Angle Subtended by a Chord at a Point Questions in Hindi

(N/A) $O$ और $O'$ केंद्रों वाले दो सर्वांगसम वृत्तों पर विचार कीजिए। मान लीजिए $AB$ और $CD$ इन वृत्तों की बराबर जीवाएँ हैं,अर्थात $AB = CD$ है।
हमें सिद्ध करना है कि $\angle AOB = \angle CO'D$ है।
$\Delta AOB$ और $\Delta CO'D$ में:
$AO = CO'$ (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ बराबर होती हैं)
$BO = DO'$ (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ बराबर होती हैं)
$AB = CD$ (दिया है)
$SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\Delta AOB \cong \Delta CO'D$ है।
चूँकि सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं,इसलिए:
$\angle AOB = \angle CO'D$ है।
अतः,सर्वांगसम वृत्तों की बराबर जीवाएँ उनके केंद्रों पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।

(N/A) दिया है: $O$ और $O'$ केंद्रों वाले दो सर्वांगसम वृत्त हैं। मान लीजिए $AB$ पहले वृत्त की एक जीवा है और $CD$ दूसरे वृत्त की एक जीवा है,इस प्रकार कि $\angle AOB = \angle CO'D$ है।
सिद्ध करना है: $AB = CD$ है।
उपपत्ति:
$\Delta AOB$ और $\Delta CO'D$ में:
$AO = CO'$ (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ)
$BO = DO'$ (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ)
$\angle AOB = \angle CO'D$ (दिया है)
अतः,$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा:
$\Delta AOB \cong \Delta CO'D$
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$AB = CD$।

(N/A) मान लीजिए कि एक वृत्त का चाप $PQ$ दिया गया है। हमें वृत्त को पूरा करना है,जिसका अर्थ है कि हमें इसका केंद्र और त्रिज्या ज्ञात करनी होगी।
$1$. चाप $PQ$ पर एक बिंदु $R$ लीजिए।
$2$. $PR$ और $RQ$ को जोड़कर दो जीवाएँ $PR$ और $RQ$ बनाइए।
$3$. जीवा $PR$ और $RQ$ के लंब समद्विभाजक खींचिए।
$4$. जिस बिंदु पर ये दोनों लंब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करते हैं,वह वृत्त का केंद्र $O$ है।
$5$. $O$ को केंद्र और $OP$ (या $OQ$ या $OR$) को त्रिज्या मानकर,वृत्त को पूरा करने के लिए वृत्त खींचिए।

(N/A) आइए नीचे दिखाए अनुसार वृत्तों के विभिन्न युग्म खींचें:

आकृति में	उभयनिष्ठ बिंदुओं की अधिकतम संख्या
$(i)$	$0$
$(ii)$	$1$
$(iii)$	$2$

अतः,दो वृत्तों में अधिकतम $2$ बिंदु उभयनिष्ठ हो सकते हैं।

(N/A) मान लीजिए कि $AB$ और $CD$ केंद्र $O$ वाले एक वृत्त की दो जीवाएँ हैं,जो बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। $PQ$ एक व्यास है जो $E$ से होकर गुजरता है,इस प्रकार कि $\angle AEQ = \angle DEQ$ है। हमें सिद्ध करना है कि $AB = CD$ है।
जीवाओं $AB$ और $CD$ पर क्रमशः लंब $OL$ और $OM$ खींचिए।
$\Delta OLE$ में,$\angle OLE = 90^{\circ}$ है। अतः,$\angle LOE = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle LEO = 90^{\circ} - \angle LEO$ है।
चूँकि $\angle LEO = \angle AEQ$ (शीर्षाभिमुख कोण),इसलिए $\angle LOE = 90^{\circ} - \angle AEQ$ है।
इसी प्रकार,$\Delta OME$ में,$\angle OME = 90^{\circ}$ है। अतः,$\angle MOE = 90^{\circ} - \angle MEO = 90^{\circ} - \angle DEQ$ है।
चूँकि यह दिया गया है कि $\angle AEQ = \angle DEQ$,इसलिए $\angle LOE = \angle MOE$ है।
अब,त्रिभुज $OLE$ और $OME$ में:
$1$. $\angle LEO = \angle MEO$ (दिया है $\angle AEQ = \angle DEQ$ और शीर्षाभिमुख कोण)
$2$. $\angle LOE = \angle MOE$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$3$. $EO = EO$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$ASA$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta OLE \cong \Delta OME$ है।
$CPCT$ द्वारा,$OL = OM$ है।
चूँकि वृत्त के केंद्र से समान दूरी पर स्थित जीवाएँ लंबाई में समान होती हैं,इसलिए $AB = CD$ सिद्ध होता है।

