Equations of Motion Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ,$u = 0\, m s^{-1}$
પ્રવેગ,$a = 0.1\, m s^{-2}$
સમય,$t = 2\, min = 120\, s$
$(a)$ પ્રાપ્ત કરેલ ઝડપ $(v)$ શોધવા માટે:
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v = u + at$
$v = 0 + (0.1\, m s^{-2} \times 120\, s)$
$v = 12\, m s^{-1}$
$(b)$ કાપેલું અંતર $(s)$ શોધવા માટે:
ગતિના બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$s = ut + \frac{1}{2}at^2$
$s = (0 \times 120) + \frac{1}{2} \times 0.1 \times (120)^2$
$s = 0 + 0.05 \times 14400$
$s = 720\, m$
આમ,પ્રાપ્ત કરેલ ઝડપ $12\, m s^{-1}$ છે અને કાપેલું અંતર $720\, m$ છે.

(A) ટ્રેનની પ્રારંભિક ઝડપ,$u = 90\, km/h = 90 \times \frac{5}{18} = 25\, m/s$.
ટ્રેનની અંતિમ ઝડપ,$v = 0\, m/s$ (કારણ કે ટ્રેન સ્થિર થાય છે).
પ્રવેગ,$a = -0.5\, m/s^2$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v^2 = u^2 + 2as$.
કિંમતો મૂકતા: $(0)^2 = (25)^2 + 2(-0.5)s$.
$0 = 625 - 1s$.
$s = 625\, m$.
આમ,ટ્રેન સ્થિર થાય તે પહેલાં $625\, m$ જેટલું અંતર કાપશે.

(A) ટ્રોલીનો પ્રારંભિક વેગ,$u = 0 \,m \,s^{-1} = 0 \,cm \,s^{-1}$.
પ્રવેગ,$a = 2 \,m \,s^{-2} = 200 \,cm \,s^{-2}$.
સમય,$t = 3 \,s$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v = u + at$.
કિંમતો મૂકતા: $v = 0 + (200 \,cm \,s^{-2} \times 3 \,s)$.
$v = 600 \,cm \,s^{-1}$.
આમ,$3 \,s$ પછી ટ્રોલીનો વેગ $600 \,cm \,s^{-1}$ હશે.

(C) કારનો પ્રારંભિક વેગ,$u = 0 \,m s^{-1}$.
પ્રવેગ,$a = 4 \,m s^{-2}$.
સમય,$t = 10 \,s$.
આપણે ગતિનું બીજું સમીકરણ વાપરીએ: $s = ut + \frac{1}{2}at^2$.
કિંમતો મૂકતા: $s = (0 \times 10) + \frac{1}{2} \times 4 \times (10)^2$.
$s = 0 + \frac{1}{2} \times 4 \times 100$.
$s = 2 \times 100 = 200 \,m$.
તેથી,$10 \,s$ માં કાર દ્વારા કપાયેલું અંતર $200 \,m$ છે.

(D) આપેલ છે: પથ્થરનો પ્રારંભિક વેગ $u = 5 \, m s^{-1}$.
મહત્તમ ઊંચાઈએ અંતિમ વેગ $v = 0 \, m s^{-1}$.
પ્રવેગ $a = -10 \, m s^{-2}$ (કારણ કે તે નીચેની તરફ લાગે છે).
ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 - (5)^2 = 2 \times (-10) \times s$
$-25 = -20s$
$s = \frac{-25}{-20} = 1.25 \, m$.
ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = 5 + (-10)t$
$10t = 5$
$t = 0.5 \, s$.
આમ,પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $1.25 \, m$ છે અને લાગતો સમય $0.5 \, s$ છે.

(D) આપેલ છે: મોટરબોટનો પ્રારંભિક વેગ,$u = 0 \, m s^{-1}$.
મોટરબોટનો પ્રવેગ,$a = 3.0 \, m s^{-2}$.
સમયગાળો,$t = 8.0 \, s$.
આપણે ગતિના બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $s = ut + \frac{1}{2}at^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$s = (0 \times 8.0) + \frac{1}{2} \times 3.0 \times (8.0)^2$.
$s = 0 + \frac{1}{2} \times 3.0 \times 64$.
$s = 3.0 \times 32$.
$s = 96 \, m$.
તેથી,આ સમય દરમિયાન બોટ $96 \, m$ અંતર કાપશે.

