Equal Chords and their Distances from the Centre Questions in Gujarati

(N/A) ધારો કે $O$ કેન્દ્રિત એક વર્તુળ છે. $AB$ અને $CD$ બે સમાન જીવાઓ છે જે વર્તુળની અંદર બિંદુ $E$ પર છેદે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $AE = DE$ અને $CE = BE$.
રચના: $OM \perp AB$ અને $ON \perp CD$ દોરો. $OE$ ને જોડો.
સાબિતી:
$1$. $AB = CD$ (આપેલ છે),તેથી જીવાઓ કેન્દ્રથી સમાન અંતરે છે. તેથી,$OM = ON$.
$2$. $\Delta OME$ અને $\Delta ONE$ માં:
- $OM = ON$ (ઉપર સાબિત કર્યું)
- $OE = OE$ (સામાન્ય બાજુ)
- $\angle OME = \angle ONE = 90^\circ$ (રચના મુજબ)
$RHS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta OME \cong \Delta ONE$.
$3$. $CPCT$ દ્વારા,$ME = NE$ (સમીકરણ $1$).
$4$. $OM \perp AB$ હોવાથી,$M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $AM = MB = \frac{1}{2} AB$.
$5$. $ON \perp CD$ હોવાથી,$N$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $CN = ND = \frac{1}{2} CD$.
$6$. $AB = CD$ હોવાથી,$\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD$,જેનો અર્થ છે $AM = ND$ (સમીકરણ $2$).
$7$. સમીકરણ $1$ અને $2$ નો સરવાળો કરતા: $AM + ME = ND + NE$,જે આપણને $AE = DE$ આપે છે.
$8$. $AB = CD$ માંથી $AE = DE$ બાદ કરતા,$AB - AE = CD - DE$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $BE = CE$.
આમ,એક જીવાના ભાગો બીજી જીવાના અનુરૂપ ભાગોને સમાન છે.

(N/A) ધારો કે $AB$ અને $CD$ એ કેન્દ્ર $O$ વાળા વર્તુળની બે સમાન જીવાઓ છે,જે વર્તુળની અંદર બિંદુ $E$ પર છેદે છે.
આપણે સાબિત કરવું છે કે $\angle OEA = \angle OED$.
$OM \perp AB$ અને $ON \perp CD$ દોરો.
$\Delta OME$ અને $\Delta ONE$ માં:
$1$. $OM = ON$ (સમાન જીવાઓ કેન્દ્રથી સમાન અંતરે હોય છે).
$2$. $OE = OE$ (સામાન્ય બાજુ).
$3$. $\angle OME = \angle ONE = 90^\circ$ (રચના મુજબ).
તેથી,$RHS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta OME \cong \Delta ONE$.
$CPCT$ દ્વારા,$\angle OEM = \angle OEN$.
જેથી,$\angle OEA = \angle OED$ સાબિત થાય છે.

(B) ધારો કે રેશ્મા,સલમા અને મંદિપના સ્થાન $R, S$ અને $M$ છે,જે $5 \, m$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળ પર છે,જેનું કેન્દ્ર $O$ છે.
આપેલ છે કે $RS = SM = 6 \, m$.
સમાન જીવાઓ વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ સમાન ખૂણા આંતરે છે,તેથી $\angle ROS = \angle SOM$.
ધારો કે $OP$ એ $O$ માંથી $RM$ પરનો લંબ છે,જે $RM$ ને $P$ માં અને $OS$ ને $K$ માં છેદે છે.
$RS = SM$ હોવાથી,$OS$ એ $RM$ નો લંબદ્વિભાજક છે. તેથી,$RM \perp OS$ અને $RP = PM$.
ધારો કે $OK = x$. તો $KS = 5 - x$.
$\Delta ORK$ માં,$RK^2 = OR^2 - OK^2 = 5^2 - x^2 = 25 - x^2$.
$\Delta RSK$ માં,$RK^2 = RS^2 - KS^2 = 6^2 - (5 - x)^2 = 36 - (25 - 10x + x^2) = 11 + 10x - x^2$.
$RK^2$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $25 - x^2 = 11 + 10x - x^2$.
$10x = 14 \Rightarrow x = 1.4 \, m$.
હવે,$RK^2 = 25 - (1.4)^2 = 25 - 1.96 = 23.04$.
$RK = \sqrt{23.04} = 4.8 \, m$.
$RM = 2 \times RK$ હોવાથી,$RM = 2 \times 4.8 = 9.6 \, m$.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ છે. જીવાઓ $AB$ અને $CD$ સમાંતર છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર $6\, cm$ છે. આપેલ છે કે $AB = 5\, cm$ અને $CD = 11\, cm$.
ધારો કે $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
$OP \perp AB$ અને $OQ \perp CD$ દોરો. જીવાઓ કેન્દ્રની વિરુદ્ધ બાજુએ હોવાથી,$P, O, Q$ એક રેખસ્થ છે અને $PQ = 6\, cm$.
ધારો કે $OQ = x\, cm$. તેથી $OP = (6 - x)\, cm$.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે.
તેથી,$AP = \frac{1}{2} AB = \frac{5}{2}\, cm$ અને $CQ = \frac{1}{2} CD = \frac{11}{2}\, cm$.
કાટકોણ $\Delta CQO$ માં,$r^2 = CQ^2 + OQ^2 = (\frac{11}{2})^2 + x^2 = \frac{121}{4} + x^2$ --- $(1)$
કાટકોણ $\Delta APO$ માં,$r^2 = AP^2 + OP^2 = (\frac{5}{2})^2 + (6 - x)^2 = \frac{25}{4} + 36 - 12x + x^2$ --- $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{121}{4} + x^2 = \frac{25}{4} + 36 - 12x + x^2$
$\frac{121}{4} - \frac{25}{4} - 36 = -12x$
$\frac{96}{4} - 36 = -12x \Rightarrow 24 - 36 = -12x \Rightarrow -12 = -12x \Rightarrow x = 1\, cm$.
$x = 1$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$r^2 = \frac{121}{4} + 1^2 = \frac{121 + 4}{4} = \frac{125}{4}$.
$r = \sqrt{\frac{125}{4}} = \frac{5\sqrt{5}}{2}\, cm$.

