Motion of Charged Particle In Magnetic Field Questions in Hindi

(C) विद्युत क्षेत्र $E$ के कारण इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $F_E = eE$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ के कारण इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $F_B = evB$ है।
इलेक्ट्रॉन के बिना विक्षेपित हुए गति करने के लिए,ये दोनों बल समान और विपरीत होने चाहिए:
$eE = evB \implies v = \frac{E}{B}$।
संधारित्र की प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
इस मान को वेग के समीकरण में रखने पर,हमें $v = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 B}$ प्राप्त होता है।
$\ell$ दूरी तय करने में लिया गया समय $t = \frac{\ell}{v}$ है।
$v$ का मान रखने पर,हमें $t = \frac{\ell}{\frac{\sigma}{\varepsilon_0 B}} = \frac{\varepsilon_0 \ell B}{\sigma}$ प्राप्त होता है।

(A) इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K = 10 \; eV = 10 \times 1.6 \times 10^{-19} \; J = 1.6 \times 10^{-18} \; J$ है।
$K = \frac{1}{2}mv^2$ का उपयोग करके, हम वेग $v = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-18}}{9.1 \times 10^{-31}}} \approx 1.876 \times 10^6 \; m/s$ प्राप्त करते हैं।
चुंबकीय बल अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $qvB = \frac{mv^2}{r}$।
अतः, त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$।
मान रखने पर: $r = \frac{(9.1 \times 10^{-31} \; kg) \times (1.876 \times 10^6 \; m/s)}{(1.6 \times 10^{-19} \; C) \times (10^{-4} \; T)}$।
$r \approx 0.1067 \; m \approx 10.67 \; cm \approx 11 \; cm$।

(D) जब कोई आवेशित कण अपने वेग के लंबवत एक समान चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है,तो वह एकसमान वृत्तीय गति करता है।
चुंबकीय बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $qvB = \frac{mv^2}{r}$.
इससे,कक्षा की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ प्राप्त होती है।
आवर्तकाल $T$ एक पूर्ण वृत्त पूरा करने में लगा समय है: $T = \frac{2\pi r}{v}$.
$r$ का मान रखने पर: $T = \frac{2\pi (mv/qB)}{v} = \frac{2\pi m}{qB}$.
इस प्रकार,आवर्तकाल $T$ वेग $v$ और त्रिज्या $r$ से स्वतंत्र है,और यह केवल द्रव्यमान $m$,आवेश $q$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ पर निर्भर करता है। इसलिए,यह चुंबकीय क्षेत्र और कण के $(q/m)$ अनुपात पर निर्भर करता है।

(D) कुंडलिनी पथ की त्रिज्या $R = \frac{mv_{\perp}}{qB}$ द्वारा और पिच $p = \frac{2\pi m v_{\parallel}}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि कुंडलिनी पथ समान हैं,इसलिए दोनों कणों के लिए त्रिज्या $R$ और पिच $p$ समान होनी चाहिए।
इसका अर्थ है कि दोनों कणों के लिए $|\frac{q}{m}|$ अनुपात का मान समान होना चाहिए।
चूंकि कण पूरी तरह से विपरीत दिशा में चलते हैं,इसलिए एक कण धनावेशित और दूसरा ऋणावेशित होना चाहिए।
अतः,$\frac{q_1}{m_1} = -\frac{q_2}{m_2}$,जो $(\frac{q}{m})_1 + (\frac{q}{m})_2 = 0$ की ओर ले जाता है।

(B) जब कोई आवेशित कण एकसमान चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करता है,तो वह वृत्ताकार पथ पर चलता है।
वृत्ताकार गति का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi m}{qB}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$m = 1.65 \times 10^{-27}\, kg$,$q = 1.6 \times 10^{-19}\, C$,और $B = 100\, mT = 0.1\, T$ है।
$90^o$ का चाप तय करने में लगा समय कुल आवर्तकाल का एक-चौथाई होता है,अर्थात $t = \frac{T}{4} = \frac{2\pi m}{4qB} = \frac{\pi m}{2qB}$।
मान रखने पर: $t = \frac{3.14 \times 1.65 \times 10^{-27}}{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.1}$।
$t = \frac{5.181 \times 10^{-27}}{0.32 \times 10^{-19}} = 16.19 \times 10^{-8} = 1.619 \times 10^{-7}\, s$।
अतः,$t \approx 1.62 \times 10^{-7}\, s$ प्राप्त होता है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $m$,$v$,और $B$ दोनों आयनों के लिए समान हैं,इसलिए $r \propto \frac{1}{q}$ है।
मान लीजिए $q_1 = e$ (एकल-आयनित) और $q_2 = 2e$ (द्वि-आयनित)।
अतः,$\frac{r_1}{r_2} = \frac{q_2}{q_1} = \frac{2e}{e} = 2$।
इसका अर्थ है $r_1 = 2r_2$। अतः,कथन $(b)$ सही है।
चूंकि दोनों आयनों को एक ही बिंदु से समान वेग के साथ एक ही चुंबकीय क्षेत्र में प्रक्षेपित किया जाता है,उनके पथ ऐसे वृत्त होंगे जो प्रक्षेपण बिंदु से गुजरते हैं और उस बिंदु पर वेग सदिश के स्पर्शरेखीय होते हैं। जैसा कि चित्र में दिखाया गया है,दोनों वृत्त प्रक्षेपण बिंदु पर एक-दूसरे को स्पर्श करेंगे। अतः,कथन $(d)$ सही है।

(C) दिया गया है:
आवेश $q = 10\,\mu C = 10 \times 10^{-6}\, C$
द्रव्यमान $m = 1\,\mu g = 1 \times 10^{-9}\, kg$
त्रिज्या $r = 10\, cm = 0.1\, m$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.1\, T$
कण के स्थिर गति से स्पर्शरेखीय रूप से गति करने के लिए,उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए। इसका मतलब है कि विद्युत बल को चुंबकीय बल को संतुलित करना चाहिए:
$|\overrightarrow{F}_{m}| = |\overrightarrow{F}_{e}|$
$qvB = qE \Rightarrow E = vB$
चुंबकीय क्षेत्र में वृत्ताकार पथ की त्रिज्या के सूत्र से:
$r = \frac{mv}{qB} \Rightarrow v = \frac{qBr}{m}$
$E$ के व्यंजक में $v$ का मान रखने पर:
$E = \left(\frac{qBr}{m}\right) B = \frac{qB^{2}r}{m}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$E = \frac{(10 \times 10^{-6}) \times (0.1)^2 \times 0.1}{1 \times 10^{-9}}$
$E = \frac{10^{-5} \times 0.01 \times 0.1}{10^{-9}} = \frac{10^{-8}}{10^{-9}} = 10\, V/m$

(B) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में गति करने वाले आवेशित कण की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mE_K}}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
गतिज ऊर्जा $E_K$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$E_K = \frac{q^2 B^2 r^2}{2m}$ प्राप्त होता है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $B$ समान है,इसलिए $E_K \propto \frac{q^2 r^2}{m}$.
$\alpha$-कण के लिए: $q_{\alpha} = 2e$,$m_{\alpha} = 4m_p$ और त्रिज्या $r$ है।
प्रोटॉन के लिए: $q_p = e$,$m_p = m_p$ और त्रिज्या $2r$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{(E_K)_p}{(E_K)_{\alpha}} = \frac{q_p^2 r_p^2}{m_p} \times \frac{m_{\alpha}}{q_{\alpha}^2 r_{\alpha}^2}$.
मान रखने पर: $\frac{(E_K)_p}{1 \, MeV} = \frac{e^2 (2r)^2}{m_p} \times \frac{4m_p}{(2e)^2 r^2}$.
$\frac{(E_K)_p}{1 \, MeV} = \frac{4e^2 r^2}{m_p} \times \frac{4m_p}{4e^2 r^2} = 4$.
अतः,$(E_K)_p = 4 \, MeV$.