(C) ધારો કે દડો જે અંતિમ વેગથી જમીન સાથે અથડાય છે તે $v$ છે અને લાગતો સમય $t$ છે.
દડાનો પ્રારંભિક વેગ,$u = 0 \, m s^{-1}$.
કાપેલું અંતર અથવા ઊંચાઈ,$s = 20 \, m$.
નીચેની તરફનો પ્રવેગ,$a = 10 \, m s^{-2}$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 - u^2 = 2as$.
$v^2 = 2as + u^2$.
$v^2 = 2 \times 10 \times 20 + 0^2 = 400$.
તેથી,અંતિમ વેગ $v = \sqrt{400} = 20 \, m s^{-1}$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v = u + at$.
$20 = 0 + 10 \times t$.
તેથી,સમય $t = 20 / 10 = 2 \, s$.

(C) આપેલ છે: ડમ્બેલનું દળ,$m = 10\, kg$.
કાપેલું અંતર,$s = 80\, cm = 0.8\, m$.
પ્રવેગ,$a = 10\, m \,s^{-2}$.
પ્રારંભિક વેગ,$u = 0\, m \,s^{-1}$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v^2 = u^2 + 2as$:
$v^2 = 0^2 + 2 \times 10 \times 0.8$
$v^2 = 16$
$v = 4\, m \,s^{-1}$.
વેગમાન $(p)$ એ દળ અને વેગનો ગુણાકાર છે: $p = m \times v$.
$p = 10\, kg \times 4\, m \,s^{-1} = 40\, kg\, m \,s^{-1}$.
તેથી,ડમ્બેલ જમીન પર $40\, kg\, m \,s^{-1}$ જેટલું વેગમાન સ્થાનાંતરિત કરશે.

(A) ઉપર જવાનો સમય અને નીચે આવવાનો સમય સમાન હોય છે. દડો તેની ઉપર અને નીચેની મુસાફરી માટે કુલ $6\, s$ લે છે.
તેથી,મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરવા માટે તેણે $3\, s$ લીધા છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ પર દડાનો અંતિમ વેગ,$v = 0\, m/s$.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ,$g = -9.8\, m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = u + (-9.8 \times 3)$
$u = 9.8 \times 3 = 29.4\, m/s$.
આમ,દડાને $29.4\, m/s$ ના વેગથી ઉપર ફેંકવામાં આવ્યો હતો.
$(b)$ ધારો કે દડા દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ છે.
ઉપરની મુસાફરી દરમિયાન પ્રારંભિક વેગ,$u = 29.4\, m/s$.
અંતિમ વેગ,$v = 0\, m/s$.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ,$g = -9.8\, m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$h = 29.4 \times 3 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times 3^2 = 88.2 - 44.1 = 44.1\, m$.
આમ,મહત્તમ ઊંચાઈ $44.1\, m$ છે.
$(c)$ દડો $3\, s$ પછી મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે. આ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કર્યા પછી,તે નીચે પડવાનું શરૂ કરશે.
આ કિસ્સામાં,પ્રારંભિક વેગ,$u = 0\, m/s$.
ફેંક્યાના $4\, s$ પછી દડાનું સ્થાન તેના નીચેના પ્રવાસ દરમિયાન $4\, s - 3\, s = 1\, s$ માં કાપેલા અંતર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$s = 0 \times 1 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times 1^2 = 4.9\, m$.
હવે,કુલ ઊંચાઈ $44.1\, m$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $4\, s$ પછી દડો જમીનથી $39.2\, m$ $(44.1\, m - 4.9\, m)$ ઊંચાઈ પર છે.

(B) જ્યારે કોઈ પદાર્થને $u$ જેટલા પ્રારંભિક વેગ સાથે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તે તેની મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર પહોંચે છે જ્યાં તેનો અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણ મુજબ: $v^2 = u^2 + 2as$.
અહીં,$v = 0$,$a = -g$ (ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ નીચેની તરફ લાગે છે),અને $s = h$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $0^2 = u^2 + 2(-g)h$.
$0 = u^2 - 2gh$.
$2gh = u^2$.
તેથી,પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $h = u^2 / (2g)$ છે.

