Equal Chords and their Distances from the Centre Questions in Hindi

(N/A) माना $O$ केंद्र वाला एक वृत्त है। $AB$ और $CD$ दो समान जीवाएँ हैं जो वृत्त के भीतर बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है: $AE = DE$ और $CE = BE$.
रचना: $OM \perp AB$ और $ON \perp CD$ खींचिए। $OE$ को मिलाइए।
उपपत्ति:
$1$. चूँकि $AB = CD$ (दिया है),जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर हैं। इसलिए,$OM = ON$.
$2$. $\Delta OME$ और $\Delta ONE$ में:
- $OM = ON$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
- $OE = OE$ (उभयनिष्ठ भुजा)
- $\angle OME = \angle ONE = 90^\circ$ (रचना से)
$RHS$ सर्वांगसमता कसौटी से,$\Delta OME \cong \Delta ONE$.
$3$. $CPCT$ द्वारा,$ME = NE$ (समीकरण $1$)।
$4$. चूँकि $OM \perp AB$,$M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AM = MB = \frac{1}{2} AB$.
$5$. चूँकि $ON \perp CD$,$N$,$CD$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $CN = ND = \frac{1}{2} CD$.
$6$. चूँकि $AB = CD$,इसलिए $\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD$,जिसका अर्थ है $AM = ND$ (समीकरण $2$)।
$7$. समीकरण $1$ और $2$ को जोड़ने पर: $AM + ME = ND + NE$,जिससे $AE = DE$ प्राप्त होता है।
$8$. $AB = CD$ में से $AE = DE$ घटाने पर,$AB - AE = CD - DE$ मिलता है,जिसका अर्थ है $BE = CE$.
अतः,एक जीवा के खंड दूसरी जीवा के संगत खंडों के बराबर हैं।

(N/A) मान लीजिए $AB$ और $CD$ केंद्र $O$ वाले एक वृत्त की दो समान जीवाएँ हैं,जो वृत्त के अंदर बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
हमें सिद्ध करना है कि $\angle OEA = \angle OED$ है।
$OM \perp AB$ और $ON \perp CD$ खींचिए।
$\Delta OME$ और $\Delta ONE$ में:
$1$. $OM = ON$ (समान जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं)।
$2$. $OE = OE$ (उभयनिष्ठ भुजा)।
$3$. $\angle OME = \angle ONE = 90^\circ$ (रचना से)।
अतः,$RHS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta OME \cong \Delta ONE$ है।
$CPCT$ द्वारा,$\angle OEM = \angle OEN$ है।
अतः,$\angle OEA = \angle OED$ सिद्ध होता है।

(B) मान लीजिए कि रेशमा,सलमा और मंदीप की स्थिति वृत्त पर $R, S$ और $M$ है,जिसका केंद्र $O$ और त्रिज्या $5 \, m$ है।
दिया है $RS = SM = 6 \, m$।
चूँकि समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण बनाती हैं,इसलिए $\angle ROS = \angle SOM$।
मान लीजिए $OP$ केंद्र $O$ से $RM$ पर लंब है,जो $RM$ को $P$ पर और $OS$ को $K$ पर काटता है।
चूँकि $RS = SM$,$OS$ जीवा $RM$ का लंब समद्विभाजक है। अतः $RM \perp OS$ और $RP = PM$।
मान लीजिए $OK = x$। तो $KS = 5 - x$।
$\Delta ORK$ में,$RK^2 = OR^2 - OK^2 = 5^2 - x^2 = 25 - x^2$।
$\Delta RSK$ में,$RK^2 = RS^2 - KS^2 = 6^2 - (5 - x)^2 = 36 - (25 - 10x + x^2) = 11 + 10x - x^2$।
$RK^2$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $25 - x^2 = 11 + 10x - x^2$।
$10x = 14 \Rightarrow x = 1.4 \, m$।
अब,$RK^2 = 25 - (1.4)^2 = 25 - 1.96 = 23.04$।
$RK = \sqrt{23.04} = 4.8 \, m$।
चूँकि $RM = 2 \times RK$,इसलिए $RM = 2 \times 4.8 = 9.6 \, m$।