(D) विद्युत क्षेत्र $\vec E = E\hat i$ कण पर $\vec F_e = qE\hat i$ बल लगाता है,जिससे $x$-अक्ष पर त्वरण $a_x = \frac{qE}{m}$ उत्पन्न होता है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec B = B\hat i$ प्रारंभिक वेग $\vec v = v_0\hat j$ के समानांतर है। चूंकि जब वेग चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर होता है तो चुंबकीय बल $\vec F_m = q(\vec v \times \vec B) = 0$ होता है,इसलिए $y$-अक्ष पर वेग का घटक $v_y = v_0$ स्थिर रहता है।
$t$ समय पर,वेग के घटक $v_x = a_x t = \frac{qE}{m}t$ और $v_y = v_0$ हैं।
$t$ समय पर चाल $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ द्वारा दी जाती है।
हमें दिया गया है कि चाल $2v_0$ हो जाती है,इसलिए:
$2v_0 = \sqrt{(\frac{qE}{m}t)^2 + v_0^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$4v_0^2 = (\frac{qE}{m}t)^2 + v_0^2$
$3v_0^2 = (\frac{qE}{m}t)^2$
वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{3}v_0 = \frac{qE}{m}t$
$t$ के लिए हल करने पर:
$t = \frac{\sqrt{3}mv_0}{qE}$

(B) गतिमान आवेश पर चुंबकीय बल $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है। इलेक्ट्रॉन के लिए,$q = -e$.
$1.$ $\vec{v} = -v\hat{i}$,$\vec{B} = -B\hat{j}$.
$\vec{F}_m = -e((-v\hat{i}) \times (-B\hat{j})) = -e(vB\hat{k}) = -evB\hat{k}$. यह $-ve\, z$-अक्ष की दिशा में है।
$2.$ $\vec{v} = -v\hat{j}$,$\vec{B} = B\hat{i}$.
$\vec{F}_m = -e((-v\hat{j}) \times (B\hat{i})) = -e(-vB(-\hat{k})) = -evB\hat{k}$.
$3.$ यहाँ $\vec{v}$ और $\vec{B}$ दोनों एक ही दिशा ($-y$ अक्ष) में हैं,इसलिए $\vec{v} \times \vec{B} = 0$,जिसके परिणामस्वरूप चुंबकीय बल शून्य होता है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए $mv = \sqrt{2mE_k}$ होता है।
इसे त्रिज्या के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $r = \frac{\sqrt{2mE_k}}{qB}$ प्राप्त होता है।
यह देखते हुए कि आवेश $q$,चुंबकीय क्षेत्र $B$,और गतिज ऊर्जा $E_k$ दोनों कणों के लिए समान हैं,हमारे पास $r \propto \sqrt{m}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $r^2 \propto m$ प्राप्त होता है।
अतः,उनके द्रव्यमानों का अनुपात $\frac{m_x}{m_y} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$ है।

(B) दिया गया है:
चाल $v = 3 \times 10^6 \, m/s$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 2 \times 10^{-4} \, T$
त्रिज्या $R = 6 \, cm = 6 \times 10^{-2} \, m$
चुंबकीय क्षेत्र में वृत्ताकार पथ पर गति करने वाले आवेशित कण के लिए,चुंबकीय लॉरेंज बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$Bqv = \frac{mv^2}{R}$
आवेश-द्रव्यमान अनुपात $(q/m)$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{q}{m} = \frac{v}{BR}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{q}{m} = \frac{3 \times 10^6}{(2 \times 10^{-4}) \times (6 \times 10^{-2})}$
$\frac{q}{m} = \frac{3 \times 10^6}{12 \times 10^{-6}}$
$\frac{q}{m} = 0.25 \times 10^{12} \, C/kg = 2.5 \times 10^{11} \, C/kg$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) जब कण परस्पर लंबवत विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों से बिना विक्षेपित हुए गुजरता है,तो विद्युत बल चुंबकीय बल द्वारा संतुलित होता है:
$qE = qVB$
इससे,कण का वेग $V = E / B$ प्राप्त होता है।
जब विद्युत क्षेत्र को बंद कर दिया जाता है,तो चुंबकीय बल अभिकेंद्री बल के रूप में कार्य करता है,जिससे कण वृत्ताकार पथ पर गति करता है:
$qvB = \frac{mv^2}{R}$
$R = \frac{mv}{qB} = \frac{1}{q/m} \cdot \frac{V}{B}$
विशिष्ट आवेश $S = q/m$ दिया गया है,इसलिए $S$ और $V$ का मान समीकरण में रखने पर:
$R = \frac{1}{S} \cdot \frac{(E/B)}{B} = \frac{E}{B^2 S}$.

(C) जब कोई आवेशित कण एक समान चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है,तो वह $R = \frac{mv}{qB}$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर गति करता है।
चुंबकीय क्षेत्र $x = a$ और $x = b$ के बीच के क्षेत्र में मौजूद है। इस चुंबकीय क्षेत्र की चौड़ाई $d = b - a$ है।
कण के लिए चुंबकीय क्षेत्र के क्षेत्र को पार करके $x > b$ वाले क्षेत्र में प्रवेश करने के लिए,उसके वृत्ताकार पथ की त्रिज्या चुंबकीय क्षेत्र की चौड़ाई से अधिक होनी चाहिए।
अतः,$R > (b - a)$ होना चाहिए।
$R$ का मान रखने पर,हमें $\frac{mv}{qB} > (b - a)$ प्राप्त होता है।
$v$ के लिए हल करने पर,$v > \frac{qB(b - a)}{m}$ प्राप्त होता है।

(B) गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\vec{F} = m\vec{a}$,त्वरण $\vec{a}$ चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के लंबवत होता है,अर्थात $\vec{a} \cdot \vec{B} = 0$।
दिया गया है $\vec{B} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ और $\vec{a} = x\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$।
डॉट गुणनफल लेने पर: $(2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (x\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = 0$।
$2(x) + 3(-2) + 4(1) = 0$।
$2x - 6 + 4 = 0$।
$2x - 2 = 0$।
$2x = 2$।
$x = 1$।

