Basic Terms and Definitions Questions in Gujarati

(N/A) કારણ કે $PQ$ એક સીધી રેખા છે,તેથી રૈખિક જોડના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^o$ થાય છે.
$\angle POR + \angle ROQ = 180^o$ (રૈખિક જોડના ખૂણાઓનો પૂર્વધારણા)
આપેલ છે કે $\angle POR : \angle ROQ = 5 : 7$.
ધારો કે $\angle POR = 5x$ અને $\angle ROQ = 7x$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$5x + 7x = 180^o$
$12x = 180^o$
$x = 15^o$
તેથી,$\angle POR = 5 \times 15^o = 75^o$ અને $\angle ROQ = 7 \times 15^o = 105^o$.
જેમ કે $PQ$ અને $RS$ છેદતી રેખાઓ છે,અભિકોણો સમાન હોય છે:
$\angle POS = \angle ROQ = 105^o$
$\angle SOQ = \angle POR = 75^o$
આમ,ખૂણાઓ $75^o, 105^o, 75^o$ અને $105^o$ છે.

(B) કિરણ $OS$ એ રેખા $POQ$ પર આવેલું છે.
તેથી,$\angle POS + \angle SOQ = 180^o$ (રૈખિક જોડના ખૂણા).
આપેલ છે કે $\angle POS = x$.
તેથી,$x + \angle SOQ = 180^o$,જેનો અર્થ છે કે $\angle SOQ = 180^o - x$.
હવે,કિરણ $OR$ એ $\angle POS$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle ROS = \frac{1}{2} \times \angle POS = \frac{x}{2}$.
તે જ રીતે,કિરણ $OT$ એ $\angle SOQ$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle SOT = \frac{1}{2} \times \angle SOQ = \frac{1}{2} \times (180^o - x) = 90^o - \frac{x}{2}$.
હવે,$\angle ROT = \angle ROS + \angle SOT$.
કિંમતો મૂકતા,$\angle ROT = \frac{x}{2} + 90^o - \frac{x}{2} = 90^o$.

(N/A) આ સાબિત કરવા માટે,આપણે $OP$,$OQ$,$OR$ અથવા $OS$ કિરણોમાંથી કોઈપણ એકને પાછળની તરફ એક બિંદુ સુધી લંબાવવાની જરૂર છે. ધારો કે આપણે કિરણ $OQ$ ને પાછળની તરફ બિંદુ $T$ સુધી લંબાવીએ છીએ જેથી $TOQ$ એક સીધી રેખા બને.
હવે,કિરણ $OP$ એ રેખા $TOQ$ પર છે.
તેથી,$\angle TOP + \angle POQ = 180^o$ ........ $(1)$ (રૈખિક જોડના ખૂણાનું પૂર્વધારણા)
તે જ રીતે,કિરણ $OS$ એ રેખા $TOQ$ પર છે.
તેથી,$\angle TOS + \angle SOQ = 180^o$ ........ $(2)$
પરંતુ,$\angle SOQ = \angle SOR + \angle QOR$.
આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\angle TOS + \angle SOR + \angle QOR = 180^o$ ........ $(3)$
હવે,$(1)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$\angle TOP + \angle POQ + \angle TOS + \angle SOR + \angle QOR = 360^o$ ........ $(4)$
કારણ કે $\angle TOP + \angle TOS = \angle POS$,તેથી સમીકરણ $(4)$ આ મુજબ બને છે:
$\angle POQ + \angle QOR + \angle SOR + \angle POS = 360^o$.

(D) કારણ કે $AB$ એક સીધી રેખા છે,તેથી બિંદુ $O$ પર રેખાની એક બાજુના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^o$ થાય છે.
$\therefore \angle AOC + \angle COE + \angle BOE = 180^o$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$(\angle AOC + \angle BOE) + \angle COE = 180^o$
આપેલ છે કે $\angle AOC + \angle BOE = 70^o$,આ કિંમત મૂકતા:
$70^o + \angle COE = 180^o$
$\angle COE = 180^o - 70^o = 110^o$
વિપરીત $\angle COE = 360^o - \angle COE = 360^o - 110^o = 250^o$
કારણ કે રેખાઓ $AB$ અને $CD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે,તેથી અભિકોણો સમાન હોય છે:
$\angle AOC = \angle BOD$
આપેલ છે કે $\angle BOD = 40^o$,તેથી $\angle AOC = 40^o$.
આપેલ સમીકરણ $\angle AOC + \angle BOE = 70^o$ નો ઉપયોગ કરતા:
$40^o + \angle BOE = 70^o$
$\angle BOE = 70^o - 40^o = 30^o$
આમ,$\angle BOE = 30^o$ અને વિપરીત $\angle COE = 250^o$.

(N/A) કારણ કે $ST$ એક સીધી રેખા છે,
$\therefore \angle PQS + \angle PQR = 180^\circ$ ........... $(1)$
તે જ રીતે,$\angle PRT + \angle PRQ = 180^\circ$ ........... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે
$\angle PQS + \angle PQR = \angle PRT + \angle PRQ$
પરંતુ $\angle PQR = \angle PRQ$ [આપેલ છે]
$\therefore \angle PQS = \angle PRT$

(N/A) એક બિંદુની આસપાસના તમામ ખૂણાઓનો સરવાળો $360^\circ$ થાય છે.
તેથી,$x+y+z+w=360^\circ$.
આપણને આપેલ છે કે $x+y=w+z$.
$(w+z)$ ની જગ્યાએ $(x+y)$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(x+y)+(x+y)=360^\circ$
$2(x+y)=360^\circ$
$x+y = \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ$.
કારણ કે પાસપાસેના ખૂણાઓ $x$ અને $y$ નો સરવાળો $180^\circ$ છે,તેથી તેઓ રૈખિક જોડ બનાવે છે.
તેથી,$AOB$ એક સીધી રેખા છે.

