Motion of Charged Particle In Magnetic Field Questions in Hindi

(C) चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
$y > 0$ क्षेत्र के लिए, त्रिज्या $R_1 = \frac{mv_0}{qB_1}$ है।
$y < 0$ क्षेत्र के लिए, त्रिज्या $R_2 = \frac{mv_0}{qB_2}$ है।
दिया गया है $B_2 = 4B_1$, इसलिए $R_2 = \frac{mv_0}{q(4B_1)} = \frac{R_1}{4}$ है।
कण $y > 0$ क्षेत्र में एक अर्धवृत्त में गति करता है और फिर $x$-अक्ष को दोबारा पार करने से पहले $y < 0$ क्षेत्र में एक अर्धवृत्त में गति करता है।
$x$-अक्ष पर कुल विस्थापन $\Delta x = 2R_1 + 2R_2 = 2R_1 + 2(\frac{R_1}{4}) = 2R_1 + \frac{R_1}{2} = \frac{5R_1}{2}$ है।
$y > 0$ क्षेत्र में अर्धवृत्त पूरा करने में लगा समय $t_1 = \frac{\pi m}{qB_1}$ है।
$y < 0$ क्षेत्र में अर्धवृत्त पूरा करने में लगा समय $t_2 = \frac{\pi m}{qB_2} = \frac{\pi m}{q(4B_1)} = \frac{t_1}{4}$ है।
कुल लगा समय $T = t_1 + t_2 = t_1 + \frac{t_1}{4} = \frac{5t_1}{4}$ है।
$x$-अक्ष पर औसत चाल $v_{avg} = \frac{\Delta x}{T} = \frac{5R_1/2}{5t_1/4} = \frac{5R_1}{2} \times \frac{4}{5t_1} = \frac{2R_1}{t_1}$ है।
$R_1 = \frac{mv_0}{qB_1}$ और $t_1 = \frac{\pi m}{qB_1}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $v_{avg} = \frac{2(mv_0/qB_1)}{\pi m/qB_1} = \frac{2v_0}{\pi}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $v_0 = \pi \text{ m s}^{-1}$ दिया गया है, औसत चाल $v_{avg} = \frac{2(\pi)}{\pi} = 2 \text{ m s}^{-1}$ है।

(B) जब कोई आवेशित कण अपने वेग के लंबवत एक समान चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है,तो वह $R = \frac{mv}{qB}$ त्रिज्या के अर्ध-वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र अर्ध-अनंत है,कण एक अर्ध-वृत्त पूरा करेंगे और क्षेत्र से बाहर निकल जाएंगे,इसलिए $(A)$ गलत है।
चूंकि कण समान वेग $v$ के साथ प्रवेश करते हैं और चुंबकीय क्षेत्र $B$ एक समान है,वे अपने प्रवेश की विपरीत दिशा में गति करते हुए बाहर आएंगे,लेकिन फिर भी एक-दूसरे के समानांतर रहेंगे। अतः,$(B)$ सत्य है।
अर्ध-वृत्त को पूरा करने में लगा समय $t = \frac{\pi m}{qB}$ है।
चूंकि प्रोटॉन का द्रव्यमान $(m_p)$ इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान $(m_e)$ से बहुत अधिक है,इसलिए प्रोटॉन को बाहर आने में लगा समय इलेक्ट्रॉन के बाहर आने में लगे समय से बहुत अधिक होगा। अतः,$(D)$ सत्य है और $(C)$ गलत है।
इसलिए,कथन $(B)$ और $(D)$ सही हैं।