(N/A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ સમાન વેગથી ગતિ કરતો હોય,ત્યારે તેનો પ્રવેગ $(a)$ $0$ હોય છે અને અંતિમ વેગ $(v)$ એ પ્રારંભિક વેગ $(u)$ જેટલો જ હોય છે,એટલે કે $v = u$.
$1$. ગતિનું પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ માં $a = 0$ મૂકતા,$v = u + (0)t$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $v = u$ થાય છે.
$2$. ગતિનું બીજું સમીકરણ $s = ut + (1/2)at^2$ માં $a = 0$ મૂકતા,$s = ut + (1/2)(0)t^2$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $s = ut$ થાય છે.
$3$. ગતિનું ત્રીજું સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ માં $a = 0$ મૂકતા,$v^2 - u^2 = 2(0)s$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $v^2 - u^2 = 0$ અથવા $v^2 = u^2$ થાય છે.

(D) આપેલ છે કે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \, m/s$.
પ્રથમ $2 \, s$ માટે,અંતર $s_1 = 20 \, m$ અને સમય $t_1 = 2 \, s$.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$20 = 0(2) + \frac{1}{2} a(2)^2 \Rightarrow 20 = 2a \Rightarrow a = 10 \, m/s^2$.
પ્રવેગ અચળ હોવાથી,આપણે $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરીને કોઈપણ સમયે $t$ વેગ શોધી શકીએ છીએ.
$t = 7 \, s$ માટે:
$v = 0 + (10 \times 7) = 70 \, m/s$.

(B) આપેલ પ્રારંભિક વેગ,$u = 5 \times 10^{4} \, ms^{-1}$.
પ્રવેગ,$a = 10^{4} \, ms^{-2}$.
$(i)$ અંતિમ વેગ $v = 2u = 2 \times 5 \times 10^{4} = 10 \times 10^{4} \, ms^{-1}$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,$t = \frac{v - u}{a}$ મળે.
$t = \frac{10 \times 10^{4} - 5 \times 10^{4}}{10^{4}} = \frac{5 \times 10^{4}}{10^{4}} = 5 \, s$.
$(ii)$ ગતિના બીજા સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$s = (5 \times 10^{4}) \times 5 + \frac{1}{2} \times (10^{4}) \times (5)^{2}$.
$s = 25 \times 10^{4} + 12.5 \times 10^{4} = 37.5 \times 10^{4} \, m$.

(C) એક સમાન પ્રવેગ $a$ અને પ્રારંભિક વેગ $u$ સાથે $t$ સમયમાં પદાર્થ દ્વારા કાપેલ અંતર ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,$5 \, s$ માં કાપેલ કુલ અંતર શોધો:
$s_5 = u(5) + \frac{1}{2}a(5)^2 = 5u + \frac{25}{2}a$ ........... $(i)$
ત્યારબાદ,$4 \, s$ માં કાપેલ કુલ અંતર શોધો:
$s_4 = u(4) + \frac{1}{2}a(4)^2 = 4u + \frac{16}{2}a = 4u + 8a$ ........... $(ii)$
$4^{th}$ અને $5^{th}$ સેકન્ડની વચ્ચેના સમયગાળામાં કાપેલ અંતર એ $5 \, s$ અને $4 \, s$ પરના અંતરનો તફાવત છે:
અંતર $= s_5 - s_4 = (5u + \frac{25}{2}a) - (4u + 8a)$
અંતર $= (5u - 4u) + (12.5a - 8a) = u + 4.5a$
અંતર $= (u + \frac{9}{2}a) \, m$.

