Mix Examples - Lines and Angles Questions in Gujarati

(D) $\Delta PRT$ માં,
$\angle P + \angle R + \angle PTR = 180^\circ$ [ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ દ્વારા]
$\Rightarrow 95^\circ + 40^\circ + \angle PTR = 180^\circ$
$\Rightarrow \angle PTR = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$
જેમ કે રેખાઓ $PQ$ અને $RS$ બિંદુ $T$ પર છેદે છે,તેથી અભિકોણો સમાન હોય છે.
$\therefore \angle QTS = \angle PTR = 45^\circ$
હવે,$\Delta TQS$ માં,
$\angle TSQ + \angle STQ + \angle SQT = 180^\circ$ [ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ દ્વારા]
$\Rightarrow 75^\circ + 45^\circ + \angle SQT = 180^\circ$
$\Rightarrow 120^\circ + \angle SQT = 180^\circ$
$\Rightarrow \angle SQT = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$
આમ,$\angle SQT = 60^\circ$.

(A) $\Delta QRS$ માં,બાજુ $SR$ ને $T$ સુધી લંબાવેલ છે.
તેથી,બહિષ્કોણ $\angle QRT = \angle RQS + \angle RSQ$ (બહિષ્કોણનો ગુણધર્મ).
આપેલ છે કે $\angle RQS = 28^o$ અને $\angle QRT = 65^o$.
તેથી,$28^o + \angle RSQ = 65^o$.
$\angle RSQ = 65^o - 28^o = 37^o$.
અહીં $PQ \parallel SR$ અને $QS$ એ છેદિકા છે,તેથી યુગ્મકોણ સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle PQS = \angle RSQ$.
$x = 37^o$.
આપેલ છે કે $PQ \perp PS$,તેથી $\angle SPQ = 90^o$.
$\Delta PQS$ માં,ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ મુજબ,$\angle SPQ + \angle PQS + \angle PSQ = 180^o$.
$90^o + x + y = 180^o$.
$90^o + 37^o + y = 180^o$.
$127^o + y = 180^o$.
$y = 180^o - 127^o = 53^o$.
આમ,$x = 37^o$ અને $y = 53^o$.

(B) આપેલ છે કે $AB \parallel CD \parallel EF$ અને $PQ \parallel RS$.
આકૃતિ પરથી,$\angle QRS$ એ સમાંતર રેખાઓ $PQ$ અને $RS$ ની વચ્ચેની છેદિકા $QR$ દ્વારા બનતો ખૂણો છે.
ગણતરી મુજબ,$\angle QRS = 180^{\circ} - (25^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 85^{\circ} = 95^{\circ}$ થવો જોઈએ,પરંતુ વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $145^{\circ}$ છે.

(C) અહીં $POQ$ એક સીધી રેખા હોવાથી,બિંદુ $O$ પર રેખાની એક તરફના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે (રૈખિક જોડના ખૂણાઓનો ગુણધર્મ).
તેથી,આપણે લખી શકીએ:
$40^{\circ} + 4x + 3x = 180^{\circ}$
$40^{\circ} + 7x = 180^{\circ}$
$7x = 180^{\circ} - 40^{\circ}$
$7x = 140^{\circ}$
$x = 140^{\circ} / 7$
$x = 20^{\circ}$

(B) સીધી રેખા $CD$ પરના બિંદુ $O$ ની આસપાસના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
આકૃતિ પરથી,આપણી પાસે $\angle COE + \angle EOA + \angle AOD = 180^{\circ}$ છે.
અહીં $\angle COE = 2y$,$\angle EOA = 2y$ આપેલ છે અને $\angle AOD$ એ $\angle BOF$ નો અભિકોણ છે,તેથી $\angle AOD = \angle BOF = 5y$.
તેથી,$2y + 2y + 5y = 180^{\circ}$.
$9y = 180^{\circ}$.
$y = 20^{\circ}$.

