Mix Examples - Lines and Angles Questions in Hindi

(D) $\Delta PRT$ में,
$\angle P + \angle R + \angle PTR = 180^\circ$ [त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म द्वारा]
$\Rightarrow 95^\circ + 40^\circ + \angle PTR = 180^\circ$
$\Rightarrow \angle PTR = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$
चूँकि रेखाएँ $PQ$ और $RS$ बिंदु $T$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।
$\therefore \angle QTS = \angle PTR = 45^\circ$
अब,$\Delta TQS$ में,
$\angle TSQ + \angle STQ + \angle SQT = 180^\circ$ [त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म द्वारा]
$\Rightarrow 75^\circ + 45^\circ + \angle SQT = 180^\circ$
$\Rightarrow 120^\circ + \angle SQT = 180^\circ$
$\Rightarrow \angle SQT = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$
अतः,$\angle SQT = 60^\circ$.

(A) $\Delta QRS$ में,भुजा $SR$ को $T$ तक बढ़ाया गया है।
अतः,बहिष्कोण $\angle QRT = \angle RQS + \angle RSQ$ (बहिष्कोण गुणधर्म)।
दिया है $\angle RQS = 28^o$ और $\angle QRT = 65^o$।
अतः,$28^o + \angle RSQ = 65^o$।
$\angle RSQ = 65^o - 28^o = 37^o$।
चूँकि $PQ \parallel SR$ और $QS$ एक तिर्यक रेखा है,अतः एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं।
इसलिए,$\angle PQS = \angle RSQ$।
$x = 37^o$।
दिया है $PQ \perp PS$,इसलिए $\angle SPQ = 90^o$।
$\Delta PQS$ में,त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म से,$\angle SPQ + \angle PQS + \angle PSQ = 180^o$।
$90^o + x + y = 180^o$।
$90^o + 37^o + y = 180^o$।
$127^o + y = 180^o$।
$y = 180^o - 127^o = 53^o$।
अतः,$x = 37^o$ और $y = 53^o$।

(B) दिया गया है कि $AB \parallel CD \parallel EF$ और $PQ \parallel RS$ है।
आकृति के अनुसार,$\angle QRS$ समांतर रेखाओं $PQ$ और $RS$ के बीच तिर्यक रेखा $QR$ द्वारा बनाया गया कोण है।
गणना के अनुसार,$\angle QRS = 180^{\circ} - (25^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 85^{\circ} = 95^{\circ}$ होना चाहिए,लेकिन विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $145^{\circ}$ है।

(C) चूंकि $POQ$ एक सीधी रेखा है,इसलिए बिंदु $O$ पर रेखा के एक ही ओर बने कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है (रैखिक युग्म अभिगृहीत)।
अतः,हमारे पास है:
$40^{\circ} + 4x + 3x = 180^{\circ}$
$40^{\circ} + 7x = 180^{\circ}$
$7x = 180^{\circ} - 40^{\circ}$
$7x = 140^{\circ}$
$x = 140^{\circ} / 7$
$x = 20^{\circ}$

(B) एक सीधी रेखा $CD$ पर बिंदु $O$ के चारों ओर के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
आकृति से,हमारे पास $\angle COE + \angle EOA + \angle AOD = 180^{\circ}$ है।
यहाँ $\angle COE = 2y$,$\angle EOA = 2y$ दिया गया है और $\angle AOD$,$\angle BOF$ का शीर्षाभिमुख कोण है,इसलिए $\angle AOD = \angle BOF = 5y$।
अतः,$2y + 2y + 5y = 180^{\circ}$।
$9y = 180^{\circ}$।
$y = 20^{\circ}$।