(D) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ दोनों $y$-अक्ष की दिशा में हैं। लोरेंत्ज़ बल $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ है।
$1$. यदि $\theta=0^{\circ}$ है,तो प्रारंभिक वेग $\vec{v} = v_0 \hat{i}$ है। चुंबकीय बल $\vec{F}_B = q(v_0 \hat{i} \times B_0 \hat{j}) = q v_0 B_0 \hat{k}$ $z$-दिशा में कार्य करता है,जिससे $x-z$ तल में वृत्ताकार गति होती है। साथ ही,विद्युत बल $\vec{F}_E = q E_0 \hat{j}$ $y$-अक्ष के अनुदिश त्वरण उत्पन्न करता है। अतः,पथ $y$-अक्ष के अनुदिश बढ़ती हुई पिच के साथ एक कुंडलिनी गति है। इसलिए $(A)$ और $(B)$ गलत हैं।
$2$. यदि $\theta=10^{\circ}$ है,तो वेग के घटक $v_x = v \cos \theta$ और $v_y = v \sin \theta$ हैं। चुंबकीय बल केवल $v_x$ पर निर्भर करता है,जो $x-z$ तल में वृत्ताकार गति कराता है। विद्युत बल और $v_y$ के कारण $y$-अक्ष पर त्वरित गति होती है। संयुक्त गति बढ़ती पिच के साथ कुंडलिनी गति है। इसलिए $(C)$ सही है।
$3$. यदि $\theta=90^{\circ}$ है,तो वेग $\vec{v} = v_0 \hat{j}$ है। चूँकि $\vec{v}$,$\vec{B}$ के समानांतर है,इसलिए $\vec{F}_B = 0$ होगा। कण केवल विद्युत बल $\vec{F}_E = q E_0 \hat{j}$ का अनुभव करता है,जिसके परिणामस्वरूप $y$-अक्ष पर रैखिक त्वरित गति होती है। इसलिए $(D)$ सही है।
अतः,सही विकल्प $(C)$ और $(D)$ हैं।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
$y > 0$ क्षेत्र के लिए,त्रिज्या $R_1 = \frac{mv_0}{qB_1}$ है।
$y < 0$ क्षेत्र के लिए,त्रिज्या $R_2 = \frac{mv_0}{qB_2}$ है।
दिया गया है कि $B_2 = 4B_1$,इसलिए $R_2 = \frac{mv_0}{q(4B_1)} = \frac{R_1}{4}$ प्राप्त होता है।
कण $y > 0$ क्षेत्र में $R_1$ त्रिज्या के अर्धवृत्त में और फिर $y < 0$ क्षेत्र में $R_2$ त्रिज्या के अर्धवृत्त में गति करता है।
$x$-अक्ष पर तय की गई कुल दूरी $\Delta x = 2R_1 + 2R_2 = 2R_1 + 2(\frac{R_1}{4}) = 2R_1 + \frac{R_1}{2} = \frac{5R_1}{2}$ है।
$y > 0$ क्षेत्र में अर्धवृत्त पूरा करने में लगा समय $t_1 = \frac{\pi m}{qB_1}$ है।
$y < 0$ क्षेत्र में अर्धवृत्त पूरा करने में लगा समय $t_2 = \frac{\pi m}{qB_2} = \frac{\pi m}{q(4B_1)} = \frac{t_1}{4}$ है।
कुल समय $T = t_1 + t_2 = t_1 + \frac{t_1}{4} = \frac{5t_1}{4}$ है।
$x$-अक्ष पर औसत चाल $v_{avg} = \frac{\Delta x}{T} = \frac{5R_1/2}{5t_1/4} = \frac{5R_1}{2} \times \frac{4}{5t_1} = 2 \frac{R_1}{t_1}$ है।
$R_1 = \frac{mv_0}{qB_1}$ और $t_1 = \frac{\pi m}{qB_1}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $v_{avg} = 2 \frac{mv_0/qB_1}{\pi m/qB_1} = 2 \frac{v_0}{\pi}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $v_0 = \pi \text{ m s}^{-1}$ दिया गया है,औसत चाल $v_{avg} = 2 \frac{\pi}{\pi} = 2 \text{ m s}^{-1}$ है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि कण को $V$ विभव द्वारा त्वरित किया जाता है,इसलिए गतिज ऊर्जा $K = qV$ होती है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$r = \frac{\sqrt{2mqV}}{qB} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$ प्राप्त होता है।
$\alpha$-कण के लिए: $m_\alpha = 4 \text{ amu}$,$q_\alpha = 2e$.
सल्फर आयन के लिए: $m_s = 32 \text{ amu}$,$q_s = 1e$.
त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_s}{r_\alpha} = \frac{\sqrt{m_s/q_s}}{\sqrt{m_\alpha/q_\alpha}} = \sqrt{\frac{m_s}{m_\alpha} \cdot \frac{q_\alpha}{q_s}}$ है।
मान रखने पर: $\frac{r_s}{r_\alpha} = \sqrt{\frac{32}{4} \cdot \frac{2}{1}} = \sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16} = 4$.

(C) प्रारंभिक वेग $\vec{u}_1 = 4\hat{i} \text{ m/s}$ है। अंतिम वेग $\vec{u}_2 = 2\sqrt{3}\hat{i} + 2\hat{j} \text{ m/s}$ है।
चूंकि चुंबकीय बल वेग के लंबवत होता है,इसलिए गति स्थिर रहती है: $|\vec{u}_1| = |\vec{u}_2| = 4 \text{ m/s}$।
विचलन कोण $\theta$ का मान $\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $\theta = 30^\circ = \frac{\pi}{6} \text{ rad}$।
कण $+y$ दिशा में विक्षेपित होता है,जिसका अर्थ है कि चुंबकीय बल $\vec{F} = Q(\vec{v} \times \vec{B})$ का $y$-घटक धनात्मक है। यदि $\vec{v}$ $x$-दिशा में है,तो $\hat{i} \times \vec{B}$ का $j$-घटक धनात्मक होना चाहिए,जो तब होता है जब $\vec{B}$ $-z$ दिशा में हो।
चाप को पार करने में लगा समय $t = \frac{\theta}{\omega} = \frac{\theta M}{QB}$ है।
दिया गया है $t = 10 \text{ ms} = 0.01 \text{ s}$,इसलिए $0.01 = \frac{\pi/6 \cdot M}{QB}$।
$B$ के लिए हल करने पर: $B = \frac{\pi M}{6 \cdot 0.01 \cdot Q} = \frac{100\pi M}{6Q} = \frac{50\pi M}{3Q}$।
अतः,कथन $(A)$ और $(C)$ सही हैं।

(D) आयन को $V$ विभव के माध्यम से त्वरित किया जाता है,इसलिए इसकी गतिज ऊर्जा $K = qV = \frac{1}{2}mv^2$ है। संवेग $p = \sqrt{2mqV}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में,आयन $R = \frac{p}{qB} = \frac{\sqrt{2mqV}}{qB} = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mV}{q}}$ त्रिज्या के अर्ध-वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है।
आयन डिटेक्टर से $x = 2R = \frac{2}{B}\sqrt{\frac{2mV}{q}}$ दूरी पर टकराता है।
दिया गया है $m = A_M \times (5/3) \times 10^{-27} \text{ kg}$,$V = 192 \text{ V}$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$,$B = 0.1 \text{ T}$.
$(A)$ $H^{+}$ $(A_M = 1)$ के लिए: $x = \frac{2}{0.1}\sqrt{\frac{2 \times (5/3) \times 10^{-27} \times 192}{1.6 \times 10^{-19}}} = 20 \times \sqrt{400 \times 10^{-8}} = 4 \text{ cm}$। अतः $(A)$ सही है।
$(B)$ $A_M = 144$ के लिए: $x = 4 \text{ cm} \times \sqrt{144} = 4 \times 12 = 48 \text{ cm}$। अतः $(B)$ सही है।
$(C)$ $A_M = 1$ के लिए,$x_0 = 4 \text{ cm}$। $A_M = 196$ के लिए,$x_1 = 4 \text{ cm} \times \sqrt{196} = 4 \times 14 = 56 \text{ cm}$। ऊंचाई $x_1 - x_0 = 56 - 4 = 52 \text{ cm}$ है। अतः $(C)$ सही है।
$(D)$ $A_M = 196$ के लिए,$R = x/2 = 56/2 = 28 \text{ cm}$। अतः $(D)$ गलत है।

