Cyclic Quadrilaterals Questions in Gujarati

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle CAD = \angle DBC = 55^{\circ}$.
હવે,કુલ ખૂણો $\angle DAB = \angle CAD + \angle BAC$.
કિંમતો મૂકતા,$\angle DAB = 55^{\circ} + 45^{\circ} = 100^{\circ}$.
$ABCD$ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ હોવાથી,તેના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle DAB + \angle BCD = 180^{\circ}$.
$\angle DAB$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $100^{\circ} + \angle BCD = 180^{\circ}$.
તેથી,$\angle BCD = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$.

(N/A) આકૃતિમાં,$ABCD$ એક ચતુષ્કોણ છે જેમાં આંતરિક ખૂણાઓ $A, B, C$ અને $D$ ના દ્વિભાજકો એકબીજાને છેદીને ચતુષ્કોણ $EFGH$ બનાવે છે.
હવે,$\triangle AEB$ માં,$\angle FEH = \angle AEB = 180^{\circ} - (\angle EAB + \angle EBA)$
$= 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)$
તે જ રીતે,$\triangle CGD$ માં,$\angle FGH = \angle CGD = 180^{\circ} - (\angle GCD + \angle GDC)$
$= 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\angle FEH + \angle FGH = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) + 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)$
$= 360^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D)$
ચતુષ્કોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$= 360^{\circ} - \frac{1}{2}(360^{\circ}) = 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ}$
ચતુષ્કોણ $EFGH$ ના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,તે એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે.

(A) વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોવાથી,$\angle BAC = \angle BDC$ થાય.
આપેલ છે કે $\angle BAC = 30^{\circ}$,તેથી $\angle BDC = 30^{\circ}$.
$\Delta BCD$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે:
$\angle BCD + \angle DBC + \angle BDC = 180^{\circ}$
$\angle BCD + 70^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BCD = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$.
હવે,$\Delta ABC$ માં,$AB = BC$ હોવાથી,સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે,તેથી $\angle BCA = \angle BAC = 30^{\circ}$.
$\angle BCD = \angle BCA + \angle ECD$ હોવાથી:
$80^{\circ} = 30^{\circ} + \angle ECD$
$\angle ECD = 80^{\circ} - 30^{\circ} = 50^{\circ}$.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે જેમાં વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ વર્તુળના વ્યાસ છે.
$AC$ અને $BD$ વ્યાસ હોવાથી,તેઓ કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થાય છે અને લંબાઈમાં સમાન છે $(AC = BD)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અર્ધવર્તુળમાં બનેલો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે.
$AC$ વ્યાસ હોવાથી,$\angle ABC = 90^{\circ}$ અને $\angle ADC = 90^{\circ}$ થાય.
$BD$ વ્યાસ હોવાથી,$\angle BAD = 90^{\circ}$ અને $\angle BCD = 90^{\circ}$ થાય.
આમ,ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના તમામ અંતઃકોણ $90^{\circ}$ છે.
જે ચતુષ્કોણના બધા ખૂણા $90^{\circ}$ હોય તેને લંબચોરસ કહેવાય છે.
તેથી,$ABCD$ એક લંબચોરસ છે.