(A) जब एक आवेशित कण एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में लंबवत प्रवेश करता है,तो वह एक वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है।
दिए गए चित्र में,कण चुंबकीय क्षेत्र के क्षेत्र में सीमा के अभिलंब के साथ $\theta$ कोण पर प्रवेश करता है।
लोरेंत्ज़ बल के कारण,कण चुंबकीय क्षेत्र के भीतर एक वृत्ताकार चाप का अनुसरण करता है।
समरूपता के कारण,कण दूसरी तरफ सीमा के अभिलंब के साथ समान कोण $\theta$ पर चुंबकीय क्षेत्र से बाहर निकलता है।
विचलन कोण $\delta$ आपतित वेग सदिश की दिशा और निर्गत वेग सदिश की दिशा के बीच का कोण है।
पथ की ज्यामिति से,प्रवेश बिंदु पर अभिलंब और वेग सदिश के बीच का कोण $\theta$ है। निकास बिंदु पर भी अभिलंब और वेग सदिश के बीच का कोण $\theta$ है।
कुल विचलन $\delta$ को $\delta = 180^\circ - (90^\circ - \theta) - (90^\circ - \theta) = 2\theta$ द्वारा दिया जाता है।
वैकल्पिक रूप से,समाधान चित्र में दिखाए अनुसार,विचलन कोण $\delta$ का मान $2\theta$ है।

(B) विभव $V$ द्वारा त्वरित आवेशित कण की गतिज ऊर्जा $KE = qV$ होती है।
एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गतिमान आवेशित कण की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $KE = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $v = \sqrt{\frac{2KE}{m}} = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$ होगा।
त्रिज्या के सूत्र में $v$ का मान रखने पर: $r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$।
यहाँ $B$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए $r \propto \sqrt{\frac{m}{q}}$।
$\alpha$-कण के लिए: $m_{\alpha} = 4m_p, q_{\alpha} = 2e$. अतः,$r_{\alpha} \propto \sqrt{\frac{4m_p}{2e}} = \sqrt{2} \sqrt{\frac{m_p}{e}}$.
प्रोटॉन के लिए: $m_p = m_p, q_p = e$. अतः,$r_p \propto \sqrt{\frac{m_p}{e}}$.
ड्यूटेरॉन के लिए: $m_d = 2m_p, q_d = e$. अतः,$r_d \propto \sqrt{\frac{2m_p}{e}} = \sqrt{2} \sqrt{\frac{m_p}{e}}$.
अतः अनुपात $r_{\alpha} : r_p : r_d = \sqrt{2} : 1 : \sqrt{2}$ होगा।

(C) दिया गया है:
वेग $\vec{v} = (2 \times 10^5 \hat{i})\,m/s$
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = (\hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{k})\,T$
इलेक्ट्रॉन का आवेश $q = -e = -1.6 \times 10^{-19}\,C$
चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{v} \times \vec{B} = (2 \times 10^5 \hat{i}) \times (\hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{k}) = 2 \times 10^5 (\hat{i} \times \hat{i} - 4(\hat{i} \times \hat{j}) - 3(\hat{i} \times \hat{k}))$
चूंकि $\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,और $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$,इसलिए:
$\vec{v} \times \vec{B} = 2 \times 10^5 (0 - 4\hat{k} + 3\hat{j}) = 2 \times 10^5 (3\hat{j} - 4\hat{k})$.
बल $\vec{F} = -1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^5 (3\hat{j} - 4\hat{k}) = -3.2 \times 10^{-14} (3\hat{j} - 4\hat{k})$.
बल का परिमाण $F = |q| |\vec{v} \times \vec{B}| = 1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^5 \times \sqrt{3^2 + (-4)^2}$.
$F = 3.2 \times 10^{-14} \times \sqrt{9 + 16} = 3.2 \times 10^{-14} \times 5 = 16 \times 10^{-14} = 1.6 \times 10^{-13}\,N$.

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के लिए वृत्ताकार पथ की त्रिज्या का सूत्र है: $r = \frac{mv}{Bq}$।
यहाँ,इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m$ और आवेश $q$ अपरिवर्तित रहते हैं।
इसलिए,चरों के बीच संबंध $r \propto \frac{v}{B}$ है।
इसका अर्थ है: $\frac{r_2}{r_1} = \frac{v_2}{v_1} \cdot \frac{B_1}{B_2}$।
प्रश्न के अनुसार,नई चाल $v_2 = 2v$ और नया चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{B}{2}$ है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{r_2}{r} = \frac{2v}{v} \cdot \frac{B}{B/2} = 2 \cdot 2 = 4$।
अतः,$r_2 = 4r$।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया है:
चुंबकीय क्षेत्र $B = 1.5 \times 10^{-2} \, T$
गति $v = 6 \times 10^7 \, m/s$
विशिष्ट आवेश $\frac{e}{m} = 1.7 \times 10^{11} \, C/kg$
कोण $\theta = 90^{\circ}$ (चूंकि यह लंबवत गति करता है),इसलिए $\sin \theta = 1$.
चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ का सूत्र है:
$r = \frac{mv}{qB}$
चूंकि विशिष्ट आवेश $\frac{q}{m} = 1.7 \times 10^{11} \, C/kg$ है,हम त्रिज्या को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$r = \frac{v}{B(q/m)}$
मान रखने पर:
$r = \frac{6 \times 10^7}{(1.5 \times 10^{-2}) \times (1.7 \times 10^{11})}$
$r = \frac{6 \times 10^7}{2.55 \times 10^9}$
$r \approx 2.35 \times 10^{-2} \, m$
सेंटीमीटर में बदलने पर:
$r = 2.35 \, cm$.

(C) दिया गया है:
$B = 2 \times 10^{-3} \, Wb/m^2$
$E = 1.0 \times 10^4 \, V/m$
चूंकि इलेक्ट्रॉन का पथ विचलित नहीं होता है,इसलिए विद्युत बल और चुंबकीय बल संतुलित होने चाहिए:
$qE = qvB \Rightarrow v = \frac{E}{B}$
$v = \frac{1.0 \times 10^4}{2 \times 10^{-3}} = 0.5 \times 10^7 = 5 \times 10^6 \, m/s$
यदि विद्युत क्षेत्र को हटा दिया जाता है,तो इलेक्ट्रॉन चुंबकीय बल के कारण एक वृत्ताकार पथ में गति करता है जो अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$\frac{mv^2}{r} = qvB \Rightarrow r = \frac{mv}{qB}$
$m = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$ और $q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ का उपयोग करने पर:
$r = \frac{9.1 \times 10^{-31} \times 5 \times 10^6}{1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^{-3}}$
$r = \frac{45.5 \times 10^{-25}}{3.2 \times 10^{-22}} = 14.218 \times 10^{-3} \, m \approx 1.43 \, cm$
अतः,गति $5 \times 10^6 \, m/s$ है और त्रिज्या $1.43 \, cm$ है।

