Mix Examples - Heron’s Formula Questions in Hindi

(D) चतुर्भुज $ABCD$ को दो त्रिभुजों में विभाजित करने के लिए $B$ और $D$ को जोड़ें: $\Delta BCD$ और $\Delta ABD$।
$1$. समकोण त्रिभुज $\Delta BCD$ में (क्योंकि $\angle C = 90^{\circ}$):
$\Delta BCD$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30 \, m^{2}$।
$2$. पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके विकर्ण $BD$ की लंबाई ज्ञात करें:
$BD^{2} = BC^{2} + CD^{2} = 12^{2} + 5^{2} = 144 + 25 = 169$।
$BD = \sqrt{169} = 13 \, m$।
$3$. $\Delta ABD$ के लिए,भुजाएँ $a = 9 \, m$,$b = 8 \, m$ और $c = 13 \, m$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{9 + 8 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15 \, m$।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\Delta ABD$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{15(15-9)(15-8)(15-13)} = \sqrt{15 \times 6 \times 7 \times 2} = \sqrt{1260} = 6\sqrt{35} \, m^{2}$।
$\sqrt{35} \approx 5.916$ लेने पर,क्षेत्रफल $\approx 6 \times 5.916 = 35.496 \approx 35.5 \, m^{2}$।
$4$. चतुर्भुज $ABCD$ का कुल क्षेत्रफल $= \text{Area}(\Delta BCD) + \text{Area}(\Delta ABD) = 30 + 35.5 = 65.5 \, m^{2}$।

(B) माना कि समद्विबाहु समकोण त्रिभुज की दो समान भुजाएँ $a \, cm$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि यह एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है,आधार $= a$ और ऊँचाई $= a$ होगी।
अतः,$\frac{1}{2} \times a \times a = 8$.
$a^{2} = 16$,जिससे $a = 4 \, cm$ प्राप्त होता है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,कर्ण $h = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = \sqrt{4^{2} + 4^{2}} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} \, cm$ होगा।

(B) त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$.
यहाँ,$\text{आधार} = 4 \, \text{cm}$ और $\text{ऊँचाई} = 6 \, \text{cm}$ दिया गया है।
सूत्र में इन मानों को रखने पर: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 4 \, \text{cm} \times 6 \, \text{cm} = 12 \, \text{cm}^2$.
चूँकि परिकलित क्षेत्रफल $12 \, \text{cm}^2$ है न कि $24 \, \text{cm}^2$,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

(TRUE) दिया गया है कि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle A = 90^{\circ}$,$AB = 4 \, cm$ और $AC = 4 \, cm$ है।
समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$
यहाँ,हम $AC$ को आधार और $AB$ को ऊँचाई मान सकते हैं।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 4 \, cm \times 4 \, cm$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 16 \, cm^2 = 8 \, cm^2$
चूँकि परिकलित क्षेत्रफल $8 \, cm^2$ है,इसलिए दिया गया कथन सत्य है।

(A) माना $ABCD$ एक समचतुर्भुज है जिसका एक विकर्ण $AC = 16 \, cm$ है। समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा $10 \, cm$ है।
हम जानते हैं कि समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं,इसलिए
$OA = OC = 8 \, cm$ और $OB = OD$ है।
$\Delta AOB$ में,$\angle AOB = 90^{\circ}$ है।
अतः,$AB^2 = OA^2 + OB^2$
$\Rightarrow OB^2 = AB^2 - OA^2$
$= (10)^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$
$OB = \sqrt{36} = 6 \, cm$ है।
$DB = 2(OB) = 2 \times 6 = 12 \, cm$ है।
अतः,समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{विकर्णों का गुणनफल}$
$= \frac{1}{2} \times 16 \times 12 = 96 \, cm^2$ है।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(FALSE) यह कथन असत्य है।
एक सम षट्भुज को उसके केंद्र को उसके प्रत्येक शीर्ष से जोड़कर छह समबाहु त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है।
चूंकि इनमें से प्रत्येक छह त्रिभुज $a$ भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज है, इसलिए सम षट्भुज का कुल क्षेत्रफल इन छह समबाहु त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।
अतः, $a$ भुजा वाले एक सम षट्भुज का क्षेत्रफल $6 \times (\text{a भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल})$ होता है, न कि ऐसे पाँच त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग।