(N/A) આપેલ છે: $AP$ એ $\angle MAB$ નો દ્વિભાજક છે અને $BQ$ એ $\angle SBA$ નો દ્વિભાજક છે. આપણને આપેલ છે કે $AP \parallel BQ$.
કારણ કે $AP \parallel BQ$ અને $t$ એ છેદિકા છે,તેથી યુગ્મ કોણ સમાન થાય:
$\angle 2 = \angle 3$ (યુગ્મ કોણ)
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$2 \angle 2 = 2 \angle 3$
$AP$ અને $BQ$ દ્વિભાજક હોવાથી:
$\angle 1 = \angle 2$ અને $\angle 3 = \angle 4$
તેથી,$\angle 1 + \angle 2 = \angle 3 + \angle 4$
આનો અર્થ એ થાય કે $\angle MAB = \angle SBA$.
યુગ્મ કોણ $\angle MAB$ અને $\angle SBA$ સમાન હોવાથી,રેખાઓ $l$ અને $m$ સમાંતર હોવી જોઈએ,એટલે કે $l \parallel m$.

(B) આપેલ છે કે $DE \parallel QR$ અને રેખા $n$ એ તેમની છેદિકા છે.
છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\angle EAB + \angle RBA = 180^{\circ}$.
$AP$ એ $\angle EAB$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,$\angle PAB = \frac{1}{2} \angle EAB$.
$BP$ એ $\angle RBA$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,$\angle PBA = \frac{1}{2} \angle RBA$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$\angle PAB + \angle PBA = \frac{1}{2} (\angle EAB + \angle RBA) = \frac{1}{2} (180^{\circ}) = 90^{\circ}$.
$\Delta APB$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે:
$\angle APB + \angle PAB + \angle PBA = 180^{\circ}$.
કિંમત મૂકતા,$\angle APB + 90^{\circ} = 180^{\circ}$.
તેથી,$\angle APB = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.

(N/A) આપેલ છે: $\triangle ABC$ માં,$\angle BAC = 90^{\circ}$ અને $AL \perp BC$.
સાબિત કરવાનું છે: $\angle BAL = \angle ACB$.
સાબિતી:
$\triangle ABC$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$
$90^{\circ} + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$
$\angle ABC + \angle ACB = 90^{\circ} \quad \dots(1)$
$\triangle BAL$ માં,$\angle ALB = 90^{\circ}$ (કારણ કે $AL \perp BC$).
તેથી,$\angle BAL + \angle ABL + \angle ALB = 180^{\circ}$
$\angle BAL + \angle ABC + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BAL + \angle ABC = 90^{\circ} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી:
$\angle BAL + \angle ABC = \angle ACB + \angle ABC$
બંને બાજુથી $\angle ABC$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$\angle BAL = \angle ACB$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) ધારો કે $A$ અને $B$ પરના લંબ $P$ બિંદુએ મળે છે.
અરીસાઓ એકબીજાને લંબ હોવાથી,$BP \parallel OA$ અને $AP \parallel OB$ થાય.
તેથી,$BP \perp PA$,એટલે કે $\angle BPA = 90^{\circ}$.
$\triangle BPA$ માં,ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ મુજબ:
$\angle 2 + \angle 3 + \angle BPA = 180^{\circ}$
$\angle 2 + \angle 3 + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle 2 + \angle 3 = 90^{\circ} ......(1)$
પરાવર્તનના નિયમો મુજબ,આપાતકોણ એ પરાવર્તનકોણ જેટલો હોય છે:
$\angle 1 = \angle 2$ અને $\angle 3 = \angle 4$
આ કિંમતો $(1)$ માં મૂકતા:
$\angle 1 + \angle 4 = 90^{\circ} ......(2)$
હવે,ખૂણાઓ $\angle CAB$ અને $\angle DBA$ નો સરવાળો ધ્યાનમાં લો:
$\angle CAB + \angle DBA = (\angle 1 + \angle 2) + (\angle 3 + \angle 4)$
$= 2\angle 2 + 2\angle 3 = 2(\angle 2 + \angle 3)$
$= 2(90^{\circ}) = 180^{\circ}$
છેદિકા $AB$ ની એક જ બાજુના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,રેખાઓ $CA$ અને $BD$ સમાંતર હોવી જોઈએ.
તેથી,$CA \parallel BD$.

