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Cyclic Quadrilaterals Questions in Hindi
Class 9 Mathematics · Circles · Cyclic Quadrilaterals
43+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 43 of 43 questions in Hindi
1
MediumMCQ
आकृति में,$ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें $AC$ और $BD$ इसके विकर्ण हैं। यदि $\angle DBC = 55^{\circ}$ और $\angle BAC = 45^{\circ}$ है,तो $\angle BCD$ ज्ञात कीजिए। ($^{\circ}$ में)
A
$80$
B
$60$
C
$40$
D
$30$
Solution
(A) हम जानते हैं कि एक वृत्त के एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं।
इसलिए,$\angle CAD = \angle DBC = 55^{\circ}$।
अब,कुल कोण $\angle DAB = \angle CAD + \angle BAC$ है।
मान रखने पर,$\angle DAB = 55^{\circ} + 45^{\circ} = 100^{\circ}$।
चूंकि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,इसलिए इसके सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle DAB + \angle BCD = 180^{\circ}$।
$\angle DAB$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $100^{\circ} + \angle BCD = 180^{\circ}$।
इसलिए,$\angle BCD = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$।
इसलिए,$\angle CAD = \angle DBC = 55^{\circ}$।
अब,कुल कोण $\angle DAB = \angle CAD + \angle BAC$ है।
मान रखने पर,$\angle DAB = 55^{\circ} + 45^{\circ} = 100^{\circ}$।
चूंकि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,इसलिए इसके सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle DAB + \angle BCD = 180^{\circ}$।
$\angle DAB$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $100^{\circ} + \angle BCD = 180^{\circ}$।
इसलिए,$\angle BCD = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$।
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Medium
सिद्ध कीजिए कि किसी चतुर्भुज के आंतरिक कोण समद्विभाजकों द्वारा बना चतुर्भुज (यदि संभव हो) चक्रीय होता है।
Solution
(N/A) आकृति में,$ABCD$ एक चतुर्भुज है जिसमें आंतरिक कोणों $A, B, C$ और $D$ के समद्विभाजक एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करके एक चतुर्भुज $EFGH$ बनाते हैं।
अब,$\triangle AEB$ में,$\angle FEH = \angle AEB = 180^{\circ} - (\angle EAB + \angle EBA)$
$= 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)$
इसी प्रकार,$\triangle CGD$ में,$\angle FGH = \angle CGD = 180^{\circ} - (\angle GCD + \angle GDC)$
$= 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$\angle FEH + \angle FGH = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) + 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)$
$= 360^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D)$
चूंकि चतुर्भुज के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$= 360^{\circ} - \frac{1}{2}(360^{\circ}) = 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ}$
चूंकि चतुर्भुज $EFGH$ के सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए यह एक चक्रीय चतुर्भुज है।
अब,$\triangle AEB$ में,$\angle FEH = \angle AEB = 180^{\circ} - (\angle EAB + \angle EBA)$
$= 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)$
इसी प्रकार,$\triangle CGD$ में,$\angle FGH = \angle CGD = 180^{\circ} - (\angle GCD + \angle GDC)$
$= 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$\angle FEH + \angle FGH = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) + 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)$
$= 360^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D)$
चूंकि चतुर्भुज के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$= 360^{\circ} - \frac{1}{2}(360^{\circ}) = 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ}$
चूंकि चतुर्भुज $EFGH$ के सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए यह एक चक्रीय चतुर्भुज है।
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View Solution3
MediumMCQ
$ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण एक बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $\angle DBC = 70^{\circ}$ और $\angle BAC = 30^{\circ}$ है,तो $\angle BCD$ ज्ञात कीजिए। इसके अतिरिक्त,यदि $AB = BC$ है,तो $\angle ECD$ ज्ञात कीजिए।
A
$80^{\circ}; 50^{\circ}$
B
$20^{\circ}; 40^{\circ}$
C
$10^{\circ}; 60^{\circ}$
D
$90^{\circ}; 55^{\circ}$
Solution
(A) चूंकि एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle BAC = \angle BDC$ होगा।
दिया है $\angle BAC = 30^{\circ}$,इसलिए $\angle BDC = 30^{\circ}$।
$\Delta BCD$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle BCD + \angle DBC + \angle BDC = 180^{\circ}$
$\angle BCD + 70^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BCD = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$।
अब,$\Delta ABC$ में,चूंकि $AB = BC$,इसलिए बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,अतः $\angle BCA = \angle BAC = 30^{\circ}$।
चूंकि $\angle BCD = \angle BCA + \angle ECD$,इसलिए:
$80^{\circ} = 30^{\circ} + \angle ECD$
$\angle ECD = 80^{\circ} - 30^{\circ} = 50^{\circ}$।
दिया है $\angle BAC = 30^{\circ}$,इसलिए $\angle BDC = 30^{\circ}$।
$\Delta BCD$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle BCD + \angle DBC + \angle BDC = 180^{\circ}$
$\angle BCD + 70^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BCD = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$।
अब,$\Delta ABC$ में,चूंकि $AB = BC$,इसलिए बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,अतः $\angle BCA = \angle BAC = 30^{\circ}$।
चूंकि $\angle BCD = \angle BCA + \angle ECD$,इसलिए:
$80^{\circ} = 30^{\circ} + \angle ECD$
$\angle ECD = 80^{\circ} - 30^{\circ} = 50^{\circ}$।
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Difficult
यदि एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण उस वृत्त के व्यास हैं जो चतुर्भुज के शीर्षों से होकर गुजरता है,तो सिद्ध कीजिए कि यह एक आयत है।
Solution
(N/A) दिया है: $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण $AC$ और $BD$ वृत्त के व्यास हैं।
चूँकि $AC$ और $BD$ व्यास हैं,वे केंद्र $O$ से होकर गुजरते हैं और लंबाई में समान हैं $(AC = BD)$।
हम जानते हैं कि अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।
चूँकि $AC$ एक व्यास है,इसलिए $\angle ABC = 90^{\circ}$ और $\angle ADC = 90^{\circ}$ है।
चूँकि $BD$ एक व्यास है,इसलिए $\angle BAD = 90^{\circ}$ और $\angle BCD = 90^{\circ}$ है।
इस प्रकार,चतुर्भुज $ABCD$ के सभी आंतरिक कोण $90^{\circ}$ हैं।
एक चतुर्भुज जिसके सभी कोण $90^{\circ}$ होते हैं,उसे आयत कहा जाता है।
अतः,$ABCD$ एक आयत है।
चूँकि $AC$ और $BD$ व्यास हैं,वे केंद्र $O$ से होकर गुजरते हैं और लंबाई में समान हैं $(AC = BD)$।
हम जानते हैं कि अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।
चूँकि $AC$ एक व्यास है,इसलिए $\angle ABC = 90^{\circ}$ और $\angle ADC = 90^{\circ}$ है।
चूँकि $BD$ एक व्यास है,इसलिए $\angle BAD = 90^{\circ}$ और $\angle BCD = 90^{\circ}$ है।
इस प्रकार,चतुर्भुज $ABCD$ के सभी आंतरिक कोण $90^{\circ}$ हैं।
एक चतुर्भुज जिसके सभी कोण $90^{\circ}$ होते हैं,उसे आयत कहा जाता है।
अतः,$ABCD$ एक आयत है।
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Medium
यदि एक समलंब चतुर्भुज की असमांतर भुजाएँ बराबर हैं,तो सिद्ध कीजिए कि वह चक्रीय है।
Solution
(N/A) मान लीजिए हमारे पास एक समलंब चतुर्भुज $ABCD$ है जिसमें $AB || CD$ और $AD = BC$ है।
आइए हम $BE || AD$ खींचें ताकि $ABED$ एक समांतर चतुर्भुज बन जाए।
चूँकि समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,
$\angle BAD = \angle BED$ ..... $(1)$
और $AD = BE$ [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ] ...... $(2)$
परंतु $AD = BC$ [दिया है] ......... $(3)$
$(2)$ और $(3)$ से,हमें प्राप्त होता है
$BE = BC$
$\Rightarrow \angle BEC = \angle BCE$ [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]
अब,$\angle BED + \angle BEC = 180^{\circ}$ [रैखिक युग्म]
चूँकि $\angle BED = \angle BAD$ और $\angle BEC = \angle BCE$,इसलिए
$\angle BAD + \angle BCE = 180^{\circ}$
चतुर्भुज $ABCD$ में,$\angle BAD + \angle BCD = \angle BAD + (\angle BCE + \angle ECD)$। चूँकि $ABED$ एक समांतर चतुर्भुज है,$\angle ECD = \angle BAD$। अतः,सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ है।
इसलिए,$ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
आइए हम $BE || AD$ खींचें ताकि $ABED$ एक समांतर चतुर्भुज बन जाए।
चूँकि समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,
$\angle BAD = \angle BED$ ..... $(1)$
और $AD = BE$ [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ] ...... $(2)$
