Perpendicular from the Centre to a Chord Questions in Hindi

(N/A) रचना के चरण:
$I.$ दिए गए वृत्त पर कोई भी तीन बिंदु लीजिए। मान लीजिए ये बिंदु $A, B$ और $C$ हैं।
$II.$ $AB$ और $BC$ को मिलाइए।
$III.$ $AB$ का लंब समद्विभाजक $PQ$ खींचिए।
$IV.$ $BC$ का लंब समद्विभाजक $RS$ इस प्रकार खींचिए कि यह $PQ$ को $O$ पर प्रतिच्छेद करे।
इस प्रकार,$O$ दिए गए वृत्त का अभीष्ट केंद्र है।

(N/A) मान लीजिए $O$ और $O^{\prime}$ केंद्र वाले दो वृत्त हैं जो $A$ और $B$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$AB$ दोनों वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा है और $OO^{\prime}$ केंद्रों को जोड़ने वाला रेखाखंड है। मान लीजिए $OO^{\prime}$ और $AB$ एक-दूसरे को $M$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
यह सिद्ध करने के लिए कि $OO^{\prime}$,$AB$ का लंब समद्विभाजक है,हम $OA, OB, O^{\prime}A$ और $O^{\prime}B$ को मिलाते हैं।
$\Delta OAO^{\prime}$ और $\Delta OBO^{\prime}$ में:
$OA = OB$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$O^{\prime}A = O^{\prime}B$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$OO^{\prime} = OO^{\prime}$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$SSS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta OAO^{\prime} \cong \Delta OBO^{\prime}$।
अतः,$\angle 1 = \angle 2$ ($CPCT$ द्वारा)।
अब,$\Delta AOM$ और $\Delta BOM$ में:
$OA = OB$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$OM = OM$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$\angle 1 = \angle 2$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta AOM \cong \Delta BOM$।
अतः,$AM = BM$ ($CPCT$ द्वारा) और $\angle 3 = \angle 4$ ($CPCT$ द्वारा)।
चूंकि $AB$ एक रेखाखंड है,$\angle 3 + \angle 4 = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म)।
इस प्रकार,$2 \angle 3 = 180^{\circ} \Rightarrow \angle 3 = 90^{\circ}$।
चूंकि $\angle 3 = \angle 4 = 90^{\circ}$ और $AM = BM$,इसलिए $OO^{\prime}$,$AB$ का लंब समद्विभाजक है।

(N/A) हमारे पास उभयनिष्ठ केंद्र $O$ वाले दो वृत्त हैं।
एक रेखा $\ell$ बाहरी वृत्त को $A$ और $D$ पर तथा आंतरिक वृत्त को $B$ और $C$ पर प्रतिच्छेद करती है। $AB = CD$ सिद्ध करने के लिए,आइए हम $OM \perp \ell$ खींचें।
बाहरी वृत्त के लिए,
$\because OM \perp \ell$,और केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,
$\therefore AM = MD$ --- $(1)$
आंतरिक वृत्त के लिए,
$\because OM \perp \ell$,
$\therefore BM = MC$ --- $(2)$
$(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AM - BM = MD - MC$
$AB = CD$
अतः,यह सिद्ध हुआ।

(C) माना $O$ वृत्त का केंद्र है। $OP \perp AB$ खींचिए।
चूंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए:
$AP = \frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{2} \times 30 = 15 \, cm$.
वृत्त की त्रिज्या $OA = \frac{AD}{2} = \frac{34}{2} = 17 \, cm$ है।
समकोण त्रिभुज $\Delta OPA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OP^2 + AP^2 = OA^2$
$OP^2 + 15^2 = 17^2$
$OP^2 + 225 = 289$
$OP^2 = 289 - 225 = 64$
$OP = \sqrt{64} = 8 \, cm$.
अतः,वृत्त के केंद्र से जीवा $AB$ की दूरी $8 \, cm$ है।

(D) चूंकि वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए:
$AC = \frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{2} \times 8 \text{ cm} = 4 \text{ cm}$.
समकोण त्रिभुज $\triangle OCA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OC^2 + AC^2 = OA^2$
$OC^2 + 4^2 = 5^2$
$OC^2 + 16 = 25$
$OC^2 = 25 - 16 = 9$
$OC = \sqrt{9} = 3 \text{ cm}$.
यहाँ $OD$ वृत्त की त्रिज्या है,इसलिए $OD = OA = 5 \text{ cm}$.
अतः,$CD = OD - OC = 5 \text{ cm} - 3 \text{ cm} = 2 \text{ cm}$.