(N/A) दिया है: $AP$,$\angle MAB$ का समद्विभाजक है और $BQ$,$\angle SBA$ का समद्विभाजक है। हमें दिया गया है कि $AP \parallel BQ$ है।
चूंकि $AP \parallel BQ$ है और $t$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होंगे:
$\angle 2 = \angle 3$ (एकांतर अंतःकोण)
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$2 \angle 2 = 2 \angle 3$
चूंकि $AP$ और $BQ$ समद्विभाजक हैं:
$\angle 1 = \angle 2$ और $\angle 3 = \angle 4$
अतः,$\angle 1 + \angle 2 = \angle 3 + \angle 4$
इसका अर्थ है कि $\angle MAB = \angle SBA$ है।
चूंकि एकांतर अंतःकोण $\angle MAB$ और $\angle SBA$ बराबर हैं,इसलिए रेखाएं $l$ और $m$ समांतर होनी चाहिए,अर्थात $l \parallel m$।

(B) दिया गया है कि $DE \parallel QR$ है और रेखा $n$ एक तिर्यक रेखा है जो उन्हें काटती है।
चूंकि एक तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए:
$\angle EAB + \angle RBA = 180^{\circ}$।
चूंकि $AP$,$\angle EAB$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle PAB = \frac{1}{2} \angle EAB$।
चूंकि $BP$,$\angle RBA$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle PBA = \frac{1}{2} \angle RBA$।
इन्हें जोड़ने पर,$\angle PAB + \angle PBA = \frac{1}{2} (\angle EAB + \angle RBA) = \frac{1}{2} (180^{\circ}) = 90^{\circ}$।
$\Delta APB$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle APB + \angle PAB + \angle PBA = 180^{\circ}$।
मान प्रतिस्थापित करने पर,$\angle APB + 90^{\circ} = 180^{\circ}$।
अतः,$\angle APB = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$।

(N/A) दिया है: $\triangle ABC$ में,$\angle BAC = 90^{\circ}$ और $AL \perp BC$ है।
सिद्ध करना है: $\angle BAL = \angle ACB$.
उपपत्ति:
$\triangle ABC$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$
$90^{\circ} + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$
$\angle ABC + \angle ACB = 90^{\circ} \quad \dots(1)$
$\triangle BAL$ में,$\angle ALB = 90^{\circ}$ (क्योंकि $AL \perp BC$ है)।
अतः,$\angle BAL + \angle ABL + \angle ALB = 180^{\circ}$
$\angle BAL + \angle ABC + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BAL + \angle ABC = 90^{\circ} \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से:
$\angle BAL + \angle ABC = \angle ACB + \angle ABC$
दोनों पक्षों से $\angle ABC$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle BAL = \angle ACB$.
इति सिद्धम्।

(N/A) मान लीजिए कि $A$ और $B$ पर अभिलंब $P$ पर मिलते हैं।
चूंकि दर्पण एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए $BP \parallel OA$ और $AP \parallel OB$ है।
अतः,$BP \perp PA$,अर्थात $\angle BPA = 90^{\circ}$ है।
$\triangle BPA$ में,कोण योग गुणधर्म के अनुसार:
$\angle 2 + \angle 3 + \angle BPA = 180^{\circ}$
$\angle 2 + \angle 3 + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle 2 + \angle 3 = 90^{\circ} ......(1)$
परावर्तन के नियमों के अनुसार,आपतन कोण परावर्तन कोण के बराबर होता है:
$\angle 1 = \angle 2$ और $\angle 3 = \angle 4$
इन मानों को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\angle 1 + \angle 4 = 90^{\circ} ......(2)$
अब,कोणों $\angle CAB$ और $\angle DBA$ के योग पर विचार करें:
$\angle CAB + \angle DBA = (\angle 1 + \angle 2) + (\angle 3 + \angle 4)$
$= 2\angle 2 + 2\angle 3 = 2(\angle 2 + \angle 3)$
$= 2(90^{\circ}) = 180^{\circ}$
चूंकि तिर्यक रेखा $AB$ के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए रेखाएं $CA$ और $BD$ समांतर होनी चाहिए।
अतः,$CA \parallel BD$।