(A) आवेशित कण पर लगने वाला लॉरेंट्ज़ बल $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कण को विरामावस्था से छोड़ा जाता है,इसलिए इसका प्रारंभिक वेग $\vec{v} = 0$ है।
अतः,प्रारंभिक चुंबकीय बल $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B}) = 0$ होता है।
विद्युत बल $\vec{F}_e = q\vec{E}$ कण पर कार्य करता है,जिससे यह विद्युत क्षेत्र की दिशा में त्वरित होता है।
जैसे-जैसे कण वेग $\vec{v}$ प्राप्त करता है,यह चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के समानांतर बना रहता है क्योंकि विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र एक-दूसरे के समानांतर हैं।
चूंकि $\vec{v} \parallel \vec{B}$,इसलिए सदिश गुणनफल $\vec{v} \times \vec{B} = 0$ हमेशा शून्य रहता है।
इस प्रकार,पूरी गति के दौरान चुंबकीय बल शून्य रहता है।
कण केवल विद्युत बल का अनुभव करता है,जिसके कारण यह विद्युत क्षेत्र की दिशा में एक सीधी रेखा में गति करता है।

(B) जब एक आवेशित कण चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत वेग $\vec{v}$ के साथ गति करता है,तो उस पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बल $\vec{F}$ हमेशा वेग $\vec{v}$ के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय बल द्वारा कण पर किया गया कार्य शून्य होता है $(W = \vec{F} \cdot \vec{d} = 0)$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन किए गए कार्य के बराबर होता है। चूंकि कार्य शून्य है,इसलिए गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है,एक स्थिर गतिज ऊर्जा का अर्थ है कि कण की चाल $(v)$ अपरिवर्तित रहती है।
हालाँकि,चूंकि बल वेग के लंबवत कार्य करता है,यह गति की दिशा को बदल देता है,जिससे कण एक वृत्ताकार पथ में गति करने लगता है। इस प्रकार,वेग और त्वरण लगातार बदलते रहते हैं।

(C) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति करने वाले आवेशित कण की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K$ गतिज ऊर्जा है।
प्रोटॉन के लिए,$m_p = m$ और $q_p = e$ है। अतः,$r_p = \frac{\sqrt{2mK}}{eB}$।
अल्फा कण के लिए,$m_{\alpha} = 4m$ और $q_{\alpha} = 2e$ है। अतः,$r_{\alpha} = \frac{\sqrt{2(4m)K}}{(2e)B} = \frac{2\sqrt{2mK}}{2eB} = \frac{\sqrt{2mK}}{eB}$।
चूँकि $r_p = r_{\alpha}$ है,इसलिए कथन सही है।
कारण में कहा गया है कि एक समान चुंबकीय क्षेत्र में समान गतिज ऊर्जा वाले किन्हीं भी दो आवेशित कणों की त्रिज्या समान होगी। हालाँकि,त्रिज्या $\frac{\sqrt{m}}{q}$ अनुपात पर निर्भर करती है। चूँकि यह अनुपात सभी कणों के लिए समान नहीं होता है (उदाहरण के लिए,इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के लिए),इसलिए कारण गलत है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण की त्रिज्या का सूत्र $r = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}$ है,जहाँ $p$ संवेग है,$q$ आवेश है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र है।
यह दिया गया है कि दोनों कणों के लिए संवेग $p$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ समान हैं,इसलिए त्रिज्या आवेश के व्युत्क्रमानुपाती है: $r \propto \frac{1}{q}$।
आयनित हाइड्रोजन परमाणु (प्रोटॉन) के लिए,आवेश $q_{H} = +e$ है।
$\alpha$-कण (हीलियम नाभिक) के लिए,आवेश $q_{\alpha} = +2e$ है।
अतः,त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_{H}}{r_{\alpha}} = \frac{q_{\alpha}}{q_{H}} = \frac{2e}{e} = \frac{2}{1}$ होगा।
इस प्रकार,अनुपात $r_{H}: r_{\alpha}$ का मान $2:1$ है।

(C) कण का प्रारंभिक वेग $\vec{v}_{i} = v_{0} \hat{j}$ है।
विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = E_{0} \hat{i}$ बल $\vec{F}_{E} = q E_{0} \hat{i}$ लगाता है,जिससे $x$-अक्ष पर त्वरण $a_{x} = \frac{q E_{0}}{m}$ उत्पन्न होता है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = B_{0} \hat{i}$ $x$-अक्ष के समानांतर है। चूंकि प्रारंभिक वेग $y$-अक्ष पर है,चुंबकीय बल $\vec{F}_{B} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ $z$-दिशा में कार्य करेगा। हालांकि,चुंबकीय बल कोई कार्य नहीं करता है,इसलिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन केवल विद्युत क्षेत्र के कारण होता है।
मान लीजिए अंतिम चाल $v_{f} = 2 v_{0}$ है। अंतिम वेग के घटक $v_{x} = a_{x} t = \frac{q E_{0}}{m} t$ और $v_{y} = v_{0}$ हैं।
$v_{f}^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}$ का उपयोग करते हुए,और यह देखते हुए कि चाल का वर्ग $v_{f}^{2} = (2 v_{0})^{2} = 4 v_{0}^{2}$ है:
$4 v_{0}^{2} = v_{x}^{2} + v_{0}^{2} + v_{z}^{2}$.
चूंकि चुंबकीय बल केवल वेग सदिश को $yz$-तल में घुमाता है,$yz$-तल में वेग घटक का परिमाण $v_{0}$ स्थिर रहता है। अतः,$v_{x}^{2} = 4 v_{0}^{2} - v_{0}^{2} = 3 v_{0}^{2}$.
इसलिए,$v_{x} = \sqrt{3} v_{0}$.
$v_{x} = \frac{q E_{0}}{m} t$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{q E_{0}}{m} t = \sqrt{3} v_{0}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $t = \frac{\sqrt{3} m v_{0}}{q E_{0}}$ हो जाता है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला बल $F = qvB$ होता है। चूंकि $F = ma$,इसलिए $ma = qvB$,जिसका अर्थ है $a = \frac{qvB}{m}$।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ से,वेग $v = \sqrt{\frac{2K}{m}}$ प्राप्त होता है।
त्वरण के सूत्र में $v$ का मान रखने पर: $a = \frac{qB}{m} \sqrt{\frac{2K}{m}} = \frac{qB \sqrt{2K}}{m^{3/2}}$।
$B$ के लिए हल करने पर: $B = \frac{m^{3/2} a}{q \sqrt{2K}}$।
दिए गए मान: $m = 1.6 \times 10^{-27} \; kg$,$a = 10^{12} \; m/s^2$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \; C$,$K = 1 \; MeV = 1.6 \times 10^{-13} \; J$।
गणना करने पर: $B = \frac{(1.6 \times 10^{-27})^{3/2} \times 10^{12}}{1.6 \times 10^{-19} \times \sqrt{2 \times 1.6 \times 10^{-13}}} \approx 0.71 \times 10^{-3} \; T = 0.71 \; mT$।

