Area of a Triangle by Heron's Formula Questions in Gujarati

(A) $a = 9 \, cm$,$b = 10 \, cm$ અને $c = 17 \, cm$ બાજુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ.
પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી કરો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{9 + 10 + 17}{2} = \frac{36}{2} = 18 \, cm$.
હવે,ક્ષેત્રફળના સૂત્ર $\text{Area} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ નો ઉપયોગ કરો:
$\text{Area} = \sqrt{18(18 - 9)(18 - 10)(18 - 17)}$
$\text{Area} = \sqrt{18 \times 9 \times 8 \times 1}$
$\text{Area} = \sqrt{1296} = 36 \, cm^2$.

(C) ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 360 \, m$,$b = 450 \, m$ અને $c = 450 \, m$ આપેલ છે.
સૌ પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $(s)$ ની ગણતરી કરો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{360 + 450 + 450}{2} = \frac{1260}{2} = 630 \, m$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ક્ષેત્રફળ = $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
ક્ષેત્રફળ = $\sqrt{630(630 - 360)(630 - 450)(630 - 450)}$.
ક્ષેત્રફળ = $\sqrt{630 \times 270 \times 180 \times 180}$.
ક્ષેત્રફળ = $180 \times \sqrt{630 \times 270}$.
ક્ષેત્રફળ = $180 \times \sqrt{(90 \times 7) \times (90 \times 3)}$.
ક્ષેત્રફળ = $180 \times 90 \times \sqrt{7 \times 3}$.
ક્ષેત્રફળ = $16200 \sqrt{21} \, m^2$.

(D) ત્રિકોણાકાર પ્લોટની બાજુઓ $a = 200\,m$,$b = 210\,m$ અને $c = 290\,m$ છે.
સૌ પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $(s)$ શોધો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{200 + 210 + 290}{2} = \frac{700}{2} = 350\,m$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરીને,ક્ષેત્રફળ $(A)$:
$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$A = \sqrt{350(350-200)(350-210)(350-290)}$
$A = \sqrt{350 \times 150 \times 140 \times 60} = 21000\,m^2$.
ઘાસ ઉગાડવાનો કુલ ખર્ચ = $\text{ક્ષેત્રફળ }\times \text{દર }= 21000 \times 5 = \text{Rs. } 105000$.

(A) આપેલ બાજુઓ $a = 15\,cm$ અને $b = 28\,cm$ છે. પરિમિતિ $P = 84\,cm$ છે.
ત્રીજી બાજુ $c = P - (a + b) = 84 - (15 + 28) = 84 - 43 = 41\,cm$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = P / 2 = 84 / 2 = 42\,cm$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{42(42-15)(42-28)(42-41)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{42 \times 27 \times 14 \times 1}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{(14 \times 3) \times (9 \times 3) \times 14 \times 1} = \sqrt{14^2 \times 3^2 \times 3^2} = 14 \times 3 \times 3 = 126\,cm^2$.

(B) ધારો કે સમાન બાજુઓ $a = 17\,cm$ અને $b = 17\,cm$ છે.
ત્રિકોણની પરિમિતિ $P = 50\,cm$ છે.
ધારો કે ત્રીજી બાજુ $c$ છે. તેથી,$a + b + c = 50$.
$17 + 17 + c = 50 \implies 34 + c = 50 \implies c = 16\,cm$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = P / 2 = 50 / 2 = 25\,cm$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{25(25-17)(25-17)(25-16)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{25 \times 8 \times 8 \times 9}$.
ક્ષેત્રફળ $= 5 \times 8 \times 3 = 120\,cm^2$.