(N/A) दिया है: $PQ$ एक वृत्त की जीवा $AB$ का लंब समद्विभाजक है,जो वृत्त को $P$ और $Q$ पर प्रतिच्छेद करता है। माना $M$,$PQ$ और $AB$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
सिद्ध करना है: चाप $PXA \cong$ चाप $PYB$.
उपपत्ति:
$\Delta APM$ और $\Delta BPM$ में:
$1$. $AM = BM$ (चूंकि $PQ$,$AB$ का लंब समद्विभाजक है)
$2$. $\angle AMP = \angle BMP = 90^{\circ}$ (दिया है)
$3$. $PM = PM$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा $\Delta APM \cong \Delta BPM$ है।
इसका अर्थ है कि $CPCT$ द्वारा $AP = BP$ है।
चूंकि $AP$ और $BP$ वृत्त की जीवाएं हैं और $AP = BP$ है,इसलिए उनकी संगत चापें सर्वांगसम होती हैं।
अतः,चाप $PXA \cong$ चाप $PYB$ है।

(N/A) दिया है: $AB$ और $CD$ एक वृत्त की दो जीवाएँ हैं जिसका केंद्र $O$ है। $AB$ और $CD$ के मध्य-बिंदु क्रमशः $L$ और $M$ हैं।
सिद्ध करना है: $AB \parallel CD$
उपपत्ति: चूँकि $L$ जीवा $AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $OL \perp AB$,या $\angle ALO = 90^{\circ}$।
[क्योंकि वृत्त के केंद्र को जीवा के मध्य-बिंदु से मिलाने वाली रेखा जीवा पर लंब होती है]
इसी प्रकार,$\angle CMO = 90^{\circ}$।
अतः,$\angle ALO = \angle CMO = 90^{\circ}$।
चूँकि ये तिर्यक रेखा $LM$ द्वारा रेखाओं $AB$ और $CD$ पर बने संगत कोण हैं,और ये बराबर हैं,इसलिए रेखाएँ समांतर होनी चाहिए।
अतः,$AB \parallel CD$।
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: $O$ और $O'$ केंद्रों वाले दो वृत्त $A$ और $B$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। $A$ से होकर $OO'$ के समानांतर एक रेखा $PQ$ खींची गई है,जो वृत्तों को $P$ और $Q$ पर काटती है।
सिद्ध करना है: $PQ = 2 OO'$.
रचना: $OC \perp PA$ और $O'D \perp AQ$ खींचिए।
उपपत्ति:
$1$. वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए:
$PA = 2 CA$ (चूंकि $OC \perp PA$) $...(1)$
$AQ = 2 AD$ (चूंकि $O'D \perp AQ$) $...(2)$
$2$. समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$PA + AQ = 2 CA + 2 AD$
$PQ = 2(CA + AD)$
$3$. चूंकि $PQ \parallel OO'$,$OC \perp PQ$,और $O'D \perp PQ$,इसलिए चतुर्भुज $CDO'O$ एक आयत है।
अतः,$CD = OO'$.
$4$. समीकरण $PQ = 2(CA + AD)$ में $CD = OO'$ रखने पर:
$PQ = 2 CD = 2 OO'$.
अतः,$PQ = 2 OO'$ सिद्ध हुआ।

(N/A) माना $P$ केंद्र $O$ वाले वृत्त के भीतर एक दिया गया बिंदु है। जीवा $AB$ खींचिए जो $P$ से होकर जाने वाले व्यास $XY$ पर लंब है। माना $CD$ कोई अन्य जीवा है जो $P$ से होकर गुजरती है। $O$ से $CD$ पर लंब $ON$ खींचिए।
$\Delta ONP$ में,$\angle ONP = 90^{\circ}$ है। चूंकि $OP$ कर्ण है,इसलिए $OP > ON$ होगा।
हम जानते हैं कि केंद्र के निकट वाली जीवा,केंद्र से दूर वाली जीवा से बड़ी होती है।
चूंकि $ON < OP$ है (जहाँ $OP$ केंद्र से जीवा $AB$ की दूरी है),इसलिए जीवा $CD$ केंद्र से जीवा $AB$ की तुलना में अधिक दूर है।
अतः,$CD > AB$ होगा।
दूसरे शब्दों में,$P$ से होकर जाने वाली सभी जीवाओं में $AB$ सबसे छोटी है।