(B) एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_{0} nI$ होता है। जब एक इलेक्ट्रॉन को $v$ गति के साथ त्रिज्यीय दिशा में प्रक्षेपित किया जाता है,तो वह अपने वेग के लंबवत एक लॉरेंट्ज़ बल $F = evB$ का अनुभव करता है,जिससे वह $r = \frac{mv}{eB}$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर गति करता है।
इलेक्ट्रॉन के $R$ त्रिज्या वाली परिनालिका की सतह से न टकराने के लिए,उसके वृत्ताकार पथ का व्यास परिनालिका की त्रिज्या से कम या उसके बराबर होना चाहिए। अतः,$2r \leq R$,जिसका अर्थ है $r \leq \frac{R}{2}$।
$r = \frac{mv}{e(\mu_{0} nI)}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{mv}{e\mu_{0} nI} \leq \frac{R}{2}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,अधिकतम गति $v_{\max} = \frac{e \mu_{0} nIR}{2m}$ है।

(N/A) वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $r = \frac{9 \times 10^{-31} \; kg \times 3 \times 10^{7} \; m/s}{1.6 \times 10^{-19} \; C \times 6 \times 10^{-4} \; T} = \frac{27 \times 10^{-24}}{9.6 \times 10^{-23}} \; m = 0.28125 \; m \approx 28.1 \; cm$.
परिक्रमण की आवृत्ति $f = \frac{v}{2\pi r} = \frac{qB}{2\pi m}$ है।
$f = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 6 \times 10^{-4}}{2 \times 3.14 \times 9 \times 10^{-31}} \approx 1.7 \times 10^{7} \; Hz = 17 \; MHz$.
गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2$ है।
$E = 0.5 \times 9 \times 10^{-31} \times (3 \times 10^7)^2 = 4.05 \times 10^{-16} \; J$.
$keV$ में बदलने पर: $E = \frac{4.05 \times 10^{-16}}{1.6 \times 10^{-19}} \; eV = 2531.25 \; eV \approx 2.53 \; keV$.

(N/A) गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि इलेक्ट्रॉन क्षेत्र के लंबवत प्रवेश करता है,इसलिए बल हमेशा वेग के लंबवत होता है,जो अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है। इसके कारण इलेक्ट्रॉन वृत्ताकार पथ में गति करता है।
दिया गया है:
$B = 6.5 \;G = 6.5 \times 10^{-4} \;T$
$v = 4.8 \times 10^{6} \;m s^{-1}$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \;C$
$m_{e} = 9.1 \times 10^{-31} \;kg$
$\theta = 90^{\circ}$
चुंबकीय बल को अभिकेंद्र बल के बराबर रखने पर:
$evB = \frac{m_{e}v^{2}}{r}$
$r = \frac{m_{e}v}{eB}$
मान रखने पर:
$r = \frac{9.1 \times 10^{-31} \times 4.8 \times 10^{6}}{1.6 \times 10^{-19} \times 6.5 \times 10^{-4}}$
$r = \frac{43.68 \times 10^{-25}}{10.4 \times 10^{-23}}$
$r = 4.2 \times 10^{-2} \;m = 4.2 \;cm$
वृत्ताकार कक्षा की त्रिज्या $4.2 \;cm$ है।

(N/A) चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता,$B = 6.5 \times 10^{-4} \; T$.
इलेक्ट्रॉन का आवेश,$e = 1.6 \times 10^{-19} \; C$.
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान,$m_{e} = 9.1 \times 10^{-31} \; kg$.
इलेक्ट्रॉन का वेग,$v = 4.8 \times 10^{6} \; m/s$.
कक्षा की त्रिज्या,$r = 4.2 \; cm = 0.042 \; m$.
इलेक्ट्रॉन के परिक्रमण की आवृत्ति $\nu = \frac{\omega}{2\pi}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि चुंबकीय बल अभिकेंद्र बल प्रदान करता है,$evB = \frac{mv^2}{r}$,जो सरल होकर $\nu = \frac{eB}{2\pi m}$ हो जाता है।
मान रखने पर: $\nu = \frac{6.5 \times 10^{-4} \times 1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 3.14 \times 9.1 \times 10^{-31}} \approx 18.2 \times 10^{6} \; Hz = 18 \; MHz$.
चूंकि आवृत्ति का व्यंजक $\nu = \frac{eB}{2\pi m}$ वेग $v$ से स्वतंत्र है,इसलिए आवृत्ति इलेक्ट्रॉन की गति पर निर्भर नहीं करती है।

(N/A) दिया गया है:
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता,$B = 0.15 \; T$
इलेक्ट्रॉन पर आवेश,$e = 1.6 \times 10^{-19} \; C$
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान,$m = 9.1 \times 10^{-31} \; kg$
विभवांतर,$V = 2.0 \; kV = 2 \times 10^{3} \; V$
इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $eV = \frac{1}{2}mv^2$ है। अतः,वेग $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$ है।
$(a)$ जब चुंबकीय क्षेत्र वेग के लंबवत होता है,तो चुंबकीय बल अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $Bev = \frac{mv^2}{r}$।
त्रिज्या $r = \frac{mv}{Be} = \frac{m}{Be} \sqrt{\frac{2eV}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{e}}$।
मान रखने पर: $r = \frac{1}{0.15} \sqrt{\frac{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 2 \times 10^3}{1.6 \times 10^{-19}}} \approx 1.01 \times 10^{-3} \; m = 1.0 \; mm$।
प्रक्षेप पथ $1.0 \; mm$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।
$(b)$ जब क्षेत्र वेग के साथ $\theta = 30^{\circ}$ का कोण बनाता है,तो क्षेत्र के लंबवत वेग का घटक $v_{\perp} = v \sin \theta$ होता है।
हेलिकल पथ की त्रिज्या $r' = \frac{mv \sin \theta}{Be} = r \sin 30^{\circ} = 1.0 \; mm \times 0.5 = 0.5 \; mm$ है।
प्रक्षेप पथ $0.5 \; mm$ त्रिज्या वाली एक हेलिक्स (कुंडलिनी) है और पिच $p = v \cos \theta \times T = v \cos \theta \times \frac{2\pi m}{Be}$ है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र,$B = 0.75 \;T$. त्वरक वोल्टेज,$V = 15 \;kV = 15 \times 10^{3} \;V$. स्थिर-विद्युत क्षेत्र,$E = 9.0 \times 10^{5} \;V \,m^{-1}$.
मान लीजिए कण का द्रव्यमान $m$ और उसका आवेश $q$ है। कण द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $qV = \frac{1}{2}mv^2$ है। अतः,$\frac{q}{m} = \frac{v^2}{2V} \dots (i)$.
चूंकि बीम विक्षेपित नहीं होता है,इसलिए विद्युत बल और चुंबकीय बल समान हैं: $qE = qvB$,जिससे प्राप्त होता है $v = \frac{E}{B} \dots (ii)$.
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ में रखने पर,हमें मिलता है $\frac{q}{m} = \frac{E^2}{2VB^2}$.
मान रखने पर: $\frac{q}{m} = \frac{(9.0 \times 10^5)^2}{2 \times 15000 \times (0.75)^2} = 4.8 \times 10^7 \;C \,kg^{-1}$.
विशिष्ट आवेश $\frac{q}{m} \approx 4.8 \times 10^7 \;C \,kg^{-1}$ ड्यूटेरॉन $(_{1}^{2}H^+)$ या ड्यूटेरियम आयनों के अनुरूप है। यह उत्तर अद्वितीय नहीं है क्योंकि विशिष्ट आवेश $\frac{q}{m}$ केवल आवेश और द्रव्यमान के अनुपात पर निर्भर करता है। $He^{++}$ या $Li^{+++}$ जैसे अन्य कणों का भी समान $\frac{q}{m}$ अनुपात होता है।

