Motion of Charged Particle In Magnetic Field Questions in Hindi

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $F$ का सूत्र $F = qvB \sin \theta$ है।
दिए गए मान:
प्रोटॉन का आवेश,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
वेग,$v = 2.5 \times 10^7 \ m/s$
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता,$B = 2.5 \ T$
कोण,$\theta = 30^{\circ}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = (1.6 \times 10^{-19}) \times (2.5 \times 10^7) \times (2.5) \times \sin 30^{\circ}$
$F = (1.6 \times 10^{-19}) \times (6.25 \times 10^7) \times 0.5$
$F = 10 \times 10^{-12} \times 0.5$
$F = 5 \times 10^{-12} \ N$

$(A)$ $\text{चुंबकीय फ्लक्स घनत्व}$,$B = 1.5 \,Wb \,m^{-2}$
$\text{प्रोटॉन का वेग}$,$v = 2 \times 10^7 \,ms^{-1}$
$\text{कोण}$,$\theta = 30^{\circ}$
$\text{प्रोटॉन पर आवेश}$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \,C$
$\text{गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल } F \text{ का सूत्र } F = Bqv \sin \theta \text{ है।}$
$\text{मान रखने पर:}$
$F = (1.5) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (2 \times 10^7) \times \sin 30^{\circ}$
$F = 1.5 \times 1.6 \times 2 \times 10^{-12} \times 0.5$
$F = 4.8 \times 0.5 \times 10^{-12} \,N$
$F = 2.4 \times 10^{-12} \,N$

(D) गतिमान आवेश पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F = qvB \sin(\theta)$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि इलेक्ट्रॉन एक वृत्ताकार कक्षा में घूमता है,वेग चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत होता है,इसलिए $\theta = 90^\circ$ और $\sin(90^\circ) = 1$.
$F = (1.6 \times 10^{-19} \ C) \times (4 \times 10^6 \ m/s) \times (2 \times 10^{-1} \ T) = 1.28 \times 10^{-13} \ N$.
चुंबकीय बल वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है,इसलिए $F = \frac{mv^2}{r}$.
त्रिज्या $r$ के लिए सूत्र: $r = \frac{mv}{qB} = \frac{(9 \times 10^{-31} \ kg) \times (4 \times 10^6 \ m/s)}{1.6 \times 10^{-19} \ C \times 2 \times 10^{-1} \ T}$.
$r = \frac{36 \times 10^{-25}}{3.2 \times 10^{-20}} = 11.25 \times 10^{-5} \ m \approx 1.1 \times 10^{-4} \ m$.

(D) चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि न्यूट्रॉन विद्युत रूप से उदासीन होता है $(q = 0)$,इसलिए इस पर कोई चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल $(F = qvB \sin \theta)$ कार्य नहीं करता है। अतः,यह वृत्ताकार पथ का अनुसरण नहीं करेगा; यह सीधी रेखा में गति करना जारी रखेगा। इस प्रकार,कथन $(A)$ गलत है।
परिक्रमण काल $T$ का मान $T = \frac{2\pi m}{qB}$ होता है। यह दर्शाता है कि $T \propto m$ है। अतः,कारण $(R)$ सही है।
चूंकि $(A)$ गलत है और $(R)$ सही है,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi m}{qB}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रोटॉन के लिए,$T_p = \frac{2\pi m_p}{eB}$.
$\alpha$-कण के लिए,$m_{\alpha} = 4m_p$ और $q_{\alpha} = 2e$ है। अतः,$T_{\alpha} = \frac{2\pi (4m_p)}{(2e)B} = 2 \left( \frac{2\pi m_p}{eB} \right) = 2T_p$.
जब प्रोटॉन का वेग $90^{\circ}$ दिशा बदलता है,तो यह अपने वृत्ताकार पथ का एक-चौथाई हिस्सा पूरा कर लेता है,जिसका अर्थ है कि बीता हुआ समय $t = \frac{T_p}{4}$ है।
इसी समय $t$ में,$\alpha$-कण $\theta_{\alpha} = \omega_{\alpha} t = \left( \frac{2\pi}{T_{\alpha}} \right) \left( \frac{T_p}{4} \right) = \left( \frac{2\pi}{2T_p} \right) \left( \frac{T_p}{4} \right) = \frac{\pi}{4} = 45^{\circ}$ का कोण तय करता है।
चूंकि कणों को विपरीत दिशाओं में प्रक्षेपित किया गया था,प्रोटॉन और $\alpha$-कण के वेग सदिशों के बीच का अंतिम कोण $45^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है:
ब्लॉक का द्रव्यमान, $m = 20 \,g = 0.02 \,kg$
ब्लॉक पर आवेश, $q = 4 \,mC = 4 \times 10^{-3} \,C$
चुंबकीय क्षेत्र, $B = 1 \,T$
झुकाव कोण, $\theta = 45^{\circ}$
गतिमान आवेशित ब्लॉक पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F_m = qvB$ है, जो नत समतल के लंबवत (ऊपर की ओर) कार्य करता है।
ब्लॉक सतह के साथ संपर्क तब खो देता है जब चुंबकीय बल गुरुत्वाकर्षण बल के लंबवत घटक के बराबर हो जाता है:
$F_m = mg \cos \theta$
$qvB = mg \cos \theta$
$v = \frac{mg \cos \theta}{qB}$
चूंकि ब्लॉक को एक चिकने नत समतल पर विरामावस्था से छोड़ा जाता है, इसलिए इसका त्वरण $a = g \sin \theta$ है। समय $t$ पर वेग $v$ है:
$v = u + at = 0 + (g \sin \theta)t = gt \sin \theta$
$v$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$gt \sin \theta = \frac{mg \cos \theta}{qB}$
$t = \frac{m \cos \theta}{qB \sin \theta} = \frac{m \cot \theta}{qB}$
मान रखने पर:
$t = \frac{0.02 \times \cot 45^{\circ}}{4 \times 10^{-3} \times 1}$
$t = \frac{0.02 \times 1}{0.004} = 5 \,s$
अतः, ब्लॉक $5 \,s$ के बाद संपर्क खो देता है।

