Speed and Velocity Questions in Gujarati

(N/A)

ઝડપ (Speed)	વેગ (Velocity)
ઝડપ એટલે પદાર્થે આપેલા સમયગાળામાં કાપેલું કુલ અંતર.	વેગ એટલે પદાર્થે આપેલા સમયગાળામાં કરેલું સ્થાનાંતર.
$Speed = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}}$	$Velocity = \frac{\text{સ્થાનાંતર}}{\text{સમય}}$
ઝડપ એ અદિશ રાશિ છે, એટલે કે તેને માત્ર મૂલ્ય હોય છે.	વેગ એ સદિશ રાશિ છે, એટલે કે તેને મૂલ્ય અને દિશા બંને હોય છે.

(D) આપેલ છે:
સિગ્નલની ઝડપ $(v)$ = $3 \times 10^{8} \, m \, s^{-1}$
લાગતો સમય $(t)$ = $5 \, \text{મિનિટ} = 5 \times 60 \, \text{સેકન્ડ} = 300 \, s$
સૂત્ર:
અંતર $(d)$ = $\text{ઝડપ} \times \text{સમય}$
ગણતરી:
$d = (3 \times 10^{8} \, m \, s^{-1}) \times (300 \, s)$
$d = 3 \times 10^{8} \times 3 \times 10^{2} \, m$
$d = 9 \times 10^{10} \, m$
તેથી, ગ્રાઉન્ડ સ્ટેશનથી અવકાશયાનનું અંતર $9 \times 10^{10} \, m$ છે.

(C) ધારો કે ઘર અને શાળા વચ્ચેનું અંતર $S$ છે.
ઘરથી શાળા સુધી જવા માટે લાગતો સમય $t_1 = S / 20$ છે.
શાળાથી ઘર સુધી પાછા આવવા માટે લાગતો સમય $t_2 = S / 40$ છે.
કુલ કાપેલું અંતર = $S + S = 2S$.
કુલ લાગતો સમય = $t_1 + t_2 = S / 20 + S / 40 = (2S + S) / 40 = 3S / 40$.
સરેરાશ ઝડપ = $\text{કુલ અંતર} / \text{કુલ સમય} = 2S / (3S / 40) = (2S \times 40) / 3S = 80 / 3 = 26.67 \, km \, h^{-1}$.

(D) ધારો કે $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $x\, km$ છે.
$A$ થી $B$ સુધી જવા માટે લાગતો સમય $t_{1} = \frac{x}{30}\, h$ છે.
$B$ થી $A$ સુધી પાછા આવવા માટે લાગતો સમય $t_{2} = \frac{x}{20}\, h$ છે.
કુલ કાપેલું અંતર $= x + x = 2x\, km$ થાય.
કુલ લાગતો સમય $= t_{1} + t_{2} = \frac{x}{30} + \frac{x}{20} = \frac{2x + 3x}{60} = \frac{5x}{60} = \frac{x}{12}\, h$ થાય.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{2x}{x/12} = 2 \times 12 = 24\, km\, h^{-1}$ થાય.

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ પોતાની દિશા બદલ્યા વગર સુરેખ પથ પર ગતિ કરે છે, ત્યારે તેના સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય તે પદાર્થે કાપેલા કુલ અંતર જેટલું જ હોય છે。
સરેરાશ વેગ = $\frac{\text{કુલ સ્થાનાંતર}}{\text{કુલ સમય}}$ અને સરેરાશ ઝડપ = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}}$ હોવાથી, અને આ કિસ્સામાં સ્થાનાંતર = અંતર હોવાથી, સરેરાશ વેગ અને સરેરાશ ઝડપનો ગુણોત્તર $1:1$ થાય છે。

(B) ના,કોઈ પદાર્થની ઝડપ ઋણ હોઈ શકે નહીં.
ઝડપ એટલે પદાર્થે કાપેલું કુલ અંતર અને તે માટે લાગેલા સમયનો ગુણોત્તર.
અંતર એ અદિશ રાશિ છે અને તે કાપેલા કુલ પથની લંબાઈ દર્શાવે છે,તેથી તે હંમેશા ધન અથવા શૂન્ય હોય છે.
આથી,અંતર અને સમયનો ગુણોત્તર (ઝડપ) પણ હંમેશા અઋણ જ હોય છે.