(N/A) यह आकृति दो त्रिभुजों से बनी है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल बड़े त्रिभुज और छोटे त्रिभुज के क्षेत्रफल का अंतर है।
$1$. बड़े त्रिभुज के लिए जिसकी भुजाएँ $a = 122 \ m$,$b = 120 \ m$ और $c = 22 \ m$ हैं:
अर्ध-परिमाप $s = \frac{122 + 120 + 22}{2} = \frac{264}{2} = 132 \ m$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{132(132-122)(132-120)(132-22)}$
$= \sqrt{132 \times 10 \times 12 \times 110} = \sqrt{1742400} = 1320 \ m^2$.
$2$. छोटे त्रिभुज के लिए जिसकी भुजाएँ $a = 24 \ m$,$b = 26 \ m$ और $c = 22 \ m$ हैं:
चूंकि यह एक समकोण त्रिभुज है (जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है),हम सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 24 \times 10 = 120 \ m^2$.
$3$. छायांकित भाग का क्षेत्रफल $= \text{बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल} - \text{छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल}$
$= 1320 \ m^2 - 120 \ m^2 = 1200 \ m^2$.

(N/A) $\Delta BCD$ की भुजाएँ $a = 12 \text{ cm}, b = 17 \text{ cm}$ और $c = 25 \text{ cm}$ हैं।
$\therefore \Delta BCD$ का अर्ध-परिमाप $(s)$:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{12 + 17 + 25}{2} = \frac{54}{2} = 27 \text{ cm}.$
$\therefore \Delta BCD$ का क्षेत्रफल = $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ [हीरोन के सूत्र का उपयोग करने पर]
$= \sqrt{27(27 - 12)(27 - 17)(27 - 25)}$
$= \sqrt{27 \times 15 \times 10 \times 2}$
$= \sqrt{(9 \times 3) \times (3 \times 5) \times (5 \times 2) \times 2}$
$= \sqrt{9 \times 9 \times 25 \times 4} = 3 \times 3 \times 5 \times 2 = 90 \text{ cm}^2.$
चूँकि एक विकर्ण समांतर चतुर्भुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है:
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल = $2 \times \Delta BCD$ का क्षेत्रफल = $2 \times 90 = 180 \text{ cm}^2.$
माना शीर्ष $A$ से भुजा $DC$ पर डाला गया शीर्षलंब $h$ है।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल = आधार $\times$ शीर्षलंब
$180 = DC \times h$
$180 = 12 \times h$
$h = \frac{180}{12} = 15 \text{ cm}.$
अतः,समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $180 \text{ cm}^2$ है और शीर्षलंब की लंबाई $15 \text{ cm}$ है।

(B) चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम इसे दो त्रिभुजों में विभाजित करते हैं: $\Delta ABC$ और $\Delta ACD$।
चूँकि $\angle B = 90^\circ$ है,$\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है।
$\Delta ABC$ में पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, cm$।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \, cm^2$।
अब,$\Delta ACD$ के लिए,भुजाएँ $a = 10 \, cm$,$b = 12 \, cm$ और $c = 14 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{10 + 12 + 14}{2} = \frac{36}{2} = 18 \, cm$।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\Delta ACD$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{18(18-10)(18-12)(18-14)} = \sqrt{18 \times 8 \times 6 \times 4} = \sqrt{3456} \approx 58.787 \, cm^2$।
चतुर्भुज $ABCD$ का कुल क्षेत्रफल $= \text{क्षेत्रफल}(\Delta ABC) + \text{क्षेत्रफल}(\Delta ACD) = 24 + 58.787 = 82.787 \, cm^2$।

