Uniform Circular Motion Questions in Gujarati

(A) વર્તુળાકાર પથનો વ્યાસ $(D) = 200\, m$.
વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $(r) = D / 2 = 100\, m$.
એક ચક્કર પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $(t) = 40\, s$.
આપેલ કુલ સમય $= 2\, min\, 20\, s = 140\, s$.
ચક્કરની સંખ્યા $= 140 / 40 = 3.5\, \text{ચક્કર}$.
કાપેલું અંતર $= 3.5 \times (2 \pi r) = 3.5 \times 2 \times (22/7) \times 100 = 7 \times (22/7) \times 100 = 2200\, m$.
$3.5$ ચક્કર પછી, એથ્લેટ શરૂઆતના સ્થાનથી વ્યાસાંત બિંદુએ હશે.
સ્થાનાંતર $= \text{વર્તુળાકાર પથનો વ્યાસ} = 200\, m$.

(B) વર્તુળાકાર કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = 42250 \, km = 42250000 \, m$ છે.
એક ચક્કર પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $t = 24 \, h = 24 \times 60 \times 60 \, s = 86400 \, s$ છે.
વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા પદાર્થની ઝડપ $v$ શોધવાનું સૂત્ર $v = \frac{2 \pi r}{t}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{2 \times (22/7) \times 42250000}{86400}$.
$v = \frac{2 \times 22 \times 42250000}{7 \times 86400} \approx 3073.74 \, m s^{-1}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,ઝડપ આશરે $3074 \, m s^{-1}$ થાય છે.

(A) સ્થાનાંતર એટલે પદાર્થના પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર.
$r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર,અડધું વર્તુળ પૂર્ણ કર્યા પછી,કણ વ્યાસના એક છેડાથી બીજા છેડા પર પહોંચે છે.
પ્રારંભિક સ્થાન અને અંતિમ સ્થાન એકબીજાથી વ્યાસાંતરે (diametrically opposite) હોય છે.
આ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
તેથી,સ્થાનાંતર = $2r$.

(B) મેરી-ગો-રાઉન્ડ પર રહેલો છોકરો વર્તુળાકાર ગતિ કરી રહ્યો છે.
વર્તુળાકાર ગતિમાં,ભલે ઝડપ અચળ રહે,પરંતુ ગતિની દિશા દરેક બિંદુએ બદલાતી રહે છે.
વેગ એ સદિશ રાશિ હોવાથી (જેમાં મૂલ્ય અને દિશા બંને હોય છે),દિશામાં ફેરફાર થવાને કારણે વેગમાં ફેરફાર થાય છે.
તેથી,છોકરો પ્રવેગી ગતિમાં છે.

(B) સ્થાનાંતર એટલે પદાર્થની પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર.
જ્યારે કોઈ પદાર્થ $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર માર્ગ પર અડધું પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે,ત્યારે તે વ્યાસના એક છેડાથી બીજા છેડા સુધી ગતિ કરે છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ વ્યાસના એક છેડા પર છે અને અંતિમ સ્થિતિ વ્યાસના બરાબર સામેના છેડા પર છે.
આ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
તેથી,સ્થાનાંતર એ વ્યાસ જેટલું હોય છે,જે $2 \times R = 2\,R$ થાય છે.

(A) વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા પદાર્થની ઝડપ એટલે એકમ સમયમાં કાપેલું અંતર.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ટ્રેક પર એક ચક્કર પૂર્ણ કરવા માટે કાપેલું અંતર એ વર્તુળના પરિઘ જેટલું હોય છે,જે $2 \pi r$ છે.
આ ચક્કર પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $t$ આપેલ છે,તેથી ઝડપ $v$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$v = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{2 \pi r}{t}$.

