Pairs of Angles Questions in Hindi

(N/A) किरण $BO$,$\angle CBE$ का समद्विभाजक है।
अतः,$\angle CBO = \frac{1}{2} \angle CBE = \frac{1}{2}(180^o - y) = 90^o - \frac{y}{2}$ ......... $(1)$
इसी प्रकार,किरण $CO$,$\angle BCD$ का समद्विभाजक है।
अतः,$\angle BCO = \frac{1}{2} \angle BCD = \frac{1}{2}(180^o - z) = 90^o - \frac{z}{2}$ ......... $(2)$
$\Delta BOC$ में,$\angle BOC + \angle BCO + \angle CBO = 180^o$ ......... $(3)$
$(1)$ और $(2)$ का मान $(3)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle BOC + (90^o - \frac{z}{2}) + (90^o - \frac{y}{2}) = 180^o$
$\angle BOC + 180^o - \frac{1}{2}(y + z) = 180^o$
$\angle BOC = \frac{1}{2}(y + z)$ ......... $(4)$
$\Delta ABC$ में,$x + y + z = 180^o$ (त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म से)।
अतः,$y + z = 180^o - x$.
इसे $(4)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\angle BOC = \frac{1}{2}(180^o - x) = 90^o - \frac{x}{2} = 90^o - \frac{1}{2} \angle BAC$.

(N/A) $\Delta PQR$ में,भुजा $QR$ को $S$ तक बढ़ाया गया है।
$\therefore$ बहिष्कोण $\angle PRS = \text{अंतः अभिमुख कोणों का योग}$
$\Rightarrow \angle PRS = \angle P + \angle Q$
चूंकि $QT$ और $RT$ क्रमशः $\angle PQR$ और $\angle PRS$ के समद्विभाजक हैं,
$\therefore \angle TQR = \frac{1}{2} \angle PQR$ और $\angle TRS = \frac{1}{2} \angle PRS$.
अब,$\Delta QRT$ में,बहिष्कोण $\angle TRS = \angle TQR + \angle QTR$.
मान रखने पर:
$\frac{1}{2} \angle PRS = \frac{1}{2} \angle PQR + \angle QTR$
$\angle QTR = \frac{1}{2} \angle PRS - \frac{1}{2} \angle PQR$
$\angle QTR = \frac{1}{2} (\angle PRS - \angle PQR)$
चूंकि $\angle PRS = \angle P + \angle PQR$ (बहिष्कोण गुणधर्म),
$\angle QTR = \frac{1}{2} (\angle P + \angle PQR - \angle PQR)$
$\angle QTR = \frac{1}{2} \angle P$
अर्थात्,$\angle QTR = \frac{1}{2} \angle QPR$।

(N/A) दी गई आकृति में,$x$ और $y$ बिंदु $B$ पर बने दो आसन्न कोण हैं।
$ABC$ के एक सीधी रेखा होने के लिए,आसन्न कोणों $x$ और $y$ का योग $180^{\circ}$ होना चाहिए।
यह रैखिक युग्म अभिगृहीत पर आधारित है,जो बताता है कि यदि कोई किरण एक रेखा पर खड़ी हो,तो इस प्रकार बने दो आसन्न कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$x + y = 180^{\circ}$।

(B) नहीं,यह आवश्यक नहीं है कि इनमें से प्रत्येक कोण एक समकोण हो।
दो आसन्न कोणों को उन कोणों के रूप में परिभाषित किया जाता है जिनमें एक उभयनिष्ठ शीर्ष,एक उभयनिष्ठ भुजा और उभयनिष्ठ भुजा के विपरीत दिशाओं में गैर-उभयनिष्ठ भुजाएँ होती हैं।
यदि दो आसन्न कोण बराबर हैं,तो मान लीजिए कि प्रत्येक कोण $x$ है। उनका योग $2x$ है।
इन कोणों के समकोण $(90^{\circ})$ होने के लिए,उनका योग $180^{\circ}$ होना चाहिए (अर्थात,उन्हें रैखिक युग्म बनाना चाहिए)।
हालाँकि,आसन्न कोण किसी भी माप के हो सकते हैं जब तक कि वे आसन्नता की परिभाषा को पूरा करते हैं। उदाहरण के लिए,$45^{\circ}$ के दो आसन्न कोण बराबर हैं लेकिन वे समकोण नहीं हैं।

