Perpendicular from the Centre to a Chord Questions in Gujarati

(N/A) રચનાના પગલાં:
$I.$ આપેલા વર્તુળ પર કોઈપણ ત્રણ બિંદુઓ લો. ધારો કે આ બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ છે.
$II.$ $AB$ અને $BC$ ને જોડો.
$III.$ $AB$ નો લંબદ્વિભાજક $PQ$ દોરો.
$IV.$ $BC$ નો લંબદ્વિભાજક $RS$ એવી રીતે દોરો કે તે $PQ$ ને $O$ બિંદુમાં છેદે.
આમ,$O$ એ આપેલા વર્તુળનું જરૂરી કેન્દ્ર છે.

(N/A) ધારો કે $O$ અને $O^{\prime}$ કેન્દ્રવાળા બે વર્તુળો છે જે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે છે.
$AB$ એ બે વર્તુળોની સામાન્ય જીવા છે અને $OO^{\prime}$ એ કેન્દ્રોને જોડતો રેખાખંડ છે. ધારો કે $OO^{\prime}$ અને $AB$ એકબીજાને $M$ બિંદુમાં છેદે છે.
$OO^{\prime}$ એ $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે $OA, OB, O^{\prime}A$ અને $O^{\prime}B$ ને જોડીએ છીએ.
$\Delta OAO^{\prime}$ અને $\Delta OBO^{\prime}$ માં:
$OA = OB$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$O^{\prime}A = O^{\prime}B$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$OO^{\prime} = OO^{\prime}$ (સામાન્ય બાજુ)
$SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta OAO^{\prime} \cong \Delta OBO^{\prime}$.
તેથી,$\angle 1 = \angle 2$ ($CPCT$ દ્વારા).
હવે,$\Delta AOM$ અને $\Delta BOM$ માં:
$OA = OB$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$OM = OM$ (સામાન્ય બાજુ)
$\angle 1 = \angle 2$ (ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ)
$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta AOM \cong \Delta BOM$.
તેથી,$AM = BM$ ($CPCT$ દ્વારા) અને $\angle 3 = \angle 4$ ($CPCT$ દ્વારા).
$AB$ એ રેખાખંડ હોવાથી,$\angle 3 + \angle 4 = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા).
આમ,$2 \angle 3 = 180^{\circ} \Rightarrow \angle 3 = 90^{\circ}$.
$\angle 3 = \angle 4 = 90^{\circ}$ અને $AM = BM$ હોવાથી,$OO^{\prime}$ એ $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે.

(N/A) અમારી પાસે સામાન્ય કેન્દ્ર $O$ વાળા બે વર્તુળો છે.
એક રેખા $\ell$ બહારના વર્તુળને $A$ અને $D$ માં અને અંદરના વર્તુળને $B$ અને $C$ માં છેદે છે. $AB = CD$ સાબિત કરવા માટે,ચાલો આપણે $OM \perp \ell$ દોરીએ.
બહારના વર્તુળ માટે,
$\because OM \perp \ell$,અને કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,
$\therefore AM = MD$ --- $(1)$
અંદરના વર્તુળ માટે,
$\because OM \perp \ell$,
$\therefore BM = MC$ --- $(2)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$AM - BM = MD - MC$
$AB = CD$
આમ,સાબિત થાય છે.

(C) ધારો કે $O$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. $OP \perp AB$ દોરો.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી:
$AP = \frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{2} \times 30 = 15 \, cm$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $OA = \frac{AD}{2} = \frac{34}{2} = 17 \, cm$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta OPA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OP^2 + AP^2 = OA^2$
$OP^2 + 15^2 = 17^2$
$OP^2 + 225 = 289$
$OP^2 = 289 - 225 = 64$
$OP = \sqrt{64} = 8 \, cm$.
આમ,વર્તુળના કેન્દ્રથી જીવા $AB$ નું અંતર $8 \, cm$ છે.