(A) હા. જ્યારે કોઈ પદાર્થ વર્તુળાકાર માર્ગ પર અચળ ઝડપે ગતિ કરે છે,ત્યારે તેની ગતિની દિશા દરેક બિંદુએ બદલાતી રહે છે. વેગ એ સદિશ રાશિ હોવાથી (જેમાં મૂલ્ય અને દિશા બંને હોય છે),દિશામાં થતો ફેરફાર વેગમાં ફેરફાર લાવે છે. વેગમાં થતા આ ફેરફારને કારણે પદાર્થ પ્રવેગી ગતિ કરે છે,જેને કેન્દ્રગામી પ્રવેગ કહેવામાં આવે છે.

(N/A) વર્તુળાકાર માર્ગે અચળ ઝડપે ગતિ કરતા પદાર્થ પર કેન્દ્ર તરફ લાગતું બળ,જેને કેન્દ્રગામી બળ (centripetal force) કહેવામાં આવે છે,તે પદાર્થની ઝડપમાં ફેરફાર કર્યા વગર માત્ર તેની ગતિની દિશા બદલે છે.

(D) જ્યારે કોઈ પદાર્થ વર્તુળાકાર ગતિમાં હોય છે,ત્યારે તે કેન્દ્રગામી બળ અનુભવે છે જે તેને વર્તુળાકાર માર્ગ પર જાળવી રાખે છે.
કોઈપણ ક્ષણે,પદાર્થનો વેગ વર્તુળાકાર માર્ગના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
જ્યારે દોરી તૂટી જાય છે,ત્યારે પથ્થર પર કેન્દ્રગામી બળ લાગતું બંધ થઈ જાય છે.
ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,પદાર્થ તે ક્ષણે તેના વેગની દિશામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.
તેથી,પથ્થર જે બિંદુએ દોરી તૂટી હતી ત્યાં વર્તુળાકાર માર્ગના સ્પર્શકની દિશામાં સીધી રેખામાં ગતિ કરશે.

(A) હા,એ શક્ય છે કે કોઈ પદાર્થ પ્રવેગી ગતિમાં હોય છતાં તેના પર લાગતા બળ દ્વારા થતું કાર્ય શૂન્ય હોય.
કાર્ય $(W)$ નું સૂત્ર $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$s$ એ સ્થાનાંતર છે અને $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પદાર્થ પર કેન્દ્રગામી બળ વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે,જે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે.
કોઈપણ ક્ષણે પદાર્થનું સ્થાનાંતર વર્તુળાકાર માર્ગના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે અને કેન્દ્રગામી બળ કેન્દ્ર તરફ હોય છે,તેથી બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ થાય છે.
ચૂંકિ $\cos(90^{\circ}) = 0$ છે,તેથી થતું કાર્ય $W = F \cdot s \cdot 0 = 0$ થાય છે. આમ,પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરતા બાહ્ય બળની હાજરી હોવા છતાં,કાર્ય શૂન્ય થાય છે.

(B) જ્યારે પ્રવેગનું મૂલ્ય અચળ હોય પરંતુ તેની દિશા હંમેશા કણના વેગને લંબ હોય,ત્યારે કણ નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે.
આ કિસ્સામાં,પ્રવેગ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ તરીકે કાર્ય કરે છે,જે વેગના મૂલ્યને અચળ રાખીને તેની દિશાને સતત બદલે છે.
તેથી,કણ દ્વારા અનુસરવામાં આવતો માર્ગ વર્તુળાકાર હોય છે.

(N/A) વર્તુળાકાર માર્ગ પર અચળ ઝડપથી ગતિ કરતું પદાર્થ પ્રવેગી ગતિનું એક ઉદાહરણ છે. આનું કારણ એ છે કે વર્તુળાકાર માર્ગ પર દરેક બિંદુએ ગતિની દિશા બદલાય છે,જેના પરિણામે વેગમાં ફેરફાર થાય છે. પ્રવેગને વેગમાં થતા ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવતો હોવાથી,પદાર્થ પ્રવેગી ગતિ કરે છે તેમ કહેવાય. તેનું એક સામાન્ય ઉદાહરણ સાયકલના ફરતા પૈડાની કિનારી પર રહેલો ધૂળનો કણ છે,જે અચળ ઝડપથી ગતિ કરે છે.