(C) ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 290 \, m$,$b = 290 \, m$ અને $c = 400 \, m$ છે.
સૌ પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $(s)$ ની ગણતરી કરો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{290 + 290 + 400}{2} = \frac{980}{2} = 490 \, m$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ક્ષેત્રફળ = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
ક્ષેત્રફળ = $\sqrt{490(490-290)(490-290)(490-400)}$.
ક્ષેત્રફળ = $\sqrt{490 \times 200 \times 200 \times 90}$.
ક્ષેત્રફળ = $\sqrt{490 \times 90 \times 200^2}$.
ક્ષેત્રફળ = $200 \times \sqrt{44100}$.
ક્ષેત્રફળ = $200 \times 210 = 42000 \, m^2$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 13\, cm$,$b = 14\, cm$ અને $c = 15\, cm$ છે.
પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી કરો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21\, cm$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરીને,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{(3 \times 7) \times (2^3) \times 7 \times (2 \times 3)}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{3^2 \times 7^2 \times 2^4}$
ક્ષેત્રફળ $= 3 \times 7 \times 2^2 = 21 \times 4 = 84\, cm^2$.

(A) $120 \, m$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,અર્ધ-પરિમિતિ $s$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$s = \frac{a + a + a}{2} = \frac{3a}{2} = \frac{3 \times 120}{2} = 180 \, m$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
અહીં $a = b = c = 120 \, m$ હોવાથી:
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{180(180-120)(180-120)(180-120)}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{180 \times 60 \times 60 \times 60}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{180 \times 60^3} = \sqrt{3 \times 60 \times 60^3} = \sqrt{3 \times 60^4}$
ક્ષેત્રફળ $= 60^2 \sqrt{3} = 3600 \sqrt{3} \, m^2$.

(B) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 33 \, cm$,$b = 34 \, cm$ અને $c = 65 \, cm$ છે.
પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી કરો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{33 + 34 + 65}{2} = \frac{132}{2} = 66 \, cm$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરીને,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{66(66 - 33)(66 - 34)(66 - 65)}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{66 \times 33 \times 32 \times 1}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{(2 \times 33) \times 33 \times (16 \times 2) \times 1}$
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{33^2 \times 2^2 \times 4^2} = 33 \times 2 \times 4 = 264 \, cm^2$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 510\,m$,$b = 520\,m$ અને $c$ છે।
પરિમિતિ $P = a + b + c = 1560\,m$.
$510 + 520 + c = 1560 \implies 1030 + c = 1560 \implies c = 530\,m$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = P/2 = 1560/2 = 780\,m$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{780(780-510)(780-520)(780-530)} = \sqrt{780 \times 270 \times 260 \times 250}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{78 \times 27 \times 26 \times 25 \times 10^4} = 1,17,000\,m^2$.
ખર્ચ $= \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{દર} = 1,17,000 \times 21 = \text{Rs. } 24,57,000$.

(A) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 51 \, cm$,$b = 52 \, cm$ અને $c = 101 \, cm$ છે.
સૌ પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી કરો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{51 + 52 + 101}{2} = \frac{204}{2} = 102 \, cm$.
હવે,ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટે હેરોનનું સૂત્ર વાપરો:
$\text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$\text{Area} = \sqrt{102(102-51)(102-52)(102-101)}$
$\text{Area} = \sqrt{102 \times 51 \times 50 \times 1}$
$\text{Area} = \sqrt{(51 \times 2) \times 51 \times (25 \times 2)}$
$\text{Area} = \sqrt{51^2 \times 2^2 \times 5^2}$
$\text{Area} = 51 \times 2 \times 5 = 510 \, cm^2$.

(B) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 13 \, cm$,$b = 13 \, cm$ અને $c = 10 \, cm$ છે.
પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $s = (a + b + c) / 2 = (13 + 13 + 10) / 2 = 36 / 2 = 18 \, cm$ શોધો.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{18(18-13)(18-13)(18-10)} = \sqrt{18 \times 5 \times 5 \times 8} = \sqrt{3600} = 60 \, cm^2$.
હવે,$c = 10 \, cm$ પાયાને અનુરૂપ વેધ $h$ શોધવા માટે,ક્ષેત્રફળ $= (1/2) \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરો.
$60 = (1/2) \times 10 \times h \implies 60 = 5h \implies h = 12 \, cm$.