જ્યારે કોઈ પદાર્થ શિરોલંબ ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ગતિનું ત્રીજું સમીકરણ $v^{2} = u^{2} + 2as$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે.
સમીકરણમાં $v = 0$,$a = -g$,અને $s = h$ મૂકતા: $0 = u^{2} - 2gh$.
ઊંચાઈ માટે સૂત્ર બનાવતા,આપણને $h = \frac{u^{2}}{2g}$ મળે છે.
પ્રથમ પથ્થર માટે જેનો પ્રારંભિક વેગ $u_{1}$ છે,પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $h_{1} = \frac{u_{1}^{2}}{2g}$ છે.
બીજા પથ્થર માટે જેનો પ્રારંભિક વેગ $u_{2}$ છે,પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $h_{2} = \frac{u_{2}^{2}}{2g}$ છે.
બંને ઊંચાઈઓનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{u_{1}^{2} / 2g}{u_{2}^{2} / 2g} = \frac{u_{1}^{2}}{u_{2}^{2}}$.
આમ,પ્રાપ્ત થયેલી ઊંચાઈઓનો ગુણોત્તર $h_{1}: h_{2} = u_{1}^{2}: u_{2}^{2}$ છે.

(N/A) અચળ પ્રવેગી ગતિ કરતા પદાર્થ માટે ગતિના ત્રણ સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$(i)$ $v = u + at$
$(ii)$ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$
$(iii)$ $v^2 = u^2 + 2aS$
જ્યાં:
$u$ = પ્રારંભિક વેગ
$v$ = અંતિમ વેગ
$a$ = અચળ પ્રવેગ
$t$ = લીધેલ સમય
$S$ = કાપેલું સ્થાનાંતર
આ સમીકરણોમાંથી કોઈપણ બે સમીકરણો જવાબ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) આપેલ છે: સમય $t = 3 \ s$,અંતિમ વેગ $v = 0 \ m s^{-1}$ (મહત્તમ ઊંચાઈએ),પ્રવેગ $a = g = -9.8 \ m s^{-2}$ (નીચેની તરફ).
પ્રારંભિક વેગ $u$ શોધવા માટે:
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v = u + at$
$0 = u + (-9.8) \times 3$
$u = 29.4 \ m s^{-1}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ શોધવા માટે:
ગતિના બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $h = ut + \frac{1}{2}at^2$
$h = (29.4 \times 3) + \frac{1}{2} \times (-9.8) \times (3)^2$
$h = 88.2 - 44.1$
$h = 44.1 \ m$.

(N/A) આકૃતિમાં દર્શાવેલ વેગ-સમયના આલેખને ધ્યાનમાં લો.
સમાન પ્રવેગ $a$ થી ગતિ કરતા પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર $S$ એ વેગ-સમયના આલેખની નીચે ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે,જે સમલંબ ચતુષ્કોણ $OABD$ નું ક્ષેત્રફળ છે.
સમલંબ ચતુષ્કોણ $OABD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{(OA + BD) \times OD}{2}$
આલેખ પરથી,આપણી પાસે છે:
$OA = u$ (પ્રારંભિક વેગ)
$BD = v$ (અંતિમ વેગ)
$OD = t$ (લીધેલ સમય)
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$S = \frac{(u + v) t}{2}$ --- (સમીકરણ $1$)
આપણે જાણીએ છીએ કે સમાન પ્રવેગ માટે,$v = u + at$,જેને સમય $t$ શોધવા માટે ફરીથી ગોઠવી શકાય છે:
$at = v - u$
$t = \frac{v - u}{a}$ --- (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માંથી $t$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$S = \frac{(u + v)(v - u)}{2a}$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$S = \frac{v^2 - u^2}{2a}$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને અંતિમ સમીકરણ મળે છે:
$v^2 - u^2 = 2aS$

(N/A) અચળ પ્રવેગ $a$ અને પ્રારંભિક વેગ $u$ સાથે ગતિ કરતા પદાર્થ માટે વેગ-સમયનો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
પદાર્થ દ્વારા $t$ સમયમાં કપાયેલ અંતર $S$ એ વેગ-સમયના આલેખની નીચે ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આલેખની નીચેનું કુલ ક્ષેત્રફળ એ લંબચોરસ $OACD$ નું ક્ષેત્રફળ અને તેની ઉપર આવેલા ત્રિકોણ $ABC$ ના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
લંબચોરસ $OACD$ નું ક્ષેત્રફળ: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = t \times u = ut$.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times t \times (v - u)$.
કુલ અંતર $S$ એ આ ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો હોવાથી:
$S = ut + \frac{1}{2} \times t \times (v - u)$ $....(1)$
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $v = u + at$,જેનો અર્થ છે કે $v - u = at$.
સમીકરણ $(1)$ માં $(v - u) = at$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$S = ut + \frac{1}{2} \times t \times (at)$
$S = ut + \frac{1}{2}at^{2}$