(B) વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા એથ્લેટની ગતિને પ્રવેગી ગતિ ગણવામાં આવે છે કારણ કે પથના દરેક બિંદુએ એથ્લેટના વેગની દિશા બદલાય છે.
ભલે ઝડપ (વેગનું મૂલ્ય) અચળ રહે,પરંતુ દિશામાં થતો ફેરફાર એ વેગમાં ફેરફાર સૂચવે છે.
પ્રવેગની વ્યાખ્યા વેગમાં થતા ફેરફારના દર તરીકે કરવામાં આવે છે,તેથી ગતિની દિશામાં થતો સતત ફેરફાર સતત પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે.

(B) જ્યારે કણનો પ્રવેગ મૂલ્યમાં અચળ હોય પરંતુ તેની દિશા હંમેશા કણના વેગને લંબ હોય,ત્યારે કણ વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે. આ નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ (uniform circular motion) માટેની લાક્ષણિક સ્થિતિ છે,જ્યાં કેન્દ્રગામી પ્રવેગ (centripetal acceleration) વેગની દિશાને સતત બદલે છે જ્યારે ઝડપને અચળ રાખે છે.

(N/A) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ એટલે એવી ગતિ કે જેમાં પદાર્થ અચળ ઝડપે વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે. આ પ્રકારની ગતિમાં,ઝડપ અચળ હોવા છતાં,વેગની દિશા દરેક બિંદુએ સતત બદલાતી રહે છે,જેનો અર્થ એ છે કે પદાર્થ સતત પ્રવેગિત ગતિ કરે છે.

(N/A) વર્તુળાકાર ગતિમાં,ગતિની દિશા પથના દરેક બિંદુએ બદલાય છે કારણ કે વેગ સદિશ હંમેશા આપેલ બિંદુએ વર્તુળને સ્પર્શક હોય છે.
$(b)$ સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે. જો કોઈ વ્યક્તિ બિંદુ $A$ થી શરૂઆત કરે અને બિંદુ $B$ સુધી પહોંચવા માટે વર્તુળાકાર પથનું અડધું અંતર કાપે,તો સ્થાનાંતર એ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું સીધું અંતર છે,જે વર્તુળના વ્યાસ $(2r)$ જેટલું હોય છે.
આકૃતિ: આકૃતિમાં એક વર્તુળ દર્શાવેલ છે જેમાં $A$ અને $B$ બિંદુઓ વ્યાસના વિરુદ્ધ છેડા પર છે,અને કેન્દ્રથી બિંદુ $B$ સુધીની ત્રિજ્યા $r$ દર્શાવેલ છે. સ્થાનાંતર એ સીધી રેખા $AB = 2r$ છે.

(N/A) અનિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ એ ગતિનું એક ઉદાહરણ છે જ્યાં પદાર્થની ઝડપ અચળ રહે છે,પરંતુ વર્તુળાકાર માર્ગ પર દરેક બિંદુએ ગતિની દિશા બદલાવાને કારણે તેનો વેગ સતત બદલાતો રહે છે.
નીચેની આકૃતિ આ ગતિને દર્શાવે છે,જ્યાં $v$ એ વર્તુળાકાર માર્ગ પરના વિવિધ બિંદુઓ પર વેગ સદિશ દર્શાવે છે. સ્પર્શકની દિશા દરેક બિંદુએ બદલાતી હોવાથી,વેગ સદિશ પણ બદલાય છે,ભલે વેગનું મૂલ્ય (ઝડપ) અચળ રહે છે.