(C) चूंकि वेग $v$ चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लंबवत नहीं है,इसलिए कण का पथ हेलिक्स (कुंडलाकार) होता है।
हेलिकल पथ की पिच का सूत्र इस प्रकार है:
$Pitch = (v \cos \theta) \times T = (v \cos \theta) \times \frac{2 \pi m}{B q}$
दिया गया है:
$v = 4 \times 10^5 \ ms^{-1}$
$\theta = 60^{\circ}$
$B = 0.314 \ T$
$m = 1.6 \times 10^{-27} \ kg$
$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ (प्रोटॉन का आवेश)
मान रखने पर:
$Pitch = (4 \times 10^5 \times \cos 60^{\circ}) \times \frac{2 \times 3.14 \times 1.6 \times 10^{-27}}{0.314 \times 1.6 \times 10^{-19}}$
$Pitch = (4 \times 10^5 \times 0.5) \times \frac{2 \times 3.14 \times 10^{-27}}{0.314 \times 10^{-19}}$
$Pitch = 2 \times 10^5 \times \frac{6.28 \times 10^{-27}}{0.314 \times 10^{-19}}$
$Pitch = 2 \times 10^5 \times 20 \times 10^{-8}$
$Pitch = 40 \times 10^{-3} \ m = 4 \times 10^{-2} \ m = 4 \ cm$.

(C) चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत वेग का घटक $v_{\perp} = v \sin(\theta) = 10^7 \times \sin(30^{\circ}) = 10^7 \times 0.5 = 5 \times 10^6 \,m/s$ है।
वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv_{\perp}}{qB}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m = 9.1 \times 10^{-31} \,kg$ और $q = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ है।
एक चक्कर के लिए आवर्तकाल $T = \frac{2\pi r}{v_{\perp}}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $T = \frac{2 \times 3.14 \times 2}{5 \times 10^6} = \frac{12.56}{5 \times 10^6} = 2.512 \times 10^{-6} \,s$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,$T \approx 2.5 \times 10^{-6} \,s$ प्राप्त होता है।

