે.
$F = q(v\hat{i} \times (-\frac{\mu_0 I}{\pi d} \hat{k})) = -\frac{\mu_0 I q v}{\pi d} (\hat{i} \times \hat{k}) = -\frac{\mu_0 I q v}{\pi d} (-\hat{j}) = \frac{\mu_0 I q v}{\pi d} \hat{j}$.

(A) પ્રોટોનની ગતિઊર્જા $K = qV = 1.6 \times 10^{-19} \times 500 \times 10^3 = 8 \times 10^{-14} \ J$ છે.
પ્રોટોનનું વેગમાન $p = \sqrt{2mK} = \sqrt{2 \times 1.6 \times 10^{-27} \times 8 \times 10^{-14}} = 1.6 \times 10^{-20} \ kg \cdot m/s$ મળે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{p}{qB} = \frac{1.6 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.1} = 1 \ m$ થાય છે.
$d = 1.0 \ cm = 0.01 \ m$ જેટલી નાની જાડાઈ માટે, વિચલન કોણ $\theta = \frac{d}{R}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી, $\theta = \frac{0.01}{1} = 0.01 \ rad$.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણનો આવર્તકાળ $T$ એ સૂત્ર $T = \frac{2\pi m}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $q$ એ કણનો વિદ્યુતભાર છે.
પ્રોટોન માટે, $m_p = m$ અને $q_p = e$. તેથી, $T_p = \frac{2\pi m}{eB}$.
આલ્ફા કણ માટે, $m_{\alpha} = 4m$ અને $q_{\alpha} = 2e$. તેથી, $T_{\alpha} = \frac{2\pi (4m)}{(2e)B} = \frac{4\pi m}{eB}$.
પ્રોટોન દ્વારા લેવાયેલ સમય અને આલ્ફા કણ દ્વારા લેવાયેલ સમયનો ગુણોત્તર $\frac{T_p}{T_{\alpha}} = \frac{2\pi m / eB}{4\pi m / eB} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી, ગુણોત્તર $1: 2$ છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું બળ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, વેગ $\vec{v}$ પૂર્વ દિશામાં (ધારો કે $+x$ દિશા) છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ શિરોલંબ ઉપરની દિશામાં (ધારો કે $+z$ દિશા) છે.
બળની દિશા $\vec{v}$ અને $\vec{B}$ ના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ, $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ થાય.
આમ, બળ દક્ષિણ દિશામાં ($-y$ દિશા) લાગે છે.
બળ હંમેશા વેગને લંબ હોવાથી, કણ વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરશે. બળ સમક્ષિતિજ હોવાથી ($xy$-સમતલમાં), કણ સમક્ષિતિજ વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરશે.
વધુમાં, ચુંબકીય બળ વિદ્યુતભારિત કણ પર કોઈ કાર્ય કરતું નથી, તેથી તેની ઝડપ અચળ રહે છે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વીજભારિત કણની ત્રિજ્યા $r$ નું સૂત્ર: $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
$B$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $B = \frac{mv}{qr}$.
આપેલ કિંમતો:
$m = 1.66 \times 10^{-27} \ kg$
$v = 8 \times 10^5 \ m/s$
$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
$r = 8.3 \ cm = 8.3 \times 10^{-2} \ m$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{(1.66 \times 10^{-27}) \times (8 \times 10^5)}{(1.6 \times 10^{-19}) \times (8.3 \times 10^{-2})}$
$B = \frac{13.28 \times 10^{-22}}{13.28 \times 10^{-21}}$
$B = 0.1 \ T = 100 \ mT$.
તેથી, ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $100 \ mT$ છે.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં હેલિકલ પથની પિચ $p$ નું સૂત્ર: $p = \frac{2 \pi m v \cos \theta}{q B}$ છે.
અહીં વેગ $v$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ અને ખૂણો $\theta$ બંને કણો માટે સમાન હોવાથી, પિચ એ દળ અને વિદ્યુતભારના ગુણોત્તરના સમપ્રમાણમાં છે: $p \propto \frac{m}{q}$.
તેથી, કણો $A$ અને $B$ માટે પિચનો ગુણોત્તર: $\frac{p_A}{p_B} = \frac{m_A / q_A}{m_B / q_B}$ થાય.
આપેલ છે કે $m_A = m$, $q_A = 2q$, $m_B = 2m$, અને $q_B = 3q$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{p_A}{p_B} = \frac{m / 2q}{2m / 3q} = \frac{m}{2q} \times \frac{3q}{2m} = \frac{3}{4}$.
આમ, ગુણોત્તર $3:4$ છે.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્તપણે પડતા ઇલેક્ટ્રોન માટે, તેનો વેગ સદિશ નીચેની તરફ હોય છે, જેને $\overrightarrow{v} = -v_0 \hat{k}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર દક્ષિણ દિશામાં છે, જેને $\overrightarrow{B} = -B_0 \hat{j}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
ચાર્જ થયેલા કણ પર લાગતું લોરેન્ટ્ઝ બળ $\overrightarrow{F}$ એ $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે, વિદ્યુતભાર $q = -e$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\overrightarrow{F} = -e [(-v_0 \hat{k}) \times (-B_0 \hat{j})]$
$\overrightarrow{F} = -e [v_0 B_0 (\hat{k} \times \hat{j})]$
કારણ કે $\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$, તેથી આપણને મળે છે:
$\overrightarrow{F} = -e [v_0 B_0 (-\hat{i})]$
$\overrightarrow{F} = e v_0 B_0 \hat{i}$
દિશા $\hat{i}$ એ પૂર્વ દિશાને અનુરૂપ છે.
તેથી, ઇલેક્ટ્રોન શરૂઆતમાં પૂર્વ દિશામાં વિચલિત થાય છે.

