Pairs of Angles Questions in Gujarati

(N/A) કિરણ $BO$ એ $\angle CBE$ નો દ્વિભાજક છે.
તેથી,$\angle CBO = \frac{1}{2} \angle CBE = \frac{1}{2}(180^o - y) = 90^o - \frac{y}{2}$ ......... $(1)$
તે જ રીતે,કિરણ $CO$ એ $\angle BCD$ નો દ્વિભાજક છે.
તેથી,$\angle BCO = \frac{1}{2} \angle BCD = \frac{1}{2}(180^o - z) = 90^o - \frac{z}{2}$ ......... $(2)$
$\Delta BOC$ માં,$\angle BOC + \angle BCO + \angle CBO = 180^o$ ......... $(3)$
$(1)$ અને $(2)$ ની કિંમતો $(3)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\angle BOC + (90^o - \frac{z}{2}) + (90^o - \frac{y}{2}) = 180^o$
$\angle BOC + 180^o - \frac{1}{2}(y + z) = 180^o$
$\angle BOC = \frac{1}{2}(y + z)$ ......... $(4)$
$\Delta ABC$ માં,$x + y + z = 180^o$ (ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાનો ગુણધર્મ).
તેથી,$y + z = 180^o - x$.
આ કિંમત $(4)$ માં મૂકતા:
$\angle BOC = \frac{1}{2}(180^o - x) = 90^o - \frac{x}{2} = 90^o - \frac{1}{2} \angle BAC$.

(N/A) $\Delta PQR$ માં,બાજુ $QR$ ને $S$ સુધી લંબાવવામાં આવી છે.
$\therefore$ બહિષ્કોણ $\angle PRS = \text{અંતઃસન્મુખ કોણનો સરવાળો}$
$\Rightarrow \angle PRS = \angle P + \angle Q$
કારણ કે $QT$ અને $RT$ એ અનુક્રમે $\angle PQR$ અને $\angle PRS$ ના દ્વિભાજકો છે,
$\therefore \angle TQR = \frac{1}{2} \angle PQR$ અને $\angle TRS = \frac{1}{2} \angle PRS$.
હવે,$\Delta QRT$ માં,બહિષ્કોણ $\angle TRS = \angle TQR + \angle QTR$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} \angle PRS = \frac{1}{2} \angle PQR + \angle QTR$
$\angle QTR = \frac{1}{2} \angle PRS - \frac{1}{2} \angle PQR$
$\angle QTR = \frac{1}{2} (\angle PRS - \angle PQR)$
કારણ કે $\angle PRS = \angle P + \angle PQR$ (બહિષ્કોણનો ગુણધર્મ),
$\angle QTR = \frac{1}{2} (\angle P + \angle PQR - \angle PQR)$
$\angle QTR = \frac{1}{2} \angle P$
એટલે કે,$\angle QTR = \frac{1}{2} \angle QPR$.

(N/A) આપેલ આકૃતિમાં,$x$ અને $y$ એ બિંદુ $B$ પર બનેલા બે આસન્નકોણ છે.
$ABC$ એક સીધી રેખા બને તે માટે,આસન્નકોણ $x$ અને $y$ નો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવો જોઈએ.
આ રૈખિક જોડના પૂર્વધારણા પર આધારિત છે,જે જણાવે છે કે જો કોઈ કિરણ રેખા પર ઉભું હોય,તો આ રીતે બનતા બે આસન્નકોણનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$x + y = 180^{\circ}$.

(B) ના,તે જરૂરી નથી કે આ દરેક ખૂણા કાટખૂણા જ હોય.
બે પાસપાસેના ખૂણાઓની વ્યાખ્યા મુજબ,તેમની પાસે એક સામાન્ય શિરોબિંદુ,એક સામાન્ય ભુજ અને સામાન્ય ભુજની વિરુદ્ધ બાજુએ અસામાન્ય ભુજો હોય છે.
જો બે પાસપાસેના ખૂણા સમાન હોય,તો ધારો કે દરેક ખૂણાનું માપ $x$ છે. તેમનો સરવાળો $2x$ થાય.
આ ખૂણાઓ કાટખૂણા $(90^{\circ})$ ત્યારે જ બને જો તેમનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય (એટલે કે,તેઓ રૈખિક જોડના ખૂણા બનાવે).
જોકે,પાસપાસેના ખૂણાઓ કોઈપણ માપના હોઈ શકે છે,જ્યાં સુધી તેઓ પાસપાસેના ખૂણાની વ્યાખ્યાનું પાલન કરે. ઉદાહરણ તરીકે,$45^{\circ}$ ના બે પાસપાસેના ખૂણાઓ સમાન છે પરંતુ તે કાટખૂણા નથી.