(B) मान लीजिए कि दो वृत्तों के केंद्र $O$ और $O'$ हैं जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः $r_1 = 5\, cm$ और $r_2 = 3\, cm$ हैं। केंद्रों के बीच की दूरी $OO' = 4\, cm$ है।
मान लीजिए $PQ$ उभयनिष्ठ जीवा है जो $OO'$ को $L$ पर प्रतिच्छेद करती है।
चूंकि केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा उभयनिष्ठ जीवा का लंब समद्विभाजक होती है,इसलिए $\angle OLP = 90^{\circ}$ और $PL = LQ$ होगा।
मान लीजिए $O'L = x$,तो $OL = 4 - x$ होगा।
समकोण $\Delta OLP$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PL^2 + OL^2 = OP^2$
$PL^2 + (4 - x)^2 = 5^2$
$PL^2 = 25 - (16 - 8x + x^2) = 9 + 8x - x^2 \quad \dots(1)$
समकोण $\Delta O'LP$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PL^2 + O'L^2 = O'P^2$
$PL^2 + x^2 = 3^2$
$PL^2 = 9 - x^2 \quad \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$9 + 8x - x^2 = 9 - x^2$
$8x = 0 \Rightarrow x = 0$.
इसका अर्थ है कि $L$ और $O'$ संपाती हैं। अतः,$PQ$ छोटे वृत्त का व्यास है।
$PL^2 = 9 - 0^2 = 9 \Rightarrow PL = 3\, cm$.
इसलिए $PQ = 2 \times PL = 2 \times 3 = 6\, cm$.
अतः,उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $6\, cm$ है।

(C) माना कि अंकुर,सैयद और डेविड की स्थितियाँ वृत्त पर क्रमशः $A, S$ और $D$ हैं,जिसका केंद्र $O$ और त्रिज्या $20 \, m$ है।
चूंकि वे समान दूरी पर बैठे हैं,इसलिए $\Delta ASD$ एक समबाहु त्रिभुज है।
माना समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई $a$ है।
एक समबाहु त्रिभुज में,परिवृत्त की त्रिज्या $R$ का सूत्र $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ होता है।
यहाँ $R = 20 \, m$ दिया गया है,इसलिए $20 = \frac{a}{\sqrt{3}}$।
अतः,$a = 20 \sqrt{3} \, m$।
प्रत्येक फोन की डोरी की लंबाई समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई के बराबर है,जो $20 \sqrt{3} \, m$ है।

(N/A) $OC$,$OD$ और $BC$ को मिलाइए।
चूँकि $CD$ वृत्त की त्रिज्या के बराबर है $(OC = OD = CD)$,इसलिए त्रिभुज $ODC$ एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः,$\angle COD = 60^{\circ}$।
अब,वृत्त के केंद्र पर किसी चाप द्वारा अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
इस प्रकार,$\angle CBD = \frac{1}{2} \angle COD = \frac{1}{2} \times 60^{\circ} = 30^{\circ}$।
चूँकि $AB$ व्यास है,अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है,इसलिए $\angle ACB = 90^{\circ}$।
चूँकि $ACE$ एक सीधी रेखा है,$\angle BCE = 180^{\circ} - \angle ACB = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$।
$\triangle BCE$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle CEB + \angle BCE + \angle CBE = 180^{\circ}$।
$\angle CEB + 90^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle CEB = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$।
अतः,$\angle AEB = 60^{\circ}$।

