Motion of Charged Particle In Magnetic Field Questions in Hindi

(C) वेग चयनकर्ता में,आयन पर लगने वाला विद्युत बल और चुंबकीय बल संतुलित होना चाहिए ताकि वह बिना विक्षेपित हुए गुजर सके:
$qE = qvB$
$v = \frac{E}{B}$
विक्षेपण कक्ष में,चुंबकीय बल आयन की वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$qvB = \frac{mv^2}{r}$
$r = \frac{mv}{qB}$
$v = \frac{E}{B}$ का मान रखने पर और एकल आवेशित आयन के लिए $q = e$ का उपयोग करने पर:
$r = \frac{m(E/B)}{eB} = \frac{mE}{eB^2}$

(A) गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चुंबकीय बल हमेशा वेग सदिश $\vec{v}$ के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र द्वारा कण पर किया गया कार्य शून्य होता है $(W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = 0)$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है।
चूंकि किया गया कार्य शून्य है,इसलिए गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है $(K_f = K_i)$।
अतः,कण की चाल उसकी गति के दौरान स्थिर रहती है।
दी गई प्रारंभिक चाल $v_0 = 10 \ m/s$ है,इसलिए किसी भी समय,जिसमें वह तीसरी बार $y-$अक्ष से गुजरता है,उसकी चाल $10 \ m/s$ ही रहेगी।

(B) गतिमान आवेश पर चुंबकीय बल $\vec F = q(\vec v \times \vec B)$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि इलेक्ट्रॉन पर ऋणात्मक आवेश $(q = -e)$ होता है,इसलिए बल $\vec F = -e(\vec v \times \vec B) = e(\vec B \times \vec v)$ होगा।
स्थिति $1$: $\vec v$ ऋणात्मक $x-$ अक्ष $(-\hat i)$ के अनुदिश है और $\vec B$ ऋणात्मक $y-$ अक्ष $(-\hat j)$ के अनुदिश है।
$\vec F = -e((-\hat i) \times (-\hat j)) = -e(\hat k) = -e\hat k$। यह ऋणात्मक $z-$ अक्ष के अनुदिश है।
स्थिति $2$: $\vec v$ ऋणात्मक $y-$ अक्ष $(-\hat j)$ के अनुदिश है और $\vec B$ धनात्मक $x-$ अक्ष $(\hat i)$ के अनुदिश है।
$\vec F = -e((-\hat j) \times \hat i) = -e(\hat k) = -e\hat k$। यह ऋणात्मक $z-$ अक्ष के अनुदिश है।
स्थिति $3$: $\vec v$ ऋणात्मक $y-$ अक्ष $(-\hat j)$ के अनुदिश है और $\vec B$ धनात्मक $y-$ अक्ष $(\hat j)$ के अनुदिश है।
चूंकि $\vec v$ और $\vec B$ प्रति-समांतर हैं,इसलिए $\vec v \times \vec B = 0$ होगा। अतः,बल शून्य है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण के वृत्तापीय पथ की त्रिज्या $R = \frac{mV}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
कण के क्षेत्र $III$ में प्रवेश करने के लिए,पथ की त्रिज्या क्षेत्र $II$ की चौड़ाई से अधिक होनी चाहिए,यानी $R > l$।
$R$ का व्यंजक रखने पर,हमें $\frac{mV}{qB} > l$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $V > \frac{qlB}{m}$। अतः,विकल्प $A$ सही है और विकल्प $B$ गलत है।
क्षेत्र $II$ में कण की पथ लंबाई वृत्तापीय पथ की चाप लंबाई है। यह लंबाई तब अधिकतम होती है जब कण क्षेत्र $II$ से बाहर निकलने से पहले एक अर्धवृत्त पूरा करता है,जो $R = l$ या $V = \frac{qlB}{m}$ होने पर होता है। अतः,विकल्प $C$ सही है।
चुंबकीय क्षेत्र में बिताया गया समय $t = \frac{\theta}{\omega}$ है,जहाँ $\omega = \frac{qB}{m}$ कोणीय आवृत्ति है। क्षेत्र $I$ में वापस आने वाले कण के लिए,यह एक अर्धवृत्त बनाता है,इसलिए $\theta = \pi$। अतः,$t = \frac{\pi}{\omega} = \frac{\pi m}{qB}$,जो वेग $V$ से स्वतंत्र है। अतः,विकल्प $D$ सही है।

(B) जब कोई आवेशित कण चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत वेग के साथ प्रवेश करता है,तो वह चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल $F = q(v \times B)$ का अनुभव करता है।
चूंकि बल हमेशा वेग के लंबवत होता है,इसलिए यह अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है।
यह अभिकेंद्र बल कण को स्थिर गति के साथ वृत्ताकार पथ में चलने के लिए प्रेरित करता है।
इसलिए,जब विद्युत क्षेत्र को बंद कर दिया जाता है,तो इलेक्ट्रॉन एक वृत्ताकार कक्षा में गति करेंगे।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण पर लगने वाला बल लॉरेंट्ज़ बल सूत्र $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
एक ऋणावेशित कण $(q < 0)$ के लिए,बल $\vec{F}$,$\vec{v} \times \vec{B}$ की विपरीत दिशा में होता है।
कण पूर्व की ओर प्रक्षेपित किया जाता है,इसलिए वेग सदिश $\vec{v}$ पूर्व की ओर है।
कण उत्तर की ओर विक्षेपित होता है,इसलिए बल सदिश $\vec{F}$ उत्तर की ओर है।
चूंकि $q$ ऋणात्मक है,$\vec{v} \times \vec{B}$ की दिशा बल के विपरीत यानी दक्षिण की ओर होनी चाहिए।
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{v} \times \vec{B}$ के लिए दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करने पर (जहाँ $\vec{v}$ पूर्व में है और परिणाम दक्षिण में है),चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ नीचे की ओर होना चाहिए।