परंतु $AD = BC$ [दिया है] ......... $(3)$
$(2)$ और $(3)$ से,हमें प्राप्त होता है
$BE = BC$
$\Rightarrow \angle BEC = \angle BCE$ [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]
अब,$\angle BED + \angle BEC = 180^{\circ}$ [रैखिक युग्म]
चूँकि $\angle BED = \angle BAD$ और $\angle BEC = \angle BCE$,इसलिए
$\angle BAD + \angle BCE = 180^{\circ}$
चतुर्भुज $ABCD$ में,$\angle BAD + \angle BCD = \angle BAD + (\angle BCE + \angle ECD)$। चूँकि $ABED$ एक समांतर चतुर्भुज है,$\angle ECD = \angle BAD$। अतः,सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ है।
इसलिए,$ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
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Medium
सिद्ध कीजिए कि एक चक्रीय समांतर चतुर्भुज एक आयत होता है।
Solution
(N/A) माना $ABCD$ एक चक्रीय समांतर चतुर्भुज है।
चूँकि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,इसके सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ .... $(1)$
समांतर चतुर्भुज में,सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle A = \angle C$ .... $(2)$
$(2)$ का मान $(1)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle A + \angle A = 180^{\circ}$
$2\angle A = 180^{\circ}$
$\angle A = 90^{\circ}$
चूँकि $\angle A = \angle C$,इसलिए $\angle C = 90^{\circ}$ होगा।
इसी प्रकार,सम्मुख कोणों के दूसरे युग्म के लिए,$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$ और $\angle B = \angle D$,जिसका अर्थ है कि $\angle B = \angle D = 90^{\circ}$।
चूँकि समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के सभी कोण $90^{\circ}$ हैं,अतः $ABCD$ एक आयत है।
चूँकि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,इसके सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ .... $(1)$
समांतर चतुर्भुज में,सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle A = \angle C$ .... $(2)$
$(2)$ का मान $(1)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle A + \angle A = 180^{\circ}$
$2\angle A = 180^{\circ}$
$\angle A = 90^{\circ}$
चूँकि $\angle A = \angle C$,इसलिए $\angle C = 90^{\circ}$ होगा।
इसी प्रकार,सम्मुख कोणों के दूसरे युग्म के लिए,$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$ और $\angle B = \angle D$,जिसका अर्थ है कि $\angle B = \angle D = 90^{\circ}$।
चूँकि समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के सभी कोण $90^{\circ}$ हैं,अतः $ABCD$ एक आयत है।
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Difficult
$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है। $A, B$ और $C$ से होकर जाने वाला वृत्त $CD$ को (यदि आवश्यक हो तो बढ़ाने पर) $E$ पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि $AE = AD$ है।
Solution
(N/A) दिया है: $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है। $A, B$ और $C$ से होकर जाने वाला एक वृत्त $CD$ को $E$ पर प्रतिच्छेद करता है।
चरण $1$: चूँकि $ABCE$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,इसलिए सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle AEC + \angle B = 180^{\circ}$ --- $(1)$
चरण $2$: समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
अतः,$\angle D = \angle B$ --- $(2)$
चरण $3$: समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\angle AEC + \angle D = 180^{\circ}$ --- $(3)$
चरण $4$: चूँकि $D, E, C$ एक ही रेखा पर स्थित हैं,इसलिए $\angle AEC$ और $\angle AED$ रैखिक युग्म बनाते हैं।
अतः,$\angle AEC + \angle AED = 180^{\circ}$ --- $(4)$
चरण $5$: समीकरण $(3)$ और $(4)$ की तुलना करने पर:
$\angle D = \angle AED$
चरण $6$: $\Delta ADE$ में,चूँकि आधार के कोण $\angle D$ और $\angle AED$ बराबर हैं,इसलिए इन कोणों की सम्मुख भुजाएँ भी बराबर होंगी।
अतः,$AE = AD$ है। इति सिद्धम्।
चरण $1$: चूँकि $ABCE$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,इसलिए सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle AEC + \angle B = 180^{\circ}$ --- $(1)$
चरण $2$: समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
अतः,$\angle D = \angle B$ --- $(2)$
चरण $3$: समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\angle AEC + \angle D = 180^{\circ}$ --- $(3)$
चरण $4$: चूँकि $D, E, C$ एक ही रेखा पर स्थित हैं,इसलिए $\angle AEC$ और $\angle AED$ रैखिक युग्म बनाते हैं।
अतः,$\angle AEC + \angle AED = 180^{\circ}$ --- $(4)$
चरण $5$: समीकरण $(3)$ और $(4)$ की तुलना करने पर:
$\angle D = \angle AED$
चरण $6$: $\Delta ADE$ में,चूँकि आधार के कोण $\angle D$ और $\angle AED$ बराबर हैं,इसलिए इन कोणों की सम्मुख भुजाएँ भी बराबर होंगी।
अतः,$AE = AD$ है। इति सिद्धम्।
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MediumMCQ
$ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें $AB$ वृत्त का व्यास है और $\angle ADC = 140^{\circ}$ है,तो $\angle BAC$ का मान क्या होगा ($^{\circ}$ में)?
A
$80$
B
$50$
C
$40$
D
$30$
Solution
(B) दिया गया है कि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है और $AB$ वृत्त का व्यास है।
चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle ADC + \angle ABC = 180^{\circ}$
$\angle ADC = 140^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए:
$140^{\circ} + \angle ABC = 180^{\circ}$
$\angle ABC = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$
चूंकि $AB$ व्यास है,अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।
अतः,$\angle ACB = 90^{\circ}$।
$\Delta ABC$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$
$\angle BAC + 40^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BAC + 130^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BAC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$
चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle ADC + \angle ABC = 180^{\circ}$
$\angle ADC = 140^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए:
$140^{\circ} + \angle ABC = 180^{\circ}$
$\angle ABC = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$
चूंकि $AB$ व्यास है,अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।
अतः,$\angle ACB = 90^{\circ}$।
$\Delta ABC$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$
$\angle BAC + 40^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BAC + 130^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BAC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$
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Easy
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य और अपने उत्तर का औचित्य दीजिए: $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें $\angle A = 90^{\circ}, \angle B = 70^{\circ}, \angle C = 95^{\circ}$ और $\angle D = 105^{\circ}$ है।
Solution
(B) हम जानते हैं कि एक चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग हमेशा $180^{\circ}$ होता है।
दिए गए चतुर्भुज $ABCD$ में,आइए सम्मुख कोणों के योग की जाँच करें:
$\angle A + \angle C = 90^{\circ} + 95^{\circ} = 185^{\circ}$.
चूँकि सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ नहीं है,इसलिए चतुर्भुज $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज नहीं हो सकता है।
अतः,दिया गया कथन असत्य है।
दिए गए चतुर्भुज $ABCD$ में,आइए सम्मुख कोणों के योग की जाँच करें:
$\angle A + \angle C = 90^{\circ} + 95^{\circ} = 185^{\circ}$.
चूँकि सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ नहीं है,इसलिए चतुर्भुज $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज नहीं हो सकता है।
अतः,दिया गया कथन असत्य है।
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Medium
एक उभयनिष्ठ कर्ण $AB$ पर,दो समकोण त्रिभुज $ACB$ और $ADB$ विपरीत दिशाओं में स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि $\angle BAC = \angle BDC$ है।
Solution
(N/A) समकोण त्रिभुज $ACB$ और $ADB$ में,हमारे पास है:
$\angle ACB = 90^{\circ}$ और $\angle ADB = 90^{\circ}$
अतः,$\angle ACB + \angle ADB = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$.
चूँकि चतुर्भुज $ADBC$ के सम्मुख कोणों के एक युग्म का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए यह एक चक्रीय चतुर्भुज है।
अब,चाप $BC$ पर विचार करें। कोण $\angle BAC$ और $\angle BDC$ एक ही चाप $BC$ द्वारा वृत्त के एक ही वृत्तखंड में बने हैं।
चूँकि वृत्त के एक ही वृत्तखंड में एक ही चाप द्वारा बने कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle BAC = \angle BDC$ है।
$\angle ACB = 90^{\circ}$ और $\angle ADB = 90^{\circ}$
अतः,$\angle ACB + \angle ADB = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$.
