Mix Examples - Circles Questions in Hindi

(N/A) $(i)$ वृत्त का केंद्र हमेशा वृत्त के अभ्यंतर (अंदर) में स्थित होता है।
$(ii)$ यदि किसी बिंदु की केंद्र से दूरी त्रिज्या से अधिक है,तो वह बिंदु वृत्त के बाह्य भाग में स्थित होता है।
$(iii)$ वृत्त की सबसे बड़ी जीवा उसका व्यास होती है।
$(iv)$ जब चाप के सिरे व्यास के सिरे होते हैं,तो वह चाप अर्धवृत्त कहलाता है।
$(v)$ वृत्त का वृत्तखंड एक चाप और वृत्त की जीवा के बीच का क्षेत्र होता है।
$(vi)$ एक वृत्त जिस तल पर स्थित है,उसे तीन भागों में विभाजित करता है: अभ्यंतर,वृत्त स्वयं,और बाह्य भाग।

(A-D) $(i)$ सत्य। वृत्त के केंद्र को वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु से मिलाने वाले रेखाखंड को त्रिज्या कहा जाता है।
$(ii)$ असत्य। एक वृत्त में किसी भी दी गई लंबाई की अनंत समान जीवाएँ हो सकती हैं।
$(iii)$ असत्य। यदि एक वृत्त को तीन बराबर चापों में विभाजित किया जाता है,तो प्रत्येक चाप का माप $120^{\circ}$ होता है,जो अर्धवृत्त $(180^{\circ})$ से कम है,इसलिए प्रत्येक एक लघु चाप है।
$(iv)$ सत्य। परिभाषा के अनुसार,व्यास वृत्त की सबसे लंबी जीवा होती है और इसकी लंबाई $2 \times \text{त्रिज्या}$ के बराबर होती है।
$(v)$ असत्य। जीवा और उसके संगत चाप के बीच के क्षेत्र को वृत्तखंड कहा जाता है,जबकि त्रिज्यखंड एक चाप और केंद्र को चाप के सिरों से जोड़ने वाली दो त्रिज्याओं के बीच का क्षेत्र होता है।
$(vi)$ सत्य। वृत्त एक समतल पर उन सभी बिंदुओं का समूह है जो एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से समान दूरी पर स्थित होते हैं।

(A) मान लीजिए वृत्त का केंद्र $O'$ है। मान लीजिए जीवाएँ $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
चूँकि जीवाएँ एक-दूसरे को समद्विभाजित करती हैं,इसलिए $AO = OC$ और $BO = OD$ है।
$\Delta AOB$ और $\Delta COD$ में:
$AO = OC$ (दिया है),
$BO = OD$ (दिया है),
$\angle AOB = \angle COD$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा $\Delta AOB \cong \Delta COD$ है।
इसका अर्थ है कि $AB = CD$ और $\angle OAB = \angle OCD$ है। चूँकि ये एकांतर अंतःकोण हैं,इसलिए $AB \parallel CD$ है।
वह चतुर्भुज जिसकी सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर हो,वह समांतर चतुर्भुज होता है। अतः,$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
चूँकि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है (क्योंकि इसके शीर्ष वृत्त पर स्थित हैं),इसलिए इसके सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
समांतर चतुर्भुज में,सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle A = \angle C$ और $\angle B = \angle D$ है।
चूँकि $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ है,इसलिए $2\angle A = 180^{\circ}$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\angle A = 90^{\circ}$ है।
वह समांतर चतुर्भुज जिसका एक कोण $90^{\circ}$ हो,वह आयत होता है। अतः,$ABCD$ एक आयत है।

(A) वृत्त के चाप की लंबाई का सूत्र $L = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r$ है,जहाँ $\theta$ केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण है और $r$ वृत्त की त्रिज्या है।
चूंकि दोनों वृत्त सर्वांगसम हैं,इसलिए उनकी त्रिज्या समान है,मान लीजिए कि वह $r$ है।
मान लीजिए चाप $AXB$ की लंबाई $L_1$ है और चाप $A'YB'$ की लंबाई $L_2$ है।
दिया गया है कि चाप $AXB$ द्वारा केंद्र $O$ पर अंतरित कोण $\theta_1 = 75^{\circ}$ है।
अतः,$L_1 = \frac{75^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi r$.
दिया गया है कि चाप $A'YB'$ द्वारा केंद्र $O'$ पर अंतरित कोण $\theta_2 = 25^{\circ}$ है।
अतः,$L_2 = \frac{25^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi r$.
चाप की लंबाइयों का अनुपात $\frac{L_1}{L_2} = \frac{\frac{75^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi r}{\frac{25^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi r} = \frac{75^{\circ}}{25^{\circ}} = \frac{3}{1}$ है।
अतः,अनुपात $3:1$ है।

(B) $\triangle OPQ$ में,चूंकि $OP$ और $OQ$ केंद्र से समान जीवाओं पर डाले गए लंब हैं,इसलिए $OP = OQ$ है।
अतः,$\triangle OPQ$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है,जिसका अर्थ है कि $\angle OQP = \angle OPQ = k$ है।
$\triangle OPQ$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle OQP + \angle OPQ + \angle POQ = 180^{\circ}$ है।
$k + k + 150^{\circ} = 180^{\circ}$।
$2k = 30^{\circ}$।
$k = 15^{\circ}$।
इस प्रकार,$\angle OPQ = 15^{\circ}$ है।
चूंकि $OP \perp AB$ है,इसलिए $\angle OPA = 90^{\circ}$ है।
आकृति से,$\angle OPA = \angle OPQ + \angle APQ$ है।
$90^{\circ} = 15^{\circ} + \angle APQ$।
$\angle APQ = 90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ}$।

(A) $AB$,$BC$ पर लंब है,इसलिए $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle B = 90^{\circ}$ है।
चूंकि त्रिभुज समकोण है,इसलिए कर्ण $AC$ बिंदुओं $A, B$ और $C$ से गुजरने वाले वृत्त का व्यास है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$
$AC = \sqrt{12^2 + 16^2}$
$AC = \sqrt{144 + 256}$
$AC = \sqrt{400} = 20 \, cm$
चूंकि व्यास $AC = 20 \, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{AC}{2} = \frac{20}{2} = 10 \, cm$ होगी।