(N/A) ધારો કે આપણી પાસે એક સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે જેમાં $AB || CD$ અને $AD = BC$ છે.
ચાલો આપણે $BE || AD$ દોરીએ જેથી $ABED$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બને.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણા સમાન હોવાથી,
$\angle BAD = \angle BED$ ..... $(1)$
અને $AD = BE$ [સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ] ...... $(2)$
પરંતુ $AD = BC$ [આપેલ છે] ......... $(3)$
$(2)$ અને $(3)$ પરથી,આપણને મળે છે
$BE = BC$
$\Rightarrow \angle BEC = \angle BCE$ [સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા સમાન હોય છે]
હવે,$\angle BED + \angle BEC = 180^{\circ}$ [રેખિક જોડના ખૂણા]
કારણ કે $\angle BED = \angle BAD$ અને $\angle BEC = \angle BCE$,તેથી
$\angle BAD + \angle BCE = 180^{\circ}$
ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$\angle BAD + \angle BCD = \angle BAD + (\angle BCE + \angle ECD)$. $ABED$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$\angle ECD = \angle BAD$. આમ,સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$ABCD$ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક ચક્રીય સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
ચક્રીય ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોય છે.
તેથી,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ .... $(1)$
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે,તેથી $\angle A = \angle C$ .... $(2)$
$(2)$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\angle A + \angle A = 180^{\circ}$
$2\angle A = 180^{\circ}$
$\angle A = 90^{\circ}$
કારણ કે $\angle A = \angle C$,તેથી $\angle C = 90^{\circ}$.
તે જ રીતે,બીજા સામસામેના ખૂણાઓની જોડી માટે,$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$ અને $\angle B = \angle D$,જેનો અર્થ છે કે $\angle B = \angle D = 90^{\circ}$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના બધા ખૂણાઓ $90^{\circ}$ હોવાથી,$ABCD$ એક લંબચોરસ છે.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. $A, B$ અને $C$ માંથી પસાર થતું વર્તુળ $CD$ ને $E$ માં છેદે છે.
પગલું $1$: $ABCE$ ચક્રીય ચતુષ્કોણ હોવાથી,સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય.
તેથી,$\angle AEC + \angle B = 180^{\circ}$ --- $(1)$
પગલું $2$: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,સામસામેના ખૂણા સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle D = \angle B$ --- $(2)$
પગલું $3$: સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\angle AEC + \angle D = 180^{\circ}$ --- $(3)$
પગલું $4$: $D, E, C$ એક જ રેખા પર હોવાથી,$\angle AEC$ અને $\angle AED$ રૈખિક જોડના ખૂણા બનાવે છે.
તેથી,$\angle AEC + \angle AED = 180^{\circ}$ --- $(4)$
પગલું $5$: સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ ની સરખામણી કરતા:
$\angle D = \angle AED$
પગલું $6$: $\Delta ADE$ માં,પાયાના ખૂણા $\angle D$ અને $\angle AED$ સમાન હોવાથી,તેમની સામેની બાજુઓ પણ સમાન હોય.
તેથી,$AE = AD$. આમ સાબિત થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $ABCD$ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે અને $AB$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
ચક્રીય ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$\angle ADC + \angle ABC = 180^{\circ}$
$\angle ADC = 140^{\circ}$ આપેલ હોવાથી:
$140^{\circ} + \angle ABC = 180^{\circ}$
$\angle ABC = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$
$AB$ વ્યાસ હોવાથી,અર્ધવર્તુળમાં અંતર્ગત ખૂણો કાટખૂણો હોય છે.
તેથી,$\angle ACB = 90^{\circ}$.
$\Delta ABC$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે:
$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$
$\angle BAC + 40^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BAC + 130^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BAC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ચક્રીય ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો હંમેશા $180^{\circ}$ હોય છે.
આપેલ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો તપાસીએ:
$\angle A + \angle C = 90^{\circ} + 95^{\circ} = 185^{\circ}$.
અહીં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થતો નથી,તેથી ચતુષ્કોણ $ABCD$ એ ચક્રીય ચતુષ્કોણ હોઈ શકે નહીં.
તેથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(N/A) કાટકોણ ત્રિકોણ $ACB$ અને $ADB$ માં,આપણી પાસે છે:
$\angle ACB = 90^{\circ}$ અને $\angle ADB = 90^{\circ}$
તેથી,$\angle ACB + \angle ADB = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$.
ચતુષ્કોણ $ADBC$ ના સામસામેના ખૂણાઓની જોડનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,તે એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે.
હવે,ચાપ $BC$ ને ધ્યાનમાં લો. ખૂણા $\angle BAC$ અને $\angle BDC$ એ વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં એક જ ચાપ $BC$ દ્વારા આંતરાયેલા છે.
વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં એક જ ચાપ દ્વારા આંતરાયેલા ખૂણાઓ સમાન હોવાથી,$\angle BAC = \angle BDC$ થાય છે.

(N/A) આપેલ છે કે $BM \perp AC$ અને $CN \perp AB$.
તેથી,$\angle BMC = 90^{\circ}$ અને $\angle BNC = 90^{\circ}$.
અહીં $\angle BMC = \angle BNC = 90^{\circ}$ હોવાથી,બંને ખૂણા સમાન છે.
આ બંને સમાન ખૂણાઓ એક જ રેખાખંડ $BC$ દ્વારા તેની એક જ તરફ આવેલા બિંદુઓ $M$ અને $N$ પર આંતરાયેલા છે.
પ્રમેય મુજબ,જો બે બિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ તેની એક જ તરફ આવેલા અન્ય બે બિંદુઓ પર સમાન ખૂણા આંતરે,તો તે ચારેય બિંદુઓ એકવર્તુળીય હોય છે.
આમ,બિંદુઓ $B, C, M$ અને $N$ એકવર્તુળીય છે.

