Motion of Charged Particle In Magnetic Field Questions in Hindi

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $T = \frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए $mv = \sqrt{2mT}$ होता है।
इस मान को त्रिज्या के सूत्र में रखने पर,$r = \frac{\sqrt{2mT}}{qB}$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक स्थिति के लिए: $R = \frac{\sqrt{2mT}}{qB}$।
नई स्थिति के लिए,गतिज ऊर्जा $T' = 2T$ और चुंबकीय क्षेत्र $B' = 3B$ है।
नई त्रिज्या $R'$ इस प्रकार होगी: $R' = \frac{\sqrt{2m(2T)}}{q(3B)}$।
$R' = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2mT}}{3qB} = \frac{\sqrt{2}}{3} \left( \frac{\sqrt{2mT}}{qB} \right)$।
कोष्ठक में दिए गए पद के लिए $R$ रखने पर,$R' = \frac{\sqrt{2}}{3} R = \sqrt{\frac{2}{9}} R$ प्राप्त होता है।

(C) परस्पर लंबवत विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों में कोई विक्षेपण न होने के लिए,विद्युत बल और चुंबकीय बल संतुलित होने चाहिए: $qE = qvB$.
इसलिए,इलेक्ट्रॉन का वेग $v = \frac{E}{B} = \frac{3.2 \times 10^5}{2 \times 10^{-3}} = 1.6 \times 10^8 \, m/s$ है।
जब विद्युत क्षेत्र को हटा दिया जाता है,तो इलेक्ट्रॉन चुंबकीय बल के कारण एक वृत्ताकार पथ पर गति करता है जो अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $qvB = \frac{mv^2}{r}$.
कक्षा की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $r = \frac{9.1 \times 10^{-31} \times 1.6 \times 10^8}{1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^{-3}}$.
$r = \frac{9.1 \times 10^{-23}}{3.2 \times 10^{-22}} = 0.45 \, m$.
अतः,त्रिज्या $0.45 \, m$ है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $x$-अक्ष की दिशा में है,$\vec B = 10\,\hat i$।
कण का प्रारंभिक वेग $\vec u = 5\hat i + 4\hat j$ है।
चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर वेग का घटक $v_{\parallel} = 5\,\hat i$ है,जो स्थिर रहता है क्योंकि इस घटक पर कोई चुंबकीय बल कार्य नहीं करता है।
चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत वेग का घटक $v_{\perp} = 4\,\hat j$ है। यह घटक चुंबकीय बल $\vec F = q(\vec v_{\perp} \times \vec B)$ का अनुभव करता है,जो कण को $yz$-तल में वृत्ताकार पथ पर गति करने के लिए प्रेरित करता है।
चूंकि कण के पास $x$-अक्ष की दिशा में एक स्थिर वेग घटक और $yz$-तल में वृत्ताकार गति का घटक दोनों हैं,इसलिए कण का परिणामी पथ हेलिकल (कुंडलाकार) होता है।

(A) चुंबकीय बल का सूत्र $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ है। इलेक्ट्रॉन के लिए $q = -e = -1.6 \times 10^{-19}\,C$ है।
चूंकि बल शून्य है जब $\vec{v}_2 = (1.5\,\hat{i} - 2.0\,\hat{j}) \times 10^7\,m/s$ है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ को $\vec{v}_2$ के समानांतर होना चाहिए। अतः,$\vec{B} = k(1.5\,\hat{i} - 2.0\,\hat{j})$।
प्रथम स्थिति का उपयोग करते हुए: $\vec{F} = -e(\vec{v}_1 \times \vec{B})$।
$(4.0\,\hat{i} + 3.0\,\hat{j}) \times 10^{-13} = -1.6 \times 10^{-19} \times (2.5 \times 10^7\,\hat{k} \times k(1.5\,\hat{i} - 2.0\,\hat{j}))$।
$(4.0\,\hat{i} + 3.0\,\hat{j}) \times 10^{-13} = -4.0 \times 10^{-12} \times k \times (1.5\,\hat{j} + 2.0\,\hat{i})$।
घटकों की तुलना करने पर: $4.0 \times 10^{-13} = -4.0 \times 10^{-12} \times k \times 2.0 \implies k = -0.05$।
अतः,$\vec{B} = -0.05(1.5\,\hat{i} - 2.0\,\hat{j}) = -0.075\,\hat{i} + 0.1\,\hat{j}\,T$।

(B) जब $m$ द्रव्यमान,$q$ आवेश और $v$ वेग वाला एक आवेशित कण एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में क्षेत्र के लंबवत प्रवेश करता है,तो वह चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल $F = qvB$ का अनुभव करता है जो अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है।
चुंबकीय बल को अभिकेंद्र बल के बराबर रखने पर: $qvB = \frac{mv^2}{r}$।
त्रिज्या $r$ के लिए हल करने पर: $r = \frac{mv}{qB}$।
चूंकि इलेक्ट्रॉनों के लिए $m$,$q$ और $B$ स्थिर हैं,इसलिए $r \propto v$ है।
अतः,उच्च चाल से गति करने वाले इलेक्ट्रॉनों की वक्रता त्रिज्या बड़ी होगी।

(A) जब $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाला एक आवेशित कण $B$ चुंबकीय क्षेत्र में $v$ वेग से क्षेत्र के लंबवत प्रवेश करता है,तो वह वृत्ताकार गति करता है।
चुंबकीय लॉरेंज बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $qvB = \frac{mv^2}{r}$।
इससे,वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ प्राप्त होती है।
आवर्तकाल $T$ एक पूर्ण चक्कर पूरा करने में लगा समय है,जो $T = \frac{2\pi r}{v}$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ का मान रखने पर: $T = \frac{2\pi (mv/qB)}{v} = \frac{2\pi m}{qB}$।
चूंकि $m$,$q$ और $B$ सभी इलेक्ट्रॉनों के लिए स्थिर हैं,इसलिए आवर्तकाल $T$ चाल $v$ से स्वतंत्र है।
अतः,सभी इलेक्ट्रॉनों के लिए घूर्णन का आवर्तकाल समान होगा।

(D) वर्गाकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ लूप के तल के लंबवत और बाहर की ओर होता है (दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करके),इसलिए $\vec{B} = B\hat{k}$ है।
इलेक्ट्रॉन को विकर्ण $AC$ पर $C$ की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। वेग $\vec{v}$ की दिशा केंद्र से $C$ की ओर के सदिश की दिशा में है,जो $(\hat{i} - \hat{j})$ की दिशा में है।
इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला लॉरेंट्ज़ बल $\vec{F} = -e(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\vec{F} = -e [v(\frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}}) \times B\hat{k}] = -evB [\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i} \times \hat{k} - \hat{j} \times \hat{k})]$.
चूंकि $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ और $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,हमें $\vec{F} = -evB [\frac{1}{\sqrt{2}}(-\hat{j} - \hat{i})] = \frac{evB}{\sqrt{2}}(\hat{i} + \hat{j})$ प्राप्त होता है।
त्वरण $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m_e}$ बल $\vec{F}$ की दिशा में ही होता है।
अतः,प्रारंभिक त्वरण की दिशा में इकाई सदिश $\frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$ है।

(B) हेलिकल पथ की पिच को कण द्वारा चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में एक आवर्तकाल में तय की गई दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है।
पिच का सूत्र: $p = v \cos \theta \times T$
जहाँ $T = \frac{2 \pi m}{q B}$ वृत्तीय गति का आवर्तकाल है।
दिए गए मान: $q = 1 \, C$,$m = 1 \, kg$,$v = 1 \, m/s$,$B = 1 \, T$,और $\theta = 30^\circ$।
मान रखने पर:
$T = \frac{2 \pi (1)}{(1)(1)} = 2 \pi \, s$
$p = (1 \cos 30^\circ) \times (2 \pi)$
$p = (1 \times \frac{\sqrt{3}}{2}) \times 2 \pi = \sqrt{3} \pi \, m$.