(N/A) दिया है: आकृति में,$OD \perp OE$ है। $OD$ और $OE$ क्रमशः $\angle AOC$ और $\angle BOC$ के समद्विभाजक हैं।
सिद्ध करना है: बिंदु $A, O$ और $B$ संरेख हैं,अर्थात $AOB$ एक सीधी रेखा है।
उपपत्ति: चूँकि $OD$ और $OE$ क्रमशः $\angle AOC$ और $\angle BOC$ को समद्विभाजित करते हैं,
$\angle AOC = 2 \angle DOC$ ---$(1)$
$\angle BOC = 2 \angle COE$ ---$(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle AOC + \angle BOC = 2 \angle DOC + 2 \angle COE$
$\Rightarrow \angle AOC + \angle BOC = 2(\angle DOC + \angle COE)$
$\Rightarrow \angle AOC + \angle BOC = 2 \angle DOE$
चूँकि $OD \perp OE$,इसलिए $\angle DOE = 90^{\circ}$ है।
$\Rightarrow \angle AOC + \angle BOC = 2 \times 90^{\circ} = 180^{\circ}$।
चूँकि आसन्न कोणों $\angle AOC$ और $\angle BOC$ का योग $180^{\circ}$ है,वे एक रैखिक युग्म बनाते हैं। अतः,$AOB$ एक सीधी रेखा है और बिंदु $A, O$ और $B$ संरेख हैं।

(N/A) दिया है: दो रेखाएँ $AB$ और $CD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है:
$(i)$ $\angle AOC = \angle BOD$
$(ii)$ $\angle AOD = \angle BOC$
उपपत्ति:
$(i)$ चूँकि किरण $OA$,रेखा $CD$ पर स्थित है,रैखिक युग्म अभिगृहीत के अनुसार:
$\angle AOC + \angle AOD = 180^{\circ}$ ....$(1)$
इसी प्रकार,चूँकि किरण $OD$,रेखा $AB$ पर स्थित है,रैखिक युग्म अभिगृहीत के अनुसार:
$\angle AOD + \angle BOD = 180^{\circ}$ ....$(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\angle AOC + \angle AOD = \angle AOD + \angle BOD$
दोनों पक्षों से $\angle AOD$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle AOC = \angle BOD$
अतः,सिद्ध हुआ।
$(ii)$ चूँकि किरण $OD$,रेखा $AB$ पर स्थित है,रैखिक युग्म अभिगृहीत के अनुसार:
$\angle AOD + \angle BOD = 180^{\circ}$ ....$(3)$
इसी प्रकार,चूँकि किरण $OB$,रेखा $CD$ पर स्थित है,रैखिक युग्म अभिगृहीत के अनुसार:
$\angle BOD + \angle BOC = 180^{\circ}$ ....$(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\angle AOD + \angle BOD = \angle BOD + \angle BOC$
दोनों पक्षों से $\angle BOD$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle AOD = \angle BOC$
अतः,सिद्ध हुआ।

(N/A) दिया गया है कि $\angle ABC = 70^{\circ}$ और $\angle ACB = 60^{\circ}$ है।
चूंकि $DBC$ एक सीधी रेखा है,इसलिए $\angle ABC$ और $\angle ABD$ रैखिक युग्म बनाते हैं।
अतः,$\angle ABD + \angle ABC = 180^{\circ}$।
$\angle ABD + 70^{\circ} = 180^{\circ} \implies \angle ABD = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$।
इसी प्रकार,$\angle ACB$ और $\angle ACE$ सीधी रेखा $BCE$ पर रैखिक युग्म बनाते हैं।
अतः,$\angle ACE + \angle ACB = 180^{\circ}$।
$\angle ACE + 60^{\circ} = 180^{\circ} \implies \angle ACE = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$।
इस प्रकार,$\angle ABD = 110^{\circ}$ और $\angle ACE = 120^{\circ}$।