चूँकि चतुर्भुज $ADBC$ के सम्मुख कोणों के एक युग्म का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए यह एक चक्रीय चतुर्भुज है।
अब,चाप $BC$ पर विचार करें। कोण $\angle BAC$ और $\angle BDC$ एक ही चाप $BC$ द्वारा वृत्त के एक ही वृत्तखंड में बने हैं।
चूँकि वृत्त के एक ही वृत्तखंड में एक ही चाप द्वारा बने कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle BAC = \angle BDC$ है।
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Medium
यदि $BM$ और $CN$ त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं $AC$ और $AB$ पर डाले गए लंब हैं,तो सिद्ध कीजिए कि बिंदु $B, C, M$ और $N$ एकवृत्तीय (concyclic) हैं।
Solution
(N/A) दिया गया है कि $BM \perp AC$ और $CN \perp AB$ है।
अतः,$\angle BMC = 90^{\circ}$ और $\angle BNC = 90^{\circ}$ है।
चूँकि $\angle BMC = \angle BNC = 90^{\circ}$,इसलिए दोनों कोण बराबर हैं।
ये दोनों बराबर कोण एक ही रेखाखंड $BC$ द्वारा रेखाखंड के एक ही ओर स्थित बिंदुओं $M$ और $N$ पर अंतरित किए गए हैं।
प्रमेय के अनुसार,यदि दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड,रेखा के एक ही ओर स्थित अन्य दो बिंदुओं पर समान कोण अंतरित करता है,तो वे चारों बिंदु एकवृत्तीय होते हैं।
अतः,बिंदु $B, C, M$ और $N$ एकवृत्तीय हैं।
अतः,$\angle BMC = 90^{\circ}$ और $\angle BNC = 90^{\circ}$ है।
चूँकि $\angle BMC = \angle BNC = 90^{\circ}$,इसलिए दोनों कोण बराबर हैं।
ये दोनों बराबर कोण एक ही रेखाखंड $BC$ द्वारा रेखाखंड के एक ही ओर स्थित बिंदुओं $M$ और $N$ पर अंतरित किए गए हैं।
प्रमेय के अनुसार,यदि दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड,रेखा के एक ही ओर स्थित अन्य दो बिंदुओं पर समान कोण अंतरित करता है,तो वे चारों बिंदु एकवृत्तीय होते हैं।
अतः,बिंदु $B, C, M$ और $N$ एकवृत्तीय हैं।
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Difficult
यदि $BM$ और $CN$ त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं $AC$ और $AB$ पर डाले गए लंब हैं,तो सिद्ध कीजिए कि बिंदु $B, C, M$ और $N$ चक्रीय (concyclic) हैं।
Solution
(N/A) दिया गया है कि $BM \perp AC$ और $CN \perp AB$ है।
अतः,$\angle BMC = 90^{\circ}$ और $\angle BNC = 90^{\circ}$ है।
चूंकि $\angle BMC = \angle BNC = 90^{\circ}$ है,बिंदु $M$ और $N$ रेखाखंड $BC$ के एक ही ओर समान कोण अंतरित करते हैं।
प्रमेय के अनुसार,यदि दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड रेखा के एक ही ओर स्थित दो अन्य बिंदुओं पर समान कोण अंतरित करता है,तो वे चारों बिंदु चक्रीय होते हैं।
अतः,बिंदु $B, C, M$ और $N$ चक्रीय हैं।
अतः,$\angle BMC = 90^{\circ}$ और $\angle BNC = 90^{\circ}$ है।
चूंकि $\angle BMC = \angle BNC = 90^{\circ}$ है,बिंदु $M$ और $N$ रेखाखंड $BC$ के एक ही ओर समान कोण अंतरित करते हैं।
प्रमेय के अनुसार,यदि दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड रेखा के एक ही ओर स्थित दो अन्य बिंदुओं पर समान कोण अंतरित करता है,तो वे चारों बिंदु चक्रीय होते हैं।
अतः,बिंदु $B, C, M$ और $N$ चक्रीय हैं।
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Medium
यदि एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार के समानांतर एक रेखा खींची जाए जो उसकी समान भुजाओं को प्रतिच्छेद करे,तो सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार बना चतुर्भुज चक्रीय है।
Solution
(N/A) माना $\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AB = AC$ है। एक रेखा $DE$,$BC$ के समानांतर इस प्रकार खींची गई है कि $D$,$AB$ पर स्थित है और $E$,$AC$ पर स्थित है।
हमें सिद्ध करना है कि चतुर्भुज $BCED$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
$\Delta ABC$ में,चूंकि $AB = AC$ है,समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle ABC = \angle ACB$ (या आकृति के अनुसार $\angle 1 = \angle 2$)।
चूंकि $DE \parallel BC$ है,तिर्यक रेखा $AB$ के एक ही ओर के अंतःकोण संपूरक होते हैं।
इसलिए,$\angle BDE + \angle ABC = 180^{\circ}$ (या $\angle 3 + \angle 1 = 180^{\circ}$)।
$\angle 1 = \angle 2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\angle 3 + \angle 2 = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि चतुर्भुज $BCED$ के सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ है।
चूंकि चतुर्भुज $BCED$ के सम्मुख कोणों के एक युग्म का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए चतुर्भुज $BCED$ चक्रीय है।
हमें सिद्ध करना है कि चतुर्भुज $BCED$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
$\Delta ABC$ में,चूंकि $AB = AC$ है,समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle ABC = \angle ACB$ (या आकृति के अनुसार $\angle 1 = \angle 2$)।
चूंकि $DE \parallel BC$ है,तिर्यक रेखा $AB$ के एक ही ओर के अंतःकोण संपूरक होते हैं।
इसलिए,$\angle BDE + \angle ABC = 180^{\circ}$ (या $\angle 3 + \angle 1 = 180^{\circ}$)।
$\angle 1 = \angle 2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\angle 3 + \angle 2 = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि चतुर्भुज $BCED$ के सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ है।
चूंकि चतुर्भुज $BCED$ के सम्मुख कोणों के एक युग्म का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए चतुर्भुज $BCED$ चक्रीय है।
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Difficult
यदि एक चक्रीय चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर है,तो सिद्ध कीजिए कि इसके विकर्ण भी बराबर होते हैं।
Solution
(N/A) $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें सम्मुख भुजाओं का एक युग्म $AB = DC$ है। हमें सिद्ध करना है कि विकर्ण $AC =$ विकर्ण $BD$ है।
$\Delta AOB$ और $\Delta DOC$ में,हमारे पास है:
$\angle 1 = \angle 3$ [वृत्त के एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं]
$AB = DC$ [दिया है]
$\angle 2 = \angle 4$ [वृत्त के एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं]
अतः,$\Delta AOB \cong \Delta DOC$ [$ASA$ सर्वांगसमता नियम द्वारा]
इसलिए,$AO = OD$ [$CPCT$] $...(1)$
और $OC = BO$ [$CPCT$] $...(2)$
अब,$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AO + OC = BO + OD$
$\Rightarrow AC = BD$
इति सिद्धम्।
$\Delta AOB$ और $\Delta DOC$ में,हमारे पास है:
$\angle 1 = \angle 3$ [वृत्त के एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं]
$AB = DC$ [दिया है]
$\angle 2 = \angle 4$ [वृत्त के एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं]
अतः,$\Delta AOB \cong \Delta DOC$ [$ASA$ सर्वांगसमता नियम द्वारा]
इसलिए,$AO = OD$ [$CPCT$] $...(1)$
और $OC = BO$ [$CPCT$] $...(2)$
अब,$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AO + OC = BO + OD$
$\Rightarrow AC = BD$
इति सिद्धम्।
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आकृति में,$\angle ADC = 130^{\circ}$ और जीवा $BC = $ जीवा $BE$ है। $\angle CBE$ ज्ञात कीजिए।
Solution
$(100^{\circ})$ दी गई आकृति में,$ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है। चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle ADC + \angle ABC = 180^{\circ}$।
दिया है $\angle ADC = 130^{\circ}$,अतः $130^{\circ} + \angle ABC = 180^{\circ}$।
$\angle ABC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$।
अब,$\Delta OBC$ और $\Delta OBE$ पर विचार करें:
$BC = BE$ (दिया है)
$OC = OE$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$OB = OB$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$SSS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta OBC \cong \Delta OBE$।
इसलिए,$\angle OBC = \angle OBE$ ($CPCT$ द्वारा)।
अतः,$\angle CBE = \angle OBC + \angle OBE = 50^{\circ} + 50^{\circ} = 100^{\circ}$।
इसलिए,$\angle ADC + \angle ABC = 180^{\circ}$।
दिया है $\angle ADC = 130^{\circ}$,अतः $130^{\circ} + \angle ABC = 180^{\circ}$।
$\angle ABC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$।
अब,$\Delta OBC$ और $\Delta OBE$ पर विचार करें:
$BC = BE$ (दिया है)
$OC = OE$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$OB = OB$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$SSS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta OBC \cong \Delta OBE$।
इसलिए,$\angle OBC = \angle OBE$ ($CPCT$ द्वारा)।
अतः,$\angle CBE = \angle OBC + \angle OBE = 50^{\circ} + 50^{\circ} = 100^{\circ}$।
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एक चतुर्भुज $ABCD$ एक वृत्त में इस प्रकार अंकित है कि $AB$ एक व्यास है और $\angle ADC = 130^{\circ}$ है। $\angle BAC$ ज्ञात कीजिए।
Solution
$(40^{\circ})$ चूंकि चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं,इसलिए हमारे पास है:
$\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$
$\angle ABC + 130^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle ABC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$
अब,$\Delta ABC$ में,$\angle ACB = 90^{\circ}$ (अर्धवृत्त में बना कोण $90^{\circ}$ होता है)।
$\Delta ABC$ में त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग करते हुए:
$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$
$\angle BAC + 50^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BAC + 140^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BAC = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$
$\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$
$\angle ABC + 130^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle ABC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$
अब,$\Delta ABC$ में,$\angle ACB = 90^{\circ}$ (अर्धवृत्त में बना कोण $90^{\circ}$ होता है)।
$\Delta ABC$ में त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग करते हुए:
$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$