(D) વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી:
$AC = \frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{2} \times 8 \text{ cm} = 4 \text{ cm}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OCA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OC^2 + AC^2 = OA^2$
$OC^2 + 4^2 = 5^2$
$OC^2 + 16 = 25$
$OC^2 = 25 - 16 = 9$
$OC = \sqrt{9} = 3 \text{ cm}$.
અહીં $OD$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે,તેથી $OD = OA = 5 \text{ cm}$.
આમ,$CD = OD - OC = 5 \text{ cm} - 3 \text{ cm} = 2 \text{ cm}$.

(N/A) આપેલ છે: $PQ$ એ વર્તુળની જીવા $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે,જે વર્તુળને $P$ અને $Q$ માં છેદે છે. ધારો કે $M$ એ $PQ$ અને $AB$ નું છેદબિંદુ છે.
સાબિત કરવાનું છે: ચાપ $PXA \cong$ ચાપ $PYB$.
સાબિતી:
$\Delta APM$ અને $\Delta BPM$ માં:
$1$. $AM = BM$ (કારણ કે $PQ$ એ $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે)
$2$. $\angle AMP = \angle BMP = 90^{\circ}$ (આપેલ છે)
$3$. $PM = PM$ (સામાન્ય બાજુ)
તેથી,$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta APM \cong \Delta BPM$.
આનો અર્થ એ છે કે $CPCT$ મુજબ $AP = BP$.
વર્તુળની જીવાઓ $AP$ અને $BP$ સમાન હોવાથી,તેમની અનુરૂપ ચાપો એકરૂપ હોય છે.
આમ,ચાપ $PXA \cong$ ચાપ $PYB$.

(N/A) આપેલ છે: $AB$ અને $CD$ એ $O$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળની બે જીવાઓ છે. $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $L$ અને $M$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $AB \parallel CD$
સાબિતી: કારણ કે $L$ એ જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $OL \perp AB$,અથવા $\angle ALO = 90^{\circ}$.
[કારણ કે વર્તુળના કેન્દ્રને જીવાના મધ્યબિંદુ સાથે જોડતી રેખા જીવાને લંબ હોય છે]
તે જ રીતે,$\angle CMO = 90^{\circ}$.
તેથી,$\angle ALO = \angle CMO = 90^{\circ}$.
આ ખૂણાઓ છેદિકા $LM$ દ્વારા રેખાઓ $AB$ અને $CD$ પર બનતા અનુકોણ છે,અને તે સમાન હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર હોવી જોઈએ.
તેથી,$AB \parallel CD$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $O$ અને $O'$ કેન્દ્ર ધરાવતા બે વર્તુળો $A$ અને $B$ માં છેદે છે. $A$ માંથી પસાર થતી અને $OO'$ ને સમાંતર રેખા $PQ$ દોરવામાં આવી છે,જે વર્તુળોને $P$ અને $Q$ માં છેદે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PQ = 2 OO'$.
રચના: $OC \perp PA$ અને $O'D \perp AQ$ દોરો.
સાબિતી:
$1$. વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી:
$PA = 2 CA$ (કારણ કે $OC \perp PA$) $...(1)$
$AQ = 2 AD$ (કારણ કે $O'D \perp AQ$) $...(2)$
$2$. સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$PA + AQ = 2 CA + 2 AD$
$PQ = 2(CA + AD)$
$3$. $PQ \parallel OO'$,$OC \perp PQ$,અને $O'D \perp PQ$ હોવાથી,ચતુષ્કોણ $CDO'O$ એક લંબચોરસ છે.
તેથી,$CD = OO'$.
$4$. સમીકરણ $PQ = 2(CA + AD)$ માં $CD = OO'$ મૂકતા:
$PQ = 2 CD = 2 OO'$.
આમ,$PQ = 2 OO'$ સાબિત થાય છે.

(N/A) ધારો કે $P$ એ $O$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળની અંદર આપેલું બિંદુ છે. $P$ માંથી પસાર થતા વ્યાસ $XY$ ને લંબ જીવા $AB$ દોરો. ધારો કે $CD$ એ $P$ માંથી પસાર થતી અન્ય કોઈ જીવા છે. $O$ માંથી $CD$ પર લંબ $ON$ દોરો.
$\Delta ONP$ માં,$\angle ONP = 90^{\circ}$ છે. $OP$ કર્ણ હોવાથી,$OP > ON$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે કેન્દ્રની નજીકની જીવા,કેન્દ્રથી દૂરની જીવા કરતા મોટી હોય છે.
અહીં $ON < OP$ હોવાથી (જ્યાં $OP$ એ જીવા $AB$ નું કેન્દ્રથી અંતર છે),જીવા $CD$ એ જીવા $AB$ કરતા કેન્દ્રથી વધુ દૂર છે.
તેથી,$CD > AB$ થાય.
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો,$P$ માંથી પસાર થતી તમામ જીવાઓ પૈકી $AB$ સૌથી નાની જીવા છે.

