Parallel Lines and a Transversal Questions in Gujarati

(B) આ ઉકેલવા માટે,આપણે બિંદુ $M$ માંથી પસાર થતી એક રેખા $AB$ દોરીએ છીએ જેથી $AB \parallel PQ$ થાય. કારણ કે $PQ \parallel RS$ અને $AB \parallel PQ$ છે,તેથી $AB \parallel RS$ થાય.
હવે,સમાંતર રેખાઓ $PQ$ અને $AB$ ને છેદતી છેદિકા $XM$ નો વિચાર કરો. છેદિકાની એક જ તરફના અંતઃકોણો પૂરક હોય છે.
તેથી,$\angle QXM + \angle XMB = 180^o$.
આપેલ છે કે $\angle QXM = 135^o$,તેથી $135^o + \angle XMB = 180^o$,જે આપણને $\angle XMB = 180^o - 135^o = 45^o$ આપે છે (સમીકરણ $1$).
આગળ,સમાંતર રેખાઓ $RS$ અને $AB$ ને છેદતી છેદિકા $YM$ નો વિચાર કરો. યુગ્મકોણો સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle BMY = \angle MYR$.
આપેલ છે કે $\angle MYR = 40^o$,તેથી $\angle BMY = 40^o$ (સમીકરણ $2$).
અંતે,$\angle XMY = \angle XMB + \angle BMY$.
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $\angle XMY = 45^o + 40^o = 85^o$ મળે છે.

(N/A) આકૃતિમાં,એક છેદિકા $AD$ બે રેખાઓ $PQ$ અને $RS$ ને અનુક્રમે $B$ અને $C$ બિંદુઓમાં છેદે છે. કિરણ $BE$ એ $\angle ABQ$ નો દ્વિભાજક છે અને કિરણ $CG$ એ $\angle BCS$ નો દ્વિભાજક છે; અને $BE \parallel CG$ છે.
આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $PQ \parallel RS$.
આપેલ છે કે કિરણ $BE$ એ $\angle ABQ$ નો દ્વિભાજક છે.
તેથી,$\angle ABE = \frac{1}{2} \angle ABQ$ ...... $(1)$
તે જ રીતે,કિરણ $CG$ એ $\angle BCS$ નો દ્વિભાજક છે.
તેથી,$\angle BCG = \frac{1}{2} \angle BCS$ ...... $(2)$
પરંતુ $BE \parallel CG$ અને $AD$ એ છેદિકા છે.
તેથી,$\angle ABE = \angle BCG$ (અનુકોણ પૂર્વધારણા) ...... $(3)$
$(1)$ અને $(2)$ ની કિંમત $(3)$ માં મુકતા,આપણને મળે છે
$\frac{1}{2} \angle ABQ = \frac{1}{2} \angle BCS$
એટલે કે,$\angle ABQ = \angle BCS$
પરંતુ,આ છેદિકા $AD$ દ્વારા $PQ$ અને $RS$ સાથે બનતા અનુકોણ છે; અને તે સમાન છે.
તેથી,$PQ \parallel RS$ (અનુકોણ પૂર્વધારણાનો પ્રતીપ).

(D) આપેલ છે કે $AB \parallel CD$ અને $CD \parallel EF$,તેથી $AB \parallel EF$ થાય.
કારણ કે $CD \parallel EF$ અને $ED$ એ છેદિકા છે,તેથી છેદિકાની એક જ તરફના અંતઃકોણો પૂરક હોય છે.
તેથી,$y + 55^o = 180^o$.
$y = 180^o - 55^o = 125^o$.
કારણ કે $AB \parallel CD$ અને $BE$ એ છેદિકા છે,તેથી અનુકોણો સમાન હોય છે.
તેથી,$x = y = 125^o$.
કારણ કે $EA \perp AB$ અને $AB \parallel EF$,તેથી $EA \perp EF$ થાય. તેથી,$\angle AEF = 90^o$.
આકૃતિ પરથી,$\angle AEF = z + 55^o$.
$z + 55^o = 90^o$.
$z = 90^o - 55^o = 35^o$.
તેથી,$x = 125^o, y = 125^o, z = 35^o$.