(N/A) दिया गया है कि $\angle DBC = 70^{\circ}$ और $ABC$ एक सीधी रेखा है।
अतः,$\angle DBA + \angle DBC = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म अभिगृहीत)।
$\angle DBA + 70^{\circ} = 180^{\circ} \implies \angle DBA = 110^{\circ}$।
चूंकि किरण $BP$,$\angle DBA$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle ABP = \angle PBD = \frac{1}{2} \times \angle DBA = \frac{1}{2} \times 110^{\circ} = 55^{\circ}$।
अब,$\angle PBC = \angle PBD + \angle DBC = 55^{\circ} + 70^{\circ} = 125^{\circ}$।
$\angle PBD$ का प्रतिवर्ती कोण = $360^{\circ} - \angle PBD = 360^{\circ} - 55^{\circ} = 305^{\circ}$।

(C) दो कोण पूरक कोण कहलाते हैं यदि उनका योग $90^{\circ}$ हो।
दिया गया है कि $\angle A + \angle B = 90^{\circ}$।
साथ ही,अनुपात $\angle A : \angle B = 1 : 5$ है। मान लीजिए $\angle A = x$ और $\angle B = 5x$ है।
इन मानों को योग समीकरण में रखने पर: $x + 5x = 90^{\circ}$।
$6x = 90^{\circ}$।
$x = 90^{\circ} / 6 = 15^{\circ}$।
अतः,$\angle A = 15^{\circ}$ और $\angle B = 5 \times 15^{\circ} = 75^{\circ}$।

(A) दो कोण संपूरक होते हैं यदि उनका योग $180^{\circ}$ हो।
दिया गया है $\angle X : \angle Y = 23 : 13$,मान लीजिए $\angle X = 23k$ और $\angle Y = 13k$ है।
चूंकि वे संपूरक हैं,इसलिए $23k + 13k = 180^{\circ}$.
$36k = 180^{\circ}$.
$k = \frac{180^{\circ}}{36} = 5^{\circ}$.
अतः,$\angle X = 23 \times 5^{\circ} = 115^{\circ}$ और $\angle Y = 13 \times 5^{\circ} = 65^{\circ}$.

(A) दो कोण पूरक होते हैं यदि उनका योग $90^{\circ}$ हो।
अतः,$\angle P + \angle Q = 90^{\circ}$.
दिए गए व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $(3x + 15^{\circ}) + (x + 7^{\circ}) = 90^{\circ}$.
समान पदों को जोड़ने पर: $4x + 22^{\circ} = 90^{\circ}$.
दोनों पक्षों से $22^{\circ}$ घटाने पर: $4x = 68^{\circ}$.
$4$ से भाग देने पर: $x = 17^{\circ}$.
अब,$\angle P$ का मान ज्ञात करें: $\angle P = 3(17^{\circ}) + 15^{\circ} = 51^{\circ} + 15^{\circ} = 66^{\circ}$.
$\angle Q$ का मान ज्ञात करें: $\angle Q = 17^{\circ} + 7^{\circ} = 24^{\circ}$.
इस प्रकार,$\angle P = 66^{\circ}$ और $\angle Q = 24^{\circ}$ है।

(B) दो कोण संपूरक होते हैं यदि उनका योग $180^{\circ}$ हो।
अतः,$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$.
दिए गए व्यंजकों को रखने पर: $(3x - 10^{\circ}) + (2x + 30^{\circ}) = 180^{\circ}$.
समान पदों को जोड़ने पर: $5x + 20^{\circ} = 180^{\circ}$.
दोनों पक्षों से $20^{\circ}$ घटाने पर: $5x = 160^{\circ}$.
$5$ से भाग देने पर: $x = 32^{\circ}$.
अब,$\angle A$ ज्ञात करें: $\angle A = 3(32^{\circ}) - 10^{\circ} = 96^{\circ} - 10^{\circ} = 86^{\circ}$.
$\angle B$ ज्ञात करें: $\angle B = 2(32^{\circ}) + 30^{\circ} = 64^{\circ} + 30^{\circ} = 94^{\circ}$.
इस प्रकार,$\angle A = 86^{\circ}$ और $\angle B = 94^{\circ}$।

