Angle Subtended by an Arc of a Circle Questions in Hindi

(A) माना जीवा $AB$ है और वृत्त का केंद्र $O$ है। चूँकि जीवा $AB$ वृत्त की त्रिज्या के बराबर है,इसलिए $OA = OB = AB$ है।
अतः,$\Delta AOB$ एक समबाहु त्रिभुज है।
चूँकि समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण $60^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle AOB = 60^{\circ}$ है।
जीवा द्वारा केंद्र पर अंतरित प्रतिवर्ती कोण $\text{reflex } \angle AOB = 360^{\circ} - 60^{\circ} = 300^{\circ}$ है।
लघु चाप पर स्थित बिंदु $C$ पर जीवा द्वारा अंतरित कोण केंद्र पर अंतरित प्रतिवर्ती कोण का आधा होता है: $\angle ACB = \frac{1}{2} \times 300^{\circ} = 150^{\circ}$।
दीर्घ चाप पर स्थित बिंदु $D$ पर जीवा द्वारा अंतरित कोण केंद्र पर अंतरित कोण का आधा होता है: $\angle ADB = \frac{1}{2} \times 60^{\circ} = 30^{\circ}$।
अतः,लघु चाप पर अंतरित कोण $150^{\circ}$ है और दीर्घ चाप पर अंतरित कोण $30^{\circ}$ है।

(N/A) मान लीजिए कि एक त्रिभुज $ABC$ एक वृत्त के भीतर स्थित है,जहाँ $\angle A, \angle B$ और $\angle C$ के कोण समद्विभाजक परिवृत्त को क्रमशः $D, E$ और $F$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$DE, EF$ और $FD$ को मिलाइए।
चूंकि एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं:
$\angle FDA = \angle FCA = \frac{1}{2} \angle C$ (क्योंकि $CF, \angle C$ का समद्विभाजक है)
$\angle EDA = \angle EBA = \frac{1}{2} \angle B$ (क्योंकि $BE, \angle B$ का समद्विभाजक है)
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$\angle FDE = \angle FDA + \angle EDA = \frac{1}{2} \angle C + \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2}(\angle B + \angle C)$
हम जानते हैं कि $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$,इसलिए $\angle B + \angle C = 180^{\circ} - \angle A$.
अतः,$\angle FDE = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle A) = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle A$.
इसी प्रकार,$\angle FED = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle B$ और $\angle EFD = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle C$.
इस प्रकार,$\Delta DEF$ के कोण $90^{\circ} - \frac{A}{2}, 90^{\circ} - \frac{B}{2}$ और $90^{\circ} - \frac{C}{2}$ हैं।

(D) $\Delta OAB$ में,
$OA = OB$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)।
अतः,$\angle OAB = \angle OBA = 40^{\circ}$ (समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।
$\Delta OAB$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle AOB = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 40^{\circ}) = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$।
प्रमेय के अनुसार,एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
इसलिए,$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \times 100^{\circ} = 50^{\circ}$।

(C) $\Delta OAB$ में,हमारे पास है:
$OA = OB$ [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]
इसलिए,$\angle ABO = \angle BAO$ [समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]।
दिया है $\angle BAO = 60^{\circ}$,इसलिए $\angle ABO = 60^{\circ}$।
$\Delta OAB$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle AOB = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 60^{\circ}) = 60^{\circ}$।
चूँकि $BC$ एक व्यास है,$\angle AOC = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$।
वृत्त के केंद्र पर बना कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी बिंदु पर बने कोण का दोगुना होता है।
अतः,$\angle ADC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \times 120^{\circ} = 60^{\circ}$।

(B) यह कथन $False$ (असत्य) है।
औचित्य: वृत्त के प्रमेय के अनुसार,एक वृत्त के एक ही वृत्तखंड में स्थित किन्हीं दो बिंदुओं पर एक जीवा द्वारा अंतरित कोण बराबर होते हैं।
हालाँकि,यदि दो बिंदु अलग-अलग वृत्तखंडों में स्थित हों (एक दीर्घ वृत्तखंड में और एक लघु वृत्तखंड में),तो इन बिंदुओं पर जीवा द्वारा अंतरित कोण संपूरक होते हैं,न कि बराबर। इसलिए,यह कथन गलत है क्योंकि इसमें यह स्पष्ट नहीं किया गया है कि बिंदु एक ही वृत्तखंड में होने चाहिए।

(N/A) हम जानते हैं कि एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
इसलिए,$\angle AOC = 2 \times \angle ABC$ है।
दिया गया है कि $\angle ABC = 45^{\circ}$ है।
मान रखने पर,हमें $\angle AOC = 2 \times 45^{\circ} = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\angle AOC = 90^{\circ}$ है,इसलिए रेखाएं $OA$ और $OC$ एक-दूसरे पर लंब हैं।
अतः,$OA \perp OC$ सिद्ध होता है।