(A) $\Delta ADB$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle DAB + \angle ABD + \angle ADB = 180^{\circ}$
$60^{\circ} + 50^{\circ} + \angle ADB = 180^{\circ}$
$110^{\circ} + \angle ADB = 180^{\circ}$
$\angle ADB = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$
चूँकि एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle ACB = \angle ADB$ होगा।
अतः,$\angle ACB = 70^{\circ}$।

(D) $\Delta OAB$ में,हमारे पास $OA = OB$ है (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)।
इसलिए,$\angle OAB = \angle OBA.$
चूँकि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,
$2 \angle OAB = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}.$
अतः,$\angle OAB = 45^{\circ}.$
साथ ही,वृत्त के केंद्र पर बना कोण,वृत्त के शेष भाग पर स्थित किसी बिंदु पर बने कोण का दोगुना होता है।
इसलिए,$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}.$
अब,$\Delta CAB$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ है।
$\angle CAB = 180^{\circ} - (\angle ABC + \angle ACB) = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ}.$
अंततः,$\angle CAO = \angle CAB - \angle OAB = 105^{\circ} - 45^{\circ} = 60^{\circ}.$

(B) यह कथन असत्य है।
$\triangle OAB$ और $\triangle OAC$ में,$OA = OA$ (उभयनिष्ठ भुजा) और $OB = OC$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ) हैं।
हालाँकि,कोण $\angle OAB$ और $\angle OAC$ तभी बराबर होंगे यदि जीवाएँ $AB$ और $AC$ लंबाई में समान हों $(AB = AC)$।
यदि जीवाओं की लंबाई असमान है,तो उनके द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण या त्रिज्या $OA$ के साथ बनने वाले कोण बराबर नहीं होंगे।
इसलिए,यह कथन सार्वभौमिक रूप से सत्य नहीं है।

(A) दिया गया कथन सत्य है।
दो सर्वांगसम वृत्तों में,त्रिज्याएँ समान होती हैं। मान लीजिए कि दोनों वृत्तों की त्रिज्या $r$ है।
$\triangle AOB$ और $\triangle AO^{\prime}B$ में:
$OA = O^{\prime}A = r$ (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ)
$OB = O^{\prime}B = r$ (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ)
$AB = AB$ (उभयनिष्ठ जीवा)
$SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\triangle AOB \cong \triangle AO^{\prime}B$ है।
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए $CPCT$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) द्वारा उनके संगत कोण बराबर होते हैं।
अतः,$\angle AOB = \angle AO^{\prime}B$।

(B) दिया गया कथन $False$ (असत्य) है। तीन असंरेख बिंदुओं से होकर एक अद्वितीय वृत्त खींचा जा सकता है। यदि तीन बिंदु संरेख हैं,तो वे एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं। एक वृत्त उन तीन बिंदुओं से होकर नहीं गुजर सकता जो एक ही सीधी रेखा पर स्थित हों क्योंकि वृत्त में वक्रता होती है,जबकि एक सीधी रेखा में नहीं। इसलिए,तीन संरेख बिंदुओं से होकर एक वृत्त खींचना असंभव है।

(A) वृत्त की त्रिज्या $r = 3 \, cm$ है।
वृत्त का व्यास $d = 2 \times r = 2 \times 3 \, cm = 6 \, cm$ होता है।
चूंकि दो बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच की दूरी $AB = 6 \, cm$ है,जो वृत्त के व्यास के बराबर है,इसलिए $AB$ को व्यास मानकर इन दो बिंदुओं से होकर एक वृत्त खींचा जा सकता है।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(A) $AOB$ एक वृत्त का व्यास है और $C$ वृत्त पर स्थित एक बिंदु है।
चूंकि अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है,इसलिए $\angle ACB = 90^{\circ}$।
समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}$।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(B) दिया गया कथन असत्य है।
औचित्य:
ज्यामिति के प्रमेय के अनुसार, वृत्त के एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, वृत्त के शेष भाग पर स्थित किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
यदि $D$, $A, B$ और $C$ से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र होता, तो चाप $BC$ द्वारा केंद्र $D$ पर अंतरित कोण $(\angle BDC)$, परिधि पर स्थित कोण $(\angle BAC)$ का दोगुना होना चाहिए था।
यहाँ $\angle BAC = 30^{\circ}$ दिया गया है, इसलिए $\angle BDC = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$ होना चाहिए।
हालाँकि, $\angle BDC = 60^{\circ}$ होना $D$ के केंद्र होने के लिए आवश्यक शर्त है, लेकिन पर्याप्त नहीं है। ऐसे अनंत बिंदु $D$ हो सकते हैं जिनके लिए $\angle BDC = 60^{\circ}$ हो (उदाहरण के लिए, $B, C$ और $D$ से गुजरने वाले वृत्त के दीर्घ चाप पर स्थित कोई भी बिंदु)।
अतः, यह आवश्यक नहीं है कि $D$, $A, B$ और $C$ से गुजरने वाले वृत्त का केंद्र ही हो।

(TRUE) दिया गया कथन सत्य है।
प्रमेय के अनुसार,यदि दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड,उस रेखाखंड को समाहित करने वाली रेखा के एक ही ओर स्थित अन्य दो बिंदुओं पर समान कोण अंतरित करता है,तो वे चारों बिंदु एक वृत्त पर स्थित होते हैं (अर्थात,वे एकवृत्तीय होते हैं)।
यहाँ,रेखाखंड $BC$,बिंदुओं $A$ और $D$ पर समान कोण $\angle BAC = 45^{\circ}$ और $\angle BDC = 45^{\circ}$ अंतरित करता है।
चूँकि ये बिंदु $BC$ के एक ही ओर स्थित हैं,इसलिए बिंदु $A, B, C$ और $D$ एकवृत्तीय हैं।