$\angle BAC + 50^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BAC + 140^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BAC = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$
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Difficult
यदि एक समलंब चतुर्भुज की असमांतर भुजाएँ बराबर हैं,तो सिद्ध कीजिए कि वह चक्रीय है।
Solution
(N/A) दिया है: $ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $AD \parallel BC$ और इसकी असमांतर भुजाएँ $AB$ और $DC$ बराबर हैं,अर्थात $AB = DC$ है।
सिद्ध करना है: समलंब चतुर्भुज $ABCD$ चक्रीय है।
रचना: $AM \perp BC$ और $DN \perp BC$ खींचिए।
उपपत्ति: समकोण त्रिभुजों $\Delta AMB$ और $\Delta DNC$ में:
$\angle AMB = \angle DNC = 90^{\circ}$ (रचना से)
$AB = DC$ (दिया है)
$AM = DN$ (दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी समान होती है)
अतः,$\Delta AMB \cong \Delta DNC$ ($RHS$ सर्वांगसमता नियम से)।
इस प्रकार,$\angle B = \angle C$ $(CPCT)$।
साथ ही,$\angle BAM = \angle CDN$ $(CPCT)$।
चूँकि $\angle AMB = 90^{\circ}$ और $\angle DNC = 90^{\circ}$ है,तो $\angle MAB = 90^{\circ} - \angle B$ और $\angle NDC = 90^{\circ} - \angle C$ होगा। चूँकि $\angle B = \angle C$ है,इसलिए $\angle MAB = \angle NDC$ होगा।
अब,$\angle BAD = \angle BAM + \angle MAD = \angle BAM + 90^{\circ}$ और $\angle CDA = \angle CDN + \angle NDA = \angle CDN + 90^{\circ}$ है।
चूँकि $\angle BAM = \angle CDN$ है,इसलिए $\angle BAD = \angle CDA$ होगा।
चतुर्भुज $ABCD$ में,$\angle B + \angle C + \angle CDA + \angle BAD = 360^{\circ}$ है।
$\angle C = \angle B$ और $\angle CDA = \angle BAD$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2\angle B + 2\angle BAD = 360^{\circ}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\angle B + \angle BAD = 180^{\circ}$ है।
चूँकि सम्मुख कोणों के एक युग्म का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए समलंब चतुर्भुज $ABCD$ चक्रीय है।
सिद्ध करना है: समलंब चतुर्भुज $ABCD$ चक्रीय है।
रचना: $AM \perp BC$ और $DN \perp BC$ खींचिए।
उपपत्ति: समकोण त्रिभुजों $\Delta AMB$ और $\Delta DNC$ में:
$\angle AMB = \angle DNC = 90^{\circ}$ (रचना से)
$AB = DC$ (दिया है)
$AM = DN$ (दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी समान होती है)
अतः,$\Delta AMB \cong \Delta DNC$ ($RHS$ सर्वांगसमता नियम से)।
इस प्रकार,$\angle B = \angle C$ $(CPCT)$।
साथ ही,$\angle BAM = \angle CDN$ $(CPCT)$।
चूँकि $\angle AMB = 90^{\circ}$ और $\angle DNC = 90^{\circ}$ है,तो $\angle MAB = 90^{\circ} - \angle B$ और $\angle NDC = 90^{\circ} - \angle C$ होगा। चूँकि $\angle B = \angle C$ है,इसलिए $\angle MAB = \angle NDC$ होगा।
अब,$\angle BAD = \angle BAM + \angle MAD = \angle BAM + 90^{\circ}$ और $\angle CDA = \angle CDN + \angle NDA = \angle CDN + 90^{\circ}$ है।
चूँकि $\angle BAM = \angle CDN$ है,इसलिए $\angle BAD = \angle CDA$ होगा।
चतुर्भुज $ABCD$ में,$\angle B + \angle C + \angle CDA + \angle BAD = 360^{\circ}$ है।
$\angle C = \angle B$ और $\angle CDA = \angle BAD$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2\angle B + 2\angle BAD = 360^{\circ}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\angle B + \angle BAD = 180^{\circ}$ है।
चूँकि सम्मुख कोणों के एक युग्म का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए समलंब चतुर्भुज $ABCD$ चक्रीय है।
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$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है। $A$ और $B$ से होकर एक वृत्त इस प्रकार खींचा गया है कि यह $AD$ को $P$ पर और $BC$ को $Q$ पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि $P, Q, C$ और $D$ चक्रीय (concyclic) हैं।
Solution
(N/A) $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है। $A$ और $B$ से गुजरने वाला एक वृत्त $AD$ को $P$ पर और $BC$ को $Q$ पर प्रतिच्छेद करता है। हमें सिद्ध करना है कि $P, Q, C$ और $D$ चक्रीय हैं।
$1$. चूंकि $ABQP$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,भुजा $AP$ को $D$ तक बढ़ाने पर बना बहिष्कोण उसके अंतः सम्मुख कोण के बराबर होता है।
माना $\angle QPD$ बिंदु $P$ पर बहिष्कोण है। अतः,$\angle QPD = \angle ABQ$.
$2$. समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,$AD \parallel BC$ है। समांतर रेखाओं $AB$ और $DC$ तथा तिर्यक रेखा $BC$ के लिए,$\angle B + \angle C = 180^{\circ}$ (क्रमागत अंतःकोण)।
$3$. चूंकि $\angle QPD = \angle ABQ$ (चक्रीय चतुर्भुज $ABQP$ के गुणधर्म से) और हम जानते हैं कि $\angle ABQ + \angle C = 180^{\circ}$,इसलिए हम $\angle ABQ$ के स्थान पर $\angle QPD$ रख सकते हैं।
$4$. अतः,$\angle QPD + \angle C = 180^{\circ}$.
$5$. चूंकि चतुर्भुज $PDCQ$ के सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए $PDCQ$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
अतः,बिंदु $P, Q, C$ और $D$ चक्रीय हैं।
$1$. चूंकि $ABQP$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,भुजा $AP$ को $D$ तक बढ़ाने पर बना बहिष्कोण उसके अंतः सम्मुख कोण के बराबर होता है।
माना $\angle QPD$ बिंदु $P$ पर बहिष्कोण है। अतः,$\angle QPD = \angle ABQ$.
$2$. समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,$AD \parallel BC$ है। समांतर रेखाओं $AB$ और $DC$ तथा तिर्यक रेखा $BC$ के लिए,$\angle B + \angle C = 180^{\circ}$ (क्रमागत अंतःकोण)।
$3$. चूंकि $\angle QPD = \angle ABQ$ (चक्रीय चतुर्भुज $ABQP$ के गुणधर्म से) और हम जानते हैं कि $\angle ABQ + \angle C = 180^{\circ}$,इसलिए हम $\angle ABQ$ के स्थान पर $\angle QPD$ रख सकते हैं।
$4$. अतः,$\angle QPD + \angle C = 180^{\circ}$.
$5$. चूंकि चतुर्भुज $PDCQ$ के सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए $PDCQ$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
अतः,बिंदु $P, Q, C$ और $D$ चक्रीय हैं।
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Difficult
यदि एक चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ के सम्मुख कोणों के समद्विभाजक उसे परिगत वृत्त को $P$ और $Q$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं,तो सिद्ध कीजिए कि $PQ$ वृत्त का व्यास है।
Solution
(N/A) माना कि एक चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ के सम्मुख कोणों $\angle A$ और $\angle C$ के समद्विभाजक वृत्त को क्रमशः $P$ और $Q$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
हमें सिद्ध करना है कि $PQ$ वृत्त का व्यास है।
$AQ$ और $DQ$ को मिलाइए।
चूंकि चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं,इसलिए चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ में:
$\angle DAB + \angle DCB = 180^{\circ}$
दोनों पक्षों को $2$ से भाग देने पर:
$\frac{1}{2} \angle DAB + \frac{1}{2} \angle DCB = 90^{\circ}$
माना $\angle 1 = \frac{1}{2} \angle DAB$ और $\angle 2 = \frac{1}{2} \angle DCB$ है। अतः,$\angle 1 + \angle 2 = 90^{\circ}$।
चूंकि $\angle 2$ और $\angle 3$ एक ही वृत्तखंड में स्थित कोण हैं जो जीवा $QD$ द्वारा अंतरित हैं,इसलिए $\angle 2 = \angle 3$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $\angle 1 + \angle 3 = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\angle PAQ = 90^{\circ}$ है।
चूंकि वृत्त की परिधि पर $PQ$ द्वारा अंतरित कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए $PQ$ वृत्त का व्यास है।
हमें सिद्ध करना है कि $PQ$ वृत्त का व्यास है।
$AQ$ और $DQ$ को मिलाइए।
चूंकि चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं,इसलिए चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ में:
$\angle DAB + \angle DCB = 180^{\circ}$
दोनों पक्षों को $2$ से भाग देने पर:
$\frac{1}{2} \angle DAB + \frac{1}{2} \angle DCB = 90^{\circ}$
माना $\angle 1 = \frac{1}{2} \angle DAB$ और $\angle 2 = \frac{1}{2} \angle DCB$ है। अतः,$\angle 1 + \angle 2 = 90^{\circ}$।
चूंकि $\angle 2$ और $\angle 3$ एक ही वृत्तखंड में स्थित कोण हैं जो जीवा $QD$ द्वारा अंतरित हैं,इसलिए $\angle 2 = \angle 3$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $\angle 1 + \angle 3 = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\angle PAQ = 90^{\circ}$ है।
चूंकि वृत्त की परिधि पर $PQ$ द्वारा अंतरित कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए $PQ$ वृत्त का व्यास है।
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MediumMCQ
दी गई आकृति में,$ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $M$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $\angle BAC = 50^{\circ}$ और $\angle ADB = 45^{\circ}$ है,तो $\angle ABC$ ज्ञात कीजिए। ($^{\circ}$ में)
A
$90$
B
$85$
C
$102$
D
$110$
Solution
(B) हम जानते हैं कि एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं।
इसलिए,$\angle BDC = \angle BAC$।
दिया है $\angle BAC = 50^{\circ}$,अतः $\angle BDC = 50^{\circ}$।
अब,$\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC$।
मान रखने पर,$\angle ADC = 45^{\circ} + 50^{\circ} = 95^{\circ}$।
चूँकि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,इसलिए सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$।
$\angle ABC + 95^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle ABC = 180^{\circ} - 95^{\circ} = 85^{\circ}$।
इसलिए,$\angle BDC = \angle BAC$।
दिया है $\angle BAC = 50^{\circ}$,अतः $\angle BDC = 50^{\circ}$।
अब,$\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC$।
मान रखने पर,$\angle ADC = 45^{\circ} + 50^{\circ} = 95^{\circ}$।
चूँकि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,इसलिए सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$।
$\angle ABC + 95^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle ABC = 180^{\circ} - 95^{\circ} = 85^{\circ}$।
