Mix Examples - Areas of Parallelograms and Triangles Questions in Hindi

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$D$,$BC$ पर एक बिंदु है और $E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है।
सिद्ध करना है: $ar(\Delta EBC) = \frac{1}{2} ar(\Delta ABC)$.
उपपत्ति:
$1$. $\Delta ABD$ में,$E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है। चूँकि $BE$,$\Delta ABD$ की माध्यिका है,यह त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। इसलिए,$ar(\Delta EBD) = \frac{1}{2} ar(\Delta ABD)$.
$2$. इसी प्रकार,$\Delta ADC$ में,$E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है। चूँकि $CE$,$\Delta ADC$ की माध्यिका है,यह त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। इसलिए,$ar(\Delta ECD) = \frac{1}{2} ar(\Delta ADC)$.
$3$. दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $ar(\Delta EBD) + ar(\Delta ECD) = \frac{1}{2} ar(\Delta ABD) + \frac{1}{2} ar(\Delta ADC)$.
$4$. $ar(\Delta EBC) = \frac{1}{2} [ar(\Delta ABD) + ar(\Delta ADC)]$.
$5$. चूँकि $ar(\Delta ABD) + ar(\Delta ADC) = ar(\Delta ABC)$,हमें प्राप्त होता है $ar(\Delta EBC) = \frac{1}{2} ar(\Delta ABC)$.
इति सिद्धम्।

(A) $1$. समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। इसलिए,$O$,$BD$ का मध्य-बिंदु है,जिसका अर्थ है $BO = OD$।
$2$. $\triangle ABD$ और $\triangle CBD$ पर विचार करें। चूँकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,$AB = CD$ और $AD = BC$ है। साथ ही,$BD$ एक उभयनिष्ठ विकर्ण है।
$3$. $\triangle ABD$ में,शीर्ष $A$ से $BD$ पर माध्यिका $AO$ है। चूँकि $O$,$BD$ का मध्य-बिंदु है,$AO$,$\triangle ABD$ को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है: $ar(ABO) = ar(ADO)$।
$4$. इसी प्रकार,$\triangle CBD$ में,$CO$,$BD$ पर माध्यिका है,इसलिए $ar(CBO) = ar(CDO)$।
$5$. हालाँकि,प्रश्न में $ar(ABP) = ar(CBP)$ सिद्ध करने के लिए कहा गया है। त्रिभुज $\triangle ABP$ और $\triangle CBP$ पर विचार करें। ये त्रिभुज रेखा $BD$ पर समान आधार $BP$ साझा करते हैं।
$6$. आधार $BP$ के सापेक्ष $\triangle ABP$ की ऊँचाई $A$ से $BD$ तक की लंबवत दूरी है,मान लीजिए यह $h_1$ है। आधार $BP$ के सापेक्ष $\triangle CBP$ की ऊँचाई $C$ से $BD$ तक की लंबवत दूरी है,मान लीजिए यह $h_2$ है।
$7$. समांतर चतुर्भुज में,विपरीत शीर्षों से विकर्ण तक की दूरी समान होती है। अतः,$h_1 = h_2$।
$8$. चूँकि $ar(ABP) = \frac{1}{2} \times BP \times h_1$ और $ar(CBP) = \frac{1}{2} \times BP \times h_2$ है,और $h_1 = h_2$ है,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $ar(ABP) = ar(CBP)$।

(N/A) $1$. चूंकि $AD$,$\triangle ABC$ की माध्यिका है,यह त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। इसलिए,$ar(ABD) = \frac{1}{2} ar(ABC)$.
$2$. $\triangle ABD$ में,$AE$ एक माध्यिका है क्योंकि $E$,$BD$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$ar(ABE) = \frac{1}{2} ar(ABD)$.
$3$. चरण $1$ से मान प्रतिस्थापित करने पर: $ar(ABE) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} ar(ABC)) = \frac{1}{4} ar(ABC)$.
$4$. $\triangle ABE$ में,$BO$ एक माध्यिका है क्योंकि $O$,$AE$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$ar(AOB) = \frac{1}{2} ar(ABE)$.
$5$. चरण $3$ से मान प्रतिस्थापित करने पर: $ar(AOB) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{4} ar(ABC)) = \frac{1}{8} ar(ABC)$.
$6$. अतः,यह सिद्ध होता है कि $ar(AOB) = \frac{1}{8} ar(ABC)$.