(A) जब कोई आवेशित कण एक समान चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करता है,तो वह एक वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है।
वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ का सूत्र है: $r = \frac{mv}{qB}$।
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $B$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $B = \frac{mv}{qr}$।
दिए गए मान:
द्रव्यमान $m = 9 \times 10^{-31} \ kg$
वेग $v = 10^6 \ ms^{-1}$
आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
त्रिज्या $r = 10 \ cm = 0.1 \ m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{(9 \times 10^{-31}) \times (10^6)}{(1.6 \times 10^{-19}) \times (0.1)}$
$B = \frac{9 \times 10^{-25}}{0.16 \times 10^{-19}}$
$B = \frac{9}{0.16} \times 10^{-6} \ T$
$B = 56.25 \times 10^{-6} \ T = 5.625 \times 10^{-5} \ T$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) हेलिकल पथ की पिच का सूत्र $p = v \cos(\theta) \times T$ है,जहाँ $T$ परिक्रमण का आवर्तकाल है।
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi m}{qB}$ है।
मान रखने पर: $m = 1.6 \times 10^{-27} \ kg$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$v = 1.6 \times 10^5 \ m/s$,$B = \frac{\pi}{10} \ T$,और $\theta = 60^{\circ}$.
$T = \frac{2 \times \pi \times 1.6 \times 10^{-27}}{1.6 \times 10^{-19} \times (\pi / 10)} = \frac{2 \times 10^{-27}}{10^{-19} \times 0.1} = 2 \times 10^{-7} \ s$.
अब,पिच $p = v \cos(60^{\circ}) \times T = (1.6 \times 10^5) \times (0.5) \times (2 \times 10^{-7}) = 1.6 \times 10^{-2} \ m$.

(B) क्रॉस्ड फील्ड (जहाँ विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र एक-दूसरे के लंबवत होते हैं) में इलेक्ट्रॉन के सीधी रेखा में चलने के लिए, उस पर लगने वाला कुल लॉरेंट्ज़ बल शून्य होना चाहिए।
$F_{net} = F_e + F_m = 0$
$eE = evB$
जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है, $E$ विद्युत क्षेत्र की तीव्रता है, $v$ वेग है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है।
$v = \frac{E}{B}$
यहाँ $E = 20 \times 10^3 \,V/m$ और $B = 2.0 \,T$ दिया गया है।
$v = \frac{20 \times 10^3}{2.0} = 10 \times 10^3 \,m/s$.

(B) दिया गया है: वेग $v = (3 \hat{i} + 2 \hat{j}) \ m/s$,चुंबकीय क्षेत्र $B = (2 \hat{j} + 3 \hat{k}) \ T$,विशिष्ट आवेश $\frac{q}{m} = 0.96 \times 10^8 \ C/kg$.
प्रोटॉन पर लगने वाला बल $F = q(v \times B)$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश गुणनफल $v \times B$ की गणना करने पर:
$v \times B = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 0) - \hat{j}(9 - 0) + \hat{k}(6 - 0) = 6 \hat{i} - 9 \hat{j} + 6 \hat{k}$.
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए $a = \frac{F}{m} = \frac{q}{m}(v \times B)$.
मान रखने पर:
$a = (0.96 \times 10^8) \times (6 \hat{i} - 9 \hat{j} + 6 \hat{k})$
$a = 0.96 \times 10^8 \times 3 \times (2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k})$
$a = 288 \times 10^8(2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) \ m/s^2$.

(C) $\text{दिया गया है:}$ $m = 0.6 \,g = 0.6 \times 10^{-3} \,kg$,$q = 25 \,nC = 25 \times 10^{-9} \,C$,$v = 1.2 \times 10^4 \,ms^{-1}$,$g = 10 \,ms^{-2}$.
$\text{चूंकि कण एकसमान वेग से गति कर रहा है,इसलिए इसका त्वरण शून्य है। इसका अर्थ है कि कण पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य है।}$
$\text{चुंबकीय बल को कण पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल (भार) को संतुलित करना चाहिए।}$
$F_m = F_g$
$Bqv = mg$
$B = \frac{mg}{qv}$
$\text{मान रखने पर:}$
$B = \frac{0.6 \times 10^{-3} \times 10}{25 \times 10^{-9} \times 1.2 \times 10^4}$
$B = \frac{6 \times 10^{-3}}{30 \times 10^{-5}}$
$B = \frac{6 \times 10^2}{30} = \frac{600}{30} = 20 \,T$.

(A) कथन $(A)$ सही है: चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में $\vec{v}$ वेग से गतिमान आवेश $q$ पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है। यदि $\vec{v} = 0$ है,तो $\vec{F} = 0$ होगा। अतः,यह केवल गतिमान आवेश पर ही बल लगाता है।
कथन $(B)$ सही है: विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में आवेश $q$ पर लगने वाला विद्युत बल $\vec{F} = q\vec{E}$ है,जो इस बात पर निर्भर नहीं करता कि आवेश स्थिर है या गतिमान।
कथन $(C)$ गलत है: यदि आवेश चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर गति करता है,तो $\vec{v}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $\theta = 0^\circ$ या $180^\circ$ होता है। चूँकि $\vec{v} \times \vec{B} = vB \sin(\theta)$ होता है,इसलिए बल शून्य हो जाता है।
अतः,केवल कथन $(A)$ और $(B)$ सही हैं।