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Medium
$ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है। यदि $AB \parallel CD$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $BC = AD$ है।
Solution
(N/A) दिया है: $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें $AB \parallel CD$ है।
सिद्ध करना है: $BC = AD$ है।
उपपत्ति:
$1$. चूँकि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। अतः,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ और $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$।
$2$. चूँकि $AB \parallel CD$ है,इसलिए क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। अतः,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$।
$3$. $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ और $\angle A + \angle D = 180^{\circ}$ से,हमें $\angle C = \angle D$ प्राप्त होता है।
$4$. इसी प्रकार,चूँकि $AB \parallel CD$ है,$\angle B + \angle C = 180^{\circ}$। दिया गया है कि $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$,अतः $\angle C = \angle D$ सिद्ध होता है।
$5$. एक चक्रीय चतुर्भुज में,यदि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समांतर हो,तो वह एक समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज होता है। समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज में असमांतर भुजाएँ बराबर होती हैं।
$6$. अतः,$BC = AD$।
सिद्ध करना है: $BC = AD$ है।
उपपत्ति:
$1$. चूँकि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। अतः,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ और $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$।
$2$. चूँकि $AB \parallel CD$ है,इसलिए क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। अतः,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$।
$3$. $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ और $\angle A + \angle D = 180^{\circ}$ से,हमें $\angle C = \angle D$ प्राप्त होता है।
$4$. इसी प्रकार,चूँकि $AB \parallel CD$ है,$\angle B + \angle C = 180^{\circ}$। दिया गया है कि $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$,अतः $\angle C = \angle D$ सिद्ध होता है।
$5$. एक चक्रीय चतुर्भुज में,यदि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समांतर हो,तो वह एक समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज होता है। समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज में असमांतर भुजाएँ बराबर होती हैं।
$6$. अतः,$BC = AD$।
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Medium
एक समद्विबाहु त्रिभुज $ABC$ में $AB = AC$ है। $B$ और $C$ से होकर जाने वाला एक वृत्त भुजाओं $AB$ और $AC$ को क्रमशः $X$ और $Y$ पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि $XY \parallel BC$ है।
Solution
(N/A) $1$. $\triangle ABC$ में,हमें $AB = AC$ दिया गया है। इसलिए,$\angle ABC = \angle ACB$ (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।
$2$. चूँकि $B, C, Y, X$ एक ही वृत्त पर स्थित बिंदु हैं,इसलिए $BCYX$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
$3$. चक्रीय चतुर्भुज के गुणधर्म के अनुसार,चक्रीय चतुर्भुज का बहिष्कोण उसके अंतः सम्मुख कोण के बराबर होता है।
$4$. अतः,चक्रीय चतुर्भुज $BCYX$ के लिए,बहिष्कोण $\angle AXY = \angle ACB$ होगा।
$5$. चूँकि $\angle ABC = \angle ACB$ है,इसलिए $\angle AXY = \angle ABC$ होगा।
$6$. ये कोण तिर्यक रेखा $AB$ द्वारा $XY$ और $BC$ रेखाओं पर बनाए गए संगत कोण हैं।
$7$. यदि संगत कोण बराबर हों,तो रेखाएँ समांतर होती हैं। अतः,$XY \parallel BC$।
$2$. चूँकि $B, C, Y, X$ एक ही वृत्त पर स्थित बिंदु हैं,इसलिए $BCYX$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
$3$. चक्रीय चतुर्भुज के गुणधर्म के अनुसार,चक्रीय चतुर्भुज का बहिष्कोण उसके अंतः सम्मुख कोण के बराबर होता है।
$4$. अतः,चक्रीय चतुर्भुज $BCYX$ के लिए,बहिष्कोण $\angle AXY = \angle ACB$ होगा।
$5$. चूँकि $\angle ABC = \angle ACB$ है,इसलिए $\angle AXY = \angle ABC$ होगा।
$6$. ये कोण तिर्यक रेखा $AB$ द्वारा $XY$ और $BC$ रेखाओं पर बनाए गए संगत कोण हैं।
$7$. यदि संगत कोण बराबर हों,तो रेखाएँ समांतर होती हैं। अतः,$XY \parallel BC$।
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MediumMCQ
एक चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ में,$AB \parallel CD$ है। यदि $\angle B = 80^{\circ}$ है,तो $ABCD$ के शेष कोण ज्ञात कीजिए।
A
$\angle A = 95^{\circ}, \angle C = 120^{\circ}, \angle D = 90^{\circ}$
B
$\angle A = 180^{\circ}, \angle C = 100^{\circ}, \angle D = 120^{\circ}$
C
$\angle A = 100^{\circ}, \angle C = 100^{\circ}, \angle D = 80^{\circ}$
D
$\angle A = 80^{\circ}, \angle C = 100^{\circ}, \angle D = 100^{\circ}$
Solution
(D) $1$. एक चक्रीय चतुर्भुज में,सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। अतः,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ और $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$।
$2$. दिया गया है कि $\angle B = 80^{\circ}$,इसलिए $\angle D = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$।
$3$. चूँकि $AB \parallel CD$,तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। अतः,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$।
$4$. $\angle D = 100^{\circ}$ रखने पर,$\angle A + 100^{\circ} = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\angle A = 80^{\circ}$।
$5$. अंत में,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ का उपयोग करने पर,$80^{\circ} + \angle C = 180^{\circ}$ मिलता है,इसलिए $\angle C = 100^{\circ}$।
$6$. अतः,कोण $\angle A = 80^{\circ}, \angle C = 100^{\circ}, \angle D = 100^{\circ}$ हैं।
$2$. दिया गया है कि $\angle B = 80^{\circ}$,इसलिए $\angle D = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$।
$3$. चूँकि $AB \parallel CD$,तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। अतः,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$।
$4$. $\angle D = 100^{\circ}$ रखने पर,$\angle A + 100^{\circ} = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\angle A = 80^{\circ}$।
$5$. अंत में,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ का उपयोग करने पर,$80^{\circ} + \angle C = 180^{\circ}$ मिलता है,इसलिए $\angle C = 100^{\circ}$।
$6$. अतः,कोण $\angle A = 80^{\circ}, \angle C = 100^{\circ}, \angle D = 100^{\circ}$ हैं।
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MediumMCQ
एक चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $\angle BAC = 52^{\circ}$ और $\angle ADB = 78^{\circ}$ है,तो $\angle ABC$ ज्ञात कीजिए। ($^{\circ}$ में)
A
$90$
B
$60$
C
$45$
D
$50$
Solution
(D) एक चक्रीय चतुर्भुज में,एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं।
चूंकि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,इसलिए एक ही चाप $AB$ द्वारा परिधि पर बने कोण $\angle ACB$ और $\angle ADB$ हैं।
अतः,$\angle ACB = \angle ADB = 78^{\circ}$।
अब,त्रिभुज $\triangle ABC$ पर विचार करें। त्रिभुज के तीनों अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^{\circ}$।
दिए गए मानों को रखने पर: $\angle ABC + 52^{\circ} + 78^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle ABC + 130^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle ABC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$।
चूंकि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,इसलिए एक ही चाप $AB$ द्वारा परिधि पर बने कोण $\angle ACB$ और $\angle ADB$ हैं।
अतः,$\angle ACB = \angle ADB = 78^{\circ}$।
अब,त्रिभुज $\triangle ABC$ पर विचार करें। त्रिभुज के तीनों अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^{\circ}$।
दिए गए मानों को रखने पर: $\angle ABC + 52^{\circ} + 78^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle ABC + 130^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle ABC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$।
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MediumMCQ
$P$ केंद्र वाले एक वृत्त में,$AB$ एक व्यास है और $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है। यदि $\angle ADC = 150^{\circ}$ है,तो $\angle BAC$ ज्ञात कीजिए। ($^{\circ}$ में)
A
$60$
B
$90$
C
$40$
D
$120$
Solution
(A) $1$. चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ में,सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$2$. इसलिए,$\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$।
$3$. दिया गया है कि $\angle ADC = 150^{\circ}$,अतः $\angle ABC = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$।
$4$. चूंकि $AB$ व्यास है,इसलिए अर्धवृत्त में बना कोण $90^{\circ}$ होता है। अतः,$\angle ACB = 90^{\circ}$।
$5$. $\triangle ABC$ में,तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$6$. $\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$।
$7$. $\angle BAC + 30^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$।
$8$. $\angle BAC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$।
$2$. इसलिए,$\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$।
$3$. दिया गया है कि $\angle ADC = 150^{\circ}$,अतः $\angle ABC = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$।
$4$. चूंकि $AB$ व्यास है,इसलिए अर्धवृत्त में बना कोण $90^{\circ}$ होता है। अतः,$\angle ACB = 90^{\circ}$।
$5$. $\triangle ABC$ में,तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$6$. $\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$।
$7$. $\angle BAC + 30^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$।
$8$. $\angle BAC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$।