(TRUE) $AOB$ केंद्र $O$ वाले वृत्त का एक व्यास है।
चक्रीय चतुर्भुज $ADCB$ पर विचार कीजिए।
चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle ADC + \angle ABC = 180^{\circ}$।
दिया गया है कि $\angle ADC = 120^{\circ}$,अतः $120^{\circ} + \angle ABC = 180^{\circ}$।
$\angle ABC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$।
$\Delta ABC$ में,$\angle ACB = 90^{\circ}$ (अर्धवृत्त में बना कोण)।
$\Delta ABC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle CAB + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$।
$\angle CAB + 60^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle CAB + 150^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle CAB = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

$(120^{\circ})$ हम जानते हैं कि एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण चाप की लंबाई के समानुपाती होता है।
दिया गया है कि $\operatorname{arc} AXB = \frac{1}{2} \operatorname{arc} BYC$,इसलिए $\angle AOB = \frac{1}{2} \angle BOC$ होगा।
चूंकि $AOC$ एक व्यास है,इसलिए $\angle AOB + \angle BOC = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म)।
समीकरण में $\angle AOB = \frac{1}{2} \angle BOC$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{2} \angle BOC + \angle BOC = 180^{\circ}$
$\frac{3}{2} \angle BOC = 180^{\circ}$
$\angle BOC = 180^{\circ} \times \frac{2}{3} = 120^{\circ}$.

(A) हमें दिया गया है कि चाप $AXB \cong$ चाप $CYD$ है।
वृत्त के गुणों के अनुसार,यदि एक वृत्त के दो चाप सर्वांगसम होते हैं,तो उनकी संगत जीवाएँ बराबर होती हैं।
इसलिए,जीवा $AB =$ जीवा $CD$ है।
अतः,जीवाओं की लंबाई का अनुपात $AB:CD = 1:1$ है।

(N/A) दिया है: तीन असंरेख बिंदु $A, B$ और $C$ एक वृत्त पर स्थित हैं।
सिद्ध करना है: $AB, BC$ और $CA$ के लंब समद्विभाजक संगामी हैं।
रचना: $AB, BC$ और $CA$ को मिलाइए। $AB$ का लंब समद्विभाजक $ST$,$BC$ का लंब समद्विभाजक $PM$ और $CA$ का लंब समद्विभाजक $QR$ खींचिए। चूंकि बिंदु $A, B$ और $C$ असंरेख हैं,इसलिए रेखाएँ $ST, PM$ और $QR$ समांतर नहीं हैं और किसी बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करेंगी।
उपपत्ति:
$1$. चूंकि बिंदु $O, ST$ पर स्थित है,जो $AB$ का लंब समद्विभाजक है,इसलिए $OA = OB$ (लंब समद्विभाजक पर स्थित कोई भी बिंदु रेखाखंड के अंत बिंदुओं से समान दूरी पर होता है) ... $(1)$
$2$. इसी प्रकार,चूंकि $O, PM$ पर स्थित है,जो $BC$ का लंब समद्विभाजक है,इसलिए $OB = OC$ ... $(2)$
$3$. साथ ही,चूंकि $O, QR$ पर स्थित है,जो $CA$ का लंब समद्विभाजक है,इसलिए $OC = OA$ ... $(3)$
$(1)$,$(2)$ और $(3)$ से,हमें $OA = OB = OC = r$ प्राप्त होता है (जहाँ $r$ त्रिज्या है)।
यह दर्शाता है कि $O, A, B$ और $C$ से गुजरने वाले वृत्त का केंद्र है। चूंकि एक त्रिभुज की भुजाओं के लंब समद्विभाजक एक अद्वितीय बिंदु (परिकेंद्र) पर प्रतिच्छेद करते हैं,इसलिए $AB, BC$ और $CA$ के लंब समद्विभाजक बिंदु $O$ पर संगामी होने चाहिए।

(N/A) सिद्ध करना है: $\angle BAC$ का समद्विभाजक $AM$ केंद्र $O$ से होकर गुजरता है।
रचना: $BC$ को मिलाइए। मान लीजिए कि समद्विभाजक $AM$,$BC$ को $P$ पर प्रतिच्छेद करता है।
उपपत्ति: $\Delta BAP$ और $\Delta CAP$ में:
$AB = AC$ (दिया है,क्योंकि जीवाएँ समान हैं)
$\angle BAP = \angle CAP$ (दिया है,क्योंकि $AM$ समद्विभाजक है)
$AP = AP$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$\Delta BAP \cong \Delta CAP$ ($SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा)।
इस प्रकार,$BP = CP$ और $\angle BPA = \angle CPA$ ($CPCT$ द्वारा)।
चूँकि $\angle BPA + \angle CPA = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म),
$\angle BPA = \angle CPA = 90^{\circ}$।
इसका अर्थ है कि $AP$,जीवा $BC$ का लंब समद्विभाजक है। हम जानते हैं कि वृत्त की किसी भी जीवा का लंब समद्विभाजक हमेशा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है। अतः,$\angle BAC$ का समद्विभाजक केंद्र $O$ से होकर गुजरता है।

(N/A) $ABCD$ एक ऐसा चतुर्भुज है कि $A$,$B, C$ और $D$ से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र है। हमें सिद्ध करना है कि $\angle CBD + \angle CDB = \frac{1}{2} \angle BAD$.
$AC$ को मिलाइए।
चूँकि एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर स्थित किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
इसलिए,$\angle CAD = 2 \angle CBD$ $....(1)$
और $\angle BAC = 2 \angle CDB$ $....(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle CAD + \angle BAC = 2(\angle CBD + \angle CDB)$
$\Rightarrow \angle BAD = 2(\angle CBD + \angle CDB)$
अतः,$\angle CBD + \angle CDB = \frac{1}{2} \angle BAD$.