(N/A) ધારો કે પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને તે $t$ સમય માટે સમાન પ્રવેગ $a$ સાથે ગતિ કરે છે. અંતિમ વેગ $v$ અને કાપેલું અંતર $S$ છે.
$(i)$ પ્રવેગ એટલે વેગમાં થતો ફેરફાર અને તે માટે લાગતો સમય:
$a = \frac{v - u}{t}$
$at = v - u$
$v = u + at$
$(ii)$ સમાન પ્રવેગી ગતિ માટે સરેરાશ વેગ:
$\bar{v} = \frac{u + v}{2} \quad \dots(1)$
વળી, સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા સમય:
$\bar{v} = \frac{S}{t} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{u + v}{2} = \frac{S}{t} \implies S = \left( \frac{u + v}{2} \right) t \quad \dots(3)$
સમીકરણ $(3)$ માં $v = u + at$ મૂકતા:
$S = \left( \frac{u + (u + at)}{2} \right) t$
$S = \left( \frac{2u + at}{2} \right) t$
$S = ut + \frac{1}{2}at^2$
$(iii)$ સમીકરણ $(3)$ પરથી, $S = \left( \frac{u + v}{2} \right) t$. $v = u + at$ પરથી, $t = \frac{v - u}{a}$ મળે છે.
સમીકરણ $(3)$ માં $t$ ની કિંમત મૂકતા:
$S = \left( \frac{u + v}{2} \right) \left( \frac{v - u}{a} \right)$
$S = \frac{v^2 - u^2}{2a}$
$v^2 - u^2 = 2aS$

(A) વેગ-સમયના આલેખની નીચેનો વિસ્તાર પદાર્થ દ્વારા કપાયેલું અંતર દર્શાવે છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,આ વિસ્તાર એ લંબચોરસ $OACD$ નું ક્ષેત્રફળ અને ત્રિકોણ $ABC$ ના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
લંબચોરસ $OACD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = OC \times OA = t \times u = ut$.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times t \times (v - u)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $v = u + at$,તેથી $(v - u) = at$. આ કિંમત ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળમાં મૂકતા:
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times t \times (at) = \frac{1}{2}at^2$.
તેથી,કુલ અંતર $S = \text{લંબચોરસ } OACD \text{ નું ક્ષેત્રફળ} + \text{ત્રિકોણ } ABC \text{ નું ક્ષેત્રફળ} = ut + \frac{1}{2}at^2$.
$(b)$ આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 18 \text{ km h}^{-1} = 18 \times \frac{5}{18} \text{ m s}^{-1} = 5 \text{ m s}^{-1}$.
અંતિમ વેગ $v = 36 \text{ km h}^{-1} = 36 \times \frac{5}{18} \text{ m s}^{-1} = 10 \text{ m s}^{-1}$.
સમય $t = 5 \text{ s}$.
પ્રવેગ $a = \frac{v - u}{t} = \frac{10 - 5}{5} = \frac{5}{5} = 1 \text{ m s}^{-2}$.
અંતર $S = ut + \frac{1}{2}at^2 = (5 \times 5) + \frac{1}{2} \times 1 \times (5)^2 = 25 + 12.5 = 37.5 \text{ m}$.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 0\, m s^{-1}$,પ્રવેગ $a = 4\, m s^{-2}$,અને સમય $t = 20\, s$.
કાપેલું અંતર $S$ શોધવા માટે,આપણે ગતિનું બીજું સમીકરણ વાપરીશું:
$S = ut + \frac{1}{2}at^2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$S = (0 \times 20) + \frac{1}{2} \times 4 \times (20)^2$
$S = 0 + 2 \times 400$
$S = 800\, m$
તેથી,કાર $20\, s$ માં $800\, m$ જેટલું અંતર કાપશે.