(D) मान लीजिए कि $A$ अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल और $dl$ लंबाई वाले एक चालक तार के खंड में प्रति इकाई आयतन $n$ आवेश वाहक हैं,जिनमें से प्रत्येक का आवेश $q$ है और वे अपवाह वेग $\vec{v}$ से गति कर रहे हैं।
तार में प्रवाहित धारा $I = nAq v$ द्वारा दी जाती है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में धारा तत्व $I d\vec{l}$ पर लगने वाला बल $d\vec{F} = I d\vec{l} \times \vec{B}$ होता है।
$I = nAqv$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $d\vec{F} = (nAqv) d\vec{l} \times \vec{B}$ प्राप्त होता है।
चूंकि वेग $\vec{v}$,$d\vec{l}$ की दिशा में है,हम $v d\vec{l} = (dl) \vec{v}$ लिख सकते हैं।
अतः,$d\vec{F} = nA(dl) q (\vec{v} \times \vec{B})$।
आयतन तत्व $dV = A dl$ में आवेश वाहकों की कुल संख्या $N = n A dl$ है।
एकल आवेश $q$ पर लगने वाला बल $\vec{F}_m = \frac{d\vec{F}}{N} = \frac{nA dl q (\vec{v} \times \vec{B})}{nA dl}$ है।
इसलिए,गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ है।

(A) इलेक्ट्रॉन बीम की ऊर्जा,$E = 18 \;keV = 18 \times 10^{3} \times 1.6 \times 10^{-19} \;J = 2.88 \times 10^{-15} \;J$.
चुंबकीय क्षेत्र,$B = 0.04 \;G = 4 \times 10^{-6} \;T$.
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान,$m_{e} = 9.11 \times 10^{-31} \;kg$.
बीम द्वारा तय की गई दूरी,$d = 0.3 \;m$.
गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m_{e} v^{2}$ से,वेग $v = \sqrt{\frac{2E}{m_{e}}} \approx 7.95 \times 10^{7} \;m/s$.
चुंबकीय बल अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है,इसलिए $r = \frac{m_{e} v}{Be} \approx 113 \;m$.
विक्षेपण $x = r(1 - \cos \theta)$ है,जहाँ $\sin \theta = \frac{d}{r}$. छोटे कोणों के लिए $x \approx \frac{d^{2}}{2r}$.
गणना करने पर,$x \approx 3.9 \;mm$ प्राप्त होता है।

(N/A) दिया गया है: इलेक्ट्रॉन की गति $v = 5.20 \times 10^{6} \;m s^{-1}$,चुंबकीय क्षेत्र $B = 1.30 \times 10^{-4} \;T$,विशिष्ट आवेश $e/m = 1.76 \times 10^{11} \;C \;kg^{-1}$।
चुंबकीय बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $evB = \frac{mv^2}{r}$।
त्रिज्या $r$ के लिए सूत्र: $r = \frac{mv}{eB} = \frac{v}{(e/m)B}$।
मान रखने पर: $r = \frac{5.20 \times 10^{6}}{(1.76 \times 10^{11}) \times (1.30 \times 10^{-4})} = \frac{5.20 \times 10^{6}}{2.288 \times 10^{7}} \approx 0.227 \;m = 22.7 \;cm$।
$(b)$ नहीं,यह सूत्र $20 \;MeV$ इलेक्ट्रॉन बीम के लिए मान्य नहीं है। $20 \;MeV$ पर,गतिज ऊर्जा इलेक्ट्रॉन की स्थिर द्रव्यमान ऊर्जा $(0.511 \;MeV)$ से बहुत अधिक होती है,जिसका अर्थ है कि इलेक्ट्रॉन की गति $v$ प्रकाश की गति $c$ के करीब पहुंच जाती है।
इस सापेक्षतावादी क्षेत्र में,द्रव्यमान $m$ स्थिर नहीं रहता है बल्कि $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m_0$ स्थिर द्रव्यमान है।
त्रिज्या के लिए संशोधित सूत्र $r = \frac{mv}{eB} = \frac{m_0 v}{eB \sqrt{1 - v^2/c^2}}$ है।

(A) एनोड का विभव,$V = 100 \; V$
इलेक्ट्रॉनों द्वारा अनुभव किया गया चुंबकीय क्षेत्र,$B = 2.83 \times 10^{-4} \; T$
वृत्ताकार कक्षा की त्रिज्या,$r = 12.0 \; cm = 12.0 \times 10^{-2} \; m$
प्रत्येक इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $= m$,प्रत्येक इलेक्ट्रॉन पर आवेश $= e$,प्रत्येक इलेक्ट्रॉन का वेग $= v$
प्रत्येक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा उसकी गतिज ऊर्जा के बराबर होती है,अर्थात,
$\frac{1}{2} m v^{2} = e V$
$v^{2} = \frac{2 e V}{m} \dots (i)$
चुंबकीय क्षेत्र वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$\frac{m v^{2}}{r} = e v B$
$v = \frac{e B r}{m}$
समीकरण $(i)$ में $v$ का मान रखने पर:
$\frac{2 e V}{m} = \left( \frac{e B r}{m} \right)^{2} = \frac{e^{2} B^{2} r^{2}}{m^{2}}$
$\frac{e}{m} = \frac{2 V}{B^{2} r^{2}}$
मान रखने पर:
$\frac{e}{m} = \frac{2 \times 100}{(2.83 \times 10^{-4})^{2} \times (12.0 \times 10^{-2})^{2}} = 1.73 \times 10^{11} \; C \; kg^{-1}$
अतः,विशिष्ट आवेश का अनुपात $(e/m) = 1.73 \times 10^{11} \; C \; kg^{-1}$ है।

(N/A) चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ में $\vec{v}$ वेग से गतिमान $q$ आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल $\overrightarrow{F_{m}}$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\overrightarrow{F_{m}} = q(\vec{v} \times \overrightarrow{B})$
$\therefore F_{m} = q v B \sin \theta$,जहाँ $\theta$ वेग $\vec{v}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ के बीच का कोण है।
विशेषताएं:
$(i)$ यह बल आवेश $q$,वेग $\vec{v}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ पर निर्भर करता है। ऋणात्मक आवेश पर लगने वाला बल धनात्मक आवेश पर लगने वाले बल की विपरीत दिशा में होता है।
$(ii)$ यह बल वेग और चुंबकीय क्षेत्र का सदिश गुणनफल है। यदि $\theta = 0^{\circ}$ या $\theta = 180^{\circ}$ है,तो $F_{m} = q v B \sin(0^{\circ}) = 0$ या $F_{m} = q v B \sin(180^{\circ}) = 0$ होता है। बल की दिशा वेग और चुंबकीय क्षेत्र दोनों के लंबवत होती है,जिसे दाएं हाथ के नियम द्वारा निर्धारित किया जाता है।
$(iii)$ यदि आवेश स्थिर है $(v = 0)$,तो चुंबकीय बल शून्य होता है। अतः,केवल गतिमान आवेश ही चुंबकीय बल का अनुभव करता है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में $v$ वेग से गति कर रहे $q$ आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल $F = q(v \times B) = qvB \sin(\theta)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ वेग सदिश और चुंबकीय क्षेत्र सदिश के बीच का कोण है।
जब आवेश चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर गति करता है,तो कोण $\theta = 0^\circ$ होता है।
जब आवेश चुंबकीय क्षेत्र के प्रति-समानांतर गति करता है,तो कोण $\theta = 180^\circ$ होता है।
दोनों ही स्थितियों में,$\sin(0^\circ) = 0$ और $\sin(180^\circ) = 0$ होता है।
अतः,चुंबकीय बल $F = qvB(0) = 0$ होता है।