(C) समचतुर्भुज का परिमाप $40 \, cm$ है।
चूंकि समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए भुजा की लंबाई $\frac{40}{4} = 10 \, cm$ है।
विकर्ण समचतुर्भुज को $10 \, cm, 10 \, cm$ और $12 \, cm$ भुजाओं वाले दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है।
एक त्रिभुज के लिए हेरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए:
अर्ध-परिमाप $s = \frac{10 + 10 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16 \, cm$.
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)} = \sqrt{16 \times 6 \times 6 \times 4} = \sqrt{2304} = 48 \, cm^2$.
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $= 2 \times 48 = 96 \, cm^2$.
चूंकि दोनों तरफ पेंट किया जाना है,इसलिए पेंट किए जाने वाला कुल क्षेत्रफल $2 \times 96 = 192 \, cm^2$ है।
$Rs \, 5$ प्रति $cm^2$ की दर से पेंट करने की कुल लागत $192 \times 5 = Rs \, 960$ है।

(A) $RT \perp SP$ खींचिए। आकृति से स्पष्ट है कि $RT = PQ = 7 \ m$ और $PT = QR = 7 \ m$ है।
चूँकि $SP = 12 \ m$ है,इसलिए $ST = SP - PT = 12 \ m - 7 \ m = 5 \ m$ होगा।
अब,समकोण त्रिभुज $STR$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$SR^2 = ST^2 + RT^2$
$13^2 = 5^2 + RT^2$
$169 = 25 + RT^2$
$RT^2 = 169 - 25 = 144$
$RT = 12 \ m$।
अतः,समलंब चतुर्भुज की ऊँचाई $12 \ m$ है।
समलंब चतुर्भुज $PQRS$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (SP + QR) \times PQ$
$= \frac{1}{2} \times (12 \ m + 7 \ m) \times 12 \ m$
$= \frac{1}{2} \times 19 \ m \times 12 \ m = 19 \times 6 \ m^2 = 114 \ m^2$।

(A) माना समलंब चतुर्भुज $ABCD$ है जिसकी समांतर भुजाएँ $AB = 90 \, m$ और $CD = 30 \, m$ हैं। भुजा $AC$,$AB$ और $CD$ दोनों पर लंब है।
$DM \perp AB$ खींचिए। चूंकि $ACDM$ एक आयत बनाता है,इसलिए $AM = CD = 30 \, m$ और $DM = AC$ होगा।
अब,$MB = AB - AM = 90 \, m - 30 \, m = 60 \, m$.
समकोण त्रिभुज $\triangle DMB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$DM^2 = DB^2 - MB^2 = (100)^2 - (60)^2$
$DM^2 = 10000 - 3600 = 6400$
$DM = \sqrt{6400} = 80 \, m$.
अतः,समलंब चतुर्भुज की ऊँचाई $80 \, m$ है।
समलंब चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊँचाई}$
$= \frac{1}{2} \times (90 + 30) \times 80 = \frac{1}{2} \times 120 \times 80 = 4800 \, m^2$.
खेत को जोतने की कुल लागत $= \text{क्षेत्रफल} \times \text{दर} = 4800 \times 4 = \operatorname{Rs} 19,200$.

(N/A) $ABCD$ एक आयत है जिसमें $AB = 51 \, cm$ और $BC = 25 \, cm$ है।
चूंकि समांतर भुजाएँ $QC$ और $PD$ का अनुपात $9:8$ है,इसलिए मान लीजिए $QC = 9x$ और $PD = 8x$ है।
समलंब चतुर्भुज $PQCD$ की ऊँचाई आयत की चौड़ाई के बराबर है,जो कि $25 \, cm$ है।
समलंब चतुर्भुज $PQCD$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (QC + PD) \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times (9x + 8x) \times 25 = \frac{1}{2} \times 17x \times 25$.
आयत $ABCD$ का क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 51 \times 25$.
यह दिया गया है कि समलंब चतुर्भुज $PQCD$ का क्षेत्रफल $= \frac{5}{6} \times \text{आयत } ABCD \text{ का क्षेत्रफल}$.
अतः,$\frac{1}{2} \times 17x \times 25 = \frac{5}{6} \times 51 \times 25$.
दोनों पक्षों को $25$ से विभाजित करने और $2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $17x = \frac{5}{6} \times 51 \times 2 = \frac{5}{3} \times 51 = 5 \times 17 = 85$.
इस प्रकार,$x = \frac{85}{17} = 5$.
अतः,$QC$ की लंबाई $= 9x = 9 \times 5 = 45 \, cm$.
और $PD$ की लंबाई $= 8x = 8 \times 5 = 40 \, cm$.