(B) जब एक आवेशित कण को ऐसे क्षेत्र में विरामावस्था से छोड़ा जाता है जहाँ विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ समानांतर हैं,तो चुंबकीय बल $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ शून्य होता है क्योंकि प्रारंभिक वेग शून्य है और बाद का वेग चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर बना रहता है।
विद्युत बल $\vec{F}_e = q\vec{E}$ कण पर कार्य करता है,जिससे वह विद्युत क्षेत्र की दिशा में त्वरित होता है।
चूंकि कण विरामावस्था से शुरू होता है और बल स्थिर है तथा क्षेत्र रेखाओं की दिशा में है,इसलिए कण एक सीधी रेखा में गति करेगा।

(C) विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य कण की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र गतिमान आवेश पर कोई कार्य नहीं करता है,इसलिए केवल विद्युत क्षेत्र ही गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के लिए जिम्मेदार है।
किया गया कार्य $W = q E_0 x_0 = \Delta K = \frac{1}{2} m v^2$.
दिया गया विशिष्ट आवेश $\alpha = \frac{q}{m}$ है,इसलिए $q = m \alpha$ लिखा जा सकता है।
इस मान को कार्य-ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $m \alpha E_0 x_0 = \frac{1}{2} m v^2$.
$x_0$ के लिए सरल करने पर: $x_0 = \frac{v^2}{2 \alpha E_0}$.
वेग सदिश $\vec{v} = 4 \hat{i} + 3 \hat{j}$ है,इसलिए चाल $v = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$.
$v = 5$ का मान $x_0$ के समीकरण में रखने पर: $x_0 = \frac{5^2}{2 \alpha E_0} = \frac{25}{2 \alpha E_0}$.

(A) आवेशित कण पर चुंबकीय बल का सूत्र $\vec{F} = q(\vec{V} \times \vec{B})$ है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,$q = -e$.
दिया गया है $\vec{V_1} = 2\hat{i}$ और $\vec{F_1} = -2\hat{j}$,अतः $-2\hat{j} = -e(2\hat{i} \times \vec{B}) \implies \hat{j} = e(\hat{i} \times \vec{B})$.
दिया गया है $\vec{V_2} = 2\hat{j}$ और $\vec{F_2} = 2\hat{i}$,अतः $2\hat{i} = -e(2\hat{j} \times \vec{B}) \implies \hat{i} = -e(\hat{j} \times \vec{B})$.
मान लीजिए $\vec{B} = B_x\hat{i} + B_y\hat{j} + B_z\hat{k}$.
$\hat{i} \times (B_x\hat{i} + B_y\hat{j} + B_z\hat{k}) = \frac{1}{e}\hat{j}$ से,हमें $B_z\hat{j} - B_y\hat{k} = \frac{1}{e}\hat{j}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $B_z = \frac{1}{e}$ और $B_y = 0$.
$\hat{j} \times (B_x\hat{i} + B_y\hat{j} + B_z\hat{k}) = -\frac{1}{e}\hat{i}$ से,हमें $-B_z\hat{i} + B_x\hat{k} = -\frac{1}{e}\hat{i}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $B_z = \frac{1}{e}$ और $B_x = 0$.
अतः,$\vec{B} = \frac{1}{e}\hat{k}$.
अब,$\vec{V_3} = 2\hat{k}$ के लिए,बल $\vec{F_3} = -e(2\hat{k} \times \frac{1}{e}\hat{k}) = -2(\hat{k} \times \hat{k}) = 0$ होगा।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi m}{QB}$ द्वारा दिया जाता है।
पहले कण के लिए,जिसका द्रव्यमान $M$ और आवेश $Q$ है,आवर्तकाल $T_1 = \frac{2\pi M}{QB}$ है।
दूसरे कण के लिए,जिसका द्रव्यमान $2M$ और आवेश $Q$ है,आवर्तकाल $T_2 = \frac{2\pi(2M)}{QB} = \frac{4\pi M}{QB}$ है।
कण तब फिर से मिलेंगे जब बीता हुआ समय उनके आवर्तकाल का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ होगा। $T_1$ और $T_2$ का $LCM$ $T = \frac{4\pi M}{QB}$ है।
इस समय पर,पहला कण $n_1 = T/T_1 = 2$ चक्कर पूरा करता है,और दूसरा कण $n_2 = T/T_2 = 1$ चक्कर पूरा करता है।
चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में तय की गई दूरी $d = v \cos\theta \times t$ है।
$t = T = \frac{4\pi M}{QB}$ रखने पर,हमें $d = v \cos\theta \times \frac{4\pi M}{QB} = \frac{4\pi Mv \cos\theta}{QB}$ प्राप्त होता है।

(D) जब एक आवेशित कण लंबवत चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है,तो वह एक वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है। पूर्ण वृत्ताकार कक्षा का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi m}{QB}$ है।
पथ की ज्यामिति से,कण $YZ$ सीमा के अभिलंब के साथ $\theta$ कोण पर क्षेत्र में प्रवेश करता है। चुंबकीय क्षेत्र के अंदर वृत्ताकार पथ के चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण $\phi = \pi - 2\theta$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में बिताया गया समय $t = \frac{\phi}{2\pi} T$ द्वारा दिया जाता है।
$\phi = \pi - 2\theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $t = \frac{\pi - 2\theta}{2\pi} T = T \left( \frac{\pi - 2\theta}{2\pi} \right)$ प्राप्त होता है।

(D) जब एक आवेशित कण अपने वेग के लंबवत एक समान चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है, तो वह एक वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है।
चित्र में दिखाए गए पथ की ज्यामिति से, चुंबकीय क्षेत्र के अंदर पथ के चाप द्वारा केंद्र $C$ पर अंतरित कोण $\alpha$, कोण $\theta$ के साथ $\alpha + \theta + \theta = \pi$ संबंध रखता है, जिससे $\alpha = \pi - 2\theta$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वृत्ताकार कक्षा का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi m}{QB}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में कण द्वारा बिताया गया समय $t$, केंद्र पर अंतरित कोण $\alpha$ के समानुपाती होता है:
$t = \frac{\alpha}{2\pi} T$
$\alpha = \pi - 2\theta$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$t = \frac{\pi - 2\theta}{2\pi} T = T \left( \frac{\pi - 2\theta}{2\pi} \right)$.