(A) दो कोण पूरक होते हैं यदि उनका योग $90^{\circ}$ हो।
दिया गया है: $\angle X + \angle Y = 90^{\circ}$ और $\angle X = 4 \angle Y$.
पहले समीकरण में $\angle X$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$4 \angle Y + \angle Y = 90^{\circ}$
$5 \angle Y = 90^{\circ}$
$\angle Y = 90^{\circ} / 5 = 18^{\circ}$.
अब,$\angle X$ ज्ञात कीजिए:
$\angle X = 4 \times 18^{\circ} = 72^{\circ}$.
अतः,$\angle X = 72^{\circ}$ और $\angle Y = 18^{\circ}$ है।

(D) दो कोण संपूरक होते हैं यदि उनका योग $180^{\circ}$ हो।
अतः,$\angle P + \angle Q = 180^{\circ}$.
दिया गया है कि $\angle P = 11 \angle Q$.
पहले समीकरण में $\angle P$ का मान रखने पर:
$11 \angle Q + \angle Q = 180^{\circ}$
$12 \angle Q = 180^{\circ}$
$\angle Q = \frac{180^{\circ}}{12} = 15^{\circ}$.
अब,$\angle P$ ज्ञात कीजिए:
$\angle P = 11 \times 15^{\circ} = 165^{\circ}$.
इस प्रकार,$\angle P = 165^{\circ}$ और $\angle Q = 15^{\circ}$ है।

(A) दो कोण पूरक होते हैं यदि उनका योग $90^{\circ}$ हो।
अतः,$\angle A + \angle B = 90^{\circ}$।
दिया गया है कि $\angle A = \angle B - 20^{\circ}$।
पहले समीकरण में $\angle A$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(\angle B - 20^{\circ}) + \angle B = 90^{\circ}$
$2\angle B - 20^{\circ} = 90^{\circ}$
$2\angle B = 110^{\circ}$
$\angle B = 55^{\circ}$।
अब,$\angle A$ ज्ञात कीजिए:
$\angle A = 55^{\circ} - 20^{\circ} = 35^{\circ}$।
इस प्रकार,$\angle A = 35^{\circ}$ और $\angle B = 55^{\circ}$।

(A) दो कोण संपूरक होते हैं यदि उनका योग $180^{\circ}$ हो।
दिया गया है: $\angle P + \angle Q = 180^{\circ}$ (समीकरण $1$)
दिया गया है: $\angle P = \angle Q + 35^{\circ}$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$(\angle Q + 35^{\circ}) + \angle Q = 180^{\circ}$
$2\angle Q + 35^{\circ} = 180^{\circ}$
$2\angle Q = 180^{\circ} - 35^{\circ}$
$2\angle Q = 145^{\circ}$
$\angle Q = 145^{\circ} / 2 = 72.5^{\circ}$
अब,समीकरण $2$ का उपयोग करके $\angle P$ ज्ञात करें:
$\angle P = 72.5^{\circ} + 35^{\circ} = 107.5^{\circ}$
अतः,$\angle P = 107.5^{\circ}$ और $\angle Q = 72.5^{\circ}$।