(D) एक सम षट्भुज $6$ समबाहु त्रिभुजों से बना होता है,जिसकी प्रत्येक भुजा की लंबाई $a = 12\,cm$ है।
सम षट्भुज का परिमाप $= 6 \times a = 6 \times 12\,cm = 72\,cm$.
एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 144 = 36\sqrt{3}\,cm^2$.
षट्भुज का कुल क्षेत्रफल $= 6 \times 36\sqrt{3}\,cm^2 = 216\sqrt{3}\,cm^2$.
अतः,परिमाप $72\,cm$ है और क्षेत्रफल $216\sqrt{3}\,cm^2$ है।

(D) चतुर्भुज $ABCD$ का विकर्ण $BD$ इसे दो गैर-अतिव्यापी त्रिभुजों,$\Delta ABD$ और $\Delta BCD$ में विभाजित करता है।
$\Delta ABD$ के लिए,भुजाएँ $a = 40 \, cm$,$b = 29 \, cm$ और $c = 29 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s_1 = \frac{40 + 29 + 29}{2} = \frac{98}{2} = 49 \, cm$.
$\Delta ABD$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s_1(s_1 - a)(s_1 - b)(s_1 - c)} = \sqrt{49(49 - 40)(49 - 29)(49 - 29)} = \sqrt{49 \times 9 \times 20 \times 20} = 7 \times 3 \times 20 = 420 \, cm^2$.
$\Delta BCD$ के लिए,भुजाएँ $a = 29 \, cm$,$b = 48 \, cm$ और $c = 35 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s_2 = \frac{29 + 48 + 35}{2} = \frac{112}{2} = 56 \, cm$.
$\Delta BCD$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s_2(s_2 - a)(s_2 - b)(s_2 - c)} = \sqrt{56(56 - 29)(56 - 48)(56 - 35)} = \sqrt{56 \times 27 \times 8 \times 21} = \sqrt{(8 \times 7) \times (9 \times 3) \times 8 \times (3 \times 7)} = \sqrt{8^2 \times 7^2 \times 3^2 \times 9} = 8 \times 7 \times 3 \times 3 = 504 \, cm^2$.
चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $= \Delta ABD$ का क्षेत्रफल $+ \Delta BCD$ का क्षेत्रफल $= 420 + 504 = 924 \, cm^2$.

(B) माना $ABCD$ वह प्लॉट है जो विकर्ण $BD = 72 \, m$ द्वारा दो समान त्रिभुजों में विभाजित होता है।
चूंकि $ABCD$ एक समचतुर्भुज है,इसकी सभी भुजाएँ समान होती हैं।
परिमाप $= 4 \times \text{भुजा} = 340 \, m$.
अतः,भुजा $= \frac{340}{4} = 85 \, m$.
$\Delta ABD$ में,भुजाएँ $a = 85 \, m$,$b = 85 \, m$ और $c = 72 \, m$ हैं।
अर्ध-परिमाप $(s) = \frac{85 + 85 + 72}{2} = \frac{242}{2} = 121 \, m$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\Delta ABD$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{121(121-85)(121-85)(121-72)}$
$= \sqrt{121 \times 36 \times 36 \times 49}$
$= 11 \times 36 \times 7 = 2772 \, m^2$.
चूंकि विकर्ण समचतुर्भुज को दो समान त्रिभुजों में विभाजित करता है,समचतुर्भुज $ABCD$ का कुल क्षेत्रफल $= 2 \times \Delta ABD$ का क्षेत्रफल
$= 2 \times 2772 = 5544 \, m^2$.

(A) $1$. विकर्ण $AC$ खींचकर चतुर्भुज $ABCD$ को दो त्रिभुजों में विभाजित करें।
$2$. $\triangle ABC$ में,चूंकि $\angle B = 90^{\circ}$ है,यह एक समकोण त्रिभुज है।
$3$. $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 20 \times 15 = 150 \, cm^2$.
$4$. $\triangle ABC$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$। अतः,$AC = 25 \, cm$।
$5$. अब,$\triangle ADC$ में,भुजाएँ $a = 25 \, cm$,$b = 12 \, cm$,$c = 17 \, cm$ हैं। अर्ध-परिमाप $s = \frac{25 + 12 + 17}{2} = \frac{54}{2} = 27 \, cm$।
$6$. $\triangle ADC$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{27(27-25)(27-12)(27-17)} = \sqrt{27 \times 2 \times 15 \times 10} = \sqrt{8100} = 90 \, cm^2$।
$7$. चतुर्भुज $ABCD$ का कुल क्षेत्रफल $= \text{क्षेत्रफल}(\triangle ABC) + \text{क्षेत्रफल}(\triangle ADC) = 150 + 90 = 240 \, cm^2$।

