Parallel Lines and a Transversal Questions in Hindi

(B) इसे हल करने के लिए,हम बिंदु $M$ से होकर जाने वाली एक रेखा $AB$ खींचते हैं ताकि $AB \parallel PQ$ हो। चूँकि $PQ \parallel RS$ और $AB \parallel PQ$ है,इसलिए $AB \parallel RS$ होगा।
अब,समांतर रेखाओं $PQ$ और $AB$ को प्रतिच्छेद करने वाली तिर्यक रेखा $XM$ पर विचार करें। तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण संपूरक होते हैं।
इसलिए,$\angle QXM + \angle XMB = 180^o$।
दिया गया है कि $\angle QXM = 135^o$,इसलिए $135^o + \angle XMB = 180^o$,जिससे हमें $\angle XMB = 180^o - 135^o = 45^o$ प्राप्त होता है (समीकरण $1$)।
आगे,समांतर रेखाओं $RS$ और $AB$ को प्रतिच्छेद करने वाली तिर्यक रेखा $YM$ पर विचार करें। एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं।
इसलिए,$\angle BMY = \angle MYR$।
दिया गया है कि $\angle MYR = 40^o$,इसलिए $\angle BMY = 40^o$ (समीकरण $2$)।
अंत में,$\angle XMY = \angle XMB + \angle BMY$।
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ के मान रखने पर,हमें $\angle XMY = 45^o + 40^o = 85^o$ प्राप्त होता है।

(N/A) आकृति में,एक तिर्यक रेखा $AD$ दो रेखाओं $PQ$ और $RS$ को क्रमशः $B$ और $C$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है। किरण $BE$,$\angle ABQ$ का समद्विभाजक है और किरण $CG$,$\angle BCS$ का समद्विभाजक है; और $BE \parallel CG$ है।
हमें सिद्ध करना है कि $PQ \parallel RS$ है।
यह दिया गया है कि किरण $BE$,$\angle ABQ$ का समद्विभाजक है।
इसलिए,$\angle ABE = \frac{1}{2} \angle ABQ$ ...... $(1)$
इसी प्रकार,किरण $CG$,$\angle BCS$ का समद्विभाजक है।
इसलिए,$\angle BCG = \frac{1}{2} \angle BCS$ ...... $(2)$
परंतु $BE \parallel CG$ है और $AD$ तिर्यक रेखा है।
इसलिए,$\angle ABE = \angle BCG$ (संगत कोण अभिगृहीत) ...... $(3)$
$(1)$ और $(2)$ का मान $(3)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है
$\frac{1}{2} \angle ABQ = \frac{1}{2} \angle BCS$
अर्थात,$\angle ABQ = \angle BCS$
परंतु,ये तिर्यक रेखा $AD$ द्वारा $PQ$ और $RS$ के साथ बने संगत कोण हैं; और ये बराबर हैं।
इसलिए,$PQ \parallel RS$ (संगत कोण अभिगृहीत का विलोम)।

(D) दिया गया है कि $AB \parallel CD$ और $CD \parallel EF$,इसलिए $AB \parallel EF$ है।
चूंकि $CD \parallel EF$ और $ED$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण संपूरक होते हैं।
अतः,$y + 55^o = 180^o$.
$y = 180^o - 55^o = 125^o$.
चूंकि $AB \parallel CD$ और $BE$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए संगत कोण बराबर होते हैं।
अतः,$x = y = 125^o$.
चूंकि $EA \perp AB$ और $AB \parallel EF$,इसलिए $EA \perp EF$ है। अतः,$\angle AEF = 90^o$.
आकृति से,$\angle AEF = z + 55^o$.
$z + 55^o = 90^o$.
$z = 90^o - 55^o = 35^o$.
अतः,$x = 125^o, y = 125^o, z = 35^o$.