(A) धारावाही तार द्वारा इलेक्ट्रॉन की स्थिति पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र कागज के तल के अंदर की ओर है,जो $-\hat{k}$ दिशा में है।
इलेक्ट्रॉन का वेग ऋणात्मक $x$-अक्ष की दिशा में है,इसलिए $\vec{v} = -v\hat{i}$ है।
आवेश $q$ पर चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,$q = -e$ है। मान रखने पर:
$\vec{F} = -e [(-v\hat{i}) \times (-B\hat{k})]$
$\vec{F} = -e [vB(\hat{i} \times \hat{k})]$
चूंकि $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ होता है,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{F} = -e [vB(-\hat{j})] = evB\hat{j}$।
अतः,चुंबकीय बल की दिशा धनात्मक $y$-अक्ष की ओर है।

(C) जब एक आवेशित कण अपने वेग के लंबवत एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है,तो वह $R = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर चलता है,जहाँ $p$ संवेग है।
वृत्ताकार चाप की ज्यामिति से,मान लीजिए $R$ पथ की त्रिज्या है। कण $y$ क्षैतिज दूरी तय करता है और $x$ ऊर्ध्वाधर दूरी से विक्षेपित होता है।
वृत्त के गुण का उपयोग करते हुए,$R^2 = (R - x)^2 + y^2$.
इसका विस्तार करने पर,$R^2 = R^2 - 2Rx + x^2 + y^2$.
यह $2Rx = x^2 + y^2$ में सरल हो जाता है,इसलिए $R = \frac{x^2 + y^2}{2x} = \frac{x}{2} + \frac{y^2}{2x} = \frac{1}{2} \left( \frac{y^2}{x} + x \right)$.
चूंकि $p = qBR$,हम $R$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$p = qB \cdot \frac{1}{2} \left( \frac{y^2}{x} + x \right) = \frac{qB}{2} \left( \frac{y^2}{x} + x \right)$.

(C) ब्लॉक पर कार्य करने वाला चुंबकीय लोरेंत्ज़ बल $F = qvB$ है,जो नत समतल के लंबवत ऊपर की दिशा में कार्य करता है।
ब्लॉक नत समतल के साथ संपर्क तब खो देगा जब ऊपर की ओर लगने वाला चुंबकीय बल,समतल के लंबवत गुरुत्वाकर्षण बल के घटक के बराबर हो जाएगा:
$F = mg \cos \theta$
$qvB = mg \cos \theta$
$v = \frac{mg \cos \theta}{qB}$
ब्लॉक $a = g \sin \theta$ के त्वरण के साथ नीचे की ओर फिसलता है। विरामावस्था से शुरू होकर,$t$ समय पर इसका वेग है:
$v = at = (g \sin \theta)t$
$v$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$(g \sin \theta)t = \frac{mg \cos \theta}{qB}$
$t = \frac{mg \cos \theta}{qB(g \sin \theta)}$
$t = \frac{m \cot \theta}{qB}$

(C) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
चुंबकीय क्षेत्र के क्षेत्र की चौड़ाई $d = \frac{3mv}{5qB}$ दी गई है।
माना विचलन कोण $\alpha$ है। वृत्ताकार पथ की ज्यामिति से,विचलन कोण $\alpha$ का ज्या (sine) $\sin \alpha = \frac{d}{R}$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$\sin \alpha = \frac{3mv/5qB}{mv/qB} = \frac{3}{5} = 0.6$।
चूंकि $\sin 37^{\circ} = 0.6$,इसलिए $\alpha = 37^{\circ}$।
ज्यामिति से,अभिलंब के साथ आपतन कोण $i = 90^{\circ} - 53^{\circ} = 37^{\circ}$ है।
अभिलंब के साथ निर्गत कोण $e = 90^{\circ} - \theta$ है।
विचलन कोण $\alpha$ आपतन और निर्गत कोणों से संबंधित है,जहाँ कुल विचलन $\alpha = 37^{\circ}$ है।
ज्यामिति के अनुसार,कोण $\theta$ इस प्रकार है कि कुल विचलन $\alpha = 180^{\circ} - (53^{\circ} + \theta) = 37^{\circ}$ हो।
अतः,$180^{\circ} - 53^{\circ} - \theta = 37^{\circ} \Rightarrow 127^{\circ} - \theta = 37^{\circ} \Rightarrow \theta = 90^{\circ}$।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में एक आवेशित कण का आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi m}{q B}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि कण समान हैं ($m$ और $q$ समान हैं) और चुंबकीय क्षेत्र $B$ एकसमान है,इसलिए आवर्तकाल प्रवेश के कोण से स्वतंत्र है। अतः,$a = \frac{T_1}{T_2} = 1$ है।
हेलिकल पथ की त्रिज्या $r = \frac{m v \sin \theta}{q B}$ द्वारा दी जाती है। त्रिज्या का अनुपात $b = \frac{r_1}{r_2} = \frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 60^{\circ}} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
हेलिकल पथ की पिच $p = v \cos \theta \cdot T$ द्वारा दी जाती है। पिच का अनुपात $c = \frac{p_1}{p_2} = \frac{\cos 30^{\circ}}{\cos 60^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$ है।
अब,गुणनफल $abc = 1 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3} = 1$ है। साथ ही,विकल्प $(B)$ की जाँच करने पर: $a = 1$ और $bc = \frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3} = 1$ है। चूंकि $a = bc$ भी सत्य है,इसलिए सही उत्तर $(D)$ है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में $\vec{v}$ वेग से गतिमान आवेशित कण पर चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
कथन $(A)$ गलत है क्योंकि यदि प्रारंभिक वेग शून्य है,तो चुंबकीय बल $\vec{F} = q(0 \times \vec{B}) = 0$ होता है। अतः,यह त्वरित नहीं होता है।
कथन $(B)$ सत्य है क्योंकि चुंबकीय बल $\vec{v}$ और $\vec{B}$ का सदिश गुणनफल है,जो हमेशा $\vec{v}$ और $\vec{B}$ दोनों के लंबवत होता है।
कथन $(C)$ सत्य है क्योंकि बल का परिमाण $F = qvB \sin \theta$ है,जहाँ $\theta$ $\vec{v}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण है। यह $F = qv(B \sin \theta)$ के बराबर है,जहाँ $B \sin \theta$ वेग के लंबवत चुंबकीय क्षेत्र का घटक है।
इसलिए,$(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(D) जब कोई आवेशित कण चुंबकीय क्षेत्र में गति करता है,तो चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
यदि इलेक्ट्रॉन धनात्मक $X$-अक्ष के अनुदिश गति कर रहा है,तो उसका वेग $\vec{v} = v\hat{i}$ है।
यदि हम $Y$-अक्ष के अनुदिश चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = B\hat{j}$ लागू करते हैं,तो बल $\vec{F} = -e(v\hat{i} \times B\hat{j}) = -evB\hat{k}$ होगा। यह बल इलेक्ट्रॉन को $XZ$-तल में वृत्ताकार पथ पर गति कराएगा। अर्धवृत्त पूरा करने के बाद,वेग सदिश ऋणात्मक $X$-दिशा में होगा।
इसी प्रकार,यदि हम $Z$-अक्ष के अनुदिश चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = B\hat{k}$ लागू करते हैं,तो बल $\vec{F} = -e(v\hat{i} \times B\hat{k}) = evB\hat{j}$ होगा। यह बल इलेक्ट्रॉन को $XY$-तल में वृत्ताकार पथ पर गति कराएगा। अर्धवृत्त पूरा करने के बाद,वेग सदिश ऋणात्मक $X$-दिशा में होगा।
अतः,$Y$-अक्ष या $Z$-अक्ष में से किसी भी दिशा में चुंबकीय क्षेत्र लागू करने से इलेक्ट्रॉन अपनी दिशा उलट सकता है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = B\hat{j}$ है। प्रारंभिक वेग $\vec{v} = v \cos \alpha \hat{j} + v \sin \alpha \hat{k}$ है।
प्रोटॉन पर चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B}) = q[(v \cos \alpha \hat{j} + v \sin \alpha \hat{k}) \times B\hat{j}] = qvB \sin \alpha (\hat{k} \times \hat{j}) = -qvB \sin \alpha \hat{i}$ है।
चूंकि बल ऋणात्मक $x-$दिशा में है,इसलिए कण ऋणात्मक $x-$दिशा में त्वरित होगा। इस प्रकार,$x-$निर्देशांक हमेशा ऋणात्मक (या मूल बिंदु पर शून्य) रहेगा। इसलिए,$x-$निर्देशांक कभी भी धनात्मक नहीं हो सकता।