(B) माना वृत्त का केंद्र $O$ है। जीवाएँ $AB$ और $CD$ समांतर हैं और उनके बीच की दूरी $6\, cm$ है। दिया है $AB = 5\, cm$ और $CD = 11\, cm$.
माना $r$ वृत्त की त्रिज्या है।
$OP \perp AB$ और $OQ \perp CD$ खींचिए। चूंकि जीवाएँ केंद्र के विपरीत दिशाओं में हैं,$P, O, Q$ संरेख हैं और $PQ = 6\, cm$.
माना $OQ = x\, cm$. तब $OP = (6 - x)\, cm$.
वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
अतः,$AP = \frac{1}{2} AB = \frac{5}{2}\, cm$ और $CQ = \frac{1}{2} CD = \frac{11}{2}\, cm$.
समकोण $\Delta CQO$ में,$r^2 = CQ^2 + OQ^2 = (\frac{11}{2})^2 + x^2 = \frac{121}{4} + x^2$ --- $(1)$
समकोण $\Delta APO$ में,$r^2 = AP^2 + OP^2 = (\frac{5}{2})^2 + (6 - x)^2 = \frac{25}{4} + 36 - 12x + x^2$ --- $(2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$\frac{121}{4} + x^2 = \frac{25}{4} + 36 - 12x + x^2$
$\frac{121}{4} - \frac{25}{4} - 36 = -12x$
$\frac{96}{4} - 36 = -12x \Rightarrow 24 - 36 = -12x \Rightarrow -12 = -12x \Rightarrow x = 1\, cm$.
$x = 1$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$r^2 = \frac{121}{4} + 1^2 = \frac{121 + 4}{4} = \frac{125}{4}$.
$r = \sqrt{\frac{125}{4}} = \frac{5\sqrt{5}}{2}\, cm$.

(C) माना वृत्त का केंद्र $O$ है। समांतर जीवाएँ $AB = 6\, cm$ और $CD = 8\, cm$ हैं।
$OP \perp AB$ और $OQ \perp CD$ खींचिए।
चूंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है:
$AP = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2}(6\, cm) = 3\, cm$
$CQ = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2}(8\, cm) = 4\, cm$
दिया गया है कि छोटी जीवा केंद्र से $4\, cm$ की दूरी पर है,इसलिए $OP = 4\, cm$।
समकोण त्रिभुज $\Delta OPA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OA^2 = OP^2 + AP^2$
$r^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
$r = 5\, cm$ (जहाँ $r$ वृत्त की त्रिज्या है)।
अब,समकोण त्रिभुज $\Delta OQC$ में:
$OC^2 = OQ^2 + CQ^2$
$r^2 = OQ^2 + 4^2$
$5^2 = OQ^2 + 16$
$25 = OQ^2 + 16$
$OQ^2 = 25 - 16 = 9$
$OQ = 3\, cm$।
अतः,दूसरी जीवा की केंद्र से दूरी $3\, cm$ है।

(B) यह कथन असत्य है।
एक वृत्त में,जो जीवा केंद्र के निकट होती है,वह हमेशा केंद्र से दूर स्थित जीवा से लंबी होती है।
मान लीजिए जीवाओं की लंबाई $L_1 = 10 \, cm$ और $L_2 = 8 \, cm$ है।
मान लीजिए केंद्र से उनकी दूरियाँ $d_1 = 8.0 \, cm$ और $d_2 = 3.5 \, cm$ हैं।
चूंकि $L_1 > L_2$ है,इसलिए दूरी $d_1$ का मान $d_2$ से कम होना चाहिए $(d_1 < d_2)$।
हालाँकि,यहाँ $d_1 = 8.0 \, cm$ और $d_2 = 3.5 \, cm$ है,जिसका अर्थ है कि $d_1 > d_2$ है।
अतः,दी गई जानकारी एक ही वृत्त के लिए ज्यामितीय रूप से असंभव है।

(A) हम जानते हैं कि एक वृत्त के केंद्र से समान दूरी पर स्थित जीवाएँ लंबाई में बराबर होती हैं।
यहाँ दिया गया है कि एक वृत्त की दो जीवाएँ $AB$ और $CD$ प्रत्येक केंद्र से $4 \ cm$ की दूरी पर हैं,अर्थात वे केंद्र से समान दूरी पर हैं।
इसलिए,प्रमेय के अनुसार,जीवाएँ बराबर होनी चाहिए।
अतः,$AB = CD$ है।
इसलिए,दिया गया कथन सत्य है।

