Area of a Triangle by Heron's Formula Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે,ત્રિકોણની પરિમિતિ $32 \, cm$ છે. ધારો કે બાજુઓ $a = 8 \, cm$ અને $b = 11 \, cm$ છે.
ત્રીજી બાજુ $c$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$c = 32 \, cm - (8 + 11) \, cm = 32 \, cm - 19 \, cm = 13 \, cm$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s$ છે:
$s = \frac{\text{પરિમિતિ}}{2} = \frac{32}{2} \, cm = 16 \, cm$.
હવે,$(s - a)$,$(s - b)$,અને $(s - c)$ ની ગણતરી કરો:
$s - a = 16 - 8 = 8 \, cm$
$s - b = 16 - 11 = 5 \, cm$
$s - c = 16 - 13 = 3 \, cm$
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{16 \times 8 \times 5 \times 3} \, cm^2$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{16 \times 120} \, cm^2$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 4 \times \sqrt{4 \times 30} \, cm^2$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 4 \times 2 \sqrt{30} \, cm^2 = 8 \sqrt{30} \, cm^2$.

(B) બગીચાનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી કરો:
$2s = 50\,m + 80\,m + 120\,m = 250\,m$
$s = 125\,m$
હવે,તફાવતોની ગણતરી કરો:
$s - a = 125\,m - 120\,m = 5\,m$
$s - b = 125\,m - 80\,m = 45\,m$
$s - c = 125\,m - 50\,m = 75\,m$
બગીચાનું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{125 \times 5 \times 45 \times 75}\,m^2$
$= \sqrt{2109375}\,m^2 = 375\sqrt{15}\,m^2$
આગળ,વાડ બનાવવાનો ખર્ચ શોધો:
બગીચાની પરિમિતિ $= 250\,m$
જરૂરી તારની લંબાઈ $= 250\,m - 3\,m = 247\,m$
વાડ બનાવવાનો ખર્ચ $= 247\,m \times Rs. 20/m = Rs. 4940$

(C) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $3x, 5x$ અને $7x$ મીટર છે.
ત્રિકોણની પરિમિતિ $300\, m$ આપેલ છે.
તેથી,$3x + 5x + 7x = 300$.
$15x = 300$,જે આપણને $x = 20$ આપે છે.
આમ,ત્રિકોણની બાજુઓ $3 \times 20 = 60\, m$,$5 \times 20 = 100\, m$ અને $7 \times 20 = 140\, m$ છે.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,અર્ધ-પરિમિતિ $s$ નીચે મુજબ છે:
$s = \frac{60 + 100 + 140}{2} = \frac{300}{2} = 150\, m$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{150(150 - 60)(150 - 100)(150 - 140)}\, m^2$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{150 \times 90 \times 50 \times 10}\, m^2$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{6750000}\, m^2$.
ક્ષેત્રફળ $= 1500\sqrt{3}\, m^2$.

(D) 'a' બાજુ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે સમબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિ $180 \, cm$ છે.
ત્રણેય બાજુઓ સમાન હોવાથી,$3a = 180 \, cm$,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $a = 60 \, cm$ મળે છે.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{\text{પરિમિતિ}}{2} = \frac{180}{2} = 90 \, cm$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{90(90-60)(90-60)(90-60)} \, cm^2$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{90 \times 30 \times 30 \times 30} \, cm^2$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{3 \times 30 \times 30 \times 30 \times 30} \, cm^2$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{3 \times (30)^2 \times (30)^2} \, cm^2$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 30 \times 30 \times \sqrt{3} \, cm^2 = 900 \sqrt{3} \, cm^2$.

(A) ત્રિકોણાકાર દીવાલની બાજુઓ $a = 122\, m, b = 120\, m, c = 22\, m$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s$ નીચે મુજબ છે:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{122 + 120 + 22}{2}\, m = \frac{264}{2}\, m = 132\, m$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{132(132 - 122)(132 - 120)(132 - 22)}\, m^2$
$= \sqrt{132 \times 10 \times 12 \times 110}\, m^2$
$= \sqrt{12 \times 11 \times 10 \times 12 \times 11 \times 10}\, m^2$
$= \sqrt{12^2 \times 11^2 \times 10^2}\, m^2 = 12 \times 11 \times 10\, m^2 = 1320\, m^2$.
$1$ વર્ષ ($12$ મહિના) માટે પ્રતિ $m^2$ ભાડું $= Rs. 5000$.
$3$ મહિના માટે પ્રતિ $m^2$ ભાડું $= Rs. 5000 \times \frac{3}{12} = Rs. 1250$.
$3$ મહિના માટે $1320\, m^2$ નું કુલ ભાડું $= 1320 \times 1250 = Rs. 16,50,000$.

(B) ત્રિકોણાકાર દીવાલની બાજુઓ $a = 15 \, m$,$b = 11 \, m$ અને $c = 6 \, m$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે અર્ધ-પરિમિતિ $(s)$ શોધીશું:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{15 + 11 + 6}{2} \, m = \frac{32}{2} \, m = 16 \, m$.
હવે,હેરોનનું સૂત્ર વાપરીને,ત્રિકોણાકાર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ:
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$= \sqrt{16(16 - 15)(16 - 11)(16 - 6)} \, m^2$
$= \sqrt{16 \times 1 \times 5 \times 10} \, m^2$
$= \sqrt{16 \times 50} \, m^2$
$= \sqrt{800} \, m^2$
$= \sqrt{400 \times 2} \, m^2 = 20 \sqrt{2} \, m^2$.
આમ,રંગ કરેલા ભાગનું જરૂરી ક્ષેત્રફળ $20 \sqrt{2} \, m^2$ છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 18 \, cm$,$b = 10 \, cm$ અને $c$ છે.
આપેલ છે કે પરિમિતિ $(2s) = 42 \, cm$.
તેથી,અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{42}{2} = 21 \, cm$.
ત્રીજી બાજુ $c = 42 - (18 + 10) = 42 - 28 = 14 \, cm$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
કિંમતો મૂકતા: ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{21(21-18)(21-10)(21-14)} \, cm^2$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{21 \times 3 \times 11 \times 7} \, cm^2$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{(3 \times 7) \times 3 \times 11 \times 7} \, cm^2 = \sqrt{3^2 \times 7^2 \times 11} \, cm^2$.
ક્ષેત્રફળ $= 3 \times 7 \sqrt{11} \, cm^2 = 21 \sqrt{11} \, cm^2$.