(D) आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चुंबकीय बल हमेशा वेग सदिश के लंबवत होता है,इसलिए यह कण पर कोई कार्य नहीं करता है।
अतः,कण की गतिज ऊर्जा और चाल स्थिर रहती है।
प्रारंभिक चाल $v = 5\ m/s$ है,इसलिए किसी भी समय वेग का परिमाण $5\ m/s$ होना चाहिए।
इसके अतिरिक्त,चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $z-$ अक्ष के अनुदिश है,इसलिए बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times B\hat k)$ हमेशा $x-y$ तल में रहेगा।
यदि कण $x-y$ तल में गति शुरू करता है,तो उसका वेग हमेशा $x-y$ तल में ही रहेगा।
इस प्रकार,वेग का $z-$ घटक (अर्थात $\hat k$ घटक) नहीं हो सकता है।
विकल्प $D$ में $\hat k$ घटक है,जो असंभव है।

(B) आवेशित कण पर चुंबकीय बल $F_m = qvB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि क्षेत्र अनुप्रस्थ है,$\theta = 90^o$,इसलिए $F_m = qvB$ होगा।
त्वरण $a = \frac{F_m}{m} = \frac{qvB}{m}$ द्वारा दिया जाता है।
यह देखते हुए कि $v$ और $B$ स्थिर हैं,$a \propto \frac{q}{m}$ होगा।
प्रत्येक कण के लिए आवेश-द्रव्यमान अनुपात $(q/m)$ की गणना करते हैं:
$H^+$: $q=1e, m \approx 1u \Rightarrow q/m = 1/1 = 1$
$He^{+2}$: $q=2e, m \approx 4u \Rightarrow q/m = 2/4 = 0.5$
$Li^+$: $q=1e, m \approx 7u \Rightarrow q/m = 1/7 \approx 0.14$
$Be^{+2}$: $q=2e, m \approx 9u \Rightarrow q/m = 2/9 \approx 0.22$
अनुपातों की तुलना करने पर,$H^+$ का $q/m$ अनुपात अधिकतम है।
इसलिए,$H^+$ अधिकतम त्वरण का अनुभव करेगा।

(A) चूंकि कण का प्रारंभिक वेग चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत है,इसलिए कण एक वृत्त के चाप के साथ गति करेगा।
यदि $r$ वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है,तो चुंबकीय बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$\frac{mv_0^2}{r} = qv_0B \Rightarrow r = \frac{mv_0}{qB}$
पथ की ज्यामिति से,कण $x=0$ पर प्रवेश करता है और $x=d$ पर बाहर निकलता है। विचलन का कोण $30^{\circ}$ है।
त्रिज्या $r$,क्षैतिज दूरी $d$ और ऊर्ध्वाधर घटक द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज से:
$\sin(30^{\circ}) = \frac{d}{r}$
$r$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$d = r \sin(30^{\circ}) = \left( \frac{mv_0}{qB} \right) \times \frac{1}{2} = \frac{mv_0}{2qB}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) चुंबकीय बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $evB = \frac{mv^2}{r}$.
त्रिज्या $r$ के लिए सूत्र: $r = \frac{mv}{eB}$.
चूंकि गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$.
$v$ का मान त्रिज्या के सूत्र में रखने पर: $r = \frac{\sqrt{2mE}}{eB}$.
दिया गया है: $E = 880 \times 1.6 \times 10^{-19} \,J$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \,kg$,$B = 2.5 \times 10^{-3} \,T$,और $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$.
$r = \frac{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 880 \times 1.6 \times 10^{-19}}}{1.6 \times 10^{-19} \times 2.5 \times 10^{-3}}$.
$r = \frac{\sqrt{25.6256 \times 10^{-47}}}{4 \times 10^{-22}} \approx \frac{5.06 \times 10^{-23}}{4 \times 10^{-22}} \approx 0.04 \,m = 4 \,cm$.

(D) गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec F = q(\vec v \times \vec B)$ द्वारा दिया जाता है।
यदि $\vec v \times \vec B = \vec 0$ हो,तो चुंबकीय बल शून्य होता है और कण सीधी रेखा में गति करना जारी रखता है।
यदि $\vec v$,$\vec B$ के लंबवत है,तो पथ वृत्ताकार होता है और आवर्तकाल $T = \frac{2\pi m}{qB}$ होता है।
यदि $\vec v$,$\vec B$ के साथ $\theta$ कोण बनाता है,तो क्षेत्र के लंबवत वेग का घटक $v_{\perp} = v \sin \theta$ होता है।
वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv \sin \theta}{qB}$ होती है।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi r}{v_{\perp}} = \frac{2\pi (mv \sin \theta / qB)}{v \sin \theta} = \frac{2\pi m}{qB}$ होता है।
इस प्रकार,आवर्तकाल $T$,$\vec v$ और $\vec B$ के बीच के कोण $\theta$ से स्वतंत्र है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में वेग $\vec{v}$ के साथ गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F}$,लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
इस बल का परिमाण $F = qvB \sin \theta$ है,जहाँ $\theta$ वेग सदिश $\vec{v}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
बल को अधिकतम होने के लिए,$\sin \theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए,जो $\theta = 90^\circ$ पर होता है।
जब $\theta = 90^\circ$ होता है,तो वेग सदिश $\vec{v}$,चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के लंबवत होता है।
गणितीय रूप से,दो सदिश लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो,अर्थात $\vec{v} \cdot \vec{B} = 0$।

(B) दिया गया वेग $\vec{v} = (3\hat i + 2\hat j) \, m/s$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = (2\hat j + 3\hat k) \, T$ है।
आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{v} \times \vec{B} = (3\hat i + 2\hat j) \times (2\hat j + 3\hat k) = 3\hat i \times 2\hat j + 3\hat i \times 3\hat k + 2\hat j \times 2\hat j + 2\hat j \times 3\hat k$
क्रॉस प्रोडक्ट के नियमों का उपयोग करते हुए $(\hat i \times \hat j = \hat k, \hat i \times \hat k = -\hat j, \hat j \times \hat j = 0, \hat j \times \hat k = \hat i)$:
$\vec{v} \times \vec{B} = 6\hat k - 9\hat j + 0 + 6\hat i = (6\hat i - 9\hat j + 6\hat k) = 3(2\hat i - 3\hat j + 2\hat k)$.
त्वरण $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{q}{m}(\vec{v} \times \vec{B})$.
दिया गया है कि $\frac{q}{m} = 0.96 \times 10^8 \, C/kg$.
$\vec{a} = (0.96 \times 10^8) \times 3(2\hat i - 3\hat j + 2\hat k) = 2.88 \times 10^8 (2\hat i - 3\hat j + 2\hat k) \, m/s^2$.