(N/A) हमारे पास $O$ केंद्र वाला एक वृत्त है। $BC$ एक व्यास है और $AB$ एक जीवा है,जहाँ $OD \perp AB$ है। $AC$ को मिलाइए।
वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। इसलिए,$D$,$AB$ का मध्य-बिंदु है।
चूँकि $O$ वृत्त का केंद्र है,$O$ व्यास $BC$ का मध्य-बिंदु है।
$\triangle ABC$ में,$O$,$BC$ का मध्य-बिंदु है और $D$,$AB$ का मध्य-बिंदु है। इसलिए,$OD$,$\triangle ABC$ की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड है।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
इसलिए,$OD \parallel CA$ और $OD = \frac{1}{2} CA$ है।
अतः,$CA = 2OD$ है।

(N/A) $1$. मान लीजिए वृत्त का केंद्र $P$ है। चूँकि $l$,जीवा $AB$ का लंब समद्विभाजक है,इसलिए यह वृत्त के केंद्र $P$ से होकर गुजरता है।
$2$. हमें दिया गया है कि $AB \parallel CD$ है।
$3$. चूँकि $l$,$AB$ पर लंब है $(l \perp AB)$ और $AB \parallel CD$ है,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $l$,$CD$ पर भी लंब है $(l \perp CD)$।
$4$. वृत्त के केंद्र से होकर जाने वाली और जीवा पर लंब रेखा जीवा को समद्विभाजित करती है।
$5$. चूँकि $l$,केंद्र $P$ से होकर गुजरती है और $CD$ पर लंब है,इसलिए $l$,जीवा $CD$ को समद्विभाजित करती है।

(N/A) $1$. मान लीजिए वृत्त का केंद्र $P$ है। रेखा $l$,$P$ से होकर गुजरती है और $AB$ को बिंदु $M$ पर तथा $XY$ को बिंदु $N$ पर प्रतिच्छेद करती है।
$2$. चूंकि रेखा $l$,जीवा $AB$ को $M$ पर समद्विभाजित करती है,प्रमेय के अनुसार 'वृत्त के केंद्र से जीवा को समद्विभाजित करने के लिए खींची गई रेखा जीवा पर लंब होती है',इसलिए $PM \perp AB$ है। अतः,$\angle PMA = 90^{\circ}$।
$3$. इसी प्रकार,चूंकि रेखा $l$,जीवा $XY$ को $N$ पर समद्विभाजित करती है,इसलिए $PN \perp XY$ है। अतः,$\angle PNY = 90^{\circ}$।
$4$. चूंकि $M, P$ और $N$ एक ही रेखा $l$ पर स्थित हैं,इसलिए $\angle PMA$ और $\angle PNY$ रेखा $l$ द्वारा $AB$ और $XY$ को प्रतिच्छेद करने पर बने संगत कोण हैं।
$5$. चूंकि $\angle PMA = 90^{\circ}$ और $\angle PNY = 90^{\circ}$ है,इसलिए संगत कोण बराबर हैं $(\angle PMA = \angle PNY = 90^{\circ})$।
$6$. अतः,संगत कोण अभिगृहीत के विलोम से,$AB \parallel XY$ सिद्ध होता है।

(C) $P$ से $PM \perp AB$ खींचिए। $PA$ को मिलाइए।
वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
$\therefore AM = MB = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 32 = 16\, cm$.
$PA$ वृत्त की त्रिज्या है,इसलिए $PA = 20\, cm$.
$\Delta PMA$ में,$\angle M = 90^{\circ}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PA^2 = PM^2 + AM^2$.
$\therefore PM^2 = PA^2 - AM^2 = (20)^2 - (16)^2 = 400 - 256 = 144$.
$\therefore PM = \sqrt{144} = 12\, cm$.
अतः,केंद्र $P$ से जीवा $AB$ की दूरी $12\, cm$ है।