(A) આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 90\, km\, h^{-1} = 90 \times \frac{5}{18} = 25\, m\, s^{-1}$.
અંતિમ વેગ $v = 0\, m\, s^{-1}$ (કારણ કે ટ્રેન સ્થિર થાય છે).
પ્રવેગ $a = -0.5\, m\, s^{-2}$ (ઋણ નિશાની પ્રતિપ્રવેગ સૂચવે છે).
આપણે અંતર $S$ શોધવાનું છે.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^{2} - u^{2} = 2aS$.
કિંમતો મૂકતા: $0^{2} - (25)^{2} = 2 \times (-0.5) \times S$.
$-625 = -1 \times S$.
$S = 625\, m$.
આમ,ટ્રેન સ્થિર થાય તે પહેલાં $625\, m$ અંતર કાપશે.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 40 \, m s^{-1}$,અંતિમ વેગ $v = 0 \, m s^{-1}$,પ્રવેગ $a = -2 \, m s^{-2}$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^{2} = u^{2} + 2aS$.
કિંમતો મૂકતા: $0^{2} = (40)^{2} + 2(-2)S$.
$0 = 1600 - 4S$.
$4S = 1600$.
$S = 400 \, m$.
ગણતરી કરેલ અંતર $400 \, m$ છે અને પ્લેટફોર્મની લંબાઈ પણ $400 \, m$ હોવાથી,ટ્રેન બરાબર પ્લેટફોર્મના અંતે ઉભી રહેશે.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \, m/s$,પ્રવેગ $a = 2.5 \, m s^{-2}$,અને સમય $t = 4 \, s$.
કાપેલું અંતર $(S)$ શોધવા માટે,આપણે ગતિનું બીજું સમીકરણ વાપરીશું:
$S = ut + \frac{1}{2}at^2$
આપેલ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$S = (0 \times 4) + \frac{1}{2} \times 2.5 \times (4)^2$
$S = 0 + 0.5 \times 2.5 \times 16$
$S = 1.25 \times 16 = 20 \, m$
તેથી,છોકરી આ સમયગાળામાં $20 \, m$ અંતર કાપશે.

(N/A) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 5\, m s^{-1}$,અંતિમ વેગ $v = 10\, m s^{-1}$,અંતર $S = 50\, m$.
$(i)$ પ્રવેગ $(a)$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે ગતિનું ત્રીજું સમીકરણ વાપરીએ છીએ: $v^{2} - u^{2} = 2aS$.
કિંમતો મૂકતા: $(10)^{2} - (5)^{2} = 2 \times a \times 50$.
$100 - 25 = 100a$.
$75 = 100a$.
$a = \frac{75}{100} = 0.75\, m s^{-2}$.
$(ii)$ સમય $(t)$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે ગતિનું પ્રથમ સમીકરણ વાપરીએ છીએ: $v = u + at$.
કિંમતો મૂકતા: $10 = 5 + 0.75 \times t$.
$10 - 5 = 0.75t$.
$5 = 0.75t$.
$t = \frac{5}{0.75} = 6.67\, s$.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 90 \text{ km h}^{-1} = 90 \times \frac{5}{18} \text{ m s}^{-1} = 25 \text{ m s}^{-1}$.
અંતિમ વેગ $v = 0 \text{ m s}^{-1}$ (કારણ કે ટ્રક સ્થિર થાય છે).
અંતર $S = 25 \text{ m}$.
$(i)$ પ્રતિપ્રવેગ $(a)$ શોધવા માટે: ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v^{2} - u^{2} = 2aS$.
$(0)^{2} - (25)^{2} = 2 \times a \times 25$.
$-625 = 50a$.
$a = -\frac{625}{50} = -12.5 \text{ m s}^{-2}$.
પ્રતિપ્રવેગ એ ઋણ પ્રવેગનું મૂલ્ય છે,તેથી પ્રતિપ્રવેગ = $12.5 \text{ m s}^{-2}$.
(ii) સમય $(t)$ શોધવા માટે: ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v = u + at$.
$0 = 25 + (-12.5) \times t$.
$12.5t = 25$.
$t = \frac{25}{12.5} = 2 \text{ s}$.