(N/A) जब $q$ आवेश $v$ वेग से विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र की उपस्थिति में गति करता है,तो उस पर लगने वाला लॉरेंट्ज़ बल इस प्रकार होता है:
$\vec{F} = \vec{F}_{E} + \vec{F}_{B} = q\vec{E} + q(\vec{v} \times \vec{B}) \dots (1)$
मान लीजिए कि विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ एक-दूसरे के लंबवत हैं और दोनों कण के वेग $\vec{v}$ के भी लंबवत हैं,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
मान लीजिए $\vec{E} = E\hat{j}$ और $\vec{B} = B\hat{k}$,और कण $x$-अक्ष पर गति कर रहा है $(\vec{v} = v\hat{i})$।
विद्युत बल $\vec{F}_{E} = q\vec{E} = qE\hat{j}$ है।
चुंबकीय बल $\vec{F}_{B} = q(\vec{v} \times \vec{B}) = q(v\hat{i} \times B\hat{k}) = -qvB\hat{j} \dots (2)$ (क्योंकि $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$)।
इस प्रकार,$\vec{F}_{E}$ और $\vec{F}_{B}$ विपरीत दिशाओं में कार्य करते हैं।
यदि हम $\vec{E}$ और $\vec{B}$ के परिमाणों को इस प्रकार समायोजित करें कि दोनों बलों के परिमाण समान हों,तो आवेश पर कुल बल शून्य हो जाता है और कण बिना विक्षेपित हुए गति करता है।
$|\vec{F}_{E}| = |\vec{F}_{B}|$ रखने पर,हमें $qE = qvB$ प्राप्त होता है।
अतः,$v = \frac{E}{B} \dots (3)$।
यह शर्त हमें विभिन्न गति वाले कणों के बीम में से एक विशिष्ट वेग $v = \frac{E}{B}$ वाले आवेशित कणों का चयन करने की अनुमति देती है,जो उनके आवेश या द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है। इस प्रकार,परस्पर लंबवत $\vec{E}$ और $\vec{B}$ क्षेत्र एक वेग चयनकर्ता के रूप में कार्य करते हैं,जो केवल $\frac{E}{B}$ गति वाले कणों को ही बिना विक्षेपित हुए गुजरने देते हैं।

(A) मास स्पेक्ट्रोमीटर एक विश्लेषणात्मक उपकरण है जिसका उपयोग आयनों के द्रव्यमान-से-आवेश अनुपात $(m/q)$ को मापने के लिए किया जाता है।
यह रासायनिक प्रजातियों को आयनित करके और विद्युत तथा चुंबकीय क्षेत्रों का उपयोग करके उनके द्रव्यमान-से-आवेश अनुपात के आधार पर आयनों को अलग करके कार्य करता है।
यह किसी नमूने में मौजूद अणुओं की पहचान और मात्रात्मक मापन की अनुमति देता है।

(A) इलेक्ट्रॉन $\vec{v} = v_0 \hat{i}$ वेग के साथ क्षेत्र में प्रवेश करता है।
$xy$-तल के समानांतर एक तल में सर्पिल गति के लिए,चुंबकीय बल को $xy$-तल में वृत्तीय गति के लिए अभिकेंद्र बल प्रदान करना होगा। इसके लिए $z$-अक्ष की दिशा में चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = B_0 \hat{k}$ की आवश्यकता है।
चुंबकीय बल $\vec{F}_m = -e(\vec{v} \times \vec{B}) = -e(v_0 \hat{i} \times B_0 \hat{k}) = e v_0 B_0 \hat{j}$ होता है।
इलेक्ट्रॉन के सर्पिल पथ के लिए,उसकी गति बदलनी चाहिए,जो विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ द्वारा होती है। चूंकि इलेक्ट्रॉन $xy$-तल में गति कर रहा है और सर्पिल फैल रहा है,इसलिए $xy$-तल में विद्युत क्षेत्र का एक घटक आवश्यक है। विशेष रूप से,$\vec{E} = E_0 \hat{i}$ का विद्युत क्षेत्र इलेक्ट्रॉन को त्वरित करेगा,जिससे उसकी गति $v$ बढ़ेगी और परिणामस्वरूप वृत्तीय पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{eB}$ बढ़ेगी,जिससे सर्पिल प्रक्षेपवक्र प्राप्त होगा।

(D) इलेक्ट्रॉन और पॉज़िट्रॉन दोनों के लिए वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = \frac{P}{eB}$ है। चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $x$-अक्ष के अनुदिश है,इसलिए दोनों कणों की गति $yz$-तल तक सीमित है।
मान लीजिए कि इलेक्ट्रॉन और पॉज़िट्रॉन के संवेग सदिश $yz$-तल में $y$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाते हैं। वृत्ताकार कक्षाओं के केंद्र,$C_e$ और $C_p$,अपने संबंधित प्रारंभिक स्थानों से $R$ दूरी पर और संवेग सदिश के लंबवत स्थित हैं।
$(0, 0, 0)$ से शुरू होने वाले इलेक्ट्रॉन के लिए,जिसका संवेग $P_1$,$y$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण पर है,केंद्र $C_e$ $(0, -R \sin \theta, R \cos \theta)$ पर है।
$(0, 0, 1.5R)$ से शुरू होने वाले पॉज़िट्रॉन के लिए,जिसका संवेग $P_2$,$y$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण पर है,केंद्र $C_p$ $(0, -R \sin \theta, 1.5R - R \cos \theta)$ पर है।
कक्षाएं गैर-प्रतिच्छेदी होंगी यदि केंद्रों $C_e$ और $C_p$ के बीच की दूरी $d$ उनकी त्रिज्याओं के योग से अधिक हो,अर्थात $d > 2R$।
$C_e(0, -R \sin \theta, R \cos \theta)$ और $C_p(0, -R \sin \theta, 1.5R - R \cos \theta)$ के बीच की दूरी का वर्ग $d^2$ ज्ञात करने पर:
$d^2 = (0 - 0)^2 + (-R \sin \theta - (-R \sin \theta))^2 + (1.5R - R \cos \theta - R \cos \theta)^2$
$d^2 = 0 + 0 + (1.5R - 2R \cos \theta)^2$
$d^2 = (1.5R - 2R \cos \theta)^2$
गैर-प्रतिच्छेदी कक्षाओं के लिए,$d > 2R$,इसलिए $d^2 > 4R^2$:
$(1.5R - 2R \cos \theta)^2 > 4R^2$
$|1.5R - 2R \cos \theta| > 2R$
स्थिति $1$: $1.5R - 2R \cos \theta > 2R \implies -2R \cos \theta > 0.5R \implies \cos \theta < -0.25$
स्थिति $2$: $1.5R - 2R \cos \theta < -2R \implies -2R \cos \theta < -3.5R \implies \cos \theta > 1.75$ (संभव नहीं है क्योंकि $\cos \theta \le 1$)
अतः,गैर-प्रतिच्छेदी कक्षाओं के लिए शर्त $\cos \theta < -0.25$ है।

