Angle Subtended by a Chord at a Point Questions in Gujarati

(N/A) $O$ અને $O'$ કેન્દ્રવાળા બે એકરૂપ વર્તુળો ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $AB$ અને $CD$ એ આ વર્તુળોની સમાન જીવાઓ છે,એટલે કે $AB = CD$.
આપણે સાબિત કરવું છે કે $\angle AOB = \angle CO'D$.
$\Delta AOB$ અને $\Delta CO'D$ માં:
$AO = CO'$ (એકરૂપ વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ સમાન હોય છે)
$BO = DO'$ (એકરૂપ વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ સમાન હોય છે)
$AB = CD$ (આપેલ છે)
$SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta AOB \cong \Delta CO'D$.
એકરૂપ ત્રિકોણોના અનુરૂપ ભાગો સમાન હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\angle AOB = \angle CO'D$.
આમ,એકરૂપ વર્તુળોની સમાન જીવાઓ તેમના કેન્દ્ર આગળ સમાન ખૂણા આંતરે છે.

(N/A) આપેલ છે: $O$ અને $O'$ કેન્દ્રવાળા બે એકરૂપ વર્તુળો છે. ધારો કે $AB$ એ પ્રથમ વર્તુળની જીવા છે અને $CD$ એ બીજા વર્તુળની જીવા છે,જેથી $\angle AOB = \angle CO'D$ થાય.
સાબિત કરવાનું છે: $AB = CD$.
સાબિતી:
$\Delta AOB$ અને $\Delta CO'D$ માં:
$AO = CO'$ (એકરૂપ વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ)
$BO = DO'$ (એકરૂપ વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ)
$\angle AOB = \angle CO'D$ (આપેલ છે)
તેથી,$SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ:
$\Delta AOB \cong \Delta CO'D$
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
આમ,$AB = CD$.

(N/A) ધારો કે વર્તુળનો ચાપ $PQ$ આપેલ છે. આપણે વર્તુળ પૂર્ણ કરવાનું છે,જેનો અર્થ છે કે આપણે તેનું કેન્દ્ર અને ત્રિજ્યા શોધવી પડશે.
$1$. ચાપ $PQ$ પર એક બિંદુ $R$ લો.
$2$. $PR$ અને $RQ$ ને જોડીને બે જીવાઓ $PR$ અને $RQ$ બનાવો.
$3$. જીવા $PR$ અને $RQ$ ના લંબદ્વિભાજકો દોરો.
$4$. જે બિંદુએ આ બંને લંબદ્વિભાજકો એકબીજાને છેદે છે,તે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ છે.
$5$. $O$ ને કેન્દ્ર તરીકે અને $OP$ (અથવા $OQ$ અથવા $OR$) ને ત્રિજ્યા તરીકે લઈને,વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે વર્તુળ દોરો.

(N/A) ચાલો નીચે દર્શાવ્યા મુજબ વર્તુળોની વિવિધ જોડીઓ દોરીએ:

આકૃતિમાં	સામાન્ય બિંદુઓની મહત્તમ સંખ્યા
$(i)$	$0$
$(ii)$	$1$
$(iii)$	$2$

આમ,બે વર્તુળોમાં વધુમાં વધુ $2$ બિંદુઓ સામાન્ય હોઈ શકે છે.

(N/A) ધારો કે $AB$ અને $CD$ એ $O$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળની બે જીવાઓ છે,જે $E$ બિંદુમાં છેદે છે. $PQ$ એ $E$ માંથી પસાર થતો વ્યાસ છે,જેથી $\angle AEQ = \angle DEQ$ થાય. આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $AB = CD$.
જીવા $AB$ અને $CD$ પર અનુક્રમે લંબ $OL$ અને $OM$ દોરો.
$\Delta OLE$ માં,$\angle OLE = 90^{\circ}$. તેથી,$\angle LOE = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle LEO = 90^{\circ} - \angle LEO$.
$\angle LEO = \angle AEQ$ હોવાથી (અભિકોણો),આપણને મળે છે $\angle LOE = 90^{\circ} - \angle AEQ$.
તે જ રીતે,$\Delta OME$ માં,$\angle OME = 90^{\circ}$. તેથી,$\angle MOE = 90^{\circ} - \angle MEO = 90^{\circ} - \angle DEQ$.
આપેલ છે કે $\angle AEQ = \angle DEQ$,તેથી $\angle LOE = \angle MOE$ થાય છે.
હવે,ત્રિકોણ $OLE$ અને $OME$ માં:
$1$. $\angle LEO = \angle MEO$ (આપેલ છે કે $\angle AEQ = \angle DEQ$ અને અભિકોણો)
$2$. $\angle LOE = \angle MOE$ (ઉપર સાબિત કર્યું)
$3$. $EO = EO$ (સામાન્ય બાજુ)
$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta OLE \cong \Delta OME$.
$CPCT$ મુજબ,$OL = OM$.
વર્તુળના કેન્દ્રથી સમાન અંતરે આવેલી જીવાઓ સમાન લંબાઈની હોય છે,તેથી $AB = CD$ સાબિત થાય છે.