(D) चुंबकीय बल इलेक्ट्रॉन की वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $e v_n B = \frac{m_e v_n^2}{r_n} \Rightarrow r_n = \frac{m_e v_n}{e B}$.
बोहर की क्वांटाइजेशन अभिधारणा के अनुसार,कोणीय संवेग $L = m_e v_n r_n = \frac{nh}{2\pi}$ है।
क्वांटाइजेशन स्थिति में $r_n$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर:
$m_e v_n \left( \frac{m_e v_n}{e B} \right) = \frac{nh}{2\pi} \Rightarrow m_e^2 v_n^2 = \frac{nh e B}{2\pi} \Rightarrow v_n^2 = \frac{nh e B}{2\pi m_e^2}$.
गतिज ऊर्जा $K.E = \frac{1}{2} m_e v_n^2$ है।
$v_n^2$ का मान रखने पर: $K.E = \frac{1}{2} m_e \left( \frac{nh e B}{2\pi m_e^2} \right) = \frac{nh e B}{4\pi m_e}$.

(C) चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में $\vec{v}$ वेग से गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F}_m$ लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
चूंकि चुंबकीय बल हमेशा वेग सदिश $\vec{v}$ के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र द्वारा प्रदान की गई तात्कालिक शक्ति $P = \vec{F}_m \cdot \vec{v} = 0$ होती है।
चूंकि हर क्षण शक्ति शून्य होती है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र द्वारा आवेशित कण पर किया गया कुल कार्य $W = \int P \, dt$ हमेशा $0\,J$ होता है,चाहे गति,आवेश या समय की अवधि कुछ भी हो।

(C) इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला कुल लॉरेंट्ज़ बल $\overrightarrow{F} = -e(\overrightarrow{E} + \vec{v} \times \overrightarrow{B})$ द्वारा दिया जाता है।
इलेक्ट्रॉन के बिना विक्षेपित हुए गति करने के लिए,कुल बल शून्य होना चाहिए,अर्थात $\overrightarrow{F} = 0$।
इसका अर्थ है $\overrightarrow{E} = -(\vec{v} \times \overrightarrow{B}) = \overrightarrow{B} \times \vec{v}$।
यहाँ वेग $\vec{v} = v\hat{j}$ है। यदि हम चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ को $+x$ दिशा में लेते हैं (अर्थात $\overrightarrow{B} = B\hat{i}$),तो चुंबकीय बल $\vec{F}_m = -e(v\hat{j} \times B\hat{i}) = -evB(-\hat{k}) = evB\hat{k}$ होगा।
इसे संतुलित करने के लिए,विद्युत बल $\vec{F}_e = -e\overrightarrow{E}$ को $-z$ दिशा में होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $\overrightarrow{E}$ को $+z$ दिशा में होना चाहिए।
अतः,बीम के बिना विक्षेपित हुए आगे बढ़ने के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ को $+x$ अक्ष पर और विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ को $+z$ अक्ष पर होना चाहिए।

(A) मान लीजिए कण का वेग $v$ है। इसकी गतिज ऊर्जा इस प्रकार है:
$\frac{1}{2}mv^2 = qV \implies v = \sqrt{\frac{2qV}{m}} \quad ... (1)$
चुंबकीय क्षेत्र में कण $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है,जहाँ:
$\frac{mv^2}{r} = qvB \implies r = \frac{mv}{qB} \quad ... (2)$
समीकरण $(1)$ से $v$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$
चित्र में दिखाए गए पथ की ज्यामिति से,समकोण त्रिभुज में विचलन कोण $\theta$ के लिए:
$\sin \theta = \frac{d}{r}$
$r$ का मान रखने पर:
$\sin \theta = \frac{d}{\frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}} = Bd \sqrt{\frac{q}{2mV}} = Bd \left( \frac{q}{2mV} \right)^{1/2}$
अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

(D) जब एक आवेशित कण अपने वेग के लंबवत एक समान चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है,तो वह $r = \frac{mv}{qB}$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर गति करता है।
कण के विपरीत प्लेट से न टकराने के लिए,उसके वृत्ताकार पथ की त्रिज्या प्लेटों के बीच की दूरी $d$ से कम होनी चाहिए।
इसलिए,शर्त $r < d$ है।
$r$ का मान रखने पर,हमें $\frac{mv}{qB} < d$ प्राप्त होता है।
इस असमिका को $B$ के लिए व्यवस्थित करने पर,हमें $B > \frac{mv}{qd}$ प्राप्त होता है।

(B) एक लंबे सीधे तार द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 10}{0.04} = 0.5 \times 10^{-4} \ T$.
गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल $(F_m)$ $F_m = qvB \sin \theta$ होता है।
यहाँ,वेग तार के समानांतर है,इसलिए वेग और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $(\theta)$ $90^{\circ}$ है।
$F_m = (1.6 \times 10^{-19} \ C) \times (10^5 \ m/s) \times (0.5 \times 10^{-4} \ T) \times \sin 90^{\circ}$.
$F_m = 1.6 \times 10^{-19} \times 10^5 \times 0.5 \times 10^{-4} = 0.8 \times 10^{-18} \ N$.