(N/A) त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें। त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार,हमारे पास है:
$\angle A + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$
पूरे समीकरण को $2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle ABC + \frac{1}{2} \angle ACB = 90^{\circ}$
चूंकि $BO$ और $CO$ क्रमशः $\angle B$ और $\angle C$ के कोण समद्विभाजक हैं,हम $\angle OBC = \frac{1}{2} \angle ABC$ और $\angle OCB = \frac{1}{2} \angle ACB$ लिख सकते हैं। इन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} \angle A + \angle OBC + \angle OCB = 90^{\circ} .......(1)$
अब,त्रिभुज $OBC$ पर विचार करें। त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार:
$\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^{\circ} .......(2)$
समीकरण $(1)$ से,हमारे पास $(\angle OBC + \angle OCB) = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle A$ है। इसे समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\angle BOC + (90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle A) = 180^{\circ}$
अतः,$\angle BOC = 180^{\circ} - 90^{\circ} + \frac{1}{2} \angle A$
$\angle BOC = 90^{\circ} + \frac{1}{2} \angle A$.

(N/A) दिया है : $\triangle ABC$,$BC$ को $D$ तक बढ़ाइए और $\angle ABC$ तथा $\angle ACD$ के समद्विभाजक बिंदु $T$ पर मिलते हैं।
सिद्ध करना है : $\angle BTC = \frac{1}{2} \angle BAC$
उपपत्ति : $\triangle ABC$ में,$\angle ACD$ एक बाह्य कोण है।
$\therefore \angle ACD = \angle ABC + \angle CAB$
[त्रिभुज का बाह्य कोण उसके दो विपरीत आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है]
$\Rightarrow \frac{1}{2} \angle ACD = \frac{1}{2} \angle CAB + \frac{1}{2} \angle ABC$ [दोनों पक्षों को $2$ से भाग देने पर]
$\Rightarrow \angle TCD = \frac{1}{2} \angle CAB + \frac{1}{2} \angle ABC .....(1)$
[चूँकि $CT$,$\angle ACD$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle TCD = \frac{1}{2} \angle ACD$]
$\triangle BTC$ में,$\angle TCD$ एक बाह्य कोण है।
$\therefore \angle TCD = \angle BTC + \angle CBT$
[त्रिभुज का बाह्य कोण उसके दो विपरीत आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है]
$\Rightarrow \angle TCD = \angle BTC + \frac{1}{2} \angle ABC .....(2)$
[चूँकि $BT$,$\angle ABC$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle CBT = \frac{1}{2} \angle ABC$]
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है
$\frac{1}{2} \angle CAB + \frac{1}{2} \angle ABC = \angle BTC + \frac{1}{2} \angle ABC$
$\Rightarrow \frac{1}{2} \angle CAB = \angle BTC$ या $\angle BTC = \frac{1}{2} \angle BAC$
अतः,सिद्ध हुआ।

(N/A) मान लीजिए $AB$ एक दी गई रेखा है और $P$ रेखा के बाहर एक बिंदु है।
बिंदु $P$ से,रेखा $AB$ पर एक लंब $PM$ खींचिए,ताकि $\angle PMB = 90^{\circ}$ हो।
मान लीजिए,यदि संभव हो,तो हम रेखा $AB$ पर एक और लंब $PN$ खींच सकते हैं,ताकि $\angle PNB = 90^{\circ}$ हो।
$\triangle PMN$ में,चूंकि $\angle PMB = 90^{\circ}$ और $\angle PNB = 90^{\circ}$ है,हम देखते हैं कि यदि $N$ और $M$ अलग-अलग बिंदु हैं,तो $\triangle PMN$ में दो कोण $90^{\circ}$ के होंगे,जिसका अर्थ है कि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ से अधिक हो जाएगा। यह त्रिभुज के कोण योग गुण का विरोधाभास करता है।
इसलिए,बिंदु $M$ और $N$ संपाती होने चाहिए।
अतः,एक दिए गए बिंदु से,हम एक दी गई रेखा पर केवल एक ही लंब खींच सकते हैं।