(B) ધારો કે બે વર્તુળોના કેન્દ્રો $O$ અને $O'$ છે,જેમની ત્રિજ્યા અનુક્રમે $r_1 = 5\, cm$ અને $r_2 = 3\, cm$ છે. કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $OO' = 4\, cm$ છે.
ધારો કે $PQ$ એ સામાન્ય જીવા છે જે $OO'$ ને $L$ બિંદુએ છેદે છે.
કેન્દ્રોને જોડતી રેખા એ સામાન્ય જીવાનો લંબદ્વિભાજક હોવાથી,$\angle OLP = 90^{\circ}$ અને $PL = LQ$ થાય.
ધારો કે $O'L = x$,તો $OL = 4 - x$ થાય.
કાટકોણ $\Delta OLP$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PL^2 + OL^2 = OP^2$
$PL^2 + (4 - x)^2 = 5^2$
$PL^2 = 25 - (16 - 8x + x^2) = 9 + 8x - x^2 \quad \dots(1)$
કાટકોણ $\Delta O'LP$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PL^2 + O'L^2 = O'P^2$
$PL^2 + x^2 = 3^2$
$PL^2 = 9 - x^2 \quad \dots(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$9 + 8x - x^2 = 9 - x^2$
$8x = 0 \Rightarrow x = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $L$ એ $O'$ પર સંપાતી થાય છે. આમ,$PQ$ એ નાના વર્તુળનો વ્યાસ છે.
$PL^2 = 9 - 0^2 = 9 \Rightarrow PL = 3\, cm$.
તેથી $PQ = 2 \times PL = 2 \times 3 = 6\, cm$.
આમ,સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $6\, cm$ છે.

(C) ધારો કે અંકુર,સૈયદ અને ડેવિડના સ્થાન વર્તુળ પર $A, S$ અને $D$ છે,જેનું કેન્દ્ર $O$ અને ત્રિજ્યા $20 \, m$ છે.
તેઓ સમાન અંતરે બેઠા હોવાથી,$\Delta ASD$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,પરિત્રિજ્યા $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ છે.
અહીં $R = 20 \, m$ આપેલ છે,તેથી $20 = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
આથી,$a = 20 \sqrt{3} \, m$.
દરેક ફોનની દોરીની લંબાઈ એ સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ જેટલી થાય,જે $20 \sqrt{3} \, m$ છે.

(N/A) $OC$,$OD$ અને $BC$ ને જોડો.
ચૂક્યું $CD$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલી છે $(OC = OD = CD)$,તેથી ત્રિકોણ $ODC$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
તેથી,$\angle COD = 60^{\circ}$.
હવે,વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ ચાપ દ્વારા બનતો ખૂણો,વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુએ બનતા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે.
આમ,$\angle CBD = \frac{1}{2} \angle COD = \frac{1}{2} \times 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
$AB$ એ વ્યાસ હોવાથી,અર્ધવર્તુળમાં બનતો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે,તેથી $\angle ACB = 90^{\circ}$.
$ACE$ એ એક સીધી રેખા હોવાથી,$\angle BCE = 180^{\circ} - \angle ACB = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
$\triangle BCE$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle CEB + \angle BCE + \angle CBE = 180^{\circ}$.
$\angle CEB + 90^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle CEB = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.
આમ,$\angle AEB = 60^{\circ}$.

(N/A) $AB$ ને જોડો.
$\angle ABD = 90^\circ$ (અર્ધવર્તુળમાંનો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે).
$\angle ABC = 90^\circ$ (અર્ધવર્તુળમાંનો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે).
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$\angle ABD + \angle ABC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ.$
ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ હોવાથી,બિંદુઓ $D, B,$ અને $C$ એક સીધી રેખા બનાવે છે. તેથી,$B$ એ રેખાખંડ $DC$ પર આવેલું છે.