(B) लोरेंत्ज़ बल नियम के अनुसार,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में वेग $\vec{v}$ से गतिमान आवेश $q$ पर लगने वाला बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
छड़ में मौजूद धनात्मक आवेशों के लिए,बल की दिशा सदिश गुणनफल $\vec{v} \times \vec{B}$ द्वारा निर्धारित होती है।
यहाँ वेग $\vec{v}$ दाईं ओर है और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ पृष्ठ के अंदर की ओर है,इसलिए दाहिने हाथ के नियम के अनुसार धनात्मक आवेशों पर लगने वाला बल सिरे $A$ की ओर होता है।
परिणामस्वरूप,धनात्मक आवेश सिरे $A$ पर जमा हो जाते हैं,जिससे यह धनात्मक रूप से आवेशित हो जाता है।
चूंकि छड़ उदासीन है,इसलिए इलेक्ट्रॉन (ऋणात्मक आवेश) विपरीत दिशा में यानी सिरे $B$ की ओर बल का अनुभव करते हैं,जिससे सिरा $B$ ऋणात्मक रूप से आवेशित हो जाता है।
अतः,सिरा $A$ धनात्मक रूप से आवेशित हो जाता है।

(C) आवेशित कण को विरामावस्था से छोड़ा जाता है,इसलिए इसका प्रारंभिक वेग $v = 0$ है।
चूंकि चुंबकीय बल $F_m = q(v \times B)$ द्वारा दिया जाता है,यदि $v = 0$ है,तो $F_m = 0$ होगा।
विद्युत बल $F_e = qE$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कण विरामावस्था में है,इसलिए यह विद्युत क्षेत्र $E$ की दिशा में (यदि $q > 0$ है) या इसके विपरीत (यदि $q < 0$ है) त्वरित होगा।
चूंकि विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र समानांतर हैं,इसलिए कण विद्युत क्षेत्र रेखाओं की दिशा में गति करता है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र अपने समानांतर गति करने वाले कण पर कोई बल नहीं लगाता है,इसलिए कण एक सीधी रेखा में गति करना जारी रखेगा।

(B) कण पर लगने वाला कुल लॉरेंट्ज़ बल $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ है।
चूंकि कण वेग में बिना किसी परिवर्तन के क्षेत्र से गुजरता है,इसलिए कुल बल शून्य होना चाहिए,यानी $\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} = 0$,जिसका अर्थ है $\vec{E} = -(\vec{v} \times \vec{B}) = \vec{B} \times \vec{v}$।
दोनों पक्षों का $\vec{B}$ के साथ सदिश गुणन (cross product) करने पर: $\vec{E} \times \vec{B} = (\vec{B} \times \vec{v}) \times \vec{B}$।
सदिश त्रिक गुणन सर्वसमिका $(\vec{A} \times \vec{B}) \times \vec{C} = \vec{B}(\vec{A} \cdot \vec{C}) - \vec{A}(\vec{B} \cdot \vec{C})$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\vec{E} \times \vec{B} = \vec{v}(\vec{B} \cdot \vec{B}) - \vec{B}(\vec{v} \cdot \vec{B})$।
चूंकि $\vec{v} \perp \vec{B}$,इसलिए $\vec{v} \cdot \vec{B} = 0$,अतः $\vec{E} \times \vec{B} = \vec{v} B^2$।
इसलिए,$\vec{v} = \frac{\vec{E} \times \vec{B}}{B^2}$।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण की त्रिज्या का सूत्र $r = \frac{mv}{qB}$ है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ होने के कारण,$mv = \sqrt{2mK}$ होता है।
अतः,$r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$।
यहाँ $K$ और $B$ स्थिर हैं,इसलिए $r \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$।
प्रोटॉन $(p)$ के लिए: $m_p = m, q_p = e \Rightarrow r_p \propto \frac{\sqrt{m}}{e}$।
ड्यूटेरॉन $(d)$ के लिए: $m_d = 2m, q_d = e \Rightarrow r_d \propto \frac{\sqrt{2m}}{e} = \sqrt{2} r_p$।
अल्फा कण $(\alpha)$ के लिए: $m_{\alpha} = 4m, q_{\alpha} = 2e \Rightarrow r_{\alpha} \propto \frac{\sqrt{4m}}{2e} = \frac{2\sqrt{m}}{2e} = r_p$।
इस प्रकार,$r_{\alpha} = r_p$ और $r_d = \sqrt{2} r_p$ प्राप्त होता है।
अतः,$r_{\alpha} = r_p < r_d$ संबंध सही है।

(A) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या का सूत्र $r = \frac{mv}{qB}$ है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए $mv = \sqrt{2Km}$ होता है।
इस मान को त्रिज्या के सूत्र में रखने पर,$r = \frac{\sqrt{2Km}}{qB}$ प्राप्त होता है।
इलेक्ट्रॉन के लिए: $r_e = \frac{\sqrt{2Km_e}}{eB}$.
प्रोटॉन के लिए: $r_p = \frac{\sqrt{2Km_p}}{eB}$.
अल्फा कण के लिए: $r_{\alpha} = \frac{\sqrt{2K(4m_p)}}{(2e)B} = \frac{2\sqrt{2Km_p}}{2eB} = \frac{\sqrt{2Km_p}}{eB}$.
तुलना करने पर,चूंकि $m_e < m_p$ है,इसलिए $r_e < r_p$ होता है और $r_p = r_{\alpha}$ होता है।
अतः,सही संबंध $r_e < r_p = r_{\alpha}$ है।