(D) चतुर्भुज $ABCD$ को विकर्ण $AC = 48 \, cm$ द्वारा दो त्रिभुजों $\triangle ABC$ और $\triangle ADC$ में विभाजित किया गया है।
$\triangle ABC$ के लिए,भुजाएँ $a = 29 \, cm$,$b = 35 \, cm$ और $c = 48 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s_1 = (29 + 35 + 48) / 2 = 112 / 2 = 56 \, cm$.
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s_1(s_1-a)(s_1-b)(s_1-c)} = \sqrt{56(56-29)(56-35)(56-48)} = \sqrt{56 \times 27 \times 21 \times 8} = \sqrt{254016} = 504 \, cm^2$.
$\triangle ADC$ के लिए,भुजाएँ $a = 50 \, cm$,$b = 14 \, cm$ और $c = 48 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s_2 = (50 + 14 + 48) / 2 = 112 / 2 = 56 \, cm$.
$\triangle ADC$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s_2(s_2-a)(s_2-b)(s_2-c)} = \sqrt{56(56-50)(56-14)(56-48)} = \sqrt{56 \times 6 \times 42 \times 8} = \sqrt{112896} = 336 \, cm^2$.
चतुर्भुज $ABCD$ का कुल क्षेत्रफल $= \text{Area}(\triangle ABC) + \text{Area}(\triangle ADC) = 504 + 336 = 840 \, cm^2$.

(A) $1$. चतुर्भुज $ABCD$ को दो त्रिभुजों में विभाजित करने के लिए $AC$ को मिलाइए: $\triangle ABC$ और $\triangle ADC$।
$2$. समकोण $\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$। अतः,$AC = \sqrt{1681} = 41 \, cm$।
$3$. $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 40 \times 9 = 180 \, cm^2$।
$4$. $\triangle ADC$ के लिए,भुजाएँ $a = 41 \, cm$,$b = 28 \, cm$ और $c = 15 \, cm$ हैं। अर्ध-परिमाप $s = \frac{41 + 28 + 15}{2} = \frac{84}{2} = 42 \, cm$।
$5$. $\triangle ADC$ का क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{42(42-41)(42-28)(42-15)} = \sqrt{42 \times 1 \times 14 \times 27} = \sqrt{(14 \times 3) \times 14 \times (9 \times 3)} = \sqrt{14^2 \times 3^2 \times 3^2} = 14 \times 3 \times 3 = 126 \, cm^2$।
$6$. चतुर्भुज $ABCD$ का कुल क्षेत्रफल $= \text{क्षेत्रफल}(\triangle ABC) + \text{क्षेत्रफल}(\triangle ADC) = 180 + 126 = 306 \, cm^2$।

(A) समलंब चतुर्भुज $PQRS$ का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,$PQ$ पर बिंदु $T$ से लंब $ST$ खींचिए।
चूंकि $PQ \parallel SR$ और $QR \perp PQ$ है,इसलिए $QR \perp SR$ भी होगा। अतः,$TQRS$ एक आयत है।
दिया गया है कि $PQ = 12 \, m$ और $SR = 7 \, m$,इसलिए $TQ = SR = 7 \, m$ होगा।
अतः,$PT = PQ - TQ = 12 \, m - 7 \, m = 5 \, m$।
समकोण त्रिभुज $\triangle PTS$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$TS^2 = PS^2 - PT^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$।
इसलिए,$TS = \sqrt{144} = 12 \, m$।
चूंकि $TQRS$ एक आयत है,इसलिए $QR = TS = 12 \, m$।
समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊंचाई}$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (PQ + SR) \times QR$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (12 + 7) \times 12 = 19 \times 6 = 114 \, m^2$।