અ Gujarati
Mix Examples - Circles Questions in Gujarati
Class 9 Mathematics · Circles · Mix Examples - Circles
58+
Questions
Gujarati
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 58 questions in Gujarati
1
Easy
ખાલી જગ્યા પૂરો:
$(i)$ વર્તુળનું કેન્દ્ર વર્તુળના . . . . . . માં આવેલું છે. (બહારના ભાગમાં / અંદરના ભાગમાં)
$(ii)$ જે બિંદુનું વર્તુળના કેન્દ્રથી અંતર તેની ત્રિજ્યા કરતાં વધારે હોય,તે બિંદુ વર્તુળના . . . . . . માં આવેલું છે. (બહારના ભાગમાં / અંદરના ભાગમાં)
$(iii)$ વર્તુળની સૌથી મોટી જીવા એ વર્તુળનો . . . . . . છે.
$(iv)$ જ્યારે ચાપના અંત્યબિંદુઓ વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ હોય,ત્યારે તે ચાપને . . . . . . કહે છે.
$(v)$ વર્તુળનો વૃતખંડ એ ચાપ અને . . . . . . વચ્ચેનો પ્રદેશ છે.
$(vi)$ વર્તુળ જે સમતલ પર આવેલું છે,તેને તે . . . . . . ભાગમાં વિભાજિત કરે છે.
$(i)$ વર્તુળનું કેન્દ્ર વર્તુળના . . . . . . માં આવેલું છે. (બહારના ભાગમાં / અંદરના ભાગમાં)
$(ii)$ જે બિંદુનું વર્તુળના કેન્દ્રથી અંતર તેની ત્રિજ્યા કરતાં વધારે હોય,તે બિંદુ વર્તુળના . . . . . . માં આવેલું છે. (બહારના ભાગમાં / અંદરના ભાગમાં)
$(iii)$ વર્તુળની સૌથી મોટી જીવા એ વર્તુળનો . . . . . . છે.
$(iv)$ જ્યારે ચાપના અંત્યબિંદુઓ વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ હોય,ત્યારે તે ચાપને . . . . . . કહે છે.
$(v)$ વર્તુળનો વૃતખંડ એ ચાપ અને . . . . . . વચ્ચેનો પ્રદેશ છે.
$(vi)$ વર્તુળ જે સમતલ પર આવેલું છે,તેને તે . . . . . . ભાગમાં વિભાજિત કરે છે.
Solution
(N/A) $(i)$ વર્તુળનું કેન્દ્ર હંમેશા વર્તુળના અંદરના ભાગમાં આવેલું હોય છે.
$(ii)$ જો કોઈ બિંદુનું કેન્દ્રથી અંતર તેની ત્રિજ્યા કરતાં વધારે હોય,તો તે બિંદુ વર્તુળના બહારના ભાગમાં આવેલું હોય છે.
$(iii)$ વર્તુળની સૌથી મોટી જીવા એ તેનો વ્યાસ છે.
$(iv)$ જ્યારે ચાપના અંત્યબિંદુઓ વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ હોય,ત્યારે તે ચાપને અર્ધવર્તુળ કહે છે.
$(v)$ વર્તુળનો વૃતખંડ એ ચાપ અને જીવા વચ્ચેનો પ્રદેશ છે.
$(vi)$ વર્તુળ જે સમતલ પર આવેલું છે,તેને તે ત્રણ ભાગમાં વિભાજિત કરે છે: અંદરનો ભાગ,વર્તુળ પોતે અને બહારનો ભાગ.
$(ii)$ જો કોઈ બિંદુનું કેન્દ્રથી અંતર તેની ત્રિજ્યા કરતાં વધારે હોય,તો તે બિંદુ વર્તુળના બહારના ભાગમાં આવેલું હોય છે.
$(iii)$ વર્તુળની સૌથી મોટી જીવા એ તેનો વ્યાસ છે.
$(iv)$ જ્યારે ચાપના અંત્યબિંદુઓ વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ હોય,ત્યારે તે ચાપને અર્ધવર્તુળ કહે છે.
$(v)$ વર્તુળનો વૃતખંડ એ ચાપ અને જીવા વચ્ચેનો પ્રદેશ છે.
$(vi)$ વર્તુળ જે સમતલ પર આવેલું છે,તેને તે ત્રણ ભાગમાં વિભાજિત કરે છે: અંદરનો ભાગ,વર્તુળ પોતે અને બહારનો ભાગ.
0 likes
View Solution2
Easy
નીચેના વિધાનો સાચા છે કે ખોટા તે જણાવો. તમારા ઉત્તર માટે કારણો આપો.
$(i)$ વર્તુળના કેન્દ્રને વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુ સાથે જોડતો રેખાખંડ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
$(ii)$ વર્તુળમાં માત્ર મર્યાદિત સંખ્યામાં જ સમાન જીવાઓ હોય છે.
$(iii)$ જો વર્તુળને ત્રણ સમાન ચાપમાં વિભાજિત કરવામાં આવે,તો દરેક ચાપ ગુરુચાપ છે.
$(iv)$ વર્તુળની જે જીવાની લંબાઈ તેની ત્રિજ્યા કરતાં બમણી હોય,તે વર્તુળનો વ્યાસ છે.
$(v)$ વૃતાંશ એ જીવા અને તેને અનુરૂપ ચાપ વચ્ચેનો પ્રદેશ છે.
$(vi)$ વર્તુળ એ સમતલીય આકૃતિ છે.
$(i)$ વર્તુળના કેન્દ્રને વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુ સાથે જોડતો રેખાખંડ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
$(ii)$ વર્તુળમાં માત્ર મર્યાદિત સંખ્યામાં જ સમાન જીવાઓ હોય છે.
$(iii)$ જો વર્તુળને ત્રણ સમાન ચાપમાં વિભાજિત કરવામાં આવે,તો દરેક ચાપ ગુરુચાપ છે.
$(iv)$ વર્તુળની જે જીવાની લંબાઈ તેની ત્રિજ્યા કરતાં બમણી હોય,તે વર્તુળનો વ્યાસ છે.
$(v)$ વૃતાંશ એ જીવા અને તેને અનુરૂપ ચાપ વચ્ચેનો પ્રદેશ છે.
$(vi)$ વર્તુળ એ સમતલીય આકૃતિ છે.
Solution
(A-D) $(i)$ સાચું. વર્તુળના કેન્દ્રને વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુ સાથે જોડતા રેખાખંડને ત્રિજ્યા કહેવાય છે.
$(ii)$ ખોટું. વર્તુળમાં અસંખ્ય સમાન લંબાઈની જીવાઓ હોઈ શકે છે.
$(iii)$ ખોટું. જો વર્તુળને ત્રણ સમાન ચાપમાં વહેંચવામાં આવે,તો દરેક ચાપનું માપ $120^{\circ}$ થાય,જે અર્ધવર્તુળ $(180^{\circ})$ કરતા નાનું હોવાથી તે લઘુચાપ છે.
$(iv)$ સાચું. વ્યાખ્યા મુજબ,વ્યાસ એ વર્તુળની સૌથી મોટી જીવા છે અને તેની લંબાઈ $2 \times \text{ત્રિજ્યા}$ જેટલી હોય છે.
$(v)$ ખોટું. જીવા અને તેને અનુરૂપ ચાપ વચ્ચેના પ્રદેશને વૃતખંડ કહેવાય છે,જ્યારે વૃતાંશ એ ચાપ અને કેન્દ્રને જોડતી બે ત્રિજ્યાઓ વચ્ચેનો પ્રદેશ છે.
$(vi)$ સાચું. વર્તુળ એ સમતલ પરના એવા બિંદુઓનો સમૂહ છે જે સમતલના એક નિશ્ચિત બિંદુ (કેન્દ્ર) થી સમાન અંતરે આવેલા હોય છે.
$(ii)$ ખોટું. વર્તુળમાં અસંખ્ય સમાન લંબાઈની જીવાઓ હોઈ શકે છે.
$(iii)$ ખોટું. જો વર્તુળને ત્રણ સમાન ચાપમાં વહેંચવામાં આવે,તો દરેક ચાપનું માપ $120^{\circ}$ થાય,જે અર્ધવર્તુળ $(180^{\circ})$ કરતા નાનું હોવાથી તે લઘુચાપ છે.
$(iv)$ સાચું. વ્યાખ્યા મુજબ,વ્યાસ એ વર્તુળની સૌથી મોટી જીવા છે અને તેની લંબાઈ $2 \times \text{ત્રિજ્યા}$ જેટલી હોય છે.
$(v)$ ખોટું. જીવા અને તેને અનુરૂપ ચાપ વચ્ચેના પ્રદેશને વૃતખંડ કહેવાય છે,જ્યારે વૃતાંશ એ ચાપ અને કેન્દ્રને જોડતી બે ત્રિજ્યાઓ વચ્ચેનો પ્રદેશ છે.
$(vi)$ સાચું. વર્તુળ એ સમતલ પરના એવા બિંદુઓનો સમૂહ છે જે સમતલના એક નિશ્ચિત બિંદુ (કેન્દ્ર) થી સમાન અંતરે આવેલા હોય છે.
0 likes
View Solution3
Difficult
$AC$ અને $BD$ એ વર્તુળની જીવાઓ છે જે એકબીજાને દુભાગે છે. સાબિત કરો કે $ABCD$ એક લંબચોરસ છે.
Solution
(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O'$ છે. ધારો કે જીવાઓ $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે.
જીવાઓ એકબીજાને દુભાગે છે,તેથી $AO = OC$ અને $BO = OD$ છે.
$\Delta AOB$ અને $\Delta COD$ માં:
$AO = OC$ (આપેલ છે),
$BO = OD$ (આપેલ છે),
$\angle AOB = \angle COD$ (અભિકોણો).
તેથી,$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta AOB \cong \Delta COD$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $AB = CD$ અને $\angle OAB = \angle OCD$. આ યુગ્મકોણો હોવાથી,$AB \parallel CD$ થાય.
જે ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોય તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. આમ,$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$ABCD$ એ ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે (કારણ કે તેના શિરોબિંદુઓ વર્તુળ પર છે),તેથી તેના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેના ખૂણા સમાન હોય છે,તેથી $\angle A = \angle C$ અને $\angle B = \angle D$.
$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$2\angle A = 180^{\circ}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\angle A = 90^{\circ}$.
જે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો એક ખૂણો $90^{\circ}$ હોય તે લંબચોરસ છે. તેથી,$ABCD$ એક લંબચોરસ છે.
જીવાઓ એકબીજાને દુભાગે છે,તેથી $AO = OC$ અને $BO = OD$ છે.
$\Delta AOB$ અને $\Delta COD$ માં:
$AO = OC$ (આપેલ છે),
$BO = OD$ (આપેલ છે),
$\angle AOB = \angle COD$ (અભિકોણો).
તેથી,$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta AOB \cong \Delta COD$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $AB = CD$ અને $\angle OAB = \angle OCD$. આ યુગ્મકોણો હોવાથી,$AB \parallel CD$ થાય.
જે ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોય તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. આમ,$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$ABCD$ એ ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે (કારણ કે તેના શિરોબિંદુઓ વર્તુળ પર છે),તેથી તેના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેના ખૂણા સમાન હોય છે,તેથી $\angle A = \angle C$ અને $\angle B = \angle D$.
$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$2\angle A = 180^{\circ}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\angle A = 90^{\circ}$.
જે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો એક ખૂણો $90^{\circ}$ હોય તે લંબચોરસ છે. તેથી,$ABCD$ એક લંબચોરસ છે.
0 likes
View Solution4
MediumMCQ
આકૃતિમાં,બે એકરૂપ વર્તુળોના કેન્દ્રો $O$ અને $O'$ છે. ચાપ $AXB$ કેન્દ્ર $O$ આગળ $75^{\circ}$ નો ખૂણો આંતરે છે અને ચાપ $A'YB'$ કેન્દ્ર $O'$ આગળ $25^{\circ}$ નો ખૂણો આંતરે છે. તો ચાપ $AXB$ અને $A'YB'$ ની લંબાઈનો ગુણોત્તર શોધો.
A
$3:1$
B
$1:2$
C
$2:1$
D
$1:3$
Solution
(A) વર્તુળના ચાપની લંબાઈનું સૂત્ર $L = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r$ છે,જ્યાં $\theta$ એ કેન્દ્ર આગળ ચાપ દ્વારા આંતરેલો ખૂણો છે અને $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
બે વર્તુળો એકરૂપ હોવાથી,તેમની ત્રિજ્યા સમાન છે,ધારો કે તે $r$ છે.
ધારો કે ચાપ $AXB$ ની લંબાઈ $L_1$ છે અને ચાપ $A'YB'$ ની લંબાઈ $L_2$ છે.
આપેલ છે કે ચાપ $AXB$ દ્વારા કેન્દ્ર $O$ આગળ આંતરેલો ખૂણો $\theta_1 = 75^{\circ}$ છે.
તેથી,$L_1 = \frac{75^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi r$.
આપેલ છે કે ચાપ $A'YB'$ દ્વારા કેન્દ્ર $O'$ આગળ આંતરેલો ખૂણો $\theta_2 = 25^{\circ}$ છે.
તેથી,$L_2 = \frac{25^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi r$.
ચાપની લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{L_1}{L_2} = \frac{\frac{75^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi r}{\frac{25^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi r} = \frac{75^{\circ}}{25^{\circ}} = \frac{3}{1}$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $3:1$ છે.
બે વર્તુળો એકરૂપ હોવાથી,તેમની ત્રિજ્યા સમાન છે,ધારો કે તે $r$ છે.
ધારો કે ચાપ $AXB$ ની લંબાઈ $L_1$ છે અને ચાપ $A'YB'$ ની લંબાઈ $L_2$ છે.
આપેલ છે કે ચાપ $AXB$ દ્વારા કેન્દ્ર $O$ આગળ આંતરેલો ખૂણો $\theta_1 = 75^{\circ}$ છે.
તેથી,$L_1 = \frac{75^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi r$.
આપેલ છે કે ચાપ $A'YB'$ દ્વારા કેન્દ્ર $O'$ આગળ આંતરેલો ખૂણો $\theta_2 = 25^{\circ}$ છે.
તેથી,$L_2 = \frac{25^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi r$.
ચાપની લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{L_1}{L_2} = \frac{\frac{75^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi r}{\frac{25^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi r} = \frac{75^{\circ}}{25^{\circ}} = \frac{3}{1}$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $3:1$ છે.