(N/A) આપણી પાસે $O$ કેન્દ્રવાળું એક વર્તુળ છે. $BC$ એ વ્યાસ છે અને $AB$ એ જીવા છે,જ્યાં $OD \perp AB$ છે. $AC$ ને જોડો.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે. તેથી,$D$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$O$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર હોવાથી,$O$ એ વ્યાસ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$\triangle ABC$ માં,$O$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $D$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$OD$ એ $\triangle ABC$ ની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુ કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,$OD \parallel CA$ અને $OD = \frac{1}{2} CA$.
આમ,$CA = 2OD$.

(N/A) $1$. ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $P$ છે. $l$ એ જીવા $AB$ નો લંબદ્વિભાજક હોવાથી,તે વર્તુળના કેન્દ્ર $P$ માંથી પસાર થાય છે.
$2$. આપણને આપેલ છે કે $AB \parallel CD$.
$3$. $l$ એ $AB$ ને લંબ હોવાથી $(l \perp AB)$ અને $AB \parallel CD$ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $l$ એ $CD$ ને પણ લંબ છે $(l \perp CD)$.
$4$. વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને જીવાને લંબ રેખા તે જીવાને દુભાગે છે.
$5$. $l$ એ કેન્દ્ર $P$ માંથી પસાર થાય છે અને $CD$ ને લંબ છે,તેથી $l$ એ જીવા $CD$ ને દુભાગે છે.

(N/A) $1$. ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $P$ છે. રેખા $l$ એ $P$ માંથી પસાર થાય છે અને $AB$ ને બિંદુ $M$ માં તથા $XY$ ને બિંદુ $N$ માં છેદે છે.
$2$. રેખા $l$ જીવા $AB$ ને $M$ માં દુભાગે છે,તેથી પ્રમેય મુજબ 'વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવાને દુભાગવા દોરેલી રેખા જીવાને લંબ હોય છે',એટલે કે $PM \perp AB$. તેથી,$\angle PMA = 90^{\circ}$.
$3$. તેવી જ રીતે,રેખા $l$ જીવા $XY$ ને $N$ માં દુભાગે છે,તેથી $PN \perp XY$. તેથી,$\angle PNY = 90^{\circ}$.
$4$. $M, P$ અને $N$ એક જ રેખા $l$ પર આવેલા હોવાથી,$\angle PMA$ અને $\angle PNY$ એ રેખા $l$ દ્વારા $AB$ અને $XY$ ને છેદવાથી બનતા અનુકોણ છે.
$5$. $\angle PMA = 90^{\circ}$ અને $\angle PNY = 90^{\circ}$ હોવાથી,અનુકોણ સમાન છે $(\angle PMA = \angle PNY = 90^{\circ})$.
$6$. તેથી,અનુકોણની પૂર્વધારણાના પ્રતીપ મુજબ,$AB \parallel XY$ થાય.

(C) $P$ માંથી $PM \perp AB$ દોરો. $PA$ ને જોડો.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે.
$\therefore AM = MB = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 32 = 16\, cm$.
$PA$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે,તેથી $PA = 20\, cm$.
$\Delta PMA$ માં,$\angle M = 90^{\circ}$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$PA^2 = PM^2 + AM^2$.
$\therefore PM^2 = PA^2 - AM^2 = (20)^2 - (16)^2 = 400 - 256 = 144$.
$\therefore PM = \sqrt{144} = 12\, cm$.
આમ,કેન્દ્ર $P$ થી જીવા $AB$ નું અંતર $12\, cm$ છે.