(B) जब एक आवेशित कण अपने वेग के लंबवत चुंबकीय क्षेत्र में गति करता है,तो चुंबकीय बल $F = q(v \times B)$ हर क्षण वेग सदिश के लंबवत कार्य करता है।
चूंकि बल हमेशा वेग के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय बल द्वारा किया गया कार्य $W = F \cdot ds = 0$ होता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन किए गए कार्य के बराबर होता है,इसलिए गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।
हालाँकि,चूंकि कण वृत्ताकार पथ में गति करता है,इसलिए वेग सदिश की दिशा लगातार बदलती रहती है,जिससे संवेग $p = mv$ बदल जाता है क्योंकि संवेग एक सदिश राशि है।
इसलिए,संवेग बदलता है जबकि गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।

(B) बिंदु $P(d, d)$ पर तार $A$ ($-\hat{i}$ अक्ष पर) के कारण चुंबकीय क्षेत्र दाएं हाथ के नियम द्वारा दिया जाता है। बिंदु $P$ की $x$-अक्ष से दूरी $d$ है। चुंबकीय क्षेत्र $B_A = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d} (-\hat{k})$ है।
बिंदु $P(d, d)$ पर तार $B$ ($\hat{j}$ अक्ष पर) के कारण चुंबकीय क्षेत्र दाएं हाथ के नियम द्वारा दिया जाता है। बिंदु $P$ की $y$-अक्ष से दूरी $d$ है। चुंबकीय क्षेत्र $B_B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d} (-\hat{k})$ है।
बिंदु $P$ पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B = B_A + B_B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d} (-\hat{k}) + \frac{\mu_0 I}{2 \pi d} (-\hat{k}) = \frac{\mu_0 I}{\pi d} (-\hat{k})$ है।
आवेशित कण पर लगने वाला बल $F = q(v \times B)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $v = v\hat{i}$ और $B = -\frac{\mu_0 I}{\pi d} \hat{k}$ दिया गया है।
$F = q(v\hat{i} \times (-\frac{\mu_0 I}{\pi d} \hat{k})) = -\frac{\mu_0 I q v}{\pi d} (\hat{i} \times \hat{k}) = -\frac{\mu_0 I q v}{\pi d} (-\hat{j}) = \frac{\mu_0 I q v}{\pi d} \hat{j}$.

(A) प्रोटॉन की गतिज ऊर्जा $K = qV = 1.6 \times 10^{-19} \times 500 \times 10^3 = 8 \times 10^{-14} \ J$ है।
प्रोटॉन का संवेग $p = \sqrt{2mK} = \sqrt{2 \times 1.6 \times 10^{-27} \times 8 \times 10^{-14}} = 1.6 \times 10^{-20} \ kg \cdot m/s$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = \frac{p}{qB} = \frac{1.6 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.1} = 1 \ m$ है।
$d = 1.0 \ cm = 0.01 \ m$ की छोटी मोटाई के लिए, विचलन कोण $\theta = \frac{d}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः, $\theta = \frac{0.01}{1} = 0.01 \ rad$।

(B) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति कर रहे आवेशित कण का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = \frac{2\pi m}{qB}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $q$ कण का आवेश है।
प्रोटॉन के लिए, $m_p = m$ और $q_p = e$ है। अतः, $T_p = \frac{2\pi m}{eB}$ है।
अल्फा कण के लिए, $m_{\alpha} = 4m$ और $q_{\alpha} = 2e$ है। अतः, $T_{\alpha} = \frac{2\pi (4m)}{(2e)B} = \frac{4\pi m}{eB}$ है।
प्रोटॉन द्वारा लिए गए समय और अल्फा कण द्वारा लिए गए समय का अनुपात $\frac{T_p}{T_{\alpha}} = \frac{2\pi m / eB}{4\pi m / eB} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ है।
अतः, अनुपात $1: 2$ है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला बल लॉरेंट्ज़ बल सूत्र $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, वेग $\vec{v}$ पूर्व की ओर (मान लीजिए $+x$ दिशा) है और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर (मान लीजिए $+z$ दिशा) है।
बल की दिशा $\vec{v}$ और $\vec{B}$ के क्रॉस प्रोडक्ट द्वारा दी जाती है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए, $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ होता है।
अतः, बल दक्षिण दिशा ($-y$ दिशा) में कार्य करता है।
चूंकि बल हमेशा वेग के लंबवत होता है, इसलिए कण एक वृत्ताकार पथ पर गति करता है। चूंकि बल क्षैतिज है ($xy$-समतल में), कण एक क्षैतिज वृत्ताकार पथ पर गति करेगा।
इसके अलावा, चूंकि चुंबकीय बल आवेशित कण पर कोई कार्य नहीं करता है, इसलिए इसकी गति स्थिर रहती है।