(N/A) $AB$ को मिलाइए।
$\angle ABD = 90^\circ$ (अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है)।
$\angle ABC = 90^\circ$ (अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है)।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle ABD + \angle ABC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ.$
चूंकि कोणों का योग $180^\circ$ है,इसलिए बिंदु $D, B,$ और $C$ एक सीधी रेखा बनाते हैं। अतः,$B$ रेखाखंड $DC$ पर स्थित है।

(D) दिया है,केंद्र $O$ वाले एक वृत्त में $\angle AOB = 60^{\circ}$ और $\angle BOC = 30^{\circ}$ है।
चूंकि $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC$,इसलिए $\angle AOC = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}$ है।
चाप $ABC$ वृत्त के केंद्र पर $\angle AOC = 90^{\circ}$ का कोण अंतरित करता है।
प्रमेय के अनुसार,एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
इसलिए,$\angle ADC = \frac{1}{2} \angle AOC$ होगा।
$\angle ADC = \frac{1}{2} (90^{\circ}) = 45^{\circ}$।

(B) वृत्त के एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,उसी चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग के किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
इसलिए,प्रतिवर्ती $\angle POR = 2 \times \angle PQR$.
दिया है $\angle PQR = 100^{\circ}$.
अतः,प्रतिवर्ती $\angle POR = 2 \times 100^{\circ} = 200^{\circ}$.
चूँकि $\angle POR + \text{प्रतिवर्ती } \angle POR = 360^{\circ}$,इसलिए $\angle POR + 200^{\circ} = 360^{\circ}$.
अतः,$\angle POR = 360^{\circ} - 200^{\circ} = 160^{\circ}$.
$\Delta POR$ में,$OP = OR$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)।
इसलिए,$\angle OPR = \angle ORP$ (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।
$\Delta POR$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle OPR + \angle ORP + \angle POR = 180^{\circ}$.
$\angle ORP = \angle OPR$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $2 \angle OPR + 160^{\circ} = 180^{\circ}$.
$2 \angle OPR = 180^{\circ} - 160^{\circ} = 20^{\circ}$.
$\angle OPR = \frac{20^{\circ}}{2} = 10^{\circ}$.

(C) $\Delta ABC$ में,हमारे पास है:
$\angle ABC = 69^{\circ}$ और $\angle ACB = 31^{\circ}$।
हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^{\circ}$।
$69^{\circ} + 31^{\circ} + \angle BAC = 180^{\circ}$।
$100^{\circ} + \angle BAC = 180^{\circ}$।
$\angle BAC = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$।
चूंकि एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle BDC = \angle BAC$ होगा।
अतः,$\angle BDC = 80^{\circ}$।

(D) $\Delta CDE$ में,बहिष्कोण $\angle BEC$ अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
$\angle BEC = \angle EDC + \angle ECD$
दिया है $\angle BEC = 130^{\circ}$ और $\angle ECD = 20^{\circ}$।
$130^{\circ} = \angle EDC + 20^{\circ}$
$\angle EDC = 130^{\circ} - 20^{\circ} = 110^{\circ}$
चूँकि $\angle EDC$ और $\angle BDC$ एक ही कोण को दर्शाते हैं,इसलिए $\angle BDC = 110^{\circ}$।
वृत्त के एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं।
अतः,$\angle BAC = \angle BDC$।
$\angle BAC = 110^{\circ}$।

(N/A) चूँकि एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं:
$1$. बाईं ओर के वृत्त में,$\angle ACP = \angle ABP$ (एक ही चाप $AP$ द्वारा अंतरित कोण)।
$2$. दाईं ओर के वृत्त में,$\angle QCD = \angle QBD$ (एक ही चाप $QD$ द्वारा अंतरित कोण)।
$3$. चूँकि $ABD$ और $PBQ$ $B$ पर प्रतिच्छेद करने वाली सीधी रेखाएँ हैं,इसलिए $\angle ABP$ और $\angle QBD$ शीर्षाभिमुख कोण हैं।
$4$. अतः,$\angle ABP = \angle QBD$।
$5$. चरण $1$,$2$ और $4$ से,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $\angle ACP = \angle QCD$।