(N/A) आकृति से,रेखा $PQ$ रेखा $CD$ को बिंदु $F$ पर प्रतिच्छेद करती है।
अतः,$y = 130^o$ (शीर्षाभिमुख कोण) .......... $(1)$
अब,रेखा $AB$ पर विचार कीजिए। कोण $x$ और कोण $50^o$ प्रतिच्छेदन बिंदु $E$ पर रैखिक युग्म बनाते हैं।
अतः,$x + 50^o = 180^o$ (रैखिक युग्म अभिगृहीत)
$x = 180^o - 50^o = 130^o$ .......... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है कि $x = y = 130^o$ है।
चूँकि ये एकांतर अंतःकोण हैं और वे बराबर हैं,इसलिए रेखाएँ $AB$ और $CD$ समांतर होनी चाहिए।
अतः,$AB \parallel CD$।

(B) दिया है: $AB \parallel CD$ और $CD \parallel EF$।
चूंकि एक ही रेखा के समांतर रेखाएं परस्पर समांतर होती हैं,इसलिए $AB \parallel EF$ है।
माना कि तिर्यक रेखा $AB$,$CD$ और $EF$ को क्रमशः $P$,$Q$ और $R$ बिंदुओं पर काटती है।
चूंकि $AB \parallel EF$,इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं। अतः,$\angle x = \angle z$ .......... $(1)$
पुनः,$AB \parallel CD$,इसलिए तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^o$ होता है।
अतः,$y + z = 180^o$।
दिया है $y: z = 3: 7$,माना $y = 3k$ और $z = 7k$ है।
तब,$3k + 7k = 180^o \Rightarrow 10k = 180^o \Rightarrow k = 18^o$।
इसलिए,$z = 7 \times 18^o = 126^o$।
समीकरण $(1)$ से,$x = z = 126^o$।

(N/A) दिया है कि $AB \parallel CD$,$EF \perp CD$ और $\angle GED = 126^o$ है।
$1$. चूँकि $AB \parallel CD$ है और $GE$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं।
अतः,$\angle AGE = \angle GED$।
दिया है $\angle GED = 126^o$,इसलिए $\angle AGE = 126^o$।
$2$. हम जानते हैं कि $\angle GED = \angle GEF + \angle FED$।
चूँकि $EF \perp CD$ है,इसलिए $\angle FED = 90^o$।
अतः,$126^o = \angle GEF + 90^o$।
$\angle GEF = 126^o - 90^o = 36^o$।
$3$. चूँकि $AB \parallel CD$ है और $GE$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^o$ होता है।
अतः,$\angle FGE + \angle GED = 180^o$।
$\angle FGE + 126^o = 180^o$।
$\angle FGE = 180^o - 126^o = 54^o$।
अतः,$\angle AGE = 126^o$,$\angle GEF = 36^o$ और $\angle FGE = 54^o$।

(D) दिया है: $PQ \parallel ST$,$\angle PQR = 110^o$ और $\angle RST = 130^o$ है।
रचना: बिंदु $R$ से होकर जाने वाली $ST$ के समांतर एक रेखा $EF$ खींचिए।
चूंकि $PQ \parallel ST$ और $EF \parallel ST$,इसलिए $PQ \parallel EF$ होगा।
$PQ \parallel EF$ और तिर्यक रेखा $QR$ के लिए,एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^o$ होता है,अतः $\angle PQR + \angle QRE = 180^o \Rightarrow 110^o + \angle QRE = 180^o \Rightarrow \angle QRE = 70^o$।
इसी प्रकार,$ST \parallel EF$ और तिर्यक रेखा $RS$ के लिए,$\angle RST + \angle SRE = 180^o \Rightarrow 130^o + \angle SRE = 180^o \Rightarrow \angle SRE = 50^o$।
आकृति से,$\angle QRS = 180^o - (\angle QRE + \angle SRE) = 180^o - (70^o + 50^o) = 180^o - 120^o = 60^o$।

(A) दिया है: $AB \parallel CD$,$\angle APQ = 50^o$ और $\angle PRD = 127^o$ है।
$1$. चूँकि $AB \parallel CD$ और $PQ$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं।
अतः,$\angle PQR = \angle APQ$।
दिया है $\angle APQ = 50^o$,इसलिए $x = 50^o$।
$2$. चूँकि $AB \parallel CD$ और $PR$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं।
अतः,$\angle APR = \angle PRD$।
दिया है $\angle PRD = 127^o$,इसलिए $\angle APR = 127^o$।
हम जानते हैं कि $\angle APR = \angle APQ + \angle QPR$।
मान रखने पर,$127^o = 50^o + y$।
$y = 127^o - 50^o = 77^o$।
अतः,$x = 50^o$ और $y = 77^o$ है।

