Acceleration Questions in Gujarati

(N/A) $(i)$ જો કોઈ પદાર્થ સુરેખ પથ પર ગતિ કરતો હોય અને સમાન સમયગાળામાં તેના વેગમાં થતો ફેરફાર સમાન હોય,તો તે પદાર્થ નિયમિત પ્રવેગી ગતિમાં છે તેમ કહેવાય.
$(ii)$ જો કોઈ પદાર્થનો વેગ બદલાવાનો દર અચળ ન હોય,એટલે કે સમાન સમયગાળામાં તેના વેગમાં થતો ફેરફાર અસમાન હોય,તો તે પદાર્થ અનિયમિત પ્રવેગી ગતિમાં છે તેમ કહેવાય.

(B) બસની પ્રારંભિક ઝડપ $(u)$ = $80 \times \frac{5}{18} = 22.22 \, m/s$.
બસની અંતિમ ઝડપ $(v)$ = $60 \times \frac{5}{18} = 16.66 \, m/s$.
લીધેલ સમય $(t)$ = $5 \, s$.
પ્રવેગ $(a)$ શોધવાનું સૂત્ર $a = \frac{v - u}{t}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $a = \frac{16.66 - 22.22}{5} = \frac{-5.56}{5} = -1.112 \, m/s^2$.
આમ,બસનો પ્રવેગ $-1.112 \, m/s^2$ છે.

(C) ટ્રેનનો પ્રારંભિક વેગ,$u = 0 \, m/s$.
ટ્રેનનો અંતિમ વેગ,$v = 40 \, km/h = 40 \times \frac{5}{18} \, m/s = 11.11 \, m/s$.
લાગતો સમય,$t = 10 \, min = 10 \times 60 \, s = 600 \, s$.
પ્રવેગના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$a = \frac{v - u}{t}$.
કિંમતો મૂકતા,$a = \frac{11.11 - 0}{600} = 0.0185 \, m/s^{2}$.
આમ,ટ્રેનનો પ્રવેગ $0.0185 \, m/s^{2}$ છે.

(D) આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $s$ એ સમય $t$ ના વર્ગના પ્રમાણમાં છે,તેથી આપણે લખી શકીએ $s = kt^2$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(kt^2) = 2kt$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગના ફેરફારનો દર છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2kt) = 2k$.
અહીં $2k$ એક અચળાંક હોવાથી,પદાર્થનો પ્રવેગ અચળ રહે છે.
તેથી,પદાર્થ અચળ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે.

(B) વેગ-સમયના આલેખનો ઢાળ એ વેગમાં થતો ફેરફાર અને સમયમાં થતા ફેરફારનો ગુણોત્તર છે.
ગાણિતિક રીતે, $\text{ઢાળ} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$.
પ્રવેગની વ્યાખ્યા મુજબ, વેગમાં થતા ફેરફારના દરને પ્રવેગ કહેવામાં આવે છે $(a = \frac{dv}{dt})$, તેથી વેગ-સમયના આલેખનો ઢાળ પદાર્થનો પ્રવેગ દર્શાવે છે.
આથી, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) પ્રવેગ એટલે સમયની સાપેક્ષમાં વેગમાં થતા ફેરફારનો દર.
$\text{પ્રવેગ} = \frac{\text{વેગમાં થતો ફેરફાર}}{\text{લીધેલ સમય}}$
વેગનો $SI$ એકમ $\text{મીટર પ્રતિ સેકન્ડ}$ ($m/s$ અથવા $m s^{-1}$) છે અને સમયનો $SI$ એકમ $\text{સેકન્ડ}$ $(s)$ છે.
આ એકમોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{પ્રવેગનો એકમ} = \frac{m s^{-1}}{s} = m s^{-2}$
તેથી,$(second)^{2}$ છેદમાં આવે છે કારણ કે વેગને સમય વડે ભાગવામાં આવે છે,જેના પરિણામે છેદમાં સમયના એકમનો વર્ગ થાય છે.

(B) પદાર્થનું સ્થાનાંતર $s$ એ સમય $t$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે,જેને $s \propto t^2$ અથવા $s = kt^2$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $k$ એ અચળાંક છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ મુજબ,જો પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ હોય,તો $s = \frac{1}{2}at^2$ થાય.
$s = kt^2$ ની સરખામણી $s = \frac{1}{2}at^2$ સાથે કરતા,આપણને $k = \frac{1}{2}a$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 2k$.
અહીં $k$ અચળાંક હોવાથી,પ્રવેગ $a$ પણ અચળ રહે છે.
તેથી,પદાર્થ અચળ પ્રવેગી ગતિ ધરાવે છે.

(C) વેગ$-$સમયના આલેખનો ઢાળ એટલે વેગમાં થતો ફેરફાર ભાગ્યા સમયમાં થતો ફેરફાર.
ગાણિતિક રીતે, $\text{Slope} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$.
સમયની સાપેક્ષમાં વેગમાં થતા ફેરફારના દરને પ્રવેગ કહેવામાં આવે છે, તેથી વેગ$-$સમયના આલેખનો ઢાળ પદાર્થનો પ્રવેગ દર્શાવે છે.

