Angle Subtended by an Arc of a Circle Questions in Gujarati

(A) ધારો કે જીવા $AB$ છે અને વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ છે. જીવા $AB$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલી હોવાથી,$OA = OB = AB$ થાય.
તેથી,$\Delta AOB$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનો દરેક ખૂણો $60^{\circ}$ હોવાથી,$\angle AOB = 60^{\circ}$ મળે.
જીવા દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરાતો વિપરીત ખૂણો $\text{reflex } \angle AOB = 360^{\circ} - 60^{\circ} = 300^{\circ}$ થાય.
લઘુચાપ પરના બિંદુ $C$ આગળ જીવા દ્વારા આંતરાતો ખૂણો એ કેન્દ્ર આગળ આંતરાતા વિપરીત ખૂણાના અડધા માપનો હોય છે: $\angle ACB = \frac{1}{2} \times 300^{\circ} = 150^{\circ}$.
ગુરુચાપ પરના બિંદુ $D$ આગળ જીવા દ્વારા આંતરાતો ખૂણો એ કેન્દ્ર આગળ આંતરાતા ખૂણાના અડધા માપનો હોય છે: $\angle ADB = \frac{1}{2} \times 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
આમ,લઘુચાપ પર આંતરાતો ખૂણો $150^{\circ}$ અને ગુરુચાપ પર આંતરાતો ખૂણો $30^{\circ}$ છે.

(N/A) ધારો કે એક ત્રિકોણ $ABC$ એક વર્તુળમાં અંતર્ગત છે,જ્યાં $\angle A, \angle B$ અને $\angle C$ ના ખૂણાના દ્વિભાજકો પરિવૃતને અનુક્રમે $D, E$ અને $F$ માં છેદે છે.
$DE, EF$ અને $FD$ ને જોડો.
સમાન વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોવાથી:
$\angle FDA = \angle FCA = \frac{1}{2} \angle C$ (કારણ કે $CF$ એ $\angle C$ નો દ્વિભાજક છે)
$\angle EDA = \angle EBA = \frac{1}{2} \angle B$ (કારણ કે $BE$ એ $\angle B$ નો દ્વિભાજક છે)
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\angle FDE = \angle FDA + \angle EDA = \frac{1}{2} \angle C + \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2}(\angle B + \angle C)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$,તેથી $\angle B + \angle C = 180^{\circ} - \angle A$.
તેથી,$\angle FDE = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle A) = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle A$.
તે જ રીતે,$\angle FED = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle B$ અને $\angle EFD = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle C$.
આમ,$\Delta DEF$ ના ખૂણાઓ $90^{\circ} - \frac{A}{2}, 90^{\circ} - \frac{B}{2}$ અને $90^{\circ} - \frac{C}{2}$ છે.

(D) $\Delta OAB$ માં,
$OA = OB$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ).
તેથી,$\angle OAB = \angle OBA = 40^{\circ}$ (સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે).
$\Delta OAB$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle AOB = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 40^{\circ}) = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$.
પ્રમેય મુજબ,વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ આંતરેલા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે.
તેથી,$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \times 100^{\circ} = 50^{\circ}$.

(C) $\Delta OAB$ માં,આપણી પાસે છે:
$OA = OB$ [એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ]
તેથી,$\angle ABO = \angle BAO$ [સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે].
આપેલ છે કે $\angle BAO = 60^{\circ}$,તેથી $\angle ABO = 60^{\circ}$.
$\Delta OAB$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $\angle AOB = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 60^{\circ}) = 60^{\circ}$.
$BC$ એ વ્યાસ હોવાથી,$\angle AOC = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો,વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈ પણ બિંદુએ બનતા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે.
આમ,$\angle ADC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \times 120^{\circ} = 60^{\circ}$.

(B) આ વિધાન $False$ (ખોટું) છે.
સમર્થન: વર્તુળના પ્રમેય મુજબ,વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા બે બિંદુઓ આગળ જીવા દ્વારા આંતરાતા ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
જો કે,જો બે બિંદુઓ અલગ-અલગ વૃત્તખંડમાં આવેલા હોય (એક ગુરુ વૃત્તખંડમાં અને એક લઘુ વૃત્તખંડમાં),તો આ બિંદુઓ આગળ જીવા દ્વારા આંતરાતા ખૂણાઓ પૂરક હોય છે,સમાન હોતા નથી. તેથી,વિધાન ખોટું છે કારણ કે તેમાં એ સ્પષ્ટતા નથી કે બિંદુઓ એક જ વૃત્તખંડમાં હોવા જોઈએ.

(N/A) આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ ચાપ દ્વારા બનતો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ બનતા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે.
તેથી,$\angle AOC = 2 \times \angle ABC$.
આપેલ છે કે $\angle ABC = 45^{\circ}$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\angle AOC = 2 \times 45^{\circ} = 90^{\circ}$ મળે છે.
જેથી $\angle AOC = 90^{\circ}$ હોવાથી,રેખાઓ $OA$ અને $OC$ એકબીજાને લંબ છે.
આમ,$OA \perp OC$ સાબિત થાય છે.