(C) ધારો કે સમાન બાજુઓ $a = 30 \, cm$ અને $b = 30 \, cm$ છે.
આપેલ પરિમિતિ $P = 84 \, cm$ હોવાથી,ત્રીજી બાજુ $c = P - (a + b) = 84 - (30 + 30) = 84 - 60 = 24 \, cm$ મળે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = P / 2 = 84 / 2 = 42 \, cm$ થાય.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,ક્ષેત્રફળ $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
$A = \sqrt{42(42-30)(42-30)(42-24)}$.
$A = \sqrt{42 \times 12 \times 12 \times 18}$.
$A = 12 \sqrt{42 \times 18} = 12 \sqrt{756}$.
$756 = 36 \times 21$ હોવાથી,$A = 12 \times 6 \sqrt{21} = 72 \sqrt{21} \, cm^2$ મળે.

(A) $\triangle ABD$ માં, $\angle A = 90^{\circ}$, $AB = 15 \text{ cm}$ અને $AD = 8 \text{ cm}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ, $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \text{ cm}$.
કાટકોણ $\triangle ABD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 15 \times 8 = 60 \text{ cm}^2$.
$\triangle BCD$ માં, બાજુઓ $a = 17 \text{ cm}$, $b = 25 \text{ cm}$ અને $c = 12 \text{ cm}$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{17 + 25 + 12}{2} = \frac{54}{2} = 27 \text{ cm}$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $\triangle BCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{27(27-17)(27-25)(27-12)} = \sqrt{27 \times 10 \times 2 \times 15} = \sqrt{8100} = 90 \text{ cm}^2$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \triangle ABD$ નું ક્ષેત્રફળ $+ \triangle BCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= 60 + 90 = 150 \text{ cm}^2$.

(C) ચતુષ્કોણ $ABCD$ ને બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે: $\triangle ABD$ અને $\triangle BCD$.
$\triangle ABD$ માટે,બાજુઓ $a = 9 \, cm$,$b = 12 \, cm$ અને $c = 15 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s_1 = (9 + 12 + 15) / 2 = 36 / 2 = 18 \, cm$.
$\triangle ABD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s_1(s_1-a)(s_1-b)(s_1-c)} = \sqrt{18(18-9)(18-12)(18-15)} = \sqrt{18 \times 9 \times 6 \times 3} = \sqrt{2916} = 54 \, cm^2$.
$\triangle BCD$ માટે,બાજુઓ $a = 13 \, cm$,$b = 14 \, cm$ અને $c = 15 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s_2 = (13 + 14 + 15) / 2 = 42 / 2 = 21 \, cm$.
$\triangle BCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s_2(s_2-a)(s_2-b)(s_2-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84 \, cm^2$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 54 + 84 = 138 \, cm^2$.

(D) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણ $AC$ ચતુષ્કોણને બે એકરૂપ ત્રિકોણો,$\triangle ABC$ અને $\triangle ADC$ માં વિભાજિત કરે છે.
આપણે હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ શોધીશું.
$\triangle ABC$ ની બાજુઓ $a = 9 \, cm$,$b = 10 \, cm$ અને $c = 17 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = (a + b + c) / 2 = (9 + 10 + 17) / 2 = 36 / 2 = 18 \, cm$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{18(18-9)(18-10)(18-17)} = \sqrt{18 \times 9 \times 8 \times 1} = \sqrt{1296} = 36 \, cm^2$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ એ $\triangle ABC$ ના ક્ષેત્રફળ કરતાં બમણું હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 36 = 72 \, cm^2$ થાય.

