Intersecting and Non-intersecting Lines Questions in Hindi

(A) $XOY$ एक सीधी रेखा है।
अतः,$\angle b + \angle a + \angle POY = 180^o$ (रैखिक युग्म अभिगृहीत)।
दिया है कि $\angle POY = 90^o$,इसलिए $\angle b + \angle a + 90^o = 180^o$,जिसका अर्थ है $\angle b + \angle a = 90^o$।
दिया है $a: b = 2: 3$,मान लीजिए $a = 2x$ और $b = 3x$।
तब $2x + 3x = 90^o$,अर्थात $5x = 90^o$,जिससे $x = 18^o$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\angle a = 2 \times 18^o = 36^o$ और $\angle b = 3 \times 18^o = 54^o$।
चूँकि रेखाएँ $XY$ और $MN$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए $\angle XON$ और $\angle NOY$ रैखिक युग्म बनाते हैं।
यहाँ,$\angle NOY = \angle b = 54^o$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
अतः,$\angle c = \angle XON = 180^o - 54^o = 126^o$।

(D) मान लीजिए कि दो रेखाएँ $AB$ और $CD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। मान लीजिए $\angle AOC = 90^\circ$ है।
चूँकि $AB$ एक सीधी रेखा है,इसलिए $\angle AOC + \angle BOC = 180^\circ$ (रैखिक युग्म अभिगृहीत के अनुसार)।
$90^\circ + \angle BOC = 180^\circ \implies \angle BOC = 90^\circ$।
इसी प्रकार,$\angle AOC + \angle AOD = 180^\circ$ (रैखिक युग्म अभिगृहीत के अनुसार)।
$90^\circ + \angle AOD = 180^\circ \implies \angle AOD = 90^\circ$।
अंत में,$\angle AOD + \angle BOD = 180^\circ$ (रैखिक युग्म अभिगृहीत के अनुसार)।
$90^\circ + \angle BOD = 180^\circ \implies \angle BOD = 90^\circ$।
अतः,अन्य तीनों कोण भी समकोण $(90^\circ)$ ही होंगे।

(N/A) मान लीजिए $l$ और $m$ दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ हैं। मान लीजिए रेखा $n$,$l$ पर लंब है $(n \perp l)$ और रेखा $p$,$m$ पर लंब है $(p \perp m)$।
सिद्ध करना है: रेखाएँ $n$ और $p$ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं।
उपपत्ति: विरोधाभास द्वारा सिद्ध करने के लिए मान लीजिए कि रेखाएँ $n$ और $p$ एक-दूसरे के समांतर हैं $(n \parallel p)$।
चूँकि $n \perp l$ और $n \parallel p$,इसलिए $p \perp l$ होगा (क्योंकि एक ही रेखा पर लंब रेखाएँ समांतर होती हैं,या यदि कोई रेखा दो समांतर रेखाओं में से एक पर लंब है,तो वह दूसरी पर भी लंब होती है)।
हमें दिया गया है कि $p \perp m$ है। अतः,हमारे पास $p \perp l$ और $p \perp m$ है।
इसका अर्थ है कि $l \parallel m$ (क्योंकि दोनों रेखा $p$ पर लंब हैं)।
हालाँकि,यह इस दी गई जानकारी का विरोधाभास करता है कि $l$ और $m$ प्रतिच्छेदी रेखाएँ हैं।
अतः,हमारी यह धारणा कि $n \parallel p$ है,गलत है।
इसलिए,रेखाएँ $n$ और $p$ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं।

(A) जब दो रेखाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं,तो शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।
चूँकि रेखाएँ $AB$ और $CD$ बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए $\angle APC$ और $\angle BPD$ शीर्षाभिमुख कोण हैं।
अतः,$\angle APC = \angle BPD$.
दिए गए व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $2x + 30^{\circ} = 4x - 20^{\circ}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $30^{\circ} + 20^{\circ} = 4x - 2x$.
$50^{\circ} = 2x$,जिससे $x = 25^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अब,कोणों की गणना करते हैं:
$\angle APC = 2(25) + 30 = 50 + 30 = 80^{\circ}$.
$\angle BPD = 4(25) - 20 = 100 - 20 = 80^{\circ}$.
इस प्रकार,$x = 25$,$\angle APC = 80^{\circ}$ और $\angle BPD = 80^{\circ}$ है।