(N/A) આપેલ છે કે $BM \perp AC$ અને $CN \perp AB$.
તેથી,$\angle BMC = 90^{\circ}$ અને $\angle BNC = 90^{\circ}$.
અહીં $\angle BMC = \angle BNC = 90^{\circ}$ હોવાથી,બિંદુઓ $M$ અને $N$ એ રેખાખંડ $BC$ ની એક જ તરફ સમાન ખૂણા આંતરે છે.
પ્રમેય મુજબ,જો બે બિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ તેની એક જ તરફ આવેલા અન્ય બે બિંદુઓ પર સમાન ખૂણા આંતરે,તો તે ચારેય બિંદુઓ એકવર્તુળીય હોય છે.
આથી,બિંદુઓ $B, C, M$ અને $N$ એકવર્તુળીય છે.

(N/A) ધારો કે $\Delta ABC$ એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $AB = AC$ છે. એક રેખા $DE$ એ $BC$ ને સમાંતર એવી રીતે દોરવામાં આવી છે કે $D$ એ $AB$ પર અને $E$ એ $AC$ પર આવેલું છે.
આપણે સાબિત કરવાનું છે કે ચતુષ્કોણ $BCED$ એ ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે.
$\Delta ABC$ માં,$AB = AC$ હોવાથી,સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા સમાન હોય છે,તેથી $\angle ABC = \angle ACB$ (અથવા આકૃતિ મુજબ $\angle 1 = \angle 2$).
$DE \parallel BC$ હોવાથી,છેદિકા $AB$ ની એક જ તરફના અંતઃકોણો પૂરક હોય છે.
તેથી,$\angle BDE + \angle ABC = 180^{\circ}$ (અથવા $\angle 3 + \angle 1 = 180^{\circ}$).
$\angle 1 = \angle 2$ મૂકતા,આપણને $\angle 3 + \angle 2 = 180^{\circ}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે ચતુષ્કોણ $BCED$ ના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ છે.
ચતુષ્કોણ $BCED$ ના સામસામેના ખૂણાઓની એક જોડનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,ચતુષ્કોણ $BCED$ ચક્રીય છે.

(N/A) $ABCD$ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે જેમાં સામસામેની બાજુઓની એક જોડ $AB = DC$ છે. આપણે સાબિત કરવાનું છે કે વિકર્ણ $AC =$ વિકર્ણ $BD$.
$\Delta AOB$ અને $\Delta DOC$ માં,આપણી પાસે છે:
$\angle 1 = \angle 3$ [વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોય છે]
$AB = DC$ [આપેલ છે]
$\angle 2 = \angle 4$ [વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોય છે]
તેથી,$\Delta AOB \cong \Delta DOC$ [$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ]
તેથી,$AO = OD$ [$CPCT$] $...(1)$
અને $OC = BO$ [$CPCT$] $...(2)$
હવે,$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$AO + OC = BO + OD$
$\Rightarrow AC = BD$
આમ,સાબિત થાય છે.

$(100^{\circ})$ આપેલ આકૃતિમાં,$ABCD$ એ ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે. ચક્રીય ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle ADC + \angle ABC = 180^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\angle ADC = 130^{\circ}$,તેથી $130^{\circ} + \angle ABC = 180^{\circ}$.
$\angle ABC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$.
હવે,$\Delta OBC$ અને $\Delta OBE$ ને ધ્યાનમાં લો:
$BC = BE$ (આપેલ છે)
$OC = OE$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$OB = OB$ (સામાન્ય બાજુ)
$SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta OBC \cong \Delta OBE$.
તેથી,$\angle OBC = \angle OBE$ ($CPCT$ દ્વારા).
આમ,$\angle CBE = \angle OBC + \angle OBE = 50^{\circ} + 50^{\circ} = 100^{\circ}$.