(A) આપેલ છે: પ્રવેગ $a = -6 \, m s^{-2}$ (ઋણ કારણ કે તે ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં છે),સમય $t = 2 \, s$,અને અંતિમ વેગ $v = 0 \, m s^{-1}$ (કારણ કે કાર અટકી જાય છે).
$(i)$ પ્રથમ,ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને પ્રારંભિક વેગ $u$ શોધો: $v = u + at$.
$0 = u + (-6) \times 2$
$u = 12 \, m s^{-1}$.
$(ii)$ હવે,ગતિના બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને અંતર $S$ ની ગણતરી કરો: $S = ut + \frac{1}{2}at^2$.
$S = (12 \times 2) + \frac{1}{2} \times (-6) \times (2)^2$
$S = 24 - 12 = 12 \, m$.
આમ,કાર અટકતા પહેલા $12 \, m$ અંતર કાપે છે.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 36 \, km \, h^{-1} = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \, m \, s^{-1}$.
અંતિમ વેગ $v = 0 \, m \, s^{-1}$ (સાયકલ ઉભી રહે છે તેથી).
સમય $t = 2 \, s$.
$(i)$ પ્રતિપ્રવેગની ગણતરી:
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = 10 + a \times 2$
$2a = -10$
$a = -5 \, m \, s^{-2}$.
પ્રતિપ્રવેગ એ પ્રવેગનું ઋણ મૂલ્ય છે,તેથી પ્રતિપ્રવેગ $= -(-5 \, m \, s^{-2}) = 5 \, m \, s^{-2}$.
$(ii)$ કાપેલું અંતર $(S)$ ની ગણતરી:
ગતિના ત્રીજા સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2aS$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 - (10)^2 = 2 \times (-5) \times S$
$-100 = -10 \times S$
$S = \frac{-100}{-10} = 10 \, m$.

(N/A) $(i)$ આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \, m/s$,અંતર $S = 64 \, m$,સમય $t = 4 \, s$.
ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$64 = 0(4) + \frac{1}{2} \times a \times (4)^2$
$64 = 8a$
$a = 8 \, m/s^2$.
$v = u + at$ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$v = 0 + 8 \times 4 = 32 \, m/s$.
$(ii)$ કુલ અંતરનું અડધું અંતર $S' = \frac{64}{2} = 32 \, m$ થાય.
$S' = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$32 = 0(t) + \frac{1}{2} \times 8 \times t^2$
$32 = 4t^2$
$t^2 = 8$
$t = \sqrt{8} \approx 2.83 \, s$.

(C) સ્થિર સ્થિતિમાંથી $(u = 0)$ શરૂ કરીને અને અચળ પ્રવેગ $(a)$ સાથે ઢળતી સપાટી પર ગતિ કરતા પદાર્થ માટે, $t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $(s)$ ગતિના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $s = ut + \frac{1}{2}at^2$.
અહીં $u = 0$ હોવાથી, સમીકરણ $s = \frac{1}{2}at^2$ બને છે, જેનો અર્થ છે કે $s \propto t^2$.
ધારો કે કુલ અંતર $S$ છે અને કુલ સમય $T = 4$ સેકન્ડ છે.
આપણે અંતરનો ચોથો ભાગ, એટલે કે $s' = \frac{S}{4}$ કાપવા માટે લાગતો સમય $(t')$ શોધવાનો છે.
પ્રમાણસરતા $s \propto t^2$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને ગુણોત્તર મળે છે: $\frac{s'}{S} = \frac{(t')^2}{T^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{S/4}{S} = \frac{(t')^2}{4^2}$.
$\frac{1}{4} = \frac{(t')^2}{16}$.
$(t')^2 = \frac{16}{4} = 4$.
$t' = \sqrt{4} = 2$ સેકન્ડ.
તેથી, પદાર્થ $2$ સેકન્ડમાં અંતરનો ચોથો ભાગ કાપશે.