0 likes
View Solution5
MediumMCQ
આકૃતિમાં,$AB$ અને $CD$ એ $O$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળની બે સમાન જીવાઓ છે. $OP$ અને $OQ$ અનુક્રમે જીવા $AB$ અને $CD$ પરના લંબ છે. જો $\angle POQ = 150^{\circ}$ હોય,તો $\angle APQ$ નું માપ કેટલું થાય ($^{\circ}$ માં)?
A
$30$
B
$75$
C
$15$
D
$60$
Solution
(B) $\triangle OPQ$ માં,કેન્દ્રમાંથી સમાન જીવાઓ પર દોરેલા લંબ $OP$ અને $OQ$ સમાન હોય છે,તેથી $OP = OQ$.
તેથી,$\triangle OPQ$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે,જેનો અર્થ છે કે $\angle OQP = \angle OPQ = k$.
$\triangle OPQ$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $\angle OQP + \angle OPQ + \angle POQ = 180^{\circ}$.
$k + k + 150^{\circ} = 180^{\circ}$.
$2k = 30^{\circ}$.
$k = 15^{\circ}$.
આમ,$\angle OPQ = 15^{\circ}$.
$OP \perp AB$ હોવાથી,$\angle OPA = 90^{\circ}$.
આકૃતિ પરથી,$\angle OPA = \angle OPQ + \angle APQ$.
$90^{\circ} = 15^{\circ} + \angle APQ$.
$\angle APQ = 90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ}$.
તેથી,$\triangle OPQ$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે,જેનો અર્થ છે કે $\angle OQP = \angle OPQ = k$.
$\triangle OPQ$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $\angle OQP + \angle OPQ + \angle POQ = 180^{\circ}$.
$k + k + 150^{\circ} = 180^{\circ}$.
$2k = 30^{\circ}$.
$k = 15^{\circ}$.
આમ,$\angle OPQ = 15^{\circ}$.
$OP \perp AB$ હોવાથી,$\angle OPA = 90^{\circ}$.
આકૃતિ પરથી,$\angle OPA = \angle OPQ + \angle APQ$.
$90^{\circ} = 15^{\circ} + \angle APQ$.
$\angle APQ = 90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ}$.
0 likes
View Solution6
MediumMCQ
જો $AB = 12 \, cm$,$BC = 16 \, cm$ અને $AB$ એ $BC$ ને લંબ હોય,તો બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ માંથી પસાર થતા વર્તુળની ત્રિજ્યા ( $cm$ માં) કેટલી થાય?
A
$10$
B
$6$
C
$12$
D
$8$
Solution
(A) $AB$ એ $BC$ ને લંબ છે,તેથી $\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle B = 90^{\circ}$ છે.
ત્રિકોણ કાટકોણ હોવાથી,કર્ણ $AC$ એ બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનો વ્યાસ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$
$AC = \sqrt{12^2 + 16^2}$
$AC = \sqrt{144 + 256}$
$AC = \sqrt{400} = 20 \, cm$
વ્યાસ $AC = 20 \, cm$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{AC}{2} = \frac{20}{2} = 10 \, cm$ થાય.
ત્રિકોણ કાટકોણ હોવાથી,કર્ણ $AC$ એ બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનો વ્યાસ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$
$AC = \sqrt{12^2 + 16^2}$
$AC = \sqrt{144 + 256}$
$AC = \sqrt{400} = 20 \, cm$
વ્યાસ $AC = 20 \, cm$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{AC}{2} = \frac{20}{2} = 10 \, cm$ થાય.
0 likes
View Solution7
MediumMCQ
આકૃતિમાં,જો $\angle DAB = 60^{\circ}$ અને $\angle ABD = 50^{\circ}$ હોય,તો $\angle ACB$ નું માપ શોધો. ($^{\circ}$ માં)
A
$70$
B
$60$
C
$50$
D
$80$
Solution
(A) $\Delta ADB$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$\angle DAB + \angle ABD + \angle ADB = 180^{\circ}$
$60^{\circ} + 50^{\circ} + \angle ADB = 180^{\circ}$
$110^{\circ} + \angle ADB = 180^{\circ}$
$\angle ADB = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$
વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોય છે,તેથી $\angle ACB = \angle ADB$ થાય.
આમ,$\angle ACB = 70^{\circ}$.
$\angle DAB + \angle ABD + \angle ADB = 180^{\circ}$
$60^{\circ} + 50^{\circ} + \angle ADB = 180^{\circ}$
$110^{\circ} + \angle ADB = 180^{\circ}$
$\angle ADB = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$
વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોય છે,તેથી $\angle ACB = \angle ADB$ થાય.
આમ,$\angle ACB = 70^{\circ}$.
0 likes
View Solution8
DifficultMCQ
આકૃતિમાં,જો $\angle AOB = 90^{\circ}$ અને $\angle ABC = 30^{\circ}$ હોય,તો $\angle CAO$ નું માપ કેટલું થાય ($^{\circ}$ માં)?
A
$30$
B
$45$
C
$90$
D
$60$
Solution
(D) $\Delta OAB$ માં,આપણી પાસે $OA = OB$ છે (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ).
તેથી,$\angle OAB = \angle OBA.$
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,
$2 \angle OAB = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}.$
આમ,$\angle OAB = 45^{\circ}.$
વળી,વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો તે જ ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના બિંદુએ બનતા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે.
તેથી,$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}.$
હવે,$\Delta CAB$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ છે.
$\angle CAB = 180^{\circ} - (\angle ABC + \angle ACB) = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ}.$
અંતે,$\angle CAO = \angle CAB - \angle OAB = 105^{\circ} - 45^{\circ} = 60^{\circ}.$
તેથી,$\angle OAB = \angle OBA.$
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,
$2 \angle OAB = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}.$
આમ,$\angle OAB = 45^{\circ}.$
વળી,વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો તે જ ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના બિંદુએ બનતા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે.
તેથી,$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}.$
હવે,$\Delta CAB$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ છે.
$\angle CAB = 180^{\circ} - (\angle ABC + \angle ACB) = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ}.$
અંતે,$\angle CAO = \angle CAB - \angle OAB = 105^{\circ} - 45^{\circ} = 60^{\circ}.$
0 likes
View Solution9
Easy
નીચેના દરેક વિધાન માટે ખરું કે ખોટું લખો અને તમારા જવાબનું સમર્થન કરો:
કેન્દ્ર $O$ વાળા વર્તુળની બે જીવાઓ $AB$ અને $AC$ એ $OA$ ની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર છે. તો $\angle OAB = \angle OAC$.
કેન્દ્ર $O$ વાળા વર્તુળની બે જીવાઓ $AB$ અને $AC$ એ $OA$ ની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર છે. તો $\angle OAB = \angle OAC$.
Solution
(B) આ વિધાન ખોટું છે.
$\triangle OAB$ અને $\triangle OAC$ માં,$OA = OA$ (સામાન્ય બાજુ) અને $OB = OC$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ) છે.
જોકે,ખૂણા $\angle OAB$ અને $\angle OAC$ ત્યારે જ સમાન હોય જો જીવાઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ સમાન હોય $(AB = AC)$.
જો જીવાઓની લંબાઈ અસમાન હોય,તો તેમના દ્વારા કેન્દ્ર પર બનતા ખૂણા અથવા ત્રિજ્યા $OA$ સાથે બનતા ખૂણા સમાન થશે નહીં.
તેથી,આ વિધાન સાર્વત્રિક રીતે સાચું નથી.
$\triangle OAB$ અને $\triangle OAC$ માં,$OA = OA$ (સામાન્ય બાજુ) અને $OB = OC$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ) છે.
જોકે,ખૂણા $\angle OAB$ અને $\angle OAC$ ત્યારે જ સમાન હોય જો જીવાઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ સમાન હોય $(AB = AC)$.
જો જીવાઓની લંબાઈ અસમાન હોય,તો તેમના દ્વારા કેન્દ્ર પર બનતા ખૂણા અથવા ત્રિજ્યા $OA$ સાથે બનતા ખૂણા સમાન થશે નહીં.
તેથી,આ વિધાન સાર્વત્રિક રીતે સાચું નથી.
0 likes
View Solution10
EasyMCQ
નીચેના દરેક વિધાન માટે ખરું કે ખોટું જણાવો અને તમારા જવાબનું સમર્થન કરો:
$O$ અને $O^{\prime}$ કેન્દ્ર ધરાવતા બે એકરૂપ વર્તુળો બે બિંદુઓ $A$ અને $B$ માં છેદે છે. તો $\angle AOB = \angle AO^{\prime}B$.
$O$ અને $O^{\prime}$ કેન્દ્ર ધરાવતા બે એકરૂપ વર્તુળો બે બિંદુઓ $A$ અને $B$ માં છેદે છે. તો $\angle AOB = \angle AO^{\prime}B$.
A
ખરું
B
ખોટું
Solution
(A) આપેલ વિધાન ખરું છે.
બે એકરૂપ વર્તુળોમાં,ત્રિજ્યાઓ સમાન હોય છે. ધારો કે બંને વર્તુળોની ત્રિજ્યા $r$ છે.
$\triangle AOB$ અને $\triangle AO^{\prime}B$ માં:
$OA = O^{\prime}A = r$ (એકરૂપ વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ)
$OB = O^{\prime}B = r$ (એકરૂપ વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ)
$AB = AB$ (સામાન્ય જીવા)
$SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle AOB \cong \triangle AO^{\prime}B$ થાય.
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,$CPCT$ (એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો) દ્વારા તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન થાય છે.
તેથી,$\angle AOB = \angle AO^{\prime}B$.
બે એકરૂપ વર્તુળોમાં,ત્રિજ્યાઓ સમાન હોય છે. ધારો કે બંને વર્તુળોની ત્રિજ્યા $r$ છે.
$\triangle AOB$ અને $\triangle AO^{\prime}B$ માં:
$OA = O^{\prime}A = r$ (એકરૂપ વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ)
$OB = O^{\prime}B = r$ (એકરૂપ વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ)
$AB = AB$ (સામાન્ય જીવા)
$SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle AOB \cong \triangle AO^{\prime}B$ થાય.
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,$CPCT$ (એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો) દ્વારા તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન થાય છે.
તેથી,$\angle AOB = \angle AO^{\prime}B$.
0 likes
View Solution11
EasyMCQ
નીચેના દરેક વિધાન માટે ખરું કે ખોટું લખો અને તમારા જવાબનું સમર્થન કરો: ત્રણ સમરેખ બિંદુઓમાંથી એક વર્તુળ દોરી શકાય છે.
A
ખરું
B
ખોટું
Solution
(B) આપેલ વિધાન $False$ (ખોટું) છે. ત્રણ અસમરેખ બિંદુઓમાંથી એક અનન્ય વર્તુળ પસાર થાય છે. જો ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ હોય,તો તે એક જ સીધી રેખા પર આવેલા હોય છે. વર્તુળ ત્રણ એવા બિંદુઓમાંથી પસાર થઈ શકતું નથી જે એક જ સીધી રેખા પર હોય,કારણ કે વર્તુળમાં વક્રતા હોય છે,જ્યારે સીધી રેખામાં હોતી નથી. તેથી,ત્રણ સમરેખ બિંદુઓમાંથી વર્તુળ દોરવું અશક્ય છે.
0 likes
View Solution12
Easy
નીચેના દરેક વિધાન માટે ખરું કે ખોટું લખો અને તમારા જવાબનું સમર્થન કરો:
$3 \, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ બે બિંદુઓ $A$ અને $B$ માંથી પસાર થાય તે રીતે દોરી શકાય છે કે જેથી $AB = 6 \, cm$ થાય.
$3 \, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ બે બિંદુઓ $A$ અને $B$ માંથી પસાર થાય તે રીતે દોરી શકાય છે કે જેથી $AB = 6 \, cm$ થાય.
Solution
(A) વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 3 \, cm$ છે.
વર્તુળનો વ્યાસ $d = 2 \times r = 2 \times 3 \, cm = 6 \, cm$ થાય.
અહીં બે બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $AB = 6 \, cm$ છે,જે વર્તુળના વ્યાસ જેટલું છે. તેથી,$AB$ ને વ્યાસ તરીકે લઈને આ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતું વર્તુળ દોરી શકાય છે.
આથી,આપેલ વિધાન ખરું છે.
વર્તુળનો વ્યાસ $d = 2 \times r = 2 \times 3 \, cm = 6 \, cm$ થાય.
અહીં બે બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $AB = 6 \, cm$ છે,જે વર્તુળના વ્યાસ જેટલું છે. તેથી,$AB$ ને વ્યાસ તરીકે લઈને આ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતું વર્તુળ દોરી શકાય છે.
આથી,આપેલ વિધાન ખરું છે.
0 likes
View Solution13
Medium
નીચેનું વિધાન ખરું છે કે ખોટું તે જણાવો અને તમારા જવાબનું સમર્થન કરો: જો $AOB$ એ વર્તુળનો વ્યાસ હોય અને $C$ એ વર્તુળ પરનું કોઈ બિંદુ હોય,તો $AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}$.
Solution
(A) $AOB$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે અને $C$ એ વર્તુળ પરનું એક બિંદુ છે.
અર્ધવર્તુળમાં બનતો ખૂણો કાટખૂણો હોવાથી,$\angle ACB = 90^{\circ}$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}$.
તેથી,આપેલ વિધાન ખરું છે.
અર્ધવર્તુળમાં બનતો ખૂણો કાટખૂણો હોવાથી,$\angle ACB = 90^{\circ}$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}$.
તેથી,આપેલ વિધાન ખરું છે.
0 likes
View Solution14
Easy
નીચેના દરેક વિધાન માટે ખરું કે ખોટું જણાવો અને તમારા જવાબનું સમર્થન કરો:
જો $A, B, C, D$ એવા ચાર બિંદુઓ હોય કે જેથી $\angle BAC = 30^{\circ}$ અને $\angle BDC = 60^{\circ}$ થાય, તો $D$ એ $A, B$ અને $C$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
જો $A, B, C, D$ એવા ચાર બિંદુઓ હોય કે જેથી $\angle BAC = 30^{\circ}$ અને $\angle BDC = 60^{\circ}$ થાય, તો $D$ એ $A, B$ અને $C$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
Solution
(B) આપેલ વિધાન ખોટું છે.
સમર્થન:
ભૂમિતિના પ્રમેય મુજબ, વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરાયેલો ખૂણો, તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ આંતરાયેલા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે.
જો $D$ એ $A, B$ અને $C$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર હોય, તો ચાપ $BC$ દ્વારા કેન્દ્ર $D$ આગળ આંતરાયેલો ખૂણો $(\angle BDC)$ એ પરિઘ પરના ખૂણા $(\angle BAC)$ કરતા બમણો હોવો જોઈએ.