(C) आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल $\vec{F} = q(\vec{V} \times \vec{B})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
परिमाण के रूप में,इसे $F = qVB \sin \theta$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $\theta$ वेग सदिश $\vec{V}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
बल के शून्य न होने $(F \neq 0)$ के लिए,$\sin \theta$ का मान शून्य नहीं होना चाहिए।
चूँकि $\theta = 0^{\circ}$ या $\theta = 180^{\circ}$ होने पर $\sin \theta = 0$ होता है,इसलिए इन कोणों पर बल शून्य होता है।
अतः,बल के शून्य न होने के लिए,$\theta$ का मान $0^{\circ}$ या $180^{\circ}$ नहीं हो सकता है।

(A) माना विभवांतर $V$ द्वारा त्वरित होने पर आवेशित कण का वेग $v$ है।
$\frac{1}{2}mv^2 = qV \implies v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$
जब एक आवेशित कण अपने वेग के लंबवत एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में प्रवेश करता है,तो वह $R$ त्रिज्या का वृत्ताकार पथ बनाता है:
$R = \frac{mv}{qB}$
$v$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$R = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$
चूंकि $q, V,$ और $B$ दोनों कणों के लिए समान हैं,इसलिए $R \propto \sqrt{m}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{R_A}{R_B} = \sqrt{\frac{m_A}{m_B}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{m_A}{m_B} = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^2 = \left(\frac{2\,cm}{3\,cm}\right)^2 = \frac{4}{9}$.

(A) जब कोई आवेशित कण चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत प्रक्षेपित किया जाता है,तो वह वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है।
चुंबकीय बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $Bqv = \frac{mv^2}{r}$.
पथ की त्रिज्या के लिए सूत्र: $r = \frac{mv}{Bq}$.
चूंकि $v$ और $B$ सभी कणों के लिए समान हैं,इसलिए त्रिज्या द्रव्यमान और आवेश के अनुपात के समानुपाती होती है: $r \propto \frac{m}{q}$.
द्रव्यमान और आवेश के अनुपात $(m/q)$ की तुलना करने पर:
इलेक्ट्रॉन के लिए: $m_e / e \approx 5.68 \times 10^{-12} \ kg/C$.
प्रोटॉन के लिए: $m_p / e \approx 1.04 \times 10^{-8} \ kg/C$.
ड्यूटेरॉन के लिए: $m_d / e \approx 2.08 \times 10^{-8} \ kg/C$.
$\alpha$-कण के लिए: $m_{\alpha} / (2e) \approx 2.08 \times 10^{-8} \ kg/C$.
इलेक्ट्रॉन के लिए $m/q$ अनुपात सबसे कम है। इसलिए,इलेक्ट्रॉन सबसे छोटा वृत्त बनाएगा।

(A) लॉरेंट्ज़ बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ के कारण कण एक वृत्ताकार पथ पर गति करता है।
कण के दीवार से न टकराने के लिए,वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ दीवार से दूरी $d$ के बराबर होनी चाहिए।
वृत्ताकार पथ की त्रिज्या का सूत्र $r = \frac{mv}{qB}$ है।
$r = d$ रखने पर,हमें $d = \frac{mv}{qB}$ प्राप्त होता है।
$B$ के लिए हल करने पर,$B = \frac{mv}{qd}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{q}{m} = \alpha$ है,इसलिए हम $\frac{m}{q} = \frac{1}{\alpha}$ लिख सकते हैं।
इस मान को $B$ के व्यंजक में रखने पर,हमें $B = \frac{v}{\alpha d}$ प्राप्त होता है।

(B) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के हेलिकल पथ की त्रिज्या का सूत्र है:
$r = \frac{mv_{\perp}}{qB} = \frac{mv \sin \theta}{qB}$
दिए गए मान:
$q/m = 10^8 \, C/kg \implies m/q = 10^{-8} \, kg/C$
$v = 3 \times 10^5 \, m/s$
$B = 0.3 \, T$
$\theta = 30^{\circ}$
सूत्र में मान रखने पर:
$r = \left( \frac{m}{q} \right) \frac{v \sin 30^{\circ}}{B}$
$r = (10^{-8}) \times \frac{3 \times 10^5 \times 0.5}{0.3}$
$r = 10^{-8} \times \frac{1.5 \times 10^5}{0.3}$
$r = 10^{-8} \times 5 \times 10^5 = 5 \times 10^{-3} \, m$
मीटर को सेंटीमीटर में बदलने पर:
$r = 5 \times 10^{-3} \times 10^2 \, cm = 0.5 \, cm$.

(A) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2$ है, इसलिए $mv = \sqrt{2mE}$ होता है।
इस मान को त्रिज्या के सूत्र में रखने पर, $r = \frac{\sqrt{2mE}}{qB}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $E$ और $B$ सभी कणों के लिए समान हैं, इसलिए $r \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$ होगा।
प्रोटॉन $(p)$ के लिए: द्रव्यमान $= m$, आवेश $= e$। अतः, $r_p \propto \frac{\sqrt{m}}{e}$।
ड्यूटेरॉन $(d)$ के लिए: द्रव्यमान $= 2m$, आवेश $= e$। अतः, $r_d \propto \frac{\sqrt{2m}}{e}$।
$\alpha$-कण $(\alpha)$ के लिए: द्रव्यमान $= 4m$, आवेश $= 2e$। अतः, $r_\alpha \propto \frac{\sqrt{4m}}{2e} = \frac{2\sqrt{m}}{2e} = \frac{\sqrt{m}}{e}$।
अनुपात की तुलना करने पर: $r_p : r_d : r_\alpha = 1 : \sqrt{2} : 1$।
अतः, $r_p = r_\alpha < r_d$।

(D) चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करने वाले आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{mv}{qB}$ है।
यहाँ,$v = 6 \times 10^7 \, m/s$,$B = 1.5 \times 10^{-2} \, T$,और विशिष्ट आवेश $\frac{q}{m} = 1.7 \times 10^{11} \, C/kg$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$r = \frac{v}{(\frac{q}{m})B} = \frac{6 \times 10^7}{(1.7 \times 10^{11}) \times (1.5 \times 10^{-2})}$
$r = \frac{6 \times 10^7}{2.55 \times 10^9} = 2.35 \times 10^{-2} \, m$
परिणाम को सेंटीमीटर में बदलने पर:
$r = 2.35 \times 10^{-2} \times 10^2 \, cm = 2.35 \, cm$.