(N/A) $(i)$ समांतर रेखाओं पर खींचे गए लंब भी समांतर होते हैं।
$(ii)$ परावर्तन के नियमों के अनुसार,आपतन कोण $=$ परावर्तन कोण।
किरण $BL \perp PQ$ और $CM \perp RS$ खींचिए।
$\because PQ \parallel RS$ [दिया है]
$\therefore BL \parallel CM$ [$\because BL \perp PQ$ और $CM \perp RS$]
और $BC$ एक तिर्यक रेखा है।
$\therefore \angle LBC = \angle MCB$ [एकांतर अंतःकोण] ......... $(1)$
चूंकि,(आपतन कोण) $=$ (परावर्तन कोण)
$\therefore \angle ABL = \angle LBC$ और $\angle MCB = \angle MCD$
$\Rightarrow \angle ABL = \angle MCD$
$\therefore (1)$ से,हमें प्राप्त होता है
$\angle LBC + \angle ABL = \angle MCB + \angle MCD$ [बराबर में बराबर जोड़ने पर]
$\Rightarrow \angle ABC = \angle BCD$
अर्थात,एकांतर अंतःकोणों का एक युग्म बराबर है।
$\therefore AB \parallel CD$।

(C) दिया गया है कि $AB \parallel DE$ और $AE$ एक तिर्यक रेखा है।
चूंकि $AB \parallel DE$,इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं।
अतः,$\angle AED = \angle BAC = 35^o$।
अब,त्रिभुज $\Delta CDE$ पर विचार करें।
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^o$ होता है।
इसलिए,$\angle CDE + \angle DEC + \angle DCE = 180^o$।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $53^o + 35^o + \angle DCE = 180^o$।
$88^o + \angle DCE = 180^o$।
$\angle DCE = 180^o - 88^o = 92^o$।

(A) जब एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है,तो तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है (क्रमागत अंतःकोण संपूरक होते हैं)।
माना कि दो कोण $2x$ और $3x$ हैं।
गुणधर्म के अनुसार,$2x + 3x = 180^{\circ}$।
$5x = 180^{\circ}$।
$x = 180^{\circ} / 5 = 36^{\circ}$।
अतः,दोनों कोण $2(36^{\circ}) = 72^{\circ}$ और $3(36^{\circ}) = 108^{\circ}$ हैं।
दोनों कोणों में से बड़ा कोण $108^{\circ}$ है।

(D) इसे हल करने के लिए,$OP$ को आगे बढ़ाएं जो $RQ$ को बिंदु $X$ पर प्रतिच्छेद करता है।
यहाँ,$OP \parallel RS$ है और $RS$ एक तिर्यक रेखा है।
इसलिए,$\angle RXP = \angle XRS$ (एकांतर अंतःकोण)
$\Rightarrow \angle RXP = 130^{\circ}$ ... $(1)$ [क्योंकि $\angle QRS = 130^{\circ}$]
अब,$RQ$ एक रेखाखंड है।
इसलिए,$\angle PXQ + \angle RXP = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म)
$\Rightarrow \angle PXQ = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$
$\triangle PQX$ में,$\angle OPQ$ एक बहिष्कोण है।
इसलिए,$\angle OPQ = \angle PXQ + \angle PQX$ (बहिष्कोण का मान उसके सम्मुख अंतःकोणों के योग के बराबर होता है)
$110^{\circ} = 50^{\circ} + \angle PQX$
$\angle PQX = 110^{\circ} - 50^{\circ} = 60^{\circ}$
अतः,$\angle PQR = 60^{\circ}$.

(NO) नहीं,दोनों रेखाएँ हमेशा समांतर नहीं होंगी। दो रेखाओं के समांतर होने के लिए,तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होना चाहिए। यदि दो बराबर अंतःकोणों में से प्रत्येक का मान $x$ है,तो उनका योग $x + x = 2x$ होगा। रेखाएँ केवल तभी समांतर होती हैं जब $2x = 180^{\circ}$ हो,जिसका अर्थ है $x = 90^{\circ}$। यदि $x \neq 90^{\circ}$ है,तो रेखाएँ समांतर नहीं हैं।