(A) ધારો કે બિંદુ $A$ પર વેગ $v_A = 20 \, m/s$ છે અને બિંદુ $B$ પર વેગ $v_B = 30 \, m/s$ છે.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $s$ છે. મધ્યબિંદુ $M$ પર વેગ $v_M$ શોધવા માટે ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 = u^2 + 2as$.
વિભાગ $AM$ માટે,$v_M^2 = v_A^2 + 2a(s/2) = v_A^2 + as$.
વિભાગ $MB$ માટે,$v_B^2 = v_M^2 + 2a(s/2) = v_M^2 + as$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$as = v_M^2 - v_A^2$. આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$v_B^2 = v_M^2 + (v_M^2 - v_A^2) = 2v_M^2 - v_A^2$.
$v_M$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$2v_M^2 = v_A^2 + v_B^2 \implies v_M = \sqrt{\frac{v_A^2 + v_B^2}{2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $v_M = \sqrt{\frac{20^2 + 30^2}{2}} = \sqrt{\frac{400 + 900}{2}} = \sqrt{\frac{1300}{2}} = \sqrt{650} \approx 25.5 \, m/s$.

(N/A) જ્યારે કોઈ પદાર્થને $u$ જેટલા પ્રારંભિક વેગથી શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે મહત્તમ ઊંચાઈએ તેનો અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે.
ધારો કે ઉપર જવાનો સમય $t_{1}$ છે. ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = -g$:
$0 = u - gt_{1}$
$\Rightarrow t_{1} = \frac{u}{g} ......(1)$
પાછા ફરતી વખતે (નીચે આવતી વખતે),પદાર્થ મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u' = 0$ છે. જ્યારે તે જમીન પર પહોંચે છે ત્યારે તેનો અંતિમ વેગ $v' = u$ થાય છે. ધારો કે નીચે આવવાનો સમય $t_{2}$ છે. $v' = u' + gt_{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$u = 0 + gt_{2}$
$\Rightarrow t_{2} = \frac{u}{g} ......(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $t_{1} = t_{2}$ મળે છે.
આમ,ઉપર જવાનો સમય એ નીચે આવવાના સમય જેટલો જ હોય છે.

$(15 M S^{-1})$ પ્રથમ દડા માટે:
$u = 0, h = 20\, m, g = 10\, m s^{-2}, t = ?$
ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$20 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$20 = 5t^2$
$t^2 = 4$
$t = 2\, s$
બીજા દડા માટે:
બીજો દડો $1\, s$ મોડો ફેંકવામાં આવ્યો હોવાથી અને તે જમીન પર એકસાથે પહોંચતો હોવાથી, તેનો મુસાફરીનો સમય $t' = 2 - 1 = 1\, s$ થશે.
$u = ?, h = 20\, m, g = 10\, m s^{-2}, t' = 1\, s$
$S = ut' + \frac{1}{2}at'^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$20 = u(1) + \frac{1}{2} \times 10 \times (1)^2$
$20 = u + 5$
$u = 20 - 5 = 15\, m s^{-1}$

(A) આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $(u)$ = $0 \, m s^{-1}$ (કારણ કે પથ્થરને મુક્ત કરવામાં આવે છે).
કાપેલું અંતર $(s)$ = $20 \, m$.
ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ = $10 \, m s^{-2}$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 - u^2 = 2as$.
કિંમતો મૂકતા: $v^2 - 0^2 = 2 \times 10 \times 20$.
$v^2 = 400$.
$v = \sqrt{400} = 20 \, m s^{-1}$.
આમ,$20 \, m$ નીચે પડ્યા પછી પથ્થરની ઝડપ $20 \, m s^{-1}$ હશે.

(B) દડાનો પ્રારંભિક વેગ $(u)$ શોધવા માટે,આપણે ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $v^2 = u^2 + 2as$.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,અંતિમ વેગ $(v)$ $0 \, m/s$ હોય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(a)$ એ $-g = -9.8 \, m/s^2$ છે.
સ્થાનાંતર $(s)$ $100 \, m$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $0^2 = u^2 + 2(-9.8)(100)$.
$0 = u^2 - 1960$.
$u^2 = 1960$.
$u = \sqrt{1960} \approx 44.27 \, m/s$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,ઝડપ $44.2 \, m/s$ છે.