(N/A) मान लीजिए एक $\Delta ABC$ है। $AB$ और $AC$ को व्यास मानकर दो वृत्त खींचे गए हैं। मान लीजिए ये वृत्त बिंदु $A$ और एक अन्य बिंदु $D$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$A$ और $D$ को मिलाइए।
चूंकि $AB$ पहले वृत्त का व्यास है,इसलिए परिधि पर इसके द्वारा बना कोण $90^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle ADB = 90^{\circ}$ (अर्धवृत्त में बना कोण)।
इसी प्रकार,चूंकि $AC$ दूसरे वृत्त का व्यास है,इसलिए परिधि पर इसके द्वारा बना कोण $90^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle ADC = 90^{\circ}$ (अर्धवृत्त में बना कोण)।
इन दोनों कोणों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle ADB + \angle ADC = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$।
चूंकि कोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए बिंदु $B, D,$ और $C$ एक सीधी रेखा बनाते हैं।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $D$ तीसरी भुजा $BC$ पर स्थित है।

(N/A) हमें दो समकोण त्रिभुज,$\Delta ABC$ और $\Delta ADC$ दिए गए हैं,जिनका कर्ण $AC$ उभयनिष्ठ है।
चूँकि $\angle ABC = 90^{\circ}$ और $\angle ADC = 90^{\circ}$ है,इसलिए दोनों त्रिभुज क्रमशः $B$ और $D$ पर समकोण हैं।
$AC$ को व्यास मानकर एक वृत्त की कल्पना कीजिए। चूँकि $\angle ABC = 90^{\circ}$ और $\angle ADC = 90^{\circ}$ है,इसलिए बिंदु $B$ और $D$ इस वृत्त पर स्थित होंगे (क्योंकि अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है)।
अतः,$A, B, C$ और $D$ चक्रीय बिंदु (concyclic points) हैं।
अब,जीवा $CD$ पर विचार कीजिए। कोण $\angle CAD$ और $\angle CBD$ वृत्त के एक ही वृत्तखंड में एक ही जीवा $CD$ द्वारा अंतरित कोण हैं।
इस प्रमेय के अनुसार कि एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं,हम कह सकते हैं:
$\angle CAD = \angle CBD$.
इति सिद्धम्।

(N/A) मान लीजिए कि $O$ और $O^{\prime}$ केंद्रों वाले दो वृत्त हैं,जो एक-दूसरे को $P$ और $Q$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। हमें सिद्ध करना है कि $\angle OPO^{\prime} = \angle OQO^{\prime}$ है।
$OP, O^{\prime}P, OQ, O^{\prime}Q$ और $OO^{\prime}$ को मिलाइए।
$\Delta OPO^{\prime}$ और $\Delta OQO^{\prime}$ में:
$OP = OQ$ ($O$ केंद्र वाले एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$O^{\prime}P = O^{\prime}Q$ ($O^{\prime}$ केंद्र वाले एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$OO^{\prime} = OO^{\prime}$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा:
$\Delta OPO^{\prime} \cong \Delta OQO^{\prime}$
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$\angle OPO^{\prime} = \angle OQO^{\prime}$।

(N/A) मान लीजिए $\angle ABC$ का शीर्ष $B$ है। भुजाएँ $BA$ और $BC$ वृत्त को क्रमशः $A, D$ और $C, E$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती हैं ताकि जीवा $AD = CE$ हो। मान लीजिए $O$ वृत्त का केंद्र है। $OA, OC, OD, OE, AC$ और $DE$ को मिलाइए।
$\Delta BAE$ में,बहिष्कोण $\angle DAE = \angle ABC + \angle AEC$ ... $(1)$
चूँकि वृत्त के केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है:
$\angle DAE = \frac{1}{2} \angle DOE$ ... $(2)$
इसी प्रकार,$\angle AEC$ परिधि पर चाप $AC$ द्वारा अंतरित कोण है,इसलिए $\angle AEC = \frac{1}{2} \angle AOC$ ... $(3)$
$(2)$ और $(3)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} \angle DOE = \angle ABC + \frac{1}{2} \angle AOC$
$\angle ABC = \frac{1}{2} \angle DOE - \frac{1}{2} \angle AOC$
$\angle ABC = \frac{1}{2} [\angle DOE - \angle AOC]$
अतः,$\angle ABC$ जीवाओं $DE$ और $AC$ द्वारा केंद्र पर अंतरित कोणों के अंतर का आधा है।