$(136^{\circ})$ यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है,तो क्रमागत अंतःकोणों (जिन्हें सह-अंतःकोण भी कहा जाता है) का प्रत्येक युग्म संपूरक होता है,जिसका अर्थ है कि उनका योग $180^{\circ}$ होता है।
दी गई आकृति में,कोण $x$ और $44^{\circ}$ तिर्यक रेखा $n$ के एक ही ओर स्थित क्रमागत अंतःकोण हैं।
इसलिए,हमारे पास समीकरण है:
$x + 44^{\circ} = 180^{\circ}$
$x$ का मान ज्ञात करने पर:
$x = 180^{\circ} - 44^{\circ}$
$x = 136^{\circ}$

(N/A) आकृति $(i)$ के लिए,एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार काटती है कि तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $132^{\circ} + 48^{\circ} = 180^{\circ}$ है।
चूँकि क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए रेखाएँ $l$ और $m$ समांतर हैं।
आकृति (ii) के लिए,एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार काटती है कि तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $73^{\circ} + 106^{\circ} = 179^{\circ}$ है।
चूँकि क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ नहीं है,इसलिए रेखाएँ $p$ और $q$ समांतर नहीं हैं।

(B) जब दो रेखाएँ $l$ और $m$ एक ही रेखा $n$ पर लंब होती हैं,तो तिर्यक रेखा $n$ के एक ही ओर के अंतःकोण दोनों $90^{\circ}$ के होते हैं।
इन अंतःकोणों का योग $90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$ होता है।
समांतर रेखाओं के गुणधर्म के अनुसार,यदि एक तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ हो,तो रेखाएँ समांतर होती हैं।
अतः,रेखाएँ $l$ और $m$ एक-दूसरे के समांतर हैं,लंब नहीं।

(N/A) दिया है: $x=y$ और $a=b$ है।
$1$. रेखाओं $l$ और $m$ के लिए एक तिर्यक रेखा है,जिसमें संगत कोण $x$ और $y$ बराबर हैं $(x=y)$। संगत कोण अभिगृहीत के विलोम के अनुसार,यदि संगत कोण बराबर हैं,तो रेखाएँ समांतर होती हैं। इसलिए,$l \parallel m$ $....(1)$
$2$. रेखाओं $n$ और $m$ के लिए एक तिर्यक रेखा है,जिसमें संगत कोण $a$ और $b$ बराबर हैं $(a=b)$। संगत कोण अभिगृहीत के विलोम के अनुसार,यदि संगत कोण बराबर हैं,तो रेखाएँ समांतर होती हैं। इसलिए,$n \parallel m$ $....(2)$
$3$. $(1)$ और $(2)$ से,चूँकि दोनों रेखाएँ $l$ और $n$ एक ही रेखा $m$ के समांतर हैं,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $l \parallel n$ (एक ही रेखा के समांतर रेखाएँ परस्पर समांतर होती हैं)।

(N/A) हमें दिया गया है कि $\angle 1 = 60^{\circ}$ और $\angle 6 = 120^{\circ}$ है।
आकृति से,$\angle 5$ और $\angle 6$ रैखिक युग्म बनाते हैं।
इसलिए,$\angle 5 + \angle 6 = 180^{\circ}$ है।
$\angle 6$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\angle 5 + 120^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle 5 = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$।
अब,हम देखते हैं कि $\angle 1 = 60^{\circ}$ और $\angle 5 = 60^{\circ}$ है।
अतः,$\angle 1 = \angle 5$ है।
चूँकि $\angle 1$ और $\angle 5$ संगत कोण हैं और वे बराबर हैं,इसलिए रेखाएँ $m$ और $n$ समांतर हैं।

(N/A) दिया है: $l \parallel m$ और $t$ एक तिर्यक रेखा है जो $l$ को $A$ पर और $m$ को $B$ पर प्रतिच्छेद करती है।
$AP$,$\angle MAB$ का समद्विभाजक है और $BQ$,$\angle SBA$ का समद्विभाजक है (जहाँ $S$,रेखा $m$ पर एक बिंदु है ताकि $\angle MAB$ और $\angle SBA$ एकांतर अंतः कोण हों)।
चूंकि $l \parallel m$ और $t$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए एकांतर अंतः कोण बराबर होते हैं:
$\angle MAB = \angle SBA$
चूंकि $AP$ और $BQ$ समद्विभाजक हैं:
$\angle PAB = \frac{1}{2} \angle MAB$ और $\angle QBA = \frac{1}{2} \angle SBA$
अतः,$\angle PAB = \angle QBA$ है।
ये तिर्यक रेखा $t$ द्वारा रेखाओं $AP$ और $BQ$ के साथ बने एकांतर अंतः कोण हैं।
चूंकि एकांतर अंतः कोण बराबर हैं,इसलिए रेखाएं समांतर होनी चाहिए।
अतः,$AP \parallel BQ$ है।

