Mix Examples - Heron’s Formula Questions in Gujarati

(D) ચતુષ્કોણ $ABCD$ ને બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરવા માટે $B$ અને $D$ ને જોડો: $\Delta BCD$ અને $\Delta ABD$.
$1$. કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta BCD$ માં (કારણ કે $\angle C = 90^{\circ}$):
$\Delta BCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30 \, m^{2}$.
$2$. પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને વિકર્ણ $BD$ ની લંબાઈ શોધો:
$BD^{2} = BC^{2} + CD^{2} = 12^{2} + 5^{2} = 144 + 25 = 169$.
$BD = \sqrt{169} = 13 \, m$.
$3$. $\Delta ABD$ માટે,બાજુઓ $a = 9 \, m$,$b = 8 \, m$ અને $c = 13 \, m$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{9 + 8 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15 \, m$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\Delta ABD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{15(15-9)(15-8)(15-13)} = \sqrt{15 \times 6 \times 7 \times 2} = \sqrt{1260} = 6\sqrt{35} \, m^{2}$.
$\sqrt{35} \approx 5.916$ લેતા,ક્ષેત્રફળ $\approx 6 \times 5.916 = 35.496 \approx 35.5 \, m^{2}$.
$4$. ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= \text{Area}(\Delta BCD) + \text{Area}(\Delta ABD) = 30 + 35.5 = 65.5 \, m^{2}$.

(B) ધારો કે સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણની બે સમાન બાજુઓ $a \, cm$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,પાયો $= a$ અને વેધ $= a$ થશે.
તેથી,$\frac{1}{2} \times a \times a = 8$.
$a^{2} = 16$,જે આપણને $a = 4 \, cm$ આપે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કર્ણ $h = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = \sqrt{4^{2} + 4^{2}} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} \, cm$ થાય.

(B) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
અહીં,$\text{પાયો} = 4 \, \text{cm}$ અને $\text{વેધ} = 6 \, \text{cm}$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times 4 \, \text{cm} \times 6 \, \text{cm} = 12 \, \text{cm}^2$.
આમ,ગણતરી કરેલ ક્ષેત્રફળ $12 \, \text{cm}^2$ છે,$24 \, \text{cm}^2$ નથી,તેથી આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(TRUE) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle A = 90^{\circ}$,$AB = 4 \, cm$ અને $AC = 4 \, cm$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
અહીં,આપણે $AC$ ને પાયો અને $AB$ ને વેધ તરીકે લઈ શકીએ છીએ.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 4 \, cm \times 4 \, cm$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 16 \, cm^2 = 8 \, cm^2$
ગણતરી કરેલ ક્ષેત્રફળ $8 \, cm^2$ હોવાથી,આપેલ વિધાન સત્ય છે.

(A) ધારો કે $ABCD$ એ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેનો એક વિકર્ણ $AC = 16 \, cm$ છે. સમબાજુ ચતુષ્કોણની દરેક બાજુ $10 \, cm$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે,તેથી
$OA = OC = 8 \, cm$ અને $OB = OD$.
$\Delta AOB$ માં,$\angle AOB = 90^{\circ}$ છે.
તેથી,$AB^2 = OA^2 + OB^2$
$\Rightarrow OB^2 = AB^2 - OA^2$
$= (10)^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$
$OB = \sqrt{36} = 6 \, cm$.
$DB = 2(OB) = 2 \times 6 = 12 \, cm$.
આમ,સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{વિકર્ણોનો ગુણાકાર}$
$= \frac{1}{2} \times 16 \times 12 = 96 \, cm^2$.
તેથી,આપેલ વિધાન સાચું છે.

(FALSE) આ વિધાન ખોટું છે.
એક નિયમિત ષટ્કોણના કેન્દ્રને તેના દરેક શિરોબિંદુઓ સાથે જોડવાથી તેને છ સમબાજુ ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.
આ છ ત્રિકોણોમાંથી દરેક $a$ બાજુવાળો સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી, નિયમિત ષટ્કોણનું કુલ ક્ષેત્રફળ આ છ સમબાજુ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળના સરવાળા જેટલું થાય છે.
તેથી, $a$ બાજુવાળા નિયમિત ષટ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $6 \times (\text{a બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ})$ થાય, ન કે પાંચ આવા ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો.