(D) આપેલ છે કે,$O$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળમાં $\angle AOB = 60^{\circ}$ અને $\angle BOC = 30^{\circ}$ છે.
કારણ કે $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC$,તેથી $\angle AOC = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}$ થાય.
ચાપ $ABC$ એ વર્તુળના કેન્દ્ર પર $\angle AOC = 90^{\circ}$ ખૂણો આંતરે છે.
પ્રમેય મુજબ,વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈ પણ બિંદુ આગળ આંતરેલા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે.
તેથી,$\angle ADC = \frac{1}{2} \angle AOC$.
$\angle ADC = \frac{1}{2} (90^{\circ}) = 45^{\circ}$.

(B) વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરાયેલો ખૂણો,તે જ ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ આંતરાયેલા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે.
તેથી,વિપરીત $\angle POR = 2 \times \angle PQR$.
આપેલ છે કે $\angle PQR = 100^{\circ}$.
તેથી,વિપરીત $\angle POR = 2 \times 100^{\circ} = 200^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\angle POR + \text{વિપરીત } \angle POR = 360^{\circ}$,તેથી $\angle POR + 200^{\circ} = 360^{\circ}$.
આમ,$\angle POR = 360^{\circ} - 200^{\circ} = 160^{\circ}$.
$\Delta POR$ માં,$OP = OR$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ).
તેથી,$\angle OPR = \angle ORP$ (સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા સમાન હોય છે).
$\Delta POR$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $\angle OPR + \angle ORP + \angle POR = 180^{\circ}$.
$\angle ORP = \angle OPR$ મૂકતા,આપણને મળે છે $2 \angle OPR + 160^{\circ} = 180^{\circ}$.
$2 \angle OPR = 180^{\circ} - 160^{\circ} = 20^{\circ}$.
$\angle OPR = \frac{20^{\circ}}{2} = 10^{\circ}$.

(C) $\Delta ABC$ માં,આપણી પાસે છે:
$\angle ABC = 69^{\circ}$ અને $\angle ACB = 31^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^{\circ}$.
$69^{\circ} + 31^{\circ} + \angle BAC = 180^{\circ}$.
$100^{\circ} + \angle BAC = 180^{\circ}$.
$\angle BAC = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$.
વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોવાથી,$\angle BDC = \angle BAC$ થાય.
તેથી,$\angle BDC = 80^{\circ}$.

(D) $\Delta CDE$ માં,બહિષ્કોણ $\angle BEC$ એ તેના અંતઃસન્મુખ ખૂણાઓના સરવાળા જેટલો હોય છે.
$\angle BEC = \angle EDC + \angle ECD$
અહીં $\angle BEC = 130^{\circ}$ અને $\angle ECD = 20^{\circ}$ આપેલ છે.
$130^{\circ} = \angle EDC + 20^{\circ}$
$\angle EDC = 130^{\circ} - 20^{\circ} = 110^{\circ}$
$\angle EDC$ અને $\angle BDC$ એક જ ખૂણો દર્શાવે છે,તેથી $\angle BDC = 110^{\circ}$.
વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle BAC = \angle BDC$.
$\angle BAC = 110^{\circ}$.

(N/A) વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોવાથી:
$1$. ડાબી બાજુના વર્તુળમાં,$\angle ACP = \angle ABP$ (એક જ ચાપ $AP$ દ્વારા અંતરાયેલા ખૂણાઓ).
$2$. જમણી બાજુના વર્તુળમાં,$\angle QCD = \angle QBD$ (એક જ ચાપ $QD$ દ્વારા અંતરાયેલા ખૂણાઓ).
$3$. $ABD$ અને $PBQ$ એ $B$ માં છેદતી સીધી રેખાઓ હોવાથી,$\angle ABP$ અને $\angle QBD$ અભિકોણો છે.
$4$. તેથી,$\angle ABP = \angle QBD$.
$5$. પગલાં $1$,$2$ અને $4$ પરથી,આપણે કહી શકીએ કે $\angle ACP = \angle QCD$.