(N/A) माना $ABCD$ एक समचतुर्भुज है जिसके विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। हम जानते हैं कि समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, इसलिए $\angle AOB = 90^\circ$ है।
भुजा $AB$ को व्यास मानकर खींचे गए एक वृत्त पर विचार करें। माना $Q$, $AB$ का मध्य बिंदु है। तब $QA = QB = \text{त्रिज्या}$ है।
$\triangle AOB$ में, $\angle AOB = 90^\circ$ है। चूँकि $Q$ समकोण त्रिभुज $\triangle AOB$ के कर्ण $AB$ का मध्य बिंदु है, इसलिए कर्ण के मध्य बिंदु से शीर्षों की दूरी कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
अतः, $QO = QA = QB$ है।
चूँकि केंद्र $Q$ से बिंदु $O$ की दूरी त्रिज्या ($QA$ या $QB$) के बराबर है, इसलिए बिंदु $O$ को $AB$ को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त पर स्थित होना चाहिए।
इस प्रकार, समचतुर्भुज की किसी भुजा को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त उसके विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरता है।

(N/A) मान लीजिए कि वृत्त का केंद्र किसी बिंदु $P$ पर है। हालाँकि,प्रश्न में दिया गया है कि जीवाएँ $AC$ और $BD$ एक-दूसरे को बिंदु $O$ पर समद्विभाजित करती हैं।
$\Delta AOB$ और $\Delta COD$ में:
$AO = OC$ (दिया है,क्योंकि $O$,$AC$ का मध्य-बिंदु है)
$BO = OD$ (दिया है,क्योंकि $O$,$BD$ का मध्य-बिंदु है)
$\angle AOB = \angle COD$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\Delta AOB \cong \Delta COD$.
इसलिए,$AB = CD$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)।
चूँकि $AB = CD$,इन जीवाओं के संगत चाप बराबर हैं: $\text{चाप } AB = \text{चाप } CD$.
इसी प्रकार,$SAS$ सर्वांगसमता द्वारा $\Delta AOD \cong \Delta COB$,जिसका अर्थ है $AD = CB$,अतः $\text{चाप } AD = \text{चाप } BC$.
अब,चतुर्भुज $ABCD$ पर विचार करें। चूँकि विकर्ण $AC$ और $BD$ एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
वृत्त के अंदर बने समांतर चतुर्भुज में,सम्मुख कोण बराबर होते हैं ($\angle A = \angle C$ और $\angle B = \angle D$)। चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है $2\angle A = 180^{\circ}$,अतः $\angle A = 90^{\circ}$।
चूँकि $\angle A = 90^{\circ}$ है,जीवा $BD$ परिधि पर समकोण बनाती है,जिसका अर्थ है कि $BD$ एक व्यास है। इसी प्रकार,$AC$ भी एक व्यास है।

(B) प्रमेय के अनुसार,एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर स्थित किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
यहाँ,चाप $AC$ केंद्र $O$ पर $\angle AOC$ और वृत्त के शेष भाग पर स्थित बिंदु $B$ पर $\angle ABC$ अंतरित करता है।
इसलिए,$\angle AOC = 2 \times \angle ABC$ होगा।
दिया गया है कि $\angle ABC = 20^{\circ}$ है।
अतः,$\angle AOC = 2 \times 20^{\circ} = 40^{\circ}$।

