Uniform Circular Motion Questions in Hindi

(A) वृत्ताकार पथ का व्यास $(D) = 200\, m$.
वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $(r) = D / 2 = 100\, m$.
एक चक्कर पूरा करने में लगा समय $(t) = 40\, s$.
कुल दिया गया समय $= 2\, min\, 20\, s = 140\, s$.
चक्करों की संख्या $= 140 / 40 = 3.5\, \text{चक्कर}$.
तय की गई दूरी $= 3.5 \times (2 \pi r) = 3.5 \times 2 \times (22/7) \times 100 = 7 \times (22/7) \times 100 = 2200\, m$.
$3.5$ चक्करों के बाद, एथलीट प्रारंभिक स्थिति के व्यासीय विपरीत बिंदु पर होगा।
विस्थापन $= \text{वृत्ताकार पथ का व्यास} = 200\, m$.

(B) वृत्ताकार कक्षा की त्रिज्या $r = 42250 \, km = 42250000 \, m$ है।
एक चक्कर पूरा करने में लगा समय $t = 24 \, h = 24 \times 60 \times 60 \, s = 86400 \, s$ है।
वृत्ताकार पथ पर गति करने वाली वस्तु की चाल $v$ का सूत्र $v = \frac{2 \pi r}{t}$ है।
मान रखने पर: $v = \frac{2 \times (22/7) \times 42250000}{86400}$.
$v = \frac{2 \times 22 \times 42250000}{7 \times 86400} \approx 3073.74 \, m s^{-1}$.
निकटतम पूर्णांक में,चाल लगभग $3074 \, m s^{-1}$ है।

(A) विस्थापन को किसी वस्तु की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की न्यूनतम दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ में,आधा वृत्त पूरा करने के बाद,कण व्यास के एक सिरे से दूसरे सिरे पर पहुँच जाता है।
प्रारंभिक स्थिति और अंतिम स्थिति एक-दूसरे के व्यासाभिमुख (diametrically opposite) होती हैं।
इन दो बिंदुओं के बीच की न्यूनतम दूरी वृत्त का व्यास होती है।
अतः,विस्थापन = $2r$।

(B) मैरी-गो-राउंड पर बैठा लड़का वृत्तीय गति कर रहा है।
वृत्तीय गति में,भले ही गति (चाल) स्थिर रहे,लेकिन गति की दिशा हर बिंदु पर बदलती रहती है।
चूंकि वेग एक सदिश राशि है (जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं),इसलिए दिशा में परिवर्तन के कारण वेग में परिवर्तन होता है।
अतः,लड़का त्वरित गति में है।

(B) विस्थापन को किसी वस्तु की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की न्यूनतम दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है।
जब कोई पिंड $R$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार पथ पर आधा चक्कर पूरा करता है,तो वह व्यास के एक सिरे से दूसरे सिरे तक गति करता है।
प्रारंभिक स्थिति व्यास के एक सिरे पर होती है और अंतिम स्थिति व्यास के ठीक विपरीत सिरे पर होती है।
इन दो बिंदुओं के बीच की न्यूनतम दूरी वृत्त का व्यास होती है।
इसलिए,विस्थापन व्यास के बराबर होता है,जो $2 \times R = 2\,R$ है।

(A) वृत्ताकार पथ पर गति करने वाली वस्तु की गति को प्रति इकाई समय में तय की गई दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$r$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार ट्रैक के एक पूर्ण चक्कर के लिए,तय की गई दूरी वृत्त की परिधि के बराबर होती है,जो $2 \pi r$ है।
यह दिया गया है कि इस चक्कर को पूरा करने में लिया गया समय $t$ है,इसलिए गति $v$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$v = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{2 \pi r}{t}$.