(B) ચતુષ્કોણ $PQRS$ ને વિકર્ણ $PR = 51 \, cm$ દ્વારા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે: $\triangle PQR$ અને $\triangle PSR$.
$\triangle PQR$ માટે,બાજુઓ $a = 27 \, cm$,$b = 30 \, cm$,$c = 51 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s_1 = (27 + 30 + 51) / 2 = 108 / 2 = 54 \, cm$.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ = $\sqrt{s_1(s_1-a)(s_1-b)(s_1-c)} = \sqrt{54(54-27)(54-30)(54-51)} = \sqrt{54 \times 27 \times 24 \times 3} = \sqrt{104976} = 324 \, cm^2$.
$\triangle PSR$ માટે,બાજુઓ $a = 52 \, cm$,$b = 53 \, cm$,$c = 51 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s_2 = (52 + 53 + 51) / 2 = 156 / 2 = 78 \, cm$.
$\triangle PSR$ નું ક્ષેત્રફળ = $\sqrt{s_2(s_2-a)(s_2-b)(s_2-c)} = \sqrt{78(78-52)(78-53)(78-51)} = \sqrt{78 \times 26 \times 25 \times 27} = \sqrt{1368900} = 1170 \, cm^2$.
ચતુષ્કોણ $PQRS$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ = $324 + 1170 = 1494 \, cm^2$.

(C) ચતુષ્કોણ $XYZW$ ને વિકર્ણ $XZ$ દ્વારા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે: $\triangle XYZ$ અને $\triangle XZW$.
$\triangle XYZ$ માટે,બાજુઓ $a = 25 \, m$,$b = 60 \, m$ અને $c = 65 \, m$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s_1 = (25 + 60 + 65) / 2 = 150 / 2 = 75 \, m$.
$\triangle XYZ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s_1(s_1-a)(s_1-b)(s_1-c)} = \sqrt{75(75-25)(75-60)(75-65)} = \sqrt{75 \times 50 \times 15 \times 10} = \sqrt{562500} = 750 \, m^2$.
$\triangle XZW$ માટે,બાજુઓ $a = 65 \, m$,$b = 33 \, m$ અને $c = 34 \, m$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s_2 = (65 + 33 + 34) / 2 = 132 / 2 = 66 \, m$.
$\triangle XZW$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s_2(s_2-a)(s_2-b)(s_2-c)} = \sqrt{66(66-65)(66-33)(66-34)} = \sqrt{66 \times 1 \times 33 \times 32} = \sqrt{69696} = 264 \, m^2$.
ચતુષ્કોણ $XYZW$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= \text{Area}(\triangle XYZ) + \text{Area}(\triangle XZW) = 750 + 264 = 1014 \, m^2$.

(B) પગલું $1$: $a = 10 \, cm$,$b = 17 \, cm$ અને $c = 21 \, cm$ બાજુઓ ધરાવતા ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ $(s)$ શોધો.
$s = (a + b + c) / 2 = (10 + 17 + 21) / 2 = 48 / 2 = 24 \, cm$.
પગલું $2$: હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{24 \times 14 \times 7 \times 3} = \sqrt{7056} = 84 \, cm^2$.
પગલું $3$: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ જેટલું જ છે,તેથી $\text{ક્ષેત્રફળ} = 84 \, cm^2$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$ છે.
અહીં $\text{પાયો} = 12 \, cm$ આપેલ છે,તેથી $12 \times \text{ઊંચાઈ} = 84$.
$\text{ઊંચાઈ} = 84 / 12 = 7 \, cm$.

(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ તેના વિકર્ણ દ્વારા બે એકરૂપ ત્રિકોણમાં વિભાજિત થાય છે. ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 12 \, cm$,$b = 17 \, cm$ અને $c = 25 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી આ મુજબ થાય: $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{12 + 17 + 25}{2} = \frac{54}{2} = 27 \, cm$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા,એક ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{27(27-12)(27-17)(27-25)} = \sqrt{27 \times 15 \times 10 \times 2} = \sqrt{8100} = 90 \, cm^2$ થાય.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું કુલ ક્ષેત્રફળ $2 \times 90 = 180 \, cm^2$ થાય.
$3$ રૂપિયા પ્રતિ $cm^2$ ના દરે રંગકામ કરવાનો કુલ ખર્ચ $180 \times 3 = 540$ રૂપિયા થાય.