(C) चूंकि $AOB$ वृत्त का व्यास है,इसलिए अर्धवृत्त में बना कोण $90^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle ACB = 90^{\circ}$।
दिया गया है कि $AC = BC$,इसलिए $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
समद्विबाहु त्रिभुज में समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle CAB = \angle CBA$।
माना $\angle CAB = \angle CBA = x$।
$\triangle ABC$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle CAB + \angle CBA + \angle ACB = 180^{\circ}$
$x + x + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$2x = 90^{\circ}$
$x = 45^{\circ}$
अतः,$\angle CAB = 45^{\circ}$।

(N/A) दिया है: दो सर्वांगसम वृत्त $A$ और $B$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। एक रेखाखंड $PAQ$,$A$ से होकर गुजरता है,जहाँ $P$ पहले वृत्त पर और $Q$ दूसरे वृत्त पर स्थित है।
रचना: $AB$,$BP$ और $BQ$ को मिलाइए।
उपपत्ति:
$1$. दो सर्वांगसम वृत्तों पर विचार कीजिए। जीवा $AB$ दोनों वृत्तों के लिए उभयनिष्ठ है।
$2$. सर्वांगसम वृत्तों में,समान जीवाएँ परिधि पर समान कोण अंतरित करती हैं।
$3$. चूँकि $AB$ दोनों सर्वांगसम वृत्तों की जीवा है,इसलिए उनके द्वारा परिधि पर अंतरित कोण समान होने चाहिए।
$4$. अतः,$\angle APB = \angle AQB$ है।
$5$. $\Delta PBQ$ में,हमारे पास $\angle APB = \angle AQB$ है (जो $\angle BPQ = \angle BQP$ है)।
$6$. चूँकि समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $BP = BQ$ होगा।
$7$. अतः सिद्ध हुआ कि $BP = BQ$।

(N/A) मान लीजिए $\Delta ABC$ एक वृत्त में स्थित है जिसका केंद्र $O$ है।
मान लीजिए $\angle A$ का आंतरिक समद्विभाजक परिवृत्त को बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करता है। हमें यह दिखाना है कि $E$,$BC$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।
चूंकि $AE$,$\angle BAC$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle BAE = \angle CAE$ है।
समान कोण परिधि पर समान चाप अंतरित करते हैं,इसलिए $\text{चाप } BE = \text{चाप } EC$ है।
परिणामस्वरूप,इन चापों के संगत जीवाएं बराबर होती हैं,अर्थात जीवा $BE = \text{जीवा } CE$ है।
मान लीजिए $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। $\Delta BDE$ और $\Delta CDE$ में:
$BE = CE$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$BD = CD$ ($D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है)
$DE = DE$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$SSS$ सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\Delta BDE \cong \Delta CDE$ है।
इसलिए,$\angle BDE = \angle CDE$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)।
चूंकि $BC$ एक सीधी रेखा है,$\angle BDE + \angle CDE = 180^{\circ}$ है।
अतः,$\angle BDE = \angle CDE = 90^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $DE \perp BC$ है।
चूंकि $DE$,$BC$ के मध्य-बिंदु $D$ से होकर गुजरता है और $BC$ पर लंब है,इसलिए $DE$,$BC$ का लंब समद्विभाजक है। इस प्रकार,$\angle A$ का कोण समद्विभाजक और $BC$ का लंब समद्विभाजक परिवृत्त पर बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।

(N/A) मान लीजिए जीवा $AB$ है और वृत्त का केंद्र $O$ है। चूँकि जीवा त्रिज्या के बराबर है,इसलिए $AB = OA = OB$ है।
अतः,$\triangle OAB$ एक समबाहु त्रिभुज है।
चूँकि समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण $60^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle AOB = 60^{\circ}$ है।
वृत्त प्रमेय के अनुसार,एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर स्थित किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
अतः,$\angle AOB = 2 \angle ACB$,जहाँ $C$ दीर्घ चाप पर स्थित एक बिंदु है।
इसलिए,$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \times 60^{\circ} = 30^{\circ}$।