(N/A) સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમય. જ્યારે કોઈ કણ તેના પ્રારંભિક બિંદુ પર પાછો ફરે છે,ત્યારે તેનું કુલ સ્થાનાંતર $0$ થાય છે. તેથી,સરેરાશ વેગ $0/t = 0$ થાય છે.
સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ પથલંબાઈ (અંતર) ભાગ્યા કુલ સમય. અંતર એ અદિશ રાશિ છે અને ગતિ કરતા પદાર્થ માટે તે હંમેશા ધન હોય છે,તેથી જો કણ ગતિ કરતો હોય તો કુલ અંતર $0$ હોઈ શકે નહીં. આમ,સરેરાશ ઝડપ શૂન્ય હોઈ શકે નહીં.

(A) સમાન વેગથી ગતિ કરતી વસ્તુ માટે,કાપેલું અંતર એ વીતેલા સમયના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે વસ્તુ સમયના સમાન ગાળામાં સમાન અંતર કાપે છે,પછી ભલે તે ગાળા ગમે તેટલા નાના હોય.
ગાણિતિક રીતે,આને $s = v \times t$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $s$ એ અંતર છે,$v$ એ સમાન વેગ છે,અને $t$ એ સમય છે.

(A) પદાર્થની ગતિની દિશા તેના વેગ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. વેગ એ સદિશ રાશિ છે જેમાં મૂલ્ય (ઝડપ) અને ગતિની દિશા બંનેનો સમાવેશ થાય છે. બીજી તરફ,પ્રવેગ એ વેગમાં થતા ફેરફારનો દર દર્શાવે છે. જોકે પ્રવેગ વેગનું મૂલ્ય અથવા દિશા બદલી શકે છે,પરંતુ તે પોતે ગતિની વર્તમાન દિશાને વ્યાખ્યાયિત કરતું નથી.

(N/A) જ્યારે કોઈ પદાર્થને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે, ત્યારે તેનો વેગ ઉપરની દિશામાં હોય છે કારણ કે તે જમીનથી દૂર ગતિ કરે છે. જોકે, ગુરુત્વાકર્ષણનો પ્રવેગ $(g)$ પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ એટલે કે નીચેની દિશામાં કાર્ય કરે છે. પદાર્થ નીચેની તરફ લાગતા પ્રવેગ હોવા છતાં ઉપરની તરફ ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે, જે સાબિત કરે છે કે ગતિની દિશા વેગ દ્વારા નક્કી થાય છે, પ્રવેગ દ્વારા નહીં.

(N/A) વેગ એટલે પદાર્થના સ્થાનાંતરમાં થતા ફેરફારનો દર. તે એક સદિશ રાશિ છે,જેનો અર્થ છે કે તેમાં મૂલ્ય અને દિશા બંને હોય છે. વેગ $(v)$ નું ગાણિતિક સૂત્ર $v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$ છે,જ્યાં $\Delta s$ એ સ્થાનાંતરમાં થતો ફેરફાર છે અને $\Delta t$ એ સમયગાળો છે. તેનો $SI$ એકમ મીટર પ્રતિ સેકન્ડ $(m/s)$ છે.

(N/A) ઝડપ એટલે પદાર્થે કાપેલા અંતરના સમય સાથેના ફેરફારનો દર. તે અદિશ રાશિ છે,જેનો અર્થ છે કે તેને માત્ર મૂલ્ય હોય છે,દિશા હોતી નથી. ઝડપ હંમેશા ધન હોય છે.
વેગ એટલે પદાર્થના સ્થાનાંતરના સમય સાથેના ફેરફારનો દર. તે સદિશ રાશિ છે,જેનો અર્થ છે કે તેને મૂલ્ય અને દિશા બંને હોય છે. ગતિની દિશાના આધારે વેગ ધન,ઋણ અથવા શૂન્ય હોઈ શકે છે.

(N/A) સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમય. સ્થાનાંતર એ સદિશ રાશિ હોવાથી,જો પદાર્થ તેના પ્રારંભિક બિંદુ પર પાછો ફરે,તો કુલ સ્થાનાંતર $0$ થાય છે,જેના પરિણામે સરેરાશ વેગ $0$ મળે છે.
સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ પથલંબાઈ (અંતર) ભાગ્યા કુલ સમય. અંતર એ અદિશ રાશિ છે અને તે કુલ કાપેલા માર્ગની લંબાઈ દર્શાવે છે,તેથી ગતિ કરતા પદાર્થ માટે તે ક્યારેય $0$ હોઈ શકે નહીં.
ઉદાહરણ: ધારો કે એક પદાર્થ $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે. જો પદાર્થ એક પૂર્ણ ચક્ર પૂર્ણ કરે,તો કુલ સ્થાનાંતર $0$ થાય છે,તેથી સરેરાશ વેગ $0$ છે. જોકે,કાપેલું કુલ અંતર વર્તુળના પરિઘ જેટલું એટલે કે $2 \pi r$ થાય છે. આમ,સરેરાશ ઝડપ $\frac{2 \pi r}{t}$ થાય છે,જ્યાં $t$ એ લીધેલો સમય છે.