(N/A) $AB$ और $CD$ केंद्र $O$ वाले एक वृत्त की दो समान जीवाएँ हैं,जो एक-दूसरे को $M$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। हमें सिद्ध करना है कि:
$(i)$ $MB = MC$ और
$(ii)$ $AM = MD$
केंद्र $O$ से $OE \perp AB$ और $OF \perp CD$ खींचिए।
चूँकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए:
$AE = \frac{1}{2} AB$ और $FD = \frac{1}{2} CD$
चूँकि $AB = CD,$ इसलिए $\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD,$ अतः $AE = FD$ $...(1)$
समान जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं,इसलिए $OE = OF.$
अब,$\Delta MOE$ और $\Delta MOF$ में:
$OE = OF$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
$OM = OM$ [उभयनिष्ठ भुजा]
$\angle OEM = \angle OFM = 90^\circ$ [रचना से]
अतः,$\Delta MOE \cong \Delta MOF$ [$RHS$ सर्वांगसमता नियम से]
इस प्रकार,$ME = MF$ $...(2)$
$(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AE - ME = FD - MF$
$\Rightarrow AM = MD$ [भाग $(ii)$ सिद्ध हुआ]
पुनः,$AB = CD$ और $AM = MD.$
इन्हें घटाने पर,हमें प्राप्त होता है $AB - AM = CD - MD.$
अतः,$MB = MC$ [भाग $(i)$ सिद्ध हुआ]

(A) एक वृत्त में,समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं।
दिया गया है कि $P$ केंद्र वाले वृत्त में $AB$ और $CD$ समान जीवाएँ हैं $(AB = CD)$।
प्रमेय के अनुसार,वृत्त की समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं।
इसलिए,$\angle APB = \angle CPD$ होगा।
चूँकि $\angle APB = 80^{\circ}$ है,इसलिए $\angle CPD = 80^{\circ}$ होगा।

(B) $1$. एक वृत्त में,समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं। चूँकि जीवा $AB = CD$ है,इसलिए केंद्र पर उनके द्वारा अंतरित कोण समान होंगे,अतः $\angle CPD = \angle APB = 100^{\circ}$।
$2$. $\triangle PCD$ में,$PC$ और $PD$ वृत्त की त्रिज्याएँ हैं,इसलिए $PC = PD$ है। यह $\triangle PCD$ को एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाता है।
$3$. समद्विबाहु त्रिभुज में,समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle PCD = \angle PDC$ है।
$4$. त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। इसलिए,$\angle PCD + \angle PDC + \angle CPD = 180^{\circ}$।
$5$. ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $2 \times \angle PCD + 100^{\circ} = 180^{\circ}$।
$6$. $2 \times \angle PCD = 80^{\circ}$,जिससे $\angle PCD = 40^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(A) केंद्र $P$ वाले वृत्त में,$PA = PB = 8 \ cm$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)।
चूँकि $PA = PB$,$\triangle PAB$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
इसलिए,$\angle PBA = \angle PAB = 40^{\circ}$।
$\triangle PAB$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle APB = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 40^{\circ}) = 100^{\circ}$।
चूँकि जीवा $AB$ और $CD$ बराबर हैं और वृत्तों की त्रिज्या समान $(8 \ cm)$ है,इसलिए जीवाएँ अपने केंद्रों पर समान कोण अंतरित करती हैं।
अतः,$\angle CQD = \angle APB = 100^{\circ}$।

(D) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है।
$12 \, cm$ लंबाई की जीवा $AB$ के लिए,केंद्र $O$ से दूरी $d_1 = 8 \, cm$ है।
केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। अतः,केंद्र से दूरी,त्रिज्या और जीवा की आधी लंबाई एक समकोण त्रिभुज बनाती है।
$r^2 = (12/2)^2 + 8^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
अतः,$r = 10 \, cm$।
$16 \, cm$ लंबाई की जीवा $CD$ के लिए,माना केंद्र से दूरी $d_2$ है।
$r^2 = (16/2)^2 + d_2^2$.
$10^2 = 8^2 + d_2^2$.
$100 = 64 + d_2^2$.
$d_2^2 = 36$.
$d_2 = 6 \, cm$।

(A) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है।
केंद्र $P$ से जीवा $AB$ पर लंब $M$ और जीवा $CD$ पर लंब $N$ खींचिए।
$PM = 15 \, cm$ और $PN = 8 \, cm$ है।
चूंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $AM = MB = AB / 2 = 16 / 2 = 8 \, cm$।
समकोण त्रिभुज $\triangle PAM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $r^2 = PM^2 + AM^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$।
अतः,$r = \sqrt{289} = 17 \, cm$।
अब,समकोण त्रिभुज $\triangle PNC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $r^2 = PN^2 + CN^2$।
$17^2 = 8^2 + CN^2 \implies 289 = 64 + CN^2$।
$CN^2 = 289 - 64 = 225$।
$CN = \sqrt{225} = 15 \, cm$।
चूंकि $N$,$CD$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $CD = 2 \times CN = 2 \times 15 = 30 \, cm$।