(A) चूंकि $\angle APC$ और $\angle BPD$ शीर्षाभिमुख कोण हैं,इसलिए वे बराबर होंगे।
अतः,$3x - 20^{\circ} = 2x + 30^{\circ}$.
दोनों पक्षों से $2x$ घटाने पर,हमें $x - 20^{\circ} = 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $20^{\circ}$ जोड़ने पर,$x = 50^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अब,$x = 50^{\circ}$ का मान कोणों के व्यंजकों में रखने पर:
$\angle APC = 3(50^{\circ}) - 20^{\circ} = 150^{\circ} - 20^{\circ} = 130^{\circ}$.
$\angle BPD = 2(50^{\circ}) + 30^{\circ} = 100^{\circ} + 30^{\circ} = 130^{\circ}$.
इस प्रकार,$x = 50^{\circ}$ है और दोनों कोणों की माप $130^{\circ}$ है।

(A) चूँकि $\angle ABD$ और $\angle DBC$ आसन्न कोण हैं,उनका योग $\angle ABC$ के बराबर होगा।
अतः,$\angle ABD + \angle DBC = \angle ABC$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $1.5x + 2x = 70$.
$3.5x = 70$.
$x = \frac{70}{3.5} = 20$.
अब,कोणों के माप की गणना करें:
$\angle ABD = 1.5 \times 20^{\circ} = 30^{\circ}$.
$\angle DBC = 2 \times 20^{\circ} = 40^{\circ}$.
इस प्रकार,$x = 20$,$\angle ABD = 30^{\circ}$ और $\angle DBC = 40^{\circ}$ है।

(D) मान लीजिए $\angle XYZ = 2\theta$ है। चूँकि $YM$,$\angle XYZ$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle XYM = \angle MYZ = \theta$ होगा।
चूँकि $YN$,$\angle MYZ$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle MYN = \angle NYZ = \frac{\theta}{2}$ होगा।
दिया गया है कि $\angle XYN = 45^{\circ}$,जिसे हम $\angle XYM + \angle MYN = 45^{\circ}$ के रूप में लिख सकते हैं।
मान रखने पर,हमें $\theta + \frac{\theta}{2} = 45^{\circ}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{3\theta}{2} = 45^{\circ}$ मिलता है,जिसका अर्थ है $3\theta = 90^{\circ}$,इसलिए $\theta = 30^{\circ}$।
अतः,$\angle XYZ = 2\theta = 2(30^{\circ}) = 60^{\circ}$ होगा।

(N/A) दिया गया है कि किरण $BE$,$\angle DBC$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle EBC = \angle EBD = 19^{\circ}$ है।
अतः,$\angle DBC = \angle EBC + \angle EBD = 19^{\circ} + 19^{\circ} = 38^{\circ}$ होगा।
चूंकि किरण $BD$,$\angle ABC$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle ABD = \angle DBC = 38^{\circ}$ होगा।
इस प्रकार,$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 38^{\circ} + 38^{\circ} = 76^{\circ}$ होगा।
अंत में,$\angle ABE = \angle ABD + \angle DBE = 38^{\circ} + 19^{\circ} = 57^{\circ}$ होगा।

(A) चूंकि $\angle ABC$ और $\angle ABD$ एक रैखिक युग्म बनाते हैं,इसलिए उनका योग $180^{\circ}$ होता है।
माना $\angle ABC = 17x$ और $\angle ABD = 13x$ है।
अतः,$17x + 13x = 180^{\circ}$।
$30x = 180^{\circ}$,जिससे $x = 6^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अब,$\angle ABC = 17 \times 6^{\circ} = 102^{\circ}$।
और $\angle ABD = 13 \times 6^{\circ} = 78^{\circ}$।

(C) चूंकि $\angle PQR$ और $\angle PQS$ एक रैखिक युग्म बनाते हैं,इसलिए उनका योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle PQR + \angle PQS = 180^{\circ}$ (समीकरण $1$)।
दिया गया है कि $11 \angle PQR = 9 \angle PQS$,इसलिए हम लिख सकते हैं $\angle PQS = \frac{11}{9} \angle PQR$।
इसे समीकरण $1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\angle PQR + \frac{11}{9} \angle PQR = 180^{\circ}$।
$\frac{9 \angle PQR + 11 \angle PQR}{9} = 180^{\circ}$।
$\frac{20 \angle PQR}{9} = 180^{\circ}$।
$20 \angle PQR = 1620^{\circ}$।
$\angle PQR = \frac{1620^{\circ}}{20} = 81^{\circ}$।
अब,$\angle PQS$ ज्ञात कीजिए:
$\angle PQS = 180^{\circ} - 81^{\circ} = 99^{\circ}$।
अतः,$\angle PQR = 81^{\circ}$ और $\angle PQS = 99^{\circ}$ है।