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DifficultMCQ
एक चक्रीय चतुर्भुज $PQRS$ में,$\angle QPR = 40^{\circ}$ और $\angle PSQ = 70^{\circ}$ है,तो $\angle PQR$ ज्ञात कीजिए। ($^{\circ}$ में)
A
$50$
B
$70$
C
$40$
D
$90$
Solution
(B) एक चक्रीय चतुर्भुज $PQRS$ में,एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं।
चूँकि $\angle QPR$ और $\angle QSR$ एक ही चाप $QR$ द्वारा परिधि पर बने कोण हैं,इसलिए $\angle QSR = \angle QPR = 40^{\circ}$ होगा।
दिया गया है कि $\angle PSQ = 70^{\circ}$,अतः कुल कोण $\angle PSR = \angle PSQ + \angle QSR = 70^{\circ} + 40^{\circ} = 110^{\circ}$ होगा।
चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle PQR + \angle PSR = 180^{\circ}$।
$\angle PQR + 110^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle PQR = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$।
चूँकि $\angle QPR$ और $\angle QSR$ एक ही चाप $QR$ द्वारा परिधि पर बने कोण हैं,इसलिए $\angle QSR = \angle QPR = 40^{\circ}$ होगा।
दिया गया है कि $\angle PSQ = 70^{\circ}$,अतः कुल कोण $\angle PSR = \angle PSQ + \angle QSR = 70^{\circ} + 40^{\circ} = 110^{\circ}$ होगा।
चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle PQR + \angle PSR = 180^{\circ}$।
$\angle PQR + 110^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle PQR = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$।
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MediumMCQ
दी गई आकृति में,यदि $\angle BCD = 40^{\circ}$ और $\angle BAE = 65^{\circ}$ है,तो $a, b, c$ और $d$ के मान ज्ञात कीजिए।
A
$a=180^{\circ}, b=10^{\circ}, c=65^{\circ}, d=75^{\circ}$
B
$a=150^{\circ}, b=90^{\circ}, c=65^{\circ}, d=75^{\circ}$
C
$a=150^{\circ}, b=10^{\circ}, c=65^{\circ}, d=75^{\circ}$
D
$a=150^{\circ}, b=10^{\circ}, c=65^{\circ}, d=90^{\circ}$
Solution
(C) $1$. चक्रीय चतुर्भुज $ABDE$ में,बहिष्कोण अंतः सम्मुख कोण के बराबर होता है। अतः,$\triangle ACE$ में,$\angle C = 40^{\circ}$ और $\angle CAE = 65^{\circ}$ है। इसलिए,$\angle AEC = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 65^{\circ}) = 75^{\circ}$।
$2$. चक्रीय गुणधर्म के अनुसार,$\angle BDE = 180^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ}$।
$3$. अतः,$c = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ}$।
$4$. $\angle a = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$।
$5$. $\triangle FDE$ में,$b = 180^{\circ} - (65^{\circ} + 105^{\circ}) = 10^{\circ}$।
$6$. इस प्रकार,$a=150^{\circ}, b=10^{\circ}, c=65^{\circ}, d=75^{\circ}$।
$2$. चक्रीय गुणधर्म के अनुसार,$\angle BDE = 180^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ}$।
$3$. अतः,$c = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ}$।
$4$. $\angle a = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$।
$5$. $\triangle FDE$ में,$b = 180^{\circ} - (65^{\circ} + 105^{\circ}) = 10^{\circ}$।
$6$. इस प्रकार,$a=150^{\circ}, b=10^{\circ}, c=65^{\circ}, d=75^{\circ}$।
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MediumMCQ
एक चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ में,$\angle A : \angle C = 4 : 5$ और $\angle B : \angle D = 5 : 7$ है,तो $ABCD$ के सभी कोण ज्ञात कीजिए।
A
$\angle A = 180^{\circ}, \angle B = 90^{\circ}, \angle C = 100^{\circ}, \angle D = 180^{\circ}$
B
$\angle A = 80^{\circ}, \angle B = 90^{\circ}, \angle C = 180^{\circ}, \angle D = 105^{\circ}$
C
$\angle A = 90^{\circ}, \angle B = 75^{\circ}, \angle C = 100^{\circ}, \angle D = 120^{\circ}$
D
$\angle A = 80^{\circ}, \angle B = 75^{\circ}, \angle C = 100^{\circ}, \angle D = 105^{\circ}$
Solution
(D) चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
दिया है $\angle A : \angle C = 4 : 5$,मान लीजिए $\angle A = 4x$ और $\angle C = 5x$ है।
चूंकि $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$,इसलिए $4x + 5x = 180^{\circ} \Rightarrow 9x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 20^{\circ}$।
अतः,$\angle A = 4(20^{\circ}) = 80^{\circ}$ और $\angle C = 5(20^{\circ}) = 100^{\circ}$।
दिया है $\angle B : \angle D = 5 : 7$,मान लीजिए $\angle B = 5y$ और $\angle D = 7y$ है।
चूंकि $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$,इसलिए $5y + 7y = 180^{\circ} \Rightarrow 12y = 180^{\circ} \Rightarrow y = 15^{\circ}$।
अतः,$\angle B = 5(15^{\circ}) = 75^{\circ}$ और $\angle D = 7(15^{\circ}) = 105^{\circ}$।
इसलिए,कोण $\angle A = 80^{\circ}, \angle B = 75^{\circ}, \angle C = 100^{\circ}, \angle D = 105^{\circ}$ हैं।
दिया है $\angle A : \angle C = 4 : 5$,मान लीजिए $\angle A = 4x$ और $\angle C = 5x$ है।
चूंकि $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$,इसलिए $4x + 5x = 180^{\circ} \Rightarrow 9x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 20^{\circ}$।
अतः,$\angle A = 4(20^{\circ}) = 80^{\circ}$ और $\angle C = 5(20^{\circ}) = 100^{\circ}$।
दिया है $\angle B : \angle D = 5 : 7$,मान लीजिए $\angle B = 5y$ और $\angle D = 7y$ है।
चूंकि $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$,इसलिए $5y + 7y = 180^{\circ} \Rightarrow 12y = 180^{\circ} \Rightarrow y = 15^{\circ}$।
अतः,$\angle B = 5(15^{\circ}) = 75^{\circ}$ और $\angle D = 7(15^{\circ}) = 105^{\circ}$।
इसलिए,कोण $\angle A = 80^{\circ}, \angle B = 75^{\circ}, \angle C = 100^{\circ}, \angle D = 105^{\circ}$ हैं।
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MediumMCQ
एक चक्रीय चतुर्भुज $PQRS$ में,$\angle P = \angle R + 50^{\circ}$ है। $\angle P$ और $\angle R$ ज्ञात कीजिए।
A
$\angle P = 115^{\circ}, \angle R = 65^{\circ}$
B
$\angle P = 120^{\circ}, \angle R = 95^{\circ}$
C
$\angle P = 180^{\circ}, \angle R = 90^{\circ}$
D
$\angle P = 145^{\circ}, \angle R = 45^{\circ}$
Solution
(A) एक चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle P + \angle R = 180^{\circ}$।
दिया गया है कि $\angle P = \angle R + 50^{\circ}$।
पहले समीकरण में $\angle P$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(\angle R + 50^{\circ}) + \angle R = 180^{\circ}$
$2\angle R + 50^{\circ} = 180^{\circ}$
$2\angle R = 130^{\circ}$
$\angle R = 65^{\circ}$।
अब,$\angle P$ ज्ञात करने पर:
$\angle P = 65^{\circ} + 50^{\circ} = 115^{\circ}$।
अतः,$\angle P = 115^{\circ}$ और $\angle R = 65^{\circ}$।
अतः,$\angle P + \angle R = 180^{\circ}$।
दिया गया है कि $\angle P = \angle R + 50^{\circ}$।
पहले समीकरण में $\angle P$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(\angle R + 50^{\circ}) + \angle R = 180^{\circ}$
$2\angle R + 50^{\circ} = 180^{\circ}$
$2\angle R = 130^{\circ}$
$\angle R = 65^{\circ}$।
अब,$\angle P$ ज्ञात करने पर:
$\angle P = 65^{\circ} + 50^{\circ} = 115^{\circ}$।
अतः,$\angle P = 115^{\circ}$ और $\angle R = 65^{\circ}$।
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MediumMCQ
एक चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ में,$\angle A = 4 \angle C$ और $\angle B = 3 \angle D$ है,तो $ABCD$ के सभी कोण ज्ञात कीजिए।
A
$\angle A = 144^{\circ}, \angle B = 145^{\circ}, \angle C = 45^{\circ}, \angle D = 45^{\circ}$
B
$\angle A = 144^{\circ}, \angle B = 135^{\circ}, \angle C = 36^{\circ}, \angle D = 45^{\circ}$
C
$\angle A = 180^{\circ}, \angle B = 135^{\circ}, \angle C = 36^{\circ}, \angle D = 90^{\circ}$
D
$\angle A = 144^{\circ}, \angle B = 120^{\circ}, \angle C = 90^{\circ}, \angle D = 45^{\circ}$
Solution
(B) एक चक्रीय चतुर्भुज में,सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ और $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$।
दिया गया है $\angle A = 4 \angle C$,इसे पहले समीकरण में रखने पर: $4 \angle C + \angle C = 180^{\circ} \implies 5 \angle C = 180^{\circ} \implies \angle C = 36^{\circ}$।
तब,$\angle A = 4 \times 36^{\circ} = 144^{\circ}$।
दिया गया है $\angle B = 3 \angle D$,इसे दूसरे समीकरण में रखने पर: $3 \angle D + \angle D = 180^{\circ} \implies 4 \angle D = 180^{\circ} \implies \angle D = 45^{\circ}$।
तब,$\angle B = 3 \times 45^{\circ} = 135^{\circ}$।
अतः,कोण $\angle A = 144^{\circ}, \angle B = 135^{\circ}, \angle C = 36^{\circ}, \angle D = 45^{\circ}$ हैं।
अतः,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ और $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$।
दिया गया है $\angle A = 4 \angle C$,इसे पहले समीकरण में रखने पर: $4 \angle C + \angle C = 180^{\circ} \implies 5 \angle C = 180^{\circ} \implies \angle C = 36^{\circ}$।
तब,$\angle A = 4 \times 36^{\circ} = 144^{\circ}$।
दिया गया है $\angle B = 3 \angle D$,इसे दूसरे समीकरण में रखने पर: $3 \angle D + \angle D = 180^{\circ} \implies 4 \angle D = 180^{\circ} \implies \angle D = 45^{\circ}$।
तब,$\angle B = 3 \times 45^{\circ} = 135^{\circ}$।
अतः,कोण $\angle A = 144^{\circ}, \angle B = 135^{\circ}, \angle C = 36^{\circ}, \angle D = 45^{\circ}$ हैं।
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Medium
$ABCD$ एक ऐसा चतुर्भुज है कि $A$,$B, C$ और $D$ से होकर गुजरने वाले वृत्त का केंद्र है। सिद्ध कीजिए कि $\angle CBD + \angle CDB = \frac{1}{2} \angle BAD$.
Solution
(A) $1$. चूँकि $A$,$B, C$ और $D$ से होकर गुजरने वाले वृत्त का केंद्र है,इसलिए $AB = AC = AD = r$ (जहाँ $r$ वृत्त की त्रिज्या है)।
$2$. $\triangle ABD$ में,$AB = AD$ है,इसलिए $\angle ABD = \angle ADB = (180^{\circ} - \angle BAD)/2 = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle BAD$.