(N/A) $DE$ को आगे बढ़ाएं ताकि वह $BC$ को $P$ पर प्रतिच्छेद करे।
चूंकि $EF \parallel BC$ है और $DP$ एक तिर्यक रेखा है,
$\therefore \angle DEF = \angle DPC$ ....$(1)$ [संगत कोण]
अब,$AB \parallel ED$ (जो $DP$ रेखा ही है) और $BC$ एक तिर्यक रेखा है,
$\therefore \angle DPC = \angle ABC$ ....$(2)$ [संगत कोण]
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है
$\angle ABC = \angle DEF$
अतः,सिद्ध हुआ।

(N/A) $ED$ को आगे बढ़ाएं ताकि वह $BC$ को बिंदु $P$ पर मिले।
चूंकि $EF \parallel BC$ है और $EP$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle DEF + \angle EPC = 180^{\circ} .....(1)$
पुनः,चूंकि $AB \parallel EP$ है और $BC$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए संगत कोण बराबर होते हैं।
अतः,$\angle ABC = \angle EPC .....(2)$
समीकरण $(2)$ से $\angle EPC$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle DEF + \angle ABC = 180^{\circ}$
अतः,$\angle ABC + \angle DEF = 180^{\circ}.$
इस प्रकार,यह सिद्ध हुआ।

(N/A) माना दो समांतर रेखाएँ $l$ और $m$ हैं,इस प्रकार कि $l \parallel m$ है। माना रेखा $p$,$l$ पर लंब है $(p \perp l)$ और रेखा $n$,$m$ पर लंब है $(n \perp m)$।
हमें यह दर्शाना है कि $p \parallel n$ है।
चूँकि $n \perp m$ है,उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle 1 = 90^{\circ}$ है।
चूँकि $p \perp l$ है,उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle 2 = 90^{\circ}$ है।
चूँकि $l \parallel m$ है और $p$ एक तिर्यक रेखा के रूप में कार्य करती है,संगत कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle 2 = \angle 3$ है।
चूँकि $\angle 2 = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle 3 = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अब,रेखा $m$ को तिर्यक रेखा मानकर रेखाओं $p$ और $n$ पर विचार करने पर,हमें $\angle 1 = 90^{\circ}$ और $\angle 3 = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\angle 1 = \angle 3$ है,ये संगत कोण हैं,जो यह दर्शाता है कि रेखाएँ $p$ और $n$ समांतर होनी चाहिए।
अतः,$p \parallel n$ है।

(N/A) दिया है: दो समांतर रेखाएँ $DE$ और $QR$ एक तिर्यक रेखा द्वारा क्रमशः $A$ और $B$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेदित होती हैं। मान लीजिए $AF$,$\angle CAE$ का समद्विभाजक है और $BP$,$\angle ABR$ का समद्विभाजक है।
सिद्ध करना है: $AF \parallel BP$.
उपपत्ति: चूँकि $DE \parallel QR$,इसलिए संगत कोण बराबर होते हैं,अतः $\angle CAE = \angle ABR$.
दोनों पक्षों को $\frac{1}{2}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{2} \angle CAE = \frac{1}{2} \angle ABR$.
चूँकि $AF$ और $BP$ समद्विभाजक हैं,इसलिए $\frac{1}{2} \angle CAE = \angle FAB$ और $\frac{1}{2} \angle ABR = \angle ABP$ होगा।
अतः,$\angle FAB = \angle ABP$.
ये तिर्यक रेखा $n$ द्वारा रेखाओं $AF$ और $BP$ पर बने संगत कोण हैं। यदि संगत कोण बराबर हैं,तो रेखाएँ समांतर होती हैं। अतः,$AF \parallel BP$ सिद्ध होता है।