$(50^{\circ})$ વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ આંતરેલા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે,તેથી:
$\angle AOB = 2 \angle ACB = 2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$
$\Delta OAB$ માં,$OA = OB$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ) હોવાથી,સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા સમાન હોય છે. તેથી,$\angle OAB = \angle OBA = p^{\circ}$.
$\Delta OAB$ માં ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$p^{\circ} + p^{\circ} + \angle AOB = 180^{\circ}$
$2p^{\circ} + 80^{\circ} = 180^{\circ}$
$2p^{\circ} = 180^{\circ} - 80^{\circ}$
$2p^{\circ} = 100^{\circ}$
$p^{\circ} = 50^{\circ}$
આમ,$\angle OAB = 50^{\circ}$.

(N/A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2} \text{ cm}$ છે. ધારો કે $BC$ એ $2 \text{ cm}$ લંબાઈની જીવા છે.
$OB$ અને $OC$ ને જોડો. $\triangle OBC$ માં,આપણી પાસે $OB = OC = \sqrt{2} \text{ cm}$ અને $BC = 2 \text{ cm}$ છે.
ચકાસો કે શું $\triangle OBC$ કાટકોણ ત્રિકોણ છે:
$OB^2 + OC^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4$.
$BC^2 = (2)^2 = 4$.
અહીં $OB^2 + OC^2 = BC^2$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$\angle BOC = 90^{\circ}$ થાય.
વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ ચાપ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો,વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુએ આંતરાતા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે.
તેથી,$\angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}$.
આમ,સાબિત થાય છે કે ગુરુ વૃત્તખંડમાં જીવા દ્વારા આંતરાતો ખૂણો $45^{\circ}$ છે.

(C) વર્તુળના પ્રમેય મુજબ,વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરાયેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ આંતરાયેલા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે.
અહીં,ચાપ $AB$ એ કેન્દ્ર $P$ આગળ $\angle APB$ અને વર્તુળના બાકીના ભાગ પર $\angle ACB$ આંતરે છે.
તેથી,$\angle APB = 2 \angle ACB$.
આપેલ છે કે $\angle ACB = 50^{\circ}$.
કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $\angle APB = 2 \times 50^{\circ} = 100^{\circ}$.
આમ,$\angle APB$ નું માપ $100^{\circ}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $AB$ એ $P$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળની જીવા છે. બિંદુ $C$ એ ગુરુચાપ $AB$ પરનું એક બિંદુ છે.
આપણને $\angle APB = 130^{\circ}$ આપેલ છે.
વર્તુળના પ્રમેય મુજબ,વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરાયેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ આંતરાયેલા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે.
તેથી,$\angle APB = 2 \angle ACB$.
આપેલ કિંમત મૂકતા:
$130^{\circ} = 2 \angle ACB$
$\angle ACB = \frac{130^{\circ}}{2} = 65^{\circ}$.
આમ,$\angle ACB = 65^{\circ}$.

(B) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2} \ cm$ અને જીવાની લંબાઈ $AB = 2 \ cm$.
$\triangle APB$ માં,$AP = BP = r = \sqrt{2} \ cm$ અને $AB = 2 \ cm$.
ચકાસો કે શું $\triangle APB$ કાટકોણ ત્રિકોણ છે: $AP^2 + BP^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4$.
અહીં $AB^2 = 2^2 = 4$ હોવાથી,$AP^2 + BP^2 = AB^2$ થાય છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપ મુજબ,$\triangle APB$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle APB = 90^{\circ}$ છે.
જીવા $AB$ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરાયેલો ખૂણો $\angle APB = 90^{\circ}$ છે.
વર્તુળના ગુરુચાપ પરના કોઈપણ બિંદુ $C$ આગળ આ જ જીવા દ્વારા આંતરાયેલો ખૂણો,કેન્દ્ર આગળ આંતરાયેલા ખૂણા કરતા અડધો હોય છે.
તેથી,$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle APB = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}$.

(D) વર્તુળના પ્રમેય મુજબ,વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરાયેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈ પણ બિંદુ આગળ આંતરાયેલા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે.
અહીં,ચાપ $AB$ એ કેન્દ્ર $P$ આગળ $\angle APB$ અને ગુરુચાપ પરના બિંદુ $C$ આગળ $\angle ACB$ આંતરે છે.
તેથી,$\angle APB = 2 \times \angle ACB$.
આપેલ છે કે $\angle ACB = 47^{\circ}$.
તેથી,$\angle APB = 2 \times 47^{\circ} = 94^{\circ}$.

(A) વર્તુળ પરના બે બિંદુઓ વચ્ચેના વર્તુળના ભાગને $\operatorname{arc}$ (ચાપ) કહેવામાં આવે છે.
ચાપ એ વર્તુળના પરિઘનો એક ભાગ છે.

(D) ધારો કે જીવા $AB$ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો $\angle APB = \theta$ છે.
પ્રમેય મુજબ,વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુએ બનતા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે.
તેથી,$\angle APB = 2 \times \angle ACB$,જેનો અર્થ છે કે $\angle ACB = \frac{\theta}{2}$.
આપેલ છે કે $\angle ACB + \angle APB = 150^{\circ}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{\theta}{2} + \theta = 150^{\circ}$.
$\frac{3\theta}{2} = 150^{\circ}$.
$\theta = 150^{\circ} \times \frac{2}{3} = 100^{\circ}$.
આમ,$\angle APB = 100^{\circ}$.