અહીં $\angle BAC = 30^{\circ}$ આપેલ છે, તેથી $\angle BDC = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$ થવો જોઈએ.
જોકે, $\angle BDC = 60^{\circ}$ એ $D$ કેન્દ્ર હોવા માટે જરૂરી શરત છે પણ પૂરતી નથી. એવા અસંખ્ય બિંદુઓ $D$ હોઈ શકે છે જેના માટે $\angle BDC = 60^{\circ}$ થાય (ઉદાહરણ તરીકે, $B, C$ અને $D$ માંથી પસાર થતા વર્તુળના ગુરુચાપ પરનું કોઈપણ બિંદુ).
તેથી, $D$ એ $A, B$ અને $C$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર હોય તે જરૂરી નથી.
સમર્થન:
ભૂમિતિના પ્રમેય મુજબ, વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરાયેલો ખૂણો, તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ આંતરાયેલા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે.
જો $D$ એ $A, B$ અને $C$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર હોય, તો ચાપ $BC$ દ્વારા કેન્દ્ર $D$ આગળ આંતરાયેલો ખૂણો $(\angle BDC)$ એ પરિઘ પરના ખૂણા $(\angle BAC)$ કરતા બમણો હોવો જોઈએ.
અહીં $\angle BAC = 30^{\circ}$ આપેલ છે, તેથી $\angle BDC = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$ થવો જોઈએ.
જોકે, $\angle BDC = 60^{\circ}$ એ $D$ કેન્દ્ર હોવા માટે જરૂરી શરત છે પણ પૂરતી નથી. એવા અસંખ્ય બિંદુઓ $D$ હોઈ શકે છે જેના માટે $\angle BDC = 60^{\circ}$ થાય (ઉદાહરણ તરીકે, $B, C$ અને $D$ માંથી પસાર થતા વર્તુળના ગુરુચાપ પરનું કોઈપણ બિંદુ).
તેથી, $D$ એ $A, B$ અને $C$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર હોય તે જરૂરી નથી.
0 likes
View Solution15
Easy
નીચેના દરેક વિધાન માટે ખરું કે ખોટું લખો અને તમારા જવાબનું સમર્થન કરો:
જો $A, B, C$ અને $D$ ચાર એવા બિંદુઓ હોય કે જેથી $\angle BAC = 45^{\circ}$ અને $\angle BDC = 45^{\circ}$ થાય,તો $A, B, C, D$ એકવર્તુળીય (concyclic) છે.
જો $A, B, C$ અને $D$ ચાર એવા બિંદુઓ હોય કે જેથી $\angle BAC = 45^{\circ}$ અને $\angle BDC = 45^{\circ}$ થાય,તો $A, B, C, D$ એકવર્તુળીય (concyclic) છે.
Solution
(TRUE) આપેલ વિધાન ખરું છે.
પ્રમેય મુજબ,જો બે બિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ,તે રેખાખંડને સમાવતી રેખાની એક જ તરફ આવેલા અન્ય બે બિંદુઓ આગળ સમાન ખૂણા આંતરે,તો તે ચારેય બિંદુઓ એક જ વર્તુળ પર આવેલા હોય છે (એટલે કે,તેઓ એકવર્તુળીય છે).
અહીં,રેખાખંડ $BC$ એ બિંદુઓ $A$ અને $D$ આગળ સમાન ખૂણા $\angle BAC = 45^{\circ}$ અને $\angle BDC = 45^{\circ}$ આંતરે છે.
આ બિંદુઓ $BC$ ની એક જ તરફ આવેલા હોવાથી,બિંદુઓ $A, B, C$ અને $D$ એકવર્તુળીય છે.
પ્રમેય મુજબ,જો બે બિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ,તે રેખાખંડને સમાવતી રેખાની એક જ તરફ આવેલા અન્ય બે બિંદુઓ આગળ સમાન ખૂણા આંતરે,તો તે ચારેય બિંદુઓ એક જ વર્તુળ પર આવેલા હોય છે (એટલે કે,તેઓ એકવર્તુળીય છે).
અહીં,રેખાખંડ $BC$ એ બિંદુઓ $A$ અને $D$ આગળ સમાન ખૂણા $\angle BAC = 45^{\circ}$ અને $\angle BDC = 45^{\circ}$ આંતરે છે.
આ બિંદુઓ $BC$ ની એક જ તરફ આવેલા હોવાથી,બિંદુઓ $A, B, C$ અને $D$ એકવર્તુળીય છે.
0 likes
View Solution16
Medium
નીચેના દરેક માટે સાચું કે ખોટું લખો અને તમારા જવાબનું સમર્થન કરો:
આકૃતિમાં,જો $AOB$ વ્યાસ હોય અને $\angle ADC = 120^{\circ}$ હોય,તો $\angle CAB = 30^{\circ}$ થાય.
આકૃતિમાં,જો $AOB$ વ્યાસ હોય અને $\angle ADC = 120^{\circ}$ હોય,તો $\angle CAB = 30^{\circ}$ થાય.
Solution
(TRUE) $AOB$ એ $O$ કેન્દ્રિત વર્તુળનો વ્યાસ છે.
ચક્રીય ચતુષ્કોણ $ADCB$ ધ્યાનમાં લો.
ચક્રીય ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle ADC + \angle ABC = 180^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\angle ADC = 120^{\circ}$,તેથી $120^{\circ} + \angle ABC = 180^{\circ}$.
$\angle ABC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.
$\Delta ABC$ માં,$\angle ACB = 90^{\circ}$ (અર્ધવર્તુળમાં આવેલો ખૂણો).
$\Delta ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$\angle CAB + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$.
$\angle CAB + 60^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle CAB + 150^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle CAB = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.
આમ,આપેલ વિધાન સાચું છે.
ચક્રીય ચતુષ્કોણ $ADCB$ ધ્યાનમાં લો.
ચક્રીય ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle ADC + \angle ABC = 180^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\angle ADC = 120^{\circ}$,તેથી $120^{\circ} + \angle ABC = 180^{\circ}$.
$\angle ABC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.
$\Delta ABC$ માં,$\angle ACB = 90^{\circ}$ (અર્ધવર્તુળમાં આવેલો ખૂણો).
$\Delta ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$\angle CAB + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$.
$\angle CAB + 60^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle CAB + 150^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle CAB = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.
આમ,આપેલ વિધાન સાચું છે.
0 likes
View Solution17
Medium
આકૃતિમાં,$AOC$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે અને $\operatorname{arc} AXB = \frac{1}{2} \operatorname{arc} BYC$ છે. $\angle BOC$ શોધો.
Solution
$(120^{\circ})$ આપણે જાણીએ છીએ કે ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો તે ચાપની લંબાઈના પ્રમાણમાં હોય છે.
આપેલ છે કે $\operatorname{arc} AXB = \frac{1}{2} \operatorname{arc} BYC$,તેથી $\angle AOB = \frac{1}{2} \angle BOC$ થાય.
$AOC$ એ વ્યાસ હોવાથી,$\angle AOB + \angle BOC = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા).
સમીકરણમાં $\angle AOB = \frac{1}{2} \angle BOC$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{2} \angle BOC + \angle BOC = 180^{\circ}$
$\frac{3}{2} \angle BOC = 180^{\circ}$
$\angle BOC = 180^{\circ} \times \frac{2}{3} = 120^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\operatorname{arc} AXB = \frac{1}{2} \operatorname{arc} BYC$,તેથી $\angle AOB = \frac{1}{2} \angle BOC$ થાય.
$AOC$ એ વ્યાસ હોવાથી,$\angle AOB + \angle BOC = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા).
સમીકરણમાં $\angle AOB = \frac{1}{2} \angle BOC$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{2} \angle BOC + \angle BOC = 180^{\circ}$
$\frac{3}{2} \angle BOC = 180^{\circ}$
$\angle BOC = 180^{\circ} \times \frac{2}{3} = 120^{\circ}$.
0 likes
View Solution18
EasyMCQ
જો વર્તુળના ચાપ $AXB$ અને $CYD$ એકરૂપ હોય,તો $AB$ અને $CD$ નો ગુણોત્તર શોધો.
A
$1:1$
B
$1:2$
C
$2:1$
D
$1:3$
Solution
(A) આપણને આપેલ છે કે ચાપ $AXB \cong$ ચાપ $CYD$.
વર્તુળના ગુણધર્મો અનુસાર,જો વર્તુળના બે ચાપ એકરૂપ હોય,તો તેમની અનુરૂપ જીવાઓ સમાન હોય છે.
તેથી,જીવા $AB =$ જીવા $CD$.
આમ,જીવાઓની લંબાઈનો ગુણોત્તર $AB:CD = 1:1$ થાય છે.
વર્તુળના ગુણધર્મો અનુસાર,જો વર્તુળના બે ચાપ એકરૂપ હોય,તો તેમની અનુરૂપ જીવાઓ સમાન હોય છે.
તેથી,જીવા $AB =$ જીવા $CD$.
આમ,જીવાઓની લંબાઈનો ગુણોત્તર $AB:CD = 1:1$ થાય છે.
0 likes
View Solution19
Difficult
$A, B$ અને $C$ એ વર્તુળ પરના ત્રણ બિંદુઓ છે. સાબિત કરો કે $AB, BC$ અને $CA$ ના લંબદ્વિભાજકો સંગામી છે.
Solution
(N/A) આપેલ છે: ત્રણ અસમરેખ બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ એક વર્તુળ પર આવેલા છે.
સાબિત કરવાનું છે: $AB, BC$ અને $CA$ ના લંબદ્વિભાજકો સંગામી છે.
રચના: $AB, BC$ અને $CA$ ને જોડો. $AB$ નો લંબદ્વિભાજક $ST$,$BC$ નો લંબદ્વિભાજક $PM$ અને $CA$ નો લંબદ્વિભાજક $QR$ દોરો. બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ અસમરેખ હોવાથી,રેખાઓ $ST, PM$ અને $QR$ સમાંતર નથી અને તે કોઈ બિંદુ $O$ પર છેદશે.
સાબિતી:
$1$. બિંદુ $O$ એ $ST$ પર આવેલું છે,જે $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે,તેથી $OA = OB$ (રેખાખંડના લંબદ્વિભાજક પરનું કોઈપણ બિંદુ તેના અંત્યબિંદુઓથી સમાન અંતરે હોય છે) ... $(1)$
$2$. તેવી જ રીતે,$O$ એ $PM$ પર આવેલું છે,જે $BC$ નો લંબદ્વિભાજક છે,તેથી $OB = OC$ ... $(2)$
$3$. વળી,$O$ એ $QR$ પર આવેલું છે,જે $CA$ નો લંબદ્વિભાજક છે,તેથી $OC = OA$ ... $(3)$
$(1)$,$(2)$ અને $(3)$ પરથી,આપણને $OA = OB = OC = r$ મળે છે (જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે).
આ સૂચવે છે કે $O$ એ $A, B$ અને $C$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. ત્રિકોણની બાજુઓના લંબદ્વિભાજકો એક અનન્ય બિંદુ (પરિકેન્દ્ર) પર છેદતા હોવાથી,$AB, BC$ અને $CA$ ના લંબદ્વિભાજકો બિંદુ $O$ પર સંગામી હોવા જોઈએ.
સાબિત કરવાનું છે: $AB, BC$ અને $CA$ ના લંબદ્વિભાજકો સંગામી છે.
રચના: $AB, BC$ અને $CA$ ને જોડો. $AB$ નો લંબદ્વિભાજક $ST$,$BC$ નો લંબદ્વિભાજક $PM$ અને $CA$ નો લંબદ્વિભાજક $QR$ દોરો. બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ અસમરેખ હોવાથી,રેખાઓ $ST, PM$ અને $QR$ સમાંતર નથી અને તે કોઈ બિંદુ $O$ પર છેદશે.
સાબિતી:
$1$. બિંદુ $O$ એ $ST$ પર આવેલું છે,જે $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે,તેથી $OA = OB$ (રેખાખંડના લંબદ્વિભાજક પરનું કોઈપણ બિંદુ તેના અંત્યબિંદુઓથી સમાન અંતરે હોય છે) ... $(1)$
$2$. તેવી જ રીતે,$O$ એ $PM$ પર આવેલું છે,જે $BC$ નો લંબદ્વિભાજક છે,તેથી $OB = OC$ ... $(2)$
$3$. વળી,$O$ એ $QR$ પર આવેલું છે,જે $CA$ નો લંબદ્વિભાજક છે,તેથી $OC = OA$ ... $(3)$
$(1)$,$(2)$ અને $(3)$ પરથી,આપણને $OA = OB = OC = r$ મળે છે (જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે).
આ સૂચવે છે કે $O$ એ $A, B$ અને $C$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. ત્રિકોણની બાજુઓના લંબદ્વિભાજકો એક અનન્ય બિંદુ (પરિકેન્દ્ર) પર છેદતા હોવાથી,$AB, BC$ અને $CA$ ના લંબદ્વિભાજકો બિંદુ $O$ પર સંગામી હોવા જોઈએ.
0 likes
View Solution20
Difficult
$AB$ અને $AC$ એ વર્તુળની બે સમાન જીવાઓ છે. સાબિત કરો કે ખૂણા $BAC$ નો દ્વિભાજક વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
Solution
(N/A) સાબિત કરવાનું છે: $\angle BAC$ નો દ્વિભાજક $AM$ એ કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થાય છે.
રચના: $BC$ ને જોડો. ધારો કે દ્વિભાજક $AM$ એ $BC$ ને $P$ માં છેદે છે.
સાબિતી: $\Delta BAP$ અને $\Delta CAP$ માં:
$AB = AC$ (આપેલ છે,કારણ કે જીવાઓ સમાન છે)
$\angle BAP = \angle CAP$ (આપેલ છે,કારણ કે $AM$ દ્વિભાજક છે)
$AP = AP$ (સામાન્ય બાજુ)
તેથી,$\Delta BAP \cong \Delta CAP$ ($SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ).
આમ,$BP = CP$ અને $\angle BPA = \angle CPA$ ($CPCT$ દ્વારા).
કારણ કે $\angle BPA + \angle CPA = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા),
$\angle BPA = \angle CPA = 90^{\circ}$.
આનો અર્થ એ છે કે $AP$ એ જીવા $BC$ નો લંબદ્વિભાજક છે. આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળની કોઈપણ જીવાનો લંબદ્વિભાજક હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. તેથી,$\angle BAC$ નો દ્વિભાજક કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થાય છે.
રચના: $BC$ ને જોડો. ધારો કે દ્વિભાજક $AM$ એ $BC$ ને $P$ માં છેદે છે.