$(40^{\circ})$ ચક્રીય ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણાઓ પૂરક હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$
$\angle ABC + 130^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle ABC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$
હવે,$\Delta ABC$ માં,$\angle ACB = 90^{\circ}$ (અર્ધવર્તુળમાં આવેલો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય છે).
$\Delta ABC$ માં ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$
$\angle BAC + 50^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BAC + 140^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BAC = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેમાં $AD \parallel BC$ અને તેની સમાંતર ન હોય તેવી બાજુઓ $AB$ અને $DC$ સમાન છે,એટલે કે $AB = DC$.
સાબિત કરવાનું છે: સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ચક્રીય છે.
રચના: $AM \perp BC$ અને $DN \perp BC$ દોરો.
સાબિતી: કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta AMB$ અને $\Delta DNC$ માં:
$\angle AMB = \angle DNC = 90^{\circ}$ (રચના મુજબ)
$AB = DC$ (આપેલ છે)
$AM = DN$ (બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર સમાન હોય છે)
તેથી,$\Delta AMB \cong \Delta DNC$ ($RHS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ).
આમ,$\angle B = \angle C$ $(CPCT)$.
તે જ રીતે,$\angle BAM = \angle CDN$ $(CPCT)$.
$\angle AMB = 90^{\circ}$ અને $\angle DNC = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\angle MAB = 90^{\circ} - \angle B$ અને $\angle NDC = 90^{\circ} - \angle C$ મળે. $\angle B = \angle C$ હોવાથી,$\angle MAB = \angle NDC$ થાય.
હવે,$\angle BAD = \angle BAM + \angle MAD = \angle BAM + 90^{\circ}$ અને $\angle CDA = \angle CDN + \angle NDA = \angle CDN + 90^{\circ}$.
$\angle BAM = \angle CDN$ હોવાથી,$\angle BAD = \angle CDA$ થાય.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$\angle B + \angle C + \angle CDA + \angle BAD = 360^{\circ}$.
$\angle C = \angle B$ અને $\angle CDA = \angle BAD$ મૂકતા,$2\angle B + 2\angle BAD = 360^{\circ}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\angle B + \angle BAD = 180^{\circ}$.
સામસામેના ખૂણાઓની એક જોડીનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ચક્રીય છે.

(N/A) $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. $A$ અને $B$ માંથી પસાર થતું વર્તુળ $AD$ ને $P$ માં અને $BC$ ને $Q$ માં છેદે છે. આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $P, Q, C$ અને $D$ એકવર્તુળીય છે.
$1$. $ABQP$ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ હોવાથી,બાજુ $AP$ ને $D$ સુધી લંબાવતા બનતો બહિષ્કોણ તેના અંતઃસન્મુખ કોણ જેટલો થાય.
ધારો કે $\angle QPD$ એ $P$ આગળનો બહિષ્કોણ છે. તેથી,$\angle QPD = \angle ABQ$.
$2$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$AD \parallel BC$. પરંતુ,સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $DC$ ની છેદિકા $BC$ લેતા,$\angle B + \angle C = 180^{\circ}$ (ક્રમિક અંતઃકોણો).
$3$. $\angle QPD = \angle ABQ$ (ચક્રીય ચતુષ્કોણ $ABQP$ ના ગુણધર્મ મુજબ) અને આપણે જાણીએ છીએ કે $\angle ABQ + \angle C = 180^{\circ}$,તેથી આપણે $\angle ABQ$ ની જગ્યાએ $\angle QPD$ મૂકી શકીએ.
$4$. તેથી,$\angle QPD + \angle C = 180^{\circ}$.
$5$. ચતુષ્કોણ $PDCQ$ ના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$PDCQ$ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે.
આમ,બિંદુઓ $P, Q, C$ અને $D$ એકવર્તુળીય છે.