(N/A) આપેલ છે: આકૃતિમાં,$OD \perp OE$. $OD$ અને $OE$ અનુક્રમે $\angle AOC$ અને $\angle BOC$ ના દ્વિભાજક છે.
સાબિત કરવાનું છે: બિંદુઓ $A, O$ અને $B$ સમરેખ છે,એટલે કે $AOB$ એક સીધી રેખા છે.
સાબિતી: કારણ કે $OD$ અને $OE$ અનુક્રમે $\angle AOC$ અને $\angle BOC$ ના દ્વિભાજક છે,
$\angle AOC = 2 \angle DOC$ ---$(1)$
$\angle BOC = 2 \angle COE$ ---$(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$\angle AOC + \angle BOC = 2 \angle DOC + 2 \angle COE$
$\Rightarrow \angle AOC + \angle BOC = 2(\angle DOC + \angle COE)$
$\Rightarrow \angle AOC + \angle BOC = 2 \angle DOE$
કારણ કે $OD \perp OE$,તેથી $\angle DOE = 90^{\circ}$.
$\Rightarrow \angle AOC + \angle BOC = 2 \times 90^{\circ} = 180^{\circ}$.
આમ,પાસપાસેના ખૂણાઓ $\angle AOC$ અને $\angle BOC$ નો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,તેઓ રૈખિક જોડ બનાવે છે. તેથી,$AOB$ એક સીધી રેખા છે અને બિંદુઓ $A, O$ અને $B$ સમરેખ છે.

(N/A) આપેલ છે: બે રેખાઓ $AB$ અને $CD$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે.
સાબિત કરવાનું છે:
$(i)$ $\angle AOC = \angle BOD$
$(ii)$ $\angle AOD = \angle BOC$
સાબિતી:
$(i)$ કિરણ $OA$ એ રેખા $CD$ પર આવેલું હોવાથી,રૈખિક જોડના પૂર્વધારણા મુજબ:
$\angle AOC + \angle AOD = 180^{\circ}$ ....$(1)$
તે જ રીતે,કિરણ $OD$ એ રેખા $AB$ પર આવેલું હોવાથી,રૈખિક જોડના પૂર્વધારણા મુજબ:
$\angle AOD + \angle BOD = 180^{\circ}$ ....$(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\angle AOC + \angle AOD = \angle AOD + \angle BOD$
બંને બાજુથી $\angle AOD$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$\angle AOC = \angle BOD$
આમ,સાબિત થાય છે.
$(ii)$ કિરણ $OD$ એ રેખા $AB$ પર આવેલું હોવાથી,રૈખિક જોડના પૂર્વધારણા મુજબ:
$\angle AOD + \angle BOD = 180^{\circ}$ ....$(3)$
તે જ રીતે,કિરણ $OB$ એ રેખા $CD$ પર આવેલું હોવાથી,રૈખિક જોડના પૂર્વધારણા મુજબ:
$\angle BOD + \angle BOC = 180^{\circ}$ ....$(4)$
સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\angle AOD + \angle BOD = \angle BOD + \angle BOC$
બંને બાજુથી $\angle BOD$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$\angle AOD = \angle BOC$
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે કે $\angle ABC = 70^{\circ}$ અને $\angle ACB = 60^{\circ}$.
અહીં $DBC$ એક સીધી રેખા હોવાથી,$\angle ABC$ અને $\angle ABD$ રૈખિક જોડના ખૂણા બનાવે છે.
તેથી,$\angle ABD + \angle ABC = 180^{\circ}$.
$\angle ABD + 70^{\circ} = 180^{\circ} \implies \angle ABD = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$.
તે જ રીતે,$\angle ACB$ અને $\angle ACE$ એ સીધી રેખા $BCE$ પર રૈખિક જોડના ખૂણા બનાવે છે.
તેથી,$\angle ACE + \angle ACB = 180^{\circ}$.
$\angle ACE + 60^{\circ} = 180^{\circ} \implies \angle ACE = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
આમ,$\angle ABD = 110^{\circ}$ અને $\angle ACE = 120^{\circ}$.