(D) ત્રિકોણની પરિમિતિ $= 540 \, cm$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{540}{2} = 270 \, cm$.
ધારો કે બાજુઓ $12x, 17x,$ અને $25x$ છે.
$12x + 17x + 25x = 540 \Rightarrow 54x = 540 \Rightarrow x = 10$.
તેથી,બાજુઓ $a = 120 \, cm, b = 170 \, cm, c = 250 \, cm$ છે.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા: ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
$s-a = 270 - 120 = 150 \, cm$.
$s-b = 270 - 170 = 100 \, cm$.
$s-c = 270 - 250 = 20 \, cm$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{270 \times 150 \times 100 \times 20} = \sqrt{81,000,000} = 9,000 \, cm^2$.

(A) ત્રિકોણની સમાન બાજુઓ દરેક $12 \, cm$ છે.
ધારો કે ત્રીજી બાજુ $x \, cm$ છે.
પરિમિતિ $30 \, cm$ હોવાથી,
$12 \, cm + 12 \, cm + x \, cm = 30 \, cm$
$24 \, cm + x = 30 \, cm$
$x = 30 - 24 = 6 \, cm$.
હવે,અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{\text{પરિમિતિ}}{2} = \frac{30}{2} = 15 \, cm$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{15(15-12)(15-12)(15-6)} \, cm^2$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{15 \times 3 \times 3 \times 9} \, cm^2$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{15 \times 9 \times 9} \, cm^2 = 9 \sqrt{15} \, cm^2$.
આમ,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $9 \sqrt{15} \, cm^2$ છે.

(A) $200 \, m, 240 \, m, 360 \, m$ બાજુઓ ધરાવતા ત્રિકોણાકાર ખેતર માટે:
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{200 + 240 + 360}{2} = 400 \, m$.
ઘઉંના ખેતરનું ક્ષેત્રફળ = $\sqrt{400(400-200)(400-240)(400-360)} = \sqrt{400 \times 200 \times 160 \times 40} = \sqrt{512000000} = 16000\sqrt{2} \, m^2 \approx 22627.4 \, m^2 \approx 2.26 \, \text{હેક્ટર}$.
$240 \, m, 320 \, m, 400 \, m$ બાજુઓ ધરાવતા બીજા ત્રિકોણાકાર ખેતર માટે:
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{240 + 320 + 400}{2} = 480 \, m$.
બીજા ખેતરનું ક્ષેત્રફળ = $\sqrt{480(480-240)(480-320)(480-400)} = \sqrt{480 \times 240 \times 160 \times 80} = \sqrt{1474560000} = 38400 \, m^2 = 3.84 \, \text{હેક્ટર}$.
મધ્યગા ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે.
બટાકા માટેનું ક્ષેત્રફળ = ડુંગળી માટેનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{3.84}{2} = 1.92 \, \text{હેક્ટર}$ દરેક.

(C) અહીં $AB = 9 \, m$ અને $BC = 40 \, m$ તથા $\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ $AC$ શોધીએ:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9^2 + 40^2} = \sqrt{81 + 1600} = \sqrt{1681} = 41 \, m$.
પ્રથમ જૂથ કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ નો વિસ્તાર સાફ કરે છે:
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 40 \times 9 = 180 \, m^2$.
બીજું જૂથ ત્રિકોણ $ACD$ નો વિસ્તાર સાફ કરે છે જેની બાજુઓ $41 \, m, 15 \, m$ અને $28 \, m$ છે. હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{41 + 15 + 28}{2} = \frac{84}{2} = 42 \, m$.
$\Delta ACD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{42(42 - 41)(42 - 15)(42 - 28)} = \sqrt{42 \times 1 \times 27 \times 14} = \sqrt{15876} = 126 \, m^2$.
પ્રથમ જૂથે $180 \, m^2$ અને બીજા જૂથે $126 \, m^2$ વિસ્તાર સાફ કર્યો. પ્રથમ જૂથે $(180 - 126) = 54 \, m^2$ વધુ વિસ્તાર સાફ કર્યો.
વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા સાફ કરવામાં આવેલ કુલ વિસ્તાર $= 180 + 126 = 306 \, m^2$.

(A) ચતુષ્કોણ $ABCD$ ને વિકર્ણ $AC$ દ્વારા બે ત્રિકોણ,$\Delta ABC$ અને $\Delta ACD$ માં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.
$\Delta ABC$ માટે:
બાજુઓ $a = 3 \, cm, b = 4 \, cm, c = 5 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s_1 = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6 \, cm$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s_1(s_1 - a)(s_1 - b)(s_1 - c)} = \sqrt{6(6 - 3)(6 - 4)(6 - 5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6 \, cm^2$.
$\Delta ACD$ માટે:
બાજુઓ $a = 5 \, cm, b = 4 \, cm, c = 5 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s_2 = \frac{5 + 4 + 5}{2} = 7 \, cm$.
$\Delta ACD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s_2(s_2 - a)(s_2 - b)(s_2 - c)} = \sqrt{7(7 - 5)(7 - 4)(7 - 5)} = \sqrt{7 \times 2 \times 3 \times 2} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21} \, cm^2$.
$\sqrt{21} \approx 4.58$ લેતા,ક્ષેત્રફળ $\approx 2 \times 4.58 = 9.16 \, cm^2$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= \Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $+ \Delta ACD$ નું ક્ષેત્રફળ $= 6 + 9.16 = 15.16 \, cm^2 \approx 15.2 \, cm^2$.