(C) हेलिकल पथ की पिच $x$ एक आवर्तकाल $T$ में चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में तय की गई दूरी है: $x = v \cos \theta \cdot T = v \cos \theta \cdot \frac{2\pi m}{qB}$.
हेलिकल पथ की त्रिज्या $R$ इस प्रकार दी जाती है: $R = \frac{mv \sin \theta}{qB}$.
$R$ के व्यंजक को $x$ के व्यंजक से विभाजित करने पर:
$\frac{R}{x} = \frac{mv \sin \theta / qB}{2\pi mv \cos \theta / qB} = \frac{\sin \theta}{2\pi \cos \theta} = \frac{\tan \theta}{2\pi}$.
यहाँ $\theta = 30^o$ दिया गया है,इसलिए $\tan 30^o = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$R = x \cdot \frac{\tan 30^o}{2\pi} = x \cdot \frac{1/\sqrt{3}}{2\pi} = \frac{x}{2\sqrt{3}\pi}$.

(C) जब एक आवेशित कण अपने वेग के लंबवत एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है,तो वह वृत्ताकार पथ पर गति करता है।
दिया गया है: $m = 1.67 \times 10^{-27} \, kg$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$v = 10^7 \, m/s$,और $B = 1 \, T$।
वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $R = \frac{(1.67 \times 10^{-27}) \times (10^7)}{(1.6 \times 10^{-19}) \times 1} \approx 0.104 \, m = 10.4 \, cm$।
चुंबकीय क्षेत्र में वृत्ताकार पथ की ज्यामिति से,बिंदु $C$ पर सीमा के साथ आपतन कोण $45^\circ$ है। वेग सदिश और सीमा के अभिलंब के बीच का कोण $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$ है।
वृत्ताकार चाप की सममिति के कारण,बिंदु $D$ पर सीमा के साथ बाहर निकलने का कोण भी $45^\circ$ ही होगा।
अतः,$\theta = 45^\circ$।

(A) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या का सूत्र $R = \frac{mv}{qB}$ है।
हालाँकि,प्रश्न में कण का वेग $v$ नहीं दिया गया है। यदि हम मान लें कि कण एक प्रोटॉन है,तो त्रिज्या की गणना के लिए वेग की आवश्यकता होती है।
यदि हम $v = 10^7 \, m/s$ मान लें (जो इस प्रकार के प्रश्नों के लिए एक सामान्य मान है),तो $R = \frac{(1.67 \times 10^{-27})(10^7)}{(1.6 \times 10^{-19})(1)} \approx 0.104 \, m$ प्राप्त होता है।
अतः,$v = 10^7 \, m/s$ लेने पर सही विकल्प $0.104 \, m$ है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
दी गई मानों को रखने पर: $m = 1.67 \times 10^{-27} \, kg$,$v = 10^7 \, m/s$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,और $B = 1 \, T$.
$R = \frac{1.67 \times 10^{-27} \times 10^7}{1.6 \times 10^{-19} \times 1} = \frac{1.67}{1.6} \times 10^{-1} \approx 1.04375 \times 10^{-1} \, m = 0.104375 \, m$.
पथ की ज्यामिति से,कण सीमा के साथ $45^\circ$ के कोण पर $C$ बिंदु पर प्रवेश करता है। वृत्ताकार पथ का केंद्र $C$ पर वेग के लंबवत रेखा पर स्थित होता है।
दूरी $CD$ वृत्ताकार चाप की जीवा की लंबाई है। केंद्र पर जीवा $CD$ द्वारा अंतरित कोण $2 \times 45^\circ = 90^\circ$ है।
अतः,$CD = 2R \sin(\frac{90^\circ}{2}) = 2R \sin(45^\circ) = 2R \times \frac{1}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$.
$CD = 0.104375 \times 1.414 \approx 0.1476 \, m \approx 0.148 \, m$.

(A) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi m}{qB}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $m = 1.67 \times 10^{-27} \, kg$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,और $B = 1 \, T$.
$T = \frac{2 \times 3.14 \times 1.67 \times 10^{-27}}{1.6 \times 10^{-19} \times 1} \approx 6.56 \times 10^{-8} \, s = 65.6 \, ns$.
कण $45^{\circ}$ पर प्रवेश करता है और $45^{\circ}$ पर बाहर निकलता है। चुंबकीय क्षेत्र के अंदर कण द्वारा तय किया गया कोण $\Delta \phi = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 45^{\circ}) = 90^{\circ}$ (या $\frac{\pi}{2}$ रेडियन) है।
चुंबकीय क्षेत्र में बिताया गया समय $t = \frac{\Delta \phi}{2\pi} \times T = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times T = \frac{T}{4}$ है।
$t = \frac{65.6 \, ns}{4} = 16.4 \, ns$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,निकटतम मान $16.3 \, ns$ है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi m}{qB}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $T = \frac{2 \times 3.14 \times 1.67 \times 10^{-27}}{1.6 \times 10^{-19} \times 1} \approx 65.6 \times 10^{-9} \, s = 65.6 \, ns$.
समरूपता के कारण कण $45^{\circ}$ के कोण पर प्रवेश करता है और $45^{\circ}$ के कोण पर बाहर निकलता है। वृत्ताकार पथ के केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण $\phi = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 45^{\circ}) = 90^{\circ}$ (या $\frac{\pi}{2}$ रेडियन) है।
चुंबकीय क्षेत्र में बिताया गया समय $t = \frac{\phi}{2\pi} \times T = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times T = \frac{T}{4}$ है।
$t = \frac{65.6}{4} \, ns = 16.4 \, ns$.
निकटतम पूर्णांक में,समय $16 \, ns$ है।

(D) एक आवेशित कण पर चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है,जिसका परिमाण $F = qvB \sin \theta$ होता है,जहाँ $\theta$ वेग सदिश $\vec{v}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
यदि $\theta = 0^\circ$ या $180^\circ$ है,तो चुंबकीय बल $F$ शून्य हो जाता है। इस स्थिति में,कण स्थिर वेग के साथ एक सीधी रेखा में गति करना जारी रखता है।
अतः,कथन-$1$ सत्य है।
आवेशित कण का पथ वेग $\vec{v}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच के कोण $\theta$ द्वारा निर्धारित होता है। यदि $\theta = 0^\circ$ या $180^\circ$ है,तो पथ एक सीधी रेखा है; यदि $\theta = 90^\circ$ है,तो पथ वृत्ताकार है; और अन्य कोणों के लिए,पथ कुंडलिनी (हेलिकल) होता है।
इसलिए,कथन-$2$ सत्य है और यह सही ढंग से बताता है कि पथ एक सीधी रेखा क्यों हो सकता है जैसा कि कथन-$1$ में उल्लेख किया गया है।