સાબિતી: $\Delta BAP$ અને $\Delta CAP$ માં:
$AB = AC$ (આપેલ છે,કારણ કે જીવાઓ સમાન છે)
$\angle BAP = \angle CAP$ (આપેલ છે,કારણ કે $AM$ દ્વિભાજક છે)
$AP = AP$ (સામાન્ય બાજુ)
તેથી,$\Delta BAP \cong \Delta CAP$ ($SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ).
આમ,$BP = CP$ અને $\angle BPA = \angle CPA$ ($CPCT$ દ્વારા).
કારણ કે $\angle BPA + \angle CPA = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા),
$\angle BPA = \angle CPA = 90^{\circ}$.
આનો અર્થ એ છે કે $AP$ એ જીવા $BC$ નો લંબદ્વિભાજક છે. આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળની કોઈપણ જીવાનો લંબદ્વિભાજક હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. તેથી,$\angle BAC$ નો દ્વિભાજક કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થાય છે.
0 likes
View Solution21
Difficult
$ABCD$ એક એવો ચતુષ્કોણ છે કે જેમાં $A$ એ $B, C$ અને $D$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. સાબિત કરો કે $\angle CBD + \angle CDB = \frac{1}{2} \angle BAD$.
Solution
(N/A) $ABCD$ એક એવો ચતુષ્કોણ છે કે જેમાં $A$ એ $B, C$ અને $D$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $\angle CBD + \angle CDB = \frac{1}{2} \angle BAD$.
$AC$ ને જોડો.
વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈ પણ બિંદુ આગળ આંતરેલા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે.
તેથી,$\angle CAD = 2 \angle CBD$ $....(1)$
અને $\angle BAC = 2 \angle CDB$ $....(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$\angle CAD + \angle BAC = 2(\angle CBD + \angle CDB)$
$\Rightarrow \angle BAD = 2(\angle CBD + \angle CDB)$
આમ,$\angle CBD + \angle CDB = \frac{1}{2} \angle BAD$.
$AC$ ને જોડો.
વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈ પણ બિંદુ આગળ આંતરેલા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે.
તેથી,$\angle CAD = 2 \angle CBD$ $....(1)$
અને $\angle BAC = 2 \angle CDB$ $....(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$\angle CAD + \angle BAC = 2(\angle CBD + \angle CDB)$
$\Rightarrow \angle BAD = 2(\angle CBD + \angle CDB)$
આમ,$\angle CBD + \angle CDB = \frac{1}{2} \angle BAD$.
0 likes
View Solution22
Difficult
$O$ એ ત્રિકોણ $ABC$ નું પરિકેન્દ્ર છે અને $D$ એ પાયા $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. સાબિત કરો કે $\angle BOD = \angle A$.
Solution
(N/A) આપેલ છે: $O$ એ $\Delta ABC$ નું પરિકેન્દ્ર છે અને $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $OD \perp BC$.
સાબિત કરવાનું છે: $\angle BOD = \angle A$.
રચના: $OB$ અને $OC$ ને જોડો.
સાબિતી: $\Delta OBD$ અને $\Delta OCD$ માં,
$OB = OC$ (એક જ પરિવર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$OD = OD$ (સામાન્ય બાજુ)
$BD = CD$ ($D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે)
તેથી,$SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta OBD \cong \Delta OCD$.
આથી,$\angle BOD = \angle COD$ ($CPCT$ દ્વારા).
તેથી,$\angle BOC = \angle BOD + \angle COD = 2\angle BOD$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ આંતરેલા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે.
તેથી,$\angle BOC = 2\angle BAC = 2\angle A$.
$\angle BOC$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$2\angle BOD = 2\angle A$
$\angle BOD = \angle A$.
આમ,સાબિત થાય છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\angle BOD = \angle A$.
રચના: $OB$ અને $OC$ ને જોડો.
સાબિતી: $\Delta OBD$ અને $\Delta OCD$ માં,
$OB = OC$ (એક જ પરિવર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$OD = OD$ (સામાન્ય બાજુ)
$BD = CD$ ($D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે)
તેથી,$SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta OBD \cong \Delta OCD$.
આથી,$\angle BOD = \angle COD$ ($CPCT$ દ્વારા).
તેથી,$\angle BOC = \angle BOD + \angle COD = 2\angle BOD$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ આંતરેલા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે.
તેથી,$\angle BOC = 2\angle BAC = 2\angle A$.
$\angle BOC$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$2\angle BOD = 2\angle A$
$\angle BOD = \angle A$.
આમ,સાબિત થાય છે.
0 likes
View Solution23
Medium
એક વર્તુળની બે જીવાઓ $AB$ અને $AC$ કેન્દ્ર આગળ અનુક્રમે $90^{\circ}$ અને $150^{\circ}$ ના ખૂણા આંતરે છે. જો $AB$ અને $AC$ કેન્દ્રની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર હોય,તો $\angle BAC$ શોધો.
Solution
$(120^{\circ})$ આપેલ છે કે જીવાઓ $AB$ અને $AC$ કેન્દ્ર $O$ આગળ $\angle AOB = 150^{\circ}$ અને $\angle AOC = 90^{\circ}$ ના ખૂણા આંતરે છે.
જેহেতু $AB$ અને $AC$ કેન્દ્રની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર છે,તેથી જીવા $BC$ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો $\angle BOC = \angle AOB + \angle AOC = 150^{\circ} + 90^{\circ} = 240^{\circ}$ થાય.
જીવા $BC$ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પર આંતરેલો ખૂણો $\angle BAC$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ આંતરેલા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે.
તેથી,પ્રતિબિંબ ખૂણો $\angle BOC = 2 \angle BAC$.
$240^{\circ} = 2 \angle BAC$.
$\angle BAC = \frac{240^{\circ}}{2} = 120^{\circ}$.
જેহেতু $AB$ અને $AC$ કેન્દ્રની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર છે,તેથી જીવા $BC$ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો $\angle BOC = \angle AOB + \angle AOC = 150^{\circ} + 90^{\circ} = 240^{\circ}$ થાય.
જીવા $BC$ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પર આંતરેલો ખૂણો $\angle BAC$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ આંતરેલા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે.
તેથી,પ્રતિબિંબ ખૂણો $\angle BOC = 2 \angle BAC$.
$240^{\circ} = 2 \angle BAC$.
$\angle BAC = \frac{240^{\circ}}{2} = 120^{\circ}$.
0 likes
View Solution24
Difficult
ત્રિકોણ $ABC$ નું પરિકેન્દ્ર $O$ છે. સાબિત કરો કે $\angle OBC + \angle BAC = 90^{\circ}$.
Solution
(N/A) $ABC$ એક ત્રિકોણ છે અને $O$ પરિકેન્દ્ર છે.
$OD \perp BC$ દોરો. $OB$ અને $OC$ ને જોડો.
કાટકોણ $\Delta OBD$ અને કાટકોણ $\Delta OCD$ માં,આપણી પાસે છે:
કર્ણ $OB =$ કર્ણ $OC$ [એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ]
$OD = OD$ [સામાન્ય બાજુ]
$\therefore \Delta OBD \cong \Delta OCD$ [$RHS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ]
$\therefore \angle 1 = \angle 2$ અને $\angle 3 = \angle 4$ [$CPCT$]
હવે,$\angle BOC = 2 \angle BAC$ [કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો પરિઘ આગળના ખૂણા કરતા બમણો હોય છે]
વળી,$\Delta OBC$ માં,$OB = OC$,તેથી $\angle 3 = \angle 4$.
$\Delta OBD$ માં,$\angle 3 + \angle 1 + 90^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \angle 3 + \angle 1 = 90^{\circ}$.
$\angle BOC = 2 \angle 1 + 2 \angle 2$ અને $\angle BOC = 2 \angle BAC$ હોવાથી,આપણને $\angle 1 + \angle 2 = \angle BAC$ મળે છે.
$\angle 1 = \angle 2$ હોવાથી,$2 \angle 1 = \angle BAC$,અથવા $\angle 1 = \frac{1}{2} \angle BAC$.
આ કિંમત $\angle 3 + \angle 1 = 90^{\circ}$ માં મૂકતા,આપણને $\angle OBC + \angle BAC = 90^{\circ}$ મળે છે (જ્યાં $\angle OBC = \angle 3$).
આમ,સાબિત થાય છે.
$OD \perp BC$ દોરો. $OB$ અને $OC$ ને જોડો.
કાટકોણ $\Delta OBD$ અને કાટકોણ $\Delta OCD$ માં,આપણી પાસે છે:
કર્ણ $OB =$ કર્ણ $OC$ [એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ]
$OD = OD$ [સામાન્ય બાજુ]
$\therefore \Delta OBD \cong \Delta OCD$ [$RHS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ]
$\therefore \angle 1 = \angle 2$ અને $\angle 3 = \angle 4$ [$CPCT$]
હવે,$\angle BOC = 2 \angle BAC$ [કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો પરિઘ આગળના ખૂણા કરતા બમણો હોય છે]
વળી,$\Delta OBC$ માં,$OB = OC$,તેથી $\angle 3 = \angle 4$.
$\Delta OBD$ માં,$\angle 3 + \angle 1 + 90^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \angle 3 + \angle 1 = 90^{\circ}$.
$\angle BOC = 2 \angle 1 + 2 \angle 2$ અને $\angle BOC = 2 \angle BAC$ હોવાથી,આપણને $\angle 1 + \angle 2 = \angle BAC$ મળે છે.
$\angle 1 = \angle 2$ હોવાથી,$2 \angle 1 = \angle BAC$,અથવા $\angle 1 = \frac{1}{2} \angle BAC$.
આ કિંમત $\angle 3 + \angle 1 = 90^{\circ}$ માં મૂકતા,આપણને $\angle OBC + \angle BAC = 90^{\circ}$ મળે છે (જ્યાં $\angle OBC = \angle 3$).
આમ,સાબિત થાય છે.
0 likes
View Solution25
Difficult
આકૃતિમાં,$AOB$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે અને $C, D, E$ એ અર્ધવર્તુળ પરના કોઈપણ ત્રણ બિંદુઓ છે. $\angle ACD + \angle BED$ નું મૂલ્ય શોધો.
Solution
$(270^{\circ})$ $BC$ ને જોડો.
અર્ધવર્તુળમાં બનતો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\angle ACB = 90^{\circ}$.
$ACDEB$ એ ચક્રીય ચતુષ્કોણ હોવાથી (બધા શિરોબિંદુઓ વર્તુળ પર આવેલા છે),સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle BCD + \angle BED = 180^{\circ}$.
હવે,બંને બાજુ $\angle ACB$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે:
$(\angle BCD + \angle ACB) + \angle BED = 180^{\circ} + \angle ACB$
કારણ કે $\angle BCD + \angle ACB = \angle ACD$,તેથી:
$\angle ACD + \angle BED = 180^{\circ} + 90^{\circ} = 270^{\circ}$.
અર્ધવર્તુળમાં બનતો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\angle ACB = 90^{\circ}$.
$ACDEB$ એ ચક્રીય ચતુષ્કોણ હોવાથી (બધા શિરોબિંદુઓ વર્તુળ પર આવેલા છે),સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle BCD + \angle BED = 180^{\circ}$.
હવે,બંને બાજુ $\angle ACB$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે:
$(\angle BCD + \angle ACB) + \angle BED = 180^{\circ} + \angle ACB$
કારણ કે $\angle BCD + \angle ACB = \angle ACD$,તેથી:
$\angle ACD + \angle BED = 180^{\circ} + 90^{\circ} = 270^{\circ}$.
0 likes
View Solution26
Difficult
આકૃતિમાં,$\angle OAB = 30^{\circ}$ અને $\angle OCB = 57^{\circ}$ છે. $\angle BOC$ અને $\angle AOC$ શોધો.
Solution
(N/A) $\Delta OBC$ માં,આપણી પાસે છે:
$OB = OC$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
તેથી,$\angle OCB = \angle OBC = 57^{\circ}$ (કારણ કે $\angle OCB = 57^{\circ}$ આપેલ છે,અને સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા સમાન હોય છે).
હવે,$\Delta BOC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે:
$\angle OCB + \angle OBC + \angle BOC = 180^{\circ}$
$57^{\circ} + 57^{\circ} + \angle BOC = 180^{\circ}$
$114^{\circ} + \angle BOC = 180^{\circ}$
$\angle BOC = 180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ}$.
$\Delta OAB$ માં,આપણી પાસે છે:
$OA = OB$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
તેથી,$\angle OBA = \angle OAB = 30^{\circ}$.
$\Delta OAB$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે:
$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^{\circ}$
$30^{\circ} + 30^{\circ} + \angle AOB = 180^{\circ}$
$\angle AOB = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
કારણ કે $\angle AOB = \angle AOC + \angle BOC$,તેથી:
$120^{\circ} = \angle AOC + 66^{\circ}$
$\angle AOC = 120^{\circ} - 66^{\circ} = 54^{\circ}$.
આમ,$\angle BOC = 66^{\circ}$ અને $\angle AOC = 54^{\circ}$ છે.
$OB = OC$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
તેથી,$\angle OCB = \angle OBC = 57^{\circ}$ (કારણ કે $\angle OCB = 57^{\circ}$ આપેલ છે,અને સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા સમાન હોય છે).
હવે,$\Delta BOC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે:
$\angle OCB + \angle OBC + \angle BOC = 180^{\circ}$
$57^{\circ} + 57^{\circ} + \angle BOC = 180^{\circ}$
$114^{\circ} + \angle BOC = 180^{\circ}$
$\angle BOC = 180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ}$.
$\Delta OAB$ માં,આપણી પાસે છે:
$OA = OB$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
તેથી,$\angle OBA = \angle OAB = 30^{\circ}$.
$\Delta OAB$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે:
$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^{\circ}$
$30^{\circ} + 30^{\circ} + \angle AOB = 180^{\circ}$
$\angle AOB = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
કારણ કે $\angle AOB = \angle AOC + \angle BOC$,તેથી:
$120^{\circ} = \angle AOC + 66^{\circ}$
$\angle AOC = 120^{\circ} - 66^{\circ} = 54^{\circ}$.
આમ,$\angle BOC = 66^{\circ}$ અને $\angle AOC = 54^{\circ}$ છે.
0 likes
View Solution27
Easy
સાબિત કરો કે બે વર્તુળો બેથી વધુ બિંદુઓમાં છેદી શકે નહીં.
Solution
(N/A) ધારો કે બે વર્તુળો ત્રણ ભિન્ન બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ માં છેદે છે.
આમ $A$,$B$ અને $C$ એ ત્રણ અસમરેખ બિંદુઓ છે.