$3$. $\triangle BCD$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। अतः,$\angle CBD + \angle CDB + \angle BCD = 180^{\circ}$.
$4$. वृत्त के प्रमेय के अनुसार,केंद्र पर बना कोण परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है। यहाँ,$\angle BCD = \frac{1}{2} (360^{\circ} - \angle BAD) = 180^{\circ} - \frac{1}{2} \angle BAD$.
$5$. इस मान को समीकरण में रखने पर: $\angle CBD + \angle CDB + (180^{\circ} - \frac{1}{2} \angle BAD) = 180^{\circ}$.
$6$. अतः,$\angle CBD + \angle CDB = \frac{1}{2} \angle BAD$.
$2$. $\triangle ABD$ में,$AB = AD$ है,इसलिए $\angle ABD = \angle ADB = (180^{\circ} - \angle BAD)/2 = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle BAD$.
$3$. $\triangle BCD$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। अतः,$\angle CBD + \angle CDB + \angle BCD = 180^{\circ}$.
$4$. वृत्त के प्रमेय के अनुसार,केंद्र पर बना कोण परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है। यहाँ,$\angle BCD = \frac{1}{2} (360^{\circ} - \angle BAD) = 180^{\circ} - \frac{1}{2} \angle BAD$.
$5$. इस मान को समीकरण में रखने पर: $\angle CBD + \angle CDB + (180^{\circ} - \frac{1}{2} \angle BAD) = 180^{\circ}$.
$6$. अतः,$\angle CBD + \angle CDB = \frac{1}{2} \angle BAD$.
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Medium
यदि $BM$ और $CN$ त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं $AC$ और $AB$ पर खींचे गए शीर्षलंब (altitudes) हैं,तो सिद्ध कीजिए कि बिंदु $B, C, M$ और $N$ चक्रीय (concyclic) हैं।
Solution
(N/A) $1$. $\triangle ABC$ में,$BM \perp AC$ और $CN \perp AB$ है।
$2$. इसलिए,$\angle BMC = 90^\circ$ और $\angle BNC = 90^\circ$ है।
$3$. रेखाखंड $BC$ को एक जीवा के रूप में लें।
$4$. रेखाखंड $BC$ द्वारा बिंदुओं $M$ और $N$ पर अंतरित कोण $\angle BMC = 90^\circ$ और $\angle BNC = 90^\circ$ हैं।
$5$. चूंकि $\angle BMC = \angle BNC = 90^\circ$ है,इसलिए बिंदु $M$ और $N$ एक ऐसे वृत्त पर स्थित हैं जिसका व्यास $BC$ है।
$6$. अतः,बिंदु $B, C, M$ और $N$ चक्रीय हैं।
$2$. इसलिए,$\angle BMC = 90^\circ$ और $\angle BNC = 90^\circ$ है।
$3$. रेखाखंड $BC$ को एक जीवा के रूप में लें।
$4$. रेखाखंड $BC$ द्वारा बिंदुओं $M$ और $N$ पर अंतरित कोण $\angle BMC = 90^\circ$ और $\angle BNC = 90^\circ$ हैं।
$5$. चूंकि $\angle BMC = \angle BNC = 90^\circ$ है,इसलिए बिंदु $M$ और $N$ एक ऐसे वृत्त पर स्थित हैं जिसका व्यास $BC$ है।
$6$. अतः,बिंदु $B, C, M$ और $N$ चक्रीय हैं।
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Medium
यदि एक समलंब चतुर्भुज की असमांतर भुजाएँ बराबर हैं,तो सिद्ध कीजिए कि यह एक चक्रीय चतुर्भुज है।
Solution
(N/A) माना $ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $AB \parallel CD$ और असमांतर भुजाएँ $AD = BC$ हैं।
यह सिद्ध करने के लिए कि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,हमें यह दिखाना होगा कि सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ है,अर्थात $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ या $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$।
$DE \perp AB$ और $CF \perp AB$ खींचिए।
$\triangle ADE$ और $\triangle BCF$ में:
$AD = BC$ (दिया है)
$\angle AED = \angle BFC = 90^{\circ}$ (रचना से)
$DE = CF$ (समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी समान होती है)
अतः,$RHS$ सर्वांगसमता नियम से $\triangle ADE \cong \triangle BCF$ है।
इसका अर्थ है कि $\angle A = \angle B$ ($CPCT$ द्वारा)।
चूँकि $AB \parallel CD$,इसलिए क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,अर्थात $\angle A + \angle D = 180^{\circ}$।
$\angle A$ के स्थान पर $\angle B$ रखने पर,हमें $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूँकि सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
यह सिद्ध करने के लिए कि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,हमें यह दिखाना होगा कि सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ है,अर्थात $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ या $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$।
$DE \perp AB$ और $CF \perp AB$ खींचिए।
$\triangle ADE$ और $\triangle BCF$ में:
$AD = BC$ (दिया है)
$\angle AED = \angle BFC = 90^{\circ}$ (रचना से)
$DE = CF$ (समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी समान होती है)
अतः,$RHS$ सर्वांगसमता नियम से $\triangle ADE \cong \triangle BCF$ है।
इसका अर्थ है कि $\angle A = \angle B$ ($CPCT$ द्वारा)।
चूँकि $AB \parallel CD$,इसलिए क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,अर्थात $\angle A + \angle D = 180^{\circ}$।
$\angle A$ के स्थान पर $\angle B$ रखने पर,हमें $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूँकि सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
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EasyMCQ
एक चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ में,यदि $\angle A = \angle C$ है,तो $\angle A = $ ........... ($^{\circ}$ में)
A
$60$
B
$45$
C
$120$
D
$90$
Solution
(D) एक चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,इसलिए $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$।
यह भी दिया गया है कि $\angle A = \angle C$।
पहले समीकरण में $\angle C$ के स्थान पर $\angle A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\angle A + \angle A = 180^{\circ}$।
$2\angle A = 180^{\circ}$।
अतः,$\angle A = 180^{\circ} / 2 = 90^{\circ}$।
दिया गया है कि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,इसलिए $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$।
यह भी दिया गया है कि $\angle A = \angle C$।
पहले समीकरण में $\angle C$ के स्थान पर $\angle A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\angle A + \angle A = 180^{\circ}$।
$2\angle A = 180^{\circ}$।
अतः,$\angle A = 180^{\circ} / 2 = 90^{\circ}$।
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EasyMCQ
चक्रीय चतुर्भुज $PQRS$ में,यदि $5 \angle Q = 7 \angle S$ है,तो $\angle Q$ का मान ज्ञात कीजिए। ($^{\circ}$ में)
A
$75$
B
$105$
C
$90$
D
$60$
Solution
(B) एक चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle Q + \angle S = 180^{\circ}$।
दिया गया है कि $5 \angle Q = 7 \angle S$,अतः हम $\angle S$ को $\angle S = \frac{5}{7} \angle Q$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस मान को योग के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\angle Q + \frac{5}{7} \angle Q = 180^{\circ}$।
$\frac{7 \angle Q + 5 \angle Q}{7} = 180^{\circ}$।
$\frac{12 \angle Q}{7} = 180^{\circ}$।
$\angle Q = \frac{180^{\circ} \times 7}{12}$।
$\angle Q = 15^{\circ} \times 7 = 105^{\circ}$।
इसलिए,$\angle Q + \angle S = 180^{\circ}$।
दिया गया है कि $5 \angle Q = 7 \angle S$,अतः हम $\angle S$ को $\angle S = \frac{5}{7} \angle Q$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस मान को योग के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\angle Q + \frac{5}{7} \angle Q = 180^{\circ}$।
$\frac{7 \angle Q + 5 \angle Q}{7} = 180^{\circ}$।
$\frac{12 \angle Q}{7} = 180^{\circ}$।
$\angle Q = \frac{180^{\circ} \times 7}{12}$।
$\angle Q = 15^{\circ} \times 7 = 105^{\circ}$।
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MediumMCQ
$ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें $\angle BAC = 45^{\circ}$ और $\angle ADB = 55^{\circ}$ है,तो $\angle ABC = \dots$ ($^{\circ}$ में)
A
$100$
B
$45$
C
$80$
D
$55$
Solution
(C) एक चक्रीय चतुर्भुज में,एक ही चाप द्वारा परिधि पर बने कोण बराबर होते हैं।
चूंकि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,इसलिए चाप $AB$ द्वारा परिधि पर बने कोण $\angle ADB$ और $\angle ACB$ समान होंगे।
अतः,$\angle ACB = \angle ADB = 55^{\circ}$।
अब,त्रिभुज $\triangle ABC$ पर विचार करें। त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$।
दिए गए मानों को रखने पर: $45^{\circ} + \angle ABC + 55^{\circ} = 180^{\circ}$।
$100^{\circ} + \angle ABC = 180^{\circ}$।
$\angle ABC = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$।
चूंकि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,इसलिए चाप $AB$ द्वारा परिधि पर बने कोण $\angle ADB$ और $\angle ACB$ समान होंगे।
अतः,$\angle ACB = \angle ADB = 55^{\circ}$।
अब,त्रिभुज $\triangle ABC$ पर विचार करें। त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$।
दिए गए मानों को रखने पर: $45^{\circ} + \angle ABC + 55^{\circ} = 180^{\circ}$।
$100^{\circ} + \angle ABC = 180^{\circ}$।
$\angle ABC = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$।
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MediumMCQ
$ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें $\angle A = 80^{\circ}$ और $\angle B = 75^{\circ}$ है,तो $\angle D = \dots$ ($^{\circ}$ में)
A
$100$
B
$75$
C
$80$
D
$105$
Solution
(D) एक चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,इसलिए सम्मुख कोणों के युग्म $\angle A$ और $\angle C$ तथा $\angle B$ और $\angle D$ हैं।
अतः,$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$।
यहाँ $\angle B = 75^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $75^{\circ} + \angle D = 180^{\circ}$।
$\angle D = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ}$।
दिया गया है कि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,इसलिए सम्मुख कोणों के युग्म $\angle A$ और $\angle C$ तथा $\angle B$ और $\angle D$ हैं।
अतः,$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$।
यहाँ $\angle B = 75^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $75^{\circ} + \angle D = 180^{\circ}$।
$\angle D = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ}$।
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View Solution38
MediumMCQ
एक चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ में,$\angle A = 2x - 10^{\circ}$ और $\angle C = 3x - 35^{\circ}$ है,तो $\angle A =$ .......... ($^{\circ}$ में)
A
$62$
B
$72$
C
$82$
D
$80$
Solution
(D) चक्रीय चतुर्भुज का एक गुण यह है कि इसके सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(2x - 10^{\circ}) + (3x - 35^{\circ}) = 180^{\circ}$.