(B) ધારો કે $P$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને $AB$ એ $30\,cm$ લંબાઈની જીવા છે.
કેન્દ્ર $P$ માંથી જીવા $AB$ પર લંબ $PM$ દોરો.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે.
તેથી,$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{30}{2} = 15\,cm$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PMA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PA^2 = PM^2 + AM^2$.
અહીં ત્રિજ્યા $PA = 17\,cm$ અને $AM = 15\,cm$ આપેલ છે.
$17^2 = PM^2 + 15^2$.
$289 = PM^2 + 225$.
$PM^2 = 289 - 225 = 64$.
$PM = \sqrt{64} = 8\,cm$.
આમ,કેન્દ્ર $P$ થી જીવા $AB$ નું અંતર $8\,cm$ છે.

(A) ધારો કે $P$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને $AB$ એ $40 \, cm$ લંબાઈની જીવા છે.
ધારો કે $M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે.
તેથી,$AM = MB = \frac{40}{2} = 20 \, cm$.
કેન્દ્રથી જીવાનું અંતર $PM = 21 \, cm$ આપેલ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PMA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PA^2 = PM^2 + AM^2$
$PA^2 = 21^2 + 20^2$
$PA^2 = 441 + 400 = 841$
$PA = \sqrt{841} = 29 \, cm$.
અહીં,$PA$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r)$ છે.
વ્યાસ $(d)$ = $2 \times r = 2 \times 29 = 58 \, cm$.

(A) ધારો કે $P$ એ $25\,cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
ધારો કે $M$ અને $N$ એ અનુક્રમે જીવા $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી $AM = MB = AB/2 = 40/2 = 20\,cm$ અને $CN = ND = CD/2 = 30/2 = 15\,cm$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PMA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $PM^2 + AM^2 = PA^2 \implies PM^2 + 20^2 = 25^2 \implies PM^2 = 625 - 400 = 225 \implies PM = 15\,cm$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PNC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $PN^2 + CN^2 = PC^2 \implies PN^2 + 15^2 = 25^2 \implies PN^2 = 625 - 225 = 400 \implies PN = 20\,cm$.
કેન્દ્ર $P$ એ જીવાઓની વચ્ચે ન હોવાથી,જીવાઓ વચ્ચેનું અંતર $|PN - PM| = |20 - 15| = 5\,cm$ થશે.

(C) ધારો કે $P$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને $r = 26\,cm$ એ ત્રિજ્યા છે.
કેન્દ્ર $P$ માંથી જીવાઓ $AB$ અને $CD$ પર અનુક્રમે લંબ $PM$ અને $PN$ દોરો.
કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી:
$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{20}{2} = 10\,cm$
$CN = ND = \frac{CD}{2} = \frac{48}{2} = 24\,cm$
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PMA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PM^2 + AM^2 = PA^2$
$PM^2 + 10^2 = 26^2$
$PM^2 = 676 - 100 = 576$
$PM = \sqrt{576} = 24\,cm$
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PNC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PN^2 + CN^2 = PC^2$
$PN^2 + 24^2 = 26^2$
$PN^2 = 676 - 576 = 100$
$PN = \sqrt{100} = 10\,cm$
કેન્દ્ર $P$ એ જીવાઓની વચ્ચે હોવાથી,$AB$ અને $CD$ વચ્ચેનું અંતર $PM + PN = 24 + 10 = 34\,cm$ થાય.

(A) ધારો કે $AB$ અને $CD$ એ $O$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળની બે જીવાઓ છે. ધારો કે $M$ અને $N$ એ અનુક્રમે જીવા $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
આપેલ છે કે રેખા $MN$ કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થાય છે.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવાના મધ્યબિંદુને જોડતો રેખાખંડ જીવાને લંબ હોય છે. તેથી,$OM \perp AB$,જેનો અર્થ છે કે $\angle OMA = 90^{\circ}$.
તે જ રીતે,$N$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$ON \perp CD$,જેનો અર્થ છે કે $\angle ONC = 90^{\circ}$.
બિંદુઓ $M, O, N$ એક જ રેખા પર હોવાથી (કારણ કે રેખા $MN$ કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થાય છે),રેખા $MN$ એ જીવા $AB$ અને $CD$ ની છેદિકા તરીકે કામ કરે છે.
અહીં $\angle OMA$ અને $\angle ONC$ એ છેદિકાની એક જ તરફના અંતઃકોણો છે,જેનો સરવાળો $90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$ થાય છે.
છેદિકાની એક જ તરફના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,જીવા $AB$ અને $CD$ સમાંતર છે.