(N/A) આપેલ છે કે $\angle DBC = 70^{\circ}$ અને $ABC$ એક સીધી રેખા છે.
તેથી,$\angle DBA + \angle DBC = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણાઓનો પૂર્વધારણા).
$\angle DBA + 70^{\circ} = 180^{\circ} \implies \angle DBA = 110^{\circ}$.
કિરણ $BP$ એ $\angle DBA$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,$\angle ABP = \angle PBD = \frac{1}{2} \times \angle DBA = \frac{1}{2} \times 110^{\circ} = 55^{\circ}$ મળે.
હવે,$\angle PBC = \angle PBD + \angle DBC = 55^{\circ} + 70^{\circ} = 125^{\circ}$.
$\angle PBD$ નો વિપરીત કોણ = $360^{\circ} - \angle PBD = 360^{\circ} - 55^{\circ} = 305^{\circ}$.

(C) બે ખૂણાઓનો સરવાળો $90^{\circ}$ હોય તો તેમને કોટિકોણ કહેવાય છે.
આપેલ છે કે $\angle A + \angle B = 90^{\circ}$.
વળી,ગુણોત્તર $\angle A : \angle B = 1 : 5$ છે. ધારો કે $\angle A = x$ અને $\angle B = 5x$.
આ કિંમતોને સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $x + 5x = 90^{\circ}$.
$6x = 90^{\circ}$.
$x = 90^{\circ} / 6 = 15^{\circ}$.
તેથી,$\angle A = 15^{\circ}$ અને $\angle B = 5 \times 15^{\circ} = 75^{\circ}$.

(A) બે ખૂણાઓ પૂરક હોય જો તેમનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય.
આપેલ છે કે $\angle X : \angle Y = 23 : 13$,તેથી ધારો કે $\angle X = 23k$ અને $\angle Y = 13k$.
તેઓ પૂરક હોવાથી,$23k + 13k = 180^{\circ}$.
$36k = 180^{\circ}$.
$k = \frac{180^{\circ}}{36} = 5^{\circ}$.
તેથી,$\angle X = 23 \times 5^{\circ} = 115^{\circ}$ અને $\angle Y = 13 \times 5^{\circ} = 65^{\circ}$.

(A) બે ખૂણાઓનો સરવાળો $90^{\circ}$ હોય તો તેમને કોટિકોણ કહેવાય છે.
તેથી,$\angle P + \angle Q = 90^{\circ}$.
આપેલ પદોને મૂકતા: $(3x + 15^{\circ}) + (x + 7^{\circ}) = 90^{\circ}$.
સમાન પદોનો સરવાળો કરતા: $4x + 22^{\circ} = 90^{\circ}$.
બંને બાજુથી $22^{\circ}$ બાદ કરતા: $4x = 68^{\circ}$.
$4$ વડે ભાગતા: $x = 17^{\circ}$.
હવે,$\angle P$ ની કિંમત શોધીએ: $\angle P = 3(17^{\circ}) + 15^{\circ} = 51^{\circ} + 15^{\circ} = 66^{\circ}$.
$\angle Q$ ની કિંમત શોધીએ: $\angle Q = 17^{\circ} + 7^{\circ} = 24^{\circ}$.
આમ,$\angle P = 66^{\circ}$ અને $\angle Q = 24^{\circ}$ છે.

(B) બે ખૂણાઓ પૂરક હોય જો તેમનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય.
તેથી,$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$.
આપેલ પદાવલિઓ મૂકતા: $(3x - 10^{\circ}) + (2x + 30^{\circ}) = 180^{\circ}$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા: $5x + 20^{\circ} = 180^{\circ}$.
બંને બાજુથી $20^{\circ}$ બાદ કરતા: $5x = 160^{\circ}$.
$5$ વડે ભાગતા: $x = 32^{\circ}$.
હવે,$\angle A$ શોધો: $\angle A = 3(32^{\circ}) - 10^{\circ} = 96^{\circ} - 10^{\circ} = 86^{\circ}$.
$\angle B$ શોધો: $\angle B = 2(32^{\circ}) + 30^{\circ} = 64^{\circ} + 30^{\circ} = 94^{\circ}$.
આમ,$\angle A = 86^{\circ}$ અને $\angle B = 94^{\circ}$.