(A) $(1)$ असत्य। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधार और संगत शीर्षलंब के गुणनफल के बराबर होता है,न कि उसके आधे के।
$(2)$ असत्य। समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है,अर्थात $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$।
$(3)$ सत्य। वर्ग का क्षेत्रफल वास्तव में उसकी भुजा की लंबाई का वर्ग होता है।

(A) $(1)$ सत्य। समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है। इसलिए,$ar(ABCD) = 2 \times ar(ABC) = 2 \times 96 \, cm^2 = 192 \, cm^2$ होगा।
$(2)$ असत्य। समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{समकोण बनाने वाली भुजाओं का गुणनफल}$ होता है।

(D) हम जानते हैं कि यदि एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हों,तो त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
इस प्रश्न में,$\triangle PAB$ और समांतर चतुर्भुज $ABCD$ एक ही आधार $AB$ पर और समांतर रेखाओं $AB$ और $CD$ के बीच स्थित हैं।
इसलिए,$ar(PAB) = \frac{1}{2} \times ar(ABCD)$।
दिया गया है कि $ar(ABCD) = 56 \, cm^2$ है।
अतः,$ar(PAB) = \frac{1}{2} \times 56 = 28 \, cm^2$।

(D) समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है।
समांतर चतुर्भुज $PQRS$ में,$PR$ एक विकर्ण है।
इसलिए,$ar(PSR) = \frac{1}{2} \times ar(PQRS)$।
दिया गया है कि $ar(PQRS) = 80 \, cm^2$।
अतः,$ar(PSR) = \frac{1}{2} \times 80 = 40 \, cm^2$।

(B) समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\operatorname{ar}(ABCD) = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$,जहाँ $d_1$ और $d_2$ विकर्णों की लंबाई हैं।
दिया गया है: $d_1 = AC = 12 \, cm$ और $d_2 = BD = 15 \, cm$।
सूत्र में मान रखने पर:
$\operatorname{ar}(ABCD) = \frac{1}{2} \times 12 \times 15$
$\operatorname{ar}(ABCD) = 6 \times 15$
$\operatorname{ar}(ABCD) = 90 \, cm^2$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) माना $\Delta ABC$ का आधार $BC$ बिंदुओं $P$ और $Q$ द्वारा तीन बराबर भागों में विभाजित है। अतः,$BP = PQ = QC = \frac{1}{3} BC$ है।
चूंकि तीनों त्रिभुज $\Delta ABP$,$\Delta APQ$ और $\Delta AQC$ का शीर्ष $A$ समान है और उनके आधार बराबर $(BP = PQ = QC)$ हैं,इसलिए इन आधारों के सापेक्ष उनकी ऊंचाइयां समान होंगी।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ द्वारा दिया जाता है।
ऊंचाई समान होने और आधार बराबर होने के कारण,$\operatorname{ar}(\Delta ABP) = \operatorname{ar}(\Delta APQ) = \operatorname{ar}(\Delta AQC)$ होगा।
इसलिए,$\operatorname{ar}(\Delta ABC) = \operatorname{ar}(\Delta ABP) + \operatorname{ar}(\Delta APQ) + \operatorname{ar}(\Delta AQC) = 3 \times \operatorname{ar}(\Delta APQ)$।
इसका तात्पर्य है कि $\frac{\operatorname{ar}(\Delta APQ)}{\operatorname{ar}(\Delta ABC)} = \frac{1}{3}$।
अतः,अनुपात $1:3$ है।

(A) $(1)$ एक सरल बंद आकृति द्वारा परिबद्ध समतल के भाग को $\text{समतलीय क्षेत्र}$ (planar region) कहा जाता है।
$(2)$ एक बंद आकृति के संगत समतलीय क्षेत्र के $\text{परिमाण}$ (magnitude or measure) को उसका क्षेत्रफल कहा जाता है।