(D) इलेक्ट्रॉन $+x$ दिशा में गति कर रहा है,इसलिए इसका वेग सदिश $\vec{v} = v\hat{i}$ है।
इलेक्ट्रॉन को $x-y$ तल में वामावर्त वृत्ताकार पथ पर घुमाने के लिए,प्रारंभिक बिंदु पर अभिकेंद्र बल $+y$ दिशा में होना चाहिए (अर्थात $\vec{F} = F\hat{j}$)।
आवेश $q$ पर लगने वाला लॉरेंट्ज़ बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन पर ऋण आवेश $(q = -e)$ होता है,इसलिए $\vec{F} = -e(\vec{v} \times \vec{B})$ होगा।
मान रखने पर: $F\hat{j} = -e(v\hat{i} \times \vec{B})$।
सदिश गुणनफल $\hat{i} \times \vec{B}$ का परिणाम $-\hat{j}$ दिशा में प्राप्त हो (ताकि $-e(-\hat{j}) = +\hat{j}$ हो जाए),इसके लिए चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ को $-z$ दिशा में होना चाहिए (क्योंकि $\hat{i} \times \hat{k} = \hat{j}$,और ऋण आवेश के कारण $\vec{F} = -e(v\hat{i} \times B\hat{k}) = -evB(-\hat{j}) = +evB\hat{j}$)।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र को $-z$ दिशा में लगाया जाना चाहिए।

(B) गतिमान आवेश $q$ द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q(\vec{v} \times \vec{r})}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $A$ पर चुंबकीय क्षेत्र तब शून्य होता है जब $\alpha$ कण का वेग सदिश $\vec{v}$,स्थिति सदिश $\vec{r}$ (कण से बिंदु $A$ तक का सदिश) के समानांतर या प्रति-समानांतर होता है।
यह तब होता है जब कण बिंदु $A$ से देखे जाने पर वृत्त पर स्पर्शरेखा बिंदुओं पर होता है।
मान लीजिए कि केंद्र को बिंदु $A$ से जोड़ने वाली रेखा और स्पर्शरेखा बिंदु तक की त्रिज्या के बीच का कोण $\theta$ है।
ज्यामिति से,$\cos \theta = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।
कण एक स्पर्शरेखा बिंदु से दूसरे स्पर्शरेखा बिंदु तक $2\theta = \frac{2\pi}{3}$ कोण के चाप पर गति करता है।
इस कोणीय विस्थापन को तय करने में लगा समय $t = \frac{2\theta}{\omega} = \frac{2\pi/3}{\omega} = \frac{2\pi}{3\omega}$ है।
अतः,$\omega = \frac{2\pi}{3t}$।

(D) इलेक्ट्रॉन बीम कागज के तल से बाहर (प्रेक्षक की ओर) गति कर रहा है। मान लीजिए वेग $\vec{v} = v \hat{k}$ है।
विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ नीचे की ओर निर्देशित है,इसलिए $\vec{E} = -E \hat{j}$ है। विद्युत क्षेत्र के कारण इलेक्ट्रॉन पर बल $\vec{F}_e = -e \vec{E} = eE \hat{j}$ है। यह धनात्मक $y$-दिशा में विचलन का कारण बनता है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ नीचे की ओर निर्देशित है,इसलिए $\vec{B} = -B \hat{j}$ है। चुंबकीय क्षेत्र के कारण इलेक्ट्रॉन पर बल $\vec{F}_m = -e (\vec{v} \times \vec{B}) = -e (v \hat{k} \times -B \hat{j}) = -e (vB \hat{i}) = -evB \hat{i}$ है। यह ऋणात्मक $x$-दिशा में विचलन का कारण बनता है।
चूँकि विचलन का परिमाण समान है,कुल बल $\vec{F}_{net} = \vec{F}_e + \vec{F}_m = eE \hat{j} - evB \hat{i}$ है।
स्पॉट दूसरे चतुर्थांश (ऋणात्मक $x$,धनात्मक $y$) में विक्षेपित होगा।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,चित्र $D$ दूसरे चतुर्थांश में स्पॉट को दर्शाता है।

(A) $1$. $y > 0$ के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_1 = B_1\hat{k}$ (पृष्ठ से बाहर) है। वेग $\vec{v} = v\hat{j}$ है। चुंबकीय बल $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B}_1) = q(v\hat{j} \times B_1\hat{k}) = qvB_1\hat{i}$ है।
$2$. चित्र से,$y > 0$ के लिए कण धनात्मक $x$-अक्ष की ओर मुड़ता है,जिसका अर्थ है कि बल $+\hat{i}$ दिशा में है। चूंकि $v, B_1 > 0$ हैं,इसलिए $q$ धनात्मक होना चाहिए $(q > 0)$।
$3$. वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है। $y > 0$ क्षेत्र में त्रिज्या $R_1 = \frac{mv}{qB_1}$ है और $y < 0$ क्षेत्र में त्रिज्या $R_2 = \frac{mv}{qB_2}$ है।
$4$. प्रक्षेप पथ को देखने पर,$y < 0$ क्षेत्र में पथ $y > 0$ क्षेत्र की तुलना में अधिक मुड़ा हुआ है,जिसका अर्थ है कि $R_2 < R_1$ है।
$5$. चूंकि $R_2 < R_1$ है,इसलिए $\frac{mv}{qB_2} < \frac{mv}{qB_1}$ होगा,जिसका अर्थ है कि $B_2 > B_1$,या $|B_1| < |B_2|$ है।

(D) हेलिकल पथ की त्रिज्या $R = \frac{mv_{\perp}}{qB}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि पथ समान हैं,$R_1 = R_2$,जिसका अर्थ है $\frac{m_1 v_{\perp 1}}{q_1 B} = \frac{m_2 v_{\perp 2}}{q_2 B}$।
यह देखते हुए कि कण विपरीत दिशाओं में पथों को पार करते हैं,आवेशों के चिह्न विपरीत होने चाहिए,अर्थात $q_1 = -q_2$।
हेलिकल पथों के समान होने के लिए,पिच $p = \frac{2\pi m v_{\parallel}}{qB}$ भी समान होनी चाहिए। चूंकि घूर्णन की दिशा विपरीत है,कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{qB}{m}$ के चिह्न विपरीत होने चाहिए।
यदि पथ ज्यामिति और पिच में समान हैं,तो आवेश-द्रव्यमान अनुपात का परिमाण समान होना चाहिए,लेकिन चिह्न विपरीत होने चाहिए।
अतः,$\frac{q_1}{m_1} = -\frac{q_2}{m_2}$,जो $\frac{q_1}{m_1} + \frac{q_2}{m_2} = 0$ की ओर ले जाता है।