(A) બે ખૂણાઓનો સરવાળો $90^{\circ}$ હોય તો તે કોટિકોણ કહેવાય છે.
આપેલ છે: $\angle X + \angle Y = 90^{\circ}$ અને $\angle X = 4 \angle Y$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $\angle X$ ની કિંમત મૂકતા:
$4 \angle Y + \angle Y = 90^{\circ}$
$5 \angle Y = 90^{\circ}$
$\angle Y = 90^{\circ} / 5 = 18^{\circ}$.
હવે,$\angle X$ શોધો:
$\angle X = 4 \times 18^{\circ} = 72^{\circ}$.
આમ,$\angle X = 72^{\circ}$ અને $\angle Y = 18^{\circ}$ છે.

(D) બે ખૂણાઓ પૂરક હોય જો તેમનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય.
તેથી,$\angle P + \angle Q = 180^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\angle P = 11 \angle Q$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $\angle P$ ની કિંમત મૂકતા:
$11 \angle Q + \angle Q = 180^{\circ}$
$12 \angle Q = 180^{\circ}$
$\angle Q = \frac{180^{\circ}}{12} = 15^{\circ}$.
હવે,$\angle P$ શોધો:
$\angle P = 11 \times 15^{\circ} = 165^{\circ}$.
આમ,$\angle P = 165^{\circ}$ અને $\angle Q = 15^{\circ}$ છે.

(A) બે ખૂણાઓનો સરવાળો $90^{\circ}$ હોય તો તે કોટિકોણ કહેવાય છે.
તેથી,$\angle A + \angle B = 90^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\angle A = \angle B - 20^{\circ}$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $\angle A$ ની કિંમત મૂકતા:
$(\angle B - 20^{\circ}) + \angle B = 90^{\circ}$
$2\angle B - 20^{\circ} = 90^{\circ}$
$2\angle B = 110^{\circ}$
$\angle B = 55^{\circ}$.
હવે,$\angle A$ શોધો:
$\angle A = 55^{\circ} - 20^{\circ} = 35^{\circ}$.
આમ,$\angle A = 35^{\circ}$ અને $\angle B = 55^{\circ}$.

(A) બે ખૂણાઓ પૂરક હોય જો તેમનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય.
આપેલ છે: $\angle P + \angle Q = 180^{\circ}$ (સમીકરણ $1$)
આપેલ છે: $\angle P = \angle Q + 35^{\circ}$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$(\angle Q + 35^{\circ}) + \angle Q = 180^{\circ}$
$2\angle Q + 35^{\circ} = 180^{\circ}$
$2\angle Q = 180^{\circ} - 35^{\circ}$
$2\angle Q = 145^{\circ}$
$\angle Q = 145^{\circ} / 2 = 72.5^{\circ}$
હવે,સમીકરણ $2$ નો ઉપયોગ કરીને $\angle P$ શોધો:
$\angle P = 72.5^{\circ} + 35^{\circ} = 107.5^{\circ}$
આમ,$\angle P = 107.5^{\circ}$ અને $\angle Q = 72.5^{\circ}$.

(A) $\angle APC$ અને $\angle BPD$ અભિકોણો હોવાથી,તેઓ સમાન હોય છે.
તેથી,$3x - 20^{\circ} = 2x + 30^{\circ}$.
બંને બાજુથી $2x$ બાદ કરતા,આપણને $x - 20^{\circ} = 30^{\circ}$ મળે છે.
બંને બાજુ $20^{\circ}$ ઉમેરતા,$x = 50^{\circ}$ મળે છે.
હવે,$x = 50^{\circ}$ ની કિંમત ખૂણાઓના સમીકરણોમાં મૂકતા:
$\angle APC = 3(50^{\circ}) - 20^{\circ} = 150^{\circ} - 20^{\circ} = 130^{\circ}$.
$\angle BPD = 2(50^{\circ}) + 30^{\circ} = 100^{\circ} + 30^{\circ} = 130^{\circ}$.
આમ,$x = 50^{\circ}$ અને બંને ખૂણાઓનું માપ $130^{\circ}$ છે.