(N/A) माना $\angle ABC = \angle B$,$\angle ACB = \angle C$,और $\angle BAC = \angle A$ है।
चूँकि $AE$,$\angle BAC$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle BAE = \angle CAE = \frac{1}{2} \angle A$ होगा।
$\Delta ABC$ में,बहिष्कोण $\angle ACD = \angle ABC + \angle BAC = \angle B + \angle A$ होता है।
$\Delta AEC$ में,त्रिभुज के बहिष्कोण गुणधर्म से,$\angle AEC = \angle B + \angle BAE = \angle B + \frac{1}{2} \angle A$ होता है।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$2 \angle AEC = 2 \angle B + \angle A$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\angle ABC + \angle ACD = \angle B + (\angle B + \angle A) = 2 \angle B + \angle A$ है।
अतः,$\angle ABC + \angle ACD = 2 \angle AEC$ सिद्ध होता है।

(N/A) $(1)$ असत्य। त्रिभुज के सभी कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। यदि किसी त्रिभुज में दो समकोण हों $(90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ})$,तो तीसरा कोण $0^{\circ}$ होना चाहिए,जो कि एक त्रिभुज के लिए असंभव है।
$(2)$ सत्य। $33^{\circ}$ के कोण का पूरक कोण $90^{\circ} - 33^{\circ} = 57^{\circ}$ होता है। $57^{\circ}$ के कोण का संपूरक कोण $180^{\circ} - 57^{\circ} = 123^{\circ}$ होता है।

(C) संपूरक कोण वे दो कोण होते हैं जिनका योग $180^o$ होता है।
दिया गया है कि $\angle A = \angle B$ और वे संपूरक कोण हैं,इसलिए $\angle A + \angle B = 180^o$।
$\angle B$ को $\angle A$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\angle A + \angle A = 180^o$।
$2 \angle A = 180^o$।
$\angle A = \frac{180^o}{2} = 90^o$।

(D) माना कि कोण का माप $x^{\circ}$ है।
चूंकि पूरक कोणों का योग $90^{\circ}$ होता है,इसलिए $x^{\circ}$ का पूरक कोण $(90 - x)^{\circ}$ होगा।
प्रश्न के अनुसार,कोण अपने पूरक कोण से $20^{\circ}$ अधिक है:
$x = (90 - x) + 20$
$x = 110 - x$
$2x = 110$
$x = 55^{\circ}$
अतः,उस कोण का माप $55^{\circ}$ है।

(A) माना कि कोण का माप $x^{\circ}$ है।
चूंकि संपूरक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए संपूरक कोण $(180 - x)^{\circ}$ होगा।
प्रश्न के अनुसार,यह कोण अपने संपूरक कोण से $40^{\circ}$ कम है:
$x = (180 - x) - 40$
$x = 140 - x$
$2x = 140$
$x = 70^{\circ}$.
अतः,कोण का माप $70^{\circ}$ है।

(B) दो कोण संपूरक होते हैं यदि उनका योग $180^o$ हो।
दिया गया है कि $\angle A : \angle B = 3 : 7$,इसलिए मान लीजिए $\angle A = 3x$ और $\angle B = 7x$ है।
चूंकि वे संपूरक हैं,$3x + 7x = 180^o$ होगा।
$10x = 180^o$,जिसका अर्थ है $x = 18^o$।
अतः,$\angle B = 7x = 7 \times 18^o = 126^o$।