(N/A) આકૃતિ પરથી,રેખા $PQ$ એ રેખા $CD$ ને બિંદુ $F$ પર છેદે છે.
તેથી,$y = 130^o$ (અભિકોણો) .......... $(1)$
હવે,રેખા $AB$ નો વિચાર કરો. ખૂણો $x$ અને ખૂણો $50^o$ એ છેદબિંદુ $E$ પર રૈખિક જોડના ખૂણા બનાવે છે.
તેથી,$x + 50^o = 180^o$ (રૈખિક જોડના ખૂણાનો પૂર્વધારણા)
$x = 180^o - 50^o = 130^o$ .......... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે કે $x = y = 130^o$.
આ યુગ્મકોણો (અંતઃયુગ્મકોણો) હોવાથી અને તે સમાન હોવાથી,રેખાઓ $AB$ અને $CD$ સમાંતર હોવી જોઈએ.
તેથી,$AB \parallel CD$.

(B) આપેલ છે: $AB \parallel CD$ અને $CD \parallel EF$.
એક જ રેખાને સમાંતર રેખાઓ પરસ્પર સમાંતર હોય છે,તેથી $AB \parallel EF$ થાય.
ધારો કે છેદિકા રેખાઓ $AB$,$CD$ અને $EF$ ને અનુક્રમે $P$,$Q$ અને $R$ બિંદુઓમાં છેદે છે.
$AB \parallel EF$ હોવાથી,યુગ્મકોણ સમાન હોય છે. તેથી,$\angle x = \angle z$ .......... $(1)$
વળી,$AB \parallel CD$ હોવાથી,છેદિકાની એક જ તરફના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^o$ થાય.
તેથી,$y + z = 180^o$.
આપેલ છે કે $y: z = 3: 7$,તેથી ધારો કે $y = 3k$ અને $z = 7k$.
માટે,$3k + 7k = 180^o \Rightarrow 10k = 180^o \Rightarrow k = 18^o$.
તેથી,$z = 7 \times 18^o = 126^o$.
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$x = z = 126^o$.

(N/A) આપેલ છે કે $AB \parallel CD$,$EF \perp CD$ અને $\angle GED = 126^o$.
$1$. $AB \parallel CD$ છે અને $GE$ તેની છેદિકા છે,તેથી યુગ્મકોણ સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle AGE = \angle GED$.
આપેલ છે કે $\angle GED = 126^o$,તેથી $\angle AGE = 126^o$.
$2$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\angle GED = \angle GEF + \angle FED$.
$EF \perp CD$ હોવાથી,$\angle FED = 90^o$.
તેથી,$126^o = \angle GEF + 90^o$.
$\angle GEF = 126^o - 90^o = 36^o$.
$3$. $AB \parallel CD$ છે અને $GE$ તેની છેદિકા છે,તેથી છેદિકાની એક જ તરફના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^o$ થાય છે.
તેથી,$\angle FGE + \angle GED = 180^o$.
$\angle FGE + 126^o = 180^o$.
$\angle FGE = 180^o - 126^o = 54^o$.
આમ,$\angle AGE = 126^o$,$\angle GEF = 36^o$ અને $\angle FGE = 54^o$.

(D) આપેલ છે: $PQ \parallel ST$,$\angle PQR = 110^o$ અને $\angle RST = 130^o$.
રચના: બિંદુ $R$ માંથી પસાર થતી $ST$ ને સમાંતર રેખા $EF$ દોરો.
$PQ \parallel ST$ અને $EF \parallel ST$ હોવાથી,$PQ \parallel EF$ થાય.
$PQ \parallel EF$ અને છેદિકા $QR$ માટે,અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^o$ થાય,તેથી $\angle PQR + \angle QRE = 180^o \Rightarrow 110^o + \angle QRE = 180^o \Rightarrow \angle QRE = 70^o$.
તે જ રીતે,$ST \parallel EF$ અને છેદિકા $RS$ માટે,$\angle RST + \angle SRE = 180^o \Rightarrow 130^o + \angle SRE = 180^o \Rightarrow \angle SRE = 50^o$.
આકૃતિ પરથી,$\angle QRS = 180^o - (\angle QRE + \angle SRE) = 180^o - (70^o + 50^o) = 180^o - 120^o = 60^o$.