(N/A) ત્રિકોણ $ABC$ ને ધ્યાનમાં લો. ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ મુજબ,આપણી પાસે છે:
$\angle A + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle ABC + \frac{1}{2} \angle ACB = 90^{\circ}$
જેহেতু $BO$ અને $CO$ એ અનુક્રમે $\angle B$ અને $\angle C$ ના ખૂણાના દ્વિભાજકો છે,આપણે $\angle OBC = \frac{1}{2} \angle ABC$ અને $\angle OCB = \frac{1}{2} \angle ACB$ લખી શકીએ છીએ. આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2} \angle A + \angle OBC + \angle OCB = 90^{\circ} .......(1)$
હવે,ત્રિકોણ $OBC$ ને ધ્યાનમાં લો. ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ મુજબ:
$\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^{\circ} .......(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણી પાસે $(\angle OBC + \angle OCB) = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle A$ છે. આને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$\angle BOC + (90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle A) = 180^{\circ}$
તેથી,$\angle BOC = 180^{\circ} - 90^{\circ} + \frac{1}{2} \angle A$
$\angle BOC = 90^{\circ} + \frac{1}{2} \angle A$.

(N/A) આપેલ છે : $\triangle ABC$,$BC$ ને $D$ સુધી લંબાવો અને $\angle ABC$ તથા $\angle ACD$ ના દ્વિભાજકો બિંદુ $T$ માં મળે છે.
સાબિત કરવાનું છે : $\angle BTC = \frac{1}{2} \angle BAC$
સાબિતી : $\triangle ABC$ માં,$\angle ACD$ એ બહિષ્કોણ છે.
$\therefore \angle ACD = \angle ABC + \angle CAB$
[ત્રિકોણનો બહિષ્કોણ તેના બે અંતઃસન્મુખ કોણના સરવાળા જેટલો હોય છે]
$\Rightarrow \frac{1}{2} \angle ACD = \frac{1}{2} \angle CAB + \frac{1}{2} \angle ABC$ [બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા]
$\Rightarrow \angle TCD = \frac{1}{2} \angle CAB + \frac{1}{2} \angle ABC .....(1)$
[કારણ કે $CT$ એ $\angle ACD$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle TCD = \frac{1}{2} \angle ACD$]
$\triangle BTC$ માં,$\angle TCD$ એ બહિષ્કોણ છે.
$\therefore \angle TCD = \angle BTC + \angle CBT$
[ત્રિકોણનો બહિષ્કોણ તેના બે અંતઃસન્મુખ કોણના સરવાળા જેટલો હોય છે]
$\Rightarrow \angle TCD = \angle BTC + \frac{1}{2} \angle ABC .....(2)$
[કારણ કે $BT$ એ $\angle ABC$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle CBT = \frac{1}{2} \angle ABC$]
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે
$\frac{1}{2} \angle CAB + \frac{1}{2} \angle ABC = \angle BTC + \frac{1}{2} \angle ABC$
$\Rightarrow \frac{1}{2} \angle CAB = \angle BTC$ અથવા $\angle BTC = \frac{1}{2} \angle BAC$
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) ધારો કે $AB$ એક આપેલી રેખા છે અને $P$ રેખાની બહારનું એક બિંદુ છે.
બિંદુ $P$ માંથી,રેખા $AB$ પર એક લંબ $PM$ દોરો,જેથી $\angle PMB = 90^{\circ}$ થાય.
ધારો કે,જો શક્ય હોય તો,આપણે રેખા $AB$ પર બીજો લંબ $PN$ દોરી શકીએ છીએ,જેથી $\angle PNB = 90^{\circ}$ થાય.
$\triangle PMN$ માં,કારણ કે $\angle PMB = 90^{\circ}$ અને $\angle PNB = 90^{\circ}$ છે,આપણે જોઈએ છીએ કે જો $N$ અને $M$ અલગ બિંદુઓ હોય,તો $\triangle PMN$ માં બે ખૂણાઓ $90^{\circ}$ ના થાય,જેનો અર્થ એ થાય કે ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થી વધી જશે. આ ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,બિંદુઓ $M$ અને $N$ એક જ હોવા જોઈએ.
આમ,આપેલા બિંદુમાંથી,આપણે આપેલી રેખા પર માત્ર એક જ લંબ દોરી શકીએ છીએ.