(B) कण की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है।
अतः,वेग $v = \sqrt{\frac{2K}{m}}$ होगा।
गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ है।
चूंकि कण चुंबकीय क्षेत्र में लंबवत प्रवेश करता है,इसलिए बल का परिमाण $F = qvB \sin(90^{\circ}) = qvB$ होगा।
$v$ का मान रखने पर,$F = qB \sqrt{\frac{2K}{m}}$ प्राप्त होता है।
कण का त्वरण $a = \frac{F}{m}$ है।
$F$ का मान रखने पर,$a = \frac{qB}{m} \sqrt{\frac{2K}{m}} = \frac{qB\sqrt{2K}}{m \cdot m^{1/2}} = \frac{qB\sqrt{2K}}{m^{3/2}}$ प्राप्त होता है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेश पर लगने वाला बल लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
इलेक्ट्रॉन के लिए,आवेश $q = -e$ है।
वेग $\vec{v}$ उत्तर दिशा में है (मान लीजिए $+\hat{j}$)।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ ऊपर की दिशा में है (मान लीजिए $+\hat{k}$)।
सदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{v} \times \vec{B} = (v\hat{j}) \times (B\hat{k}) = vB(\hat{j} \times \hat{k}) = vB\hat{i}$ (पूर्व दिशा)।
अब,आवेश को लागू करने पर: $\vec{F} = -e(vB\hat{i}) = -evB\hat{i}$।
ऋणात्मक चिह्न इंगित करता है कि बल पूर्व की विपरीत दिशा में है,जो कि पश्चिम है।
अतः,इलेक्ट्रॉन पश्चिम दिशा की ओर विक्षेपित होगा।

(C) जब कण को $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित किया जाता है,तो प्राप्त गतिज ऊर्जा $K = qV$ होती है।
चूंकि $K = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $\frac{1}{2}mv^2 = qV$,जिसका अर्थ है $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$।
जब एक आवेशित कण चुंबकीय क्षेत्र $B$ में लंबवत प्रवेश करता है,तो वह $R = \frac{mv}{qB}$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ में गति करता है।
$v$ का मान त्रिज्या के सूत्र में रखने पर:
$R = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{m^2 \cdot 2qV}{q^2 \cdot m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गतिमान आवेशित कण की त्रिज्या $r$,जिसे $\Delta V$ विभव द्वारा त्वरित किया गया है,$r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $q\Delta V = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $v = \sqrt{\frac{2q\Delta V}{m}}$ होता है।
इस मान को त्रिज्या के सूत्र में रखने पर: $r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2q\Delta V}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2m\Delta V}{q}}$.
चूंकि $B$ और $\Delta V$ स्थिर हैं,इसलिए $r \propto \sqrt{\frac{m}{q}}$.
$H^+$ के लिए: $m_1 = 1, q_1 = 1 \Rightarrow \sqrt{\frac{1}{1}} = 1$.
$He^+$ के लिए: $m_2 = 4, q_2 = 1 \Rightarrow \sqrt{\frac{4}{1}} = 2$.
$O^{++}$ के लिए: $m_3 = 16, q_3 = 2 \Rightarrow \sqrt{\frac{16}{2}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
अतः,अनुपात $1 : 2 : 2\sqrt{2}$ है।

(A) जब एक आवेशित कण को एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में $\theta$ कोण (जहाँ $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$) पर प्रक्षेपित किया जाता है,तो वह एक कुंडलित (हेलिकल) पथ का अनुसरण करता है।
वेग सदिश $\vec{v}$ को दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है: $v_{\parallel} = v \cos \theta$ ($\vec{B}$ के समानांतर) और $v_{\perp} = v \sin \theta$ ($\vec{B}$ के लंबवत)।
लंबवत घटक $v_{\perp}$ कण को वृत्ताकार पथ में गति कराता है,जबकि समानांतर घटक $v_{\parallel}$ इसे चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में रैखिक गति कराता है।
वेग सदिश $\vec{v}$ वृत्ताकार पथ में एक पूर्ण चक्कर लगाने के बाद अपने प्रारंभिक मान पर वापस आ जाता है। एक पूर्ण चक्कर के लिए लिया गया समय आवर्तकाल $T$ कहलाता है।
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2 \pi m}{qB}$ है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,$q = e$,इसलिए $T = \frac{2 \pi m}{eB}$।
यह आवर्तकाल कोण $\theta$ और वेग $v$ से स्वतंत्र है।

(B) धारा $I$ ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ कागज के तल के अंदर की ओर निर्देशित होता है (दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करके)।
वेग $\vec{v}$ से गतिमान आवेश $q$ पर चुंबकीय लोरेंत्ज़ बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
ऋणात्मक आवेश $(q < 0)$ के लिए,बल $\vec{F}$,$(\vec{v} \times \vec{B})$ की दिशा के विपरीत निर्देशित होता है।
सदिश गुणनफल के लिए दाएं हाथ के नियम के अनुसार,यदि आवेश तार की ओर गति कर रहा है,तो $(\vec{v} \times \vec{B})$ की दिशा धारा के समानांतर होती है। चूंकि आवेश ऋणात्मक है,इसलिए बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ इसके विपरीत दिशा में कार्य करेगा। अतः,आवेश की गति तार की ओर होनी चाहिए।