(N/A) दिया है: $O$ त्रिभुज $\Delta ABC$ का परिकेंद्र है और $D$ भुजा $BC$ का मध्य-बिंदु है,अतः $OD \perp BC$ है।
सिद्ध करना है: $\angle BOD = \angle A$.
रचना: $OB$ और $OC$ को मिलाइए।
उपपत्ति: $\Delta OBD$ और $\Delta OCD$ में,
$OB = OC$ (एक ही परिवृत्त की त्रिज्याएँ)
$OD = OD$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$BD = CD$ ($D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है)
अतः,$SSS$ सर्वांगसमता नियम से $\Delta OBD \cong \Delta OCD$ है।
इससे प्राप्त होता है कि $\angle BOD = \angle COD$ ($CPCT$ द्वारा)।
अतः,$\angle BOC = \angle BOD + \angle COD = 2\angle BOD$ है।
हम जानते हैं कि एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर स्थित किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
इसलिए,$\angle BOC = 2\angle BAC = 2\angle A$ है।
$\angle BOC$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$2\angle BOD = 2\angle A$
$\angle BOD = \angle A$.
इति सिद्धम्।

$(120^{\circ})$ दिया है कि जीवाएँ $AB$ और $AC$ केंद्र $O$ पर $\angle AOB = 150^{\circ}$ और $\angle AOC = 90^{\circ}$ का कोण अंतरित करती हैं।
चूँकि $AB$ और $AC$ केंद्र के विपरीत दिशाओं में स्थित हैं,इसलिए जीवा $BC$ द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण $\angle BOC = \angle AOB + \angle AOC = 150^{\circ} + 90^{\circ} = 240^{\circ}$ है।
जीवा $BC$ द्वारा वृत्त के शेष भाग पर अंतरित कोण $\angle BAC$ है।
हम जानते हैं कि चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर स्थित किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
इसलिए,प्रतिवर्ती कोण $\angle BOC = 2 \angle BAC$ है।
$240^{\circ} = 2 \angle BAC$.
$\angle BAC = \frac{240^{\circ}}{2} = 120^{\circ}$.

(N/A) $ABC$ एक त्रिभुज है और $O$ परिकेंद्र है।
$OD \perp BC$ खींचिए। $OB$ और $OC$ को मिलाइए।
समकोण $\Delta OBD$ और समकोण $\Delta OCD$ में,हमारे पास है:
कर्ण $OB =$ कर्ण $OC$ [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]
$OD = OD$ [उभयनिष्ठ भुजा]
$\therefore \Delta OBD \cong \Delta OCD$ [$RHS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा]
$\therefore \angle 1 = \angle 2$ और $\angle 3 = \angle 4$ [$CPCT$]
अब,$\angle BOC = 2 \angle BAC$ [केंद्र पर बना कोण परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है]
साथ ही,$\Delta OBC$ में,$OB = OC$,इसलिए $\angle 3 = \angle 4$।
$\Delta OBD$ में,$\angle 3 + \angle 1 + 90^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \angle 3 + \angle 1 = 90^{\circ}$।
चूंकि $\angle BOC = 2 \angle 1 + 2 \angle 2$ और $\angle BOC = 2 \angle BAC$,इसलिए हमारे पास $\angle 1 + \angle 2 = \angle BAC$ है।
चूंकि $\angle 1 = \angle 2$,इसलिए $2 \angle 1 = \angle BAC$,या $\angle 1 = \frac{1}{2} \angle BAC$।
इसे $\angle 3 + \angle 1 = 90^{\circ}$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\angle OBC + \angle BAC = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है (जहाँ $\angle OBC = \angle 3$)।
अतः,सिद्ध हुआ।

$(270^{\circ})$ $BC$ को मिलाइए।
चूंकि अर्धवृत्त में बना कोण $90^{\circ}$ होता है,इसलिए हमारे पास है:
$\angle ACB = 90^{\circ}$।
चूंकि $ACDEB$ एक चक्रीय चतुर्भुज है (सभी शीर्ष वृत्त पर स्थित हैं),इसलिए सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle BCD + \angle BED = 180^{\circ}$।
अब,दोनों पक्षों में $\angle ACB$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\angle BCD + \angle ACB) + \angle BED = 180^{\circ} + \angle ACB$
चूंकि $\angle BCD + \angle ACB = \angle ACD$,इसलिए:
$\angle ACD + \angle BED = 180^{\circ} + 90^{\circ} = 270^{\circ}$।

(N/A) $\Delta OBC$ में,हमारे पास है:
$OB = OC$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
इसलिए,$\angle OCB = \angle OBC = 57^{\circ}$ (चूंकि $\angle OCB = 57^{\circ}$ दिया गया है,और समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं)।
अब,$\Delta BOC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle OCB + \angle OBC + \angle BOC = 180^{\circ}$
$57^{\circ} + 57^{\circ} + \angle BOC = 180^{\circ}$
$114^{\circ} + \angle BOC = 180^{\circ}$
$\angle BOC = 180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ}$।
$\Delta OAB$ में,हमारे पास है:
$OA = OB$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
इसलिए,$\angle OBA = \angle OAB = 30^{\circ}$।
$\Delta OAB$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^{\circ}$
$30^{\circ} + 30^{\circ} + \angle AOB = 180^{\circ}$
$\angle AOB = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$।
चूंकि $\angle AOB = \angle AOC + \angle BOC$,इसलिए:
$120^{\circ} = \angle AOC + 66^{\circ}$
$\angle AOC = 120^{\circ} - 66^{\circ} = 54^{\circ}$।
अतः,$\angle BOC = 66^{\circ}$ और $\angle AOC = 54^{\circ}$ है।

(N/A) मान लीजिए कि दो वृत्त तीन अलग-अलग बिंदुओं $A$,$B$ और $C$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चूंकि $A$,$B$ और $C$ तीन अलग-अलग बिंदु हैं,इसलिए वे असंरेख (non-collinear) हैं।
ज्यामितीय प्रमेय के अनुसार,तीन असंरेख बिंदुओं से होकर केवल एक और केवल एक ही वृत्त गुजर सकता है।
इसलिए,यदि दो वृत्त समान तीन बिंदुओं $A$,$B$ और $C$ से होकर गुजरते हैं,तो वे दोनों वृत्त एक ही होने चाहिए।
यह इस धारणा का खंडन करता है कि दो अलग-अलग वृत्त हैं।
अतः,दो वृत्तों का दो से अधिक बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करना असंभव है।