(A) $\angle ABD$ અને $\angle DBC$ પાસપાસેના ખૂણાઓ હોવાથી,તેમનો સરવાળો $\angle ABC$ જેટલો થાય.
તેથી,$\angle ABD + \angle DBC = \angle ABC$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $1.5x + 2x = 70$.
$3.5x = 70$.
$x = \frac{70}{3.5} = 20$.
હવે,ખૂણાઓના માપ શોધીએ:
$\angle ABD = 1.5 \times 20^{\circ} = 30^{\circ}$.
$\angle DBC = 2 \times 20^{\circ} = 40^{\circ}$.
આમ,$x = 20$,$\angle ABD = 30^{\circ}$ અને $\angle DBC = 40^{\circ}$ છે.

(D) ધારો કે $\angle XYZ = 2\theta$. કારણ કે $YM$ એ $\angle XYZ$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle XYM = \angle MYZ = \theta$ થાય.
કારણ કે $YN$ એ $\angle MYZ$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle MYN = \angle NYZ = \frac{\theta}{2}$ થાય.
આપેલ છે કે $\angle XYN = 45^{\circ}$,જેને આપણે $\angle XYM + \angle MYN = 45^{\circ}$ તરીકે લખી શકીએ.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\theta + \frac{\theta}{2} = 45^{\circ}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{3\theta}{2} = 45^{\circ}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $3\theta = 90^{\circ}$,તેથી $\theta = 30^{\circ}$.
આમ,$\angle XYZ = 2\theta = 2(30^{\circ}) = 60^{\circ}$ થાય.

(N/A) આપેલ છે કે કિરણ $BE$ એ $\angle DBC$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle EBC = \angle EBD = 19^{\circ}$ થાય.
તેથી,$\angle DBC = \angle EBC + \angle EBD = 19^{\circ} + 19^{\circ} = 38^{\circ}$ મળે.
કિરણ $BD$ એ $\angle ABC$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,$\angle ABD = \angle DBC = 38^{\circ}$ થાય.
આમ,$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 38^{\circ} + 38^{\circ} = 76^{\circ}$ મળે.
અંતે,$\angle ABE = \angle ABD + \angle DBE = 38^{\circ} + 19^{\circ} = 57^{\circ}$ થાય.

(A) $\angle ABC$ અને $\angle ABD$ રૈખિક જોડના ખૂણા હોવાથી,તેમનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
ધારો કે $\angle ABC = 17x$ અને $\angle ABD = 13x$.
તેથી,$17x + 13x = 180^{\circ}$.
$30x = 180^{\circ}$,જે આપણને $x = 6^{\circ}$ આપે છે.
હવે,$\angle ABC = 17 \times 6^{\circ} = 102^{\circ}$.
અને $\angle ABD = 13 \times 6^{\circ} = 78^{\circ}$.

(C) $\angle PQR$ અને $\angle PQS$ એ રૈખિક જોડના ખૂણા હોવાથી,તેમનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$\angle PQR + \angle PQS = 180^{\circ}$ (સમીકરણ $1$).
આપેલ છે કે $11 \angle PQR = 9 \angle PQS$,તેથી આપણે લખી શકીએ કે $\angle PQS = \frac{11}{9} \angle PQR$.
આ કિંમતને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$\angle PQR + \frac{11}{9} \angle PQR = 180^{\circ}$.
$\frac{9 \angle PQR + 11 \angle PQR}{9} = 180^{\circ}$.
$\frac{20 \angle PQR}{9} = 180^{\circ}$.
$20 \angle PQR = 1620^{\circ}$.
$\angle PQR = \frac{1620^{\circ}}{20} = 81^{\circ}$.
હવે,$\angle PQS$ શોધો:
$\angle PQS = 180^{\circ} - 81^{\circ} = 99^{\circ}$.
આમ,$\angle PQR = 81^{\circ}$ અને $\angle PQS = 99^{\circ}$ છે.