(D) पथ की ज्यामिति से,प्रोटॉन चुंबकीय क्षेत्र के भीतर $R$ त्रिज्या के एक वृत्ताकार चाप में गति करता है। चित्र से,$\sin \alpha = \frac{d}{R}$ है।
चुंबकीय बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है,इसलिए $\frac{mv^2}{R} = qvB$,जिससे त्रिज्या $R = \frac{mv}{qB}$ प्राप्त होती है।
$\sin \alpha$ के व्यंजक में $R$ का मान रखने पर,$\sin \alpha = \frac{d}{mv/qB} = \frac{dqB}{mv}$ प्राप्त होता है।
प्रोटॉन द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mv^2 = qV$ है,जिसका अर्थ है $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$।
$\sin \alpha$ के व्यंजक में $v$ का मान रखने पर:
$\sin \alpha = \frac{dqB}{m \sqrt{\frac{2qV}{m}}} = \frac{dqB}{\sqrt{2mqV}} = Bd \sqrt{\frac{q^2}{2mqV}} = Bd \sqrt{\frac{q}{2mV}}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र कण को $d$ व्यास वाले अर्ध-वृत्ताकार पथ पर गति करने के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है,इसलिए त्रिज्या $R = \frac{d}{2}$ है।
अभिकेंद्री बल के सूत्र का उपयोग करते हुए: $Bqv = \frac{mv^2}{R} = \frac{mv^2}{d/2}$.
$B$ के लिए हल करने पर: $B = \frac{2mv}{qd}$.
अर्ध-वृत्त पूरा करने में लगा समय $\Delta t$,पूर्ण वृत्ताकार कक्षा के आवर्तकाल का आधा होता है।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi m}{Bq}$.
अतः,$\Delta t = \frac{T}{2} = \frac{\pi m}{Bq}$.
$\Delta t$ के व्यंजक में $B = \frac{2mv}{qd}$ रखने पर:
$\Delta t = \frac{\pi m}{(2mv/qd)q} = \frac{\pi d}{2v}$.

(C) कण के $x$-अक्ष के अनुदिश बिना विक्षेपित हुए गति करने के लिए,उस पर कार्य करने वाला कुल लॉरेंट्ज़ बल शून्य होना चाहिए।
लॉरेंट्ज़ बल का सूत्र $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ है।
बल के शून्य होने के लिए,विद्युत बल और चुंबकीय बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होने चाहिए: $qE = qvB$।
अतः,$B = \frac{E}{v}$।
यहाँ $E = 10^4 \, Vm^{-1}$ और $v = 10 \, ms^{-1}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $B = \frac{10^4}{10} = 10^3 \, Wb \, m^{-2}$।

(C) जब कोई आवेशित कण क्रॉस इलेक्ट्रिक और मैग्नेटिक फील्ड से बिना विक्षेपित हुए गुजरता है,तो इलेक्ट्रिक बल मैग्नेटिक बल द्वारा संतुलित होता है।
$F_e = F_m$
$qE = qvB$
$v = \frac{E}{B}$
यहाँ $E = 7.7 \, kV/m = 7.7 \times 10^3 \, V/m$ और $B = 0.14 \, T$ दिया गया है।
$v = \frac{7.7 \times 10^3}{0.14} \, m/s$
$v = 55000 \, m/s = 55 \, km/s$.

(A) आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F}$ लोरेंत्ज़ बल के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
दिया गया है:
$q = 2\,\mu C = 2 \times 10^{-6}\, C$
$\vec{v} = (2\hat{i} + 3\hat{j}) \times 10^6\, m/s$
$\vec{B} = 2\hat{j}\, T$
मान रखने पर:
$\vec{F} = (2 \times 10^{-6}) \times [(2\hat{i} + 3\hat{j}) \times 10^6] \times (2\hat{j})$
$\vec{F} = 2 \times [ (2\hat{i} \times 2\hat{j}) + (3\hat{j} \times 2\hat{j}) ]$
चूंकि $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ और $\hat{j} \times \hat{j} = 0$:
$\vec{F} = 2 \times [ 4\hat{k} + 0 ] = 8\hat{k}\, N$.
अतः,बल $8\, N$ है जो $z-$ दिशा में कार्य करता है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण की त्रिज्या का सूत्र $r = \frac{mv}{qB}$ है।
जब कण को $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित किया जाता है,तो उसकी गतिज ऊर्जा $K = qV = \frac{1}{2}mv^2$ होती है,जिसका अर्थ है $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$।
$v$ का मान त्रिज्या के सूत्र में रखने पर: $r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$।
प्रोटॉन के लिए,$q_p = e$ और $m_p = m$ है। अतः,$r_p = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{e}}$।
ड्यूटेरॉन के लिए,$q_d = e$ और $m_d = 2m$ है। अतः,$r_d = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2(2m)V}{e}} = \sqrt{2} \times \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{e}} = \sqrt{2} r_p$।
चूंकि $r_d = R$ दिया गया है,इसलिए $R = \sqrt{2} r_p$,जिसका अर्थ है $r_p = \frac{R}{\sqrt{2}}$।