(N/A) दिया है: $\triangle PQR$ में,$\angle Q > \angle R$,$PA$,$\angle QPR$ का समद्विभाजक है और $PM \perp QR$ है।
सिद्ध करना है: $\angle APM = \frac{1}{2}(\angle Q - \angle R)$।
उपपत्ति:
$1$. चूँकि $PA$,$\angle QPR$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle QPA = \angle APR = \frac{1}{2} \angle QPR$ है।
$2$. $\triangle PQM$ में,$\angle Q + \angle PMQ + \angle QPM = 180^{\circ}$। चूँकि $\angle PMQ = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle Q + 90^{\circ} + \angle QPM = 180^{\circ}$,अतः $\angle Q = 90^{\circ} - \angle QPM$।
$3$. $\triangle PRM$ में,$\angle R + \angle PMR + \angle RPM = 180^{\circ}$। चूँकि $\angle PMR = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle R + 90^{\circ} + \angle RPM = 180^{\circ}$,अतः $\angle R = 90^{\circ} - \angle RPM$।
$4$. दोनों समीकरणों को घटाने पर: $\angle Q - \angle R = (90^{\circ} - \angle QPM) - (90^{\circ} - \angle RPM) = \angle RPM - \angle QPM$।
$5$. हम लिख सकते हैं कि $\angle RPM = \angle APM + \angle APR$ और $\angle QPM = \angle QPA - \angle APM$।
$6$. इन मानों को रखने पर: $\angle Q - \angle R = (\angle APM + \angle APR) - (\angle QPA - \angle APM)$।
$7$. चूँकि $\angle QPA = \angle APR$ है,इसलिए यह सरल होकर $\angle Q - \angle R = 2 \angle APM$ हो जाता है।
$8$. अतः,$\angle APM = \frac{1}{2}(\angle Q - \angle R)$। इति सिद्धम्।

(N/A) चूँकि $AB$ एक सीधी रेखा है,$\angle APC + \angle BPC = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म कोण)।
दिया गया है कि $\angle APC : \angle BPC = 7 : 8$ है।
माना $\angle APC = 7x$ और $\angle BPC = 8x$ है।
अतः,$7x + 8x = 180^{\circ}$।
$15x = 180^{\circ}$।
$x = \frac{180^{\circ}}{15} = 12^{\circ}$।
इसलिए,$\angle APC = 7 \times 12^{\circ} = 84^{\circ}$ और $\angle BPC = 8 \times 12^{\circ} = 96^{\circ}$ है।
चूँकि रेखाएँ $AB$ और $CD$ बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।
अतः,$\angle DPB = \angle APC = 84^{\circ}$ और $\angle APD = \angle BPC = 96^{\circ}$ है।
इस प्रकार,चारों कोण $84^{\circ}, 96^{\circ}, 84^{\circ}$ और $96^{\circ}$ हैं।

(A) चूंकि किरण $YW$ रेखा $XYZ$ पर स्थित है,इसलिए $\angle WYZ + \angle WYX = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म कोण)।
दिया गया है कि $\angle WYZ : \angle WYX = 1 : 2$,इसलिए मान लीजिए $\angle WYZ = x$ और $\angle WYX = 2x$ है।
अतः,$x + 2x = 180^{\circ} \implies 3x = 180^{\circ} \implies x = 60^{\circ}$।
इस प्रकार,$\angle WYZ = 60^{\circ}$ और $\angle WYX = 120^{\circ}$ है।
किरण $YQ$,$\angle WYZ$ का कोण समद्विभाजक है,इसलिए $\angle WYQ = \frac{1}{2} \times \angle WYZ = \frac{1}{2} \times 60^{\circ} = 30^{\circ}$।
किरण $YP$,$\angle WYX$ का कोण समद्विभाजक है,इसलिए $\angle WYP = \frac{1}{2} \times \angle WYX = \frac{1}{2} \times 120^{\circ} = 60^{\circ}$।
अंत में,$\angle PYQ = \angle WYQ + \angle WYP = 30^{\circ} + 60^{\circ} = 90^{\circ}$।