(B) સપાટી $I$ નું ક્ષેત્રફળ:
આ એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેની બાજુઓ $a = 5\, cm, b = 5\, cm, c = 1\, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{5+5+1}{2} = 5.5\, cm$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{5.5(5.5-5)(5.5-5)(5.5-1)} = \sqrt{5.5 \times 0.5 \times 0.5 \times 4.5} = \sqrt{6.1875} \approx 2.48\, cm^{2}$.
સપાટી $II$ નું ક્ષેત્રફળ:
આ એક લંબચોરસ છે જેની લંબાઈ $6.5\, cm$ અને પહોળાઈ $1\, cm$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= 6.5 \times 1 = 6.5\, cm^{2}$.
સપાટી $III$ નું ક્ષેત્રફળ:
આ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેની સમાંતર બાજુઓ $1\, cm$ અને $2\, cm$ છે. ઊંચાઈ $h$ પાયથાગોરસના પ્રમેય દ્વારા ગણવામાં આવે છે: $h = \sqrt{1^{2} - (0.5)^{2}} = \sqrt{0.75} \approx 0.866\, cm$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (1 + 2) \times 0.866 = 1.5 \times 0.866 \approx 1.3\, cm^{2}$.
સપાટી $IV$ અને $V$ નું ક્ષેત્રફળ:
આ બે એકરૂપ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $6\, cm$ અને ઊંચાઈ $1.5\, cm$ છે.
$IV$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 6 \times 1.5 = 4.5\, cm^{2}$.
$V$ નું ક્ષેત્રફળ $= 4.5\, cm^{2}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 2.48 + 6.5 + 1.3 + 4.5 + 4.5 = 19.28\, cm^{2} \approx 19.3\, cm^{2}$.

(D) અહીં,સમબાજુ ચતુષ્કોણની દરેક બાજુ $= 30\, m$ છે.
એક વિકર્ણ $= 48\, m$ છે.
વિકર્ણ સમબાજુ ચતુષ્કોણને બે એકરૂપ ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી પ્રથમ ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 30\, m, b = 30\, m, c = 48\, m$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{30 + 30 + 48}{2}\, m = \frac{108}{2} = 54\, m$.
ત્રિકોણ $I$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{54(54 - 30)(54 - 30)(54 - 48)}\, m^{2}$.
$= \sqrt{54 \times 24 \times 24 \times 6}\, m^{2} = \sqrt{(9 \times 6) \times 24 \times 24 \times 6}\, m^{2} = \sqrt{9 \times 36 \times 24^{2}}\, m^{2} = 3 \times 6 \times 24\, m^{2} = 432\, m^{2}$.
બીજા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ પણ $432\, m^{2}$ છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 432\, m^{2} + 432\, m^{2} = 864\, m^{2}$.
આમ,$18$ ગાયો માટે ઘાસનું ક્ષેત્રફળ $= 864\, m^{2}$.
$1$ ગાય માટે ઘાસનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{864}{18}\, m^{2} = 48\, m^{2}$.

(N/A) દરેક ત્રિકોણાકાર ટુકડાની બાજુઓ $a = 20\, cm$,$b = 50\, cm$ અને $c = 50\, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{20 + 50 + 50}{2}\, cm = \frac{120}{2}\, cm = 60\, cm$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરીને,દરેક ત્રિકોણાકાર ટુકડાનું ક્ષેત્રફળ:
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{60(60 - 20)(60 - 50)(60 - 50)}\, cm^2$
$= \sqrt{60 \times 40 \times 10 \times 10}\, cm^2 = \sqrt{240000}\, cm^2 = 200\sqrt{6}\, cm^2$.
કુલ $10$ ત્રિકોણાકાર ટુકડાઓ હોવાથી,દરેક રંગના $5$ ટુકડાઓ છે.
દરેક રંગ માટે જરૂરી કાપડનું ક્ષેત્રફળ $= 5 \times 200\sqrt{6}\, cm^2 = 1000\sqrt{6}\, cm^2$.

(N/A) ત્રિકોણ $I$ નું ક્ષેત્રફળ:
વિકર્ણ $= 32\, cm$.
ચોરસના વિકર્ણો એકબીજાને $90^\circ$ પર દુભાગે છે,તેથી ત્રિકોણ $I$ ની ઊંચાઈ (જે વિકર્ણનું અડધું માપ છે) $= \frac{1}{2} \times 32\, cm = 16\, cm$.
ત્રિકોણનો પાયો એ ચોરસનો બીજો વિકર્ણ છે,જે પણ $32\, cm$ છે.
ત્રિકોણ $I$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 32\, cm \times 16\, cm = 256\, cm^2$.
ત્રિકોણ $II$ નું ક્ષેત્રફળ:
ચોરસનો વિકર્ણ તેને બે એકરૂપ ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી ત્રિકોણ $II$ નું ક્ષેત્રફળ એ ત્રિકોણ $I$ ના ક્ષેત્રફળ જેટલું જ હોય.
ત્રિકોણ $II$ નું ક્ષેત્રફળ $= 256\, cm^2$.
ત્રિકોણ $III$ નું ક્ષેત્રફળ:
પાયા પરના ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 8\, cm, b = 6\, cm, c = 6\, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{8 + 6 + 6}{2} = 10\, cm$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{10(10-8)(10-6)(10-6)} = \sqrt{10 \times 2 \times 4 \times 4} = \sqrt{320} = 8\sqrt{5}\, cm^2$.
$\sqrt{5} \approx 2.24$ લેતા,ક્ષેત્રફળ $\approx 8 \times 2.24 = 17.92\, cm^2$.
આમ,દરેક રંગ માટે વપરાયેલ કાગળનું ક્ષેત્રફળ:
રંગ $I = 256\, cm^2$,રંગ $II = 256\, cm^2$,રંગ $III = 17.92\, cm^2$.