(A) આપેલ છે: $AB \parallel CD$,$\angle APQ = 50^o$ અને $\angle PRD = 127^o$.
$1$. કારણ કે $AB \parallel CD$ અને $PQ$ એ છેદિકા છે,તેથી યુગ્મકોણ સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle PQR = \angle APQ$.
આપેલ છે કે $\angle APQ = 50^o$,તેથી $x = 50^o$.
$2$. કારણ કે $AB \parallel CD$ અને $PR$ એ છેદિકા છે,તેથી યુગ્મકોણ સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle APR = \angle PRD$.
આપેલ છે કે $\angle PRD = 127^o$,તેથી $\angle APR = 127^o$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\angle APR = \angle APQ + \angle QPR$.
કિંમતો મૂકતા,$127^o = 50^o + y$.
$y = 127^o - 50^o = 77^o$.
આમ,$x = 50^o$ અને $y = 77^o$.

(N/A) $(i)$ સમાંતર રેખાઓ પરના લંબ પણ સમાંતર હોય છે.
$(ii)$ પરાવર્તનના નિયમો અનુસાર,આપાતકોણ $=$ પરાવર્તનકોણ.
કિરણ $BL \perp PQ$ અને $CM \perp RS$ દોરો.
$\because PQ \parallel RS$ [આપેલ છે]
$\therefore BL \parallel CM$ [$\because BL \perp PQ$ અને $CM \perp RS$]
અને $BC$ એ છેદિકા છે.
$\therefore \angle LBC = \angle MCB$ [યુગ્મકોણ] ......... $(1)$
કારણ કે,(આપાતકોણ) $=$ (પરાવર્તનકોણ)
$\therefore \angle ABL = \angle LBC$ અને $\angle MCB = \angle MCD$
$\Rightarrow \angle ABL = \angle MCD$
$\therefore (1)$ પરથી,આપણને મળે છે
$\angle LBC + \angle ABL = \angle MCB + \angle MCD$ [સમાનમાં સમાન ઉમેરતા]
$\Rightarrow \angle ABC = \angle BCD$
એટલે કે,યુગ્મકોણની જોડ સમાન છે.
$\therefore AB \parallel CD$.

(C) આપેલ છે કે $AB \parallel DE$ અને $AE$ એ છેદિકા છે.
કારણ કે $AB \parallel DE$,તેથી યુગ્મકોણ સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle AED = \angle BAC = 35^o$.
હવે,ત્રિકોણ $\Delta CDE$ નો વિચાર કરો.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^o$ થાય છે.
તેથી,$\angle CDE + \angle DEC + \angle DCE = 180^o$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $53^o + 35^o + \angle DCE = 180^o$.
$88^o + \angle DCE = 180^o$.
$\angle DCE = 180^o - 88^o = 92^o$.

(A) જ્યારે કોઈ છેદિકા બે સમાંતર રેખાઓને છેદે છે,ત્યારે છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે (ક્રમિક અંતઃકોણો પૂરક હોય છે).
ધારો કે બે ખૂણાઓ $2x$ અને $3x$ છે.
ગુણધર્મ મુજબ,$2x + 3x = 180^{\circ}$.
$5x = 180^{\circ}$.
$x = 180^{\circ} / 5 = 36^{\circ}$.
તેથી,બે ખૂણાઓ $2(36^{\circ}) = 72^{\circ}$ અને $3(36^{\circ}) = 108^{\circ}$ છે.
આમ,બે ખૂણાઓમાંથી મોટો ખૂણો $108^{\circ}$ છે.