(C) $1$. आकृति से,कोण $x$ और कोण $70^{\circ}$ शीर्षाभिमुख कोण हैं। इसलिए,$x = 70^{\circ}$।
$2$. आकृति में $y$ और $110^{\circ}$ शीर्षाभिमुख कोण हैं,इसलिए $y = 110^{\circ}$।
$3$. वैकल्पिक रूप से,तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण $y$ और $x$ हैं। यहाँ $y = 110^{\circ}$ और $x = 70^{\circ}$ है,इसलिए उनका योग $110^{\circ} + 70^{\circ} = 180^{\circ}$ है।
$4$. चूँकि तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए रेखाएँ $PQ$ और $XY$ समांतर हैं $(PQ \parallel XY)$।

(N/A) दिया है: $AB \parallel DE$ और $BC \parallel EF$ है।
सिद्ध करना है: $\angle ABC = \angle DEF$ है।
रचना: $DE$ को आगे बढ़ाएं ताकि वह $BC$ को बिंदु $G$ पर प्रतिच्छेद करे।
उपपत्ति:
$1$. चूँकि $AB \parallel DE$ है और $BC$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए $\angle ABC = \angle DGC$ (संगत कोण)।
$2$. चूँकि $BC \parallel EF$ है और $DE$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए $\angle DGC = \angle DEF$ (संगत कोण)।
$3$. समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है कि $\angle ABC = \angle DEF$ है।
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: $AB \parallel DE$ और $BC \parallel EF$।
सिद्ध करना है: $\angle ABC + \angle DEF = 180^{\circ}$।
रचना: $ED$ को आगे बढ़ाएं ताकि वह $BC$ को बिंदु $G$ पर मिले।
उपपत्ति:
चूंकि $AB \parallel DE$ और $ED$ को $G$ तक बढ़ाया गया है,इसलिए $AB \parallel DG$ है।
चूंकि $AB \parallel DG$ और $BG$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,अतः $\angle ABC + \angle BGD = 180^{\circ}$ (क्रमागत अंतःकोण)।
अब,$BC \parallel EF$ पर विचार करें। चूंकि $BC \parallel EF$ और $EG$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए $\angle BGD = \angle DEF$ (संगत कोण)।
पहले समीकरण में $\angle BGD = \angle DEF$ रखने पर,हमें $\angle ABC + \angle DEF = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है।
इति सिद्धम।

(B) जब दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है,तो तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों को क्रमागत अंतःकोण (जिन्हें सह-अंतःकोण भी कहा जाता है) कहते हैं।
समांतर रेखाओं के गुणों के अनुसार,ये कोण संपूरक होते हैं,जिसका अर्थ है कि उनका योग $180^{\circ}$ होता है।

(A) जब दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा द्वारा काटा जाता है,तो प्रत्येक प्रतिच्छेदन बिंदु पर बनने वाले संगत कोण बराबर होते हैं। यह समांतर रेखाओं का एक मूलभूत गुण है जिसे संगत कोण अभिगृहीत (Corresponding Angles Axiom) के रूप में जाना जाता है।

(N/A) मान लीजिए कि दो समांतर रेखाएँ $l$ और $m$ हैं,और $n$ एक तिर्यक रेखा है जो उन्हें क्रमशः $A$ और $B$ बिंदुओं पर काटती है।
मान लीजिए कि बनने वाले अंतःकोण $\angle PAB$,$\angle QAB$,$\angle RBA$ और $\angle SBA$ हैं।
इन चार अंतःकोणों के समद्विभाजक एक चतुर्भुज $EFGH$ बनाते हैं।
चूँकि $l \parallel m$,क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,अर्थात $\angle PAB + \angle RBA = 180^{\circ}$।
$2$ से भाग देने पर,हमें $\frac{1}{2}\angle PAB + \frac{1}{2}\angle RBA = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
$\triangle EAB$ में,$\angle EAB + \angle EBA = 90^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $\angle AEB = 90^{\circ}$।
इसी प्रकार,चतुर्भुज $EFGH$ के अन्य सभी कोणों को भी $90^{\circ}$ सिद्ध किया जा सकता है।
चूँकि सभी अंतःकोण $90^{\circ}$ हैं,इसलिए चतुर्भुज $EFGH$ एक आयत है।