(A) $(1)$ दो सर्वांगसम आकृतियों के क्षेत्रफल समान होते हैं क्योंकि वे आकार और माप में एक समान होती हैं।
$(2)$ आकृति $A$ के क्षेत्रफल को प्रतीकात्मक रूप से $\operatorname{ar}(A)$ के रूप में दर्शाया जाता है।

(N/A) $(1)$ आकृति $T$ का क्षेत्रफल दो गैर-अतिव्यापी क्षेत्रों $P$ और $Q$ के क्षेत्रफलों का योग होता है। अतः,$\operatorname{ar}(T) = \operatorname{ar}(P) + \operatorname{ar}(Q)$.
$(2)$ समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधार और उस आधार के संगत शीर्षलंब (ऊंचाई) के गुणनफल के बराबर होता है। अतः,$\text{क्षेत्रफल} = \text{आधार} \times \text{संगत शीर्षलंब}$.

(A) $(1)$ त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $\text{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ है।
यहाँ आधार $(BC) = 8 \text{ cm}$ और ऊंचाई $(AD) = 5 \text{ cm}$ दी गई है।
अतः,$\text{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20 \text{ cm}^2$ होगा।
$(2)$ त्रिभुज की एक माध्यिका त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

(N/A) दी गई आकृति में,हमारे पास एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ और एक समलंब चतुर्भुज $ABST$ है।
आकृतियों के एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित होने के लिए,उन्हें एक सामान्य भुजा को आधार के रूप में साझा करना चाहिए,और उनके शेष शीर्ष उस आधार के समांतर एक रेखा पर स्थित होने चाहिए।
यहाँ,समांतर चतुर्भुज $ABCD$ और समलंब चतुर्भुज $ABST$ का सामान्य आधार $AB$ है।
हालाँकि,समांतर चतुर्भुज के शीर्ष $D$ और $C$ रेखा $DC$ पर स्थित हैं,जबकि समलंब चतुर्भुज के शीर्ष $T$ और $S$ रेखा $TS$ पर स्थित हैं।
चूँकि रेखा $DC$ और रेखा $TS$ एक ही नहीं हैं,इसलिए ये दोनों आकृतियाँ एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित नहीं हैं।
अतः,उत्तर नकारात्मक है।

(N/A) हाँ,समांतर चतुर्भुज $ABCD$ और $\Delta MBC$ एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं।
सामान्य आधार: $BC$.
समांतर रेखाएँ: $AD$ और $BC$.

(N/A) नहीं,समांतर चतुर्भुज $ABCD$ और त्रिभुज $QBC$ एक ही आधार पर और समांतर रेखाओं के एक ही युग्म के बीच स्थित नहीं हैं। आकृतियों के एक ही आधार और समांतर रेखाओं के एक ही युग्म के बीच स्थित होने के लिए,उनके पास एक उभयनिष्ठ भुजा आधार के रूप में होनी चाहिए,और आधार के विपरीत उनके शीर्ष आधार के समांतर एक रेखा पर स्थित होने चाहिए। इस आकृति में,समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का आधार $AB$ (या $CD$) है,जबकि त्रिभुज $QBC$ का आधार $BC$ है। चूँकि वे एक उभयनिष्ठ आधार साझा नहीं करते हैं,इसलिए यह शर्त पूरी नहीं होती है।

(A) समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$.
यहाँ,आधार $AB = 16 \, cm$ और संगत शीर्षलंब $DM = 12 \, cm$ दिया गया है।
अतः,$\text{क्षेत्रफल} = 16 \, cm \times 12 \, cm = 192 \, cm^{2}$।

(C) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधार और उस आधार पर खींचे गए संगत शीर्षलंब (ऊंचाई) के गुणनफल द्वारा ज्ञात किया जाता है। अतः, $\text{क्षेत्रफल} = \text{आधार} \times \text{संगत शीर्षलंब}$.

(C) समलंब चतुर्भुज (trapezium) का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (a + b) \times h$,जहाँ $a$ और $b$ समांतर भुजाओं की लंबाई हैं और $h$ उनके बीच की लंबवत दूरी (ऊंचाई) है।
अतः,सही सूत्र $\frac{1}{2} \times \text{समांतर भुजाओं का योग} \times \text{समांतर भुजाओं के बीच की दूरी}$ है।