(D) આ ઉકેલવા માટે,$OP$ ને લંબાવો જે $RQ$ ને $X$ બિંદુએ છેદે છે.
અહીં,$OP \parallel RS$ છે અને $RS$ એક છેદિકા છે.
તેથી,$\angle RXP = \angle XRS$ (યુગ્મકોણ)
$\Rightarrow \angle RXP = 130^{\circ}$ ... $(1)$ [કારણ કે $\angle QRS = 130^{\circ}$]
હવે,$RQ$ એક રેખાખંડ છે.
તેથી,$\angle PXQ + \angle RXP = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા)
$\Rightarrow \angle PXQ = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$
$\triangle PQX$ માં,$\angle OPQ$ એ બહિષ્કોણ છે.
તેથી,$\angle OPQ = \angle PXQ + \angle PQX$ (બહિષ્કોણનું માપ તેના અંતઃસન્મુખ ખૂણાઓના સરવાળા જેટલું હોય છે)
$110^{\circ} = 50^{\circ} + \angle PQX$
$\angle PQX = 110^{\circ} - 50^{\circ} = 60^{\circ}$
આમ,$\angle PQR = 60^{\circ}$.

(NO) ના,આ બે રેખાઓ હંમેશા સમાંતર હશે નહીં. બે રેખાઓ સમાંતર હોય તે માટે છેદિકાની એક જ તરફના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થવો જોઈએ. જો બે સમાન અંતઃકોણોમાંથી દરેકનું માપ $x$ હોય,તો તેમનો સરવાળો $x + x = 2x$ થાય. રેખાઓ ત્યારે જ સમાંતર હોય જો $2x = 180^{\circ}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $x = 90^{\circ}$. જો $x \neq 90^{\circ}$ હોય,તો રેખાઓ સમાંતર નથી.

$(136^{\circ})$ જો કોઈ છેદિકા બે સમાંતર રેખાઓને છેદે,તો ક્રમિક અંતઃકોણોની દરેક જોડી પૂરક હોય છે,એટલે કે તેમનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,ખૂણા $x$ અને $44^{\circ}$ એ છેદિકા $n$ ની એક જ બાજુ પર આવેલા ક્રમિક અંતઃકોણો છે.
તેથી,આપણી પાસે સમીકરણ છે:
$x + 44^{\circ} = 180^{\circ}$
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x = 180^{\circ} - 44^{\circ}$
$x = 136^{\circ}$

(N/A) આકૃતિ $(i)$ માટે,એક છેદિકા બે રેખાઓને એવી રીતે છેદે છે કે જેથી છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણોનો સરવાળો $132^{\circ} + 48^{\circ} = 180^{\circ}$ થાય છે.
ક્રમિક અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,રેખાઓ $l$ અને $m$ સમાંતર છે.
આકૃતિ (ii) માટે,એક છેદિકા બે રેખાઓને એવી રીતે છેદે છે કે જેથી છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણોનો સરવાળો $73^{\circ} + 106^{\circ} = 179^{\circ}$ થાય છે.
ક્રમિક અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ ન હોવાથી,રેખાઓ $p$ અને $q$ સમાંતર નથી.

(B) જ્યારે બે રેખાઓ $l$ અને $m$ એક જ રેખા $n$ ને લંબ હોય,ત્યારે છેદિકા $n$ ની એક જ બાજુના અંતઃકોણો બંને $90^{\circ}$ ના હોય છે.
આ અંતઃકોણોનો સરવાળો $90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$ થાય છે.
સમાંતર રેખાઓના ગુણધર્મ મુજબ,જો છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોય,તો તે રેખાઓ સમાંતર હોય છે.
તેથી,રેખાઓ $l$ અને $m$ એકબીજાને સમાંતર છે,લંબ નથી.