(D) चुंबकीय बल वृत्तीय गति के लिए अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $F_m = F_c \Rightarrow evB = \frac{mv^2}{r} \Rightarrow mv = eBr$.
कोणीय संवेग के लिए बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार: $mvr = \frac{nh}{2\pi}$.
क्वांटाइजेशन शर्त में $mv = eBr$ को प्रतिस्थापित करने पर: $(eBr)r = \frac{nh}{2\pi} \Rightarrow er^2B = \frac{nh}{2\pi}$.
$r$ के लिए हल करने पर: $r = \sqrt{\frac{nh}{2\pi eB}}$.
पहली उत्तेजित अवस्था के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 2$ है।
इस समीकरण में $n = 2$ रखने पर: $r = \sqrt{\frac{2h}{2\pi eB}} = \sqrt{\frac{h}{\pi eB}}$.

(A) जब प्रोटॉन बिना विचलन के गति करता है,तो विद्युत बल और चुंबकीय बल बराबर होते हैं: $eE = evB$,जिससे $E = vB$ या $B = E/v$ प्राप्त होता है।
जब विद्युत क्षेत्र को बंद कर दिया जाता है,तो प्रोटॉन चुंबकीय क्षेत्र के कारण $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर गति करता है: $R = \frac{mv}{eB}$.
त्रिज्या के सूत्र में $B = E/v$ प्रतिस्थापित करने पर: $R = \frac{mv}{e(E/v)} = \frac{mv^2}{eE}$.
$E$ के लिए हल करने पर: $E = \frac{mv^2}{eR}$.
दिया गया है: $m = 1.6 \times 10^{-27} \text{ kg}$,$v = 2 \times 10^5 \text{ ms}^{-1}$,$R = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
$E = \frac{(1.6 \times 10^{-27}) \times (2 \times 10^5)^2}{(1.6 \times 10^{-19}) \times 0.02} = \frac{1.6 \times 10^{-27} \times 4 \times 10^{10}}{1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^{-2}} = \frac{4 \times 10^{-17}}{2 \times 10^{-21}} = 2 \times 10^4 \text{ N/C}$.
इसे $x \times 10^4 \text{ N/C}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
इलेक्ट्रॉन के स्थिर वेग के साथ सीधी रेखा में गति करने के लिए,उस पर लगने वाला कुल चुंबकीय बल शून्य होना चाहिए,अर्थात $\vec{F} = 0$.
चूंकि $\vec{F} = qvB \sin \theta$,$\vec{F} = 0$ के लिए,वेग सदिश $\vec{v}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के बीच का कोण $\theta$,$0^\circ$ या $180^\circ$ होना चाहिए।
इसका तात्पर्य यह है कि चुंबकीय क्षेत्र को इलेक्ट्रॉन के वेग की दिशा के समानांतर या प्रति-समानांतर होना चाहिए।
इसलिए,अभिकथन $(A)$ और कारण $(R)$ दोनों सही हैं,और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(D) तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} (-\hat{k})$ है।
जैसे-जैसे कण गति करता है,उस पर चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ कार्य करता है। चूंकि चुंबकीय बल हमेशा वेग के लंबवत होता है,इसलिए गति $v_0$ स्थिर रहती है।
मान लीजिए वेग $\vec{v} = -v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ है। बल $\vec{F} = q(-v_x \hat{i} + v_y \hat{j}) \times \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} (-\hat{k}) = \frac{\mu_0 I q}{2 \pi r} (-v_x \hat{j} - v_y \hat{i})$ है।
त्वरण के घटक $a_x = -\frac{\mu_0 I q}{2 \pi m r} v_y$ और $a_y = -\frac{\mu_0 I q}{2 \pi m r} v_x$ हैं।
$\frac{v_x dv_x}{dr} = a_x = -\frac{\mu_0 I q}{2 \pi m r} v_y$ और $v_y = \sqrt{v_0^2 - v_x^2}$ का उपयोग करने पर,हमें $\int_{0}^{v_0} \frac{v_x dv_x}{\sqrt{v_0^2 - v_x^2}} = -\frac{\mu_0 I q}{2 \pi m} \int_{a}^{x_1} \frac{dr}{r}$ प्राप्त होता है।
इसे हल करने पर $v_0 = \frac{\mu_0 I q}{2 \pi m} \ln(\frac{a}{x_1})$ मिलता है,इसलिए $x_1 = a e^{-\frac{2 \pi m v_0}{\mu_0 I q}}$।
समरूपता के कारण,कण $x = x_1 e^{-\frac{2 \pi m v_0}{\mu_0 I q}} = a e^{-\frac{4 \pi m v_0}{\mu_0 I q}}$ दूरी पर वापस मुड़ जाता है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लंबवत गति करने वाले आवेशित कण की वक्रता त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $p$ संवेग है और $q$ आवेश का परिमाण है।
अभिकथन $A$ के लिए: दोनों आयनों का संवेग $p$ समान है। अतः,$r \propto \frac{1}{q}$। $O^{-2}$ का आवेश $2e$ है और $H^{+}$ का $1e$ है,इसलिए $O^{-2}$ के लिए वक्रता त्रिज्या $r_{O} = \frac{p}{2eB}$ और $H^{+}$ के लिए $r_{H} = \frac{p}{eB}$ है। चूँकि $r_{O} < r_{H}$ है,इसलिए $O^{-2}$ की वक्रता (जो $\frac{1}{r}$ है) $H^{+}$ से अधिक है। अतः,अभिकथन $A$ असत्य है।
कारण $R$ के लिए: समान संवेग $p$ वाले प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन के लिए,वक्रता त्रिज्या $r = \frac{p}{qB}$ है। चूँकि दोनों का आवेश $e$ समान है,इसलिए उनकी वक्रता त्रिज्या समान होगी $(r_{p} = r_{e} = \frac{p}{eB})$। अतः,कारण $R$ असत्य है।