(N/A) આકૃતિ બે ત્રિકોણની બનેલી છે. છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ એ મોટા ત્રિકોણ અને નાના ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો તફાવત છે.
$1$. મોટા ત્રિકોણ માટે જેની બાજુઓ $a = 122 \ m$,$b = 120 \ m$ અને $c = 22 \ m$ છે:
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{122 + 120 + 22}{2} = \frac{264}{2} = 132 \ m$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{132(132-122)(132-120)(132-22)}$
$= \sqrt{132 \times 10 \times 12 \times 110} = \sqrt{1742400} = 1320 \ m^2$.
$2$. નાના ત્રિકોણ માટે જેની બાજુઓ $a = 24 \ m$,$b = 26 \ m$ અને $c = 22 \ m$ છે:
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ તે કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ: ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 24 \times 10 = 120 \ m^2$.
$3$. છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ $= \text{મોટા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ} - \text{નાના ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ}$
$= 1320 \ m^2 - 120 \ m^2 = 1200 \ m^2$.

(N/A) $\Delta BCD$ ની બાજુઓ $a = 12 \text{ cm}, b = 17 \text{ cm}$ અને $c = 25 \text{ cm}$ છે.
$\therefore \Delta BCD$ ની અર્ધ-પરિમિતિ $(s)$:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{12 + 17 + 25}{2} = \frac{54}{2} = 27 \text{ cm}.$
$\therefore \Delta BCD$ નું ક્ષેત્રફળ = $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ [હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા]
$= \sqrt{27(27 - 12)(27 - 17)(27 - 25)}$
$= \sqrt{27 \times 15 \times 10 \times 2}$
$= \sqrt{(9 \times 3) \times (3 \times 5) \times (5 \times 2) \times 2}$
$= \sqrt{9 \times 9 \times 25 \times 4} = 3 \times 3 \times 5 \times 2 = 90 \text{ cm}^2.$
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો વિકર્ણ તેને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે:
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ = $2 \times \Delta BCD$ નું ક્ષેત્રફળ = $2 \times 90 = 180 \text{ cm}^2.$
ધારો કે શિરોબિંદુ $A$ માંથી બાજુ $DC$ પરનો વેધ $h$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ = પાયો $\times$ વેધ
$180 = DC \times h$
$180 = 12 \times h$
$h = \frac{180}{12} = 15 \text{ cm}.$
આમ,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $180 \text{ cm}^2$ છે અને વેધની લંબાઈ $15 \text{ cm}$ છે.

(B) ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે તેને બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરીએ છીએ: $\Delta ABC$ અને $\Delta ACD$.
$\angle B = 90^\circ$ હોવાથી,$\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
$\Delta ABC$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, cm$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \, cm^2$.
હવે,$\Delta ACD$ માટે,બાજુઓ $a = 10 \, cm$,$b = 12 \, cm$ અને $c = 14 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{10 + 12 + 14}{2} = \frac{36}{2} = 18 \, cm$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\Delta ACD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{18(18-10)(18-12)(18-14)} = \sqrt{18 \times 8 \times 6 \times 4} = \sqrt{3456} \approx 58.787 \, cm^2$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= \text{ક્ષેત્રફળ}(\Delta ABC) + \text{ક્ષેત્રફળ}(\Delta ACD) = 24 + 58.787 = 82.787 \, cm^2$.