(A) हाँ। जब कोई पिंड एक वृत्ताकार पथ पर एकसमान चाल से गति करता है,तो उसकी गति की दिशा प्रत्येक बिंदु पर बदलती रहती है। चूँकि वेग एक सदिश राशि है (जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं),इसलिए दिशा में परिवर्तन वेग में परिवर्तन लाता है। वेग में यह परिवर्तन त्वरण उत्पन्न करता है,जिसे अभिकेंद्र त्वरण कहा जाता है।

(N/A) एक वृत्ताकार पथ पर अचर चाल से गति करती हुई वस्तु पर केंद्र की ओर कार्य करने वाला बल,जिसे अभिकेंद्र बल (centripetal force) कहा जाता है,वस्तु की चाल को बदले बिना केवल उसकी गति की दिशा को परिवर्तित करता है।

(D) जब कोई वस्तु वृत्ताकार गति में होती है,तो वह अभिकेंद्र बल का अनुभव करती है जो उसे वृत्ताकार पथ पर बनाए रखता है।
किसी भी क्षण,वस्तु का वेग वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखा की दिशा में होता है।
जब धागा टूट जाता है,तो पत्थर पर अभिकेंद्र बल कार्य करना बंद कर देता है।
न्यूटन के गति के प्रथम नियम के अनुसार,वस्तु उस क्षण अपने वेग की दिशा में गति करना जारी रखेगी।
इसलिए,पत्थर उस बिंदु पर जहाँ धागा टूटा था,वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखीय एक सीधी रेखा में गति करेगा।

(A) हाँ,यह संभव है कि कोई वस्तु त्वरित गति की स्थिति में हो जबकि बल द्वारा किया गया कार्य शून्य हो।
कार्य $(W)$ को $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $F$ बल है,$s$ विस्थापन है,और $\theta$ बल और विस्थापन के बीच का कोण है।
समान वृत्तीय गति में,वस्तु पर एक अभिकेंद्र बल वृत्त के केंद्र की ओर कार्य करता है,जो अभिकेंद्र त्वरण उत्पन्न करता है।
चूंकि किसी भी क्षण वस्तु का विस्थापन वृत्तीय पथ के स्पर्शरेखा के अनुदिश होता है और अभिकेंद्र बल केंद्र की ओर निर्देशित होता है,इसलिए बल और विस्थापन के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ होता है।
चूंकि $\cos(90^{\circ}) = 0$ होता है,इसलिए किया गया कार्य $W = F \cdot s \cdot 0 = 0$ होगा। इस प्रकार,त्वरण उत्पन्न करने वाले बाहरी बल की उपस्थिति के बावजूद,किया गया कार्य शून्य होता है।

(B) जब त्वरण का परिमाण स्थिर होता है लेकिन इसकी दिशा हमेशा कण के वेग के लंबवत होती है,तो कण एकसमान वृत्तीय गति करता है।
इस स्थिति में,त्वरण अभिकेंद्री त्वरण के रूप में कार्य करता है,जो वेग के परिमाण को स्थिर रखते हुए उसकी दिशा को लगातार बदलता रहता है।
इसलिए,कण द्वारा अपनाया गया पथ एक वृत्ताकार पथ होता है।

(N/A) वृत्ताकार पथ पर एक समान चाल से गति करती हुई वस्तु त्वरित गति का एक उदाहरण है। इसका कारण यह है कि वृत्ताकार पथ पर प्रत्येक बिंदु पर गति की दिशा बदलती रहती है,जिसके परिणामस्वरूप वेग में परिवर्तन होता है। चूंकि त्वरण को वेग में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए वस्तु को त्वरित माना जाता है। इसका एक सामान्य उदाहरण साइकिल के घूमते हुए पहिये की परिधि पर स्थित धूल का एक कण है,जो एक समान चाल से गति कर रहा है।

(B) वृत्ताकार पथ पर गति कर रहे एथलीट की गति को त्वरित गति माना जाता है क्योंकि पथ के प्रत्येक बिंदु पर एथलीट के वेग की दिशा बदलती रहती है।
भले ही चाल (वेग का परिमाण) स्थिर रहे,लेकिन दिशा में परिवर्तन का अर्थ है वेग में परिवर्तन।
चूंकि त्वरण को वेग में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए गति की दिशा में निरंतर परिवर्तन के कारण निरंतर त्वरण उत्पन्न होता है।