(A) दिया गया है:
आवेश $q = 1.6 \ \mu C = 1.6 \times 10^{-6} \ C$
द्रव्यमान $m = 16 \ \mu g = 16 \times 10^{-9} \ kg$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 6.28 \ T$
चूंकि कण को चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत प्रक्षेपित किया जाता है,इसलिए यह एकसमान वृत्तीय गति करेगा।
एक पूर्ण चक्कर के लिए आवर्तकाल $T$ का सूत्र है:
$T = \frac{2 \pi m}{qB}$
मान रखने पर:
$T = \frac{2 \times 3.14 \times 16 \times 10^{-9}}{1.6 \times 10^{-6} \times 6.28}$
$T = \frac{6.28 \times 16 \times 10^{-9}}{1.6 \times 10^{-6} \times 6.28}$
$T = \frac{16 \times 10^{-9}}{1.6 \times 10^{-6}}$
$T = 10 \times 10^{-3} \ s = 0.01 \ s$
अतः,मूल स्थान पर लौटने के लिए आवश्यक समय $0.01 \ s$ है।

(D) चूँकि वेग $\vec{v}$ चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के लंबवत है,इसलिए आवेशित कण $R = \frac{mv}{qB}$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार पथ पर गति करता है।
क्षेत्र $2$ में,कण $R_2 = \frac{mv}{qB_2}$ त्रिज्या का एक अर्धवृत्त पूरा करता है और बिंदु $D$ पर इंटरफ़ेस पर वापस आ जाता है। दूरी $AD = 2R_2 = \frac{2mv}{qB_2}$ है।
इसके बाद,कण क्षेत्र $1$ में प्रवेश करता है और $R_1 = \frac{mv}{qB_1}$ त्रिज्या का एक अर्धवृत्त पूरा करता है और बिंदु $C$ पर इंटरफ़ेस पर वापस आ जाता है। दूरी $AC = 2R_1 = \frac{2mv}{qB_1}$ है।
इंटरफ़ेस पर कुल विस्थापन प्रारंभिक बिंदु $A$ और अंतिम बिंदु $C$ के बीच की दूरी है। इंटरफ़ेस पर कण का विस्थापन $AC = 2R_1 - 2R_2 = \frac{2mv}{qB_1} - \frac{2mv}{qB_2} = \frac{2mv}{qB_1} \left(1 - \frac{B_1}{B_2}\right)$ होगा।

(D) चुंबकीय बल वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$\frac{mv^2}{r} = qvB$
$mv = qBr$
$r = \frac{mv}{qB}$
चूंकि गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$ है।
$r$ के व्यंजक में $v$ का मान रखने पर:
$r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2E}{m}} = \frac{\sqrt{2mE}}{qB}$
इस प्रकार,$r = \left( \frac{\sqrt{2m}}{qB} \right) \sqrt{E}$
यह दर्शाता है कि $r \propto \sqrt{E}$.
$r$ बनाम $E$ का ग्राफ $E$-अक्ष की ओर खुलने वाला एक परवलय है,जो ग्राफ $D$ के अनुरूप है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के लिए वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ होती है,जहाँ $K$ गतिज ऊर्जा है।
इससे,$K = \frac{r^2 q^2 B^2}{2m}$,जिसका अर्थ है $K \propto \frac{q^2 r^2}{m}$।
$\alpha$-कण के लिए,$q_{\alpha} = 2e$ और $m_{\alpha} = 4m_p$। प्रोटॉन के लिए,$q_p = e$ और $m_p = m_p$।
दिया गया है $K_{\alpha} = 1 \text{ MeV}$ और $r_{\alpha} = r$,हमें $r_p = 2r$ के लिए $K_p$ ज्ञात करना है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{K_{\alpha}}{K_p} = \frac{q_{\alpha}^2 r_{\alpha}^2}{m_{\alpha}} \times \frac{m_p}{q_p^2 r_p^2}$।
मान रखने पर: $\frac{1}{K_p} = \frac{(2e)^2 (r)^2}{4m_p} \times \frac{m_p}{e^2 (2r)^2} = \frac{4e^2 r^2}{4m_p} \times \frac{m_p}{4e^2 r^2} = \frac{1}{4}$।
अतः,$K_p = 4 \text{ MeV}$।

(C) वेग सदिश $y$-अक्ष (चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ की दिशा) के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाता है। चूंकि वेग का एक घटक चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर है,इसलिए प्रोटॉन का पथ एक हेलिक्स (कुंडलिनी) होगा।
हेलिकल पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv_{\perp}}{qB} = \frac{mv \sin(30^{\circ})}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $m = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$,$v = 2 \times 10^6 \ m/s$,$\sin(30^{\circ}) = 0.5$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,और $B = 0.104 \ T$.
$r = \frac{1.67 \times 10^{-27} \times 2 \times 10^6 \times 0.5}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.104} \approx 0.1 \ m$.
हेलिकल गति का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi m}{qB}$ है।
$T = \frac{2 \times \pi \times 1.67 \times 10^{-27}}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.104} \approx 2\pi \times 10^{-7} \ s$.
अतः,पथ $0.1 \ m$ त्रिज्या और $2\pi \times 10^{-7} \ s$ आवर्तकाल वाला एक हेलिक्स है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि प्रोटॉन $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित होता है,इसकी गतिज ऊर्जा $K = qV = \frac{1}{2}mv^2$ है,जिससे $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या के सूत्र में $v$ का मान रखने पर,$r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $V = 500 \times 10^3 \ V$,$B = 0.5 \ T$,$m = 1.6 \times 10^{-27} \ kg$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,और $d = 0.1 \ m$ दिया गया है।
$r = \frac{1}{0.5} \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-27} \times 500 \times 10^3}{1.6 \times 10^{-19}}} = 2 \sqrt{\frac{2 \times 10^{-24} \times 500 \times 10^3}{10^{-19}}} = 2 \sqrt{1000 \times 10^{-2}} = 2 \sqrt{10} \approx 0.2 \ m$.
पथ की ज्यामिति से,$\sin \theta = \frac{d}{r} = \frac{0.1}{0.2} = 0.5$.
अतः,$\theta = \arcsin(0.5) = 30^{\circ}$।