समान पदों को जोड़ने पर: $5x - 45^{\circ} = 180^{\circ}$.
दोनों पक्षों में $45^{\circ}$ जोड़ने पर: $5x = 225^{\circ}$.
$5$ से भाग देने पर: $x = 45^{\circ}$.
अब,$\angle A$ का मान ज्ञात करें: $\angle A = 2x - 10^{\circ} = 2(45^{\circ}) - 10^{\circ} = 90^{\circ} - 10^{\circ} = 80^{\circ}$.
इसलिए,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(2x - 10^{\circ}) + (3x - 35^{\circ}) = 180^{\circ}$.
समान पदों को जोड़ने पर: $5x - 45^{\circ} = 180^{\circ}$.
दोनों पक्षों में $45^{\circ}$ जोड़ने पर: $5x = 225^{\circ}$.
$5$ से भाग देने पर: $x = 45^{\circ}$.
अब,$\angle A$ का मान ज्ञात करें: $\angle A = 2x - 10^{\circ} = 2(45^{\circ}) - 10^{\circ} = 90^{\circ} - 10^{\circ} = 80^{\circ}$.
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EasyMCQ
चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ में,यदि $5 \angle A = 13 \angle C$ है,तो $\angle A$ का मान ज्ञात कीजिए। ($^{\circ}$ में)
A
$120$
B
$90$
C
$130$
D
$180$
Solution
(C) एक चक्रीय चतुर्भुज में,सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
दिए गए समीकरण $5 \angle A = 13 \angle C$ से,हम लिख सकते हैं कि $\angle C = \frac{5}{13} \angle A$.
इस मान को योग वाले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\angle A + \frac{5}{13} \angle A = 180^{\circ}$.
$\frac{13 \angle A + 5 \angle A}{13} = 180^{\circ}$.
$\frac{18 \angle A}{13} = 180^{\circ}$.
$\angle A = 180^{\circ} \times \frac{13}{18}$.
$\angle A = 10^{\circ} \times 13 = 130^{\circ}$.
अतः,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
दिए गए समीकरण $5 \angle A = 13 \angle C$ से,हम लिख सकते हैं कि $\angle C = \frac{5}{13} \angle A$.
इस मान को योग वाले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\angle A + \frac{5}{13} \angle A = 180^{\circ}$.
$\frac{13 \angle A + 5 \angle A}{13} = 180^{\circ}$.
$\frac{18 \angle A}{13} = 180^{\circ}$.
$\angle A = 180^{\circ} \times \frac{13}{18}$.
$\angle A = 10^{\circ} \times 13 = 130^{\circ}$.
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EasyMCQ
चक्रीय चतुर्भुज $PQRS$ में,यदि $\angle PRQ = 52^{\circ}$ है,तो $\angle PSQ$ ज्ञात कीजिए। ($^{\circ}$ में)
A
$35$
B
$45$
C
$70$
D
$52$
Solution
(D) एक चक्रीय चतुर्भुज में,एक ही चाप द्वारा वृत्त की परिधि पर बने कोण बराबर होते हैं।
यहाँ,$\angle PRQ$ और $\angle PSQ$ एक ही चाप $PQ$ द्वारा वृत्त की परिधि पर बने कोण हैं।
इसलिए,$\angle PSQ = \angle PRQ$ होगा।
दिया गया है कि $\angle PRQ = 52^{\circ}$,अतः $\angle PSQ = 52^{\circ}$ होगा।
यहाँ,$\angle PRQ$ और $\angle PSQ$ एक ही चाप $PQ$ द्वारा वृत्त की परिधि पर बने कोण हैं।
इसलिए,$\angle PSQ = \angle PRQ$ होगा।
दिया गया है कि $\angle PRQ = 52^{\circ}$,अतः $\angle PSQ = 52^{\circ}$ होगा।
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MediumMCQ
चतुर्भुज $ABCD$ में,यदि $\angle A : \angle B : \angle C : \angle D = 3 : 2 : 4 : 5$ है,तो चतुर्भुज $ABCD$ के प्रकार को पहचानें।
A
चक्रीय चतुर्भुज
B
समचतुर्भुज
C
सामान्य चतुर्भुज
D
समांतर चतुर्भुज
Solution
(A) माना कि कोण $3x, 2x, 4x$ और $5x$ हैं।
चूंकि चतुर्भुज के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है,इसलिए:
$3x + 2x + 4x + 5x = 360^{\circ}$
$14x = 360^{\circ}$
$x = \frac{360}{14} = \frac{180}{7}^{\circ}$
अब,कोणों की गणना करते हैं:
$\angle A = 3 \times \frac{180}{7} = \frac{540}{7}^{\circ} \approx 77.14^{\circ}$
$\angle B = 2 \times \frac{180}{7} = \frac{360}{7}^{\circ} \approx 51.43^{\circ}$
$\angle C = 4 \times \frac{180}{7} = \frac{720}{7}^{\circ} \approx 102.86^{\circ}$
$\angle D = 5 \times \frac{180}{7} = \frac{900}{7}^{\circ} \approx 128.57^{\circ}$
चक्रीय चतुर्भुज के लिए,सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होना चाहिए।
$\angle A + \angle C = \frac{540}{7} + \frac{720}{7} = \frac{1260}{7} = 180^{\circ}$
$\angle B + \angle D = \frac{360}{7} + \frac{900}{7} = \frac{1260}{7} = 180^{\circ}$
चूंकि सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
चूंकि चतुर्भुज के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है,इसलिए:
$3x + 2x + 4x + 5x = 360^{\circ}$
$14x = 360^{\circ}$
$x = \frac{360}{14} = \frac{180}{7}^{\circ}$
अब,कोणों की गणना करते हैं:
$\angle A = 3 \times \frac{180}{7} = \frac{540}{7}^{\circ} \approx 77.14^{\circ}$
$\angle B = 2 \times \frac{180}{7} = \frac{360}{7}^{\circ} \approx 51.43^{\circ}$
$\angle C = 4 \times \frac{180}{7} = \frac{720}{7}^{\circ} \approx 102.86^{\circ}$
$\angle D = 5 \times \frac{180}{7} = \frac{900}{7}^{\circ} \approx 128.57^{\circ}$
चक्रीय चतुर्भुज के लिए,सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होना चाहिए।
$\angle A + \angle C = \frac{540}{7} + \frac{720}{7} = \frac{1260}{7} = 180^{\circ}$
$\angle B + \angle D = \frac{360}{7} + \frac{900}{7} = \frac{1260}{7} = 180^{\circ}$
चूंकि सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
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MediumMCQ
एक चक्रीय चतुर्भुज में $\angle A = 3x + 15^{\circ}$ और $\angle C = 2x + 15^{\circ}$ है। तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$20$
B
$30$
C
$23$
D
$33$
Solution
(B) एक चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(3x + 15^{\circ}) + (2x + 15^{\circ}) = 180^{\circ}$.
समान पदों को जोड़ने पर: $5x + 30^{\circ} = 180^{\circ}$.
दोनों पक्षों से $30^{\circ}$ घटाने पर: $5x = 150^{\circ}$.
$5$ से भाग देने पर: $x = 30^{\circ}$.
अतः,$x$ का मान $30$ है।
इसलिए,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(3x + 15^{\circ}) + (2x + 15^{\circ}) = 180^{\circ}$.
समान पदों को जोड़ने पर: $5x + 30^{\circ} = 180^{\circ}$.
दोनों पक्षों से $30^{\circ}$ घटाने पर: $5x = 150^{\circ}$.
$5$ से भाग देने पर: $x = 30^{\circ}$.
अतः,$x$ का मान $30$ है।
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MediumMCQ
चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ में,$\angle B = \angle D - 30^{\circ}$ है,तो $\angle B$ ज्ञात कीजिए। ($^{\circ}$ में)
A
$70$
B
$175$
C
$75$
D
$95$
Solution
(C) एक चक्रीय चतुर्भुज में,सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$।
दिया गया है कि $\angle B = \angle D - 30^{\circ}$,अतः हम $\angle D = \angle B + 30^{\circ}$ लिख सकते हैं।
इस मान को योग के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\angle B + (\angle B + 30^{\circ}) = 180^{\circ}$।
$2\angle B + 30^{\circ} = 180^{\circ}$।
$2\angle B = 150^{\circ}$।
$\angle B = 75^{\circ}$।
इसलिए,$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$।
दिया गया है कि $\angle B = \angle D - 30^{\circ}$,अतः हम $\angle D = \angle B + 30^{\circ}$ लिख सकते हैं।
इस मान को योग के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\angle B + (\angle B + 30^{\circ}) = 180^{\circ}$।
$2\angle B + 30^{\circ} = 180^{\circ}$।
$2\angle B = 150^{\circ}$।
$\angle B = 75^{\circ}$।
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