(N/A) ધારો કે ચક્રીય ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના સામસામેના ખૂણાઓ $\angle A$ અને $\angle C$ ના દ્વિભાજકો વર્તુળને અનુક્રમે $P$ અને $Q$ બિંદુઓમાં છેદે છે.
આપણે સાબિત કરવું છે કે $PQ$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
$AQ$ અને $DQ$ ને જોડો.
ચક્રીય ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણાઓ પૂરક હોવાથી,ચક્રીય ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં:
$\angle DAB + \angle DCB = 180^{\circ}$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{2} \angle DAB + \frac{1}{2} \angle DCB = 90^{\circ}$
ધારો કે $\angle 1 = \frac{1}{2} \angle DAB$ અને $\angle 2 = \frac{1}{2} \angle DCB$. તેથી,$\angle 1 + \angle 2 = 90^{\circ}$.
$\angle 2$ અને $\angle 3$ એ એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ છે જે જીવા $QD$ દ્વારા અંતરાયેલા છે,તેથી $\angle 2 = \angle 3$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\angle 1 + \angle 3 = 90^{\circ}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\angle PAQ = 90^{\circ}$.
વર્તુળના પરિઘ પર $PQ$ દ્વારા અંતરાયેલો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,$PQ$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle BDC = \angle BAC$.
આપેલ છે કે $\angle BAC = 50^{\circ}$,તેથી $\angle BDC = 50^{\circ}$.
હવે,$\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC$.
કિંમતો મૂકતા,$\angle ADC = 45^{\circ} + 50^{\circ} = 95^{\circ}$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ ચક્રીય હોવાથી,સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$.
$\angle ABC + 95^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle ABC = 180^{\circ} - 95^{\circ} = 85^{\circ}$.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એ $AB \parallel CD$ ધરાવતો ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $BC = AD$.
સાબિતી:
$1$. $ABCD$ ચક્રીય ચતુષ્કોણ હોવાથી,સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે. તેથી,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ અને $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$.
$2$. $AB \parallel CD$ હોવાથી,છેદિકાની એક જ તરફના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે. તેથી,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$.
$3$. $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ અને $\angle A + \angle D = 180^{\circ}$ પરથી,આપણને $\angle C = \angle D$ મળે છે.
$4$. તેવી જ રીતે,$AB \parallel CD$ હોવાથી,$\angle B + \angle C = 180^{\circ}$. આપેલ $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$ પરથી,$\angle C = \angle D$ સાબિત થાય છે.
$5$. ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં,જો સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાંતર હોય,તો તે સમદ્વિબાજુ સમલંબ ચતુષ્કોણ બને છે. સમદ્વિબાજુ સમલંબ ચતુષ્કોણમાં અસમાંતર બાજુઓ સમાન હોય છે.
$6$. તેથી,$BC = AD$.

(N/A) $1$. $\triangle ABC$ માં,આપણને $AB = AC$ આપેલ છે. તેથી,$\angle ABC = \angle ACB$ (સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે).
$2$. $B, C, Y, X$ એક જ વર્તુળ પરના બિંદુઓ હોવાથી,$BCYX$ એ ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે.
$3$. ચક્રીય ચતુષ્કોણના ગુણધર્મ મુજબ,ચક્રીય ચતુષ્કોણનો બહિષ્કોણ તેના અંતઃસન્મુખ ખૂણા જેટલો હોય છે.
$4$. તેથી,ચક્રીય ચતુષ્કોણ $BCYX$ માટે,બહિષ્કોણ $\angle AXY = \angle ACB$ થાય.
$5$. આપણને ખબર છે કે $\angle ABC = \angle ACB$,તેથી $\angle AXY = \angle ABC$ થાય.
$6$. આ ખૂણાઓ છેદિકા $AB$ દ્વારા $XY$ અને $BC$ રેખાઓ પર બનતા અનુકોણ છે.
$7$. જો અનુકોણ સમાન હોય,તો રેખાઓ સમાંતર હોય છે. તેથી,$XY \parallel BC$.

(D) $1$. ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે. તેથી,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ અને $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$.
$2$. આપેલ છે કે $\angle B = 80^{\circ}$,તેથી $\angle D = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$.
$3$. $AB \parallel CD$ હોવાથી,છેદિકાની એક જ તરફના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે. તેથી,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$.
$4$. $\angle D = 100^{\circ}$ મૂકતા,$\angle A + 100^{\circ} = 180^{\circ}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\angle A = 80^{\circ}$.
$5$. અંતે,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ નો ઉપયોગ કરતા,$80^{\circ} + \angle C = 180^{\circ}$ મળે,તેથી $\angle C = 100^{\circ}$.
$6$. આમ,ખૂણાઓ $\angle A = 80^{\circ}, \angle C = 100^{\circ}, \angle D = 100^{\circ}$ છે.

(D) ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં,એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
ચક્રીય ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,એક જ ચાપ $AB$ દ્વારા પરિઘ પર બનતા ખૂણાઓ $\angle ACB$ અને $\angle ADB$ છે.
તેથી,$\angle ACB = \angle ADB = 78^{\circ}$.
હવે,ત્રિકોણ $\triangle ABC$ નો વિચાર કરો. ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^{\circ}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\angle ABC + 52^{\circ} + 78^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle ABC + 130^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle ABC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$.