(B) चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ में $\overrightarrow{v}$ वेग से गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$।
इलेक्ट्रॉन के लिए,आवेश $q = -e$ है।
इलेक्ट्रॉन का वेग $\overrightarrow{v} = v_x \hat{i}$ है और चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B} = B_y \hat{j}$ है।
इन मानों को बल के समीकरण में रखने पर:
$\overrightarrow{F} = -e(v_x \hat{i} \times B_y \hat{j})$
$\overrightarrow{F} = -e v_x B_y (\hat{i} \times \hat{j})$
चूंकि $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,हमें $\overrightarrow{F} = -e v_x B_y \hat{k}$ प्राप्त होता है।
बल हमेशा वेग और चुंबकीय क्षेत्र दोनों के लंबवत होता है। चूंकि वेग $x$-दिशा में है और चुंबकीय क्षेत्र $y$-दिशा में है,इसलिए बल $z$-दिशा में (इलेक्ट्रॉन के लिए $-z$ दिशा में) कार्य करता है। कण चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत समतल में,यानी $xz$-समतल में वृत्ताकार गति करेगा।

(C) $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाले कण के लिए जो चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति कर रहा है,वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
बोहर के क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ है।
क्वांटाइजेशन शर्त में $r = \frac{mv}{qB}$ रखने पर: $mv \left( \frac{mv}{qB} \right) = \frac{nh}{2\pi}$।
इसे सरल करने पर $\frac{m^2 v^2}{qB} = \frac{nh}{2\pi}$ प्राप्त होता है,जिससे $mv^2 = \frac{nhqB}{2\pi m}$ मिलता है।
गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2} mv^2$ द्वारा दी जाती है।
$mv^2$ का मान रखने पर: $E = \frac{1}{2} \left( \frac{nhqB}{2\pi m} \right) = \frac{nhqB}{4\pi m}$।

(A) बोहर के क्वांटाइजेशन प्रतिबंध के अनुसार,कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2 \pi}$ होता है।
अतः,$vr = \frac{nh}{2 \pi m} \dots (i)$.
चुंबकीय क्षेत्र में वृत्ताकार पथ पर गति करने वाले कण के लिए,चुंबकीय बल अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $qvB = \frac{mv^2}{r}$.
इसे सरल करने पर $mv = qBr$,या $v = \frac{qBr}{m} \dots (ii)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(ii)$ से $v$ का मान $(i)$ में रखने पर,$(\frac{qBr}{m})r = \frac{nh}{2 \pi m}$,जिसका अर्थ है $r^2 = \frac{nh}{2 \pi qB}$.
गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2$ है। चूंकि $mv = qBr$,इसलिए $E = \frac{1}{2}m(\frac{qBr}{m})^2 = \frac{q^2 B^2 r^2}{2m}$.
ऊर्जा के समीकरण में $r^2$ का मान रखने पर: $E = \frac{q^2 B^2}{2m} \times \frac{nh}{2 \pi qB} = \frac{nhqB}{4 \pi m}$.

(D) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गतिमान आवेश $q$ पर लगने वाला चुंबकीय बल $F$,लोरेंत्ज़ बल सूत्र $F = q(v \times B)$ द्वारा दिया जाता है।
प्रोटॉन,कैथोड किरणें (इलेक्ट्रॉन) और अल्फा कण सभी आवेशित कण हैं। इसलिए,जब वे चुंबकीय क्षेत्र से गुजरते हैं तो वे चुंबकीय बल का अनुभव करते हैं और विक्षेपित हो जाते हैं।
न्यूट्रॉन विद्युत रूप से उदासीन कण होते हैं,जिसका अर्थ है कि उनका आवेश $q = 0$ है।
चूंकि आवेश शून्य है,इसलिए चुंबकीय बल $F = 0 \times (v \times B) = 0$ होता है।
अतः,न्यूट्रॉन चुंबकीय क्षेत्र द्वारा विक्षेपित नहीं हो सकते हैं।

(B) $V$ विभवांतर के माध्यम से त्वरित इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा इस प्रकार है:
$KE = eV = \frac{1}{2} mv^2$
इससे,इलेक्ट्रॉन का वेग $v$ है:
$v = \sqrt{\frac{2 eV}{m}}$
जब कोई आवेशित कण अपने वेग के लंबवत चुंबकीय क्षेत्र $B$ में प्रवेश करता है,तो वह $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर चलता है,जिसका सूत्र है:
$R = \frac{mv}{eB}$
$v$ का मान $R$ के व्यंजक में रखने पर:
$R = \frac{m}{eB} \sqrt{\frac{2 eV}{m}} = \frac{1}{eB} \sqrt{m^2 \cdot \frac{2 eV}{m}} = \frac{1}{eB} \sqrt{2 Vme} = \sqrt{\frac{2 Vme}{e^2 B^2}} = \sqrt{\frac{2 Vm}{eB^2}}$

