Basic Terms and Definitions Questions in Hindi

(N/A) चूँकि $PQ$ एक सीधी रेखा है,रैखिक युग्म बनाने वाले कोणों का योग $180^o$ होता है।
$\angle POR + \angle ROQ = 180^o$ (रैखिक युग्म अभिगृहीत)
दिया गया है कि $\angle POR : \angle ROQ = 5 : 7$ है।
माना $\angle POR = 5x$ और $\angle ROQ = 7x$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$5x + 7x = 180^o$
$12x = 180^o$
$x = 15^o$
अतः,$\angle POR = 5 \times 15^o = 75^o$ और $\angle ROQ = 7 \times 15^o = 105^o$ है।
चूँकि $PQ$ और $RS$ प्रतिच्छेदी रेखाएँ हैं,शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं:
$\angle POS = \angle ROQ = 105^o$
$\angle SOQ = \angle POR = 75^o$
इस प्रकार,कोण $75^o, 105^o, 75^o$ और $105^o$ हैं।

(B) किरण $OS$ रेखा $POQ$ पर स्थित है।
अतः,$\angle POS + \angle SOQ = 180^o$ (रैखिक युग्म अभिगृहीत)।
दिया है कि $\angle POS = x$ है।
इसलिए,$x + \angle SOQ = 180^o$,जिसका अर्थ है कि $\angle SOQ = 180^o - x$ है।
अब,किरण $OR$,$\angle POS$ को समद्विभाजित करती है,इसलिए $\angle ROS = \frac{1}{2} \times \angle POS = \frac{x}{2}$ है।
इसी प्रकार,किरण $OT$,$\angle SOQ$ को समद्विभाजित करती है,इसलिए $\angle SOT = \frac{1}{2} \times \angle SOQ = \frac{1}{2} \times (180^o - x) = 90^o - \frac{x}{2}$ है।
अब,$\angle ROT = \angle ROS + \angle SOT$ है।
मान रखने पर,$\angle ROT = \frac{x}{2} + 90^o - \frac{x}{2} = 90^o$ है।

(N/A) इसे सिद्ध करने के लिए,हमें $OP$,$OQ$,$OR$ या $OS$ किरणों में से किसी एक को पीछे की ओर एक बिंदु तक बढ़ाने की आवश्यकता है। मान लीजिए कि हम किरण $OQ$ को पीछे की ओर बिंदु $T$ तक बढ़ाते हैं ताकि $TOQ$ एक सीधी रेखा बन जाए।
अब,किरण $OP$ रेखा $TOQ$ पर स्थित है।
इसलिए,$\angle TOP + \angle POQ = 180^o$ ........ $(1)$ (रैखिक युग्म अभिगृहीत)
इसी प्रकार,किरण $OS$ रेखा $TOQ$ पर स्थित है।
इसलिए,$\angle TOS + \angle SOQ = 180^o$ ........ $(2)$
परंतु,$\angle SOQ = \angle SOR + \angle QOR$ है।
इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle TOS + \angle SOR + \angle QOR = 180^o$ ........ $(3)$
अब,$(1)$ और $(3)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle TOP + \angle POQ + \angle TOS + \angle SOR + \angle QOR = 360^o$ ........ $(4)$
चूंकि $\angle TOP + \angle TOS = \angle POS$ है,इसलिए समीकरण $(4)$ इस प्रकार हो जाता है:
$\angle POQ + \angle QOR + \angle SOR + \angle POS = 360^o$.

(D) चूँकि $AB$ एक सीधी रेखा है,इसलिए बिंदु $O$ पर रेखा के एक ओर के कोणों का योग $180^o$ होता है।
$\therefore \angle AOC + \angle COE + \angle BOE = 180^o$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\angle AOC + \angle BOE) + \angle COE = 180^o$
दिया गया है कि $\angle AOC + \angle BOE = 70^o$,इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$70^o + \angle COE = 180^o$
$\angle COE = 180^o - 70^o = 110^o$
प्रतिवर्ती $\angle COE = 360^o - \angle COE = 360^o - 110^o = 250^o$
चूँकि रेखाएँ $AB$ और $CD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं:
$\angle AOC = \angle BOD$
दिया गया है $\angle BOD = 40^o$,इसलिए $\angle AOC = 40^o$।
दिए गए समीकरण $\angle AOC + \angle BOE = 70^o$ का उपयोग करने पर:
$40^o + \angle BOE = 70^o$
$\angle BOE = 70^o - 40^o = 30^o$
अतः,$\angle BOE = 30^o$ और प्रतिवर्ती $\angle COE = 250^o$।

(N/A) चूँकि $ST$ एक सीधी रेखा है,
$\therefore \angle PQS + \angle PQR = 180^\circ$ ........... $(1)$
इसी प्रकार,$\angle PRT + \angle PRQ = 180^\circ$ ........... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है
$\angle PQS + \angle PQR = \angle PRT + \angle PRQ$
परंतु $\angle PQR = \angle PRQ$ [दिया है]
$\therefore \angle PQS = \angle PRT$

(N/A) एक बिंदु के चारों ओर के सभी कोणों का योग $360^\circ$ होता है।
इसलिए,$x+y+z+w=360^\circ$ है।
हमें दिया गया है कि $x+y=w+z$ है।
$(w+z)$ के स्थान पर $(x+y)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x+y)+(x+y)=360^\circ$
$2(x+y)=360^\circ$
$x+y = \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ$ है।
चूंकि आसन्न कोणों $x$ और $y$ का योग $180^\circ$ है,इसलिए वे एक रैखिक युग्म बनाते हैं।
अतः,$AOB$ एक सीधी रेखा है।