(N/A) दिया है: एक $\Delta ABC$ और एक रेखा $l$ जो $BC$ का लंब समद्विभाजक है।
सिद्ध करना है: $\angle A$ का कोण समद्विभाजक और $BC$ का लंब समद्विभाजक $\Delta ABC$ के परिवृत्त पर प्रतिच्छेद करते हैं।
उपपत्ति: मान लीजिए कि $\angle A$ का कोण समद्विभाजक $\Delta ABC$ के परिवृत्त को बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करता है। $BP$ और $CP$ को मिलाइए।
चूंकि एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं,इसलिए हमारे पास है:
$\angle BAP = \angle BCP$
चूंकि $AP$,$\angle A$ का समद्विभाजक है,इसलिए हमारे पास है:
$\angle BAP = \angle PAC = \frac{1}{2} \angle A$
अतः,$\angle BCP = \frac{1}{2} \angle A$ $...(1)$
इसी प्रकार,समान वृत्तखंड में,$\angle PAC = \angle PBC$ है।
चूंकि $\angle PAC = \frac{1}{2} \angle A$ है,इसलिए हमारे पास है:
$\angle PBC = \frac{1}{2} \angle A$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\angle BCP = \angle PBC$
$\Delta PBC$ में,चूंकि आधार के कोण बराबर हैं,इसलिए उनके सम्मुख भुजाएं बराबर होती हैं:
$BP = CP$
चूंकि $P$,$B$ और $C$ से समान दूरी पर है,इसलिए $P$ को $BC$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित होना चाहिए।
अतः,$\angle A$ का कोण समद्विभाजक और $BC$ का लंब समद्विभाजक $\Delta ABC$ के परिवृत्त पर प्रतिच्छेद करते हैं।

(A) सिद्ध करना है: $\text{चाप } CXA + \text{चाप } DZB = \text{चाप } AYD + \text{चाप } BWC = \text{अर्धवृत्त}$.
रचना: $AC, AD, BD$ और $BC$ को मिलाइए।
उपपत्ति: मान लीजिए कि जीवाएँ $AB$ और $CD$ बिंदु $O$ पर समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं। अतः,$\angle AOC = \angle COB = \angle BOD = \angle DOA = 90^{\circ}$.
वृत्त के केंद्र पर किसी चाप द्वारा अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर स्थित किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है। चाप के माप को उनके संगत केंद्रीय कोणों द्वारा दर्शाते हैं।
$\triangle AOC$ में,$\angle OAC + \angle OCA = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
चूंकि वृत्त की परिधि पर चाप द्वारा अंतरित कोण केंद्र के कोण का आधा होता है,इसलिए हमारे पास है:
$\text{चाप } CXA = 2 \angle CBA$ और $\text{चाप } DZB = 2 \angle BCD$.
$\triangle OBC$ में,$\angle OBC + \angle OCB = 90^{\circ}$.
अतः,$\frac{1}{2} (\text{चाप } CXA) + \frac{1}{2} (\text{चाप } DZB) = \angle CBA + \angle BCD = 90^{\circ}$.
इसलिए,$\text{चाप } CXA + \text{चाप } DZB = 180^{\circ}$,जो एक अर्धवृत्त है।
इसी प्रकार,दूसरे युग्म के लिए,$\text{चाप } AYD + \text{चाप } BWC = 180^{\circ}$,जो भी एक अर्धवृत्त है।
अतः,$\text{चाप } CXA + \text{चाप } DZB = \text{चाप } AYD + \text{चाप } BWC = \text{अर्धवृत्त}$.

(N/A) चूंकि वृत्त की समान जीवाएं केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं,इसलिए हमारे पास है:
जीवा $AB = $ जीवा $AC$ (दिया है,क्योंकि $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है)।
अतः,$\angle AOB = \angle AOC$ $...(1)$
चूंकि एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है:
$\angle APC = \frac{1}{2} \angle AOC$ $...(2)$
$\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB$ $...(3)$
$(1)$,$(2)$ और $(3)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\angle APC = \angle APB$
अतः,$PA$,$\angle BPC$ का कोण समद्विभाजक है।

(N/A) दिया है: $AB$ और $CD$ केंद्र $O$ वाले वृत्त की दो जीवाएँ हैं,जो बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है: $\angle AEC = \frac{1}{2} (\angle AOC + \angle BOD)$।
रचना: $AC, BC, BD$ और $AD$ को मिलाइए।
उपपत्ति:
$1$. हम जानते हैं कि एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर स्थित किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
$2$. चाप $CXA$ केंद्र पर $\angle AOC$ और वृत्त के शेष भाग पर $\angle ABC$ अंतरित करता है। अतः,$\angle AOC = 2 \angle ABC$ $....(1)$
$3$. इसी प्रकार,चाप $DYB$ केंद्र पर $\angle BOD$ और वृत्त के शेष भाग पर $\angle BCD$ अंतरित करता है। अतः,$\angle BOD = 2 \angle BCD$ $....(2)$
$4$. $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है: $\angle AOC + \angle BOD = 2(\angle ABC + \angle BCD)$ $....(3)$
$5$. $\Delta CEB$ में,$\angle AEC$ एक बहिष्कोण है। बहिष्कोण प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज का बहिष्कोण उसके दो अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
$6$. अतः,$\angle AEC = \angle ABC + \angle BCD$ $....(4)$
$7$. $(3)$ और $(4)$ से,हमें प्राप्त होता है: $\angle AOC + \angle BOD = 2 \angle AEC$।
$8$. इस प्रकार,$\angle AEC = \frac{1}{2} (\angle AOC + \angle BOD)$।
अतः,$\angle AEC = \frac{1}{2}$ (चाप $CXA$ द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण $+$ चाप $DYB$ द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण)।