(N/A) दिया गया है कि $AB \perp CD$,इसलिए $\angle ABC = 90^{\circ}$ है।
आकृति से,$\angle ABC = x + y + z = 90^{\circ}$ है।
कोणों का अनुपात $x : y : z = 4 : 5 : 6$ दिया गया है।
मान लीजिए कि कोण क्रमशः $4k, 5k$ और $6k$ हैं।
अनुपातों का योग $= 4 + 5 + 6 = 15$ है।
इसलिए,$15k = 90^{\circ}$,जिससे हमें $k = \frac{90^{\circ}}{15} = 6^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अब,मानों की गणना करते हैं:
$x = 4k = 4 \times 6^{\circ} = 24^{\circ}$
$y = 5k = 5 \times 6^{\circ} = 30^{\circ}$
$z = 6k = 6 \times 6^{\circ} = 36^{\circ}$
अतः,$x = 24^{\circ}, y = 30^{\circ}$ और $z = 36^{\circ}$ है।

(N/A) दिया गया है कि रेखाएँ $AB$ और $CD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
चूँकि $AB$ एक सीधी रेखा है,रेखा के एक ओर के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle AOC + \angle COE + \angle BOE = 180^{\circ}.$
हमें $\angle AOC + \angle BOE = 100^{\circ}$ दिया गया है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $100^{\circ} + \angle COE = 180^{\circ},$
जिससे $\angle COE = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $AB$ और $CD$ सीधी रेखाएँ हैं,शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।
अतः,$\angle AOC = \angle BOD = 40^{\circ}.$
दिए गए समीकरण $\angle AOC + \angle BOE = 100^{\circ}$ का उपयोग करने पर,
$40^{\circ} + \angle BOE = 100^{\circ},$
$\angle BOE = 100^{\circ} - 40^{\circ} = 60^{\circ}.$
अंत में,प्रतिवर्ती $\angle COE = 360^{\circ} - \angle COE = 360^{\circ} - 80^{\circ} = 280^{\circ}$ होगा।

(N/A) दिया गया है कि किरण $QS \perp PR$,इसलिए $\angle PQS = \angle SQR = 90^{\circ}$।
चूंकि $\angle PQT + \angle TQS = \angle PQS$,इसलिए $b + a = 90^{\circ}$।
दिया है $a: b = 7: 11$,मान लीजिए $a = 7x$ और $b = 11x$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $7x + 11x = 90^{\circ} \implies 18x = 90^{\circ} \implies x = 5^{\circ}$।
अतः,$a = 7 \times 5^{\circ} = 35^{\circ}$ और $b = 11 \times 5^{\circ} = 55^{\circ}$।
चूंकि $PR$ एक सीधी रेखा है,इसलिए $\angle PQT + \angle TQR = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म)।
$b + \angle TQR = 180^{\circ} \implies 55^{\circ} + \angle TQR = 180^{\circ} \implies \angle TQR = 125^{\circ}$।
रेखाएं $PR$ और $TU$ बिंदु $Q$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।
अतः,$c = \angle PQT = b = 55^{\circ}$।
प्रतिवर्ती $\angle TQR = 360^{\circ} - \angle TQR = 360^{\circ} - 125^{\circ} = 235^{\circ}$।

(A) आकृति में दिखाए अनुसार बिंदु $X$ से होकर जाने वाली एक रेखा $PQ \parallel AB$ खींचिए।
अब,$PQ \parallel AB$ और $AB \parallel CD$ है।
इसलिए,$CD \parallel PQ$ (चूंकि $AB \parallel CD$ और $AB \parallel PQ$ है)।
समांतर रेखाओं $AB$ और $PQ$ को काटने वाली तिर्यक रेखा $MX$ पर विचार करें। तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण संपूरक होते हैं।
$\therefore \angle BMX + \angle MXQ = 180^{\circ}$
दिया है $\angle BMX = 125^{\circ}$,अतः:
$125^{\circ} + \angle MXQ = 180^{\circ}$
$\therefore \angle MXQ = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}$ $(1)$
अब,समांतर रेखाओं $CD$ और $PQ$ को काटने वाली तिर्यक रेखा $NX$ पर विचार करें। एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं।
$\therefore \angle NXQ = \angle XNC = 55^{\circ}$ $(2)$
अंत में,$\angle MXN = \angle MXQ + \angle NXQ$ है।
$(1)$ और $(2)$ से मान रखने पर:
$\angle MXN = 55^{\circ} + 55^{\circ} = 110^{\circ}$.