(A) चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में $\vec{V}$ वेग से गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F}$ लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{F} = q(\vec{V} \times \vec{B})$.
यहाँ $\vec{V} = a \hat{i}$ और $\vec{B} = b \hat{j} + c \hat{k}$ दिया गया है।
सदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{V} \times \vec{B} = (a \hat{i}) \times (b \hat{j} + c \hat{k}) = ab(\hat{i} \times \hat{j}) + ac(\hat{i} \times \hat{k})$.
इकाई सदिश गुणनफल के नियमों $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ और $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\vec{V} \times \vec{B} = ab \hat{k} - ac \hat{j}$.
अतः,$\vec{F} = q(ab \hat{k} - ac \hat{j})$.
बल का परिमाण $|\vec{F}| = q \sqrt{(ab)^2 + (-ac)^2} = q \sqrt{a^2b^2 + a^2c^2} = qa \sqrt{b^2 + c^2}$ है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से गति कर रहे एक आवेशित कण पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F = qvB \sin \theta$,जहाँ $\theta$ वेग सदिश और चुंबकीय क्षेत्र सदिश के बीच का कोण है।
चूंकि आवेशित कण चुंबकीय क्षेत्र रेखा के अनुदिश गति कर रहा है,इसलिए इसके वेग और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 0^{\circ}$ है।
इस मान को बल के समीकरण में रखने पर: $F = qvB \sin 0^{\circ}$.
चूंकि $\sin 0^{\circ} = 0$,इसलिए चुंबकीय बल $F = 0$ होता है।

(D) चुंबकीय लॉरेंज बल वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $F = qvB = \frac{mv^2}{R}$.
इससे,त्रिज्या $R = \frac{mv}{qB}$ प्राप्त होती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए $mv = \sqrt{2mK}$ होगा।
इस मान को त्रिज्या के सूत्र में रखने पर: $R = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$.
यह दर्शाता है कि $R \propto \sqrt{K}$ है।
यदि ऊर्जा दोगुनी कर दी जाए $(K' = 2K)$,तो नई त्रिज्या $R'$ होगी:
$\frac{R'}{R} = \sqrt{\frac{K'}{K}} = \sqrt{\frac{2K}{K}} = \sqrt{2}$.
अतः,$R' = \sqrt{2}R$.

(A) जब एक आवेशित कण एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में लंबवत प्रवेश करता है,तो वह एक वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है।
इस पथ की त्रिज्या इस प्रकार दी जाती है:
$R = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$
जहाँ $K$ कण की गतिज ऊर्जा है।
चूंकि कण $V$ विभवांतर के माध्यम से त्वरित होता है,इसलिए इसकी गतिज ऊर्जा $K = qV$ है।
इसे त्रिज्या के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$R = \frac{\sqrt{2m(qV)}}{qB} = \frac{\sqrt{2mqV}}{qB}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$R^2 = \frac{2mqV}{q^2 B^2} = \frac{2mV}{qB^2}$
चूंकि त्रिज्या $r$ दी गई है,हमारे पास $r^2 = \frac{2mV}{qB^2}$ है।
द्रव्यमान $m$ के लिए हल करने पर:
$m = \frac{r^2 q B^2}{2V}$

(B) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के लिए,चुंबकीय लोरेंत्ज़ बल वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$qvB = \frac{mv^2}{R}$
$\therefore R = \frac{mv}{qB}$ ... $(i)$
यहाँ नई चाल $v' = \frac{v}{2}$ और नया चुंबकीय क्षेत्र $B' = 2B$ दिया गया है।
नई त्रिज्या $R'$ इस प्रकार होगी:
$R' = \frac{mv'}{qB'} = \frac{m(v/2)}{q(2B)}$
$R' = \frac{mv}{4qB}$
समीकरण $(i)$ को $R'$ के व्यंजक में रखने पर:
$R' = \frac{R}{4}$

(C) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में गति करने वाले आवेशित कण की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{mv}{qB}$ है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए $mv = \sqrt{2mK}$ होता है।
इस मान को त्रिज्या के सूत्र में रखने पर,$r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $r \propto \sqrt{K}$ है।
माना प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = K$ और प्रारंभिक त्रिज्या $R_1 = R$ है।
माना नई गतिज ऊर्जा $K_2 = 3K$ और नई त्रिज्या $R_2$ है।
समानुपातिकता $r \propto \sqrt{K}$ का उपयोग करने पर,$\frac{R_2}{R_1} = \sqrt{\frac{K_2}{K_1}}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$\frac{R_2}{R} = \sqrt{\frac{3K}{K}} = \sqrt{3}$।
अतः,नई त्रिज्या $R_2 = \sqrt{3} \cdot R$ होगी।

(D) जब कोई आवेशित कण लंबवत चुंबकीय क्षेत्र में गति करता है, तो वह एकसमान वृत्तीय गति करता है।
चुंबकीय बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $\frac{mv^2}{R} = qvB$.
इसे सरल करने पर $v = \frac{qBR}{m}$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा $E$ इस प्रकार है: $E = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m \left(\frac{qBR}{m}\right)^2 = \frac{q^2B^2R^2}{2m}$.
चूंकि $q$, $m$, और $R$ स्थिर हैं, इसलिए $E \propto B^2$ है।
यदि चुंबकीय क्षेत्र $B$ को $4$ गुना बढ़ा दिया जाए $(B' = 4B)$, तो नई गतिज ऊर्जा $E'$ होगी:
$E' \propto (4B)^2 = 16B^2$.
अतः, $E' = 16E$। गतिज ऊर्जा $16$ गुना बढ़ जाएगी।