(N/A) मान लीजिए $O$ केंद्र और $r$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है। $AB$ और $AC$ दो जीवाएँ हैं इस प्रकार कि $AB = 2 AC$ है।
मान लीजिए $OL \perp AB$ और $OM \perp AC$ है। दिया है कि $OL = p$ और $OM = q$ है।
हम जानते हैं कि वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
समकोण $\Delta AOL$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$r^{2} = AL^{2} + p^{2} \Rightarrow AL^{2} = r^{2} - p^{2}$।
चूँकि $L$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AL = \frac{1}{2} AB$ है।
अतः,$(\frac{1}{2} AB)^{2} = r^{2} - p^{2} \Rightarrow \frac{1}{4} AB^{2} = r^{2} - p^{2} \Rightarrow AB^{2} = 4(r^{2} - p^{2})$ है।
चूँकि $AB = 2 AC$ है,इसलिए $(2 AC)^{2} = 4(r^{2} - p^{2}) \Rightarrow 4 AC^{2} = 4(r^{2} - p^{2}) \Rightarrow AC^{2} = r^{2} - p^{2} \quad \dots(1)$ है।
समकोण $\Delta AOM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$r^{2} = AM^{2} + q^{2} \Rightarrow AM^{2} = r^{2} - q^{2}$ है।
चूँकि $M$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AM = \frac{1}{2} AC$ है।
अतः,$(\frac{1}{2} AC)^{2} = r^{2} - q^{2} \Rightarrow \frac{1}{4} AC^{2} = r^{2} - q^{2} \Rightarrow AC^{2} = 4(r^{2} - q^{2}) \quad \dots(2)$ है।
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$r^{2} - p^{2} = 4(r^{2} - q^{2})$
$r^{2} - p^{2} = 4r^{2} - 4q^{2}$
$4q^{2} = 4r^{2} - r^{2} + p^{2}$
$4q^{2} = 3r^{2} + p^{2}$ है।
अतः,$4q^{2} = p^{2} + 3r^{2}$ सिद्ध हुआ।

(N/A) $O$ वृत्त का केंद्र है और $\angle BCO = 30^{\circ}$ है। हमें $x$ और $y$ के मान ज्ञात करने हैं।
समकोण त्रिभुज $\Delta OPC$ में,हमारे पास है:
$\angle POC = 180^{\circ} - (\angle OPC + \angle PCO)$
$\Rightarrow \angle POC = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$.
दिया गया है कि $\angle AOD = 90^{\circ}$,और चूंकि $AD$ एक सीधी रेखा है,$\angle AOD + \angle DOP = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म)।
$\angle DOP = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
अब,$\angle COD = \angle DOP - \angle POC = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
चूंकि केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है:
$\angle CBD = \frac{1}{2} \angle COD = \frac{1}{2} \times 30^{\circ} = 15^{\circ}$. अतः,$y = 15^{\circ}$.
साथ ही,$\angle ABD = \frac{1}{2} \angle AOD = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}$.
$\Delta ABP$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$x + (\angle ABD + y) + \angle APB = 180^{\circ}$
$x + (45^{\circ} + 15^{\circ}) + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$x + 60^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$x = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.
अतः,$x = 30^{\circ}$ और $y = 15^{\circ}$.

$(30^{\circ})$ $\Delta OBD$ में,हमारे पास $OB = OD$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ) और $BD = OD$ (दिया है) है।
चूंकि $OB = OD = BD$,इसलिए $\Delta OBD$ एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः,$\angle BOD = 60^{\circ}$।
$\Delta OPD$ और $\Delta BPD$ में,$OD = BD$ (दिया है),$DP = DP$ (उभयनिष्ठ भुजा),$\angle OPD = \angle BPD = 90^{\circ}$ है।
इस प्रकार,$RHS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा $\Delta OPD \cong \Delta BPD$ है।
इसका अर्थ है कि $\angle DOP = \angle DBP$। चूंकि $\angle BOD = 60^{\circ}$,इसलिए $\angle DOP = 60^{\circ}$।
अतः,$\angle DBP = 60^{\circ}$।
$\Delta BPD$ में,$\angle BDP = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$।
चूंकि एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle CAB = \angle CDB$।
अतः,$\angle CAB = 30^{\circ}$।

(N/A) दिया है: $AB$ और $CD$ केंद्र $O$ वाले एक वृत्त की दो समान जीवाएँ हैं जो बढ़ाने पर $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है: $PB = PD$.
रचना: $OR \perp AB$ और $OQ \perp CD$ खींचिए। $OP$ को मिलाइए।
उपपत्ति: चूँकि $OR \perp AB$ और $OQ \perp CD$ वृत्त के केंद्र $O$ से हैं,
इसलिए,$R$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $Q$,$CD$ का मध्य-बिंदु है।
[चूँकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है]
चूँकि $AB = CD$ [दिया है],
इसलिए,$\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD$.
इसलिए,$AR = CQ$ और $RB = QD$ $...(1)$
चूँकि $AB = CD$,इसलिए $OR = OQ$ $...(2)$
[चूँकि समान जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं]
अब,समकोण त्रिभुज $\Delta ORP$ और $\Delta OQP$ में:
$\angle ORP = \angle OQP$ [प्रत्येक $90^{\circ}$]
कर्ण $OP = $ कर्ण $OP$ [उभयनिष्ठ भुजा]
$OR = OQ$ [$(2)$ से]
$\Delta ORP \cong \Delta OQP$ [$R$.$H$.$S$. सर्वांगसमता नियम द्वारा]
$RP = QP$ [$CPCT$ द्वारा] $...(3)$
अब,$(3)$ में से $(1)$ को घटाने पर:
$RP - RB = QP - QD$
$PB = PD$
इति सिद्धम्।

(A) $(1)$ सत्य। परिभाषा के अनुसार,एक वृत्त एक समतल में उन सभी बिंदुओं का समूह है जो एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से एक निश्चित दूरी (त्रिज्या) पर स्थित होते हैं।
$(2)$ सत्य। परिभाषा के अनुसार,वृत्त के केंद्र और उसकी परिधि पर स्थित किसी भी बिंदु को जोड़ने वाले रेखाखंड को वृत्त की त्रिज्या कहा जाता है।