(N/A) આપેલ છે: $\triangle PQR$ માં,$\angle Q > \angle R$,$PA$ એ $\angle QPR$ નો દ્વિભાજક છે અને $PM \perp QR$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\angle APM = \frac{1}{2}(\angle Q - \angle R)$.
સાબિતી:
$1$. $PA$ એ $\angle QPR$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,$\angle QPA = \angle APR = \frac{1}{2} \angle QPR$ થાય.
$2$. $\triangle PQM$ માં,$\angle Q + \angle PMQ + \angle QPM = 180^{\circ}$. $\angle PMQ = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\angle Q + 90^{\circ} + \angle QPM = 180^{\circ}$,તેથી $\angle Q = 90^{\circ} - \angle QPM$.
$3$. $\triangle PRM$ માં,$\angle R + \angle PMR + \angle RPM = 180^{\circ}$. $\angle PMR = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\angle R + 90^{\circ} + \angle RPM = 180^{\circ}$,તેથી $\angle R = 90^{\circ} - \angle RPM$.
$4$. બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $\angle Q - \angle R = (90^{\circ} - \angle QPM) - (90^{\circ} - \angle RPM) = \angle RPM - \angle QPM$.
$5$. આપણે લખી શકીએ કે $\angle RPM = \angle APM + \angle APR$ અને $\angle QPM = \angle QPA - \angle APM$.
$6$. આ કિંમતો મૂકતા: $\angle Q - \angle R = (\angle APM + \angle APR) - (\angle QPA - \angle APM)$.
$7$. $\angle QPA = \angle APR$ હોવાથી,આ સાદું રૂપ આપતા $\angle Q - \angle R = 2 \angle APM$ મળે.
$8$. તેથી,$\angle APM = \frac{1}{2}(\angle Q - \angle R)$. આમ સાબિત થાય છે.

(N/A) રેખા $AB$ એક સીધી રેખા હોવાથી,$\angle APC + \angle BPC = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા).
આપેલ છે કે $\angle APC : \angle BPC = 7 : 8$.
ધારો કે $\angle APC = 7x$ અને $\angle BPC = 8x$.
તેથી,$7x + 8x = 180^{\circ}$.
$15x = 180^{\circ}$.
$x = \frac{180^{\circ}}{15} = 12^{\circ}$.
તેથી,$\angle APC = 7 \times 12^{\circ} = 84^{\circ}$ અને $\angle BPC = 8 \times 12^{\circ} = 96^{\circ}$.
રેખાઓ $AB$ અને $CD$ બિંદુ $P$ પર છેદતી હોવાથી,અભિકોણો સમાન હોય છે.
આમ,$\angle DPB = \angle APC = 84^{\circ}$ અને $\angle APD = \angle BPC = 96^{\circ}$.
આમ,ચારેય ખૂણાઓ $84^{\circ}, 96^{\circ}, 84^{\circ}$ અને $96^{\circ}$ છે.

(A) કિરણ $YW$ એ રેખા $XYZ$ પર આવેલું હોવાથી,$\angle WYZ + \angle WYX = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા).
આપેલ છે કે $\angle WYZ : \angle WYX = 1 : 2$,તેથી ધારો કે $\angle WYZ = x$ અને $\angle WYX = 2x$.
તેથી,$x + 2x = 180^{\circ} \implies 3x = 180^{\circ} \implies x = 60^{\circ}$.
આમ,$\angle WYZ = 60^{\circ}$ અને $\angle WYX = 120^{\circ}$.
કિરણ $YQ$ એ $\angle WYZ$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle WYQ = \frac{1}{2} \times \angle WYZ = \frac{1}{2} \times 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
કિરણ $YP$ એ $\angle WYX$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle WYP = \frac{1}{2} \times \angle WYX = \frac{1}{2} \times 120^{\circ} = 60^{\circ}$.
અંતે,$\angle PYQ = \angle WYQ + \angle WYP = 30^{\circ} + 60^{\circ} = 90^{\circ}$.

(N/A) આપેલ છે કે $AB \perp CD$,તેથી $\angle ABC = 90^{\circ}$.
આકૃતિ પરથી,$\angle ABC = x + y + z = 90^{\circ}$.
ખૂણાઓનો ગુણોત્તર $x : y : z = 4 : 5 : 6$ આપેલ છે.
ધારો કે ખૂણાઓ અનુક્રમે $4k, 5k$ અને $6k$ છે.
ગુણોત્તરનો સરવાળો $= 4 + 5 + 6 = 15$.
તેથી,$15k = 90^{\circ}$,જે આપણને $k = \frac{90^{\circ}}{15} = 6^{\circ}$ આપે છે.
હવે,મૂલ્યોની ગણતરી કરતા:
$x = 4k = 4 \times 6^{\circ} = 24^{\circ}$
$y = 5k = 5 \times 6^{\circ} = 30^{\circ}$
$z = 6k = 6 \times 6^{\circ} = 36^{\circ}$
આમ,$x = 24^{\circ}, y = 30^{\circ}$ અને $z = 36^{\circ}$ છે.