(C) रैखिक युग्म प्रतिच्छेदी रेखाओं द्वारा निर्मित आसन्न कोणों का एक युग्म होता है।
रैखिक युग्म के कोणों के मापों का योग हमेशा $180^{\circ}$ होता है।
माना कि पहले कोण का माप $x^{\circ}$ है।
माना कि दूसरे कोण का माप $y^{\circ}$ है।
रैखिक युग्म की परिभाषा के अनुसार,$x^{\circ} + y^{\circ} = 180^{\circ}$।
अतः,दूसरे कोण का माप $y^{\circ} = 180^{\circ} - x^{\circ}$ होगा।

(D) शीर्षाभिमुख कोण हमेशा एक-दूसरे के बराबर होते हैं।
दिया गया है कि दो कोण $(5x + 30^{\circ})$ और $(8x - 60^{\circ})$ हैं।
इसलिए,हम समीकरण बना सकते हैं: $5x + 30 = 8x - 60$.
दोनों पक्षों से $5x$ घटाने पर: $30 = 3x - 60$.
दोनों पक्षों में $60$ जोड़ने पर: $90 = 3x$.
$3$ से भाग देने पर: $x = 30$.
अतः,$x$ का मान $30$ है।

(A) रैखिक युग्म दो आसन्न कोणों का एक जोड़ा होता है जो प्रतिच्छेदी रेखाओं द्वारा बनता है। रैखिक युग्म के कोणों के मापों का योग हमेशा $180^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि एक कोण $75^{\circ}$ है।
मान लीजिए कि दूसरे कोण का माप $x$ है।
इसलिए,$75^{\circ} + x = 180^{\circ}$।
$x = 180^{\circ} - 75^{\circ}$।
$x = 105^{\circ}$।
अतः,दूसरे कोण का माप $105^{\circ}$ है।

(B) चरण $1$: $32^{\circ}$ के कोण का पूरक कोण ज्ञात कीजिए।
दो पूरक कोणों का योग $90^{\circ}$ होता है।
पूरक कोण = $90^{\circ} - 32^{\circ} = 58^{\circ}$।
चरण $2$: चरण $1$ में प्राप्त परिणाम का संपूरक कोण ज्ञात कीजिए।
दो संपूरक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
संपूरक कोण = $180^{\circ} - 58^{\circ} = 122^{\circ}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) चरण $1$: $132^{\circ}$ माप वाले कोण का संपूरक कोण ज्ञात कीजिए।
यदि दो कोणों का योग $180^{\circ}$ हो,तो वे संपूरक कोण कहलाते हैं।
संपूरक कोण $= 180^{\circ} - 132^{\circ} = 48^{\circ}$.
चरण $2$: चरण $1$ में प्राप्त परिणाम का पूरक कोण ज्ञात कीजिए।
यदि दो कोणों का योग $90^{\circ}$ हो,तो वे पूरक कोण कहलाते हैं।
पूरक कोण $= 90^{\circ} - 48^{\circ} = 42^{\circ}$.
अतः,सही उत्तर $42^{\circ}$ है।

(D) माना कि न्यूनकोण $x$ है।
परिभाषा के अनुसार,$x$ का पूरक कोण $(90^{\circ} - x)$ है।
$x$ का संपूरक कोण $(180^{\circ} - x)$ है।
संपूरक कोण और पूरक कोण के बीच का अंतर इस प्रकार है:
$(180^{\circ} - x) - (90^{\circ} - x)$
$= 180^{\circ} - x - 90^{\circ} + x$
$= 180^{\circ} - 90^{\circ}$
$= 90^{\circ}$
अतः,अंतर हमेशा $90^{\circ}$ होता है।

(C) रैखिक युग्म के कोण तब बनते हैं जब दो आसन्न कोण एक रेखा पर स्थित होते हैं और उनकी उभयनिष्ठ न होने वाली भुजाएँ एक सीधी रेखा बनाती हैं।
रैखिक युग्म अभिगृहीत के अनुसार,यदि एक किरण एक रेखा पर खड़ी हो,तो इस प्रकार बने दो आसन्न कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,रैखिक युग्म के कोणों का योग हमेशा $180^{\circ}$ होता है।