(A) વિદ્યુતભારનો વેગ $\vec{v} = 2 \hat{i} \ m/s$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = (2 \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) \ T$ છે.
ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{F} = q(2 \hat{i}) \times (2 \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k})$
$\vec{F} = q [ (2 \hat{i} \times 2 \hat{i}) + (2 \hat{i} \times 2 \hat{j}) + (2 \hat{i} \times 3 \hat{k}) ]$
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{i} = 0$, $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$, અને $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$:
$\vec{F} = q [ 0 + 4 \hat{k} - 6 \hat{j} ]$
$\vec{F} = q(4 \hat{k} - 6 \hat{j})$.
આ બળ સદિશ $y-z$ સમતલમાં છે.

(A) લોરેન્ટ્ઝ બળના નિયમ મુજબ, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$F = q(v \times B)$
અહીં આપેલ કણ ઇલેક્ટ્રોન છે, તેથી તેનો વિદ્યુતભાર $q = -e$ છે (જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો મૂળભૂત વિદ્યુતભાર છે).
સૂત્રમાં $q = -e$ મૂકતા, આપણને મળે છે:
$F = -e(v \times B)$
જોકે, સામાન્ય રીતે વિકલ્પોમાં લોરેન્ટ્ઝ બળના સ્વરૂપને દર્શાવવા માટે $e(v \times B)$ નો ઉપયોગ થાય છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) શરૂઆતમાં, વીજભારિત કણ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ની દિશામાં ગતિ કરે છે, તેથી ચુંબકીય બળ શૂન્ય છે.
જ્યારે $B$ ને લંબરૂપે સમાન વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે કણ $E$ ની દિશામાં વિદ્યુત બળ $F = qE$ અનુભવે છે.
આ બળ કણને પ્રવેગિત કરે છે, જેનાથી તેને $B$ ને લંબરૂપે વેગનો ઘટક મળે છે.
હવે કણ પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને સમાંતર અને લંબ બંને દિશામાં વેગના ઘટકો હોવાથી, તે હેલિકલ (કુંતલાકાર) માર્ગે ગતિ કરે છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો, પરસ્પર લંબ વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોની હાજરીમાં, જો પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય હોય તો કણ સાયક્લોઇડ ગતિ કરે છે, પરંતુ $B$ ની દિશામાં પ્રારંભિક વેગ હોવાથી, ગતિપથ હેલિકલ હોય છે.