(B) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति करने वाले आवेशित कण की त्रिज्या $r$ का सूत्र है: $r = \frac{mv}{qB}$।
$B$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $B = \frac{mv}{qr}$।
दिए गए मान:
$m = 1.66 \times 10^{-27} \ kg$
$v = 8 \times 10^5 \ m/s$
$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
$r = 8.3 \ cm = 8.3 \times 10^{-2} \ m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{(1.66 \times 10^{-27}) \times (8 \times 10^5)}{(1.6 \times 10^{-19}) \times (8.3 \times 10^{-2})}$
$B = \frac{13.28 \times 10^{-22}}{13.28 \times 10^{-21}}$
$B = 0.1 \ T = 100 \ mT$।
अतः, चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $100 \ mT$ है।

(C) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में हेलिकल पथ की पिच $p$ का सूत्र है: $p = \frac{2 \pi m v \cos \theta}{q B}$।
चूंकि वेग $v$, चुंबकीय क्षेत्र $B$ और कोण $\theta$ दोनों कणों के लिए समान हैं, इसलिए पिच द्रव्यमान और आवेश के अनुपात के समानुपाती होती है: $p \propto \frac{m}{q}$।
अतः, कणों $A$ और $B$ के लिए पिच का अनुपात: $\frac{p_A}{p_B} = \frac{m_A / q_A}{m_B / q_B}$ होगा।
दिया गया है कि $m_A = m$, $q_A = 2q$, $m_B = 2m$, और $q_B = 3q$।
इन मानों को रखने पर: $\frac{p_A}{p_B} = \frac{m / 2q}{2m / 3q} = \frac{m}{2q} \times \frac{3q}{2m} = \frac{3}{4}$।
अतः, अनुपात $3:4$ है।

(A) गुरुत्वाकर्षण के तहत स्वतंत्र रूप से गिरते हुए इलेक्ट्रॉन के लिए, इसका वेग सदिश नीचे की ओर निर्देशित होता है, जिसे $\overrightarrow{v} = -v_0 \hat{k}$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
एकसमान चुंबकीय क्षेत्र दक्षिण दिशा की ओर है, जिसे $\overrightarrow{B} = -B_0 \hat{j}$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
आवेशित कण पर लगने वाला लॉरेंट्ज़ बल $\overrightarrow{F}$, $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ द्वारा दिया जाता है।
इलेक्ट्रॉन के लिए, आवेश $q = -e$ है।
मान रखने पर:
$\overrightarrow{F} = -e [(-v_0 \hat{k}) \times (-B_0 \hat{j})]$
$\overrightarrow{F} = -e [v_0 B_0 (\hat{k} \times \hat{j})]$
चूंकि $\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$, इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\overrightarrow{F} = -e [v_0 B_0 (-\hat{i})]$
$\overrightarrow{F} = e v_0 B_0 \hat{i}$
दिशा $\hat{i}$ पूर्व दिशा के अनुरूप है।
इसलिए, इलेक्ट्रॉन शुरू में पूर्व की ओर विक्षेपित होता है।

(A) आवेश का वेग $\vec{v} = 2 \hat{i} \ m/s$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = (2 \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) \ T$ है।
गतिमान आवेश पर चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$\vec{F} = q(2 \hat{i}) \times (2 \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k})$
$\vec{F} = q [ (2 \hat{i} \times 2 \hat{i}) + (2 \hat{i} \times 2 \hat{j}) + (2 \hat{i} \times 3 \hat{k}) ]$
चूंकि $\hat{i} \times \hat{i} = 0$, $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$, और $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$:
$\vec{F} = q [ 0 + 4 \hat{k} - 6 \hat{j} ]$
$\vec{F} = q(4 \hat{k} - 6 \hat{j})$.
यह बल सदिश $y-z$ तल में स्थित है।