(N/A) ધારો કે $\angle ABC = \angle B$,$\angle ACB = \angle C$,અને $\angle BAC = \angle A$.
$AE$ એ $\angle BAC$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,$\angle BAE = \angle CAE = \frac{1}{2} \angle A$ થાય.
$\Delta ABC$ માં,બહિષ્કોણ $\angle ACD = \angle ABC + \angle BAC = \angle B + \angle A$.
$\Delta AEC$ માં,ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ મુજબ,$\angle AEC = \angle B + \angle BAE = \angle B + \frac{1}{2} \angle A$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$2 \angle AEC = 2 \angle B + \angle A$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\angle ABC + \angle ACD = \angle B + (\angle B + \angle A) = 2 \angle B + \angle A$.
આમ,$\angle ABC + \angle ACD = 2 \angle AEC$ સાબિત થાય છે.

(N/A) $(1)$ ખોટું. ત્રિકોણના તમામ ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોય છે. જો ત્રિકોણમાં બે કાટખૂણા હોય $(90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ})$,તો ત્રીજો ખૂણો $0^{\circ}$ હોવો જોઈએ,જે ત્રિકોણ માટે અશક્ય છે.
$(2)$ સાચું. $33^{\circ}$ ના ખૂણાનો કોટિકોણ $90^{\circ} - 33^{\circ} = 57^{\circ}$ થાય. $57^{\circ}$ ના ખૂણાનો પૂરકકોણ $180^{\circ} - 57^{\circ} = 123^{\circ}$ થાય.

(C) પૂરકકોણ એટલે એવા બે ખૂણાઓ જેનો સરવાળો $180^o$ થાય છે.
આપેલ છે કે $\angle A = \angle B$ અને તેઓ પૂરકકોણ છે,તેથી $\angle A + \angle B = 180^o$.
$\angle B$ ની જગ્યાએ $\angle A$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\angle A + \angle A = 180^o$.
$2 \angle A = 180^o$.
$\angle A = \frac{180^o}{2} = 90^o$.

(D) ધારો કે ખૂણાનું માપ $x^{\circ}$ છે.
કોટિકોણના માપનો સરવાળો $90^{\circ}$ હોવાથી,$x^{\circ}$ નો કોટિકોણ $(90 - x)^{\circ}$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,ખૂણો તેના કોટિકોણ કરતાં $20^{\circ}$ વધારે છે:
$x = (90 - x) + 20$
$x = 110 - x$
$2x = 110$
$x = 55^{\circ}$
તેથી,તે ખૂણાનું માપ $55^{\circ}$ છે.

(A) ધારો કે ખૂણાનું માપ $x^{\circ}$ છે.
પૂરકકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,તેનો પૂરકકોણ $(180 - x)^{\circ}$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,આ ખૂણો તેના પૂરકકોણ કરતાં $40^{\circ}$ ઓછો છે:
$x = (180 - x) - 40$
$x = 140 - x$
$2x = 140$
$x = 70^{\circ}$.
તેથી,ખૂણાનું માપ $70^{\circ}$ છે.

(B) બે ખૂણાઓ પૂરક હોય જો તેમનો સરવાળો $180^o$ થાય.
આપેલ છે કે $\angle A : \angle B = 3 : 7$,તેથી ધારો કે $\angle A = 3x$ અને $\angle B = 7x$.
તેઓ પૂરક હોવાથી,$3x + 7x = 180^o$.
$10x = 180^o$,જેનો અર્થ છે કે $x = 18^o$.
તેથી,$\angle B = 7x = 7 \times 18^o = 126^o$.

(C) રૈખિક જોડ એ છેદતી રેખાઓ દ્વારા બનતા પાસપાસેના ખૂણાઓની જોડી છે.
રૈખિક જોડના ખૂણાઓના માપનો સરવાળો હંમેશા $180^{\circ}$ હોય છે.
ધારો કે પ્રથમ ખૂણાનું માપ $x^{\circ}$ છે.
ધારો કે બીજા ખૂણાનું માપ $y^{\circ}$ છે.
રૈખિક જોડની વ્યાખ્યા મુજબ,$x^{\circ} + y^{\circ} = 180^{\circ}$.
તેથી,બીજા ખૂણાનું માપ $y^{\circ} = 180^{\circ} - x^{\circ}$ થાય.