(N/A) આપેલ છે: $x=y$ અને $a=b$.
$1$. રેખાઓ $l$ અને $m$ માટે એક છેદિકા છે,જેમાં અનુકોણ $x$ અને $y$ સમાન છે $(x=y)$. અનુકોણના પૂર્વધારણાના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,જો અનુકોણ સમાન હોય,તો રેખાઓ સમાંતર હોય છે. તેથી,$l \parallel m$ $....(1)$
$2$. રેખાઓ $n$ અને $m$ માટે એક છેદિકા છે,જેમાં અનુકોણ $a$ અને $b$ સમાન છે $(a=b)$. અનુકોણના પૂર્વધારણાના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,જો અનુકોણ સમાન હોય,તો રેખાઓ સમાંતર હોય છે. તેથી,$n \parallel m$ $....(2)$
$3$. $(1)$ અને $(2)$ પરથી,કારણ કે બંને રેખાઓ $l$ અને $n$ એક જ રેખા $m$ ને સમાંતર છે,તેથી સાબિત થાય છે કે $l \parallel n$ (એક જ રેખાને સમાંતર રેખાઓ પરસ્પર સમાંતર હોય છે).

(N/A) આપણને આપેલ છે કે $\angle 1 = 60^{\circ}$ અને $\angle 6 = 120^{\circ}$.
આકૃતિ પરથી,$\angle 5$ અને $\angle 6$ રૈખિક જોડના ખૂણા બનાવે છે.
તેથી,$\angle 5 + \angle 6 = 180^{\circ}$.
$\angle 6$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $\angle 5 + 120^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle 5 = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.
હવે,આપણે જોઈએ છીએ કે $\angle 1 = 60^{\circ}$ અને $\angle 5 = 60^{\circ}$.
આમ,$\angle 1 = \angle 5$.
જેহেতু $\angle 1$ અને $\angle 5$ અનુકોણ છે અને તેઓ સમાન છે,તેથી રેખાઓ $m$ અને $n$ સમાંતર છે.

(N/A) આપેલ છે: $l \parallel m$ અને $t$ એ રેખા $l$ ને $A$ માં અને $m$ ને $B$ માં છેદતી છેદિકા છે.
$AP$ એ $\angle MAB$ નો દ્વિભાજક છે અને $BQ$ એ $\angle SBA$ નો દ્વિભાજક છે (જ્યાં $S$ એ રેખા $m$ પરનું બિંદુ છે જેથી $\angle MAB$ અને $\angle SBA$ યુગ્મકોણ બને).
કારણ કે $l \parallel m$ અને $t$ છેદિકા છે,તેથી યુગ્મકોણ સમાન હોય છે:
$\angle MAB = \angle SBA$
$AP$ અને $BQ$ દ્વિભાજકો હોવાથી:
$\angle PAB = \frac{1}{2} \angle MAB$ અને $\angle QBA = \frac{1}{2} \angle SBA$
તેથી,$\angle PAB = \angle QBA$.
આ છેદિકા $t$ દ્વારા રેખાઓ $AP$ અને $BQ$ સાથે બનતા યુગ્મકોણ છે.
યુગ્મકોણ સમાન હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર હોવી જોઈએ.
આમ,$AP \parallel BQ$.

(N/A) $DE$ ને લંબાવો જેથી તે $BC$ ને $P$ બિંદુમાં છેદે.
અહીં $EF \parallel BC$ છે અને $DP$ એ છેદિકા છે,
$\therefore \angle DEF = \angle DPC$ ....$(1)$ [અનુકોણ]
હવે,$AB \parallel ED$ (જે $DP$ રેખા જ છે) અને $BC$ એ છેદિકા છે,
$\therefore \angle DPC = \angle ABC$ ....$(2)$ [અનુકોણ]
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે કે
$\angle ABC = \angle DEF$
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) $ED$ ને લંબાવો જેથી તે $BC$ ને બિંદુ $P$ પર મળે.
અહીં $EF \parallel BC$ છે અને $EP$ એ છેદિકા છે,તેથી છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો પૂરક હોય છે.
તેથી,$\angle DEF + \angle EPC = 180^{\circ} .....(1)$
વળી,$AB \parallel EP$ છે અને $BC$ એ છેદિકા છે,તેથી અનુકોણો સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle ABC = \angle EPC .....(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $\angle EPC$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\angle DEF + \angle ABC = 180^{\circ}$
આમ,$\angle ABC + \angle DEF = 180^{\circ}.$
આથી,સાબિત થાય છે.