$(96^{\circ})$ दिया है: $PQ \parallel RS$ और $RS \parallel TU$ है।
चूंकि एक ही रेखा के समांतर रेखाएं एक-दूसरे के समांतर होती हैं,इसलिए $PQ \parallel TU$ होगा।
अतः,$x = z$ (एकांतर अंतःकोण)।
अब,$PQ \parallel RS$ के लिए,तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण संपूरक होते हैं।
अतः,$x + y = 180^{\circ}$।
समीकरण में $x = z$ रखने पर,हमें $z + y = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अनुपात $y: z = 7: 8$ दिया गया है,इसलिए मान लीजिए $y = 7k$ और $z = 8k$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $7k + 8k = 180^{\circ} \implies 15k = 180^{\circ} \implies k = 12^{\circ}$।
इस प्रकार,$y = 7 \times 12^{\circ} = 84^{\circ}$ और $z = 8 \times 12^{\circ} = 96^{\circ}$।
चूंकि $x = z$ है,इसलिए $x = 96^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $PQ || RS$ और $RS || MN$ है। इसलिए,$PQ || MN$ होगा।
आकृति से,$x$ और $y$ रेखाओं $PQ$ और $RS$ के बीच तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण हैं,इसलिए $x + y = 180^o$।
इसी प्रकार,$y$ और $z$ रेखाओं $RS$ और $MN$ के बीच तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण हैं,इसलिए $y + z = 180^o$।
इसका अर्थ है कि $x = z$ (क्योंकि दोनों $y$ के संपूरक कोण हैं)।
दिया है $y: z = 7: 11$,मान लीजिए $y = 7k$ और $z = 11k$ है।
चूंकि $y + z = 180^o$,इसलिए $7k + 11k = 180^o$,जिससे $18k = 180^o$ प्राप्त होता है,अतः $k = 10^o$।
इस प्रकार,$y = 7 \times 10^o = 70^o$ और $z = 11 \times 10^o = 110^o$।
चूंकि $x + y = 180^o$,इसलिए $x + 70^o = 180^o$।
अतः,$x = 180^o - 70^o = 110^o$।

(N/A) $1$. दिया है: $PQ \parallel RS$,$YZ \perp RS$ (अर्थात $\angle YZS = 90^{\circ}$),और $\angle SZX = 143^{\circ}$।
$2$. चूँकि $RS$ एक सीधी रेखा है,$\angle RZX + \angle SZX = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म)।
$\angle RZX + 143^{\circ} = 180^{\circ} \implies \angle RZX = 37^{\circ}$।
$3$. चूँकि $PQ \parallel RS$,एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं। अतः,$\angle PXZ = \angle RZX = 37^{\circ}$।
$4$. चूँकि $YZ \perp RS$,$\angle YZS = 90^{\circ}$। साथ ही,$\angle XZY = \angle YZS - \angle XZS$। शीर्षाभिमुख कोण होने के कारण $\angle XZS = \angle RZX = 37^{\circ}$। अतः,$\angle XZY = 90^{\circ} - 37^{\circ} = 53^{\circ}$।
$5$. $\triangle XYZ$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। $\angle YXZ + \angle XZY + \angle XYZ = 180^{\circ}$। चूँकि $PQ \parallel RS$ और $YZ \perp RS$,$\angle XYZ = 90^{\circ}$।
$\angle YXZ + 53^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \implies \angle YXZ = 180^{\circ} - 143^{\circ} = 37^{\circ}$।

(B) $\angle BPC$ ज्ञात करने के लिए,बिंदु $P$ से होकर जाने वाली एक रेखा $EF$ खींचिए ताकि $EF \parallel AB$ हो। चूँकि $AB \parallel CD$ और $EF \parallel AB$,इसलिए $EF \parallel CD$ होगा।
$1$. समांतर रेखाओं $AB$ और $EF$ पर विचार करें। चूँकि $BP$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle PBA + \angle BPE = 180^{\circ}$
$140^{\circ} + \angle BPE = 180^{\circ}$
$\angle BPE = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$.
$2$. समांतर रेखाओं $CD$ और $EF$ पर विचार करें। चूँकि $CP$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle PCD + \angle CPE = 180^{\circ}$
$130^{\circ} + \angle CPE = 180^{\circ}$
$\angle CPE = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$.
$3$. अब,$\angle BPC = \angle BPE + \angle CPE = 40^{\circ} + 50^{\circ} = 90^{\circ}$.