(C) इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mv^2 = eV$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है कि वेग $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$ है।
इलेक्ट्रॉनों द्वारा अनुभव किया गया चुंबकीय बल $F = evB = eB\sqrt{\frac{2eV}{m}}$ है।
यह दर्शाता है कि $F \propto \sqrt{V}$ है।
दिया गया है कि जब विभव $V^{\prime}$ होता है तो नया बल $F^{\prime} = 2F$ होता है,इसलिए $\frac{F^{\prime}}{F} = \sqrt{\frac{V^{\prime}}{V}}$।
मान रखने पर,$2 = \sqrt{\frac{V^{\prime}}{V}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4 = \frac{V^{\prime}}{V}$,जिसका अर्थ है कि $V^{\prime} = 4V$।
अतः,अनुपात $\frac{V}{V^{\prime}} = \frac{V}{4V} = \frac{1}{4}$ है।

(D) एक स्थिर विद्युत आवेश अपने चारों ओर के स्थान में एक विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है।
जब कोई विद्युत आवेश समान वेग से गति करता है,तो यह विद्युत धारा का निर्माण करता है।
ओर्स्टेड के प्रयोग के अनुसार,विद्युत धारा अपने आसपास के स्थान में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है।
चूंकि आवेश गतिमान है,इसलिए यह अपने अंतर्निहित विद्युत क्षेत्र को बनाए रखता है और साथ ही अपनी गति के कारण चुंबकीय क्षेत्र भी उत्पन्न करता है।
अतः,समान वेग से गति करने वाला आवेश विद्युत और चुंबकीय दोनों क्षेत्र उत्पन्न करता है।

(B) एक आवेशित कण पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बल हमेशा वेग सदिश $\vec{v}$ के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय बल द्वारा किया गया कार्य $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int \vec{F} \cdot \vec{v} dt = 0$ होता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन किए गए कार्य के बराबर होता है,इसलिए गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।
हालाँकि,चूंकि गति के दौरान वेग सदिश की दिशा लगातार बदलती रहती है,इसलिए संवेग $\vec{p} = m\vec{v}$ बदल जाता है।
इसलिए,संवेग बदल जाता है जबकि गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।

(D) जब $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाला एक आवेशित कण एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लंबवत वृत्ताकार पथ में गति करता है,तो चुंबकीय लोरेंत्ज़ बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
$qvB = \frac{mv^2}{r}$
इससे,पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ होती है।
आवर्तकाल $T$ एक पूर्ण वृत्त को पूरा करने में लगा समय है,जो परिधि और वेग का अनुपात है:
$T = \frac{2 \pi r}{v} = \frac{2 \pi (mv/qB)}{v} = \frac{2 \pi m}{qB}$.
सूत्र $T = \frac{2 \pi m}{qB}$ से देखा जा सकता है कि आवर्तकाल $T$ केवल द्रव्यमान $m$,आवेश $q$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ पर निर्भर करता है।
यह आवेश के वेग $v$ से स्वतंत्र है।

(D) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गतिमान $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाले कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $F = Bqv$ द्वारा दिया जाता है।
जब एक इलेक्ट्रॉन को $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित किया जाता है,तो उसकी गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mv^2 = eV$ होती है।
इससे,वेग $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$ प्राप्त होता है।
इस मान को बल के समीकरण में रखने पर,$F = B e \sqrt{\frac{2eV}{m}} = B e \sqrt{\frac{2e}{m}} \sqrt{V}$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $F \propto \sqrt{V}$ है।
यदि विभवांतर को बढ़ाकर $2V$ कर दिया जाए,तो नया बल $F' \propto \sqrt{2V}$ होगा।
अतः,$\frac{F'}{F} = \frac{\sqrt{2V}}{\sqrt{V}} = \sqrt{2}$।
इस प्रकार,$F' = \sqrt{2}F$।

(B) $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाला एक आवेशित कण जब एक समान लंबवत चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति करता है,तो उसकी वक्रता त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{mv}{Bq} = \frac{p}{Bq}$ होता है।
यहाँ,$p$ आवेशित कण का संवेग है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन दोनों के लिए संवेग $p$ समान है और चुंबकीय क्षेत्र $B$ भी समान है,इसलिए वक्रता त्रिज्या केवल कण के आवेश $q$ पर निर्भर करती है।
इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन दोनों के आवेश का परिमाण समान $(|q_e| = |q_p| = e)$ होता है।
इसलिए,$r_e = \frac{p}{Be}$ और $r_p = \frac{p}{Be}$,जिसका अर्थ है कि $r_e = r_p$ है।
अतः,परिक्रमण की दिशा (वक्रता की दिशा) को छोड़ दें तो,दोनों कण समान त्रिज्या वाले वक्र पथ पर गति करेंगे।

(D) एक वृत्ताकार धारा-वाही लूप द्वारा उसकी अक्ष पर किसी भी बिंदु पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र लूप की अक्ष की दिशा में होता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन को उसी अक्ष के अनुदिश प्रक्षेपित किया जाता है,इसलिए उसका वेग सदिश $\vec{v}$,चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के समानांतर या प्रति-समानांतर होता है।
अतः,वेग और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta$ या तो $0^{\circ}$ है या $180^{\circ}$ है।
गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल लोरेन्ज बल सूत्र $F = qvB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = 0^{\circ}$ या $180^{\circ}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sin(0^{\circ}) = 0$ या $\sin(180^{\circ}) = 0$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$F = 0$। इलेक्ट्रॉन कोई बल अनुभव नहीं करेगा।

(B) गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल $\overrightarrow{F} = q_0(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बल $\overrightarrow{F}$ हमेशा वेग सदिश $\overrightarrow{v}$ के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय बल द्वारा आवेश पर किया गया कार्य शून्य होता है $(W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d} = 0)$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन किए गए कार्य के बराबर होता है,जिसका अर्थ है कि गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए स्थिर गतिज ऊर्जा का अर्थ है कि आवेश की चाल $v$ समय के साथ स्थिर रहती है।
अतः,एक सेकंड के बाद $q_0$ की चाल $v$ ही रहेगी।