(A) પતંગાકાર ચતુષ્કોણ $ABCD$ એ બે ત્રિકોણ,$\triangle ABC$ અને $\triangle ADC$ નો બનેલો છે,જે વિકર્ણ $AC$ પર જોડાયેલા છે.
$AB = AD = 12 \, cm$ અને $CB = CD = 17 \, cm$ હોવાથી,$SSS$ એકરૂપતા મુજબ $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ થાય.
$\triangle ABC$ માટે,બાજુઓ $a = 12 \, cm, b = 17 \, cm, c = 25 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = (12 + 17 + 25) / 2 = 54 / 2 = 27 \, cm$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{27(27-12)(27-17)(27-25)} = \sqrt{27 \times 15 \times 10 \times 2} = \sqrt{8100} = 90 \, cm^2$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 90 = 180 \, cm^2$.
ધારો કે $BD$ એ $AC$ ને $O$ બિંદુએ છેદે છે. $AC \perp BD$. $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= (1/2) \times AC \times BO = 90$.
$(1/2) \times 25 \times BO = 90 \implies BO = 180 / 25 = 7.2 \, cm$.
$BD = 2 \times BO$ હોવાથી,$BD = 2 \times 7.2 = 14.4 \, cm$.

(B) $1$. $AD$ ને સમાંતર રેખા $CE$ દોરો જેથી $E$ એ $AB$ પર હોય। $AD \parallel CE$ અને $AE \parallel CD$ હોવાથી, $AECD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે。
$2$. તેથી, $AE = CD = 20 \, cm$ અને $CE = AD = 9 \, cm$.
$3$. $EB$ ની લંબાઈ $AB - AE = 30 - 20 = 10 \, cm$ થાય.
$4$. $\triangle CEB$ માં, બાજુઓ $17 \, cm$, $9 \, cm$ અને $10 \, cm$ છે। અર્ધ-પરિમિતિ $s = (17 + 9 + 10) / 2 = 18 \, cm$.
$5$. હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $\triangle CEB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{18(18-17)(18-9)(18-10)} = \sqrt{18 \times 1 \times 9 \times 8} = \sqrt{1296} = 36 \, cm^2$.
$6$. $\triangle CEB$ નું ક્ષેત્રફળ $(1/2) \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = (1/2) \times 10 \times h = 36$ દ્વારા પણ મળે છે, તેથી $h = 7.2 \, cm$.
$7$. સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= (1/2) \times (AB + CD) \times h = (1/2) \times (30 + 20) \times 7.2 = 25 \times 7.2 = 180 \, cm^2$.

(C) ધારો કે સમાન બાજુઓ $3x$ છે અને પાયો $2x$ છે.
ત્રિકોણની પરિમિતિ એ બધી બાજુઓનો સરવાળો છે: $3x + 3x + 2x = 32 \, cm$.
$8x = 32 \implies x = 4$.
આમ,બાજુઓ $a = 12 \, cm$,$b = 12 \, cm$ અને $c = 8 \, cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{32}{2} = 16 \, cm$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{16(16-12)(16-12)(16-8)} = \sqrt{16 \times 4 \times 4 \times 8}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{16 \times 16 \times 8} = 16 \times 2\sqrt{2} = 32\sqrt{2} \, cm^2$.