(C) $16$ સમાન ત્રિકોણાકાર ટાઇલ્સ છે.
ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 9\, cm, b = 28\, cm, c = 35\, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{9 + 28 + 35}{2} = \frac{72}{2} = 36\, cm$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને એક ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{36(36 - 9)(36 - 28)(36 - 35)} = \sqrt{36 \times 27 \times 8 \times 1} = \sqrt{7776} = 36\sqrt{6}\, cm^2$.
$\sqrt{6} \approx 2.449$ નો ઉપયોગ કરતા,ક્ષેત્રફળ $\approx 36 \times 2.449 = 88.164\, cm^2$.
$16$ ટાઇલ્સનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 16 \times 88.164 = 1410.624\, cm^2$.
$50$ પૈસા (અથવા $Rs. 0.50$) પ્રતિ $cm^2$ ના દરે પોલિશ કરવાનો ખર્ચ $= 1410.624 \times 0.50 = Rs. 705.312$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત લેતા,ખર્ચ $Rs. 705.60$ થાય છે.

(D) આપેલ ખેતર સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના સ્વરૂપમાં છે,જેમાં સમાંતર બાજુઓ $AB = 10\, m$ અને $DC = 25\, m$ છે.
અસમાંતર બાજુઓ $AD = 13\, m$ અને $BC = 14\, m$ છે.
$BE \parallel AD$ દોરો,જેથી $E$ એ $DC$ પર આવે. તેથી $ABED$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$DE = AB = 10\, m$,તેથી $EC = DC - DE = 25\, m - 10\, m = 15\, m$.
$\Delta BCE$ માં,બાજુઓ $a = 13\, m$,$b = 14\, m$ અને $c = 15\, m$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21\, m$.
$\Delta BCE$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84\, m^{2}$.
ધારો કે $h$ એ $EC = 15\, m$ પાયાને અનુરૂપ $\Delta BCE$ ની ઊંચાઈ છે.
$\Delta BCE$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = 84\, m^{2}$.
$\frac{1}{2} \times 15 \times h = 84 \Rightarrow h = \frac{168}{15} = 11.2\, m$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABED$ નું ક્ષેત્રફળ $= \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = AB \times h = 10 \times 11.2 = 112\, m^{2}$.
ખેતરનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= \Delta BCE$ નું ક્ષેત્રફળ $+$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABED$ નું ક્ષેત્રફળ $= 84 + 112 = 196\, m^{2}$.

(A) ધારો કે $ABCD$ એ સમબાજુ ચતુષ્કોણ આકારનું ખેતર છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ $= 400\, m$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણની બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,દરેક બાજુ $= 400\, m / 4 = 100\, m$.
આમ,$AB = BC = CD = DA = 100\, m$.
ધારો કે વિકર્ણ $BD = 160\, m$.
વિકર્ણ સમબાજુ ચતુષ્કોણને બે એકરૂપ ત્રિકોણો,$\triangle ABD$ અને $\triangle BCD$ માં વિભાજિત કરે છે.
$\triangle ABD$ માટે,બાજુઓ $a = 100\, m$,$b = 100\, m$ અને $c = 160\, m$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s$ નીચે મુજબ છે:
$s = (100 + 100 + 160) / 2 = 360 / 2 = 180\, m$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$\triangle ABD$ નું ક્ષેત્રફળ:
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{180(180-100)(180-100)(180-160)}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{180 \times 80 \times 80 \times 20}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{180 \times 20 \times 80^2}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{3600 \times 6400}$
ક્ષેત્રફળ $= 60 \times 80 = 4800\, m^2$.
જમીનને બે સમાન ભાગોમાં વહેંચવામાં આવી હોવાથી,તે દરેકને $4800\, m^2$ ક્ષેત્રફળ મળશે.

(A) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ છે જેમાં $\angle B = 90^{\circ}$ છે.
આપેલ છે: પાયો $BC = 8 \, cm$ અને કર્ણ $AC = 10 \, cm$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
કિંમતો મૂકતા: $10^2 = AB^2 + 8^2$.
$100 = AB^2 + 64$.
$AB^2 = 100 - 64 = 36$.
$AB = \sqrt{36} = 6 \, cm$.
કાટકોણ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \, cm^2$.

(C) સમબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિનું સૂત્ર $P = 3a$ છે,જ્યાં $a$ એ બાજુની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $3a = 60 \, m$,તેથી બાજુની લંબાઈ $a = 60 / 3 = 20 \, m$ મળે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ છે.
સૂત્રમાં $a = 20 \, m$ મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (20)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 400 = 100 \sqrt{3} \, m^2$.

(D) આપેલ છે કે,ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓ $a = 56 \ cm$,$b = 60 \ cm$ અને $c = 52 \ cm$ છે.
સૌ પ્રથમ,ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ $(s)$ ની ગણતરી કરીએ:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{56 + 60 + 52}{2} = \frac{168}{2} = 84 \ cm$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{84(84 - 56)(84 - 60)(84 - 52)}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{84 \times 28 \times 24 \times 32}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{1806336} = 1344 \ cm^2$.
આમ,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $1344 \ cm^2$ છે.

(A) સમબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{બાજુ})^2$ છે.
અહીં બાજુનું માપ $2\sqrt{3} \, cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (2\sqrt{3})^2$
$= \frac{\sqrt{3}}{4} \times (4 \times 3)$
$= \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12$
$= 3\sqrt{3} \, cm^2$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 3 \times 1.732 = 5.196 \, cm^2$.