ભૂમિતિના પ્રમેય મુજબ,ત્રણ અસમરેખ બિંદુઓમાંથી પસાર થતું એક અને માત્ર એક જ વર્તુળ હોય છે.
તેથી,જો બે વર્તુળો સમાન ત્રણ બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ માંથી પસાર થતા હોય,તો તે બંને વર્તુળો એક જ હોવા જોઈએ.
આ ધારણાનો વિરોધાભાસ કરે છે કે બે ભિન્ન વર્તુળો છે.
આથી,બે વર્તુળો બેથી વધુ બિંદુઓમાં છેદી શકે નહીં.
આમ $A$,$B$ અને $C$ એ ત્રણ અસમરેખ બિંદુઓ છે.
ભૂમિતિના પ્રમેય મુજબ,ત્રણ અસમરેખ બિંદુઓમાંથી પસાર થતું એક અને માત્ર એક જ વર્તુળ હોય છે.
તેથી,જો બે વર્તુળો સમાન ત્રણ બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ માંથી પસાર થતા હોય,તો તે બંને વર્તુળો એક જ હોવા જોઈએ.
આ ધારણાનો વિરોધાભાસ કરે છે કે બે ભિન્ન વર્તુળો છે.
આથી,બે વર્તુળો બેથી વધુ બિંદુઓમાં છેદી શકે નહીં.
0 likes
View Solution28
Difficult
સાબિત કરો કે ત્રિકોણના કોઈપણ ખૂણાનો દ્વિભાજક અને તેની સામેની બાજુનો લંબદ્વિભાજક જો એકબીજાને છેદે,તો તેઓ ત્રિકોણના પરિવર્તુળ પર છેદશે.
Solution
(N/A) આપેલ છે: એક $\Delta ABC$ અને રેખા $l$ જે $BC$ નો લંબદ્વિભાજક છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\angle A$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક અને $BC$ નો લંબદ્વિભાજક $\Delta ABC$ ના પરિવર્તુળ પર છેદે છે.
સાબિતી: ધારો કે $\angle A$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક $\Delta ABC$ ના પરિવર્તુળને બિંદુ $P$ પર છેદે છે. $BP$ અને $CP$ ને જોડો.
એક જ વૃત્તખંડના ખૂણાઓ સમાન હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\angle BAP = \angle BCP$
$AP$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\angle BAP = \angle PAC = \frac{1}{2} \angle A$
તેથી,$\angle BCP = \frac{1}{2} \angle A$ $...(1)$
તે જ રીતે,સમાન વૃત્તખંડમાં,$\angle PAC = \angle PBC$.
$\angle PAC = \frac{1}{2} \angle A$ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\angle PBC = \frac{1}{2} \angle A$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\angle BCP = \angle PBC$
$\Delta PBC$ માં,પાયાના ખૂણા સમાન હોવાથી,તેમની સામેની બાજુઓ સમાન હોય છે:
$BP = CP$
$P$ એ $B$ અને $C$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$P$ એ $BC$ ના લંબદ્વિભાજક પર હોવું જોઈએ.
આમ,$\angle A$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક અને $BC$ નો લંબદ્વિભાજક $\Delta ABC$ ના પરિવર્તુળ પર છેદે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\angle A$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક અને $BC$ નો લંબદ્વિભાજક $\Delta ABC$ ના પરિવર્તુળ પર છેદે છે.
સાબિતી: ધારો કે $\angle A$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક $\Delta ABC$ ના પરિવર્તુળને બિંદુ $P$ પર છેદે છે. $BP$ અને $CP$ ને જોડો.
એક જ વૃત્તખંડના ખૂણાઓ સમાન હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\angle BAP = \angle BCP$
$AP$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\angle BAP = \angle PAC = \frac{1}{2} \angle A$
તેથી,$\angle BCP = \frac{1}{2} \angle A$ $...(1)$
તે જ રીતે,સમાન વૃત્તખંડમાં,$\angle PAC = \angle PBC$.
$\angle PAC = \frac{1}{2} \angle A$ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\angle PBC = \frac{1}{2} \angle A$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\angle BCP = \angle PBC$
$\Delta PBC$ માં,પાયાના ખૂણા સમાન હોવાથી,તેમની સામેની બાજુઓ સમાન હોય છે:
$BP = CP$
$P$ એ $B$ અને $C$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$P$ એ $BC$ ના લંબદ્વિભાજક પર હોવું જોઈએ.
આમ,$\angle A$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક અને $BC$ નો લંબદ્વિભાજક $\Delta ABC$ ના પરિવર્તુળ પર છેદે છે.
0 likes
View Solution29
Difficult
જો વર્તુળની બે જીવાઓ $AB$ અને $CD$ કાટખૂણે છેદે (આકૃતિ જુઓ),તો સાબિત કરો કે $\text{ચાપ } CXA + \text{ચાપ } DZB = \text{ચાપ } AYD + \text{ચાપ } BWC = \text{અર્ધવર્તુળ}$.
Solution
(A) સાબિત કરવાનું છે: $\text{ચાપ } CXA + \text{ચાપ } DZB = \text{ચાપ } AYD + \text{ચાપ } BWC = \text{અર્ધવર્તુળ}$.
રચના: $AC, AD, BD$ અને $BC$ ને જોડો.
સાબિતી: ધારો કે જીવાઓ $AB$ અને $CD$ બિંદુ $O$ પર કાટખૂણે છેદે છે. તેથી,$\angle AOC = \angle COB = \angle BOD = \angle DOA = 90^{\circ}$.
વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ ચાપ દ્વારા આંતરાયેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ આંતરાયેલા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે. ચાપના માપને તેમના અનુરૂપ કેન્દ્રના ખૂણાઓ દ્વારા દર્શાવીએ.
$\triangle AOC$ માં,$\angle OAC + \angle OCA = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
વર્તુળના પરિઘ પર ચાપ દ્વારા આંતરાયેલો ખૂણો કેન્દ્રના ખૂણા કરતાં અડધો હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\text{ચાપ } CXA = 2 \angle CBA$ અને $\text{ચાપ } DZB = 2 \angle BCD$.
$\triangle OBC$ માં,$\angle OBC + \angle OCB = 90^{\circ}$.
તેથી,$\frac{1}{2} (\text{ચાપ } CXA) + \frac{1}{2} (\text{ચાપ } DZB) = \angle CBA + \angle BCD = 90^{\circ}$.
આમ,$\text{ચાપ } CXA + \text{ચાપ } DZB = 180^{\circ}$,જે અર્ધવર્તુળ છે.
તે જ રીતે,બીજી જોડી માટે,$\text{ચાપ } AYD + \text{ચાપ } BWC = 180^{\circ}$,જે પણ અર્ધવર્તુળ છે.
તેથી,$\text{ચાપ } CXA + \text{ચાપ } DZB = \text{ચાપ } AYD + \text{ચાપ } BWC = \text{અર્ધવર્તુળ}$.
રચના: $AC, AD, BD$ અને $BC$ ને જોડો.
સાબિતી: ધારો કે જીવાઓ $AB$ અને $CD$ બિંદુ $O$ પર કાટખૂણે છેદે છે. તેથી,$\angle AOC = \angle COB = \angle BOD = \angle DOA = 90^{\circ}$.
વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ ચાપ દ્વારા આંતરાયેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ આંતરાયેલા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે. ચાપના માપને તેમના અનુરૂપ કેન્દ્રના ખૂણાઓ દ્વારા દર્શાવીએ.
$\triangle AOC$ માં,$\angle OAC + \angle OCA = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
વર્તુળના પરિઘ પર ચાપ દ્વારા આંતરાયેલો ખૂણો કેન્દ્રના ખૂણા કરતાં અડધો હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\text{ચાપ } CXA = 2 \angle CBA$ અને $\text{ચાપ } DZB = 2 \angle BCD$.
$\triangle OBC$ માં,$\angle OBC + \angle OCB = 90^{\circ}$.
તેથી,$\frac{1}{2} (\text{ચાપ } CXA) + \frac{1}{2} (\text{ચાપ } DZB) = \angle CBA + \angle BCD = 90^{\circ}$.
આમ,$\text{ચાપ } CXA + \text{ચાપ } DZB = 180^{\circ}$,જે અર્ધવર્તુળ છે.
તે જ રીતે,બીજી જોડી માટે,$\text{ચાપ } AYD + \text{ચાપ } BWC = 180^{\circ}$,જે પણ અર્ધવર્તુળ છે.
તેથી,$\text{ચાપ } CXA + \text{ચાપ } DZB = \text{ચાપ } AYD + \text{ચાપ } BWC = \text{અર્ધવર્તુળ}$.
0 likes
View Solution30
Medium
જો $ABC$ એક વર્તુળમાં અંતર્ગત સમબાજુ ત્રિકોણ હોય અને $P$ એ લઘુચાપ $BC$ પરનું કોઈ પણ બિંદુ હોય જે $B$ અથવા $C$ સાથે સંપાતી ન હોય,તો સાબિત કરો કે $PA$ એ $\angle BPC$ નો દ્વિભાજક છે.
Solution
(N/A) વર્તુળની સમાન જીવાઓ કેન્દ્ર આગળ સમાન ખૂણા આંતરે છે,તેથી:
જીવા $AB = $ જીવા $AC$ (આપેલ છે,કારણ કે $ABC$ સમબાજુ ત્રિકોણ છે).
તેથી,$\angle AOB = \angle AOC$ $...(1)$
વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈ પણ બિંદુ આગળ આંતરેલા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે:
$\angle APC = \frac{1}{2} \angle AOC$ $...(2)$
$\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB$ $...(3)$
$(1)$,$(2)$ અને $(3)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\angle APC = \angle APB$
આમ,$PA$ એ $\angle BPC$ નો દ્વિભાજક છે.
જીવા $AB = $ જીવા $AC$ (આપેલ છે,કારણ કે $ABC$ સમબાજુ ત્રિકોણ છે).
તેથી,$\angle AOB = \angle AOC$ $...(1)$
વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈ પણ બિંદુ આગળ આંતરેલા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે:
$\angle APC = \frac{1}{2} \angle AOC$ $...(2)$
$\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB$ $...(3)$
$(1)$,$(2)$ અને $(3)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\angle APC = \angle APB$
આમ,$PA$ એ $\angle BPC$ નો દ્વિભાજક છે.
0 likes
View Solution31
Difficult
આકૃતિમાં,$AB$ અને $CD$ એ વર્તુળની બે જીવાઓ છે જે એકબીજાને બિંદુ $E$ પર છેદે છે. સાબિત કરો કે $\angle AEC = \frac{1}{2}$ (ચાપ $CXA$ દ્વારા કેન્દ્ર પર આંતરાયેલો ખૂણો $+$ ચાપ $DYB$ દ્વારા કેન્દ્ર પર આંતરાયેલો ખૂણો).
Solution
(N/A) આપેલ છે: $AB$ અને $CD$ એ કેન્દ્ર $O$ વાળા વર્તુળની બે જીવાઓ છે,જે બિંદુ $E$ પર છેદે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\angle AEC = \frac{1}{2} (\angle AOC + \angle BOD)$.
રચના: $AC, BC, BD$ અને $AD$ ને જોડો.
સાબિતી:
$1$. આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર પર આંતરાયેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુએ આંતરાયેલા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે.
$2$. ચાપ $CXA$ એ કેન્દ્ર પર $\angle AOC$ અને વર્તુળના બાકીના ભાગ પર $\angle ABC$ આંતરે છે. તેથી,$\angle AOC = 2 \angle ABC$ $....(1)$
$3$. તેવી જ રીતે,ચાપ $DYB$ એ કેન્દ્ર પર $\angle BOD$ અને વર્તુળના બાકીના ભાગ પર $\angle BCD$ આંતરે છે. તેથી,$\angle BOD = 2 \angle BCD$ $....(2)$
$4$. $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે: $\angle AOC + \angle BOD = 2(\angle ABC + \angle BCD)$ $....(3)$
$5$. $\Delta CEB$ માં,$\angle AEC$ એ બહિષ્કોણ છે. બહિષ્કોણના ગુણધર્મ મુજબ,ત્રિકોણનો બહિષ્કોણ તેના બે અંતઃસન્મુખ ખૂણાઓના સરવાળા જેટલો હોય છે.
$6$. તેથી,$\angle AEC = \angle ABC + \angle BCD$ $....(4)$
$7$. $(3)$ અને $(4)$ પરથી,આપણને મળે: $\angle AOC + \angle BOD = 2 \angle AEC$.
$8$. આમ,$\angle AEC = \frac{1}{2} (\angle AOC + \angle BOD)$.
આમ,$\angle AEC = \frac{1}{2}$ (ચાપ $CXA$ દ્વારા કેન્દ્ર પર આંતરાયેલો ખૂણો $+$ ચાપ $DYB$ દ્વારા કેન્દ્ર પર આંતરાયેલો ખૂણો).
સાબિત કરવાનું છે: $\angle AEC = \frac{1}{2} (\angle AOC + \angle BOD)$.
રચના: $AC, BC, BD$ અને $AD$ ને જોડો.
સાબિતી:
$1$. આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર પર આંતરાયેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુએ આંતરાયેલા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે.
$2$. ચાપ $CXA$ એ કેન્દ્ર પર $\angle AOC$ અને વર્તુળના બાકીના ભાગ પર $\angle ABC$ આંતરે છે. તેથી,$\angle AOC = 2 \angle ABC$ $....(1)$
$3$. તેવી જ રીતે,ચાપ $DYB$ એ કેન્દ્ર પર $\angle BOD$ અને વર્તુળના બાકીના ભાગ પર $\angle BCD$ આંતરે છે. તેથી,$\angle BOD = 2 \angle BCD$ $....(2)$
$4$. $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે: $\angle AOC + \angle BOD = 2(\angle ABC + \angle BCD)$ $....(3)$
$5$. $\Delta CEB$ માં,$\angle AEC$ એ બહિષ્કોણ છે. બહિષ્કોણના ગુણધર્મ મુજબ,ત્રિકોણનો બહિષ્કોણ તેના બે અંતઃસન્મુખ ખૂણાઓના સરવાળા જેટલો હોય છે.
$6$. તેથી,$\angle AEC = \angle ABC + \angle BCD$ $....(4)$
$7$. $(3)$ અને $(4)$ પરથી,આપણને મળે: $\angle AOC + \angle BOD = 2 \angle AEC$.
$8$. આમ,$\angle AEC = \frac{1}{2} (\angle AOC + \angle BOD)$.
આમ,$\angle AEC = \frac{1}{2}$ (ચાપ $CXA$ દ્વારા કેન્દ્ર પર આંતરાયેલો ખૂણો $+$ ચાપ $DYB$ દ્વારા કેન્દ્ર પર આંતરાયેલો ખૂણો).