(N/A) ધારો કે એક $\Delta ABC$ છે. $AB$ અને $AC$ ને વ્યાસ તરીકે લઈને બે વર્તુળો દોરવામાં આવ્યા છે. ધારો કે આ વર્તુળો બિંદુ $A$ અને બીજા બિંદુ $D$ માં છેદે છે.
$A$ અને $D$ ને જોડો.
કારણ કે $AB$ એ પ્રથમ વર્તુળનો વ્યાસ છે,તેથી પરિઘ પર તેના દ્વારા બનતો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય છે.
તેથી,$\angle ADB = 90^{\circ}$ (અર્ધવર્તુળમાં બનેલો ખૂણો).
તે જ રીતે,$AC$ એ બીજા વર્તુળનો વ્યાસ હોવાથી,પરિઘ પર તેના દ્વારા બનતો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય છે.
તેથી,$\angle ADC = 90^{\circ}$ (અર્ધવર્તુળમાં બનેલો ખૂણો).
આ બંને ખૂણાઓનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$\angle ADB + \angle ADC = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$.
ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,બિંદુઓ $B, D,$ અને $C$ એક સીધી રેખા બનાવે છે.
આમ,છેદબિંદુ $D$ એ ત્રીજી બાજુ $BC$ પર આવેલું છે.

(N/A) અહીં આપણને બે કાટકોણ ત્રિકોણ,$\Delta ABC$ અને $\Delta ADC$ આપેલા છે,જે સામાન્ય કર્ણ $AC$ ધરાવે છે.
$\angle ABC = 90^{\circ}$ અને $\angle ADC = 90^{\circ}$ હોવાથી,બંને ત્રિકોણ અનુક્રમે $B$ અને $D$ આગળ કાટખૂણો ધરાવે છે.
$AC$ ને વ્યાસ ગણીને એક વર્તુળની કલ્પના કરો. $\angle ABC = 90^{\circ}$ અને $\angle ADC = 90^{\circ}$ હોવાથી,બિંદુઓ $B$ અને $D$ આ વર્તુળ પર આવેલા હશે (કારણ કે અર્ધવર્તુળમાં બનતો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે).
આમ,$A, B, C$ અને $D$ એ એક જ વર્તુળ પર આવેલા બિંદુઓ (concyclic) છે.
હવે,જીવા $CD$ નો વિચાર કરો. ખૂણા $\angle CAD$ અને $\angle CBD$ એ વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં એક જ જીવા $CD$ દ્વારા અંતરાયેલા ખૂણા છે.
વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણા સમાન હોય છે તે પ્રમેય મુજબ:
$\angle CAD = \angle CBD$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) ધારો કે $O$ અને $O^{\prime}$ કેન્દ્રવાળા બે વર્તુળો છે,જે એકબીજાને $P$ અને $Q$ બિંદુઓમાં છેદે છે. આપણે સાબિત કરવું છે કે $\angle OPO^{\prime} = \angle OQO^{\prime}$.
$OP, O^{\prime}P, OQ, O^{\prime}Q$ અને $OO^{\prime}$ ને જોડો.
$\Delta OPO^{\prime}$ અને $\Delta OQO^{\prime}$ માં:
$OP = OQ$ ($O$ કેન્દ્રવાળા એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$O^{\prime}P = O^{\prime}Q$ ($O^{\prime}$ કેન્દ્રવાળા એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$OO^{\prime} = OO^{\prime}$ (સામાન્ય બાજુ)
તેથી,$SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ:
$\Delta OPO^{\prime} \cong \Delta OQO^{\prime}$
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
આમ,$\angle OPO^{\prime} = \angle OQO^{\prime}$.