(D) જ્યારે $q$ વિદ્યુતભાર અને $m$ દળ ધરાવતો કણ $v$ વેગ સાથે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ રૂપે પ્રવેશ કરે છે, ત્યારે તે ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ $F = q(v \times B)$ અનુભવે છે.
બળ હંમેશા વેગને લંબ હોવાથી, તે કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે, જેના કારણે કણ વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે.
આ વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$r = \frac{mv}{qB}$
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ત્રિજ્યા $r$ એ વેગ $v$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(r \propto v)$.
તેથી, કણ એવી વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે જેની ત્રિજ્યા તેના વેગના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(C) ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $K = 45.5 \ eV = 45.5 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$ અને $m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$ આપેલ છે.
$v^2 = \frac{2K}{m} = \frac{2 \times 45.5 \times 1.6 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}} = \frac{145.6 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}} = 16 \times 10^{12} \ m^2s^{-2}$.
તેથી, $v = 4 \times 10^6 \ ms^{-1}$.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન પરસ્પર લંબ વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વિચલિત થયા વગર ગતિ કરે છે, ત્યારે વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ સમાન હોય છે: $eE = evB$, જેનો અર્થ છે કે $v = \frac{E}{B}$.
અહીં $E = 1 \times 10^3 \ Vm^{-1}$ આપેલ છે, તેથી $B = \frac{E}{v} = \frac{1 \times 10^3}{4 \times 10^6} = 0.25 \times 10^{-3} = 2.5 \times 10^{-4} \ Wb \ m^{-2}$.

(C) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રૂપે ગતિ કરે છે, ત્યારે તે વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે.
વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r$ માટેનું સૂત્ર:
$r = \frac{mv}{qB}$
આપેલ કિંમતો:
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m = 9 \times 10^{-31} \ kg$
વેગ $v = 1.6 \times 10^7 \ m/s$
ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.1 \ T$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$r = \frac{9 \times 10^{-31} \times 1.6 \times 10^7}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.1}$
$r = \frac{9 \times 1.6 \times 10^{-24}}{1.6 \times 10^{-20}}$
$r = 9 \times 10^{-4} \ m$

(C) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ ગતિ કરે છે, ત્યારે તે વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે. વર્તુળાકાર માર્ગ પર, વેગ સદિશ હંમેશા માર્ગને સ્પર્શક હોય છે અને પ્રવેગ સદિશ (કેન્દ્રગામી પ્રવેગ) હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે. તેથી, કોઈપણ સમયે વેગ અને પ્રવેગ સદિશો એકબીજાને લંબ હોય છે.
આપેલ છે, $\overrightarrow{v}=2 \hat{i}+c \hat{j}$ અને $\overrightarrow{a}=3 \hat{i}+4 \hat{j}$.
જેহেতু $\overrightarrow{v} \perp \overrightarrow{a}$, તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{a} = 0$
$(2 \hat{i} + c \hat{j}) \cdot (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) = 0$
$(2)(3) + (c)(4) = 0$
$6 + 4c = 0$
$4c = -6$
$c = -1.5$