(D) प्रारंभिक वेग $\vec{u} = u_0 \cos(37^o) \hat{i} + u_0 \sin(37^o) \hat{j} = u_0 (\frac{4}{5} \hat{i} + \frac{3}{5} \hat{j})$ है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = B_0 \hat{j}$ है,कण पर बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ है।
यह बल हमेशा चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत होता है,इसलिए $y$-अक्ष की दिशा में वेग का घटक $(v_y)$ स्थिर रहता है। अतः,$v_y = u_0 \sin(37^o) = \frac{3}{5} u_0$।
साथ ही,चुंबकीय क्षेत्र में कण की गति स्थिर रहती है,इसलिए $|\vec{v}|^2 = u_0^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$।
$v_y = \frac{3}{5} u_0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $v_x^2 + v_z^2 = u_0^2 - (\frac{3}{5} u_0)^2 = \frac{16}{25} u_0^2$ प्राप्त होता है।
विकल्पों की जांच करने पर,विकल्प $(D)$ के लिए: $v_x^2 + v_z^2 = u_0^2 [(\frac{\sqrt{39}}{10})^2 + (\frac{1}{2})^2] = u_0^2 [\frac{39}{100} + \frac{1}{4}] = u_0^2 [\frac{39+25}{100}] = u_0^2 [\frac{64}{100}] = \frac{16}{25} u_0^2$। यह शर्त को पूरा करता है।

(B) कण ऐसे क्षेत्र में गति कर रहा है जहाँ विद्युत क्षेत्र $\vec E = E\hat j$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec B = B\hat j$ दोनों मौजूद हैं।
कण पर लगने वाला बल $\vec F = q(\vec E + \vec v \times \vec B)$ है।
विद्युत बल केवल $y$-अक्ष की दिशा में कार्य करता है,जिससे त्वरण $a_y = \frac{qE}{m}$ उत्पन्न होता है।
गति के समीकरण $v_y^2 = u_y^2 + 2a_y y$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u_y = 0$ (प्रारंभिक वेग का $y$-घटक शून्य है),हमें $v_y^2 = 2 \left( \frac{qE}{m} \right) y$ प्राप्त होता है।
चुंबकीय बल $\vec F_m = q(\vec v \times \vec B)$ हमेशा वेग के लंबवत होता है,इसलिए यह कोई कार्य नहीं करता है और कण की चाल में कोई परिवर्तन नहीं करता है।
प्रारंभिक चाल $v_0 = |\vec v| = v$ है।
अंतिम चाल $v_f$ को $v_f = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चुंबकीय बल कोई कार्य नहीं करता है,इसलिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन केवल विद्युत क्षेत्र के कारण होता है: $\frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv^2 = qEy$.
अतः,$v_f^2 = v^2 + \frac{2qEy}{m}$,जिससे हमें $v_f = \sqrt{v^2 + \frac{2qEy}{m}}$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि दो तार $xz$-तल में $z$-अक्ष के समानांतर $x = d/2$ और $x = -d/2$ पर स्थित हैं।
धाराएं $I$ (at $x = d/2$) और $-I$ (at $x = -d/2$) हैं।
बिंदु आवेश $q$ मूल बिंदु $(0,0,0)$ पर है,जो दोनों तारों से समान दूरी पर है।
पहले तार के कारण मूल बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1$,$y$-अक्ष की दिशा में है।
दूसरे तार के कारण मूल बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ भी $y$-अक्ष की दिशा में है।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B = B_1 + B_2$,$y$-अक्ष की दिशा में है।
आवेश का वेग $v$ तारों के तल ($xz$-तल) के लंबवत दिया गया है,जिसका अर्थ है कि $v$,$y$-अक्ष की दिशा में है।
चुंबकीय बल $F = q(v \times B)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $v$ और $B$ दोनों $y$-अक्ष की दिशा में हैं,इसलिए वे एक-दूसरे के समानांतर हैं।
दो समानांतर सदिशों का क्रॉस प्रोडक्ट शून्य होता है,इसलिए $v \times B = 0$।
अतः,चुंबकीय बल का परिमाण $F = 0$ है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण की वृत्तीय गति का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi m}{qB}$ होता है।
दिया गया समय $t = \frac{\pi m}{qB} = \frac{T}{2}$ है।
$\frac{T}{2}$ समय अंतराल में,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के लंबवत वेग का घटक उलट जाता है।
प्रारंभिक वेग $\vec{v}_0 = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
$\vec{B} = 2\hat{i}$ के समानांतर घटक $v_{\parallel} = 2\hat{i}$ है।
लंबवत घटक $\vec{v}_{\perp} = 3\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
$t = \frac{T}{2}$ समय के बाद,वेग $\vec{v} = v_{\parallel} - \vec{v}_{\perp} = 2\hat{i} - 3\hat{j} - 4\hat{k}$ हो जाता है।
कण के स्थिर गति से सीधी रेखा में चलने के लिए,कुल लॉरेंट्ज़ बल शून्य होना चाहिए: $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}) = 0$.
अतः,$\vec{E} = -(\vec{v} \times \vec{B}) = -((2\hat{i} - 3\hat{j} - 4\hat{k}) \times 2\hat{i})$.
क्रॉस प्रोडक्ट के नियमों का उपयोग करते हुए: $\vec{E} = -[2\hat{i} \times 2\hat{i} - 3\hat{j} \times 2\hat{i} - 4\hat{k} \times 2\hat{i}] = -[0 - 6(-\hat{k}) - 8(\hat{j})] = -[6\hat{k} - 8\hat{j}] = -6\hat{k} + 8\hat{j}$ इकाई।

(A) इलेक्ट्रॉन चुंबकीय क्षेत्र में $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर गति करता है,जो $R = \frac{mv_0}{eB}$ द्वारा दिया जाता है।
ज्यामितीय रूप से,वृत्ताकार पथ का केंद्र $x$-अक्ष पर दीवार से $R$ दूरी पर स्थित है।
गोले के केंद्र से वृत्ताकार पथ के केंद्र तक की दूरी $(b - R)$ है।
गोले की त्रिज्या $a$,वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R$ और दूरी $(b - R)$ द्वारा बने समकोण त्रिभुज से:
$a^2 + R^2 = (b - R)^2$
$a^2 + R^2 = b^2 + R^2 - 2bR$
$a^2 = b^2 - 2bR$
$2bR = b^2 - a^2$
$R = \frac{b^2 - a^2}{2b}$
$R = \frac{mv_0}{eB}$ को समीकरण में रखने पर:
$\frac{mv_0}{eB} = \frac{b^2 - a^2}{2b}$
$B = \frac{2bmv_0}{(b^2 - a^2)e}$