(N/A) $POQ$ एक सीधी रेखा है। [दिया है]
$\therefore \angle POS + \angle ROS + \angle ROQ = 180^o$
परंतु $OR \perp PQ$,इसलिए $\angle ROQ = 90^o$ है।
समीकरण में $\angle ROQ = 90^o$ रखने पर:
$\angle POS + \angle ROS + 90^o = 180^o$
$\Rightarrow \angle POS + \angle ROS = 90^o$ --- $(1)$
अब,हमारे पास $\angle QOS = \angle ROQ + \angle ROS$ है।
चूंकि $\angle ROQ = 90^o$,इसलिए:
$\angle QOS = 90^o + \angle ROS$
$\Rightarrow 90^o = \angle QOS - \angle ROS$ --- $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\angle POS + \angle ROS = \angle QOS - \angle ROS$
$\Rightarrow \angle ROS + \angle ROS = \angle QOS - \angle POS$
$\Rightarrow 2 \angle ROS = \angle QOS - \angle POS$
$\therefore \angle ROS = \frac{1}{2}(\angle QOS - \angle POS)$

(A) $XYP$ एक सीधी रेखा है।
अतः,$\angle XYZ + \angle ZYQ + \angle QYP = 180^o$।
चूंकि $64^o + \angle ZYQ + \angle QYP = 180^o$ और $YQ$,$\angle ZYP$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle ZYQ = \angle QYP$।
अतः,$64^o + 2 \angle QYP = 180^o$।
$2 \angle QYP = 180^o - 64^o = 116^o$।
$\angle QYP = 58^o$।
प्रतिवर्ती $\angle QYP = 360^o - 58^o = 302^o$।
अब,$\angle XYQ = \angle XYZ + \angle ZYQ = 64^o + 58^o = 122^o$।

(A) चूँकि $TQR$ एक सीधी रेखा है,
$\therefore \angle TQP + \angle PQR = 180^o$ [रैखिक युग्म अभिगृहीत]
$\Rightarrow 110^o + \angle PQR = 180^o$
$\Rightarrow \angle PQR = 180^o - 110^o = 70^o$
अब,$\Delta PQR$ के लिए,भुजा $QP$ को $S$ तक बढ़ाया गया है।
अतः,$\angle SPR$ त्रिभुज $\Delta PQR$ का एक बहिष्कोण है।
बहिष्कोण गुणधर्म के अनुसार,बहिष्कोण का मान उसके अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
$\therefore \angle SPR = \angle PQR + \angle PRQ$
$135^o = 70^o + \angle PRQ$
$\Rightarrow \angle PRQ = 135^o - 70^o$
$\Rightarrow \angle PRQ = 65^o$

(NONE) एक रेखा तब बनती है जब एक बिंदु के चारों ओर आसन्न कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$AOC$ के एक रेखा होने के लिए,कोणों का योग $\angle AOB + \angle BOC = 180^{\circ}$ होना चाहिए।
यहाँ $\angle AOB = 100^{\circ}$ और $\angle BOC = 82^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए उनका योग $100^{\circ} + 82^{\circ} = 182^{\circ}$ है।
चूँकि $182^{\circ} \neq 180^{\circ}$,इसलिए $AOC$ एक सीधी रेखा नहीं है।
इसी प्रकार,$BOD$ के एक रेखा होने के लिए,कोणों का योग $\angle BOC + \angle COD = 180^{\circ}$ होना चाहिए।
यहाँ $\angle BOC = 82^{\circ}$ और $\angle COD = 100^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए उनका योग $82^{\circ} + 100^{\circ} = 182^{\circ}$ है।
चूँकि $182^{\circ} \neq 180^{\circ}$,इसलिए $BOD$ भी एक सीधी रेखा नहीं है।

(C) एक रेखा बिंदुओं का एक संग्रह है जो दोनों दिशाओं में अनंत तक फैली होती है। रेखा का वह भाग जिसके दो निश्चित अंत बिंदु होते हैं,उसे रेखाखंड कहा जाता है। अतः,सही उत्तर रेखाखंड है।

(B) रेखा एक सीधा पथ है जो दोनों दिशाओं में अनंत तक फैला होता है। रेखाखंड रेखा का वह भाग है जिसके दो अंत बिंदु होते हैं। किरण रेखा का वह भाग है जो एक बिंदु (अंत बिंदु) से शुरू होती है और एक दिशा में अनंत तक जाती है। इसलिए,रेखा का एक भाग जिसका एक अंत बिंदु होता है,उसे किरण कहा जाता है।

(D) वह कोण जिसका माप ठीक $180^{\circ}$ होता है,उसे ऋजु कोण (सरल कोण) कहा जाता है। यह कोण एक सीधी रेखा को दर्शाता है।

(B) वह कोण जिसका माप ठीक $90^{\circ}$ होता है,उसे समकोण कहा जाता है। अतः,सही उत्तर समकोण है।

(C) वह कोण जिसका माप $180^{\circ}$ से अधिक और $360^{\circ}$ से कम होता है,उसे प्रतिवर्ती कोण (reflex angle) कहा जाता है।