(C) दिया गया है कि $AB \parallel CD$ है।
चूंकि $AB \parallel CD$ है और $XY$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं। अतः,$\angle C Y X = \angle AXY = 80^{\circ}$।
चूंकि $CYD$ एक सीधी रेखा है,इसलिए $\angle C Y X + \angle X Y Z = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म)।
$AB \parallel CD$ के कारण,$\angle AXY + \angle X Y C = 180^{\circ}$ (क्रमागत अंतःकोण)।
$80^{\circ} + \angle X Y C = 180^{\circ} \implies \angle X Y C = 100^{\circ}$।
चूंकि $CYD$ एक सीधी रेखा है,$\angle X Y C + \angle X Y Z = 180^{\circ} \implies 100^{\circ} + x = 180^{\circ} \implies x = 80^{\circ}$।
अब,$\angle XZD = 140^{\circ}$ के लिए,$CYD$ एक सीधी रेखा है,अतः $\angle X Z Y + \angle X Z D = 180^{\circ} \implies \angle X Z Y + 140^{\circ} = 180^{\circ} \implies \angle X Z Y = 40^{\circ}$।
$\triangle XYZ$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle X Y Z + \angle X Z Y + \angle Y X Z = 180^{\circ} \implies 80^{\circ} + 40^{\circ} + y = 180^{\circ} \implies 120^{\circ} + y = 180^{\circ} \implies y = 60^{\circ}$।
अतः,$x = 80^{\circ}$ और $y = 60^{\circ}$।

(N/A) $\Delta ABC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle A + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$.
$\therefore \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} - \angle A \quad \dots(1)$
$\angle B$ और $\angle C$ के समद्विभाजक $I$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$\therefore \angle IBC = \frac{1}{2} \angle ABC$ और $\angle ICB = \frac{1}{2} \angle ACB$.
$\Delta IBC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle BIC + \angle IBC + \angle ICB = 180^{\circ}$.
$\therefore \angle BIC = 180^{\circ} - (\angle IBC + \angle ICB)$.
$\angle IBC$ और $\angle ICB$ के मान रखने पर:
$\therefore \angle BIC = 180^{\circ} - \left[ \frac{1}{2} \angle ABC + \frac{1}{2} \angle ACB \right]$.
$\therefore \angle BIC = 180^{\circ} - \frac{1}{2} (\angle ABC + \angle ACB)$.
समीकरण $(1)$ का उपयोग करने पर:
$\therefore \angle BIC = 180^{\circ} - \frac{1}{2} (180^{\circ} - \angle A)$.
$\therefore \angle BIC = 180^{\circ} - 90^{\circ} + \frac{1}{2} \angle A$.
$\therefore \angle BIC = 90^{\circ} + \frac{1}{2} \angle A$.

(N/A) $\Delta ABC$ में,$\angle ACD$ एक बहिष्कोण है। बहिष्कोण प्रमेय के अनुसार,$\angle ACD = \angle BAC + \angle ABC$।
$\Delta EBC$ में,$\angle ECD$ एक बहिष्कोण है। इसलिए,$\angle ECD = \angle EBC + \angle BEC$।
चूंकि $BE$,$\angle ABC$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle EBC = \frac{1}{2} \angle ABC$।
चूंकि $CE$,$\angle ACD$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle ECD = \frac{1}{2} \angle ACD = \frac{1}{2} (\angle BAC + \angle ABC)$।
इन मानों को $\Delta EBC$ के समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{2} (\angle BAC + \angle ABC) = \frac{1}{2} \angle ABC + \angle BEC$।
सरल करने पर,$\frac{1}{2} \angle BAC + \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \angle ABC + \angle BEC$।
अतः,$\angle BEC = \frac{1}{2} \angle BAC$।