(C) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ છે. સમાંતર જીવાઓ $AB = 6\, cm$ અને $CD = 8\, cm$ છે.
$OP \perp AB$ અને $OQ \perp CD$ દોરો.
કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે:
$AP = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2}(6\, cm) = 3\, cm$
$CQ = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2}(8\, cm) = 4\, cm$
આપેલ છે કે નાની જીવા કેન્દ્રથી $4\, cm$ ના અંતરે છે,તેથી $OP = 4\, cm$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta OPA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OA^2 = OP^2 + AP^2$
$r^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
$r = 5\, cm$ (જ્યાં $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે).
હવે,કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta OQC$ માં:
$OC^2 = OQ^2 + CQ^2$
$r^2 = OQ^2 + 4^2$
$5^2 = OQ^2 + 16$
$25 = OQ^2 + 16$
$OQ^2 = 25 - 16 = 9$
$OQ = 3\, cm$.
આમ,બીજી જીવાનું કેન્દ્રથી અંતર $3\, cm$ છે.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
વર્તુળમાં,જે જીવા કેન્દ્રની નજીક હોય તે હંમેશા કેન્દ્રથી દૂર રહેલી જીવા કરતા લાંબી હોય છે.
ધારો કે જીવાઓની લંબાઈ $L_1 = 10 \, cm$ અને $L_2 = 8 \, cm$ છે.
ધારો કે કેન્દ્રથી તેમનું અંતર $d_1 = 8.0 \, cm$ અને $d_2 = 3.5 \, cm$ છે.
અહીં $L_1 > L_2$ હોવાથી,અંતર $d_1$ એ $d_2$ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ $(d_1 < d_2)$.
પરંતુ,અહીં $d_1 = 8.0 \, cm$ અને $d_2 = 3.5 \, cm$ છે,જેનો અર્થ છે કે $d_1 > d_2$.
તેથી,આપેલી માહિતી એક જ વર્તુળ માટે ભૌમિતિક રીતે અશક્ય છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળના કેન્દ્રથી સમાન અંતરે આવેલી જીવાઓ સમાન લંબાઈની હોય છે.
અહીં આપેલ છે કે વર્તુળની બે જીવાઓ $AB$ અને $CD$ બંને કેન્દ્રથી $4 \ cm$ ના અંતરે છે,એટલે કે તે કેન્દ્રથી સમાન અંતરે છે.
તેથી,પ્રમેય મુજબ,આ જીવાઓ સમાન હોવી જોઈએ.
આમ,$AB = CD$.
આથી,આપેલ વિધાન ખરું છે.