$(6.67\, m s^{-1})$ કોઈ પદાર્થની સરેરાશ ઝડપ એટલે પદાર્થે કાપેલું કુલ અંતર અને તે માટે લીધેલા કુલ સમયનો ગુણોત્તર.
પગલું $1$: કુલ કાપેલું અંતર શોધો.
પ્રથમ ભાગ માટે અંતર $= 10\, m s^{-1} \times 5\, s = 50\, m$.
બીજા ભાગ માટે અંતર $= 5\, m s^{-1} \times 10\, s = 50\, m$.
કુલ અંતર $= 50\, m + 50\, m = 100\, m$.
પગલું $2$: કુલ સમય શોધો.
કુલ સમય $= 5\, s + 10\, s = 15\, s$.
પગલું $3$: સરેરાશ ઝડપની ગણતરી કરો.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{100\, m}{15\, s} \approx 6.67\, m s^{-1}$.

(N/A) ઝડપ અને વેગ વચ્ચેના તફાવત:
$1$. ઝડપ એ એકમ સમયમાં કાપેલું અંતર છે,જ્યારે વેગ એ એકમ સમયમાં થયેલું સ્થાનાંતર છે.
$2$. ઝડપ એ અદિશ રાશિ છે (માત્ર મૂલ્ય ધરાવે છે),જ્યારે વેગ એ સદિશ રાશિ છે (મૂલ્ય અને દિશા બંને ધરાવે છે).
$(a)$ જો કોઈ પદાર્થ નિશ્ચિત દિશામાં સમાન સમયગાળામાં સમાન સ્થાનાંતર કરે,તો તે પદાર્થ સમાન વેગ ધરાવે છે તેમ કહેવાય.
$(b)$ જો કોઈ પદાર્થ સમાન સમયગાળામાં અસમાન સ્થાનાંતર કરે અથવા તેની ગતિની દિશા બદલાતી હોય,તો તે પદાર્થ અસમાન વેગ ધરાવે છે તેમ કહેવાય.
જ્યારે પદાર્થનો વેગ અનિયમિત દરે બદલાતો હોય,ત્યારે સરેરાશ વેગની ગણતરી પ્રારંભિક વેગ $(u)$ અને અંતિમ વેગ $(v)$ ના સરેરાશ દ્વારા કરવામાં આવે છે:
$\text{સરેરાશ વેગ} = \frac{u + v}{2}$

(N/A) સરેરાશ ઝડપ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V_{av} = \frac{\text{કુલ કાપેલું અંતર}}{\text{લીધેલ કુલ સમય}}$
વાહન દ્વારા કાપેલું અંતર:
$1096 \text{ km} - 1048 \text{ km} = 48 \text{ km} = 48000 \text{ m}$
લીધેલ સમય:
$40 \text{ મિનિટ} = 40 \times 60 \text{ સેકન્ડ} = 2400 \text{ સેકન્ડ}$
તેથી,સરેરાશ ઝડપ:
$V_{av} = \frac{48000 \text{ m}}{2400 \text{ s}} = 20 \text{ m/s}$
સ્પીડોમીટર કોઈપણ સમયે વાહનની તત્કાલીન ઝડપ માપે છે,સમયના ગાળા દરમિયાનની સરેરાશ ઝડપ નહીં. તેથી,સ્પીડોમીટર આ ગણતરી કરેલ સરેરાશ ઝડપ દર્શાવશે નહીં.

(N/A) આપેલ છે: બસની ઝડપ $= 60 \, km/h = 60 \times (5/18) \, m/s = 16.67 \, m/s$.
$(i)$ સામાન્ય રિએક્શન ટાઈમ $1/15 \, s$ માટે:
અંતર $=$ ઝડપ $\times$ સમય $= 16.67 \times (1/15) = 1.11 \, m$.
$(ii)$ દારૂના પ્રભાવ હેઠળ $1/2 \, s$ ના રિએક્શન ટાઈમ માટે:
અંતર $=$ ઝડપ $\times$ સમય $= 16.67 \times 0.5 = 8.335 \, m$ (આશરે $8.34 \, m$).

(A) આપેલ વેગ $v = 120 \, km \, h^{-1}$.
સમય $t = 30 \, s$.
પ્રથમ,સમયને કલાકમાં ફેરવો: $t = 30 \, s = 30 / 3600 \, h = 1 / 120 \, h$.
અંતર માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $S = v \times t$.
$S = 120 \, km \, h^{-1} \times (1 / 120) \, h = 1 \, km$.
તેથી,ટ્રેન $30 \, s$ માં $1 \, km$ જેટલું અંતર કાપશે.