(A) जब दो रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,तो वे शीर्षाभिमुख कोणों के दो जोड़े बनाती हैं। शीर्षाभिमुख कोण प्रमेय के अनुसार,ये कोण हमेशा एक-दूसरे के बराबर होते हैं।

(A) माना कि कोण का माप $x^o$ है।
चूंकि पूरक कोणों का योग $90^o$ होता है,इसलिए इसके पूरक कोण का माप $(90 - x)^o$ होगा।
प्रश्न के अनुसार,कोण का माप उसके पूरक कोण का $\frac{5}{4}$ गुना है:
$x = \frac{5}{4}(90 - x)$
दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करने पर:
$4x = 5(90 - x)$
$4x = 450 - 5x$
दोनों पक्षों में $5x$ जोड़ने पर:
$9x = 450$
$9$ से भाग देने पर:
$x = 50$
अतः,उस कोण का माप $50^o$ है।

(A) माना कि कोण का माप $x^o$ है।
दो कोण संपूरक होते हैं यदि उनका योग $180^o$ हो।
अतः,$x^o$ का संपूरक कोण $(180 - x)^o$ होगा।
प्रश्न के अनुसार,कोण अपने संपूरक कोण का आठवां भाग है:
$x = \frac{1}{8}(180 - x)$
दोनों पक्षों को $8$ से गुणा करने पर:
$8x = 180 - x$
दोनों पक्षों में $x$ जोड़ने पर:
$9x = 180$
$9$ से भाग देने पर:
$x = 20$
अतः,कोण का माप $20^o$ है।

(A) यदि दो कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,तो वे कोण संपूरक कोण कहलाते हैं।
माना कि $52^{\circ}$ के कोण का संपूरक कोण $x$ है।
परिभाषा के अनुसार,$52^{\circ} + x = 180^{\circ}$।
इसलिए,$x = 180^{\circ} - 52^{\circ}$।
$x = 128^{\circ}$।
अतः,संपूरक कोण का माप $128^{\circ}$ है।

(B) यदि दो कोणों के मापों का योग $90^{\circ}$ हो,तो वे कोण एक-दूसरे के पूरक कोण कहलाते हैं।
माना कि पूरक कोण का माप $x$ है।
परिभाषा के अनुसार,$x + 44^{\circ} = 90^{\circ}$।
दोनों पक्षों से $44^{\circ}$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है $x = 90^{\circ} - 44^{\circ}$।
अतः,$x = 46^{\circ}$।

(C) चरण $1$: $62^{\circ}$ के कोण का पूरक कोण ज्ञात करें।
दो पूरक कोणों का योग $90^{\circ}$ होता है।
पूरक कोण = $90^{\circ} - 62^{\circ} = 28^{\circ}$।
चरण $2$: चरण $1$ में प्राप्त परिणाम का संपूरक कोण ज्ञात करें।
दो संपूरक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
संपूरक कोण = $180^{\circ} - 28^{\circ} = 152^{\circ}$।

(D) चरण $1$: $128^{\circ}$ के माप वाले कोण का संपूरक कोण ज्ञात कीजिए।
दो संपूरक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
संपूरक कोण = $180^{\circ} - 128^{\circ} = 52^{\circ}$।
चरण $2$: चरण $1$ में प्राप्त परिणाम का पूरक कोण ज्ञात कीजिए।
दो पूरक कोणों का योग $90^{\circ}$ होता है।
पूरक कोण = $90^{\circ} - 52^{\circ} = 38^{\circ}$।

(A) माना कि न्यून कोण का माप $x^{\circ}$ है।
$x^{\circ}$ का संपूरक कोण $(180 - x)^{\circ}$ होता है।
$x^{\circ}$ का पूरक कोण $(90 - x)^{\circ}$ होता है।
संपूरक कोण और पूरक कोण के बीच का अंतर:
अंतर $= (180 - x)^{\circ} - (90 - x)^{\circ}$
अंतर $= 180 - x - 90 + x$
अंतर $= 180 - 90 = 90^{\circ}$।