(D) गतिमान आवेश पर चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बल $\vec{F}$ हमेशा वेग सदिश $\vec{v}$ के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय बल द्वारा आवेश पर किया गया कार्य $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int \vec{F} \cdot \vec{v} dt = 0$ होता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन कुल बल द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है।
चूंकि किया गया कार्य शून्य है,इसलिए गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।
अतः,कथन $1$ सही है।
कथन $2$ भी सही है क्योंकि चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ हमेशा $\vec{v}$ और $\vec{B}$ दोनों के लंबवत होता है,और यही लंबवत बल कारण है कि गति (और इसलिए गतिज ऊर्जा) नहीं बदलती है।
इसलिए,कथन $2$ कथन $1$ की सही व्याख्या है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में वृत्ताकार पथ पर गति करने वाले कण के लिए,चुंबकीय बल अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $qvB = \frac{mv^2}{r} \Rightarrow v = \frac{qBr}{m}$.
जब कण विद्युत और चुंबकीय दोनों क्षेत्रों के प्रभाव में सीधी रेखा में गति करता है,तो कुल बल शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि विद्युत बल चुंबकीय बल को संतुलित करता है: $qE = qvB \Rightarrow E = vB$.
$v$ का मान रखने पर: $E = \left(\frac{qBr}{m}\right)B = \frac{qB^2r}{m}$.
द्रव्यमान $m$ के लिए सूत्र: $m = \frac{qB^2r}{E}$.
यहाँ $q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$B = 0.5 \, T$,$r = 0.5 \times 10^{-2} \, m$,और $E = 100 \, V/m$ दिया गया है।
$m = \frac{(1.6 \times 10^{-19}) \times (0.5)^2 \times (0.5 \times 10^{-2})}{100} = 2.0 \times 10^{-24} \, kg$.

(D) वोल्टेज $V$ द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K = eV = \frac{p^2}{2m}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,संवेग $p = \sqrt{2meV}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ में वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = \frac{p}{eB} = \frac{\sqrt{2meV}}{eB} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{e}}$ होती है।
दिया गया है: $V = 500 \, V$,$B = 100 \, mT = 0.1 \, T$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$.
मान रखने पर:
$R = \frac{1}{0.1} \sqrt{\frac{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 500}{1.6 \times 10^{-19}}}$
$R = 10 \times \sqrt{\frac{910 \times 10^{-31}}{1.6 \times 10^{-19}}} = 10 \times \sqrt{568.75 \times 10^{-12}}$
$R = 10 \times 23.85 \times 10^{-6} \approx 7.53 \times 10^{-4} \, m$.

(D) चुंबकीय क्षेत्र $\vec B = B \hat k$ है। कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ है।
दिया गया है कि $d = \frac{mv}{2qB}$,इसलिए $r = 2d$ है।
जब कण $y = d$ पर बाहर निकलता है,तो वेग सदिश $x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाता है,जो $\sin \theta = \frac{d}{r} = \frac{d}{2d} = \frac{1}{2}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $\theta = 30^\circ$ या $\frac{\pi}{6}$ है।
कण पर बल $\vec F = q(\vec v \times \vec B)$ है। त्वरण $\vec a = \frac{\vec F}{m} = \frac{q}{m}(\vec v \times \vec B)$ है।
बाहर निकलने के बिंदु पर,वेग सदिश $\vec v = v(\cos \theta \hat i + \sin \theta \hat j)$ है।
अतः,$\vec a = \frac{q}{m} [v(\cos \theta \hat i + \sin \theta \hat j) \times B \hat k] = \frac{qvB}{m} (\cos \theta (-\hat j) + \sin \theta (\hat i)) = \frac{qvB}{m} (\sin \theta \hat i - \cos \theta \hat j)$ है।
$\theta = 30^\circ$ रखने पर,$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ और $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\vec a = \frac{qvB}{m} (\frac{1}{2} \hat i - \frac{\sqrt{3}}{2} \hat j)$ प्राप्त होता है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,परिमाण और दिशा विकल्प $D$ के अनुरूप है।

(A) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित $q$ आवेश वाले कण की गतिज ऊर्जा $K = qV$ होती है।
प्रोटॉन के लिए: $m_p = m$,$q_p = q$,$K_p = qV$.
$\alpha$-कण के लिए: $m_{\alpha} = 4m$,$q_{\alpha} = 2q$,$K_{\alpha} = (2q)V = 2qV$.
चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
त्रिज्याओं का अनुपात लेने पर:
$\frac{r_p}{r_{\alpha}} = \frac{\sqrt{2m_p K_p} / q_p B}{\sqrt{2m_{\alpha} K_{\alpha}} / q_{\alpha} B} = \frac{\sqrt{m_p K_p}}{q_p} \cdot \frac{q_{\alpha}}{\sqrt{m_{\alpha} K_{\alpha}}}$
मान रखने पर:
$\frac{r_p}{r_{\alpha}} = \frac{\sqrt{m \cdot qV}}{q} \cdot \frac{2q}{\sqrt{4m \cdot 2qV}} = \frac{\sqrt{mqV}}{q} \cdot \frac{2q}{\sqrt{8mqV}} = \frac{2}{\sqrt{8}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण की त्रिज्या का सूत्र $r = \frac{mv}{qB}$ है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए $mv = \sqrt{2mK}$ होता है।
इस मान को त्रिज्या के सूत्र में रखने पर,$r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $K$ और $B$ समान हैं,इसलिए $r \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$ होगा।
प्रोटॉन $(p)$ के लिए: $m_p = m, q_p = e$,अतः $r_p \propto \frac{\sqrt{m}}{e}$।
इलेक्ट्रॉन $(e)$ के लिए: $m_e \approx \frac{m}{1836}, q_e = e$,अतः $r_e \propto \frac{\sqrt{m/1836}}{e} = \frac{r_p}{\sqrt{1836}}$। इस प्रकार,$r_e < r_p$।
हीलियम नाभिक $(He^{2+})$ के लिए: $m_{He} \approx 4m, q_{He} = 2e$,अतः $r_{He} \propto \frac{\sqrt{4m}}{2e} = \frac{2\sqrt{m}}{2e} = \frac{\sqrt{m}}{e} = r_p$।
अतः,$r_e < r_p = r_{He}$।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2m(KE)}}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $R = \frac{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 100 \times 1.6 \times 10^{-19}}}{1.6 \times 10^{-19} \times 1.5 \times 10^{-3}} \approx 0.02248 \, m = 2.248 \, cm$.
ज्यामिति से,$\sin \theta = \frac{x}{R} = \frac{2}{2.248} \approx 0.8896$,इसलिए $\theta \approx 62.8^\circ$.
निकास बिंदु $T$ पर ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = R(1 - \cos \theta) = 2.248(1 - \cos(62.8^\circ)) \approx 2.248(1 - 0.457) \approx 1.22 \, cm$.
चुंबकीय क्षेत्र से बाहर निकलने के बाद इलेक्ट्रॉन एक सीधी रेखा में चलता है। निकास बिंदु $T$ से पर्दे तक की दूरी $8 \, cm - 2 \, cm = 6 \, cm$ है।
अतिरिक्त ऊर्ध्वाधर विस्थापन $\Delta y = (6 \, cm) \tan \theta = 6 \times \tan(62.8^\circ) \approx 6 \times 1.945 \approx 11.67 \, cm$.
कुल दूरी $d = y + \Delta y = 1.22 + 11.67 = 12.89 \, cm$। निकटतम विकल्प $12.87 \, cm$ है।