0 likes
View Solution32
Difficult
$AB$ અને $AC$ એ $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળની બે જીવાઓ છે,જેથી $AB = 2 AC$ થાય. જો $p$ અને $q$ એ કેન્દ્રથી $AB$ અને $AC$ ના અંતર હોય,તો સાબિત કરો કે $4 q^{2} = p^{2} + 3 r^{2}$.
Solution
(N/A) ધારો કે $O$ કેન્દ્ર અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતું એક વર્તુળ છે. $AB$ અને $AC$ બે જીવાઓ છે જેથી $AB = 2 AC$ થાય.
ધારો કે $OL \perp AB$ અને $OM \perp AC$. આપેલ છે કે $OL = p$ અને $OM = q$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે.
કાટકોણ $\Delta AOL$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$r^{2} = AL^{2} + p^{2} \Rightarrow AL^{2} = r^{2} - p^{2}$.
$L$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AL = \frac{1}{2} AB$.
તેથી,$(\frac{1}{2} AB)^{2} = r^{2} - p^{2} \Rightarrow \frac{1}{4} AB^{2} = r^{2} - p^{2} \Rightarrow AB^{2} = 4(r^{2} - p^{2})$.
$AB = 2 AC$ હોવાથી,$(2 AC)^{2} = 4(r^{2} - p^{2}) \Rightarrow 4 AC^{2} = 4(r^{2} - p^{2}) \Rightarrow AC^{2} = r^{2} - p^{2} \quad \dots(1)$.
કાટકોણ $\Delta AOM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$r^{2} = AM^{2} + q^{2} \Rightarrow AM^{2} = r^{2} - q^{2}$.
$M$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AM = \frac{1}{2} AC$.
તેથી,$(\frac{1}{2} AC)^{2} = r^{2} - q^{2} \Rightarrow \frac{1}{4} AC^{2} = r^{2} - q^{2} \Rightarrow AC^{2} = 4(r^{2} - q^{2}) \quad \dots(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$r^{2} - p^{2} = 4(r^{2} - q^{2})$
$r^{2} - p^{2} = 4r^{2} - 4q^{2}$
$4q^{2} = 4r^{2} - r^{2} + p^{2}$
$4q^{2} = 3r^{2} + p^{2}$.
આમ,$4q^{2} = p^{2} + 3r^{2}$ સાબિત થાય છે.
ધારો કે $OL \perp AB$ અને $OM \perp AC$. આપેલ છે કે $OL = p$ અને $OM = q$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે.
કાટકોણ $\Delta AOL$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$r^{2} = AL^{2} + p^{2} \Rightarrow AL^{2} = r^{2} - p^{2}$.
$L$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AL = \frac{1}{2} AB$.
તેથી,$(\frac{1}{2} AB)^{2} = r^{2} - p^{2} \Rightarrow \frac{1}{4} AB^{2} = r^{2} - p^{2} \Rightarrow AB^{2} = 4(r^{2} - p^{2})$.
$AB = 2 AC$ હોવાથી,$(2 AC)^{2} = 4(r^{2} - p^{2}) \Rightarrow 4 AC^{2} = 4(r^{2} - p^{2}) \Rightarrow AC^{2} = r^{2} - p^{2} \quad \dots(1)$.
કાટકોણ $\Delta AOM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$r^{2} = AM^{2} + q^{2} \Rightarrow AM^{2} = r^{2} - q^{2}$.
$M$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AM = \frac{1}{2} AC$.
તેથી,$(\frac{1}{2} AC)^{2} = r^{2} - q^{2} \Rightarrow \frac{1}{4} AC^{2} = r^{2} - q^{2} \Rightarrow AC^{2} = 4(r^{2} - q^{2}) \quad \dots(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$r^{2} - p^{2} = 4(r^{2} - q^{2})$
$r^{2} - p^{2} = 4r^{2} - 4q^{2}$
$4q^{2} = 4r^{2} - r^{2} + p^{2}$
$4q^{2} = 3r^{2} + p^{2}$.
આમ,$4q^{2} = p^{2} + 3r^{2}$ સાબિત થાય છે.
0 likes
View Solution33
Difficult
આકૃતિમાં,$O$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને $\angle BCO = 30^{\circ}$ છે. $x$ અને $y$ શોધો.
Solution
(N/A) $O$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને $\angle BCO = 30^{\circ}$ છે. આપણે $x$ અને $y$ ની કિંમતો શોધવાની છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta OPC$ માં,આપણી પાસે છે:
$\angle POC = 180^{\circ} - (\angle OPC + \angle PCO)$
$\Rightarrow \angle POC = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\angle AOD = 90^{\circ}$,અને $AD$ એક સીધી રેખા હોવાથી,$\angle AOD + \angle DOP = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા).
$\angle DOP = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
હવે,$\angle COD = \angle DOP - \angle POC = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ ચાપ દ્વારા બનતો ખૂણો,વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુએ બનતા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે:
$\angle CBD = \frac{1}{2} \angle COD = \frac{1}{2} \times 30^{\circ} = 15^{\circ}$. તેથી,$y = 15^{\circ}$.
વળી,$\angle ABD = \frac{1}{2} \angle AOD = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}$.
$\Delta ABP$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે:
$x + (\angle ABD + y) + \angle APB = 180^{\circ}$
$x + (45^{\circ} + 15^{\circ}) + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$x + 60^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$x = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.
આમ,$x = 30^{\circ}$ અને $y = 15^{\circ}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta OPC$ માં,આપણી પાસે છે:
$\angle POC = 180^{\circ} - (\angle OPC + \angle PCO)$
$\Rightarrow \angle POC = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\angle AOD = 90^{\circ}$,અને $AD$ એક સીધી રેખા હોવાથી,$\angle AOD + \angle DOP = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા).
$\angle DOP = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
હવે,$\angle COD = \angle DOP - \angle POC = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ ચાપ દ્વારા બનતો ખૂણો,વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુએ બનતા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે:
$\angle CBD = \frac{1}{2} \angle COD = \frac{1}{2} \times 30^{\circ} = 15^{\circ}$. તેથી,$y = 15^{\circ}$.
વળી,$\angle ABD = \frac{1}{2} \angle AOD = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}$.
$\Delta ABP$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે:
$x + (\angle ABD + y) + \angle APB = 180^{\circ}$
$x + (45^{\circ} + 15^{\circ}) + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$x + 60^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$x = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.
આમ,$x = 30^{\circ}$ અને $y = 15^{\circ}$.
0 likes
View Solution34
Difficult
આકૃતિમાં,$O$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે,$BD = OD$ અને $CD \perp AB$ છે. $\angle CAB$ શોધો.
Solution
$(30^{\circ})$ $\Delta OBD$ માં,આપણી પાસે $OB = OD$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ) અને $BD = OD$ (આપેલ છે).
કારણ કે $OB = OD = BD$,તેથી $\Delta OBD$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
તેથી,$\angle BOD = 60^{\circ}$.
$\Delta OPD$ અને $\Delta BPD$ માં,$OD = BD$ (આપેલ છે),$DP = DP$ (સામાન્ય બાજુ),$\angle OPD = \angle BPD = 90^{\circ}$.
આમ,$RHS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta OPD \cong \Delta BPD$.
આનો અર્થ એ છે કે $\angle DOP = \angle DBP$. કારણ કે $\angle BOD = 60^{\circ}$,તેથી $\angle DOP = 60^{\circ}$.
આમ,$\angle DBP = 60^{\circ}$.
$\Delta BPD$ માં,$\angle BDP = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોવાથી,$\angle CAB = \angle CDB$.
તેથી,$\angle CAB = 30^{\circ}$.
કારણ કે $OB = OD = BD$,તેથી $\Delta OBD$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
તેથી,$\angle BOD = 60^{\circ}$.
$\Delta OPD$ અને $\Delta BPD$ માં,$OD = BD$ (આપેલ છે),$DP = DP$ (સામાન્ય બાજુ),$\angle OPD = \angle BPD = 90^{\circ}$.
આમ,$RHS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta OPD \cong \Delta BPD$.
આનો અર્થ એ છે કે $\angle DOP = \angle DBP$. કારણ કે $\angle BOD = 60^{\circ}$,તેથી $\angle DOP = 60^{\circ}$.
આમ,$\angle DBP = 60^{\circ}$.
$\Delta BPD$ માં,$\angle BDP = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોવાથી,$\angle CAB = \angle CDB$.
તેથી,$\angle CAB = 30^{\circ}$.
0 likes
View Solution35
Difficult
વર્તુળની બે સમાન જીવાઓ $AB$ અને $CD$ ને લંબાવતા તે બિંદુ $P$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે $PB = PD$.
Solution
(N/A) આપેલ છે: $AB$ અને $CD$ એ કેન્દ્ર $O$ વાળા વર્તુળની બે સમાન જીવાઓ છે જેમને લંબાવતા તે $P$ બિંદુમાં છેદે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PB = PD$.
રચના: $OR \perp AB$ અને $OQ \perp CD$ દોરો. $OP$ ને જોડો.
સાબિતી: કારણ કે $OR \perp AB$ અને $OQ \perp CD$ એ વર્તુળના કેન્દ્ર $O$ માંથી દોરેલ છે,
તેથી,$R$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $Q$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
[કારણ કે કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલ લંબ જીવાને દુભાગે છે]
કારણ કે $AB = CD$ [આપેલ છે],
તેથી,$\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD$.
તેથી,$AR = CQ$ અને $RB = QD$ $...(1)$
કારણ કે $AB = CD$,તેથી $OR = OQ$ $...(2)$
[કારણ કે સમાન જીવાઓ કેન્દ્રથી સમાન અંતરે હોય છે]
હવે,કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ORP$ અને $\Delta OQP$ માં:
$\angle ORP = \angle OQP$ [દરેક $90^{\circ}$]
કર્ણ $OP = $ કર્ણ $OP$ [સામાન્ય બાજુ]
$OR = OQ$ [$(2)$ પરથી]
$\Delta ORP \cong \Delta OQP$ [કા.ક.બા. ($R$.$H$.$S$.) એકરૂપતાની શરત મુજબ]
$RP = QP$ [$CPCT$ દ્વારા] $...(3)$
હવે,$(3)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$RP - RB = QP - QD$
$PB = PD$
આમ,સાબિત થાય છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PB = PD$.
રચના: $OR \perp AB$ અને $OQ \perp CD$ દોરો. $OP$ ને જોડો.
સાબિતી: કારણ કે $OR \perp AB$ અને $OQ \perp CD$ એ વર્તુળના કેન્દ્ર $O$ માંથી દોરેલ છે,
તેથી,$R$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $Q$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
[કારણ કે કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલ લંબ જીવાને દુભાગે છે]
કારણ કે $AB = CD$ [આપેલ છે],
તેથી,$\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD$.
તેથી,$AR = CQ$ અને $RB = QD$ $...(1)$
કારણ કે $AB = CD$,તેથી $OR = OQ$ $...(2)$
[કારણ કે સમાન જીવાઓ કેન્દ્રથી સમાન અંતરે હોય છે]
હવે,કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ORP$ અને $\Delta OQP$ માં:
$\angle ORP = \angle OQP$ [દરેક $90^{\circ}$]
કર્ણ $OP = $ કર્ણ $OP$ [સામાન્ય બાજુ]
$OR = OQ$ [$(2)$ પરથી]
$\Delta ORP \cong \Delta OQP$ [કા.ક.બા. ($R$.$H$.$S$.) એકરૂપતાની શરત મુજબ]
$RP = QP$ [$CPCT$ દ્વારા] $...(3)$
હવે,$(3)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$RP - RB = QP - QD$
$PB = PD$
આમ,સાબિત થાય છે.
0 likes
View Solution36
Easy
નીચેના દરેક વિધાનો સાચા છે કે ખોટા તે જણાવો:
$(1)$ સમતલમાં આવેલા એક નિશ્ચિત બિંદુથી નિશ્ચિત અંતરે આવેલા તમામ બિંદુઓના સમૂહને વર્તુળ કહે છે.
$(2)$ વર્તુળના કેન્દ્ર અને વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુને જોડતા રેખાખંડને વર્તુળની ત્રિજ્યા કહે છે.
$(1)$ સમતલમાં આવેલા એક નિશ્ચિત બિંદુથી નિશ્ચિત અંતરે આવેલા તમામ બિંદુઓના સમૂહને વર્તુળ કહે છે.
$(2)$ વર્તુળના કેન્દ્ર અને વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુને જોડતા રેખાખંડને વર્તુળની ત્રિજ્યા કહે છે.
Solution
(A) $(1)$ સાચું. વ્યાખ્યા મુજબ,વર્તુળ એટલે સમતલના એવા તમામ બિંદુઓનો સમૂહ જે સમતલના એક નિશ્ચિત બિંદુ (કેન્દ્ર) થી નિશ્ચિત અંતરે (ત્રિજ્યા) આવેલા હોય છે.
$(2)$ સાચું. વ્યાખ્યા મુજબ,વર્તુળના કેન્દ્ર અને વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુને જોડતા રેખાખંડને વર્તુળની ત્રિજ્યા કહેવામાં આવે છે.
$(2)$ સાચું. વ્યાખ્યા મુજબ,વર્તુળના કેન્દ્ર અને વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુને જોડતા રેખાખંડને વર્તુળની ત્રિજ્યા કહેવામાં આવે છે.
0 likes
View Solution37
EasyMCQ
નીચેના દરેક વિધાન સાચા છે કે ખોટા તે જણાવો:
$(1)$ વર્તુળ જે સમતલ પર આવેલું છે તેને તે ત્રણ ભાગમાં વિભાજિત કરે છે.
$(2)$ જે બિંદુનું વર્તુળના કેન્દ્રથી અંતર તેની ત્રિજ્યા કરતાં વધારે હોય,તે બિંદુ વર્તુળના અંદરના ભાગમાં આવેલું છે.
$(1)$ વર્તુળ જે સમતલ પર આવેલું છે તેને તે ત્રણ ભાગમાં વિભાજિત કરે છે.
$(2)$ જે બિંદુનું વર્તુળના કેન્દ્રથી અંતર તેની ત્રિજ્યા કરતાં વધારે હોય,તે બિંદુ વર્તુળના અંદરના ભાગમાં આવેલું છે.
A
True,True
B
True,False
C
False,True
D
False,False
Solution
(D) $(1)$ ખોટું. વર્તુળ જે સમતલ પર આવેલું છે તેને તે ત્રણ ભાગમાં વિભાજિત કરે છે: અંદરનો ભાગ,વર્તુળ પોતે અને બહારનો ભાગ.