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં ગતિઊર્જા $K$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ બધા કણો માટે સમાન હોવાથી, $r \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$ થાય.
પ્રોટોન $(p)$ માટે: દળ $m_p = m$, વિદ્યુતભાર $q_p = q$. તેથી, $r_p \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$.
ડ્યુટેરોન $(d)$ માટે: દળ $m_d = 2m$, વિદ્યુતભાર $q_d = q$. તેથી, $r_d \propto \frac{\sqrt{2m}}{q}$.
$\alpha$-કણ $(\alpha)$ માટે: દળ $m_\alpha = 4m$, વિદ્યુતભાર $q_\alpha = 2q$. તેથી, $r_\alpha \propto \frac{\sqrt{4m}}{2q} = \frac{2\sqrt{m}}{2q} = \frac{\sqrt{m}}{q}$.
આમ, ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $r_p : r_d : r_\alpha = \frac{\sqrt{m}}{q} : \frac{\sqrt{2m}}{q} : \frac{\sqrt{m}}{q} = 1 : \sqrt{2} : 1$ થાય.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણ પર લાગતું બળ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
કિસ્સો $(1)$: જો વેગ $\vec{v}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોય, તો $\vec{v} \times \vec{B} = 0$ થાય. બળ શૂન્ય હોવાથી, કણ સુરેખ રેખામાં ગતિ ચાલુ રાખે છે.
કિસ્સો $(2)$: જો વેગ $\vec{v}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને લંબ હોય, તો ચુંબકીય બળ કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે, જેના કારણે કણ વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
કિસ્સો $(3)$: જો વેગ $\vec{v}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે (જ્યાં $\theta \neq 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ$), તો વેગના બે ઘટકો પાડી શકાય: એક $\vec{B}$ ને સમાંતર (જે સુરેખ ગતિ કરાવે છે) અને એક $\vec{B}$ ને લંબ (જે વર્તુળાકાર ગતિ કરાવે છે). પરિણામી ગતિપથ હેલિક્સ (કુંતલાકાર) હોય છે.
તેથી, વેગ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેના ખૂણાના આધારે ત્રણેય ગતિપથ શક્ય છે.

(A) આપેલ ગુણોત્તર: $m_1: m_2 = 1: 1$, $q_1: q_2 = 1: 2$, અને $v_1: v_2 = 2: 3$.
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r$ માટેનું સૂત્ર $r = \frac{mv}{Bq}$ છે.
બંને કણો માટે ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{r_1}{r_2} = \left(\frac{m_1}{m_2}\right) \times \left(\frac{v_1}{v_2}\right) \times \left(\frac{q_2}{q_1}\right)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{r_1}{r_2} = \left(\frac{1}{1}\right) \times \left(\frac{2}{3}\right) \times \left(\frac{2}{1}\right) = \frac{4}{3}$.
તેથી, ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $4: 3$ છે.

(B) આપેલ છે: વેગ $\vec{v} = (3 \hat{i} + 2 \hat{j}) \text{ ms}^{-1}$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = (2 \hat{j} + 3 \hat{k}) \text{ T}$.
વિશિષ્ટ વીજભાર $\frac{q}{m} = 0.96 \times 10^8 \text{ C kg}^{-1}$.
ગતિમાન વીજભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ, $\vec{F} = m\vec{a}$, તેથી $\vec{a} = \frac{q}{m}(\vec{v} \times \vec{B})$.
સૌ પ્રથમ, સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{B}$ શોધો:
$\vec{v} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 0) - \hat{j}(9 - 0) + \hat{k}(6 - 0) = 6 \hat{i} - 9 \hat{j} + 6 \hat{k}$.
હવે, પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{q}{m}(6 \hat{i} - 9 \hat{j} + 6 \hat{k})$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{a} = 0.96 \times 10^8 \times (6 \hat{i} - 9 \hat{j} + 6 \hat{k})$
$\vec{a} = 0.96 \times 10^8 \times 3 \times (2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k})$
$\vec{a} = 288 \times 10^8 \times (2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) \text{ ms}^{-2}$.