(D) $1$. સમબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ $40 \, cm$ છે. સમબાજુ ચતુષ્કોણની બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,બાજુની લંબાઈ $a = 40 / 4 = 10 \, cm$ થાય.
$2$. ધારો કે વિકર્ણો $d_1 = 12 \, cm$ અને $d_2$ છે. સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે. વિકર્ણો દ્વારા બનતા ચાર કાટકોણ ત્રિકોણમાંથી એક પર પાયથાગોરસનો પ્રમેય વાપરતા,$(d_2 / 2)^2 + (d_1 / 2)^2 = a^2$ મળે.
$3$. $(d_2 / 2)^2 + (12 / 2)^2 = 10^2 \implies (d_2 / 2)^2 + 36 = 100 \implies (d_2 / 2)^2 = 64 \implies d_2 / 2 = 8 \implies d_2 = 16 \, cm$.
$4$. સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $(d_1 \times d_2) / 2 = (12 \times 16) / 2 = 96 \, cm^2$ થાય.
$5$. શીટ બંને બાજુ છાપવાની હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $96 \times 2 = 192 \, cm^2$ થાય.
$6$. છાપવાનો કુલ ખર્ચ $192 \times 5 = Rs. \, 960$ થાય.

(A) $(1)$ ખોટું. $10 \, cm$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિ $3 \times 10 = 30 \, cm$ થાય. તેથી,અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{30}{2} = 15 \, cm$ થાય,$30 \, cm$ નહીં.
$(2)$ ખોટું. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં બે સમાન બાજુઓ $20 \, cm$ છે. ત્રીજી બાજુ વગર અર્ધ-પરિમિતિ $20 \, cm$ હોઈ શકે નહીં. જો ત્રીજી બાજુ $0$ હોય (જે અશક્ય છે),તો પણ અર્ધ-પરિમિતિ $20 \, cm$ થાય. વાસ્તવમાં,અર્ધ-પરિમિતિ $20 \, cm$ કરતા વધારે હશે.
$(3)$ સાચું. કાટકોણ ત્રિકોણમાં $AB = 6 \, cm$ અને $BC = 8 \, cm$ હોય,તો કર્ણ $AC = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10 \, cm$ થાય. પરિમિતિ $6 + 8 + 10 = 24 \, cm$ થાય. તેથી,અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{24}{2} = 12 \, cm$ થાય.

(D) ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 15 \text{ cm}$,$b = 17 \text{ cm}$ અને $c = 20 \text{ cm}$ આપેલી છે.
ત્રિકોણની પરિમિતિ તેની બાજુઓનો સરવાળો છે: $P = a + b + c = 15 + 17 + 20 = 52 \text{ cm}$.
અર્ધ-પરિમિતિ $(s)$ એ પરિમિતિના અડધા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $s = \frac{P}{2} = \frac{52}{2} = 26 \text{ cm}$.
તેથી,ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ $26 \text{ cm}$ છે.

(A) હેરોનના સૂત્ર મુજબ,$a$,$b$ અને $c$ બાજુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $s$ એ ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી $s = \frac{a+b+c}{2}$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
તેથી,સાચું સૂત્ર $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ છે.

(C) $a, b$ અને $c$ બાજુઓ ધરાવતા ત્રિકોણની પરિમિતિ તેની બાજુઓનો સરવાળો છે,જે $a+b+c$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,અર્ધપરિમિતિ $(s)$ એ પરિમિતિનું અડધું માપ છે.
તેથી,$s = \frac{a+b+c}{2}$.

(D) સૌ પ્રથમ,નોંધો કે બાજુઓ $6 \, cm$,$8 \, cm$ અને $10 \, cm$ એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે કારણ કે $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$ થાય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
અર્ધ-પરિમિતિ $s = (6 + 8 + 10) / 2 = 24 / 2 = 12 \, cm$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{12(12 - 6)(12 - 8)(12 - 10)}$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{12 \times 6 \times 4 \times 2} = \sqrt{576} = 24 \, cm^{2}$.

(A) બાજુની લંબાઈ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+a+a}{2} = \frac{3a}{2}$ થાય છે.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેનું હેરોનનું સૂત્ર $\text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ છે.
અહીં $a = b = c$ હોવાથી,સૂત્ર $\text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-a)(s-a)} = \sqrt{s(s-a)^3}$ બને છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $\text{Area} = \sqrt{s(s-a)^2 \cdot (s-a)} = (s-a) \sqrt{s(s-a)}$ મળે છે.