(N/A) ધારો કે $\angle ABC$ નો શિરોબિંદુ $B$ છે. બાજુઓ $BA$ અને $BC$ વર્તુળને અનુક્રમે $A, D$ અને $C, E$ બિંદુઓમાં છેદે છે જેથી જીવા $AD = CE$ થાય. ધારો કે $O$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. $OA, OC, OD, OE, AC$ અને $DE$ ને જોડો.
$\Delta BAE$ માં,બહિષ્કોણ $\angle DAE = \angle ABC + \angle AEC$ ... $(1)$
વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ ચાપ દ્વારા આંતરેલો ખૂણો એ વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુએ આંતરેલા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે:
$\angle DAE = \frac{1}{2} \angle DOE$ ... $(2)$
તે જ રીતે,$\angle AEC$ એ ચાપ $AC$ દ્વારા પરિઘ પર આંતરેલો ખૂણો છે,તેથી $\angle AEC = \frac{1}{2} \angle AOC$ ... $(3)$
$(2)$ અને $(3)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{1}{2} \angle DOE = \angle ABC + \frac{1}{2} \angle AOC$
$\angle ABC = \frac{1}{2} \angle DOE - \frac{1}{2} \angle AOC$
$\angle ABC = \frac{1}{2} [\angle DOE - \angle AOC]$
આમ,$\angle ABC$ એ જીવાઓ $DE$ અને $AC$ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલા ખૂણાઓના તફાવતથી અડધો છે.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે. આપણે જાણીએ છીએ કે સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે, તેથી $\angle AOB = 90^\circ$ થાય.
બાજુ $AB$ ને વ્યાસ તરીકે લઈને દોરેલું વર્તુળ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $Q$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી $QA = QB = \text{ત્રિજ્યા}$ થાય.
$\triangle AOB$ માં, $\angle AOB = 90^\circ$ છે. કારણ કે $Q$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AOB$ ના કર્ણ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે, તેથી કર્ણના મધ્યબિંદુથી શિરોબિંદુઓનું અંતર એ કર્ણની લંબાઈના અડધા જેટલું હોય છે.
તેથી, $QO = QA = QB$ થાય.
કેન્દ્ર $Q$ થી બિંદુ $O$ નું અંતર ત્રિજ્યા ($QA$ અથવા $QB$) જેટલું હોવાથી, બિંદુ $O$ એ $AB$ ને વ્યાસ તરીકે લઈને દોરેલા વર્તુળ પર આવેલું હોવું જોઈએ.
આમ, સમબાજુ ચતુષ્કોણની કોઈપણ બાજુને વ્યાસ તરીકે લઈને દોરવામાં આવેલ વર્તુળ તેના વિકર્ણોના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

(N/A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર કોઈ બિંદુ $P$ પર છે. જોકે,પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે જીવાઓ $AC$ અને $BD$ એકબીજાને બિંદુ $O$ પર દુભાગે છે.
$\Delta AOB$ અને $\Delta COD$ માં:
$AO = OC$ (આપેલ છે,કારણ કે $O$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે)
$BO = OD$ (આપેલ છે,કારણ કે $O$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે)
$\angle AOB = \angle COD$ (અભિકોણો)
$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta AOB \cong \Delta COD$.
તેથી,$AB = CD$ (એકરૂપ ત્રિકોણોના અનુરૂપ અંગો).
$AB = CD$ હોવાથી,આ જીવાઓને અનુરૂપ ચાપ સમાન છે: $\text{ચાપ } AB = \text{ચાપ } CD$.
તે જ રીતે,$SAS$ એકરૂપતા દ્વારા $\Delta AOD \cong \Delta COB$,જે સૂચવે છે કે $AD = CB$,તેથી $\text{ચાપ } AD = \text{ચાપ } BC$.
હવે,ચતુષ્કોણ $ABCD$ ને ધ્યાનમાં લો. વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને દુભાગતા હોવાથી,$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
વર્તુળમાં અંતર્ગત સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેના ખૂણા સમાન હોય છે ($\angle A = \angle C$ અને $\angle B = \angle D$). ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $2\angle A = 180^{\circ}$,તેથી $\angle A = 90^{\circ}$.
$\angle A = 90^{\circ}$ હોવાથી,જીવા $BD$ પરિઘ પર કાટખૂણો આંતરે છે,જેનો અર્થ છે કે $BD$ વ્યાસ હોવો જોઈએ. તેવી જ રીતે,$AC$ પણ વ્યાસ છે.

(B) પ્રમેય મુજબ,વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈ પણ બિંદુ આગળ આંતરેલા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે.
અહીં,ચાપ $AC$ એ કેન્દ્ર $O$ આગળ $\angle AOC$ અને વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના બિંદુ $B$ આગળ $\angle ABC$ આંતરે છે.
તેથી,$\angle AOC = 2 \times \angle ABC$.
આપેલ છે કે $\angle ABC = 20^{\circ}$.
આમ,$\angle AOC = 2 \times 20^{\circ} = 40^{\circ}$.

(C) અહીં $AOB$ એ વર્તુળનો વ્યાસ હોવાથી,અર્ધવર્તુળમાં બનતો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય છે.
તેથી,$\angle ACB = 90^{\circ}$.
આપેલ છે કે $AC = BC$,તેથી $\triangle ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા સમાન હોય છે,તેથી $\angle CAB = \angle CBA$.
ધારો કે $\angle CAB = \angle CBA = x$.
$\triangle ABC$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે:
$\angle CAB + \angle CBA + \angle ACB = 180^{\circ}$
$x + x + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$2x = 90^{\circ}$
$x = 45^{\circ}$
આમ,$\angle CAB = 45^{\circ}$.