(C) સમબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ $40 \, cm$ છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણની બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,બાજુની લંબાઈ $\frac{40}{4} = 10 \, cm$ થાય.
વિકર્ણ સમબાજુ ચતુષ્કોણને $10 \, cm, 10 \, cm$ અને $12 \, cm$ બાજુઓવાળા બે એકરૂપ ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે.
એક ત્રિકોણ માટે હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા:
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{10 + 10 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16 \, cm$.
એક ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)} = \sqrt{16 \times 6 \times 6 \times 4} = \sqrt{2304} = 48 \, cm^2$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 48 = 96 \, cm^2$.
બંને બાજુ રંગવાનું હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $2 \times 96 = 192 \, cm^2$ થાય.
$Rs \, 5$ પ્રતિ $cm^2$ ના દરે રંગવાનો કુલ ખર્ચ $192 \times 5 = Rs \, 960$ થાય.

(A) $RT \perp SP$ દોરો. આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $RT = PQ = 7 \ m$ અને $PT = QR = 7 \ m$ છે.
કારણ કે $SP = 12 \ m$ છે,તેથી $ST = SP - PT = 12 \ m - 7 \ m = 5 \ m$ થાય.
હવે,કાટકોણ ત્રિકોણ $STR$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$SR^2 = ST^2 + RT^2$
$13^2 = 5^2 + RT^2$
$169 = 25 + RT^2$
$RT^2 = 169 - 25 = 144$
$RT = 12 \ m$.
આમ,સમલંબ ચતુષ્કોણની ઊંચાઈ $12 \ m$ છે.
સમલંબ ચતુષ્કોણ $PQRS$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (SP + QR) \times PQ$
$= \frac{1}{2} \times (12 \ m + 7 \ m) \times 12 \ m$
$= \frac{1}{2} \times 19 \ m \times 12 \ m = 19 \times 6 \ m^2 = 114 \ m^2$.

(A) ધારો કે સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે જેમાં સમાંતર બાજુઓ $AB = 90 \, m$ અને $CD = 30 \, m$ છે. બાજુ $AC$ એ $AB$ અને $CD$ બંનેને લંબ છે.
$DM \perp AB$ દોરો. $ACDM$ એક લંબચોરસ બનાવે છે,તેથી $AM = CD = 30 \, m$ અને $DM = AC$ થાય.
હવે,$MB = AB - AM = 90 \, m - 30 \, m = 60 \, m$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle DMB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$DM^2 = DB^2 - MB^2 = (100)^2 - (60)^2$
$DM^2 = 10000 - 3600 = 6400$
$DM = \sqrt{6400} = 80 \, m$.
આમ,સમલંબ ચતુષ્કોણની ઊંચાઈ $80 \, m$ છે.
સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$
$= \frac{1}{2} \times (90 + 30) \times 80 = \frac{1}{2} \times 120 \times 80 = 4800 \, m^2$.
ખેતર ખેડવાનો કુલ ખર્ચ $= \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{દર} = 4800 \times 4 = \operatorname{Rs} 19,200$.

(N/A) $ABCD$ એક લંબચોરસ છે જેમાં $AB = 51 \, cm$ અને $BC = 25 \, cm$ છે.
સમાંતર બાજુઓ $QC$ અને $PD$ નો ગુણોત્તર $9:8$ હોવાથી,ધારો કે $QC = 9x$ અને $PD = 8x$ છે.
સમલંબ ચતુષ્કોણ $PQCD$ ની ઊંચાઈ લંબચોરસની પહોળાઈ જેટલી જ એટલે કે $25 \, cm$ છે.
સમલંબ ચતુષ્કોણ $PQCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (QC + PD) \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times (9x + 8x) \times 25 = \frac{1}{2} \times 17x \times 25$.
લંબચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 51 \times 25$.
આપેલ છે કે સમલંબ ચતુષ્કોણ $PQCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{5}{6} \times \text{લંબચોરસ } ABCD \text{ નું ક્ષેત્રફળ}$.
તેથી,$\frac{1}{2} \times 17x \times 25 = \frac{5}{6} \times 51 \times 25$.
બંને બાજુ $25$ વડે ભાગતા અને $2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે $17x = \frac{5}{6} \times 51 \times 2 = \frac{5}{3} \times 51 = 5 \times 17 = 85$.
આમ,$x = \frac{85}{17} = 5$.
તેથી,$QC$ ની લંબાઈ $= 9x = 9 \times 5 = 45 \, cm$.
અને $PD$ ની લંબાઈ $= 8x = 8 \times 5 = 40 \, cm$.