(N/A) $AB$ અને $CD$ એ કેન્દ્ર $O$ વાળા વર્તુળની બે સમાન જીવાઓ છે,જે એકબીજાને $M$ માં છેદે છે. આપણે સાબિત કરવાનું છે કે:
$(i)$ $MB = MC$ અને
$(ii)$ $AM = MD$
કેન્દ્ર $O$ માંથી $OE \perp AB$ અને $OF \perp CD$ દોરો.
કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી:
$AE = \frac{1}{2} AB$ અને $FD = \frac{1}{2} CD$
$AB = CD$ હોવાથી,$\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD,$ તેથી $AE = FD$ $...(1)$
સમાન જીવાઓ કેન્દ્રથી સમાન અંતરે હોય છે,તેથી $OE = OF.$
હવે,$\Delta MOE$ અને $\Delta MOF$ માં:
$OE = OF$ [ઉપર સાબિત કર્યું]
$OM = OM$ [સામાન્ય બાજુ]
$\angle OEM = \angle OFM = 90^\circ$ [રચના મુજબ]
તેથી,$\Delta MOE \cong \Delta MOF$ [$RHS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ]
આમ,$ME = MF$ $...(2)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$AE - ME = FD - MF$
$\Rightarrow AM = MD$ [ભાગ $(ii)$ સાબિત થયો]
ફરીથી,$AB = CD$ અને $AM = MD.$
આ બાદ કરતા,આપણને મળે છે $AB - AM = CD - MD.$
તેથી,$MB = MC$ [ભાગ $(i)$ સાબિત થયો]

(A) વર્તુળમાં,સમાન જીવાઓ કેન્દ્ર આગળ સમાન ખૂણા આંતરે છે.
આપેલ છે કે $P$ કેન્દ્રિત વર્તુળમાં $AB$ અને $CD$ સમાન જીવાઓ છે $(AB = CD)$.
પ્રમેય મુજબ,વર્તુળની સમાન જીવાઓ કેન્દ્ર આગળ સમાન ખૂણા આંતરે છે.
તેથી,$\angle APB = \angle CPD$.
આપેલ છે કે $\angle APB = 80^{\circ}$,તેથી $\angle CPD = 80^{\circ}$ થાય.

(B) $1$. વર્તુળમાં,સમાન જીવાઓ કેન્દ્ર આગળ સમાન ખૂણા આંતરે છે. જીવા $AB = CD$ હોવાથી,કેન્દ્ર આગળ બનતા ખૂણા સમાન હશે,તેથી $\angle CPD = \angle APB = 100^{\circ}$.
$2$. $\triangle PCD$ માં,$PC$ અને $PD$ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ છે,તેથી $PC = PD$. આથી $\triangle PCD$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
$3$. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા સમાન હોય છે,તેથી $\angle PCD = \angle PDC$.
$4$. ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે. તેથી,$\angle PCD + \angle PDC + \angle CPD = 180^{\circ}$.
$5$. કિંમતો મૂકતા: $2 \times \angle PCD + 100^{\circ} = 180^{\circ}$.
$6$. $2 \times \angle PCD = 80^{\circ}$,જેનું સાદુરૂપ આપતા $\angle PCD = 40^{\circ}$ મળે છે.

(A) કેન્દ્ર $P$ વાળા વર્તુળમાં,$PA = PB = 8 \ cm$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ).
$PA = PB$ હોવાથી,$\triangle PAB$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
તેથી,$\angle PBA = \angle PAB = 40^{\circ}$.
$\triangle PAB$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $\angle APB = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 40^{\circ}) = 100^{\circ}$.
જીવા $AB$ અને $CD$ સમાન છે અને વર્તુળોની ત્રિજ્યા સમાન $(8 \ cm)$ હોવાથી,જીવાઓ તેમના કેન્દ્ર આગળ સમાન ખૂણા આંતરે છે.
આમ,$\angle CQD = \angle APB = 100^{\circ}$.

(D) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે.
$12 \, cm$ લંબાઈની જીવા $AB$ માટે,કેન્દ્ર $O$ થી અંતર $d_1 = 8 \, cm$ છે.
કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે. આમ,કેન્દ્રથી અંતર,ત્રિજ્યા અને જીવાની અડધી લંબાઈ કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.
$r^2 = (12/2)^2 + 8^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
તેથી,$r = 10 \, cm$.
$16 \, cm$ લંબાઈની જીવા $CD$ માટે,ધારો કે કેન્દ્રથી અંતર $d_2$ છે.
$r^2 = (16/2)^2 + d_2^2$.
$10^2 = 8^2 + d_2^2$.
$100 = 64 + d_2^2$.
$d_2^2 = 36$.
$d_2 = 6 \, cm$.

(A) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે.
કેન્દ્ર $P$ માંથી જીવા $AB$ પર લંબ $M$ અને જીવા $CD$ પર લંબ $N$ દોરો.
$PM = 15 \, cm$ અને $PN = 8 \, cm$.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી $AM = MB = AB / 2 = 16 / 2 = 8 \, cm$.
કાટ્રાયંગલ $\triangle PAM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $r^2 = PM^2 + AM^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$.
તેથી,$r = \sqrt{289} = 17 \, cm$.
હવે,ટ્રાયંગલ $\triangle PNC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $r^2 = PN^2 + CN^2$.
$17^2 = 8^2 + CN^2 \implies 289 = 64 + CN^2$.
$CN^2 = 289 - 64 = 225$.
$CN = \sqrt{225} = 15 \, cm$.
$N$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$CD = 2 \times CN = 2 \times 15 = 30 \, cm$.