(C) ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $\vec{v} = 2 \times 10^5 \hat{i} \ m/s$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = (\hat{i} + 4\hat{j} - 3\hat{k}) \ T$ છે.
ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે, $q = -1.6 \times 10^{-19} \ C$.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{B}$ ની ગણતરી:
$\vec{v} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 \times 10^5 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(0) - \hat{j}(-6 \times 10^5) + \hat{k}(8 \times 10^5) = (6 \times 10^5 \hat{j} + 8 \times 10^5 \hat{k}) \ m/s \cdot T$.
સદિશ ગુણાકારનું મૂલ્ય $|\vec{v} \times \vec{B}| = \sqrt{(6 \times 10^5)^2 + (8 \times 10^5)^2} = \sqrt{36 \times 10^{10} + 64 \times 10^{10}} = \sqrt{100 \times 10^{10}} = 10 \times 10^5 = 10^6 \ m/s \cdot T$.
બળનું મૂલ્ય $F = |q| |\vec{v} \times \vec{B}| = (1.6 \times 10^{-19} \ C) \times (10^6 \ m/s \cdot T) = 1.6 \times 10^{-13} \ N$.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 0.6 \,g = 0.6 \times 10^{-3} \,kg$, વીજભાર $q = 25 \,nC = 25 \times 10^{-9} \,C$, વેગ $v = 1.2 \times 10^4 \,ms^{-1}$, ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,ms^{-2}$.
કણ અચળ વેગથી ગતિ કરતો હોવાથી, તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે ચુંબકીય બળ $F_m$ એ કણ પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g$ ને સંતુલિત કરતું હોવું જોઈએ.
$F_m = F_g$
$Bqv = mg$
$B = \frac{mg}{qv}$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{0.6 \times 10^{-3} \times 10}{25 \times 10^{-9} \times 1.2 \times 10^4}$
$B = \frac{6 \times 10^{-3}}{30 \times 10^{-5}}$
$B = \frac{6 \times 10^2}{30} = \frac{600}{30} = 20 \,T$
તેથી, ચુંબકીય પ્રેરણનું મૂલ્ય $20 \,T$ છે.

(B) ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ $\vec{F}$ એ વેગ $\vec{v}$ ને લંબ હોવાથી, તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{F} \cdot \vec{v} = 0$.
$(F_1 \hat{i} + F_2 \hat{j}) \cdot (v_1 \hat{i} + v_2 \hat{j}) = F_1 v_1 + F_2 v_2 = 0 \Rightarrow \frac{F_1}{F_2} = -\frac{v_2}{v_1} \quad (I)$.
વળી, $\vec{F}$ એ $\vec{B}$ ને પણ લંબ છે, તેથી $\vec{F} \cdot \vec{B} = 0$.
ધારો કે $\vec{B} = B_1 \hat{i} + B_2 \hat{j} + B_3 \hat{k}$. તો $(F_1 \hat{i} + F_2 \hat{j}) \cdot (B_1 \hat{i} + B_2 \hat{j} + B_3 \hat{k}) = F_1 B_1 + F_2 B_2 = 0 \Rightarrow \frac{F_1}{F_2} = -\frac{B_2}{B_1} \quad (II)$.
$(I)$ અને $(II)$ ની સરખામણી કરતા, આપણને $\frac{v_2}{v_1} = \frac{B_2}{B_1}$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $\frac{v_1}{v_2} = \frac{B_1}{B_2}$.
આમ, $\vec{B} = B_1 \hat{i} + B_2 \hat{j} + B_3 \hat{k}$ એ $\frac{v_1}{v_2} = \frac{B_1}{B_2}$ શરતનું પાલન કરે છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $z$-અક્ષની દિશામાં છે $(B = B_0 \hat{k})$.
કણનો વેગ $v = 3 \hat{i} + 4 \hat{k} \text{ m/s}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ વેગનો ઘટક $v_{\perp} = 3 \hat{i} \text{ m/s}$ છે, જે $x-y$ સમતલમાં વર્તુળાકાર ગતિ કરાવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર વેગનો ઘટક $v_{\parallel} = 4 \hat{k} \text{ m/s}$ છે, જે અચળ રહે છે કારણ કે આ દિશામાં કોઈ બળ લાગતું નથી.
કણ પાસે લંબ અને સમાંતર બંને વેગના ઘટકો હોવાથી, ગતિપથ હેલિકલ (કુંતલાકાર) હશે.
$z$-અક્ષ પર કાપવાનું અંતર $s = 2 \text{ m}$ છે.
સૂત્ર $s = v_{\parallel} \times t$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $t = \frac{s}{v_{\parallel}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \text{ s}$ મળે છે.