(A) लोरेंट्ज़ बल के नियम के अनुसार, चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से गतिमान $q$ आवेश वाले कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $F$ सदिश गुणनफल द्वारा दिया जाता है:
$F = q(v \times B)$
यहाँ कण एक इलेक्ट्रॉन है, इसलिए इसका आवेश $q = -e$ है (जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का परिमाण है)।
सूत्र में $q = -e$ रखने पर, हमें प्राप्त होता है:
$F = -e(v \times B)$
हालाँकि, मानक बहुविकल्पीय प्रश्नों के संदर्भ में जहाँ लोरेंट्ज़ बल का रूप पूछा गया है, $e(v \times B)$ बल के सदिश रूप को दर्शाता है।
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(B) प्रारंभ में, आवेशित कण चुंबकीय क्षेत्र $B$ की दिशा में गति करता है, इसलिए चुंबकीय बल शून्य होता है।
जब $B$ के लंबवत एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ लागू किया जाता है, तो कण $E$ की दिशा में विद्युत बल $F = qE$ का अनुभव करता है।
यह बल कण को त्वरित करता है, जिससे उसे $B$ के लंबवत वेग का एक घटक प्राप्त होता है।
चूंकि अब कण के पास चुंबकीय क्षेत्र $B$ के समानांतर और लंबवत दोनों दिशाओं में वेग के घटक हैं, इसलिए यह एक हेलिकल (कुंडलिनी) पथ का अनुसरण करता है।
विशेष रूप से, परस्पर लंबवत विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों की उपस्थिति में, यदि प्रारंभिक वेग शून्य है तो कण साइक्लोइड गति करता है, लेकिन $B$ की दिशा में प्रारंभिक वेग होने के कारण, प्रक्षेप पथ हेलिकल होता है।

(D) जब $q$ आवेश और $m$ द्रव्यमान वाला एक आवेशित कण $v$ वेग के साथ एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में क्षेत्र के लंबवत प्रवेश करता है, तो यह चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल $F = q(v \times B)$ का अनुभव करता है।
चूंकि बल हमेशा वेग के लंबवत होता है, यह अभिकेंद्री बल के रूप में कार्य करता है, जिससे कण एक वृत्ताकार पथ में गति करता है।
इस वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ का सूत्र है:
$r = \frac{mv}{qB}$
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि त्रिज्या $r$, वेग $v$ के सीधे आनुपातिक है $(r \propto v)$।
इसलिए, कण एक ऐसे वृत्ताकार पथ में यात्रा करता है जिसकी त्रिज्या उसके वेग के सीधे आनुपातिक होती है।

(C) इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $K = 45.5 \ eV = 45.5 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$ और $m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$ दिया गया है।
$v^2 = \frac{2K}{m} = \frac{2 \times 45.5 \times 1.6 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}} = \frac{145.6 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}} = 16 \times 10^{12} \ m^2s^{-2}$.
अतः, $v = 4 \times 10^6 \ ms^{-1}$.
जब इलेक्ट्रॉन परस्पर लंबवत विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों में बिना विक्षेपित हुए गति करता है, तो विद्युत बल और चुंबकीय बल संतुलित होते हैं: $eE = evB$, जिसका अर्थ है $v = \frac{E}{B}$।
यहाँ $E = 1 \times 10^3 \ Vm^{-1}$ दिया गया है, इसलिए $B = \frac{E}{v} = \frac{1 \times 10^3}{4 \times 10^6} = 0.25 \times 10^{-3} = 2.5 \times 10^{-4} \ Wb \ m^{-2}$।

(C) जब कोई आवेशित कण एक समान चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करता है, तो वह एक वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है।
वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ का सूत्र है:
$r = \frac{mv}{qB}$
दिए गए मान:
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m = 9 \times 10^{-31} \ kg$
वेग $v = 1.6 \times 10^7 \ m/s$
इलेक्ट्रॉन का आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.1 \ T$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$r = \frac{9 \times 10^{-31} \times 1.6 \times 10^7}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.1}$
$r = \frac{9 \times 1.6 \times 10^{-24}}{1.6 \times 10^{-20}}$
$r = 9 \times 10^{-4} \ m$

(C) जब कोई आवेशित कण एक समान चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करता है, तो वह एक वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है। वृत्ताकार पथ पर, वेग सदिश हमेशा पथ के स्पर्शरेखीय होता है और त्वरण सदिश (अभिकेंद्र त्वरण) हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है। इसलिए, किसी भी क्षण पर वेग और त्वरण सदिश एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
दिया गया है, $\overrightarrow{v}=2 \hat{i}+c \hat{j}$ और $\overrightarrow{a}=3 \hat{i}+4 \hat{j}$।
चूंकि $\overrightarrow{v} \perp \overrightarrow{a}$, इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{a} = 0$
$(2 \hat{i} + c \hat{j}) \cdot (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) = 0$
$(2)(3) + (c)(4) = 0$
$6 + 4c = 0$
$4c = -6$
$c = -1.5$