(D) $(1)$ असत्य। एक वृत्त उस तल को जिस पर वह स्थित है,तीन भागों में विभाजित करता है: अभ्यंतर (interior),वृत्त स्वयं,और बहिर्भाग (exterior)।
$(2)$ असत्य। यदि किसी बिंदु की वृत्त के केंद्र से दूरी उसकी त्रिज्या से अधिक है,तो वह बिंदु वृत्त के बहिर्भाग (exterior) में स्थित होता है।

(A) $(1)$ सत्य। जीवा एक ऐसा रेखाखंड है जिसके अंत बिंदु वृत्त पर स्थित होते हैं।
$(2)$ असत्य। वृत्त के व्यास की लंबाई उसकी त्रिज्या की लंबाई की दोगुनी होती है,अर्थात $d = 2r$।

(A) $(1)$ सत्य। परिभाषा के अनुसार,एक वृत्त पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच के वृत्त के भाग को चाप कहा जाता है।
$(2)$ सत्य। एक वृत्त की सीमा की कुल लंबाई को उसकी परिधि के रूप में परिभाषित किया जाता है।

(A) $(1)$ असत्य। एक जीवा और उसके किसी भी चाप के बीच के क्षेत्र को वृत्तखंड (segment) कहा जाता है,त्रिज्यखंड (sector) नहीं।
$(2)$ असत्य। एक चाप और केंद्र को चाप के अंतिम बिंदुओं से जोड़ने वाली दो त्रिज्याओं के बीच के क्षेत्र को त्रिज्यखंड (sector) कहा जाता है,वृत्तखंड (segment) नहीं।

(C) एक वृत्त में,यदि दो जीवाएँ केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं,तो वे जीवाएँ लंबाई में समान होती हैं।
दिया गया है कि $\angle POQ = 90^{\circ}$ और $\angle ROS = 90^{\circ}$ है।
चूँकि $\angle POQ = \angle ROS$ है,इसलिए जीवा $PQ$ और $RS$ समान होनी चाहिए।
दिया गया है कि $PQ = 6\, cm$,इसलिए $RS = 6\, cm$ होगा।

(C) केंद्र $P$ वाले वृत्त में,$PA = PB = 4\, cm$ (त्रिज्याएँ)। $\triangle APB$ में,$PA = PB = 4\, cm$ और $AB = 5\, cm$ है।
केंद्र $Q$ वाले वृत्त में,$QX = QY = 4\, cm$ (त्रिज्याएँ)।
दिया गया है $\angle XQY = 50^{\circ}$। $\triangle XQY$ में,$QX = QY = 4\, cm$ है।
$\triangle XQY$ में कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$XY^2 = QX^2 + QY^2 - 2(QX)(QY) \cos(50^{\circ})$
$XY^2 = 4^2 + 4^2 - 2(4)(4) \cos(50^{\circ}) = 32(1 - \cos(50^{\circ}))$
$XY^2 = 32(2 \sin^2(25^{\circ})) = 64 \sin^2(25^{\circ})$
$XY = 8 \sin(25^{\circ}) \approx 3.38\, cm$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम पूर्णांक $3$ है।

(A) माना $\angle BAC$ का समद्विभाजक $AD$ है,जहाँ $D$ वृत्त पर एक बिंदु है और $P, AD$ पर स्थित है।
$\triangle APB$ और $\triangle APC$ में:
$1$. $AP = AP$ (उभयनिष्ठ भुजा)।
$2$. $\angle BAP = \angle CAP$ (क्योंकि $AP, \angle BAC$ का समद्विभाजक है)।
$3$. $PB = PC$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)।
अब,$\triangle APB$ और $\triangle APC$ में ज्या नियम (Law of Sines) का उपयोग करने पर:
$\triangle APB$ में: $\frac{PB}{\sin \theta} = \frac{AB}{\sin \angle APB} \implies AB = \frac{r \sin \angle APB}{\sin \theta}$।
$\triangle APC$ में: $\frac{PC}{\sin \theta} = \frac{AC}{\sin \angle APC} \implies AC = \frac{r \sin \angle APC}{\sin \theta}$।
चूँकि $A, P, D$ संरेख हैं,$\angle APB + \angle APC = 180^{\circ}$।
अतः,$\sin \angle APB = \sin(180^{\circ} - \angle APC) = \sin \angle APC$।
इस प्रकार,$AB = AC$ सिद्ध होता है।

(D) मान लीजिए $O$ वृत्त का केंद्र है। दिया गया है $OR = OM = OS = 5 \, m$ (वृत्त की त्रिज्याएँ) और $RS = SM = 6 \, m$।
चतुर्भुज $ORSM$ में,$OR = OM = 5 \, m$ और $RS = SM = 6 \, m$।
अतः,चतुर्भुज $ORSM$ एक पतंग है।
इसलिए,इसका विकर्ण $OS$ विकर्ण $RM$ को बिंदु $K$ पर समकोण पर समद्विभाजित करता है।
अतः,$\angle RKO = 90^{\circ}$ और $K$,$RM$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $RM = 2 RK$।
$OL \perp RS$ खींचिए। केंद्र से जीवा $RS$ पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $L$,$RS$ का मध्य बिंदु है।
अतः,$RL = \frac{1}{2} RS = \frac{1}{2} \times 6 = 3 \, m$।
समकोण $\Delta RLO$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$RO^2 = OL^2 + RL^2$
$5^2 = OL^2 + 3^2$
$25 = OL^2 + 9$
$OL^2 = 16 \implies OL = 4 \, m$।
अब,$\Delta ROS$ का क्षेत्रफल दो तरह से निकाला जा सकता है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times RS \times OL = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12 \, m^2$।
साथ ही,क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times OS \times RK = \frac{1}{2} \times 5 \times RK$।
दोनों क्षेत्रफलों की तुलना करने पर: $\frac{1}{2} \times 5 \times RK = 12$
$5 \times RK = 24 \implies RK = 4.8 \, m$।
चूँकि $RM = 2 RK$,इसलिए $RM = 2 \times 4.8 = 9.6 \, m$।
अतः,रेश्मा और मंदीप के बीच की दूरी $9.6 \, m$ है।