(B) આપેલ છે કે વર્તુળનો વ્યાસ $20 \, cm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{20}{2} = 10 \, cm$ થાય.
ધારો કે $M$ એ જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે જેથી $PM \perp AB$ થાય. કેન્દ્ર $P$ થી જીવા $AB$ નું અંતર $PM = 6 \, cm$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PMA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PA^2 = PM^2 + AM^2$
$10^2 = 6^2 + AM^2$
$100 = 36 + AM^2$
$AM^2 = 100 - 36 = 64$
$AM = \sqrt{64} = 8 \, cm$.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી $AB = 2 \times AM = 2 \times 8 = 16 \, cm$.

(A) ધારો કે $P$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને $AB$ એ જીવા છે. ધારો કે $M$ એ જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે જેથી $PM \perp AB$ થાય.
આપેલ છે કે જીવાનું કેન્દ્રથી અંતર $PM = 20 \, cm$ છે.
જીવાની લંબાઈ $AB = 96 \, cm$ છે.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી $AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{96}{2} = 48 \, cm$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PMA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$PA^2 = PM^2 + AM^2$.
અહીં,$PA$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r)$ છે.
$r^2 = 20^2 + 48^2$.
$r^2 = 400 + 2304 = 2704$.
$r = \sqrt{2704} = 52 \, cm$.
આમ,વર્તુળની ત્રિજ્યા $52 \, cm$ છે.

(B) આપેલ છે: વર્તુળનો વ્યાસ $d = 70 \, cm$.
ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = \frac{70}{2} = 35 \, cm$.
ધારો કે $M$ એ જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે જેથી $PM \perp AB$ થાય.
કેન્દ્રથી જીવાનું અંતર $PM = 21 \, cm$ છે.
કાટ્રાયંગલ $\triangle PMA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PA^2 = PM^2 + AM^2$
$35^2 = 21^2 + AM^2$
$1225 = 441 + AM^2$
$AM^2 = 1225 - 441 = 784$
$AM = \sqrt{784} = 28 \, cm$.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી $AB = 2 \times AM = 2 \times 28 = 56 \, cm$.

(B) વર્તુળ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડને વર્તુળની જીવા કહેવામાં આવે છે. જો આ જીવા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય,તો તેને વ્યાસ કહેવામાં આવે છે,જે વર્તુળની સૌથી મોટી જીવા છે.

(D) પ્રમેય મુજબ,વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દ્વિભાજે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ અને ત્રિજ્યા $r = 17 \, cm$ છે. ધારો કે $AB$ એ $30 \, cm$ લંબાઈની જીવા છે.
કેન્દ્ર $O$ માંથી જીવા $AB$ પર લંબ $OM$ દોરો.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે.
તેથી,$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{30}{2} = 15 \, cm$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OMA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OA^2 = OM^2 + AM^2$.
કિંમતો મૂકતા: $17^2 = OM^2 + 15^2$.
$289 = OM^2 + 225$.
$OM^2 = 289 - 225 = 64$.
$OM = \sqrt{64} = 8 \, cm$.
આમ,કેન્દ્રથી જીવાનું અંતર $8 \, cm$ છે.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ છે અને ત્રિજ્યા $r = 13 \, cm$ છે. ધારો કે $AB$ એ જીવા છે જે કેન્દ્રથી $OM = 12 \, cm$ અંતરે આવેલી છે,જ્યાં $OM \perp AB$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OMA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OA^2 = OM^2 + AM^2$
$13^2 = 12^2 + AM^2$
$169 = 144 + AM^2$
$AM^2 = 169 - 144 = 25$
$AM = \sqrt{25} = 5 \, cm$.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી જીવા $AB$ ની લંબાઈ $= 2 \times AM = 2 \times 5 = 10 \, cm$ થાય.