(N/A) પ્રવેગ એટલે પદાર્થના વેગમાં સમયની સાપેક્ષે થતા ફેરફારનો દર. ગાણિતિક રીતે, તે વેગમાં થતો ફેરફાર અને તે માટે લાગતા સમયનો ગુણોત્તર છે: $a = \frac{v - u}{t}$.
$(b)$ જ્યારે કોઈ પથ્થર અચળ ઝડપે વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે, ત્યારે દરેક બિંદુએ તેની ગતિની દિશા બદલાય છે. વેગ એ સદિશ રાશિ હોવાથી (ઝડપ અને દિશા બંને), દિશામાં થતો ફેરફાર એ વેગમાં ફેરફાર સૂચવે છે. આ પ્રકારની ગતિને $\text{નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ}$ કહેવામાં આવે છે.

(N/A) વર્તુળાકાર માર્ગ પર અચળ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરતા પદાર્થને જાળવી રાખતા બળને કેન્દ્રગામી બળ (centripetal force) કહેવામાં આવે છે.
$(b)$ જો આ બળ ગેરહાજર હોય,તો પદાર્થ વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરવાનું બંધ કરી દેશે. ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,પદાર્થ તે બિંદુએ વર્તુળાકાર માર્ગના સ્પર્શકની દિશામાં સીધી રેખામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.

(C) કાર્યનું સૂત્ર $W = F S \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$S$ એ સ્થાનાંતર છે અને $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જ્યારે કોઈ પદાર્થ વર્તુળાકાર માર્ગ પર એક પૂર્ણ ચક્ર પૂર્ણ કરે છે,ત્યારે અંતિમ સ્થાન અને પ્રારંભિક સ્થાન એક જ હોય છે,તેથી કુલ સ્થાનાંતર $S = 0$ થાય છે.
વર્તુળાકાર ગતિમાં કેન્દ્રગામી બળ હંમેશા ગતિની દિશાને લંબ રૂપે કાર્ય કરે છે,તેથી કેન્દ્રગામી બળ દ્વારા થતું કાર્ય શૂન્ય હોય છે.
તેથી,જ્યારે પદાર્થ વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે ત્યારે બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય $W = F \times 0 = 0$ થાય છે.

(N/A) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ એટલે જ્યારે કોઈ પદાર્થ અચળ ઝડપથી વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતો હોય,ત્યારે તેને નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કહેવાય છે.
$(b)$ હા,નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ એ પ્રવેગી ગતિ છે. ભલે પદાર્થની ઝડપ અચળ રહેતી હોય,પરંતુ વર્તુળાકાર માર્ગ પર દરેક બિંદુએ તેના વેગની દિશા સતત બદલાતી રહે છે. પ્રવેગની વ્યાખ્યા મુજબ,વેગમાં થતા ફેરફારના દરને પ્રવેગ કહે છે. વેગ એ સદિશ રાશિ છે (જેમાં મૂલ્ય અને દિશા બંને હોય છે),તેથી દિશામાં થતો સતત ફેરફાર વેગમાં ફેરફાર લાવે છે,જેના કારણે પદાર્થમાં પ્રવેગ ઉત્પન્ન થાય છે.

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ વર્તુળાકાર માર્ગનો અડધો ભાગ પૂર્ણ કરે છે, ત્યારે કાપેલું અંતર એ વર્તુળના પરિઘના અડધા ભાગ જેટલું હોય છે.
અંતર $= \pi R = \frac{22}{7} \times 7 = 22 \, m$.
સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે, જે વર્તુળનો વ્યાસ છે.
સ્થાનાંતર $= 2R = 2 \times 7 = 14 \, m$.
પદાર્થ નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ ધરાવે છે કારણ કે તે વર્તુળાકાર માર્ગ પર અચળ ઝડપે ગતિ કરે છે.