(A) $1$. ચક્રીય ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$2$. તેથી,$\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$.
$3$. આપેલ છે કે $\angle ADC = 150^{\circ}$,તેથી $\angle ABC = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.
$4$. $AB$ વ્યાસ હોવાથી,અર્ધવર્તુળનો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે. તેથી,$\angle ACB = 90^{\circ}$.
$5$. $\triangle ABC$ માં,ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$6$. $\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$.
$7$. $\angle BAC + 30^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$.
$8$. $\angle BAC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.

(B) ચક્રીય ચતુષ્કોણ $PQRS$ માં,એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
અહીં $\angle QPR$ અને $\angle QSR$ એક જ ચાપ $QR$ દ્વારા પરિઘ પર બનતા ખૂણા હોવાથી,$\angle QSR = \angle QPR = 40^{\circ}$ થાય.
આપેલ છે કે $\angle PSQ = 70^{\circ}$,તેથી કુલ ખૂણો $\angle PSR = \angle PSQ + \angle QSR = 70^{\circ} + 40^{\circ} = 110^{\circ}$ થાય.
ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોય છે.
તેથી,$\angle PQR + \angle PSR = 180^{\circ}$.
$\angle PQR + 110^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle PQR = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$.

(C) $1$. ચક્રીય ચતુષ્કોણ $ABDE$ માં,બહિષ્કોણ એ અંતઃસન્મુખ કોણ જેટલો હોય છે. તેથી,$\triangle ACE$ માં,$\angle C = 40^{\circ}$ અને $\angle CAE = 65^{\circ}$ છે. તેથી,$\angle AEC = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 65^{\circ}) = 75^{\circ}$.
$2$. ચક્રીય ગુણધર્મ મુજબ,$\angle BDE = 180^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ}$.
$3$. તેથી,$c = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ}$.
$4$. $\angle a = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$.
$5$. $\triangle FDE$ માં,$b = 180^{\circ} - (65^{\circ} + 105^{\circ}) = 10^{\circ}$.
$6$. આમ,$a=150^{\circ}, b=10^{\circ}, c=65^{\circ}, d=75^{\circ}$.

(D) ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $\angle A : \angle C = 4 : 5$,તેથી ધારો કે $\angle A = 4x$ અને $\angle C = 5x$.
ચક્રીય ચતુષ્કોણના ગુણધર્મ મુજબ,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$,તેથી $4x + 5x = 180^{\circ} \Rightarrow 9x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 20^{\circ}$.
આથી,$\angle A = 4(20^{\circ}) = 80^{\circ}$ અને $\angle C = 5(20^{\circ}) = 100^{\circ}$.
તે જ રીતે,$\angle B : \angle D = 5 : 7$,તેથી ધારો કે $\angle B = 5y$ અને $\angle D = 7y$.
$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$ હોવાથી,$5y + 7y = 180^{\circ} \Rightarrow 12y = 180^{\circ} \Rightarrow y = 15^{\circ}$.
આથી,$\angle B = 5(15^{\circ}) = 75^{\circ}$ અને $\angle D = 7(15^{\circ}) = 105^{\circ}$.
તેથી,ખૂણાઓ $\angle A = 80^{\circ}, \angle B = 75^{\circ}, \angle C = 100^{\circ}, \angle D = 105^{\circ}$ છે.

(A) ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle P + \angle R = 180^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\angle P = \angle R + 50^{\circ}$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $\angle P$ ની કિંમત મૂકતા:
$(\angle R + 50^{\circ}) + \angle R = 180^{\circ}$
$2\angle R + 50^{\circ} = 180^{\circ}$
$2\angle R = 130^{\circ}$
$\angle R = 65^{\circ}$.
હવે,$\angle P$ શોધતા:
$\angle P = 65^{\circ} + 50^{\circ} = 115^{\circ}$.
આમ,$\angle P = 115^{\circ}$ અને $\angle R = 65^{\circ}$.

(B) ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ અને $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\angle A = 4 \angle C$,આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $4 \angle C + \angle C = 180^{\circ} \implies 5 \angle C = 180^{\circ} \implies \angle C = 36^{\circ}$.
તેથી,$\angle A = 4 \times 36^{\circ} = 144^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\angle B = 3 \angle D$,આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $3 \angle D + \angle D = 180^{\circ} \implies 4 \angle D = 180^{\circ} \implies \angle D = 45^{\circ}$.
તેથી,$\angle B = 3 \times 45^{\circ} = 135^{\circ}$.
આમ,ખૂણાઓ $\angle A = 144^{\circ}, \angle B = 135^{\circ}, \angle C = 36^{\circ}, \angle D = 45^{\circ}$ છે.