(N/A) जब कोई आवेशित कण एकसमान लंबवत चुंबकीय क्षेत्र में वृत्ताकार पथ पर गति करता है,तो चुंबकीय बल केंद्र की ओर निर्देशित अभिकेंद्री बल के रूप में कार्य करता है,जबकि कण का वेग पथ के स्पर्शरेखीय होता है।
चूंकि बल हमेशा विस्थापन (वेग) के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय बल द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है $(W = \vec{F} \cdot \vec{d} = 0)$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta K)$ किए गए कार्य के बराबर होता है।
चूंकि किया गया कार्य शून्य है,इसलिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन भी शून्य है $(\Delta K = 0)$,जिसका अर्थ है कि कण की चाल स्थिर रहती है।

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण का आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi m}{qB}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रोटॉन $10$ चक्कर पूरे करता है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र में बिताया गया कुल समय $t = 10T = 10 \times \frac{2 \pi m}{qB}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर वेग का घटक $v_{\parallel} = v \cos(60^{\circ}) = v \times \frac{1}{2} = \frac{v}{2}$ है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर वेग का घटक स्थिर रहता है,इसलिए क्षेत्र की दिशा में तय की गई दूरी $l = v_{\parallel} \times t = \frac{v}{2} \times 10 \times \frac{2 \pi m}{qB} = \frac{10 \pi m v}{qB}$ होगी।
दिए गए मानों को रखने पर:
$l = \frac{10 \times 3.14 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 4 \times 10^{5}}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.3}$
$l = \frac{20.942 \times 10^{-21}}{0.48 \times 10^{-19}} = \frac{20.942}{48} \approx 0.436 \, m$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,$l \approx 0.44 \, m$.

(B) हेलिकल पथ की पिच का सूत्र है: $P = v \cos \theta \times T = v \cos \theta \times \frac{2 \pi m}{qB}$।
दिए गए मान:
गति $v = 4 \times 10^{5} \ m/s$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.3 \ T$
कोण $\theta = 60^{\circ}$
द्रव्यमान $m = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$
आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
मान रखने पर:
$P = \frac{2 \times 3.14 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 4 \times 10^{5} \times \cos 60^{\circ}}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.3}$
चूंकि $\cos 60^{\circ} = 0.5$:
$P = \frac{2 \times 3.14 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 4 \times 10^{5} \times 0.5}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.3}$
$P = \frac{10.4872 \times 10^{-22}}{0.48 \times 10^{-19}}$
$P \approx 0.0437 \ m \approx 4.37 \ cm$.
सबसे निकटतम विकल्प $4 \ cm$ है।

(B) जब एक आवेशित कण अपने वेग के लंबवत एक समान चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है,तो वह एक वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है।
इस वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R$ का सूत्र $R = \frac{mv}{qB_{0}}$ है।
कण के अपने प्रारंभिक स्थान से $d$ दूरी पर रखे पर्दे से न टकराने के लिए,वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $d$ से कम या उसके बराबर होनी चाहिए।
अतः,$R \leq d$।
$R$ का मान रखने पर,हमें $\frac{mv}{qB_{0}} \leq d$ प्राप्त होता है।
$v$ के लिए हल करने पर,$v \leq \frac{q B_{0} d}{m}$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,प्रश्न में $v$ का वह न्यूनतम मान पूछा गया है जिसके लिए कण पर्दे से नहीं टकराएगा। यदि कण का पथ पर्दे के स्पर्शरेखा (tangent) हो,तो वह बिना टकराए निकल जाएगा। यह स्थिति तब होती है जब $R = d$ हो।
अतः,$v = \frac{q B_{0} d}{m}$ अभीष्ट मान है।

(D) इलेक्ट्रॉन के $x$-अक्ष पर बिना विचलित हुए गति करने के लिए,कुल लॉरेंट्ज़ बल शून्य होना चाहिए: $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}) = 0$.
दिया गया है: $\vec{v} = 6 \times 10^{6} \hat{i} \, m/s$ और $\vec{E} = 300 \, V/cm = 3 \times 10^{4} \, V/m$ जो $+y$ दिशा में है,अतः $\vec{E} = 3 \times 10^{4} \hat{j} \, V/m$.
इलेक्ट्रॉन पर विद्युत बल $\vec{F}_e = q\vec{E} = (-e)(3 \times 10^{4} \hat{j}) = -3 \times 10^{4} e \hat{j}$ है।
इसे संतुलित करने के लिए,चुंबकीय बल $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ को $+y$ दिशा में होना चाहिए।
चूंकि $q = -e$,हमें $(-e)(v\hat{i} \times \vec{B}) = +3 \times 10^{4} e \hat{j}$ की आवश्यकता है।
इसका अर्थ है कि $\vec{v} \times \vec{B}$ को $-y$ दिशा में होना चाहिए। चूंकि $\hat{i} \times (-\hat{k}) = \hat{j}$ और $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$,इसलिए $\vec{B}$ को $-z$ दिशा में होना चाहिए।
परिमाण की शर्त $E = vB$ का उपयोग करते हुए,$B = \frac{E}{v} = \frac{3 \times 10^{4}}{6 \times 10^{6}} = 0.5 \times 10^{-2} = 5 \times 10^{-3} \, T$.
अतः,चुंबकीय क्षेत्र $5 \times 10^{-3} \, T$ है जो $-z$ दिशा में है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में वेग $\vec{v}$ से गतिमान आवेश $Q$ पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F}_m$ लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{F}_m = Q(\vec{v} \times \vec{B})$.
सदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार,बल $\vec{F}_m$ हमेशा वेग सदिश $\vec{v}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ दोनों के लंबवत होता है।
चूंकि विस्थापन $d\vec{l}$ वेग $\vec{v}$ की दिशा में होता है (अर्थात $d\vec{l} = \vec{v} dt$),इसलिए बल $\vec{F}_m$ विस्थापन $d\vec{l}$ के भी लंबवत होता है।
चुंबकीय बल द्वारा किया गया कार्य $dW = \vec{F}_m \cdot d\vec{l} = F_m dl \cos(90^\circ)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\cos(90^\circ) = 0$ है,इसलिए कार्य $dW = 0$ होता है।
अतः,गतिमान आवेश पर चुंबकीय क्षेत्र द्वारा किया गया कुल कार्य $0$ है।