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ सभी कणों के लिए समान हैं, इसलिए $r \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$ होगा।
प्रोटॉन $(p)$ के लिए: द्रव्यमान $m_p = m$, आवेश $q_p = q$। अतः, $r_p \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$।
ड्यूटेरॉन $(d)$ के लिए: द्रव्यमान $m_d = 2m$, आवेश $q_d = q$। अतः, $r_d \propto \frac{\sqrt{2m}}{q}$।
$\alpha$-कण $(\alpha)$ के लिए: द्रव्यमान $m_\alpha = 4m$, आवेश $q_\alpha = 2q$। अतः, $r_\alpha \propto \frac{\sqrt{4m}}{2q} = \frac{2\sqrt{m}}{2q} = \frac{\sqrt{m}}{q}$।
अतः, त्रिज्याओं का अनुपात $r_p : r_d : r_\alpha = \frac{\sqrt{m}}{q} : \frac{\sqrt{2m}}{q} : \frac{\sqrt{m}}{q} = 1 : \sqrt{2} : 1$ होगा।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला बल लॉरेंट्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$।
स्थिति $(1)$: यदि वेग $\vec{v}$, चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के समानांतर या प्रति-समानांतर है, तो $\vec{v} \times \vec{B} = 0$ होता है। बल शून्य है, और कण एक सीधी रेखा में गति करना जारी रखता है।
स्थिति $(2)$: यदि वेग $\vec{v}$, चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के लंबवत है, तो चुंबकीय बल अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है, जिससे कण एक वृत्त में गति करता है।
स्थिति $(3)$: यदि वेग $\vec{v}$, चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के साथ $\theta$ कोण बनाता है (जहाँ $\theta \neq 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ$), तो वेग को दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है: एक $\vec{B}$ के समानांतर (जो रैखिक गति का कारण बनता है) और एक $\vec{B}$ के लंबवत (जो वृत्तीय गति का कारण बनता है)। परिणामी प्रक्षेप पथ एक हेलिक्स होता है।
इसलिए, वेग और चुंबकीय क्षेत्र के बीच के कोण के आधार पर तीनों प्रक्षेप पथ संभव हैं।

(A) दिए गए अनुपात: $m_1: m_2 = 1: 1$, $q_1: q_2 = 1: 2$, और $v_1: v_2 = 2: 3$.
एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{mv}{Bq}$ है।
दोनों कणों के लिए त्रिज्याओं का अनुपात लेने पर:
$\frac{r_1}{r_2} = \left(\frac{m_1}{m_2}\right) \times \left(\frac{v_1}{v_2}\right) \times \left(\frac{q_2}{q_1}\right)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{r_1}{r_2} = \left(\frac{1}{1}\right) \times \left(\frac{2}{3}\right) \times \left(\frac{2}{1}\right) = \frac{4}{3}$.
अतः, त्रिज्याओं का अनुपात $4: 3$ है।

(B) दिया गया है: वेग $\vec{v} = (3 \hat{i} + 2 \hat{j}) \text{ ms}^{-1}$, चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = (2 \hat{j} + 3 \hat{k}) \text{ T}$.
विशिष्ट आवेश $\frac{q}{m} = 0.96 \times 10^8 \text{ C kg}^{-1}$.
गतिमान आवेश पर चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ होता है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, $\vec{F} = m\vec{a}$, इसलिए $\vec{a} = \frac{q}{m}(\vec{v} \times \vec{B})$.
सबसे पहले, सदिश गुणनफल $\vec{v} \times \vec{B}$ की गणना करें:
$\vec{v} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 0) - \hat{j}(9 - 0) + \hat{k}(6 - 0) = 6 \hat{i} - 9 \hat{j} + 6 \hat{k}$.
अब, त्वरण $\vec{a} = \frac{q}{m}(6 \hat{i} - 9 \hat{j} + 6 \hat{k})$ की गणना करें:
$\vec{a} = 0.96 \times 10^8 \times (6 \hat{i} - 9 \hat{j} + 6 \hat{k})$
$\vec{a} = 0.96 \times 10^8 \times 3 \times (2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k})$
$\vec{a} = 288 \times 10^8 \times (2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) \text{ ms}^{-2}$.