(N/A) दिया है : $AB$ और $CD$ केंद्र $O$ वाले एक वृत्त की बराबर जीवाएँ हैं,अर्थात $AB = CD$।
सिद्ध करना है : $\angle AOB = \angle COD$।
उपपत्ति: $\Delta OAB$ और $\Delta OCD$ में:
$OA = OC$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$OB = OD$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$AB = CD$ (दिया है)
अतः,$\Delta OAB \cong \Delta OCD$ ($SSS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा)।
इसलिए,$\angle AOB = \angle COD$ ($CPCT$ द्वारा)।

(N/A) दिया है: $O$ केंद्र वाले एक वृत्त में,जीवाएँ $AB$ और $PQ$ केंद्र पर बराबर कोण अंतरित करती हैं,अर्थात $\angle AOB = \angle POQ$।
सिद्ध करना है: $AB = PQ$।
उपपत्ति: $\Delta AOB$ और $\Delta POQ$ में:
$OA = OP$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$OB = OQ$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$\angle AOB = \angle POQ$ (दिया है)
अतः,$\Delta AOB \cong \Delta POQ$ ($SAS$ सर्वांगसमता नियम से)।
इसलिए,$AB = PQ$ ($CPCT$ से)।

(N/A) मान लीजिए $O$ और $O'$ केंद्रों वाले दो सर्वांगसम वृत्त हैं।
मान लीजिए $AB$ पहले वृत्त की एक जीवा है और $CD$ दूसरे वृत्त की एक जीवा है,जहाँ $AB = CD$ है।
हमें सिद्ध करना है कि $\angle AOB = \angle CO'D$ है।
$\triangle AOB$ और $\triangle CO'D$ में:
$1. OA = O'C$ (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ बराबर होती हैं)।
$2. OB = O'D$ (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ बराबर होती हैं)।
$3. AB = CD$ (दिया गया है)।
$SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\triangle AOB \cong \triangle CO'D$ है।
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$\angle AOB = \angle CO'D$ है।

(N/A) मान लीजिए $O$ और $O'$ केंद्रों वाले दो सर्वांगसम वृत्त हैं।
मान लीजिए $AB$ पहले वृत्त की एक जीवा है और $CD$ दूसरे वृत्त की एक जीवा है।
दिया गया है कि $\angle AOB = \angle CO'D$.
$\triangle AOB$ और $\triangle CO'D$ में:
$1$. $OA = O'C$ (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ बराबर होती हैं)।
$2$. $OB = O'D$ (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ बराबर होती हैं)।
$3$. $\angle AOB = \angle CO'D$ (दिया गया है)।
$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\triangle AOB \cong \triangle CO'D$.
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$AB = CD$.
इस प्रकार,जीवाएँ बराबर हैं।

(D) $\triangle OXY$ में,$OX = OY$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)।
अतः,$\angle OYX = \angle OXY = 30^{\circ}$।
$\triangle OXY$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle XOY = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 120^{\circ}$।
$\triangle OXY$ में ज्या नियम (Law of Sines) का उपयोग करने पर: $\frac{XY}{\sin(120^{\circ})} = \frac{OX}{\sin(30^{\circ})}$।
$OX = \frac{8 \cdot \sin(30^{\circ})}{\sin(120^{\circ})} = \frac{8 \cdot 0.5}{\sqrt{3}/2} = \frac{8}{\sqrt{3}}$।
अब,$\triangle OPQ$ में,$OP = OQ = OX = \frac{8}{\sqrt{3}}$।
$\triangle OPQ$ में ज्या नियम का उपयोग करने पर: $PQ = 2 \cdot OP \cdot \sin(\frac{120^{\circ}}{2}) = 2 \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \sin(60^{\circ})$।
$PQ = 2 \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 \, cm$।

(A) दिया गया है कि $AB$ केंद्र $P$ वाले एक वृत्त की जीवा है। बिंदु $C$,दीर्घ चाप $AB$ पर स्थित एक बिंदु है।
वृत्त के प्रमेय के अनुसार,एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
इसलिए,$\angle APB = 2 \angle ACB$ है।
दिया गया है कि $\angle ACB + \angle APB = 135^{\circ}$ है।
दिए गए समीकरण में $\angle APB = 2 \angle ACB$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\angle ACB + 2 \angle ACB = 135^{\circ}$
$3 \angle ACB = 135^{\circ}$
$\angle ACB = \frac{135^{\circ}}{3} = 45^{\circ}$।
अब,$\angle APB$ की गणना करने पर:
$\angle APB = 2 \times 45^{\circ} = 90^{\circ}$।
अतः,$\angle ACB = 45^{\circ}$ और $\angle APB = 90^{\circ}$ है।