(A) चुंबकीय क्षेत्र में वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = \frac{mv}{qB}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र क्षेत्र की चौड़ाई $d = \frac{mv}{\sqrt{2}qB} = \frac{R}{\sqrt{2}}$ दी गई है।
चुंबकीय क्षेत्र में कण द्वारा मुड़ा गया कोण $\theta$,$\sin \theta = \frac{d}{R} = \frac{R/\sqrt{2}}{R} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $\theta = 45^\circ = \frac{\pi}{4}$ रेडियन है।
चुंबकीय क्षेत्र में बिताया गया समय $t_1 = \frac{\theta}{\omega} = \frac{\pi/4}{qB/m} = \frac{m\pi}{4qB}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र-मुक्त क्षेत्र में दीवार तक तय की गई दूरी $d = \frac{R}{\sqrt{2}}$ है। इस दूरी को तय करने में लगा समय $t_2 = \frac{d}{v} = \frac{R/\sqrt{2}}{v} = \frac{mv/qB}{\sqrt{2}v} = \frac{m}{\sqrt{2}qB}$ है।
दीवार के साथ प्रत्यास्थ टक्कर के बाद,कण अपने पथ को दोहराता है। वेग के प्रति-समानांतर होने के लिए कुल समय $T = 2t_1 + 2t_2 = 2(\frac{m\pi}{4qB}) + 2(\frac{m}{\sqrt{2}qB}) = \frac{m\pi}{2qB} + \frac{2m}{qB} = \frac{m}{2qB}(\pi + 4)$।

(B) $1$. उत्तर-दक्षिण दिशा में स्थित धारावाही चालक द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B$ को दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। दक्षिण से उत्तर की ओर बहने वाली धारा के लिए,चालक के ऊपर चुंबकीय क्षेत्र पश्चिम दिशा में होता है।
$2$. गतिमान आवेश पर लगने वाला बल लोरेंत्ज़ बल सूत्र $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
$3$. दिया गया है कि कण धनावेशित $(q > 0)$ है,उत्तर दिशा में गति कर रहा है ($\vec{v}$ उत्तर है),और ऊपर की ओर बल ($\vec{F}$ ऊपर है) का अनुभव करता है,जिससे पुष्टि होती है कि उस स्थान पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ पश्चिम दिशा में है।
$4$. अब,मान लीजिए कि कण चालक के पूर्व में स्थित है। चालक द्वारा उसके पूर्व में स्थित बिंदु पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर होता है।
$5$. कण का वेग $\vec{v}$ चालक की ओर (अर्थात पश्चिम की ओर) है।
$6$. सदिश गुणनफल $\vec{v} \times \vec{B}$ के लिए दाएं हाथ के नियम को लागू करने पर: $\vec{v}$ पश्चिम में है और $\vec{B}$ ऊपर है। परिणामी बल $\vec{F}$ दक्षिण दिशा में कार्य करता है।

(A) इलेक्ट्रॉन चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर गति करता है। पथ की त्रिज्या $R = \frac{mv_0}{eB}$ द्वारा दी जाती है।
ज्यामिति से,गोले के केंद्र,प्रक्षेपण बिंदु और इलेक्ट्रॉन के वृत्ताकार पथ के केंद्र द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज पर विचार करें।
गोले के केंद्र से वृत्ताकार पथ के केंद्र तक की दूरी $(b - R)$ है। गोले की त्रिज्या $a$ है और वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R$ है। चूंकि इलेक्ट्रॉन को लंबवत प्रक्षेपित किया जाता है,इसलिए प्रक्षेपण बिंदु पर गोले की त्रिज्या वेग $v_0$ के लंबवत है,जो वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखा है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$(b - R)^2 = a^2 + R^2$.
$b^2 + R^2 - 2bR = a^2 + R^2$
$b^2 - a^2 = 2bR$
$R = \frac{b^2 - a^2}{2b}$
$R = \frac{mv_0}{eB}$ का मान रखने पर,$\frac{mv_0}{eB} = \frac{b^2 - a^2}{2b}$.
$B$ के लिए हल करने पर,$B = \frac{2bmv_0}{(b^2 - a^2)e}$ प्राप्त होता है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = \frac{mv}{qB}$ होती है।
वृत्ताकार गति का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi m}{qB}$ है।
दिया गया समय $t = \frac{\pi m}{qB} = \frac{T}{2}$ है।
इसका अर्थ है कि प्रत्येक कण $t$ समय में अर्धवृत्त पूरा करता है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक वेग सदिश $\vec{v}_1$ और $\vec{v}_2$ क्रमशः $X$-अक्ष के साथ $0^{\circ}$ और $60^{\circ}$ के कोण पर हैं।
$t = \frac{T}{2}$ समय के बाद, कण अपने प्रारंभिक बिंदुओं से व्यासाग्र (diametrically opposite), मूल बिंदु से $2R$ की दूरी पर होंगे।
स्थिति सदिश $\vec{r}_1$ प्रारंभिक वेग $\vec{v}_1$ के लंबवत ($Y$-अक्ष पर) होगा और $\vec{r}_2$ प्रारंभिक वेग $\vec{v}_2$ के लंबवत होगा।
$\vec{r}_1$ और $\vec{r}_2$ के बीच का कोण वही होगा जो $\vec{v}_1$ और $\vec{v}_2$ के बीच है, यानी $60^{\circ}$।
स्थिति सदिश का परिमाण $|\vec{r}_1| = |\vec{r}_2| = 2R = \frac{2mv}{qB}$ है।
अदिश गुणनफल $\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_2 = |\vec{r}_1| |\vec{r}_2| \cos(60^{\circ}) = (2R)(2R) \cos(60^{\circ}) = 4R^2 \times \frac{1}{2} = 2R^2$ है।
$R = \frac{mv}{qB}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_2 = 2(\frac{mv}{qB})^2$ प्राप्त होता है।

(B) $\alpha -$ कण उस क्षेत्र में गति करता है जहाँ $\vec{E} = E_0 \hat{i}$ और $\vec{B} = B_0 \hat{i}$ है।
चूंकि प्रारंभिक वेग $\vec{v} = v_0 \hat{j}$ विद्युत क्षेत्र के लंबवत है,इसलिए विद्युत बल $\vec{F}_e = q_{\alpha} E_0 \hat{i}$ के कारण $x-$दिशा में त्वरण $a_x = \frac{q_{\alpha} E_0}{m_{\alpha}}$ उत्पन्न होता है।
चुंबकीय बल $\vec{F}_m = q_{\alpha} (\vec{v} \times \vec{B})$ हमेशा वेग के लंबवत होता है,इसलिए यह कोई कार्य नहीं करता है और गति में कोई परिवर्तन नहीं करता है।
$t$ समय के बाद,$x-$दिशा में वेग का घटक $v_x = a_x t = \left( \frac{q_{\alpha} E_0}{m_{\alpha}} \right) \left( \sqrt{3} \times 10^7 \frac{m_{\alpha}}{q_{\alpha} E_0} \right) = \sqrt{3} \times 10^7 \ m/s$ है।
$y-$दिशा में वेग का घटक $v_y = v_0$ स्थिर रहता है।
अंतिम गति $v_f = 2v_0$ दी गई है। अतः,$v_f^2 = v_x^2 + v_y^2$.
$(2v_0)^2 = (\sqrt{3} \times 10^7)^2 + v_0^2$.
$4v_0^2 = 3 \times 10^{14} + v_0^2$.
$3v_0^2 = 3 \times 10^{14} \implies v_0^2 = 10^{14}$.
$v_0 = 10^7 \ m/s$.