(B) સમબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{બાજુ})^2$ છે.
અહીં ક્ષેત્રફળ $9 \sqrt{3} \text{ cm}^2$ આપેલું છે,તેથી:
$9 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{બાજુ})^2$.
બંને બાજુ $\sqrt{3}$ વડે ભાગતા:
$9 = \frac{1}{4} \times (\text{બાજુ})^2$.
બંને બાજુ $4$ વડે ગુણતા:
$(\text{બાજુ})^2 = 36$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\text{બાજુ} = \sqrt{36} = 6 \text{ cm}$.

(C) સમબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{બાજુ})^2$ છે.
અહીં ક્ષેત્રફળ $16 \sqrt{3} \, cm^{2}$ આપેલું છે,તેથી:
$16 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{બાજુ})^2$.
બંને બાજુ $\sqrt{3}$ વડે ભાગતા:
$16 = \frac{1}{4} \times (\text{બાજુ})^2$.
$4$ વડે ગુણતા:
$(\text{બાજુ})^2 = 16 \times 4 = 64$.
વર્ગમૂળ લેતા:
$\text{બાજુ} = \sqrt{64} = 8 \, cm$.
સમબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિ $= 3 \times \text{બાજુ}$ થાય:
$\text{પરિમિતિ} = 3 \times 8 = 24 \, cm$.

(D) ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 35 \text{ cm}$,$b = 54 \text{ cm}$ અને $c = 61 \text{ cm}$ છે.
પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી કરો:
$s = \frac{35 + 54 + 61}{2} = \frac{150}{2} = 75 \text{ cm}$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{75(75-35)(75-54)(75-61)}$
$= \sqrt{75 \times 40 \times 21 \times 14} = \sqrt{(25 \times 3) \times (8 \times 5) \times (3 \times 7) \times (2 \times 7)}$
$= \sqrt{25 \times 3^2 \times 7^2 \times 16 \times 5} = 5 \times 3 \times 7 \times 4 \sqrt{5} = 420 \sqrt{5} \text{ cm}^2$.
સૌથી લાંબો વેધ ત્રિકોણની સૌથી નાની બાજુ પરનો વેધ હોય છે.
સૌથી નાની બાજુ $35 \text{ cm}$ હોવાથી,સૌથી લાંબો વેધ $h$ નીચે મુજબ મળે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} \implies 420 \sqrt{5} = \frac{1}{2} \times 35 \times h$.
$h = \frac{420 \sqrt{5} \times 2}{35} = 12 \times 2 \sqrt{5} = 24 \sqrt{5} \text{ cm}$.

(A) સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 4 \, cm$,$b = 4 \, cm$ અને $c = 2 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 4 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, cm$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
કિંમતો મૂકતા:
$\text{Area} = \sqrt{5(5 - 4)(5 - 4)(5 - 2)}$
$\text{Area} = \sqrt{5 \times 1 \times 1 \times 3}$
$\text{Area} = \sqrt{15} \, cm^2$.

(B) ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 6 \, cm$,$b = 8 \, cm$ અને $c = 10 \, cm$ છે.
સૌ પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી કરો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{6 + 8 + 10}{2} = \frac{24}{2} = 12 \, cm$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$Area = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$Area = \sqrt{12(12 - 6)(12 - 8)(12 - 10)}$
$Area = \sqrt{12 \times 6 \times 4 \times 2}$
$Area = \sqrt{576} = 24 \, cm^2$.
રંગવાનો ખર્ચ $9$ પૈસા પ્રતિ $cm^2$ છે,જે $Rs \, 0.09$ પ્રતિ $cm^2$ થાય.
કુલ ખર્ચ $= 24 \times 0.09 = Rs \, 2.16$.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
હેરોનના સૂત્ર મુજબ, $a, b, c$ બાજુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $s$ એ ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ને $s = \frac{a+b+c}{2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે ત્રિકોણની પરિમિતિના અડધા ભાગ જેટલી હોય છે.
આપેલા વિધાનમાં, $s$ ને અર્ધ-પરિમિતિને બદલે ત્રિકોણની પરિમિતિ તરીકે ખોટી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું છે.

(TRUE) ધારો કે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની સમાન બાજુઓ $a$ છે અને પાયો $b = 5 \, cm$ છે.
ત્રિકોણની પરિમિતિ $11 \, cm$ આપેલી છે.
તેથી,$a + a + 5 = 11$.
$2a = 11 - 5 = 6$.
$a = 3 \, cm$.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\text{Area} = \frac{b}{4} \sqrt{4a^2 - b^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Area} = \frac{5}{4} \sqrt{4(3)^2 - 5^2} = \frac{5}{4} \sqrt{4(9) - 25} = \frac{5}{4} \sqrt{36 - 25} = \frac{5}{4} \sqrt{11} \, cm^2$.
ગણતરી કરેલ ક્ષેત્રફળ આપેલ કિંમત સાથે મેળ ખાતું હોવાથી,આપેલ વિધાન સાચું છે.

(B) સમબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{side})^2$ છે.
અહીં ત્રિકોણની બાજુ $8 \text{ cm}$ આપેલી છે,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (8)^2$
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 64$
$\text{Area} = 16 \sqrt{3} \text{ cm}^2$.
ગણતરી કરેલ ક્ષેત્રફળ $16 \sqrt{3} \text{ cm}^2$ એ આપેલ ક્ષેત્રફળ $20 \sqrt{3} \text{ cm}^2$ જેટલું નથી,તેથી આ વિધાન ખોટું છે.