(D) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $P$ છે અને ત્રિજ્યા $r = 25 \, cm$ છે.
કેન્દ્ર $P$ માંથી જીવાઓ $AB$ અને $CD$ પર લંબ દોરો,જે તેમને અનુક્રમે $M$ અને $N$ બિંદુઓમાં મળે છે.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી:
$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{48}{2} = 24 \, cm$
$CN = ND = \frac{CD}{2} = \frac{40}{2} = 20 \, cm$
કાટ
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PMA$ માં:
$PM^2 + AM^2 = PA^2$
$PM^2 + 24^2 = 25^2$
$PM^2 + 576 = 625$
$PM^2 = 49 \implies PM = 7 \, cm$
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PNC$ માં:
$PN^2 + CN^2 = PC^2$
$PN^2 + 20^2 = 25^2$
$PN^2 + 400 = 625$
$PN^2 = 225 \implies PN = 15 \, cm$
કેન્દ્ર $P$ એ જીવાઓની વચ્ચે હોવાથી,$AB$ અને $CD$ વચ્ચેનું અંતર $PM + PN = 7 \, cm + 15 \, cm = 22 \, cm$ થાય.

(A) ધારો કે $P$ એ $13 \, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. ધારો કે $M$ અને $N$ એ અનુક્રમે જીવા $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી $AM = MB = 12 \, cm$ અને $CN = ND$. $\triangle PMA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$PM^2 + AM^2 = PA^2$,તેથી $PM^2 + 12^2 = 13^2$,જે $PM^2 = 169 - 144 = 25$ આપે છે,તેથી $PM = 5 \, cm$. બે કિસ્સાઓ શક્ય છે: જીવાઓ કેન્દ્રની એક જ બાજુએ અથવા વિરુદ્ધ બાજુએ હોય. કિસ્સો $1$: જીવાઓ વિરુદ્ધ બાજુએ છે. અંતર $MN = PM + PN = 17 \, cm$. $PM = 5 \, cm$ હોવાથી,$PN = 17 - 5 = 12 \, cm$. $\triangle PNC$ માં,$PN^2 + CN^2 = PC^2$,તેથી $12^2 + CN^2 = 13^2$,જે $CN^2 = 169 - 144 = 25$ આપે છે,તેથી $CN = 5 \, cm$. આમ,$CD = 2 \times CN = 10 \, cm$. કિસ્સો $2$: જીવાઓ એક જ બાજુએ છે. અંતર $MN = |PM - PN| = 17 \, cm$. $PM = 5 \, cm$ હોવાથી,$PN$ એ $22 \, cm$ અથવા $-12 \, cm$ થાય,જે અશક્ય છે કારણ કે ત્રિજ્યા $13 \, cm$ છે. તેથી,$CD = 10 \, cm$.

(B) ધારો કે ત્રિજ્યા $r = 50 \, cm$ છે. ધારો કે $M$ અને $N$ એ અનુક્રમે જીવા $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
$AB = 80 \, cm$ હોવાથી,$AM = MB = 40 \, cm$ થાય.
$\triangle PMA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$PM^2 + AM^2 = PA^2$.
$PM^2 + 40^2 = 50^2 \implies PM^2 = 2500 - 1600 = 900 \implies PM = 30 \, cm$.
કેન્દ્ર $P$ એ જીવાઓની વચ્ચે નથી,તેથી જીવાઓ વચ્ચેનું અંતર $PN - PM = 10 \, cm$ થાય.
$PN = 10 + PM = 10 + 30 = 40 \, cm$.
$\triangle PNC$ માં,$PN^2 + NC^2 = PC^2$.
$40^2 + NC^2 = 50^2 \implies 1600 + NC^2 = 2500 \implies NC^2 = 900 \implies NC = 30 \, cm$.
$N$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$CD = 2 \times NC = 2 \times 30 = 60 \, cm$ થાય.

(A) ભૂમિતિના પ્રમેય મુજબ,જો વર્તુળની બે જીવાઓ કેન્દ્ર આગળ સમાન ખૂણા આંતરે,તો તે જીવાઓની લંબાઈ સમાન હોય છે.
અહીં આપેલ છે કે જીવાઓ $PQ$ અને $RS$ કેન્દ્ર $O$ આગળ સમાન ખૂણા આંતરે છે.
તેથી,$PQ = RS$ થાય.
આપેલ છે કે $PQ = 12 \text{ cm}$,તેથી $RS = 12 \text{ cm}$ થાય.