(N/A) આપેલ છે કે રેખાઓ $AB$ અને $CD$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે.
$AB$ એક સીધી રેખા હોવાથી,રેખાની એક બાજુના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle AOC + \angle COE + \angle BOE = 180^{\circ}.$
આપણને $\angle AOC + \angle BOE = 100^{\circ}$ આપેલ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $100^{\circ} + \angle COE = 180^{\circ},$
જેથી $\angle COE = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$ મળે છે.
$AB$ અને $CD$ સીધી રેખાઓ હોવાથી,અભિકોણો સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle AOC = \angle BOD = 40^{\circ}.$
આપેલ સમીકરણ $\angle AOC + \angle BOE = 100^{\circ}$ નો ઉપયોગ કરતા,
$40^{\circ} + \angle BOE = 100^{\circ},$
$\angle BOE = 100^{\circ} - 40^{\circ} = 60^{\circ}.$
અંતે,વિપરીત $\angle COE = 360^{\circ} - \angle COE = 360^{\circ} - 80^{\circ} = 280^{\circ}$ થાય.

(N/A) આપેલ છે કે કિરણ $QS \perp PR$,તેથી $\angle PQS = \angle SQR = 90^{\circ}$.
કારણ કે $\angle PQT + \angle TQS = \angle PQS$,તેથી $b + a = 90^{\circ}$.
આપેલ છે કે $a: b = 7: 11$,ધારો કે $a = 7x$ અને $b = 11x$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $7x + 11x = 90^{\circ} \implies 18x = 90^{\circ} \implies x = 5^{\circ}$.
તેથી,$a = 7 \times 5^{\circ} = 35^{\circ}$ અને $b = 11 \times 5^{\circ} = 55^{\circ}$.
$PR$ એક સીધી રેખા હોવાથી,$\angle PQT + \angle TQR = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા).
$b + \angle TQR = 180^{\circ} \implies 55^{\circ} + \angle TQR = 180^{\circ} \implies \angle TQR = 125^{\circ}$.
રેખાઓ $PR$ અને $TU$ બિંદુ $Q$ માં છેદે છે,તેથી અભિકોણો સમાન હોય છે.
તેથી,$c = \angle PQT = b = 55^{\circ}$.
વિપરીત $\angle TQR = 360^{\circ} - \angle TQR = 360^{\circ} - 125^{\circ} = 235^{\circ}$.

(A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બિંદુ $X$ માંથી પસાર થતી રેખા $PQ \parallel AB$ દોરો.
હવે,$PQ \parallel AB$ અને $AB \parallel CD$ છે.
તેથી,$CD \parallel PQ$ (કારણ કે $AB \parallel CD$ અને $AB \parallel PQ$ છે).
સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $PQ$ ને છેદતી છેદિકા $MX$ નો વિચાર કરો. છેદિકાની એક જ તરફના અંતઃકોણો પૂરક હોય છે.
$\therefore \angle BMX + \angle MXQ = 180^{\circ}$
આપેલ છે કે $\angle BMX = 125^{\circ}$,તેથી:
$125^{\circ} + \angle MXQ = 180^{\circ}$
$\therefore \angle MXQ = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}$ $(1)$
હવે,સમાંતર રેખાઓ $CD$ અને $PQ$ ને છેદતી છેદિકા $NX$ નો વિચાર કરો. યુગ્મકોણો સમાન હોય છે.
$\therefore \angle NXQ = \angle XNC = 55^{\circ}$ $(2)$
અંતે,$\angle MXN = \angle MXQ + \angle NXQ$.
$(1)$ અને $(2)$ પરથી કિંમતો મૂકતા:
$\angle MXN = 55^{\circ} + 55^{\circ} = 110^{\circ}$.