$(50^{\circ})$ चूँकि एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है,इसलिए:
$\angle AOB = 2 \angle ACB = 2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$
$\Delta OAB$ में,चूँकि $OA = OB$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ),समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं। इसलिए,$\angle OAB = \angle OBA = p^{\circ}$।
$\Delta OAB$ में कोण योग गुण का उपयोग करने पर:
$p^{\circ} + p^{\circ} + \angle AOB = 180^{\circ}$
$2p^{\circ} + 80^{\circ} = 180^{\circ}$
$2p^{\circ} = 180^{\circ} - 80^{\circ}$
$2p^{\circ} = 100^{\circ}$
$p^{\circ} = 50^{\circ}$
अतः,$\angle OAB = 50^{\circ}$।

(N/A) माना वृत्त का केंद्र $O$ और त्रिज्या $r = \sqrt{2} \text{ cm}$ है। माना $BC$ लंबाई $2 \text{ cm}$ की जीवा है।
$OB$ और $OC$ को मिलाइए। $\triangle OBC$ में,हमारे पास $OB = OC = \sqrt{2} \text{ cm}$ और $BC = 2 \text{ cm}$ है।
जाँच कीजिए कि क्या $\triangle OBC$ एक समकोण त्रिभुज है:
$OB^2 + OC^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4$.
$BC^2 = (2)^2 = 4$.
चूँकि $OB^2 + OC^2 = BC^2$,पाइथागोरस प्रमेय के विलोम के अनुसार,$\angle BOC = 90^{\circ}$ है।
वृत्त के केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
इसलिए,$\angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}$।
अतः,यह सिद्ध होता है कि दीर्घ वृत्तखंड में जीवा द्वारा अंतरित कोण $45^{\circ}$ है।

(C) वृत्त प्रमेय के अनुसार,एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
यहाँ,चाप $AB$ केंद्र $P$ पर $\angle APB$ और वृत्त के शेष भाग पर $\angle ACB$ अंतरित करता है।
इसलिए,$\angle APB = 2 \angle ACB$ है।
दिया गया है कि $\angle ACB = 50^{\circ}$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\angle APB = 2 \times 50^{\circ} = 100^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\angle APB$ का मान $100^{\circ}$ है।

(D) दिया गया है कि $AB$ केंद्र $P$ वाले एक वृत्त की जीवा है। बिंदु $C$,दीर्घ चाप $AB$ पर स्थित एक बिंदु है।
हमें $\angle APB = 130^{\circ}$ दिया गया है।
वृत्त की प्रमेय के अनुसार,एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
इसलिए,$\angle APB = 2 \angle ACB$.
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$130^{\circ} = 2 \angle ACB$
$\angle ACB = \frac{130^{\circ}}{2} = 65^{\circ}$.
अतः,$\angle ACB = 65^{\circ}$.

(B) दिया है: त्रिज्या $r = \sqrt{2} \ cm$ और जीवा की लंबाई $AB = 2 \ cm$ है।
$\triangle APB$ में,$AP = BP = r = \sqrt{2} \ cm$ और $AB = 2 \ cm$ है।
जाँच करें कि क्या $\triangle APB$ एक समकोण त्रिभुज है: $AP^2 + BP^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4$।
चूँकि $AB^2 = 2^2 = 4$ है,इसलिए $AP^2 + BP^2 = AB^2$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से,$\triangle APB$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle APB = 90^{\circ}$ है।
जीवा $AB$ द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण $\angle APB = 90^{\circ}$ है।
दीर्घ चाप पर स्थित किसी बिंदु $C$ पर उसी जीवा द्वारा अंतरित कोण,केंद्र पर अंतरित कोण का आधा होता है।
अतः,$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle APB = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}$।

(D) वृत्त प्रमेय के अनुसार,एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
यहाँ,चाप $AB$ केंद्र $P$ पर $\angle APB$ और दीर्घ चाप पर स्थित बिंदु $C$ पर $\angle ACB$ अंतरित करता है।
इसलिए,$\angle APB = 2 \times \angle ACB$.
दिया गया है कि $\angle ACB = 47^{\circ}$.
अतः,$\angle APB = 2 \times 47^{\circ} = 94^{\circ}$.

(A) वृत्त पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच के वृत्त के भाग को $\operatorname{arc}$ (चाप) कहा जाता है।
चाप वृत्त की परिधि का एक हिस्सा होता है।

(D) माना कि जीवा $AB$ द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण $\angle APB = \theta$ है।
प्रमेय के अनुसार,वृत्त के एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर स्थित किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
इसलिए,$\angle APB = 2 \times \angle ACB$,जिसका अर्थ है $\angle ACB = \frac{\theta}{2}$।
दिया गया है कि $\angle ACB + \angle APB = 150^{\circ}$।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\theta}{2} + \theta = 150^{\circ}$।
$\frac{3\theta}{2} = 150^{\circ}$।
$\theta = 150^{\circ} \times \frac{2}{3} = 100^{\circ}$।
अतः,$\angle APB = 100^{\circ}$।