(B) આપણને અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a + b + c}{2}$ આપેલ છે.
આપણી પાસે નીચે મુજબના સમીકરણો છે:
$s - a = 10 \implies a = s - 10$
$s - b = 15 \implies b = s - 15$
$s - c = 12 \implies c = s - 12$
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(s - a) + (s - b) + (s - c) = 10 + 15 + 12$
$3s - (a + b + c) = 37$
કારણ કે $a + b + c = 2s$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$3s - 2s = 37$
$s = 37$
આમ,અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની કિંમત $37 \, cm$ છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $3x$,$4x$ અને $6x$ છે.
ત્રિકોણની પરિમિતિ તેની બાજુઓનો સરવાળો છે: $P = 3x + 4x + 6x = 13x$.
અર્ધપરિમિતિ $s$ એ $s = P / 2 = 13x / 2$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે અર્ધપરિમિતિ $s = 39 \, cm$,તેથી:
$13x / 2 = 39$
$13x = 78$
$x = 78 / 13 = 6$.
ત્રિકોણની બાજુઓ $3(6) = 18 \, cm$,$4(6) = 24 \, cm$ અને $6(6) = 36 \, cm$ છે.
સૌથી મોટી બાજુ $36 \, cm$ છે.

(D) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ $a$,$b$ અને $c$ છે,જ્યાં $c$ કર્ણ છે.
આપેલ છે: $c = 29\,cm$ અને $a = 21\,cm$.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $a^2 + b^2 = c^2$.
$21^2 + b^2 = 29^2$.
$441 + b^2 = 841$.
$b^2 = 841 - 441 = 400$.
$b = \sqrt{400} = 20\,cm$.
ત્રિકોણની પરિમિતિ $P = a + b + c = 21 + 20 + 29 = 70\,cm$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{P}{2} = \frac{70}{2} = 35\,cm$ થાય.

(A) સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં,ધારો કે $AB = AC = 13 \, cm$ અને $BC = 24 \, cm$ છે.
શિરોબિંદુ $A$ માંથી પાયા $BC$ પર વેધ $AD$ દોરો. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,વેધ $AD$ પાયા $BC$ ને દુભાગે છે.
તેથી,$BD = DC = \frac{BC}{2} = \frac{24}{2} = 12 \, cm$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABD$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 = AD^2 + BD^2$
$13^2 = AD^2 + 12^2$
$169 = AD^2 + 144$
$AD^2 = 169 - 144 = 25$
$AD = \sqrt{25} = 5 \, cm$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times BC \times AD$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 24 \times 5 = 12 \times 5 = 60 \, cm^2$.

(D) બાજુની લંબાઈ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,પાયો $a$ છે અને વેધ $h$ પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે: $h = \sqrt{a^2 - (a/2)^2} = \sqrt{3a^2/4} = \frac{\sqrt{3}}{2}a$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times a \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) હેરોનનું સૂત્રમાં,$a$,$b$ અને $c$ બાજુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$s$ એ ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ છે,જેની ગણતરી $s = \frac{a+b+c}{2}$ તરીકે કરવામાં આવે છે.

(A) જ્યારે ત્રિકોણની ત્રણેય બાજુઓના માપ આપેલા હોય ત્યારે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે.
ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a$,$b$ અને $c$ છે.
સૌ પ્રથમ,ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ $s$ શોધો,જે $s = \frac{a+b+c}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્યારબાદ,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.

(D) બાજુ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $Area = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ છે.
$a_1 = 16\,cm$ બાજુ ધરાવતા ત્રિકોણ માટે,ક્ષેત્રફળ $A_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} (16)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 256$ થાય.
$a_2 = 8\,cm$ બાજુ ધરાવતા ત્રિકોણ માટે,ક્ષેત્રફળ $A_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (8)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 64$ થાય.
$A_1$ એ $A_2$ કરતા કેટલા ગણું છે તે શોધવા માટે,આપણે ગુણોત્તર લઈએ: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} \times 256}{\frac{\sqrt{3}}{4} \times 64} = \frac{256}{64} = 4$.
આમ,$16\,cm$ બાજુ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $8\,cm$ બાજુ ધરાવતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ કરતા $4$ ગણું છે.