(N/A) આપેલ છે: બે એકરૂપ વર્તુળો $A$ અને $B$ માં છેદે છે. એક રેખાખંડ $PAQ$ એ $A$ માંથી પસાર થાય છે,જ્યાં $P$ પ્રથમ વર્તુળ પર અને $Q$ બીજા વર્તુળ પર છે.
રચના: $AB$,$BP$ અને $BQ$ ને જોડો.
સાબિતી:
$1$. બે એકરૂપ વર્તુળો ધ્યાનમાં લો. જીવા $AB$ બંને વર્તુળો માટે સામાન્ય છે.
$2$. એકરૂપ વર્તુળોમાં,સમાન જીવાઓ પરિઘ પર સમાન ખૂણા આંતરે છે.
$3$. $AB$ એ બંને એકરૂપ વર્તુળોની જીવા હોવાથી,તે વર્તુળોના પરિઘ પર આંતરેલા ખૂણા સમાન હોવા જોઈએ.
$4$. તેથી,$\angle APB = \angle AQB$.
$5$. $\Delta PBQ$ માં,આપણી પાસે $\angle APB = \angle AQB$ છે (જે $\angle BPQ = \angle BQP$ છે).
$6$. જો ત્રિકોણના બે ખૂણા સમાન હોય,તો તેમની સામેની બાજુઓ પણ સમાન હોય છે.
$7$. તેથી,$BP = BQ$.

(N/A) ધારો કે $\Delta ABC$ એક વર્તુળમાં અંતર્ગત છે જેનું કેન્દ્ર $O$ છે.
ધારો કે $\angle A$ નો આંતરિક દ્વિભાજક પરિવર્તુળને બિંદુ $E$ પર છેદે છે. આપણે સાબિત કરવું છે કે $E$ એ $BC$ ના લંબદ્વિભાજક પર આવેલું છે.
કારણ કે $AE$ એ $\angle BAC$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle BAE = \angle CAE$.
સમાન ખૂણાઓ પરિઘ પર સમાન ચાપ આંતરે છે,તેથી $\text{ચાપ } BE = \text{ચાપ } EC$.
પરિણામે,આ ચાપને અનુરૂપ જીવાઓ સમાન થાય,એટલે કે જીવા $BE = \text{જીવા } CE$.
ધારો કે $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $\Delta BDE$ અને $\Delta CDE$ માં:
$BE = CE$ (ઉપર સાબિત કર્યું)
$BD = CD$ ($D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે)
$DE = DE$ (સામાન્ય બાજુ)
$SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta BDE \cong \Delta CDE$.
તેથી,$\angle BDE = \angle CDE$ (એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ ભાગો).
કારણ કે $BC$ એક સીધી રેખા છે,$\angle BDE + \angle CDE = 180^{\circ}$.
આમ,$\angle BDE = \angle CDE = 90^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $DE \perp BC$.
કારણ કે $DE$ એ $BC$ ના મધ્યબિંદુ $D$ માંથી પસાર થાય છે અને $BC$ ને લંબ છે,તેથી $DE$ એ $BC$ નો લંબદ્વિભાજક છે. આમ,$\angle A$ નો ખૂણા દ્વિભાજક અને $BC$ નો લંબદ્વિભાજક પરિવર્તુળ પરના બિંદુ $E$ પર છેદે છે.

(N/A) ધારો કે જીવા $AB$ છે અને વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ છે. જીવા તેની ત્રિજ્યા જેટલી હોવાથી,આપણી પાસે $AB = OA = OB$ છે.
તેથી,$\triangle OAB$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનો દરેક ખૂણો $60^{\circ}$ હોવાથી,$\angle AOB = 60^{\circ}$ થાય.
વર્તુળના પ્રમેય મુજબ,વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરાતો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુએ આંતરાતા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે.
આમ,$\angle AOB = 2 \angle ACB$,જ્યાં $C$ એ ગુરુ ચાપ પરનું બિંદુ છે.
તેથી,$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \times 60^{\circ} = 30^{\circ}$.