(B) मान लीजिए $P$ वृत्त का केंद्र है और $AB$ जीवा की लंबाई $30\,cm$ है।
केंद्र $P$ से जीवा $AB$ पर एक लंब $PM$ खींचिए।
वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
इसलिए,$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{30}{2} = 15\,cm$।
समकोण त्रिभुज $\triangle PMA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PA^2 = PM^2 + AM^2$।
यहाँ त्रिज्या $PA = 17\,cm$ और $AM = 15\,cm$ दी गई है।
$17^2 = PM^2 + 15^2$।
$289 = PM^2 + 225$।
$PM^2 = 289 - 225 = 64$।
$PM = \sqrt{64} = 8\,cm$।
अतः,केंद्र $P$ से जीवा $AB$ की दूरी $8\,cm$ है।

(A) माना $P$ वृत्त का केंद्र है और $AB$ जीवा है जिसकी लंबाई $40 \, cm$ है।
माना $M$,$AB$ का मध्य बिंदु है। केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
अतः,$AM = MB = \frac{40}{2} = 20 \, cm$।
केंद्र से जीवा की दूरी $PM = 21 \, cm$ दी गई है।
समकोण त्रिभुज $\triangle PMA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PA^2 = PM^2 + AM^2$
$PA^2 = 21^2 + 20^2$
$PA^2 = 441 + 400 = 841$
$PA = \sqrt{841} = 29 \, cm$।
यहाँ,$PA$ वृत्त की त्रिज्या $(r)$ है।
व्यास $(d)$ = $2 \times r = 2 \times 29 = 58 \, cm$।

(A) माना $P$ वृत्त का केंद्र है जिसकी त्रिज्या $r = 25\,cm$ है।
माना $M$ और $N$ क्रमशः जीवाओं $AB$ और $CD$ के मध्य बिंदु हैं।
चूँकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $AM = MB = AB/2 = 40/2 = 20\,cm$ और $CN = ND = CD/2 = 30/2 = 15\,cm$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle PMA$ में,पाइथागोरस प्रमेय द्वारा: $PM^2 + AM^2 = PA^2 \implies PM^2 + 20^2 = 25^2 \implies PM^2 = 625 - 400 = 225 \implies PM = 15\,cm$।
समकोण त्रिभुज $\triangle PNC$ में,पाइथागोरस प्रमेय द्वारा: $PN^2 + CN^2 = PC^2 \implies PN^2 + 15^2 = 25^2 \implies PN^2 = 625 - 225 = 400 \implies PN = 20\,cm$।
चूँकि केंद्र $P$ जीवाओं के बीच में नहीं है,इसलिए जीवाओं के बीच की दूरी $|PN - PM| = |20 - 15| = 5\,cm$ होगी।

(C) मान लीजिए $P$ वृत्त का केंद्र है और $r = 26\,cm$ त्रिज्या है।
केंद्र $P$ से जीवाओं $AB$ और $CD$ पर क्रमशः लंब $PM$ और $PN$ खींचिए।
चूंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए:
$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{20}{2} = 10\,cm$
$CN = ND = \frac{CD}{2} = \frac{48}{2} = 24\,cm$
समकोण त्रिभुज $\triangle PMA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PM^2 + AM^2 = PA^2$
$PM^2 + 10^2 = 26^2$
$PM^2 = 676 - 100 = 576$
$PM = \sqrt{576} = 24\,cm$
समकोण त्रिभुज $\triangle PNC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PN^2 + CN^2 = PC^2$
$PN^2 + 24^2 = 26^2$
$PN^2 = 676 - 576 = 100$
$PN = \sqrt{100} = 10\,cm$
चूंकि केंद्र $P$ जीवाओं के बीच स्थित है,इसलिए $AB$ और $CD$ के बीच की दूरी $PM + PN = 24 + 10 = 34\,cm$ है।

(A) मान लीजिए $AB$ और $CD$ केंद्र $O$ वाले एक वृत्त की दो जीवाएँ हैं। मान लीजिए $M$ और $N$ क्रमशः जीवा $AB$ और $CD$ के मध्य बिंदु हैं।
दिया गया है कि रेखा $MN$ केंद्र $O$ से होकर गुजरती है।
वृत्त के केंद्र को जीवा के मध्य बिंदु से जोड़ने वाला रेखाखंड जीवा पर लंब होता है। इसलिए,$OM \perp AB$,जिसका अर्थ है $\angle OMA = 90^{\circ}$।
इसी प्रकार,चूंकि $N$,$CD$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $ON \perp CD$,जिसका अर्थ है $\angle ONC = 90^{\circ}$।
चूंकि बिंदु $M, O, N$ संरेख हैं (क्योंकि रेखा $MN$ केंद्र $O$ से गुजरती है),रेखा $MN$ जीवा $AB$ और $CD$ के लिए एक तिर्यक रेखा (transversal) के रूप में कार्य करती है।
यहाँ $\angle OMA$ और $\angle ONC$ तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण हैं,जिनका योग $90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$ है।
चूंकि तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए जीवा $AB$ और $CD$ समांतर हैं।