(N/A) ધારો કે બે સમાંતર રેખાઓ $l$ અને $m$ છે,જેથી $l \parallel m$ થાય. ધારો કે રેખા $p$ એ $l$ ને લંબ છે $(p \perp l)$ અને રેખા $n$ એ $m$ ને લંબ છે $(n \perp m)$.
આપણે સાબિત કરવું છે કે $p \parallel n$.
$n \perp m$ હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે,તેથી $\angle 1 = 90^{\circ}$.
$p \perp l$ હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે,તેથી $\angle 2 = 90^{\circ}$.
$l \parallel m$ હોવાથી અને $p$ એ છેદિકા તરીકે કામ કરતી હોવાથી,અનુકોણ સમાન હોય છે,તેથી $\angle 2 = \angle 3$.
$\angle 2 = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\angle 3 = 90^{\circ}$ મળે છે.
હવે,રેખા $m$ ને છેદિકા તરીકે લઈને રેખાઓ $p$ અને $n$ નો વિચાર કરતા,આપણને $\angle 1 = 90^{\circ}$ અને $\angle 3 = 90^{\circ}$ મળે છે.
$\angle 1 = \angle 3$ હોવાથી,આ અનુકોણ છે,જે દર્શાવે છે કે રેખાઓ $p$ અને $n$ સમાંતર હોવી જોઈએ.
તેથી,$p \parallel n$.

(N/A) આપેલ છે: બે સમાંતર રેખાઓ $DE$ અને $QR$ ને એક છેદિકા અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓ પર છેદે છે. ધારો કે $AF$ એ $\angle CAE$ નો દ્વિભાજક છે અને $BP$ એ $\angle ABR$ નો દ્વિભાજક છે.
સાબિત કરવાનું છે: $AF \parallel BP$.
સાબિતી: કારણ કે $DE \parallel QR$,તેથી અનુકોણ સમાન હોય છે,એટલે કે $\angle CAE = \angle ABR$.
બંને બાજુ $\frac{1}{2}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $\frac{1}{2} \angle CAE = \frac{1}{2} \angle ABR$.
$AF$ અને $BP$ દ્વિભાજકો હોવાથી,$\frac{1}{2} \angle CAE = \angle FAB$ અને $\frac{1}{2} \angle ABR = \angle ABP$ થાય.
તેથી,$\angle FAB = \angle ABP$.
આ છેદિકા $n$ દ્વારા રેખાઓ $AF$ અને $BP$ પર બનતા અનુકોણ છે. જો અનુકોણ સમાન હોય,તો તે રેખાઓ સમાંતર હોય છે. આમ,$AF \parallel BP$ સાબિત થાય છે.

(C) $1$. આકૃતિ પરથી,ખૂણો $x$ અને ખૂણો $70^{\circ}$ અભિકોણો છે. તેથી,$x = 70^{\circ}$.
$2$. આકૃતિમાં $y$ અને $110^{\circ}$ અભિકોણો છે,તેથી $y = 110^{\circ}$.
$3$. વૈકલ્પિક રીતે,છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો $y$ અને $x$ છે. અહીં $y = 110^{\circ}$ અને $x = 70^{\circ}$ હોવાથી,તેમનો સરવાળો $110^{\circ} + 70^{\circ} = 180^{\circ}$ થાય છે.
$4$. છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,રેખાઓ $PQ$ અને $XY$ સમાંતર છે $(PQ \parallel XY)$.