(N/A) આપેલ છે : $AB$ અને $CD$ એ $O$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળની સમાન જીવાઓ છે,એટલે કે $AB = CD$.
સાબિત કરવાનું છે : $\angle AOB = \angle COD$.
સાબિતી: $\Delta OAB$ અને $\Delta OCD$ માં:
$OA = OC$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$OB = OD$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$AB = CD$ (આપેલ છે)
તેથી,$\Delta OAB \cong \Delta OCD$ ($SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ).
તેથી,$\angle AOB = \angle COD$ ($CPCT$ દ્વારા).

(N/A) આપેલ છે: $O$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળમાં,જીવાઓ $AB$ અને $PQ$ કેન્દ્ર આગળ સમાન ખૂણા આંતરે છે,એટલે કે $\angle AOB = \angle POQ$.
સાબિત કરવાનું છે: $AB = PQ$.
સાબિતી: $\Delta AOB$ અને $\Delta POQ$ માં:
$OA = OP$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$OB = OQ$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$\angle AOB = \angle POQ$ (આપેલ છે)
તેથી,$\Delta AOB \cong \Delta POQ$ ($SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ).
તેથી,$AB = PQ$ ($CPCT$ મુજબ).

(N/A) ધારો કે $O$ અને $O'$ કેન્દ્રવાળા બે એકરૂપ વર્તુળો છે.
ધારો કે $AB$ એ પ્રથમ વર્તુળની જીવા છે અને $CD$ એ બીજા વર્તુળની જીવા છે,જ્યાં $AB = CD$ છે.
આપણે સાબિત કરવું છે કે $\angle AOB = \angle CO'D$.
$\triangle AOB$ અને $\triangle CO'D$ માં:
$1. OA = O'C$ (એકરૂપ વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ સમાન હોય છે).
$2. OB = O'D$ (એકરૂપ વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ સમાન હોય છે).
$3. AB = CD$ (આપેલ છે).
$SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle AOB \cong \triangle CO'D$.
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
તેથી,$\angle AOB = \angle CO'D$.

(N/A) ધારો કે $O$ અને $O'$ કેન્દ્રવાળા બે એકરૂપ વર્તુળો છે.
ધારો કે $AB$ એ પ્રથમ વર્તુળની જીવા છે અને $CD$ એ બીજા વર્તુળની જીવા છે.
આપેલ છે કે $\angle AOB = \angle CO'D$.
$\triangle AOB$ અને $\triangle CO'D$ માં:
$1$. $OA = O'C$ (એકરૂપ વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ સમાન હોય છે).
$2$. $OB = O'D$ (એકરૂપ વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ સમાન હોય છે).
$3$. $\angle AOB = \angle CO'D$ (આપેલ છે).
$SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle AOB \cong \triangle CO'D$.
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
તેથી,$AB = CD$.
આમ,જીવાઓ સમાન છે.

(D) $\triangle OXY$ માં,$OX = OY$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ).
તેથી,$\angle OYX = \angle OXY = 30^{\circ}$.
$\triangle OXY$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $\angle XOY = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 120^{\circ}$.
$\triangle OXY$ માં સાઈનનો નિયમ વાપરતા: $\frac{XY}{\sin(120^{\circ})} = \frac{OX}{\sin(30^{\circ})}$.
$OX = \frac{8 \cdot \sin(30^{\circ})}{\sin(120^{\circ})} = \frac{8 \cdot 0.5}{\sqrt{3}/2} = \frac{8}{\sqrt{3}}$.
હવે,$\triangle OPQ$ માં,$OP = OQ = OX = \frac{8}{\sqrt{3}}$.
$\triangle OPQ$ માં સાઈનનો નિયમ વાપરતા: $PQ = 2 \cdot OP \cdot \sin(\frac{120^{\circ}}{2}) = 2 \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \sin(60^{\circ})$.
$PQ = 2 \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 \, cm$.

(A) આપેલ છે કે $AB$ એ $P$ કેન્દ્રિત વર્તુળની જીવા છે. બિંદુ $C$ એ ગુરુચાપ $AB$ પરનું બિંદુ છે.
વર્તુળના પ્રમેય મુજબ,વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરાતો ખૂણો એ વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ આંતરાતા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે.
તેથી,$\angle APB = 2 \angle ACB$.
આપેલ છે કે $\angle ACB + \angle APB = 135^{\circ}$.
આપેલ સમીકરણમાં $\angle APB = 2 \angle ACB$ મૂકતા:
$\angle ACB + 2 \angle ACB = 135^{\circ}$
$3 \angle ACB = 135^{\circ}$
$\angle ACB = \frac{135^{\circ}}{3} = 45^{\circ}$.
હવે,$\angle APB$ ની ગણતરી કરતા:
$\angle APB = 2 \times 45^{\circ} = 90^{\circ}$.
આમ,$\angle ACB = 45^{\circ}$ અને $\angle APB = 90^{\circ}$.