(A) સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુનું માપ $a = 10\,cm$ છે.
ત્રિકોણની પરિમિતિ $P = a + a + a = 3a$ થાય.
$P = 3 \times 10 = 30\,cm$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s$ એ પરિમિતિના અડધા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$s = \frac{P}{2} = \frac{30}{2} = 15\,cm$.

(B) સૌ પ્રથમ,નોંધો કે બાજુઓના માપ $12 \, cm$,$16 \, cm$ અને $20 \, cm$ એ પાયથાગોરિયન ત્રિપુટી બનાવે છે કારણ કે $12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2$ થાય છે.
સૌથી મોટી બાજુનો વર્ગ અન્ય બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોવાથી,આ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ છે.
પાયો $12 \, cm$ અને વેધ $16 \, cm$ લેતા,આપણને મળે: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 6 \times 16 = 96 \, cm^2$.

(C) ત્રિકોણની આપેલી બાજુઓ $a = 13 \, cm$, $b = 14 \, cm$ અને $c = 15 \, cm$ છે.
પ્રથમ, અર્ધ-પરિમિતિ $(s)$ ની ગણતરી કરો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21 \, cm$.
હવે, ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટે હેરોનનું સૂત્ર વાપરો:
$\text{Area} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$\text{Area} = \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)}$
$\text{Area} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}$
$\text{Area} = \sqrt{(3 \times 7) \times (2^3) \times 7 \times (2 \times 3)}$
$\text{Area} = \sqrt{2^4 \times 3^2 \times 7^2}$
$\text{Area} = 2^2 \times 3 \times 7 = 4 \times 21 = 84 \, cm^2$.

(B) સૌ પ્રથમ,પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને તપાસો કે શું આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે: $AB^2 + BC^2 = 20^2 + 48^2 = 400 + 2304 = 2704$
અહીં $AC^2 = 52^2 = 2704$ છે,તેથી $AB^2 + BC^2 = AC^2$ થાય છે.
આમ,$\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં પાયો $BC = 48 \, cm$ અને વેધ (ઊંચાઈ) $AB = 20 \, cm$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 48 \times 20 = 24 \times 20 = 480 \, cm^2$.

(C) સૌ પ્રથમ,પાયથાગોરસના પ્રમેય દ્વારા ચકાસો કે શું આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે: $12^2 + 35^2 = 144 + 1225 = 1369$. કારણ કે $37^2 = 1369$ થાય છે,તેથી આ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે,ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ છે.
પાયો $12 \ cm$ અને વેધ $35 \ cm$ લેતા,આપણને મળે છે:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 12 \times 35 = 6 \times 35 = 210 \ cm^2$.

(D) ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ $s$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$s = \frac{a + b + c}{2}$
અહીં આપેલ કિંમતો $a = 15 \, cm$,$b = 20 \, cm$ અને $s = 31 \, cm$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$31 = \frac{15 + 20 + c}{2}$
$31 \times 2 = 35 + c$
$62 = 35 + c$
$c = 62 - 35$
$c = 27 \, cm$
આમ,$c$ ની કિંમત $27 \, cm$ છે.

(A) ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 20 \, cm$,$b = 24 \, cm$ અને $c = 32 \, cm$ છે.
ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ $s$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$s = \frac{a + b + c}{2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$s = \frac{20 + 24 + 32}{2}$
$s = \frac{76}{2}$
$s = 38 \, cm$
આમ,ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ $38 \, cm$ છે.

(A) વ્યાખ્યા મુજબ,$1$ હેક્ટર એટલે $100$ મીટરની બાજુ ધરાવતા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ.
તેથી,$1$ હેક્ટર $= 100 \text{ } m \times 100 \text{ } m = 10000 \text{ } m^{2}$.