(D) અભિકોણો હંમેશા એકબીજાને સમાન હોય છે.
આપેલ છે કે બે ખૂણાઓ $(5x + 30^{\circ})$ અને $(8x - 60^{\circ})$ છે.
તેથી,આપણે સમીકરણ બનાવી શકીએ: $5x + 30 = 8x - 60$.
બંને બાજુથી $5x$ બાદ કરતા: $30 = 3x - 60$.
બંને બાજુ $60$ ઉમેરતા: $90 = 3x$.
$3$ વડે ભાગતા: $x = 30$.
આમ,$x$ ની કિંમત $30$ છે.

(A) રૈખિક જોડના ખૂણાઓ એ બે આસન્નકોણ છે જે છેદતી રેખાઓ દ્વારા બને છે. રૈખિક જોડના ખૂણાઓના માપનો સરવાળો હંમેશા $180^{\circ}$ હોય છે.
આપેલ છે કે એક ખૂણાનું માપ $75^{\circ}$ છે.
ધારો કે બીજા ખૂણાનું માપ $x$ છે.
તેથી,$75^{\circ} + x = 180^{\circ}$.
$x = 180^{\circ} - 75^{\circ}$.
$x = 105^{\circ}$.
આમ,બીજા ખૂણાનું માપ $105^{\circ}$ છે.

(B) પગલું $1$: $32^{\circ}$ ના ખૂણાનો કોટિકોણ શોધો.
બે કોટિકોણનો સરવાળો $90^{\circ}$ થાય છે.
કોટિકોણ = $90^{\circ} - 32^{\circ} = 58^{\circ}$.
પગલું $2$: પગલું $1$ માં મળેલા પરિણામનો પૂરકકોણ શોધો.
બે પૂરકકોણનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
પૂરકકોણ = $180^{\circ} - 58^{\circ} = 122^{\circ}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) પગલું $1$: $132^{\circ}$ ના માપના ખૂણાનો પૂરકકોણ શોધો.
બે ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય તો તે એકબીજાના પૂરકકોણ કહેવાય.
પૂરકકોણ $= 180^{\circ} - 132^{\circ} = 48^{\circ}$.
પગલું $2$: પગલું $1$ માં મળેલા પરિણામનો કોટિકોણ શોધો.
બે ખૂણાઓનો સરવાળો $90^{\circ}$ થાય તો તે એકબીજાના કોટિકોણ કહેવાય.
કોટિકોણ $= 90^{\circ} - 48^{\circ} = 42^{\circ}$.
તેથી,સાચો જવાબ $42^{\circ}$ છે.

(D) ધારો કે લઘુકોણ $x$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$x$ નો કોટિકોણ $(90^{\circ} - x)$ છે.
$x$ નો પૂરકકોણ $(180^{\circ} - x)$ છે.
પૂરકકોણ અને કોટિકોણ વચ્ચેનો તફાવત નીચે મુજબ છે:
$(180^{\circ} - x) - (90^{\circ} - x)$
$= 180^{\circ} - x - 90^{\circ} + x$
$= 180^{\circ} - 90^{\circ}$
$= 90^{\circ}$
તેથી,તફાવત હંમેશા $90^{\circ}$ હોય છે.

(C) જ્યારે બે આસન્નકોણ એક રેખા પર બનેલા હોય અને તેમની સામાન્ય ન હોય તેવી બાજુઓ એક સીધી રેખા બનાવે,ત્યારે તેને રેખિક જોડના ખૂણા કહેવામાં આવે છે.
રેખિક જોડના પૂર્વધારણા મુજબ,જો એક કિરણ રેખા પર ઉભું હોય,તો બનતા બે આસન્નકોણનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,રેખિક જોડના ખૂણાઓનો સરવાળો હંમેશા $180^{\circ}$ હોય છે.

(A) જ્યારે બે રેખાઓ એક બિંદુએ છેદે છે,ત્યારે તેઓ અભિકોણોની બે જોડ બનાવે છે. અભિકોણના પ્રમેય મુજબ,આ ખૂણાઓ હંમેશા એકબીજાને સમાન હોય છે.