(B) दिया गया है कि वृत्त का व्यास $20 \, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{20}{2} = 10 \, cm$ है।
मान लीजिए $M$ जीवा $AB$ का मध्यबिंदु है ताकि $PM \perp AB$ हो। केंद्र $P$ से जीवा $AB$ की दूरी $PM = 6 \, cm$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle PMA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PA^2 = PM^2 + AM^2$
$10^2 = 6^2 + AM^2$
$100 = 36 + AM^2$
$AM^2 = 100 - 36 = 64$
$AM = \sqrt{64} = 8 \, cm$.
चूंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $AB = 2 \times AM = 2 \times 8 = 16 \, cm$।

(A) माना $P$ वृत्त का केंद्र है और $AB$ जीवा है। माना $M$ जीवा $AB$ का मध्य बिंदु है ताकि $PM \perp AB$ हो।
दिया गया है कि जीवा की केंद्र से दूरी $PM = 20 \, cm$ है।
जीवा की लंबाई $AB = 96 \, cm$ है।
चूंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{96}{2} = 48 \, cm$ होगा।
समकोण त्रिभुज $\triangle PMA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PA^2 = PM^2 + AM^2$।
यहाँ,$PA$ वृत्त की त्रिज्या $(r)$ है।
$r^2 = 20^2 + 48^2$।
$r^2 = 400 + 2304 = 2704$।
$r = \sqrt{2704} = 52 \, cm$।
अतः,वृत्त की त्रिज्या $52 \, cm$ है।

(B) दिया गया है: वृत्त का व्यास $d = 70 \, cm$ है।
त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{70}{2} = 35 \, cm$ है।
माना $M$ जीवा $AB$ का मध्य बिंदु है ताकि $PM \perp AB$ हो।
केंद्र से जीवा की दूरी $PM = 21 \, cm$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle PMA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PA^2 = PM^2 + AM^2$
$35^2 = 21^2 + AM^2$
$1225 = 441 + AM^2$
$AM^2 = 1225 - 441 = 784$
$AM = \sqrt{784} = 28 \, cm$।
चूंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $AB = 2 \times AM = 2 \times 28 = 56 \, cm$।

(B) वृत्त पर स्थित किन्हीं दो बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड को वृत्त की जीवा कहा जाता है। यदि यह जीवा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है,तो इसे व्यास कहा जाता है,जो वृत्त की सबसे लंबी जीवा होती है।

(D) प्रमेय के अनुसार,वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) माना वृत्त का केंद्र $O$ और त्रिज्या $r = 17 \, cm$ है। माना $AB$ जीवा की लंबाई $30 \, cm$ है।
केंद्र $O$ से जीवा $AB$ पर एक लंब $OM$ खींचिए।
वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
इसलिए,$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{30}{2} = 15 \, cm$।
समकोण त्रिभुज $\triangle OMA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OA^2 = OM^2 + AM^2$।
मान रखने पर: $17^2 = OM^2 + 15^2$।
$289 = OM^2 + 225$।
$OM^2 = 289 - 225 = 64$।
$OM = \sqrt{64} = 8 \, cm$।
अतः,केंद्र से जीवा की दूरी $8 \, cm$ है।

(B) मान लीजिए कि वृत्त का केंद्र $O$ है और त्रिज्या $r = 13 \, cm$ है। मान लीजिए $AB$ वह जीवा है जो केंद्र से $OM = 12 \, cm$ की दूरी पर स्थित है,जहाँ $OM \perp AB$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OMA$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OA^2 = OM^2 + AM^2$
$13^2 = 12^2 + AM^2$
$169 = 144 + AM^2$
$AM^2 = 169 - 144 = 25$
$AM = \sqrt{25} = 5 \, cm$.
चूंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए जीवा $AB$ की लंबाई $= 2 \times AM = 2 \times 5 = 10 \, cm$ है।