$(2)$ ખોટું. જો કોઈ બિંદુનું વર્તુળના કેન્દ્રથી અંતર તેની ત્રિજ્યા કરતાં વધારે હોય,તો તે બિંદુ વર્તુળના બહારના ભાગમાં આવેલું હોય છે.
$(2)$ ખોટું. જો કોઈ બિંદુનું વર્તુળના કેન્દ્રથી અંતર તેની ત્રિજ્યા કરતાં વધારે હોય,તો તે બિંદુ વર્તુળના બહારના ભાગમાં આવેલું હોય છે.
0 likes
View Solution38
Easy
નીચેના દરેક વિધાન સાચા છે કે ખોટા તે જણાવો:
$(1)$ વર્તુળ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડને વર્તુળની જીવા કહે છે.
$(2)$ વર્તુળના વ્યાસની લંબાઈ તેની ત્રિજ્યાની લંબાઈ કરતાં અડધી હોય છે.
$(1)$ વર્તુળ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડને વર્તુળની જીવા કહે છે.
$(2)$ વર્તુળના વ્યાસની લંબાઈ તેની ત્રિજ્યાની લંબાઈ કરતાં અડધી હોય છે.
Solution
(A) $(1)$ સાચું. જીવા એટલે એવો રેખાખંડ જેના અંત્યબિંદુઓ વર્તુળ પર આવેલા હોય છે.
$(2)$ ખોટું. વર્તુળના વ્યાસની લંબાઈ તેની ત્રિજ્યાની લંબાઈ કરતાં બમણી હોય છે,એટલે કે $d = 2r$.
$(2)$ ખોટું. વર્તુળના વ્યાસની લંબાઈ તેની ત્રિજ્યાની લંબાઈ કરતાં બમણી હોય છે,એટલે કે $d = 2r$.
0 likes
View Solution39
Easy
નીચેના દરેક વિધાન સાચા છે કે ખોટા તે જણાવો:
$(1)$ વર્તુળ પરના બે બિંદુઓ વચ્ચેના વર્તુળના ટુકડાને વર્તુળનું ચાપ કહેવામાં આવે છે.
$(2)$ સંપૂર્ણ વર્તુળની લંબાઈને તેનો પરિઘ કહેવામાં આવે છે.
$(1)$ વર્તુળ પરના બે બિંદુઓ વચ્ચેના વર્તુળના ટુકડાને વર્તુળનું ચાપ કહેવામાં આવે છે.
$(2)$ સંપૂર્ણ વર્તુળની લંબાઈને તેનો પરિઘ કહેવામાં આવે છે.
Solution
(A) $(1)$ સાચું. વ્યાખ્યા મુજબ,વર્તુળ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચેના વર્તુળના ભાગને ચાપ કહેવામાં આવે છે.
$(2)$ સાચું. વર્તુળની સીમાની કુલ લંબાઈને તેનો પરિઘ કહેવામાં આવે છે.
$(2)$ સાચું. વર્તુળની સીમાની કુલ લંબાઈને તેનો પરિઘ કહેવામાં આવે છે.
0 likes
View Solution40
Easy
નીચેના દરેક વિધાન સાચા છે કે ખોટા તે જણાવો:
$(1)$ જીવા અને તેના કોઈ પણ ચાપ વચ્ચેના પ્રદેશને વૃત્તાંશ કહેવાય છે.
$(2)$ ચાપ અને કેન્દ્રને ચાપના અંત્યબિંદુઓ સાથે જોડતી બે ત્રિજ્યાઓ વચ્ચેના પ્રદેશને વૃત્તખંડ કહેવાય છે.
$(1)$ જીવા અને તેના કોઈ પણ ચાપ વચ્ચેના પ્રદેશને વૃત્તાંશ કહેવાય છે.
$(2)$ ચાપ અને કેન્દ્રને ચાપના અંત્યબિંદુઓ સાથે જોડતી બે ત્રિજ્યાઓ વચ્ચેના પ્રદેશને વૃત્તખંડ કહેવાય છે.
Solution
(A) $(1)$ ખોટું. જીવા અને તેના કોઈ પણ ચાપ વચ્ચેના પ્રદેશને વૃત્તખંડ કહેવાય છે,વૃત્તાંશ નહીં.
$(2)$ ખોટું. ચાપ અને કેન્દ્રને ચાપના અંત્યબિંદુઓ સાથે જોડતી બે ત્રિજ્યાઓ વચ્ચેના પ્રદેશને વૃત્તાંશ કહેવાય છે,વૃત્તખંડ નહીં.
$(2)$ ખોટું. ચાપ અને કેન્દ્રને ચાપના અંત્યબિંદુઓ સાથે જોડતી બે ત્રિજ્યાઓ વચ્ચેના પ્રદેશને વૃત્તાંશ કહેવાય છે,વૃત્તખંડ નહીં.
0 likes
View Solution41
MediumMCQ
$O$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળમાં,$PQ$ અને $RS$ જીવાઓ છે. જો $\angle POQ = 90^{\circ}$,$\angle ROS = 90^{\circ}$ અને $PQ = 6\, cm$ હોય,તો $RS = \dots \, cm$.
A
$9$
B
$10$
C
$6$
D
$5$
Solution
(C) વર્તુળમાં,જો બે જીવાઓ કેન્દ્ર આગળ સમાન ખૂણા આંતરે,તો તે જીવાઓની લંબાઈ સમાન હોય છે.
અહીં આપેલ છે કે $\angle POQ = 90^{\circ}$ અને $\angle ROS = 90^{\circ}$.
કારણ કે $\angle POQ = \angle ROS$ છે,તેથી જીવા $PQ$ અને $RS$ સમાન હોવી જોઈએ.
આપેલ છે કે $PQ = 6\, cm$,તેથી $RS = 6\, cm$ થાય.
અહીં આપેલ છે કે $\angle POQ = 90^{\circ}$ અને $\angle ROS = 90^{\circ}$.
કારણ કે $\angle POQ = \angle ROS$ છે,તેથી જીવા $PQ$ અને $RS$ સમાન હોવી જોઈએ.
આપેલ છે કે $PQ = 6\, cm$,તેથી $RS = 6\, cm$ થાય.
0 likes
View Solution42
MediumMCQ
કેન્દ્ર $P$ વાળા વર્તુળમાં,$AB$ જીવા છે અને $PA = 4\, cm$ છે. કેન્દ્ર $Q$ વાળા વર્તુળમાં,$XY$ જીવા છે અને $QX = 4\, cm$ છે. જો $\angle APB = 80^{\circ}$,$\angle XQY = 50^{\circ}$ અને $AB = 5\, cm$ હોય,તો $XY = \dots\dots\dots\, cm$.
A
$7$
B
$5$
C
$3$
D
$1$
Solution
(C) કેન્દ્ર $P$ વાળા વર્તુળમાં,$PA = PB = 4\, cm$ (ત્રિજ્યાઓ). $\triangle APB$ માં,$PA = PB = 4\, cm$ અને $AB = 5\, cm$.
કેન્દ્ર $Q$ વાળા વર્તુળમાં,$QX = QY = 4\, cm$ (ત્રિજ્યાઓ).
આપેલ છે કે $\angle XQY = 50^{\circ}$. $\triangle XQY$ માં,$QX = QY = 4\, cm$.
$\triangle XQY$ માં કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$XY^2 = QX^2 + QY^2 - 2(QX)(QY) \cos(50^{\circ})$
$XY^2 = 4^2 + 4^2 - 2(4)(4) \cos(50^{\circ}) = 32(1 - \cos(50^{\circ}))$
$XY^2 = 32(2 \sin^2(25^{\circ})) = 64 \sin^2(25^{\circ})$
$XY = 8 \sin(25^{\circ}) \approx 3.38\, cm$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,નજીકનો પૂર્ણાંક $3$ છે.
કેન્દ્ર $Q$ વાળા વર્તુળમાં,$QX = QY = 4\, cm$ (ત્રિજ્યાઓ).
આપેલ છે કે $\angle XQY = 50^{\circ}$. $\triangle XQY$ માં,$QX = QY = 4\, cm$.
$\triangle XQY$ માં કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$XY^2 = QX^2 + QY^2 - 2(QX)(QY) \cos(50^{\circ})$
$XY^2 = 4^2 + 4^2 - 2(4)(4) \cos(50^{\circ}) = 32(1 - \cos(50^{\circ}))$
$XY^2 = 32(2 \sin^2(25^{\circ})) = 64 \sin^2(25^{\circ})$
$XY = 8 \sin(25^{\circ}) \approx 3.38\, cm$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,નજીકનો પૂર્ણાંક $3$ છે.
0 likes
View Solution43
Medium
$AB$ અને $AC$ એ $P$ કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળની બે જીવાઓ છે. જો $\angle BAC$ નો દ્વિભાજક કેન્દ્ર $P$ માંથી પસાર થતો હોય,તો સાબિત કરો કે $AB = AC$.
Solution
(A) ધારો કે $\angle BAC$ નો દ્વિભાજક $AD$ છે,જ્યાં $D$ એ વર્તુળ પરનું બિંદુ છે અને $P$ એ $AD$ પર આવેલું છે.
$\triangle APB$ અને $\triangle APC$ માં:
$1$. $AP = AP$ (સામાન્ય બાજુ).
$2$. $\angle BAP = \angle CAP$ (કારણ કે $AP$ એ $\angle BAC$ નો દ્વિભાજક છે).
$3$. $PB = PC$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ).
હવે,$\triangle APB$ અને $\triangle APC$ માં સાઈનનો નિયમ વાપરતા:
$\triangle APB$ માં: $\frac{PB}{\sin \theta} = \frac{AB}{\sin \angle APB} \implies AB = \frac{r \sin \angle APB}{\sin \theta}$.
$\triangle APC$ માં: $\frac{PC}{\sin \theta} = \frac{AC}{\sin \angle APC} \implies AC = \frac{r \sin \angle APC}{\sin \theta}$.
$A, P, D$ એક જ રેખા પર હોવાથી,$\angle APB + \angle APC = 180^{\circ}$.
તેથી,$\sin \angle APB = \sin(180^{\circ} - \angle APC) = \sin \angle APC$.
આમ,$AB = AC$ સાબિત થાય છે.
$\triangle APB$ અને $\triangle APC$ માં:
$1$. $AP = AP$ (સામાન્ય બાજુ).
$2$. $\angle BAP = \angle CAP$ (કારણ કે $AP$ એ $\angle BAC$ નો દ્વિભાજક છે).
$3$. $PB = PC$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ).
હવે,$\triangle APB$ અને $\triangle APC$ માં સાઈનનો નિયમ વાપરતા:
$\triangle APB$ માં: $\frac{PB}{\sin \theta} = \frac{AB}{\sin \angle APB} \implies AB = \frac{r \sin \angle APB}{\sin \theta}$.
$\triangle APC$ માં: $\frac{PC}{\sin \theta} = \frac{AC}{\sin \angle APC} \implies AC = \frac{r \sin \angle APC}{\sin \theta}$.
$A, P, D$ એક જ રેખા પર હોવાથી,$\angle APB + \angle APC = 180^{\circ}$.
તેથી,$\sin \angle APB = \sin(180^{\circ} - \angle APC) = \sin \angle APC$.
આમ,$AB = AC$ સાબિત થાય છે.
0 likes
View Solution44
DifficultMCQ
ત્રણ છોકરીઓ રેશ્મા,સલમા અને મંદિપ એક બગીચામાં દોરેલા $5 \, m$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળ પર ઊભા રહીને રમત રમી રહી છે. રેશ્મા સલમાને,સલમા મંદિપને અને મંદિપ રેશ્માને દડો ફેંકે છે. જો રેશ્મા અને સલમા વચ્ચેનું અને સલમા અને મંદિપ વચ્ચેનું અંતર દરેક $6 \, m$ હોય,તો રેશ્મા અને મંદિપ વચ્ચેનું અંતર કેટલું હશે?
A
$4.8$
B
$24$
C
$5$
D
$9.6$
Solution
(D) ધારો કે $O$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. આપેલ છે કે $OR = OM = OS = 5 \, m$ (વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ) અને $RS = SM = 6 \, m$.
ચતુષ્કોણ $ORSM$ માં,$OR = OM = 5 \, m$ અને $RS = SM = 6 \, m$.
તેથી,ચતુષ્કોણ $ORSM$ એ પતંગાકાર ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,તેનો વિકર્ણ $OS$ એ વિકર્ણ $RM$ ને બિંદુ $K$ પર કાટખૂણે દુભાગે છે.
તેથી,$\angle RKO = 90^{\circ}$ અને $K$ એ $RM$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $RM = 2 RK$.
$OL \perp RS$ દોરો. કેન્દ્રમાંથી જીવા $RS$ પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી $L$ એ $RS$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$RL = \frac{1}{2} RS = \frac{1}{2} \times 6 = 3 \, m$.
કાટકોણ $\Delta RLO$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$RO^2 = OL^2 + RL^2$
$5^2 = OL^2 + 3^2$
$25 = OL^2 + 9$
$OL^2 = 16 \implies OL = 4 \, m$.
હવે,$\Delta ROS$ નું ક્ષેત્રફળ બે રીતે શોધી શકાય છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times RS \times OL = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12 \, m^2$.
વળી,ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times OS \times RK = \frac{1}{2} \times 5 \times RK$.
બંને ક્ષેત્રફળોને સરખાવતા: $\frac{1}{2} \times 5 \times RK = 12$
$5 \times RK = 24 \implies RK = 4.8 \, m$.
કારણ કે $RM = 2 RK$,તેથી $RM = 2 \times 4.8 = 9.6 \, m$.
આમ,રેશ્મા અને મંદિપ વચ્ચેનું અંતર $9.6 \, m$ છે.
ચતુષ્કોણ $ORSM$ માં,$OR = OM = 5 \, m$ અને $RS = SM = 6 \, m$.
તેથી,ચતુષ્કોણ $ORSM$ એ પતંગાકાર ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,તેનો વિકર્ણ $OS$ એ વિકર્ણ $RM$ ને બિંદુ $K$ પર કાટખૂણે દુભાગે છે.
તેથી,$\angle RKO = 90^{\circ}$ અને $K$ એ $RM$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $RM = 2 RK$.
$OL \perp RS$ દોરો. કેન્દ્રમાંથી જીવા $RS$ પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી $L$ એ $RS$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$RL = \frac{1}{2} RS = \frac{1}{2} \times 6 = 3 \, m$.
કાટકોણ $\Delta RLO$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$RO^2 = OL^2 + RL^2$
$5^2 = OL^2 + 3^2$
$25 = OL^2 + 9$
$OL^2 = 16 \implies OL = 4 \, m$.