(D) माना वृत्त का केंद्र $P$ है और त्रिज्या $r = 25 \, cm$ है।
केंद्र $P$ से जीवाओं $AB$ और $CD$ पर लंब डालिए,जो उन्हें क्रमशः $M$ और $N$ बिंदुओं पर मिलते हैं।
चूँकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए:
$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{48}{2} = 24 \, cm$
$CN = ND = \frac{CD}{2} = \frac{40}{2} = 20 \, cm$
समकोण त्रिभुज $\triangle PMA$ में:
$PM^2 + AM^2 = PA^2$
$PM^2 + 24^2 = 25^2$
$PM^2 + 576 = 625$
$PM^2 = 49 \implies PM = 7 \, cm$
समकोण त्रिभुज $\triangle PNC$ में:
$PN^2 + CN^2 = PC^2$
$PN^2 + 20^2 = 25^2$
$PN^2 + 400 = 625$
$PN^2 = 225 \implies PN = 15 \, cm$
चूँकि केंद्र $P$ जीवाओं के बीच स्थित है,इसलिए $AB$ और $CD$ के बीच की दूरी $PM + PN = 7 \, cm + 15 \, cm = 22 \, cm$ है।

(A) माना $P$ त्रिज्या $r = 13 \, cm$ वाले वृत्त का केंद्र है। माना $M$ और $N$ क्रमशः जीवाओं $AB$ और $CD$ के मध्य बिंदु हैं। केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $AM = MB = 12 \, cm$ और $CN = ND$ है। $\triangle PMA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PM^2 + AM^2 = PA^2$,इसलिए $PM^2 + 12^2 = 13^2$,जिससे $PM^2 = 169 - 144 = 25$ प्राप्त होता है,अतः $PM = 5 \, cm$ है। दो स्थितियाँ संभव हैं: जीवाएँ केंद्र के विपरीत दिशा में हैं या एक ही दिशा में। स्थिति $1$: जीवाएँ विपरीत दिशा में हैं। दूरी $MN = PM + PN = 17 \, cm$ है। चूँकि $PM = 5 \, cm$ है,इसलिए $PN = 17 - 5 = 12 \, cm$ है। $\triangle PNC$ में,$PN^2 + CN^2 = PC^2$,इसलिए $12^2 + CN^2 = 13^2$,जिससे $CN^2 = 169 - 144 = 25$ प्राप्त होता है,अतः $CN = 5 \, cm$ है। इस प्रकार,$CD = 2 \times CN = 10 \, cm$ है। स्थिति $2$: जीवाएँ एक ही दिशा में हैं। दूरी $MN = |PM - PN| = 17 \, cm$ है। चूँकि $PM = 5 \, cm$ है,$PN$ का मान $22 \, cm$ या $-12 \, cm$ होगा,जो असंभव है क्योंकि त्रिज्या $13 \, cm$ है। अतः,$CD = 10 \, cm$ है।

(B) माना त्रिज्या $r = 50 \, cm$ है। माना $M$ और $N$ क्रमशः जीवाओं $AB$ और $CD$ के मध्य बिंदु हैं।
चूँकि $AB = 80 \, cm$ है,इसलिए $AM = MB = 40 \, cm$ होगा।
$\triangle PMA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PM^2 + AM^2 = PA^2$।
$PM^2 + 40^2 = 50^2 \implies PM^2 = 2500 - 1600 = 900 \implies PM = 30 \, cm$।
चूँकि $P$ जीवाओं के बीच स्थित नहीं है,इसलिए जीवाओं के बीच की दूरी $PN - PM = 10 \, cm$ है।
$PN = 10 + PM = 10 + 30 = 40 \, cm$।
$\triangle PNC$ में,$PN^2 + NC^2 = PC^2$।
$40^2 + NC^2 = 50^2 \implies 1600 + NC^2 = 2500 \implies NC^2 = 900 \implies NC = 30 \, cm$।
चूँकि $N$,$CD$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $CD = 2 \times NC = 2 \times 30 = 60 \, cm$ होगा।

(A) ज्यामिति के प्रमेय के अनुसार,यदि एक वृत्त की दो जीवाएँ केंद्र पर बराबर कोण अंतरित करती हैं,तो वे जीवाएँ लंबाई में बराबर होती हैं।
दिया गया है कि जीवाएँ $PQ$ और $RS$ केंद्र $O$ पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।
इसलिए,$PQ = RS$ होगा।
चूँकि $PQ = 12 \text{ cm}$ है,इसलिए $RS = 12 \text{ cm}$ होगा।