(TRUE) ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 51 \, m$,$b = 37 \, m$ અને $c = 20 \, m$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{51 + 37 + 20}{2} = \frac{108}{2} = 54 \, m$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{54(54-51)(54-37)(54-20)}$
$= \sqrt{54 \times 3 \times 17 \times 34}$
$= \sqrt{(2 \times 3^3) \times 3 \times 17 \times (2 \times 17)}$
$= \sqrt{2^2 \times 3^4 \times 17^2} = 2 \times 3^2 \times 17 = 2 \times 9 \times 17 = 306 \, m^2$.
મેદાનને સમતલ કરવાનો ખર્ચ = $\text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{દર} = 306 \, m^2 \times Rs \, 3/m^2 = Rs \, 918$.
ગણતરી કરેલ ખર્ચ આપેલ કિંમત સાથે મેળ ખાતો હોવાથી,આપેલ વિધાન સાચું છે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 11 \, cm$,$b = 12 \, cm$ અને $c = 13 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{11 + 12 + 13}{2} = \frac{36}{2} = 18 \, cm$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{18(18-11)(18-12)(18-13)}$
$= \sqrt{18 \times 7 \times 6 \times 5} = \sqrt{3780} = \sqrt{36 \times 105} = 6\sqrt{105} \, cm^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
અહીં પાયો $12 \, cm$ છે,ધારો કે વેધ $h$ છે:
$6\sqrt{105} = \frac{1}{2} \times 12 \times h$
$6\sqrt{105} = 6h$
$h = \sqrt{105} \, cm$.
કારણ કે $\sqrt{100} = 10$ અને $\sqrt{121} = 11$,તેથી $\sqrt{105} \approx 10.2469 \, cm$,જે આશરે $10.25 \, cm$ થાય છે.
આમ,આપેલ વિધાન સાચું છે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણાકાર ખેતરની બાજુઓ $a = 41\, m$,$b = 40\, m$ અને $c = 9\, m$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{41 + 40 + 9}{2} = \frac{90}{2} = 45\, m$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,ત્રિકોણાકાર ખેતરનું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{45(45 - 41)(45 - 40)(45 - 9)} = \sqrt{45 \times 4 \times 5 \times 36}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{9 \times 5 \times 4 \times 5 \times 36} = \sqrt{32400} = 180\, m^2$.
દરેક ગુલાબના ક્યારા માટે $900\, cm^2$ જગ્યાની જરૂર છે. તેને ચોરસ મીટરમાં ફેરવતા: $900\, cm^2 = \frac{900}{10000}\, m^2 = 0.09\, m^2$.
ગુલાબના ક્યારાની સંખ્યા $= \frac{\text{કુલ ક્ષેત્રફળ}}{\text{દરેક ક્યારાનું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{180}{0.09} = 2000$.

(C) ત્રિકોણાકાર ખેતરની બાજુઓ $a = 50 \, m$,$b = 65 \, m$ અને $c = 65 \, m$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી કરીએ:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{50 + 65 + 65}{2} = \frac{180}{2} = 90 \, m$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરીને,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{90(90-50)(90-65)(90-65)}$
$= \sqrt{90 \times 40 \times 25 \times 25}$
$= \sqrt{3600 \times 625} = 60 \times 25 = 1500 \, m^2$.
ઘાસ વાવવાનો ખર્ચ એ ક્ષેત્રફળ અને દરનો ગુણાકાર છે:
$\text{ખર્ચ} = 1500 \, m^2 \times 7 \, Rs/m^2 = 10,500 \, Rs$.

(D) ફ્લાયઓવરની ત્રિકોણાકાર બાજુની દીવાલોની બાજુઓ $a = 13 \, m$,$b = 14 \, m$ અને $c = 15 \, m$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી કરીએ:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21 \, m$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)}$
$= \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{(3 \times 7) \times (2^3) \times 7 \times (2 \times 3)}$
$= \sqrt{7^2 \times 3^2 \times 2^4} = 7 \times 3 \times 2^2 = 84 \, m^2$.
વાર્ષિક ભાડું $Rs \, 2000$ પ્રતિ $m^2$ છે.
$6$ મહિના (અડધા વર્ષ) માટે $1 \, m^2$ નું ભાડું $Rs \, \frac{2000}{2} = Rs \, 1000$ થાય.
તેથી,$6$ મહિના માટે $84 \, m^2$ નું કુલ ભાડું $84 \times 1000 = Rs \, 84,000$ થાય.

(D) ધારો કે $ABC$ એક સમબાજુ ત્રિકોણ છે જેની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. ધારો કે $O$ એક અંદરનું બિંદુ છે,અને $O$ માંથી બાજુઓ $AB$,$BC$ અને $AC$ પર દોરેલા લંબ અનુક્રમે $h_1 = 14 \, cm$,$h_2 = 10 \, cm$ અને $h_3 = 6 \, cm$ છે.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ એ $\Delta OAB$,$\Delta OBC$ અને $\Delta OAC$ ના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$\Delta OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times a \times 14 = 7a \, cm^2$.
$\Delta OBC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times a \times 10 = 5a \, cm^2$.
$\Delta OAC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times a \times 6 = 3a \, cm^2$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 7a + 5a + 3a = 15a \, cm^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ છે.
બંને ક્ષેત્રફળના સૂત્રોને સરખાવતા:
$\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 15a$
$a \neq 0$ હોવાથી,$a$ વડે ભાગતા:
$\frac{\sqrt{3}}{4} a = 15$
$a = \frac{15 \times 4}{\sqrt{3}} = \frac{60}{\sqrt{3}} = 20\sqrt{3} \, cm$.
હવે,$a = 20\sqrt{3}$ ને ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= 15 \times (20\sqrt{3}) = 300\sqrt{3} \, cm^2$.
આમ,સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $300\sqrt{3} \, cm^2$ છે.