(A) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण की आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{qB}{2\pi m}$ है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $B$ समान है और सभी कणों के लिए वेग $v$ समान है,इसलिए आवृत्ति $f$ आवेश-द्रव्यमान अनुपात पर निर्भर करती है,अर्थात $f \propto \frac{q}{m}$।
आइए दिए गए कणों के लिए $q/m$ अनुपात की तुलना करें:
$1$. इलेक्ट्रॉन: $q = e$,$m = m_e$. अनुपात $\approx \frac{e}{m_e}$.
$2$. प्रोटॉन: $q = e$,$m = m_p \approx 1836 m_e$. अनुपात $\approx \frac{e}{1836 m_e}$.
$3$. ड्यूटेरॉन: $q = e$,$m = 2m_p \approx 3672 m_e$. अनुपात $\approx \frac{e}{3672 m_e}$.
$4$. $\alpha -$ कण: $q = 2e$,$m = 4m_p \approx 7344 m_e$. अनुपात $\approx \frac{2e}{7344 m_e} = \frac{e}{3672 m_e}$.
इन मानों की तुलना करने पर,इलेक्ट्रॉन का $q/m$ अनुपात सबसे अधिक है क्योंकि इसका द्रव्यमान $m_e$ अन्य कणों के द्रव्यमान की तुलना में काफी कम है।
अतः,इलेक्ट्रॉन की घूर्णन आवृत्ति अधिकतम होगी।

(B) कण अपने वेग के लंबवत एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में प्रवेश करता है और एक वृत्ताकार पथ का अनुसरण करेगा।
वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ का मान $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v$ कण का वेग है।
गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2$ दी गई है,इसलिए हम $v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$ लिख सकते हैं।
त्रिज्या के सूत्र में $v$ का मान रखने पर,हमें $r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2E}{m}} = \frac{\sqrt{2mE}}{qB}$ प्राप्त होता है।
कण के ऊपरी प्लेट से न टकराने के लिए,वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ को प्लेटों के बीच की दूरी $d$ से कम या उसके बराबर होना चाहिए $(r \leq d)$।
अतः,$\frac{\sqrt{2mE}}{qB} \leq d$।
$B$ के लिए हल करने पर,हमें $B \geq \frac{\sqrt{2mE}}{qd}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,कण के ऊपरी प्लेट से न टकराने की शर्त $B > \frac{\sqrt{2mE}}{qd}$ है।

(B) जब कोई आवेशित कण चुंबकीय क्षेत्र में लंबवत प्रवेश करता है,तो वह वृत्ताकार गति करता है।
चुंबकीय बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$F_m = F_c$
$qvB = \frac{mv^2}{r}$
इससे,कोणीय वेग $\omega$ इस प्रकार प्राप्त होता है:
$\omega = \frac{v}{r} = \frac{qB}{m}$
चूंकि आवृत्ति $f$ और कोणीय वेग के बीच संबंध $\omega = 2\pi f$ है,इसलिए:
$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{qB}{2\pi m}$
इलेक्ट्रॉन के लिए,आवेश $q = e$ है,अतः आवृत्ति होगी:
$f = \frac{eB}{2\pi m}$

(A) चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लंबवत गति करने वाले आवेशित कण के पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$m$ द्रव्यमान है,$v$ वेग है,और $q$ कण का आवेश है।
$\alpha$ कण के लिए,$q_{\alpha} = +2e$ और $m_{\alpha} \approx 4m_p$ (जहाँ $m_p$ प्रोटॉन का द्रव्यमान है)।
$\beta$ कण (इलेक्ट्रॉन) के लिए,$q_{\beta} = -e$ और $m_{\beta} \approx \frac{1}{1836}m_p$ है।
चूंकि द्रव्यमान और आवेश अलग-अलग हैं,इसलिए त्रिज्याएँ $r_{\alpha} = \frac{m_{\alpha}v}{2eB}$ और $r_{\beta} = \frac{m_{\beta}v}{eB}$ असमान होंगी।
चूंकि आवेशों के चिह्न विपरीत हैं ($+2e$ और $-e$),इसलिए लॉरेंट्ज़ बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ दोनों कणों पर विपरीत दिशाओं में कार्य करेगा,जिससे वे विपरीत दिशाओं में मुड़ेंगे।

(A) दिया गया है: विशिष्ट आवेश $\frac{q}{m} = 5 \times 10^7 \ C/kg$,चुंबकीय क्षेत्र $B = 4 \times 10^{-2} \ T$,वेग $v = 2 \times 10^5 \ m/s$।
जब कोई आवेशित कण एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में लंबवत प्रवेश करता है,तो वह वृत्ताकार पथ पर गति करता है।
वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ का सूत्र है:
$r = \frac{mv}{qB} = \frac{v}{(\frac{q}{m})B}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$r = \frac{2 \times 10^5}{(5 \times 10^7) \times (4 \times 10^{-2})}$
$r = \frac{2 \times 10^5}{20 \times 10^5}$
$r = \frac{2}{20} = 0.1 \ m$
अतः,वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $0.1 \ m$ होगी।