(66 S) ટ્રેનની લંબાઈ $= 100 \, m = 0.1 \, km$.
પુલની લંબાઈ $= 1 \, km$.
પુલ પસાર કરવા માટે કાપવાનું કુલ અંતર $= \text{ટ્રેનની લંબાઈ} + \text{પુલની લંબાઈ} = 0.1 \, km + 1 \, km = 1.1 \, km$.
ટ્રેનનો વેગ $= 60 \, km/h$.
લાગતો સમય $(t) = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{વેગ}} = \frac{1.1 \, km}{60 \, km/h} = \frac{1.1}{60} \, h$.
સમયને સેકન્ડમાં ફેરવવા માટે, $3600 \, s/h$ વડે ગુણો:
$t = \frac{1.1}{60} \times 3600 \, s = 1.1 \times 60 \, s = 66 \, s$.

(A) ધારો કે અલીના ઘર અને શાળા વચ્ચેનું અંતર $x$ છે.
શાળાએ જતી વખતે:
અંતર $= x$,ઝડપ $= 20 \, km \, h^{-1}$.
લાગતો સમય $t_1 = \frac{x}{20} \, h$.
પરત ફરતી વખતે:
અંતર $= x$,ઝડપ $= 30 \, km \, h^{-1}$.
લાગતો સમય $t_2 = \frac{x}{30} \, h$.
સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ અંતર ભાગ્યા કુલ સમય:
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{x + x}{t_1 + t_2} = \frac{2x}{\frac{x}{20} + \frac{x}{30}}$.
છેદની ગણતરી કરતા:
$\frac{x}{20} + \frac{x}{30} = \frac{3x + 2x}{60} = \frac{5x}{60} = \frac{x}{12}$.
તેથી,સરેરાશ ઝડપ $= \frac{2x}{x/12} = 2x \times \frac{12}{x} = 24 \, km \, h^{-1}$.

(D) સદિશ રાશિ એ એવી ભૌતિક રાશિ છે જે મૂલ્ય અને દિશા બંને ધરાવે છે.
સ્થાનાંતર,વેગ અને પ્રવેગ એ તમામ સદિશ રાશિઓ છે કારણ કે તેને સંપૂર્ણ રીતે દર્શાવવા માટે મૂલ્ય અને દિશા બંનેની જરૂર હોય છે.
ઝડપ એ અદિશ રાશિ છે કારણ કે તે ફક્ત સ્થાનમાં થતા ફેરફારના દરનું મૂલ્ય (એકમ સમયમાં કાપેલું અંતર) દર્શાવે છે અને તેની સાથે કોઈ ચોક્કસ દિશા જોડાયેલી હોતી નથી.
તેથી,ઝડપ એ સદિશ નથી.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
ઝડપ એટલે એકમ સમયમાં કાપેલું અંતર,જ્યારે વેગ એટલે એકમ સમયમાં થયેલું સ્થાનાંતર.
ઝડપ અને વેગ બંને એક જ $SI$ એકમમાં માપવામાં આવે છે,જે મીટર પ્રતિ સેકન્ડ $(m/s)$ છે.

(FALSE) આ વિધાન ખોટું છે.
એક-પરિમાણીય ગતિમાં જ્યારે પદાર્થ અચળ વેગથી ગતિ કરતો હોય,ત્યારે સરેરાશ વેગ અને તાત્ક્ષણિક વેગ સમાન હોય છે.
અનિયમિત ગતિમાં પણ,કોઈ ચોક્કસ સમયગાળા દરમિયાન સરેરાશ વેગ તે સમયગાળાના કોઈ ચોક્કસ ક્ષણે તાત્ક્ષણિક વેગ જેટલો હોઈ શકે છે,તેથી તે હંમેશા અસમાન હોય છે તેવું વિધાન ખોટું છે.

(C) પદાર્થનું વેગમાન $(p)$ એ તેના દળ $(m)$ અને વેગ $(v)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ગાણિતિક રીતે,તેને $p = m \times v$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
અહીં પદાર્થનું દળ $(m)$ અચળ આપેલું હોવાથી,વેગમાન $(p)$ એ પદાર્થના વેગ $(v)$ અથવા ઝડપના સમપ્રમાણમાં હોય છે ($m$ અચળ હોય ત્યારે $p \propto v$).
તેથી,આપેલ દળ ધરાવતા પદાર્થનું વેગમાન તેની ઝડપના પ્રમાણમાં હોય છે.