(D) ધારો કે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની સમાન બાજુઓ $3x$ અને $3x$ છે,અને પાયો $2x$ છે.
ત્રિકોણની પરિમિતિ તેની બાજુઓનો સરવાળો છે: $3x + 3x + 2x = 8x$.
આપેલ છે કે પરિમિતિ $32 \, cm$ છે,તેથી $8x = 32$,જેનો અર્થ છે કે $x = 4$.
આમ,ત્રિકોણની બાજુઓ $12 \, cm, 12 \, cm$ અને $8 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{12 + 12 + 8}{2} = \frac{32}{2} = 16 \, cm$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{16(16-12)(16-12)(16-8)} = \sqrt{16 \times 4 \times 4 \times 8}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{16 \times 16 \times 8} = 16 \sqrt{8} = 16 \times 2\sqrt{2} = 32\sqrt{2} \, cm^2$.

(N/A) ધારો કે ખેતર $ABCD$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times (\Delta ABC \text{ નું ક્ષેત્રફળ}) \quad ...(1)$
હવે,$\Delta ABC$ ની બાજુઓ $a = 40 \, m, b = 60 \, m$ અને $c = 80 \, m$ છે.
$\Delta ABC$ ની અર્ધ-પરિમિતિ,$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{40+60+80}{2} = \frac{180}{2} = 90 \, m$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{90(90-40)(90-60)(90-80)}$
$= \sqrt{90 \times 50 \times 30 \times 10}$
$= \sqrt{1350000} = 300\sqrt{15} \, m^2 \approx 1161.895 \, m^2$.
સમીકરણ $(1)$ પરથી,
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 300\sqrt{15} = 600\sqrt{15} \, m^2 \approx 2323.79 \, m^2$.

(A) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $6x, 7x$ અને $8x$ મીટર છે.
આપેલ છે કે પરિમિતિ $420\, m$ છે,તેથી:
$6x + 7x + 8x = 420$
$21x = 420$
$x = 20$
આમ,બાજુઓ $a = 120\, m, b = 140\, m, c = 160\, m$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{420}{2} = 210\, m$ છે.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{210(210-120)(210-140)(210-160)}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{210 \times 90 \times 70 \times 50}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{66150000} \approx 8133.265\, m^2$.

(B) ધારો કે $a, b, c$ એ આપેલા ત્રિકોણની બાજુઓ છે અને $s$ એ તેની અર્ધ-પરિમિતિ છે.
તેથી,$s = \frac{a+b+c}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $2s = a+b+c$ $...(1)$.
આપેલા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવા ત્રિકોણની બાજુઓ $2a, 2b$ અને $2c$ છે.
ધારો કે $S$ એ નવા ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ છે.
$S = \frac{2a+2b+2c}{2} = a+b+c = 2s$ $...(2)$.
નવા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta' = \sqrt{S(S-2a)(S-2b)(S-2c)}$ છે.
સૂત્રમાં $S = 2s$ મૂકતા:
$\Delta' = \sqrt{2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}$
$\Delta' = \sqrt{2s \cdot 2(s-a) \cdot 2(s-b) \cdot 2(s-c)}$
$\Delta' = \sqrt{16s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$\Delta' = 4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 4\Delta$.
આમ,નવા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ અને આપેલા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta'}{\Delta} = \frac{4\Delta}{\Delta} = 4:1$ છે.

(C) આ પતંગ એક ચોરસ $ABCD$ અને નીચેના ભાગમાં એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની બનેલી છે.
આપેલ છે કે ચોરસનો વિકર્ણ $44 \, cm$ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ વિકર્ણ $d$ નો ઉપયોગ કરીને $\text{Area} = \frac{1}{2} d^2$ તરીકે ગણી શકાય.
ચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 44 \times 44 = 968 \, cm^2$.
ચોરસ તેના વિકર્ણો દ્વારા ચાર સમાન ત્રિકોણમાં વિભાજિત થાય છે. દરેક ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{968}{4} = 242 \, cm^2$ છે.
આકૃતિ પરથી:
- લાલ રંગ (ભાગ $IV$) $= 242 \, cm^2$.
- પીળો રંગ (ભાગ $I$ અને $II$) $= 242 + 242 = 484 \, cm^2$.
- લીલો રંગ (ભાગ $III$ અને નીચેનો ત્રિકોણ).
નીચેના ત્રિકોણ માટે જેની બાજુઓ $20 \, cm, 20 \, cm, 14 \, cm$ છે:
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{20+20+14}{2} = 27 \, cm$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{27(27-20)(27-20)(27-14)} = \sqrt{27 \times 7 \times 7 \times 13} = 21 \sqrt{39} \approx 21 \times 6.245 = 131.15 \, cm^2$.
કુલ લીલો રંગ $= 242 + 131.15 = 373.15 \, cm^2$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણની નાની બાજુ $x \, cm$ છે. તેથી,બીજી બાજુ $(x + 4) \, cm$ અને ત્રીજી બાજુ $(2x - 6) \, cm$ થશે.
ત્રિકોણની પરિમિતિ તેની બાજુઓનો સરવાળો છે:
$x + (x + 4) + (2x - 6) = 50$
$4x - 2 = 50$
$4x = 52$
$x = 13 \, cm$.
ત્રણેય બાજુઓ $13 \, cm$,$17 \, cm$ અને $20 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{13 + 17 + 20}{2} = \frac{50}{2} = 25 \, cm$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$:
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{25(25 - 13)(25 - 17)(25 - 20)}$
$= \sqrt{25 \times 12 \times 8 \times 5}$
$= \sqrt{25 \times (4 \times 3) \times (4 \times 2) \times 5}$
$= 5 \times 4 \times \sqrt{3 \times 2 \times 5}$
$= 20 \sqrt{30} \, cm^2$.