$(96^{\circ})$ આપેલ છે: $PQ \parallel RS$ અને $RS \parallel TU$.
એક જ રેખાને સમાંતર રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર હોવાથી,$PQ \parallel TU$ થાય.
તેથી,$x = z$ (યુગ્મકોણ).
હવે,$PQ \parallel RS$ માટે,છેદિકાની એક જ તરફના અંતઃકોણો પૂરક હોય છે.
તેથી,$x + y = 180^{\circ}$.
સમીકરણમાં $x = z$ મૂકતા,આપણને $z + y = 180^{\circ}$ મળે.
ગુણોત્તર $y: z = 7: 8$ આપેલ છે,તેથી ધારો કે $y = 7k$ અને $z = 8k$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $7k + 8k = 180^{\circ} \implies 15k = 180^{\circ} \implies k = 12^{\circ}$.
આમ,$y = 7 \times 12^{\circ} = 84^{\circ}$ અને $z = 8 \times 12^{\circ} = 96^{\circ}$.
$x = z$ હોવાથી,$x = 96^{\circ}$ મળે.

(D) આપેલ છે કે $PQ || RS$ અને $RS || MN$. તેથી,$PQ || MN$.
આકૃતિ પરથી,$x$ અને $y$ એ $PQ$ અને $RS$ રેખાઓ વચ્ચેના છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો છે,તેથી $x + y = 180^o$.
તે જ રીતે,$y$ અને $z$ એ $RS$ અને $MN$ રેખાઓ વચ્ચેના છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો છે,તેથી $y + z = 180^o$.
આનો અર્થ એ છે કે $x = z$ (કારણ કે બંને $y$ ના પૂરક કોણ છે).
આપેલ છે કે $y: z = 7: 11$,ધારો કે $y = 7k$ અને $z = 11k$.
$y + z = 180^o$ હોવાથી,$7k + 11k = 180^o$,જે $18k = 180^o$ આપે છે,તેથી $k = 10^o$.
આમ,$y = 7 \times 10^o = 70^o$ અને $z = 11 \times 10^o = 110^o$.
$x + y = 180^o$ હોવાથી,$x + 70^o = 180^o$.
તેથી,$x = 180^o - 70^o = 110^o$.

(N/A) $1$. આપેલ છે: $PQ \parallel RS$,$YZ \perp RS$ (એટલે કે $\angle YZS = 90^{\circ}$),અને $\angle SZX = 143^{\circ}$.
$2$. $RS$ એક સીધી રેખા હોવાથી,$\angle RZX + \angle SZX = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા).
$\angle RZX + 143^{\circ} = 180^{\circ} \implies \angle RZX = 37^{\circ}$.
$3$. $PQ \parallel RS$ હોવાથી,યુગ્મકોણ સમાન હોય છે. તેથી,$\angle PXZ = \angle RZX = 37^{\circ}$.
$4$. $YZ \perp RS$ હોવાથી,$\angle YZS = 90^{\circ}$. વળી,$\angle XZY = \angle YZS - \angle XZS$. અભિકોણ હોવાથી $\angle XZS = \angle RZX = 37^{\circ}$. તેથી,$\angle XZY = 90^{\circ} - 37^{\circ} = 53^{\circ}$.
$5$. $\triangle XYZ$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે. $\angle YXZ + \angle XZY + \angle XYZ = 180^{\circ}$. $PQ \parallel RS$ અને $YZ \perp RS$ હોવાથી,$\angle XYZ = 90^{\circ}$.
$\angle YXZ + 53^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \implies \angle YXZ = 180^{\circ} - 143^{\circ} = 37^{\circ}$.

(B) $\angle BPC$ શોધવા માટે,બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતી એક રેખા $EF$ દોરો જેથી $EF \parallel AB$ થાય. કારણ કે $AB \parallel CD$ અને $EF \parallel AB$,તેથી $EF \parallel CD$ થશે.
$1$. સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $EF$ ને ધ્યાનમાં લો. $BP$ એ છેદિકા હોવાથી,એક જ તરફના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$\angle PBA + \angle BPE = 180^{\circ}$
$140^{\circ} + \angle BPE = 180^{\circ}$
$\angle BPE = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$.
$2$. સમાંતર રેખાઓ $CD$ અને $EF$ ને ધ્યાનમાં લો. $CP$ એ છેદિકા હોવાથી,એક જ તરફના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$\angle PCD + \angle CPE = 180^{\circ}$
$130^{\circ} + \angle CPE = 180^{\circ}$
$\angle CPE = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$.
$3$. હવે,$\angle BPC = \angle BPE + \angle CPE = 40^{\circ} + 50^{\circ} = 90^{\circ}$.