(C) इलेक्ट्रॉन का वेग $\vec{v} = 2 \times 10^5 \hat{i} \ m/s$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = (\hat{i} + 4\hat{j} - 3\hat{k}) \ T$ है।
गतिमान आवेश पर चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
इलेक्ट्रॉन के लिए, $q = -1.6 \times 10^{-19} \ C$ है।
सदिश गुणनफल $\vec{v} \times \vec{B}$ की गणना:
$\vec{v} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 \times 10^5 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(0) - \hat{j}(-6 \times 10^5) + \hat{k}(8 \times 10^5) = (6 \times 10^5 \hat{j} + 8 \times 10^5 \hat{k}) \ m/s \cdot T$.
सदिश गुणनफल का परिमाण $|\vec{v} \times \vec{B}| = \sqrt{(6 \times 10^5)^2 + (8 \times 10^5)^2} = \sqrt{36 \times 10^{10} + 64 \times 10^{10}} = \sqrt{100 \times 10^{10}} = 10 \times 10^5 = 10^6 \ m/s \cdot T$.
बल का परिमाण $F = |q| |\vec{v} \times \vec{B}| = (1.6 \times 10^{-19} \ C) \times (10^6 \ m/s \cdot T) = 1.6 \times 10^{-13} \ N$.

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 0.6 \,g = 0.6 \times 10^{-3} \,kg$, आवेश $q = 25 \,nC = 25 \times 10^{-9} \,C$, वेग $v = 1.2 \times 10^4 \,ms^{-1}$, गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,ms^{-2}$।
चूंकि कण एकसमान वेग से गति कर रहा है, इसलिए उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि चुंबकीय बल $F_m$ को कण पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल $F_g$ को संतुलित करना चाहिए।
$F_m = F_g$
$Bqv = mg$
$B = \frac{mg}{qv}$
मान रखने पर:
$B = \frac{0.6 \times 10^{-3} \times 10}{25 \times 10^{-9} \times 1.2 \times 10^4}$
$B = \frac{6 \times 10^{-3}}{30 \times 10^{-5}}$
$B = \frac{6 \times 10^2}{30} = \frac{600}{30} = 20 \,T$
अतः, चुंबकीय प्रेरण का मान $20 \,T$ है।

(B) चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चुंबकीय बल $\vec{F}$ वेग $\vec{v}$ के लंबवत होता है, इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए: $\vec{F} \cdot \vec{v} = 0$.
$(F_1 \hat{i} + F_2 \hat{j}) \cdot (v_1 \hat{i} + v_2 \hat{j}) = F_1 v_1 + F_2 v_2 = 0 \Rightarrow \frac{F_1}{F_2} = -\frac{v_2}{v_1} \quad (I)$.
साथ ही, $\vec{F}$ चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के भी लंबवत है, इसलिए $\vec{F} \cdot \vec{B} = 0$.
मान लीजिए $\vec{B} = B_1 \hat{i} + B_2 \hat{j} + B_3 \hat{k}$ है। तब $(F_1 \hat{i} + F_2 \hat{j}) \cdot (B_1 \hat{i} + B_2 \hat{j} + B_3 \hat{k}) = F_1 B_1 + F_2 B_2 = 0 \Rightarrow \frac{F_1}{F_2} = -\frac{B_2}{B_1} \quad (II)$.
$(I)$ और $(II)$ की तुलना करने पर, हमें $\frac{v_2}{v_1} = \frac{B_2}{B_1}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $\frac{v_1}{v_2} = \frac{B_1}{B_2}$.
अतः, $\vec{B} = B_1 \hat{i} + B_2 \hat{j} + B_3 \hat{k}$ स्थिति $\frac{v_1}{v_2} = \frac{B_1}{B_2}$ को संतुष्ट करता है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र $z$-अक्ष की दिशा में है $(B = B_0 \hat{k})$।
कण का वेग $v = 3 \hat{i} + 4 \hat{k} \text{ m/s}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत वेग का घटक $v_{\perp} = 3 \hat{i} \text{ m/s}$ है, जो $x-y$ तल में वृत्ताकार गति उत्पन्न करता है।
चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर वेग का घटक $v_{\parallel} = 4 \hat{k} \text{ m/s}$ है, जो स्थिर रहता है क्योंकि इस दिशा में कोई बल कार्य नहीं कर रहा है।
चूंकि कण के पास लंबवत और समानांतर दोनों वेग घटक हैं, इसलिए प्रक्षेप पथ हेलिकल (कुंडलिनी) होगा।
$z$-अक्ष पर तय की जाने वाली दूरी $s = 2 \text{ m}$ है।
सूत्र $s = v_{\parallel} \times t$ का उपयोग करने पर, हमें $t = \frac{s}{v_{\parallel}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \text{ s}$ प्राप्त होता है।