(B) $\Delta ABC$ ની બાજુઓ $a = 6.5\, cm$,$b = 7\, cm$ અને $c = 7.5\, cm$ છે.
$\Delta ABC$ ની અર્ધ-પરિમિતિ $s$:
$s = \frac{6.5 + 7 + 7.5}{2} = \frac{21}{2} = 10.5\, cm$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{10.5(10.5 - 6.5)(10.5 - 7)(10.5 - 7.5)}$
$= \sqrt{10.5 \times 4 \times 3.5 \times 3}$
$= \sqrt{441} = 21\, cm^2$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $DBCE$ એ સમાન પાયા $BC$ પર રચાયેલ છે અને તેનું ક્ષેત્રફળ $\Delta ABC$ જેટલું જ છે:
$\text{સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ } DBCE \text{ નું ક્ષેત્રફળ} = \Delta ABC \text{ નું ક્ષેત્રફળ} = 21\, cm^2$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ = $\text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$.
$BC \times DF = 21\, cm^2$
$7\, cm \times DF = 21\, cm^2$
$DF = \frac{21}{7} = 3\, cm$.
આમ,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની ઊંચાઈ $DF = 3\, cm$ છે.

(N/A) આપેલ છે કે,લંબચોરસ ટાઇલના માપ $50\, cm \times 70\, cm$ છે.
લંબચોરસ ટાઇલનું ક્ષેત્રફળ $= 50\, cm \times 70\, cm = 3500\, cm^2$.
દરેક ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 25\, cm, b = 17\, cm$ અને $c = 26\, cm$ છે.
હવે,અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a + b + c}{2}$ દ્વારા મળે છે.
$s = \frac{25 + 17 + 26}{2} = \frac{68}{2} = 34\, cm$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,એક ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{34(34 - 25)(34 - 17)(34 - 26)} = \sqrt{34 \times 9 \times 17 \times 8}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{(17 \times 2) \times 3^2 \times 17 \times (2^3)} = \sqrt{17^2 \times 2^4 \times 3^2} = 17 \times 4 \times 3 = 204\, cm^2$.
$8$ ત્રિકોણનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 8 \times 204\, cm^2 = 1632\, cm^2$.
આમ,ડિઝાઇનનું કુલ ક્ષેત્રફળ $1632\, cm^2$ છે.
ટાઇલનું બાકી રહેલું ક્ષેત્રફળ $=$ લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $-$ ડિઝાઇનનું ક્ષેત્રફળ.
બાકી રહેલું ક્ષેત્રફળ $= 3500\, cm^2 - 1632\, cm^2 = 1868\, cm^2$.
તેથી,ડિઝાઇનનું કુલ ક્ષેત્રફળ $1632\, cm^2$ અને ટાઇલનું બાકી રહેલું ક્ષેત્રફળ $1868\, cm^2$ છે.

(N/A) $(1)$ સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{તેના વિકર્ણોનો ગુણાકાર}$ દ્વારા મળે છે.
$(2)$ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{અનુરૂપ વેધ}$ દ્વારા મળે છે.

(B) ધારો કે આપેલ ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 12 \, cm$,$b = 17 \, cm$ અને $c = 25 \, cm$ છે.
પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $(s)$ ની ગણતરી કરો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{12 + 17 + 25}{2} = \frac{54}{2} = 27 \, cm$.
હવે,તફાવતની ગણતરી કરો:
$s - a = 27 - 12 = 15 \, cm$
$s - b = 27 - 17 = 10 \, cm$
$s - c = 27 - 25 = 2 \, cm$
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{27 \times 15 \times 10 \times 2} \, cm^2$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{(9 \times 3) \times (3 \times 5) \times (5 \times 2) \times 2} \, cm^2$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{9 \times 9 \times 25 \times 4} \, cm^2$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 3 \times 3 \times 5 \times 2 = 90 \, cm^2$.

(C) ત્રિકોણાકાર ખેતર માટે,બાજુઓના માપ $a = 51 \,m$,$b = 52 \,m$ અને $c = 53 \,m$ છે.
પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $(s)$ ની ગણતરી કરો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{51 + 52 + 53}{2} = \frac{156}{2} = 78 \,m$.
હવે,તફાવતની ગણતરી કરો:
$s - a = 78 - 51 = 27 \,m$
$s - b = 78 - 52 = 26 \,m$
$s - c = 78 - 53 = 25 \,m$
હેરોનનું સૂત્ર વાપરીને,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$= \sqrt{78 \times 27 \times 26 \times 25}$
$= \sqrt{(2 \times 3 \times 13) \times (3^3) \times (2 \times 13) \times 5^2}$
$= \sqrt{2^2 \times 3^4 \times 13^2 \times 5^2}$
$= 2 \times 3^2 \times 13 \times 5$
$= 1170 \,m^2$.

(A) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $4x, 7x$ અને $9x$ મીટર છે.
ત્રિકોણની પરિમિતિ $500 \, m$ આપેલી છે.
તેથી,$4x + 7x + 9x = 500$.
$20x = 500 \implies x = 25$.
બાજુઓ $a = 4 \times 25 = 100 \, m$,$b = 7 \times 25 = 175 \, m$ અને $c = 9 \times 25 = 225 \, m$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{500}{2} = 250 \, m$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
$s-a = 250 - 100 = 150 \, m$.
$s-b = 250 - 175 = 75 \, m$.
$s-c = 250 - 225 = 25 \, m$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{250 \times 150 \times 75 \times 25} = \sqrt{25^2 \times 10^2 \times 3^2 \times 5^2} = 25 \times 10 \times 3 \times 5 \sqrt{5} = 3750 \sqrt{5} \, m^2$.

(A) બાજુની લંબાઈ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ છે.
અહીં બાજુની લંબાઈ $a = 50 \, cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $a$ ની કિંમત મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (50)^2$
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2500$
$\text{Area} = 625 \sqrt{3} \, cm^2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.