(N/A) $(i)$ સમયની સાપેક્ષે વેગમાં થતા ફેરફારના દરને પ્રવેગ કહેવામાં આવે છે.
$(ii)$ જો પદાર્થનો વેગ ગતિની દિશામાં વધતો હોય,તો પ્રવેગને ધન ગણવામાં આવે છે.
$(iii)$ જો પદાર્થનો વેગ ઘટતો હોય,તો પ્રવેગને ઋણ ગણવામાં આવે છે (જેને મંદન પણ કહેવામાં આવે છે),જેનો અર્થ એ છે કે પ્રવેગ ગતિની દિશાની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.

(N/A) $(i)$ જો કોઈ પદાર્થનો વેગ સમયની સાથે વધતો હોય,તો પ્રવેગને ધન કહેવામાં આવે છે.
$(ii)$ જો કોઈ પદાર્થનો વેગ સમયની સાથે ઘટતો હોય,તો પ્રવેગને ઋણ કહેવામાં આવે છે.

(N/A) પ્રવેગ એટલે પદાર્થના વેગમાં સમયની સાપેક્ષે થતા ફેરફારનો દર. ગાણિતિક રીતે,તેને $a = (v - u) / t$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક વેગ $(u)$,અંતિમ વેગ $(v)$,પ્રવેગ $(a)$ અને સમય $(t)$ ને જોડતો સંબંધ ગતિના પ્રથમ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = u + at$.
સમાન પ્રવેગી ગતિનું એક ઉદાહરણ ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ મુક્ત પતન કરતા પદાર્થની ગતિ છે.

(N/A) $(i)$ ધન પ્રવેગ: આ ત્યારે થાય છે જ્યારે પદાર્થનો વેગ સમય સાથે વધે છે. ઉદાહરણ: સીધા રસ્તા પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ વધારતી કાર.
$(ii)$ ઋણ પ્રવેગ (મંદન): આ ત્યારે થાય છે જ્યારે પદાર્થનો વેગ સમય સાથે ઘટે છે. ઉદાહરણ: ગતિ કરતી કારમાં બ્રેક મારવી,જેનાથી તેની ગતિ ધીમી પડે છે.
$(iii)$ શૂન્ય પ્રવેગ: આ ત્યારે થાય છે જ્યારે પદાર્થ અચળ વેગથી (નિયમિત ગતિ) ગતિ કરે છે,એટલે કે તેની ઝડપ કે દિશામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી. ઉદાહરણ: સીધા અને સપાટ રસ્તા પર $60 \ km/h$ ની અચળ ઝડપે ગતિ કરતી કાર.

(B) પ્રારંભિક વેગ $u = 80 \, km \, h^{-1} = 80 \times \frac{5}{18} = \frac{200}{9} \, m \, s^{-1} \approx 22.22 \, m \, s^{-1}$.
અંતિમ વેગ $v = 50 \, km \, h^{-1} = 50 \times \frac{5}{18} = \frac{125}{9} \, m \, s^{-1} \approx 13.89 \, m \, s^{-1}$.
સમય $t = 4 \, s$.
પ્રવેગના સૂત્ર $a = \frac{v - u}{t}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a = \frac{\frac{125}{9} - \frac{200}{9}}{4} = \frac{-75}{9 \times 4} = \frac{-75}{36} = -2.083 \, m \, s^{-2}$.
ઋણ નિશાની પ્રતિપ્રવેગ (મંદન) સૂચવે છે.

(A) આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $s$ એ સમય $t$ ના ઘન ના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી આપણે લખી શકીએ $s = kt^3$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે $s$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(kt^3) = 3kt^2$.
પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે વેગ $v$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3kt^2) = 6kt$.
આમ,$a = 6kt$ હોવાથી,પ્રવેગ $a$ એ સમય $t$ ના સીધા સમપ્રમાણમાં છે. તેથી,પ્રવેગનું મૂલ્ય સમય સાથે વધે છે.

(D) આપેલ છે કે અંતર $s$ એ સમય $t$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી આપણે લખી શકીએ: $s \propto t^2$ અથવા $s = kt^2$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે અંતરનું સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(kt^2) = 2kt$.
પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે વેગનું સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2kt) = 2k$.
અહીં $k$ અચળ હોવાથી,$2k$ પણ અચળ છે.
તેથી,પદાર્થનો પ્રવેગ અચળ છે.

(A) કોઈ પદાર્થનો સરેરાશ વેગ $(v_{avg})$ તેના પ્રારંભિક વેગ $(u)$ અને અંતિમ વેગ $(v)$ ના સરેરાશ જેટલો ત્યારે જ હોય જ્યારે તેનો પ્રવેગ $(a)$ અચળ હોય.
ગાણિતિક રીતે,$v_{avg} = \frac{u + v}{2}$.
આ સૂત્ર અચળ પ્રવેગી ગતિના સમીકરણો પરથી તારવવામાં આવે છે,ખાસ કરીને $v = u + at$.
સરેરાશ વેગના સૂત્રમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા: $v_{avg} = \frac{u + (u + at)}{2} = \frac{2u + at}{2} = u + \frac{1}{2}at$.
આ સંબંધ અચળ પ્રવેગી ગતિ માટે સાચો હોવાથી,પદાર્થનો પ્રવેગ અચળ (Uniform) હોવો જોઈએ.

(TRUE) આ વિધાન ખરું છે.
પ્રવેગ એટલે સમયની સાપેક્ષમાં વેગમાં થતો ફેરફાર. ગાણિતિક રીતે,તેને $a = \frac{v - u}{t}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ અંતિમ વેગ છે,$u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $t$ એ લાગતો સમય છે.