(D) નિયમિત ષટ્કોણ $6$ સમબાજુ ત્રિકોણનો બનેલો હોય છે,જેમાં દરેક બાજુની લંબાઈ $a = 12\,cm$ છે.
નિયમિત ષટ્કોણની પરિમિતિ $= 6 \times a = 6 \times 12\,cm = 72\,cm$.
એક સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 144 = 36\sqrt{3}\,cm^2$.
ષટ્કોણનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 6 \times 36\sqrt{3}\,cm^2 = 216\sqrt{3}\,cm^2$.
આમ,પરિમિતિ $72\,cm$ અને ક્ષેત્રફળ $216\sqrt{3}\,cm^2$ છે.

(D) ચતુષ્કોણ $ABCD$ નો વિકર્ણ $BD$ તેને બે અતિવ્યાપી ન હોય તેવા ત્રિકોણો,$\Delta ABD$ અને $\Delta BCD$ માં વિભાજિત કરે છે.
$\Delta ABD$ માટે,બાજુઓ $a = 40 \, cm$,$b = 29 \, cm$ અને $c = 29 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s_1 = \frac{40 + 29 + 29}{2} = \frac{98}{2} = 49 \, cm$.
$\Delta ABD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s_1(s_1 - a)(s_1 - b)(s_1 - c)} = \sqrt{49(49 - 40)(49 - 29)(49 - 29)} = \sqrt{49 \times 9 \times 20 \times 20} = 7 \times 3 \times 20 = 420 \, cm^2$.
$\Delta BCD$ માટે,બાજુઓ $a = 29 \, cm$,$b = 48 \, cm$ અને $c = 35 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s_2 = \frac{29 + 48 + 35}{2} = \frac{112}{2} = 56 \, cm$.
$\Delta BCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s_2(s_2 - a)(s_2 - b)(s_2 - c)} = \sqrt{56(56 - 29)(56 - 48)(56 - 35)} = \sqrt{56 \times 27 \times 8 \times 21} = \sqrt{(8 \times 7) \times (9 \times 3) \times 8 \times (3 \times 7)} = \sqrt{8^2 \times 7^2 \times 3^2 \times 9} = 8 \times 7 \times 3 \times 3 = 504 \, cm^2$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \Delta ABD$ નું ક્ષેત્રફળ $+ \Delta BCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= 420 + 504 = 924 \, cm^2$.

(B) ધારો કે $ABCD$ એ પ્લોટ છે જે વિકર્ણ $BD = 72 \, m$ દ્વારા બે સમાન ત્રિકોણમાં વિભાજિત થાય છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણની બધી બાજુઓ સમાન હોય છે.
પરિમિતિ $= 4 \times \text{બાજુ} = 340 \, m$.
તેથી,બાજુ $= \frac{340}{4} = 85 \, m$.
$\Delta ABD$ માં,બાજુઓ $a = 85 \, m$,$b = 85 \, m$ અને $c = 72 \, m$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $(s) = \frac{85 + 85 + 72}{2} = \frac{242}{2} = 121 \, m$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\Delta ABD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{121(121-85)(121-85)(121-72)}$
$= \sqrt{121 \times 36 \times 36 \times 49}$
$= 11 \times 36 \times 7 = 2772 \, m^2$.
વિકર્ણ સમબાજુ ચતુષ્કોણને બે સમાન ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરતું હોવાથી,સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \Delta ABD$ નું ક્ષેત્રફળ
$= 2 \times 2772 = 5544 \, m^2$.