(A) $1$. $A$ એ $B, C$ અને $D$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર હોવાથી,$AB = AC = AD = r$ (જ્યાં $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે).
$2$. $\triangle ABD$ માં,$AB = AD$ હોવાથી,$\angle ABD = \angle ADB = (180^{\circ} - \angle BAD)/2 = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle BAD$.
$3$. $\triangle BCD$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે. તેથી,$\angle CBD + \angle CDB + \angle BCD = 180^{\circ}$.
$4$. વર્તુળના પ્રમેય મુજબ,વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો એ પરિઘ પરના ખૂણા કરતા બમણો હોય છે. અહીં,$\angle BCD = \frac{1}{2} (360^{\circ} - \angle BAD) = 180^{\circ} - \frac{1}{2} \angle BAD$.
$5$. આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા: $\angle CBD + \angle CDB + (180^{\circ} - \frac{1}{2} \angle BAD) = 180^{\circ}$.
$6$. તેથી,$\angle CBD + \angle CDB = \frac{1}{2} \angle BAD$.

(N/A) $1$. $\triangle ABC$ માં,$BM \perp AC$ અને $CN \perp AB$ છે.
$2$. તેથી,$\angle BMC = 90^\circ$ અને $\angle BNC = 90^\circ$ થાય.
$3$. રેખાખંડ $BC$ ને જીવા તરીકે ધ્યાનમાં લો.
$4$. રેખાખંડ $BC$ દ્વારા બિંદુઓ $M$ અને $N$ આગળ આંતરાતા ખૂણાઓ $\angle BMC = 90^\circ$ અને $\angle BNC = 90^\circ$ છે.
$5$. કારણ કે $\angle BMC = \angle BNC = 90^\circ$,બિંદુઓ $M$ અને $N$ એ $BC$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળ પર આવેલા છે.
$6$. આમ,બિંદુઓ $B, C, M$ અને $N$ ચક્રીય છે.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેમાં $AB \parallel CD$ અને સમાંતર ન હોય તેવી બાજુઓ $AD = BC$ છે.
$ABCD$ ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે દર્શાવવું પડશે કે સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,એટલે કે $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ અથવા $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$.
$DE \perp AB$ અને $CF \perp AB$ દોરો.
$\triangle ADE$ અને $\triangle BCF$ માં:
$AD = BC$ (આપેલ છે)
$\angle AED = \angle BFC = 90^{\circ}$ (રચના મુજબ)
$DE = CF$ (સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર સમાન હોય છે)
તેથી,$RHS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle ADE \cong \triangle BCF$.
આનો અર્થ એ છે કે $\angle A = \angle B$ ($CPCT$ દ્વારા).
કારણ કે $AB \parallel CD$,તેથી ક્રમિક અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,એટલે કે $\angle A + \angle D = 180^{\circ}$.
$\angle A$ ની જગ્યાએ $\angle B$ મૂકતા,આપણને $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$ મળે છે.
સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$ABCD$ એ ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે.

(D) ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $ABCD$ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે,તેથી $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
વળી,આપેલ છે કે $\angle A = \angle C$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $\angle C$ ની જગ્યાએ $\angle A$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\angle A + \angle A = 180^{\circ}$.
$2\angle A = 180^{\circ}$.
તેથી,$\angle A = 180^{\circ} / 2 = 90^{\circ}$.

(B) ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle Q + \angle S = 180^{\circ}$.
આપેલ છે કે $5 \angle Q = 7 \angle S$,તેથી આપણે $\angle S$ ને $\angle S = \frac{5}{7} \angle Q$ તરીકે લખી શકીએ.
આ કિંમતને સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\angle Q + \frac{5}{7} \angle Q = 180^{\circ}$.
$\frac{7 \angle Q + 5 \angle Q}{7} = 180^{\circ}$.
$\frac{12 \angle Q}{7} = 180^{\circ}$.
$\angle Q = \frac{180^{\circ} \times 7}{12}$.
$\angle Q = 15^{\circ} \times 7 = 105^{\circ}$.

(C) ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં,એક જ ચાપ દ્વારા પરિઘ પર બનતા ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
અહીં $ABCD$ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે,તેથી ચાપ $AB$ દ્વારા પરિઘ પર બનતા ખૂણા $\angle ADB$ અને $\angle ACB$ સમાન થશે.
તેથી,$\angle ACB = \angle ADB = 55^{\circ}$.
હવે,ત્રિકોણ $\triangle ABC$ નો વિચાર કરો. ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $45^{\circ} + \angle ABC + 55^{\circ} = 180^{\circ}$.
$100^{\circ} + \angle ABC = 180^{\circ}$.
$\angle ABC = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$.