(A) एक वृत्त में,समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं।
दिया गया है कि $P$ केंद्र वाले वृत्त में $AB$ और $CD$ समान जीवाएँ हैं।
इसलिए,जीवा $AB$ द्वारा केंद्र $P$ पर अंतरित कोण,जीवा $CD$ द्वारा केंद्र $P$ पर अंतरित कोण के बराबर होगा।
अतः,$\angle APB = \angle CPD$.
दिया गया है कि $\angle APB = 80^{\circ}$ है।
इसलिए,$\angle CPD = 80^{\circ}$।

(C) वृत्त के गुणों के अनुसार,व्यास द्वारा वृत्त की परिधि पर किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण समकोण होता है।
चूंकि $XY$,$\Delta XYZ$ के परिवृत्त का व्यास है,इसलिए कोण $\angle XZY$,व्यास $XY$ द्वारा परिधि पर स्थित बिंदु $Z$ पर अंतरित कोण है।
अतः,$\angle XZY = 90^{\circ}$ होगा।

(A) दिया गया है कि वृत्त की त्रिज्या $r = 8 \, cm$ है और जीवा की लंबाई $AB = 8 \, cm$ है।
$\triangle APB$ में,$PA = PB = 8 \, cm$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ) और $AB = 8 \, cm$ है।
चूँकि त्रिभुज की तीनों भुजाएँ बराबर हैं $(PA = PB = AB = 8 \, cm)$,इसलिए $\triangle APB$ एक समबाहु त्रिभुज है।
एक समबाहु त्रिभुज में,सभी आंतरिक कोण $60^{\circ}$ के होते हैं।
अतः,$\angle APB = 60^{\circ}$।

(C) वृत्त में,जीवा की लंबाई का सूत्र $L = 2r \sin(\theta/2)$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $\theta$ केंद्र पर बना कोण है।
जीवा $AB$ के लिए,$7 = 2r \sin(80^{\circ}/2) = 2r \sin(40^{\circ})$। अतः,$r = 7 / (2 \sin(40^{\circ}))$।
जीवा $CD$ के लिए,लंबाई $CD = 2r \sin(50^{\circ}/2) = 2r \sin(25^{\circ})$।
$r$ का मान रखने पर,$CD = 2 \times [7 / (2 \sin(40^{\circ}))] \times \sin(25^{\circ}) = 7 \times \sin(25^{\circ}) / \sin(40^{\circ})$।
लगभग मान $\sin(25^{\circ}) \approx 0.4226$ और $\sin(40^{\circ}) \approx 0.6428$ का उपयोग करने पर,$CD \approx 7 \times (0.4226 / 0.6428) \approx 4.6\, cm$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,दिए गए विकल्पों को देखते हुए,यदि प्रश्न में कोई त्रुटि है और जीवाओं को समान माना जाए,तो $7\, cm$ सबसे उपयुक्त विकल्प है।

(D) एक वृत्त में,समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं।
दिया गया है कि $P$ केंद्र वाले वृत्त में $AB$ और $CD$ समान जीवाएँ हैं।
इसलिए,इन जीवाओं द्वारा केंद्र $P$ पर अंतरित कोण समान होने चाहिए।
अतः,$\angle CPD = \angle APB = 70^{\circ}$.
अब,$\triangle PCD$ में,$PC = PD$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ),इसलिए $\triangle PCD$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle PCD + \angle PDC + \angle CPD = 180^{\circ}$.
चूँकि $\angle PCD = \angle PDC$,इसलिए $2 \angle PCD + 70^{\circ} = 180^{\circ}$.
$2 \angle PCD = 110^{\circ}$.
$\angle PCD = 55^{\circ}$.