(N/A) આપેલ છે: $AB \parallel DE$ અને $BC \parallel EF$.
સાબિત કરવાનું છે: $\angle ABC = \angle DEF$.
રચના: $DE$ ને લંબાવો જેથી તે $BC$ ને બિંદુ $G$ પર છેદે.
સાબિતી:
$1$. $AB \parallel DE$ હોવાથી અને $BC$ એ છેદિકા હોવાથી,$\angle ABC = \angle DGC$ (અનુકોણ).
$2$. $BC \parallel EF$ હોવાથી અને $DE$ એ છેદિકા હોવાથી,$\angle DGC = \angle DEF$ (અનુકોણ).
$3$. સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે કે $\angle ABC = \angle DEF$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $AB \parallel DE$ અને $BC \parallel EF$.
સાબિત કરવાનું છે: $\angle ABC + \angle DEF = 180^{\circ}$.
રચના: $ED$ ને લંબાવો જેથી તે $BC$ ને બિંદુ $G$ પર મળે.
સાબિતી:
કારણ કે $AB \parallel DE$ અને $ED$ ને $G$ સુધી લંબાવેલ છે,તેથી $AB \parallel DG$ થાય.
$AB \parallel DG$ અને $BG$ એ છેદિકા હોવાથી,છેદિકાની એક જ તરફના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય,તેથી $\angle ABC + \angle BGD = 180^{\circ}$ (ક્રમિક અંતઃકોણો).
હવે,$BC \parallel EF$ ધ્યાનમાં લો. $BC \parallel EF$ અને $EG$ એ છેદિકા હોવાથી,$\angle BGD = \angle DEF$ (અનુકોણો).
પ્રથમ સમીકરણમાં $\angle BGD = \angle DEF$ મૂકતા,આપણને $\angle ABC + \angle DEF = 180^{\circ}$ મળે છે.
આમ,સાબિત થાય છે.

(B) જ્યારે બે સમાંતર રેખાઓને એક છેદિકા દ્વારા છેદવામાં આવે છે,ત્યારે છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણોને ક્રમિક અંતઃકોણો (જેને સહ-અંતઃકોણો પણ કહેવાય છે) કહેવામાં આવે છે.
સમાંતર રેખાઓના ગુણધર્મો મુજબ,આ ખૂણાઓ પૂરક હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેમનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.

(A) જ્યારે બે સમાંતર રેખાઓને એક છેદિકા દ્વારા છેદવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક છેદબિંદુ પર બનતા અનુકોણ સમાન હોય છે. આ સમાંતર રેખાઓનો એક મૂળભૂત ગુણધર્મ છે જેને અનુકોણ પૂર્વધારણા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(N/A) ધારો કે બે સમાંતર રેખાઓ $l$ અને $m$ છે,અને $n$ એ છેદિકા છે જે તેમને અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે છે.
ધારો કે બનતા અંતઃકોણો $\angle PAB$,$\angle QAB$,$\angle RBA$ અને $\angle SBA$ છે.
આ ચાર અંતઃકોણોના દ્વિભાજકો એક ચતુષ્કોણ $EFGH$ બનાવે છે.
કારણ કે $l \parallel m$,ક્રમિક અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,એટલે કે $\angle PAB + \angle RBA = 180^{\circ}$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{2}\angle PAB + \frac{1}{2}\angle RBA = 90^{\circ}$ મળે છે.
$\triangle EAB$ માં,$\angle EAB + \angle EBA = 90^{\circ}$,જે સૂચવે છે કે $\angle AEB = 90^{\circ}$.
તે જ રીતે,ચતુષ્કોણ $EFGH$ ના અન્ય તમામ ખૂણાઓ પણ $90^{\circ}$ સાબિત કરી શકાય છે.
બધા અંતઃકોણો $90^{\circ}$ હોવાથી,ચતુષ્કોણ $EFGH$ એક લંબચોરસ છે.