(A) $1$. વિકર્ણ $AC$ દોરીને ચતુષ્કોણ $ABCD$ ને બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરો.
$2$. $\triangle ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
$3$. $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 20 \times 15 = 150 \, cm^2$.
$4$. $\triangle ABC$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$. તેથી,$AC = 25 \, cm$.
$5$. હવે,$\triangle ADC$ માં,બાજુઓ $a = 25 \, cm$,$b = 12 \, cm$,$c = 17 \, cm$ છે. અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{25 + 12 + 17}{2} = \frac{54}{2} = 27 \, cm$.
$6$. $\triangle ADC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{27(27-25)(27-12)(27-17)} = \sqrt{27 \times 2 \times 15 \times 10} = \sqrt{8100} = 90 \, cm^2$.
$7$. ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= \text{ક્ષેત્રફળ}(\triangle ABC) + \text{ક્ષેત્રફળ}(\triangle ADC) = 150 + 90 = 240 \, cm^2$.

(D) ચતુષ્કોણ $ABCD$ ને વિકર્ણ $AC = 48 \, cm$ દ્વારા બે ત્રિકોણ $\triangle ABC$ અને $\triangle ADC$ માં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.
$\triangle ABC$ માટે,બાજુઓ $a = 29 \, cm$,$b = 35 \, cm$ અને $c = 48 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s_1 = (29 + 35 + 48) / 2 = 112 / 2 = 56 \, cm$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s_1(s_1-a)(s_1-b)(s_1-c)} = \sqrt{56(56-29)(56-35)(56-48)} = \sqrt{56 \times 27 \times 21 \times 8} = \sqrt{254016} = 504 \, cm^2$.
$\triangle ADC$ માટે,બાજુઓ $a = 50 \, cm$,$b = 14 \, cm$ અને $c = 48 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s_2 = (50 + 14 + 48) / 2 = 112 / 2 = 56 \, cm$.
$\triangle ADC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s_2(s_2-a)(s_2-b)(s_2-c)} = \sqrt{56(56-50)(56-14)(56-48)} = \sqrt{56 \times 6 \times 42 \times 8} = \sqrt{112896} = 336 \, cm^2$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= \text{Area}(\triangle ABC) + \text{Area}(\triangle ADC) = 504 + 336 = 840 \, cm^2$.

(A) $1$. ચતુષ્કોણ $ABCD$ ને બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરવા માટે $AC$ ને જોડો: $\triangle ABC$ અને $\triangle ADC$.
$2$. કાટકોણ $\triangle ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$. તેથી,$AC = \sqrt{1681} = 41 \, cm$.
$3$. $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 40 \times 9 = 180 \, cm^2$.
$4$. $\triangle ADC$ માટે,બાજુઓ $a = 41 \, cm$,$b = 28 \, cm$ અને $c = 15 \, cm$ છે. અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{41 + 28 + 15}{2} = \frac{84}{2} = 42 \, cm$.
$5$. $\triangle ADC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{42(42-41)(42-28)(42-15)} = \sqrt{42 \times 1 \times 14 \times 27} = \sqrt{(14 \times 3) \times 14 \times (9 \times 3)} = \sqrt{14^2 \times 3^2 \times 3^2} = 14 \times 3 \times 3 = 126 \, cm^2$.
$6$. ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= \text{ક્ષેત્રફળ}(\triangle ABC) + \text{ક્ષેત્રફળ}(\triangle ADC) = 180 + 126 = 306 \, cm^2$.

(A) સમલંબ ચતુષ્કોણ $PQRS$ નું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,$PQ$ પર બિંદુ $T$ માંથી લંબ $ST$ દોરો.
$PQ \parallel SR$ અને $QR \perp PQ$ હોવાથી,$QR \perp SR$ પણ થાય. આમ,$TQRS$ એક લંબચોરસ છે.
આપેલ છે કે $PQ = 12 \, m$ અને $SR = 7 \, m$,તેથી $TQ = SR = 7 \, m$.
તેથી,$PT = PQ - TQ = 12 \, m - 7 \, m = 5 \, m$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PTS$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$TS^2 = PS^2 - PT^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$.
તેથી,$TS = \sqrt{144} = 12 \, m$.
$TQRS$ લંબચોરસ હોવાથી,$QR = TS = 12 \, m$.
સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{વેધ}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (PQ + SR) \times QR$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (12 + 7) \times 12 = 19 \times 6 = 114 \, m^2$.