(N/A) અંતર: પદાર્થ દ્વારા કાપવામાં આવેલા કુલ પથની લંબાઈને અંતર કહેવાય છે.
સ્થાનાંતર: પદાર્થના પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેના લઘુત્તમ અંતરને સ્થાનાંતર કહેવાય છે.
આપેલ છે કે વર્તુળાકાર બગીચાનો પરિઘ $176 \, m$ છે. પદાર્થ $4$ મિનિટમાં એક ચક્ર પૂર્ણ કરે છે.
$6$ મિનિટ પછી પૂર્ણ થયેલા ચક્રોની સંખ્યા $= \frac{6}{4} = 1.5$ ચક્ર.
$1$ ચક્ર પૂર્ણ થતાં પદાર્થ ફરીથી પ્રારંભિક બિંદુ પર આવે છે,તેથી $1.5$ ચક્ર પછી પદાર્થ તેના પ્રારંભિક સ્થાનથી વ્યાસાંતે (diametrically opposite) વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
આપેલ છે $2 \pi r = 176 \, m$,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
$r = \frac{176}{2 \pi} = \frac{176 \times 7}{2 \times 22} = 28 \, m$.
$1.5$ ચક્ર પછીનું સ્થાનાંતર એ વર્તુળાકાર પથનો વ્યાસ છે.
સ્થાનાંતર $= 2r = 2 \times 28 = 56 \, m$.

$(a)$ જ્યારે કોઈ પદાર્થ વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતો હોય, ત્યારે તે પદાર્થ વર્તુળાકાર ગતિમાં છે તેમ કહેવાય.
$(b)$ અચળ વર્તુળાકાર ગતિને પ્રવેગી ગતિ માનવામાં આવે છે કારણ કે માર્ગના દરેક બિંદુએ વેગની દિશા સતત બદલાતી રહે છે, ભલે વેગનું મૂલ્ય (ઝડપ) અચળ રહેતું હોય. પ્રવેગ એ વેગમાં થતા ફેરફારનો દર હોવાથી, દિશામાં થતો ફેરફાર પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે.
$(c)$ એક ચક્કરમાં કાપેલું અંતર એ વર્તુળાકાર કક્ષાનો પરિઘ છે, જે $2 \pi r$ દ્વારા મળે છે.
અંતર $= 2 \times 3.14 \times 42250 \, km = 265330 \, km$.
લાગતો સમય $(t) = 24 \, h$.
ઝડપ $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{265330 \, km}{24 \, h} \approx 11055.42 \, km/h$.

(N/A) નિયમિત સુરેખ ગતિમાં,પદાર્થ અચળ ઝડપ સાથે સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે. જ્યારે નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પદાર્થ અચળ ઝડપ સાથે વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે.
$(b)$ $(i)$ ફરતા પૈડાની કિનારી પરના બિંદુની ગતિ.
$(ii)$ ગ્રહની આસપાસ ઉપગ્રહની ગતિ.
$(iii)$ પૃથ્વીની આસપાસ ચંદ્રની ગતિ.
$(iv)$ ઘડિયાળના સેકન્ડ કાંટાના છેડાની ગતિ.
$(c)$ હા,નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ એ પ્રવેગી ગતિ છે. જોકે ઝડપ અચળ રહે છે,પરંતુ વર્તુળાકાર માર્ગ પર દરેક બિંદુએ ગતિની દિશા સતત બદલાતી રહે છે. વેગ એ સદિશ રાશિ હોવાથી (ઝડપ અને દિશા),દિશામાં થતો ફેરફાર એ વેગમાં ફેરફાર સૂચવે છે,જે પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે.

(A) વર્તુળાકાર પથનો વ્યાસ $D = 105 \, m$ છે. તેથી, ત્રિજ્યા $R = \frac{105}{2} = 52.5 \, m$ થશે.
એક ચક્કર પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $t = 5 \, \text{મિનિટ} = 5 \times 60 \, s = 300 \, s$ છે.
એક ચક્કરમાં કાપેલું અંતર એ વર્તુળના પરિઘ જેટલું હોય છે, જે $2 \pi R$ છે.
અંતર $= 2 \times 3.14 \times 52.5 = 329.7 \, m$.
ઝડપ $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{329.7}{300} = 1.099 \, m/s \approx 1.1 \, m/s$.