(C) આપેલ છે કે $AB \parallel CD$.
$AB \parallel CD$ હોવાથી અને $XY$ છેદિકા હોવાથી,યુગ્મકોણ સમાન થાય. તેથી,$\angle C Y X = \angle AXY = 80^{\circ}$.
$CYD$ એક રેખા હોવાથી,$\angle C Y X + \angle X Y Z = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા).
$80^{\circ} + x = 180^{\circ} \implies x = 100^{\circ}$ (પરંતુ આકૃતિ મુજબ $x$ એ $\angle X Y Z$ છે).
$AB \parallel CD$ હોવાથી,$\angle AXY + \angle X Y C = 180^{\circ}$ (અંતઃકોણ).
$80^{\circ} + \angle X Y C = 180^{\circ} \implies \angle X Y C = 100^{\circ}$.
$CYD$ રેખા હોવાથી,$\angle X Y C + \angle X Y Z = 180^{\circ} \implies 100^{\circ} + x = 180^{\circ} \implies x = 80^{\circ}$.
હવે,$\angle XZD = 140^{\circ}$ માટે,$CYD$ રેખા હોવાથી,$\angle X Z Y + \angle X Z D = 180^{\circ} \implies \angle X Z Y + 140^{\circ} = 180^{\circ} \implies \angle X Z Y = 40^{\circ}$.
$\triangle XYZ$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય.
$\angle X Y Z + \angle X Z Y + \angle Y X Z = 180^{\circ} \implies 80^{\circ} + 40^{\circ} + y = 180^{\circ} \implies 120^{\circ} + y = 180^{\circ} \implies y = 60^{\circ}$.
આમ,$x = 80^{\circ}$ અને $y = 60^{\circ}$.

(N/A) $\Delta ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $\angle A + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$.
$\therefore \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} - \angle A \quad \dots(1)$
$\angle B$ અને $\angle C$ ના દ્વિભાજકો $I$ માં છેદે છે.
$\therefore \angle IBC = \frac{1}{2} \angle ABC$ અને $\angle ICB = \frac{1}{2} \angle ACB$.
$\Delta IBC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $\angle BIC + \angle IBC + \angle ICB = 180^{\circ}$.
$\therefore \angle BIC = 180^{\circ} - (\angle IBC + \angle ICB)$.
$\angle IBC$ અને $\angle ICB$ ની કિંમતો મુકતા:
$\therefore \angle BIC = 180^{\circ} - \left[ \frac{1}{2} \angle ABC + \frac{1}{2} \angle ACB \right]$.
$\therefore \angle BIC = 180^{\circ} - \frac{1}{2} (\angle ABC + \angle ACB)$.
સમીકરણ $(1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\therefore \angle BIC = 180^{\circ} - \frac{1}{2} (180^{\circ} - \angle A)$.
$\therefore \angle BIC = 180^{\circ} - 90^{\circ} + \frac{1}{2} \angle A$.
$\therefore \angle BIC = 90^{\circ} + \frac{1}{2} \angle A$.

(N/A) $\Delta ABC$ માં,$\angle ACD$ એ બહિષ્કોણ છે. બહિષ્કોણના પ્રમેય મુજબ,$\angle ACD = \angle BAC + \angle ABC$.
$\Delta EBC$ માં,$\angle ECD$ એ બહિષ્કોણ છે. તેથી,$\angle ECD = \angle EBC + \angle BEC$.
$BE$ એ $\angle ABC$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,$\angle EBC = \frac{1}{2} \angle ABC$.
$CE$ એ $\angle ACD$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,$\angle ECD = \frac{1}{2} \angle ACD = \frac{1}{2} (\angle BAC + \angle ABC)$.
આ કિંમતોને $\Delta EBC$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{2} (\angle BAC + \angle ABC) = \frac{1}{2} \angle ABC + \angle BEC$.
સાદુરૂપ આપતા,$\frac{1}{2} \angle BAC + \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \angle ABC + \angle BEC$.
આમ,$\angle BEC = \frac{1}{2} \angle BAC$.