(A) વર્તુળમાં,સમાન જીવાઓ કેન્દ્ર આગળ સમાન ખૂણા આંતરે છે.
આપેલ છે કે $P$ કેન્દ્રિત વર્તુળમાં $AB$ અને $CD$ સમાન જીવાઓ છે.
તેથી,જીવા $AB$ દ્વારા કેન્દ્ર $P$ આગળ આંતરેલો ખૂણો એ જીવા $CD$ દ્વારા કેન્દ્ર $P$ આગળ આંતરેલા ખૂણા જેટલો જ હોય.
આમ,$\angle APB = \angle CPD$.
આપેલ છે કે $\angle APB = 80^{\circ}$.
તેથી,$\angle CPD = 80^{\circ}$.

(C) વર્તુળના ગુણધર્મો અનુસાર,વ્યાસ દ્વારા વર્તુળના પરિઘ પરના કોઈપણ બિંદુએ આંતરેલો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે.
અહીં $XY$ એ $\Delta XYZ$ ના પરિવૃતનો વ્યાસ હોવાથી,ખૂણો $\angle XZY$ એ વ્યાસ $XY$ દ્વારા પરિઘ પરના બિંદુ $Z$ આગળ આંતરેલો ખૂણો છે.
તેથી,$\angle XZY = 90^{\circ}$ થાય.

(A) આપેલ છે કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 8 \, cm$ અને જીવાની લંબાઈ $AB = 8 \, cm$ છે.
$\triangle APB$ માં,$PA = PB = 8 \, cm$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ) અને $AB = 8 \, cm$ છે.
ત્રિકોણની ત્રણેય બાજુઓ સમાન હોવાથી $(PA = PB = AB = 8 \, cm)$,$\triangle APB$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,બધા જ ખૂણાઓ $60^{\circ}$ ના હોય છે.
તેથી,$\angle APB = 60^{\circ}$.

(C) વર્તુળમાં,જીવાની લંબાઈનું સૂત્ર $L = 2r \sin(\theta/2)$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\theta$ એ કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો છે.
જીવા $AB$ માટે,$7 = 2r \sin(80^{\circ}/2) = 2r \sin(40^{\circ})$. તેથી,$r = 7 / (2 \sin(40^{\circ}))$.
જીવા $CD$ માટે,લંબાઈ $CD = 2r \sin(50^{\circ}/2) = 2r \sin(25^{\circ})$.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,$CD = 2 \times [7 / (2 \sin(40^{\circ}))] \times \sin(25^{\circ}) = 7 \times \sin(25^{\circ}) / \sin(40^{\circ})$.
આશરે કિંમતો $\sin(25^{\circ}) \approx 0.4226$ અને $\sin(40^{\circ}) \approx 0.6428$ લેતા,$CD \approx 7 \times (0.4226 / 0.6428) \approx 4.6\, cm$ મળે છે.
જોકે,આપેલા વિકલ્પો જોતા,જો પ્રશ્નમાં કોઈ ભૂલ હોય અને જીવાઓ સમાન હોય તેમ માનવામાં આવે,તો $7\, cm$ એ સૌથી યોગ્ય વિકલ્પ છે.

(D) વર્તુળમાં,સમાન જીવાઓ કેન્દ્ર આગળ સમાન ખૂણા આંતરે છે.
આપેલ છે કે $P$ કેન્દ્રિત વર્તુળમાં $AB$ અને $CD$ સમાન જીવાઓ છે.
તેથી,આ જીવાઓ દ્વારા કેન્દ્ર $P$ આગળ આંતરેલા ખૂણા સમાન હોવા જોઈએ.
આમ,$\angle CPD = \angle APB = 70^{\circ}$.
હવે,$\triangle PCD$ માં,$PC = PD$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ),તેથી $\triangle PCD$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $\angle PCD + \angle PDC + \angle CPD = 180^{\circ}$.
$\angle PCD = \angle PDC$ હોવાથી,$2 \angle PCD + 70^{\circ} = 180^{\circ}$.
$2 \angle PCD = 110^{\circ}$.
$\angle PCD = 55^{\circ}$.