(N/A) $POQ$ એક સીધી રેખા છે. [આપેલ છે]
$\therefore \angle POS + \angle ROS + \angle ROQ = 180^o$
પરંતુ $OR \perp PQ$,તેથી $\angle ROQ = 90^o$.
સમીકરણમાં $\angle ROQ = 90^o$ મૂકતા:
$\angle POS + \angle ROS + 90^o = 180^o$
$\Rightarrow \angle POS + \angle ROS = 90^o$ --- $(1)$
હવે,આપણી પાસે $\angle QOS = \angle ROQ + \angle ROS$ છે.
કારણ કે $\angle ROQ = 90^o$,તેથી:
$\angle QOS = 90^o + \angle ROS$
$\Rightarrow 90^o = \angle QOS - \angle ROS$ --- $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\angle POS + \angle ROS = \angle QOS - \angle ROS$
$\Rightarrow \angle ROS + \angle ROS = \angle QOS - \angle POS$
$\Rightarrow 2 \angle ROS = \angle QOS - \angle POS$
$\therefore \angle ROS = \frac{1}{2}(\angle QOS - \angle POS)$

(A) $XYP$ એક સીધી રેખા છે.
તેથી,$\angle XYZ + \angle ZYQ + \angle QYP = 180^o$.
કારણ કે $64^o + \angle ZYQ + \angle QYP = 180^o$ અને $YQ$ એ $\angle ZYP$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle ZYQ = \angle QYP$.
આમ,$64^o + 2 \angle QYP = 180^o$.
$2 \angle QYP = 180^o - 64^o = 116^o$.
$\angle QYP = 58^o$.
વિપરીત $\angle QYP = 360^o - 58^o = 302^o$.
હવે,$\angle XYQ = \angle XYZ + \angle ZYQ = 64^o + 58^o = 122^o$.

(A) અહીં $TQR$ એક સીધી રેખા છે,
$\therefore \angle TQP + \angle PQR = 180^o$ [રેખિક જોડના ખૂણા]
$\Rightarrow 110^o + \angle PQR = 180^o$
$\Rightarrow \angle PQR = 180^o - 110^o = 70^o$
હવે,$\Delta PQR$ માટે,બાજુ $QP$ ને $S$ સુધી લંબાવવામાં આવી છે.
તેથી,$\angle SPR$ એ $\Delta PQR$ નો બહિષ્કોણ છે.
બહિષ્કોણના ગુણધર્મ મુજબ,બહિષ્કોણનું માપ તેના અંતઃસંમુખ ખૂણાઓના સરવાળા જેટલું હોય છે.
$\therefore \angle SPR = \angle PQR + \angle PRQ$
$135^o = 70^o + \angle PRQ$
$\Rightarrow \angle PRQ = 135^o - 70^o$
$\Rightarrow \angle PRQ = 65^o$

(NONE) જો કોઈ બિંદુની આસપાસના પાસપાસેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય,તો તે રેખા બનાવે છે.
$AOC$ રેખા હોવા માટે,ખૂણાઓનો સરવાળો $\angle AOB + \angle BOC = 180^{\circ}$ હોવો જોઈએ.
અહીં $\angle AOB = 100^{\circ}$ અને $\angle BOC = 82^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી તેમનો સરવાળો $100^{\circ} + 82^{\circ} = 182^{\circ}$ થાય છે.
જેથી $182^{\circ} \neq 180^{\circ}$ હોવાથી,$AOC$ એ સીધી રેખા નથી.
તે જ રીતે,$BOD$ રેખા હોવા માટે,ખૂણાઓનો સરવાળો $\angle BOC + \angle COD = 180^{\circ}$ હોવો જોઈએ.
અહીં $\angle BOC = 82^{\circ}$ અને $\angle COD = 100^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી તેમનો સરવાળો $82^{\circ} + 100^{\circ} = 182^{\circ}$ થાય છે.
જેથી $182^{\circ} \neq 180^{\circ}$ હોવાથી,$BOD$ પણ સીધી રેખા નથી.

(C) રેખા એ બિંદુઓનો સમૂહ છે જે બંને દિશામાં અનંત સુધી વિસ્તરેલી હોય છે. રેખાનો એવો ભાગ જેને બે નિશ્ચિત અંત્યબિંદુઓ હોય તેને રેખાખંડ કહેવામાં આવે છે. તેથી,સાચો જવાબ રેખાખંડ છે.

(B) રેખા એ એક સીધો માર્ગ છે જે બંને દિશામાં અનંત સુધી વિસ્તરેલો હોય છે. રેખાખંડ એ રેખાનો એક ભાગ છે જેને બે અંત્યબિંદુઓ હોય છે. કિરણ એ રેખાનો એક ભાગ છે જે એક બિંદુ (અંત્યબિંદુ) થી શરૂ થાય છે અને એક દિશામાં અનંત સુધી વિસ્તરે છે. તેથી,રેખાનો એક ભાગ જેને એક અંત્યબિંદુ હોય તેને કિરણ કહેવાય છે.

(D) જે ખૂણાનું માપ બરાબર $180^{\circ}$ હોય તેને સરળકોણ કહેવામાં આવે છે. આ ખૂણો એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.

(B) જે ખૂણાનું માપ બરાબર $90^{\circ}$ હોય તેને કાટખૂણો કહેવામાં આવે છે. તેથી,સાચો જવાબ કાટખૂણો છે.

(C) જે ખૂણાનું માપ $180^{\circ}$ થી વધારે અને $360^{\circ}$ થી ઓછું હોય તેને વિપરીતકોણ (reflex angle) કહેવામાં આવે છે.