(A) ધારો કે ખૂણાનું માપ $x^o$ છે.
કોટિકોણના માપનો સરવાળો $90^o$ હોવાથી,તેના કોટિકોણનું માપ $(90 - x)^o$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,ખૂણાનું માપ તેના કોટિકોણના માપના $\frac{5}{4}$ ગણું છે:
$x = \frac{5}{4}(90 - x)$
બંને બાજુ $4$ વડે ગુણતા:
$4x = 5(90 - x)$
$4x = 450 - 5x$
બંને બાજુ $5x$ ઉમેરતા:
$9x = 450$
$9$ વડે ભાગતા:
$x = 50$
આમ,તે ખૂણાનું માપ $50^o$ છે.

(A) ધારો કે ખૂણાનું માપ $x^o$ છે.
બે ખૂણાઓ પૂરકકોણ કહેવાય જો તેમનો સરવાળો $180^o$ થાય.
તેથી,$x^o$ નો પૂરકકોણ $(180 - x)^o$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,ખૂણો તેના પૂરકકોણના આઠમા ભાગ જેટલો છે:
$x = \frac{1}{8}(180 - x)$
બંને બાજુ $8$ વડે ગુણતા:
$8x = 180 - x$
બંને બાજુ $x$ ઉમેરતા:
$9x = 180$
$9$ વડે ભાગતા:
$x = 20$
આમ,ખૂણાનું માપ $20^o$ છે.

(A) જો બે ખૂણાઓના માપનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય,તો તે બે ખૂણાઓને એકબીજાના પૂરકકોણ કહેવામાં આવે છે.
ધારો કે $52^{\circ}$ ના ખૂણાનો પૂરકકોણ $x$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$52^{\circ} + x = 180^{\circ}$.
તેથી,$x = 180^{\circ} - 52^{\circ}$.
$x = 128^{\circ}$.
આમ,પૂરકકોણનું માપ $128^{\circ}$ છે.

(B) જો બે ખૂણાઓના માપનો સરવાળો $90^{\circ}$ થાય,તો તે ખૂણાઓને એકબીજાના કોટિકોણ કહેવાય છે.
ધારો કે કોટિકોણનું માપ $x$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$x + 44^{\circ} = 90^{\circ}$.
બંને બાજુથી $44^{\circ}$ બાદ કરતાં,આપણને મળે છે $x = 90^{\circ} - 44^{\circ}$.
તેથી,$x = 46^{\circ}$.

(C) પગલું $1$: $62^{\circ}$ ના ખૂણાનો કોટિકોણ શોધો.
બે કોટિકોણનો સરવાળો $90^{\circ}$ થાય છે.
કોટિકોણ = $90^{\circ} - 62^{\circ} = 28^{\circ}$.
પગલું $2$: પગલું $1$ માં મળેલા પરિણામનો પૂરકકોણ શોધો.
બે પૂરકકોણનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
પૂરકકોણ = $180^{\circ} - 28^{\circ} = 152^{\circ}$.

(D) પગલું $1$: $128^{\circ}$ ના માપના ખૂણાનો પૂરકકોણ શોધો.
બે પૂરકકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
પૂરકકોણ = $180^{\circ} - 128^{\circ} = 52^{\circ}$.
પગલું $2$: પગલું $1$ માં મળેલા પરિણામનો કોટિકોણ શોધો.
બે કોટિકોણોનો સરવાળો $90^{\circ}$ થાય છે.
કોટિકોણ = $90^{\circ} - 52^{\circ} = 38^{\circ}$.

(A) ધારો કે લઘુકોણનું માપ $x^{\circ}$ છે.
$x^{\circ}$ નો પૂરકકોણ $(180 - x)^{\circ}$ થાય.
$x^{\circ}$ નો કોટિકોણ $(90 - x)^{\circ}$ થાય.
પૂરકકોણ અને કોટિકોણ વચ્ચેનો તફાવત:
તફાવત $= (180 - x)^{\circ} - (90 - x)^{\circ}$
તફાવત $= 180 - x - 90 + x$
તફાવત $= 180 - 90 = 90^{\circ}$.