(D) ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $ABCD$ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે,તેથી સામસામેના ખૂણાઓની જોડ $\angle A$ અને $\angle C$ તથા $\angle B$ અને $\angle D$ છે.
તેથી,$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$.
અહીં $\angle B = 75^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $75^{\circ} + \angle D = 180^{\circ}$.
$\angle D = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ}$.

(D) ચક્રીય ચતુષ્કોણનો ગુણધર્મ એ છે કે તેના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(2x - 10^{\circ}) + (3x - 35^{\circ}) = 180^{\circ}$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા: $5x - 45^{\circ} = 180^{\circ}$.
બંને બાજુ $45^{\circ}$ ઉમેરતા: $5x = 225^{\circ}$.
$5$ વડે ભાગતા: $x = 45^{\circ}$.
હવે,$\angle A$ ની કિંમત શોધો: $\angle A = 2x - 10^{\circ} = 2(45^{\circ}) - 10^{\circ} = 90^{\circ} - 10^{\circ} = 80^{\circ}$.

(C) ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
આપેલ સમીકરણ $5 \angle A = 13 \angle C$ પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $\angle C = \frac{5}{13} \angle A$.
આ કિંમતને સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\angle A + \frac{5}{13} \angle A = 180^{\circ}$.
$\frac{13 \angle A + 5 \angle A}{13} = 180^{\circ}$.
$\frac{18 \angle A}{13} = 180^{\circ}$.
$\angle A = 180^{\circ} \times \frac{13}{18}$.
$\angle A = 10^{\circ} \times 13 = 130^{\circ}$.

(D) ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં,એક જ ચાપ દ્વારા વર્તુળના પરિઘ પર બનતા ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
અહીં,$\angle PRQ$ અને $\angle PSQ$ એ એક જ ચાપ $PQ$ દ્વારા વર્તુળના પરિઘ પર બનતા ખૂણાઓ છે.
તેથી,$\angle PSQ = \angle PRQ$.
આપેલ છે કે $\angle PRQ = 52^{\circ}$,તેથી $\angle PSQ = 52^{\circ}$ થાય.

(A) ધારો કે ખૂણાઓ $3x, 2x, 4x$ અને $5x$ છે.
ચતુષ્કોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ હોવાથી:
$3x + 2x + 4x + 5x = 360^{\circ}$
$14x = 360^{\circ}$
$x = \frac{360}{14} = \frac{180}{7}^{\circ}$
હવે,ખૂણાઓની ગણતરી કરીએ:
$\angle A = 3 \times \frac{180}{7} = \frac{540}{7}^{\circ} \approx 77.14^{\circ}$
$\angle B = 2 \times \frac{180}{7} = \frac{360}{7}^{\circ} \approx 51.43^{\circ}$
$\angle C = 4 \times \frac{180}{7} = \frac{720}{7}^{\circ} \approx 102.86^{\circ}$
$\angle D = 5 \times \frac{180}{7} = \frac{900}{7}^{\circ} \approx 128.57^{\circ}$
ચક્રીય ચતુષ્કોણ માટે,સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવો જોઈએ.
$\angle A + \angle C = \frac{540}{7} + \frac{720}{7} = \frac{1260}{7} = 180^{\circ}$
$\angle B + \angle D = \frac{360}{7} + \frac{900}{7} = \frac{1260}{7} = 180^{\circ}$
સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$ABCD$ એ ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે.

(B) ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(3x + 15^{\circ}) + (2x + 15^{\circ}) = 180^{\circ}$.
સમાન પદોનો સરવાળો કરતા: $5x + 30^{\circ} = 180^{\circ}$.
બંને બાજુથી $30^{\circ}$ બાદ કરતા: $5x = 150^{\circ}$.
$5$ વડે ભાગતા: $x = 30^{\circ}$.
આમ,$x$ ની કિંમત $30$ છે.

(C) ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં,સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\angle B = \angle D - 30^{\circ}$,તેથી આપણે $\angle D = \angle B + 30^{\circ}$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\angle B + (\angle B + 30^{\circ}) = 180^{\circ}$.
$2\angle B + 30^{\circ} = 180^{\circ}$.
$2\angle B = 150^{\circ}$.
$\angle B = 75^{\circ}$.