(C) जब $q$ आवेश और $M$ द्रव्यमान का एक कण $V$ विभवांतर से त्वरित होता है,तो उसकी गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} M v^{2} = qV$ होती है।
अतः,वेग $v = \sqrt{\frac{2qV}{M}}$ है।
जब यह कण अपने वेग के लंबवत एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में प्रवेश करता है,तो यह $R = \frac{Mv}{qB}$ त्रिज्या का एक वृत्ताकार पथ बनाता है।
$v$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $R = \frac{M}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{M}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2MV}{q}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $q$,$V$ और $B$ दोनों कणों के लिए समान हैं,इसलिए $R \propto \sqrt{M}$,जिसका अर्थ है $R^{2} \propto M$।
इसलिए,$\frac{M_{A}}{M_{B}} = \left(\frac{R_{A}}{R_{B}}\right)^{2}$।

(D) चुंबकीय बल वृत्ताकार गति के लिए अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $Bqv = \frac{mv^2}{R}$,जिसे सरल करने पर $R = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}$ प्राप्त होता है,जहाँ $p$ संवेग है।
चूँकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$ है,इसलिए $p = \sqrt{2mK}$ होगा।
इस मान को त्रिज्या के सूत्र में रखने पर: $R = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$।
यह दर्शाता है कि $R \propto \sqrt{K}$ है।
दिया गया है कि नई गतिज ऊर्जा $K_2 = 3K_1$ है,अतः नई त्रिज्या $R_2$ और मूल त्रिज्या $R_1$ के बीच संबंध:
$\frac{R_2}{R_1} = \sqrt{\frac{K_2}{K_1}} = \sqrt{3}$।
इसलिए,$R_2 = \sqrt{3} R$।

(B) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से गति कर रहे एक आवेशित कण पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F$,लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F = q(v \times B) = qvB \sin \theta$,जहाँ $\theta$ वेग सदिश और चुंबकीय क्षेत्र सदिश के बीच का कोण है।
चूंकि कण चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर गति कर रहा है,इसलिए कोण $\theta = 0^{\circ}$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $F = qvB \sin(0^{\circ}) = qvB(0) = 0$.
अतः,कण पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल शून्य है।

(D) $V$ विभव द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K = eV = \frac{1}{2}mv^2$ होती है। अतः,वेग $v$,$\sqrt{V}$ के समानुपाती है।
चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $F = qvB \sin \theta$ होता है। यदि कोण $\theta$ स्थिर रहे,तो $F \propto v$ होता है।
चूंकि $v \propto \sqrt{V}$,इसलिए $F \propto \sqrt{V}$ होगा।
दिया गया है कि $F_{1} \propto \sqrt{V_{1}}$ और $F_{2} = 2F_{1} \propto \sqrt{V_{2}}$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{F_{2}}{F_{1}} = \frac{\sqrt{V_{2}}}{\sqrt{V_{1}}} = 2$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{V_{2}}{V_{1}} = 4$,जिसका अर्थ है कि $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{4}$।

(D) जब $q$ आवेश और $m$ द्रव्यमान वाले एक कण को $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित किया जाता है,तो उसकी गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mv^2 = qV$ होती है,जिसका अर्थ है $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$।
जब यह कण अपने वेग के लंबवत एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में प्रवेश करता है,तो वह $r = \frac{mv}{qB}$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है।
$v$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $q$,$V$ और $B$ दोनों कणों के लिए समान हैं,इसलिए $r \propto \sqrt{m}$,जिसका अर्थ है $r^2 \propto m$।
अतः,द्रव्यमानों का अनुपात $\frac{m_X}{m_Y} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$ है।

(A) लंबवत चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या का सूत्र $r = \frac{mv}{qB}$ होता है।
कण $a$ के लिए त्रिज्या $r_{a} = \frac{m_{a} v_{a}}{q B}$ है।
कण $b$ के लिए त्रिज्या $r_{b} = \frac{m_{b} v_{b}}{q B}$ है।
प्रश्न के अनुसार $r_{a} > r_{b}$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{m_{a} v_{a}}{q B} > \frac{m_{b} v_{b}}{q B}$.
चूंकि आवेश $q$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ दोनों कणों के लिए समान हैं,इसलिए उन्हें निरस्त किया जा सकता है।
अतः,$m_{a} v_{a} > m_{b} v_{b}$ प्राप्त होता है।

(B) जब $q$ आवेश और $m$ द्रव्यमान वाले एक आयन को $V$ विभवांतर के माध्यम से त्वरित किया जाता है,तो उसकी गतिज ऊर्जा $E = qV = \frac{1}{2}mv^2$ होती है। इससे,वेग $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$ प्राप्त होता है।
जब यह आयन अपनी गति के लंबवत चुंबकीय क्षेत्र $B$ में प्रवेश करता है,तो लॉरेंट्ज़ बल अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है,जिससे यह $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर गति करता है: $qvB = \frac{mv^2}{R}$।
बल समीकरण में $v$ का मान रखने पर: $qvB = \frac{m}{R} \left(\frac{2qV}{m}\right) = \frac{2qV}{R}$।
आवेश-द्रव्यमान अनुपात के लिए सरल करने पर: $R = \frac{mv}{qB}$।
त्रिज्या समीकरण में $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$ रखने पर: $R = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $R^2 = \frac{2mV}{qB^2}$।
$\frac{q}{m}$ अनुपात प्राप्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{q}{m} = \frac{2V}{R^2 B^2}$।
चूंकि $V$ और $B$ स्थिर हैं,इसलिए $\frac{q}{m} \propto \frac{1}{R^2}$।