(A) એક પરિભ્રમણ માટે લાગતો સમય $t = 1 \text{ કલાક } 30 \text{ મિનિટ} = 90 \text{ મિનિટ}$ છે.
આ સમયને સેકન્ડમાં ફેરવતા: $t = 90 \times 60 = 5400 \text{ s}$.
એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણમાં કપાયેલ ખૂણો $\theta = 2\pi \text{ રેડિયન}$ છે.
કોણીય ઝડપનું સૂત્ર $\omega = \frac{\theta}{t}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\omega = \frac{2\pi}{5400} = \frac{\pi}{2700} \text{ rad/s}$.
આંકડાકીય કિંમતની ગણતરી કરતા: $\omega \approx \frac{3.14159}{2700} \approx 1.1635 \times 10^{-3} \text{ rad/s}$.
આમ,કોણીય ઝડપ આશરે $1.16 \times 10^{-3} \text{ rad/s}$ છે.

(A) આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $r = 42,250 \, km = 42,250,000 \, m$
સમયગાળો $T = 24 \, \text{કલાક} = 24 \times 60 \times 60 \, s = 86,400 \, s$
વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતા પદાર્થનો રેખીય વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$v = \frac{2 \pi r}{T}$
કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{2 \times 3.14159 \times 42,250 \, km}{86,400 \, s}$
$v \approx \frac{265,464}{86,400} \, km/s$
$v \approx 3.07 \, km/s$
આમ, ઉપગ્રહનો રેખીય વેગ આશરે $3.07 \, km/s$ છે.

(DISTANCE = 231 M, DISPLACEMENT = 49 M) આપેલ છે: વ્યાસ $d = 49 \,m$,એક આંટા માટેનો સમય $T = 20 \,s$,કુલ સમય $t = 30 \,s$.
પ્રથમ,$30 \,s$ માં પૂર્ણ થયેલા આંટાની સંખ્યા શોધો:
$n = \frac{t}{T} = \frac{30}{20} = 1.5 \, \text{આંટા}$.
કાપેલું અંતર એ કુલ પથ લંબાઈ છે:
$S = n \times (2 \pi r) = n \times (\pi d) = 1.5 \times \frac{22}{7} \times 49 = 1.5 \times 22 \times 7 = 231 \,m$.
સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે:
$1.5$ આંટા પૂર્ણ કર્યા પછી,એથ્લેટ શરૂઆતના બિંદુથી વ્યાસાંતે વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
તેથી,સ્થાનાંતર એ વર્તુળાકાર ટ્રેકના વ્યાસ જેટલું એટલે કે $49 \,m$ થશે.

(D) જ્યારે કોઈ પદાર્થ અચળ ઝડપે વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે,ત્યારે દરેક બિંદુએ તેની દિશા બદલાવાને કારણે તેનો વેગ સતત બદલાતો રહે છે.
વેગમાં થતા આ ફેરફારને કારણે ઉદ્ભવતા પ્રવેગને કેન્દ્રગામી પ્રવેગ કહેવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આ વિધાન $True$ (સાચું) છે.
કાર્ય $(W)$ નું સૂત્ર $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$s$ એ સ્થાનાંતર છે,અને $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
વર્તુળાકાર ગતિમાં,કેન્દ્રગામી બળ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે,જ્યારે સ્થાનાંતર (સ્પર્શકની દિશામાં) હંમેશા ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે.
કેન્દ્રગામી બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ હોવાથી,કાર્ય $W = F \cdot s \cdot \cos(90^{\circ})$ થાય છે.
કારણ કે $\cos(90^{\circ}) = 0$ છે,તેથી કેન્દ્રગામી બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $0$ થાય છે.