(A) माना कि $O$ केंद्र वाला वृत्त पार्क को दर्शाता है और बिंदु $A, S$ और $D$ क्रमशः अंकुर,सैयद और डेविड की स्थिति को दर्शाते हैं। चूँकि अंकुर,सैयद और डेविड एक-दूसरे से समान दूरी पर बैठे हैं,$\Delta ASD$ एक समबाहु त्रिभुज है।
$SD$ के मध्यबिंदु $M$ से $SD$ का लंब समद्विभाजक खींचिए। यह केंद्र $O$ और शीर्ष $A$ से होकर गुजरेगा।
माना $SM = x \, m$. तब $SD = 2SM = 2x \, m$.
$\Delta OMS$ में,$\angle M = 90^{\circ}$. पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$OM^2 = OS^2 - SM^2 = (20)^2 - x^2 = 400 - x^2$
$OM = \sqrt{400 - x^2}$
चूँकि $O$ समबाहु त्रिभुज $ASD$ का केंद्रक है,शीर्ष से केंद्रक की दूरी केंद्रक से सम्मुख भुजा के मध्यबिंदु की दूरी की दोगुनी होती है।
$AM = AO + OM = 20 + \sqrt{400 - x^2}$
$\Delta ASD$ में,ऊँचाई $AM = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{भुजा} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times (2x) = x\sqrt{3}$.
$AM$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$x\sqrt{3} = 20 + \sqrt{400 - x^2}$
$x\sqrt{3} - 20 = \sqrt{400 - x^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x\sqrt{3} - 20)^2 = 400 - x^2$
$3x^2 - 40\sqrt{3}x + 400 = 400 - x^2$
$4x^2 - 40\sqrt{3}x = 0$
$4x(x - 10\sqrt{3}) = 0$
चूँकि $x \neq 0$,इसलिए $x = 10\sqrt{3}$.
डोरी की लंबाई त्रिभुज की भुजा $SD = 2x = 2(10\sqrt{3}) = 20\sqrt{3} \, m$ है।

(N/A) माना कि $\Delta ABC$ की भुजाएँ $AB$ और $AC$ दो वृत्तों के व्यास हैं। ये वृत्त एक-दूसरे को बिंदुओं $A$ और $P$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
उभयनिष्ठ जीवा $AP$ खींचिए।
चूँकि $AB$ एक व्यास है,$\angle APB$ अर्धवृत्त का एक कोण है।
$\therefore \angle APB = 90^{\circ}$.
चूँकि $AC$ एक व्यास है,$\angle APC$ अर्धवृत्त का एक कोण है।
$\therefore \angle APC = 90^{\circ}$.
इन दो समीकरणों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle APB + \angle APC = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$.
चूँकि $\angle APB$ और $\angle APC$ उभयनिष्ठ भुजा $AP$ वाले आसन्न कोण हैं और उनका योग $180^{\circ}$ है,इसलिए वे एक रैखिक युग्म बनाते हैं।
अतः,बिंदु $B, P$ और $C$ एक ही सीधी रेखा पर स्थित होने चाहिए।
इसलिए,वृत्तों का प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ त्रिभुज की तीसरी भुजा $BC$ पर स्थित है।

(N/A) त्रिभुज $ABC$ के कोणों $\angle A, \angle B$ और $\angle C$ के समद्विभाजक $\Delta ABC$ के परिवृत्त को क्रमशः $D, E$ और $F$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$\angle FDE = \angle FDA + \angle EDA$ (आसन्न कोण)
$= \angle FCA + \angle EBA$ (वृत्त के एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं)
$= \frac{1}{2} \angle C + \frac{1}{2} \angle B$ (चूंकि $AD, BE, CF$ कोण समद्विभाजक हैं)
$= \frac{1}{2}(\angle B + \angle C)$
$= \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle A)$ (चूंकि $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$)
$= 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle A$
अतः,$\angle FDE = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle A$.
इसी प्रकार,$\angle DEF = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle B$ और $\angle EFD = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle C$.

(N/A) $(1)$ असत्य। वृत्त के किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड को जीवा कहा जाता है। व्यास एक विशेष प्रकार की जीवा है जो वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है।
$(2)$ सत्य। परिभाषा के अनुसार, व्यास वृत्त की सबसे लंबी जीवा होती है और इसकी लंबाई त्रिज्या की दोगुनी $(d = 2r)$ होती है।
$(3)$ असत्य। वृत्त की सबसे लंबी जीवा व्यास होती है। $r = 14 \text{ cm}$ त्रिज्या वाले वृत्त के लिए, व्यास $d = 2 \times 14 \text{ cm} = 28 \text{ cm}$ होता है। चूंकि किसी भी जीवा की लंबाई व्यास से अधिक नहीं हो सकती, इसलिए इस वृत्त में $32 \text{ cm}$ लंबाई की जीवा संभव नहीं है।

(A) $(1)$ असत्य। तीन दिए गए असंरेख बिंदुओं से होकर केवल एक ही अद्वितीय वृत्त गुजरता है।
$(2)$ सत्य। दो दिए गए बिंदुओं से होकर अनंत वृत्त खींचे जा सकते हैं,क्योंकि उनके केंद्र उन दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक पर कहीं भी स्थित हो सकते हैं।

(B) जब दो वृत्त दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं,तो उन दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड को उभयनिष्ठ जीवा कहा जाता है। चूँकि दो वृत्त अधिकतम दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकते हैं,इसलिए उन दो बिंदुओं को जोड़ने वाली केवल एक ही उभयनिष्ठ जीवा हो सकती है। अतः,एक ही समतल में दो वृत्तों के लिए उभयनिष्ठ जीवाओं की अधिकतम संख्या $1$ है।