હવે,$\Delta ROS$ નું ક્ષેત્રફળ બે રીતે શોધી શકાય છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times RS \times OL = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12 \, m^2$.
વળી,ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times OS \times RK = \frac{1}{2} \times 5 \times RK$.
બંને ક્ષેત્રફળોને સરખાવતા: $\frac{1}{2} \times 5 \times RK = 12$
$5 \times RK = 24 \implies RK = 4.8 \, m$.
કારણ કે $RM = 2 RK$,તેથી $RM = 2 \times 4.8 = 9.6 \, m$.
આમ,રેશ્મા અને મંદિપ વચ્ચેનું અંતર $9.6 \, m$ છે.
0 likes
View Solution45
DifficultMCQ
$20 \, m$ ત્રિજ્યા ધરાવતો એક વર્તુળાકાર બગીચો એક કોલોનીમાં આવેલો છે. ત્રણ છોકરાઓ અંકુર,સૈયદ અને ડેવિડ તેની સીમા પર સમાન અંતરે બેઠા છે અને દરેકના હાથમાં એકબીજા સાથે વાત કરવા માટે રમકડાનો ટેલિફોન છે. દરેક ફોનની દોરીની લંબાઈ શોધો.
A
$20 \sqrt{3} \, m$
B
$23 \sqrt{3} \, m$
C
$17 \sqrt{3} \, m$
D
$18 \sqrt{3} \, m$
Solution
(A) ધારો કે $O$ કેન્દ્રિત વર્તુળ બગીચો દર્શાવે છે અને બિંદુઓ $A, S$ અને $D$ અનુક્રમે અંકુર,સૈયદ અને ડેવિડના સ્થાન દર્શાવે છે. અંકુર,સૈયદ અને ડેવિડ એકબીજાથી સમાન અંતરે બેઠા હોવાથી,$\Delta ASD$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
$SD$ ના મધ્યબિંદુ $M$ માંથી $SD$ નો લંબદ્વિભાજક દોરો. તે કેન્દ્ર $O$ અને શિરોબિંદુ $A$ માંથી પસાર થશે.
ધારો કે $SM = x \, m$. તો $SD = 2SM = 2x \, m$.
$\Delta OMS$ માં,$\angle M = 90^{\circ}$. પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$OM^2 = OS^2 - SM^2 = (20)^2 - x^2 = 400 - x^2$
$OM = \sqrt{400 - x^2}$
$O$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ $ASD$ નું મધ્યકેન્દ્ર હોવાથી,શિરોબિંદુથી મધ્યકેન્દ્રનું અંતર એ મધ્યકેન્દ્રથી સામેની બાજુના મધ્યબિંદુના અંતર કરતા બમણું હોય છે.
$AM = AO + OM = 20 + \sqrt{400 - x^2}$
$\Delta ASD$ માં,વેધ $AM = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{બાજુ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times (2x) = x\sqrt{3}$.
$AM$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$x\sqrt{3} = 20 + \sqrt{400 - x^2}$
$x\sqrt{3} - 20 = \sqrt{400 - x^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x\sqrt{3} - 20)^2 = 400 - x^2$
$3x^2 - 40\sqrt{3}x + 400 = 400 - x^2$
$4x^2 - 40\sqrt{3}x = 0$
$4x(x - 10\sqrt{3}) = 0$
$x \neq 0$ હોવાથી,$x = 10\sqrt{3}$.
દોરીની લંબાઈ એ ત્રિકોણની બાજુ $SD = 2x = 2(10\sqrt{3}) = 20\sqrt{3} \, m$ છે.
$SD$ ના મધ્યબિંદુ $M$ માંથી $SD$ નો લંબદ્વિભાજક દોરો. તે કેન્દ્ર $O$ અને શિરોબિંદુ $A$ માંથી પસાર થશે.
ધારો કે $SM = x \, m$. તો $SD = 2SM = 2x \, m$.
$\Delta OMS$ માં,$\angle M = 90^{\circ}$. પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$OM^2 = OS^2 - SM^2 = (20)^2 - x^2 = 400 - x^2$
$OM = \sqrt{400 - x^2}$
$O$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ $ASD$ નું મધ્યકેન્દ્ર હોવાથી,શિરોબિંદુથી મધ્યકેન્દ્રનું અંતર એ મધ્યકેન્દ્રથી સામેની બાજુના મધ્યબિંદુના અંતર કરતા બમણું હોય છે.
$AM = AO + OM = 20 + \sqrt{400 - x^2}$
$\Delta ASD$ માં,વેધ $AM = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{બાજુ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times (2x) = x\sqrt{3}$.
$AM$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$x\sqrt{3} = 20 + \sqrt{400 - x^2}$
$x\sqrt{3} - 20 = \sqrt{400 - x^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x\sqrt{3} - 20)^2 = 400 - x^2$
$3x^2 - 40\sqrt{3}x + 400 = 400 - x^2$
$4x^2 - 40\sqrt{3}x = 0$
$4x(x - 10\sqrt{3}) = 0$
$x \neq 0$ હોવાથી,$x = 10\sqrt{3}$.
દોરીની લંબાઈ એ ત્રિકોણની બાજુ $SD = 2x = 2(10\sqrt{3}) = 20\sqrt{3} \, m$ છે.
0 likes
View Solution46
Medium
જો ત્રિકોણની બે બાજુઓને વ્યાસ તરીકે લઈને વર્તુળો દોરવામાં આવે,તો સાબિત કરો કે આ વર્તુળોનું છેદબિંદુ ત્રીજી બાજુ પર આવેલું છે.
Solution
(N/A) ધારો કે $\Delta ABC$ ની બાજુઓ $AB$ અને $AC$ એ બે વર્તુળોના વ્યાસ છે. આ વર્તુળો એકબીજાને બિંદુઓ $A$ અને $P$ માં છેદે છે.
સામાન્ય જીવા $AP$ દોરો.
$AB$ એ વ્યાસ હોવાથી,$\angle APB$ એ અર્ધવર્તુળનો ખૂણો છે.
$\therefore \angle APB = 90^{\circ}$.
$AC$ એ વ્યાસ હોવાથી,$\angle APC$ એ અર્ધવર્તુળનો ખૂણો છે.
$\therefore \angle APC = 90^{\circ}$.
આ બે સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$\angle APB + \angle APC = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle APB$ અને $\angle APC$ એ સામાન્ય ભુજ $AP$ ધરાવતા પાસપાસેના ખૂણા છે અને તેમનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,તેઓ રૈખિક જોડના ખૂણા બનાવે છે.
તેથી,બિંદુઓ $B, P$ અને $C$ એક જ રેખા પર આવેલા હોવા જોઈએ.
આમ,વર્તુળોનું છેદબિંદુ $P$ એ ત્રિકોણની ત્રીજી બાજુ $BC$ પર આવેલું છે.
સામાન્ય જીવા $AP$ દોરો.
$AB$ એ વ્યાસ હોવાથી,$\angle APB$ એ અર્ધવર્તુળનો ખૂણો છે.
$\therefore \angle APB = 90^{\circ}$.
$AC$ એ વ્યાસ હોવાથી,$\angle APC$ એ અર્ધવર્તુળનો ખૂણો છે.
$\therefore \angle APC = 90^{\circ}$.
આ બે સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$\angle APB + \angle APC = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle APB$ અને $\angle APC$ એ સામાન્ય ભુજ $AP$ ધરાવતા પાસપાસેના ખૂણા છે અને તેમનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,તેઓ રૈખિક જોડના ખૂણા બનાવે છે.
તેથી,બિંદુઓ $B, P$ અને $C$ એક જ રેખા પર આવેલા હોવા જોઈએ.
આમ,વર્તુળોનું છેદબિંદુ $P$ એ ત્રિકોણની ત્રીજી બાજુ $BC$ પર આવેલું છે.
0 likes
View Solution47
Medium
ત્રિકોણ $ABC$ ના ખૂણાઓ $A, B$ અને $C$ ના દ્વિભાજકો તેના પરિવર્તને $D, E$ અને $F$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે ત્રિકોણ $DEF$ ના ખૂણાઓ $90^{\circ}-\frac{1}{2} A, 90^{\circ}-\frac{1}{2} B$ અને $90^{\circ}-\frac{1}{2} C$ છે.
Solution
(N/A) ત્રિકોણ $ABC$ ના ખૂણાઓ $\angle A, \angle B$ અને $\angle C$ ના દ્વિભાજકો ત્રિકોણ $ABC$ ના પરિવર્તને અનુક્રમે $D, E$ અને $F$ માં છેદે છે.
$\angle FDE = \angle FDA + \angle EDA$ (પાસેના ખૂણાઓ)
$= \angle FCA + \angle EBA$ (વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોય છે)
$= \frac{1}{2} \angle C + \frac{1}{2} \angle B$ (કારણ કે $AD, BE, CF$ ખૂણાના દ્વિભાજકો છે)
$= \frac{1}{2}(\angle B + \angle C)$
$= \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle A)$ (કારણ કે $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$)
$= 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle A$
આમ,$\angle FDE = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle A$.
તે જ રીતે,$\angle DEF = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle B$ અને $\angle EFD = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle C$.
$\angle FDE = \angle FDA + \angle EDA$ (પાસેના ખૂણાઓ)
$= \angle FCA + \angle EBA$ (વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોય છે)
$= \frac{1}{2} \angle C + \frac{1}{2} \angle B$ (કારણ કે $AD, BE, CF$ ખૂણાના દ્વિભાજકો છે)
$= \frac{1}{2}(\angle B + \angle C)$
$= \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle A)$ (કારણ કે $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$)
$= 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle A$
આમ,$\angle FDE = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle A$.
તે જ રીતે,$\angle DEF = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle B$ અને $\angle EFD = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle C$.
0 likes
View Solution48
Easy
નીચેના દરેક વિધાનો સાચા છે કે ખોટા તે જણાવો:
$(1)$ વર્તુળના કોઈપણ બે બિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
$(2)$ કોઈપણ વર્તુળ માટે, $\text{વ્યાસ} = 2 \times \text{ત્રિજ્યા}$.
$(3)$ $14 \text{ cm}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં, જીવાની લંબાઈ $32 \text{ cm}$ હોઈ શકે છે.
$(1)$ વર્તુળના કોઈપણ બે બિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
$(2)$ કોઈપણ વર્તુળ માટે, $\text{વ્યાસ} = 2 \times \text{ત્રિજ્યા}$.
$(3)$ $14 \text{ cm}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં, જીવાની લંબાઈ $32 \text{ cm}$ હોઈ શકે છે.
Solution
(N/A) $(1)$ ખોટું. વર્તુળના કોઈપણ બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડને જીવા કહેવાય છે. વ્યાસ એ જીવાનો એક વિશિષ્ટ પ્રકાર છે જે વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
$(2)$ સાચું. વ્યાખ્યા મુજબ, વ્યાસ એ વર્તુળની સૌથી મોટી જીવા છે અને તેની લંબાઈ ત્રિજ્યા કરતા બરાબર બમણી $(d = 2r)$ હોય છે.
$(3)$ ખોટું. વર્તુળની સૌથી મોટી જીવા એ વ્યાસ છે. $r = 14 \text{ cm}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળ માટે, વ્યાસ $d = 2 \times 14 \text{ cm} = 28 \text{ cm}$ થાય. કોઈપણ જીવાની લંબાઈ વ્યાસ કરતા વધારે હોઈ શકે નહીં, તેથી આ વર્તુળમાં $32 \text{ cm}$ લંબાઈની જીવા શક્ય નથી.
$(2)$ સાચું. વ્યાખ્યા મુજબ, વ્યાસ એ વર્તુળની સૌથી મોટી જીવા છે અને તેની લંબાઈ ત્રિજ્યા કરતા બરાબર બમણી $(d = 2r)$ હોય છે.
$(3)$ ખોટું. વર્તુળની સૌથી મોટી જીવા એ વ્યાસ છે. $r = 14 \text{ cm}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળ માટે, વ્યાસ $d = 2 \times 14 \text{ cm} = 28 \text{ cm}$ થાય. કોઈપણ જીવાની લંબાઈ વ્યાસ કરતા વધારે હોઈ શકે નહીં, તેથી આ વર્તુળમાં $32 \text{ cm}$ લંબાઈની જીવા શક્ય નથી.
0 likes
View Solution49
Easy
નીચેના દરેક વિધાનો સાચા છે કે ખોટા તે જણાવો:
$(1)$ ત્રણ આપેલા અસમરેખ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા ત્રણ વર્તુળો છે.
$(2)$ બે આપેલા બિંદુઓમાંથી અસંખ્ય વર્તુળો પસાર થાય છે.
$(1)$ ત્રણ આપેલા અસમરેખ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા ત્રણ વર્તુળો છે.
$(2)$ બે આપેલા બિંદુઓમાંથી અસંખ્ય વર્તુળો પસાર થાય છે.
Solution
(A) $(1)$ ખોટું. ત્રણ આપેલા અસમરેખ બિંદુઓમાંથી પસાર થતું માત્ર એક જ અનન્ય વર્તુળ હોય છે.
$(2)$ સાચું. બે આપેલા બિંદુઓમાંથી પસાર થતા અસંખ્ય વર્તુળો દોરી શકાય છે,કારણ કે તેમના કેન્દ્રો બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડના લંબદ્વિભાજક પર ગમે ત્યાં હોઈ શકે છે.
$(2)$ સાચું. બે આપેલા બિંદુઓમાંથી પસાર થતા અસંખ્ય વર્તુળો દોરી શકાય છે,કારણ કે તેમના કેન્દ્રો બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડના લંબદ્વિભાજક પર ગમે ત્યાં હોઈ શકે છે.
0 likes
View Solution50
EasyMCQ
એક જ સમતલમાં,બે વર્તુળોને મહત્તમ ............ સામાન્ય જીવાઓ હોય છે.
A
બે
B
એક
C
ત્રણ
D
ચાર
Solution
(B) જ્યારે બે વર્તુળો બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે,ત્યારે આ બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડને સામાન્ય જીવા કહેવામાં આવે છે. કારણ કે બે વર્તુળો મહત્તમ બે બિંદુઓમાં છેદી શકે છે,તેથી તેઓને તે બે બિંદુઓને જોડતી માત્ર એક જ સામાન્ય જીવા હોઈ શકે છે. તેથી,એક જ સમતલમાં બે વર્તુળો માટે સામાન્ય જીવાઓની મહત્તમ સંખ્યા $1$ છે.
0 likes
View SolutionCircles — Mix Examples - Circles · Frequently Asked Questions
1Are these Circles questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a Circles Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.