(B) जब किसी कण का त्वरण परिमाण में स्थिर होता है लेकिन उसकी दिशा हमेशा कण के वेग के लंबवत होती है,तो कण एक वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है। यह एकसमान वृत्तीय गति (uniform circular motion) के लिए विशिष्ट स्थिति है,जहाँ अभिकेंद्री त्वरण (centripetal acceleration) वेग की दिशा को लगातार बदलता रहता है जबकि चाल को स्थिर रखता है।

(N/A) एकसमान वृत्तीय गति वह गति है जिसमें कोई वस्तु एक वृत्ताकार पथ पर स्थिर चाल से चलती है। इस प्रकार की गति में,यद्यपि चाल स्थिर रहती है,लेकिन वेग की दिशा पथ के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर बदलती रहती है,जिसका अर्थ है कि वस्तु निरंतर त्वरित होती रहती है।

(N/A) वृत्तीय गति में,गति की दिशा पथ के प्रत्येक बिंदु पर बदलती है क्योंकि वेग सदिश हमेशा किसी भी बिंदु पर वृत्त के स्पर्शरेखा (tangent) होता है।
$(b)$ विस्थापन प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों के बीच की न्यूनतम दूरी है। यदि कोई व्यक्ति बिंदु $A$ से शुरू करता है और बिंदु $B$ तक पहुँचने के लिए वृत्ताकार पथ का आधा हिस्सा तय करता है,तो विस्थापन $A$ और $B$ के बीच की सीधी रेखा की दूरी है,जो वृत्त के व्यास $(2r)$ के बराबर होती है।
आरेख: चित्र में एक वृत्त दिखाया गया है जिसमें बिंदु $A$ और $B$ व्यास के विपरीत सिरों पर हैं,और केंद्र से बिंदु $B$ तक की त्रिज्या $r$ इंगित की गई है। विस्थापन सीधी रेखा $AB = 2r$ है।

(N/A) एकसमान वृत्तीय गति उस गति का एक उदाहरण है जहाँ वस्तु की चाल स्थिर रहती है,लेकिन वृत्तीय पथ पर प्रत्येक बिंदु पर गति की दिशा बदलने के कारण उसका वेग लगातार बदलता रहता है।
नीचे दिया गया आरेख इस गति को दर्शाता है,जहाँ $v$ वृत्तीय पथ पर विभिन्न बिंदुओं पर वेग सदिश को दर्शाता है। चूंकि स्पर्शरेखा की दिशा प्रत्येक बिंदु पर बदलती है,इसलिए वेग सदिश भी बदलता है,भले ही वेग का परिमाण (चाल) स्थिर रहता है।

(N/A) त्वरण को समय के सापेक्ष किसी वस्तु के वेग में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है। गणितीय रूप से, यह वेग में परिवर्तन और उस परिवर्तन के लिए लिए गए समय का अनुपात है: $a = \frac{v - u}{t}$।
$(b)$ जब कोई पत्थर एक स्थिर चाल से वृत्ताकार पथ पर गति करता है, तो प्रत्येक बिंदु पर उसकी गति की दिशा बदलती रहती है। चूंकि वेग एक सदिश राशि है (चाल और दिशा दोनों), इसलिए दिशा में परिवर्तन का अर्थ है वेग में परिवर्तन। इस प्रकार की गति को $\text{एकसमान वृत्तीय गति}$ कहा जाता है।

(N/A) वह बल जो किसी वस्तु को निरंतर त्वरण के साथ वृत्ताकार पथ पर गतिमान रखता है,उसे अभिकेंद्र बल (centripetal force) कहा जाता है।
$(b)$ यदि यह बल अनुपस्थित हो,तो वस्तु वृत्ताकार पथ पर गति करना बंद कर देगी। न्यूटन के गति के प्रथम नियम के अनुसार,वस्तु उस बिंदु पर वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखा (tangent) की दिशा में एक सीधी रेखा में गति करना जारी रखेगी।

(C) किया गया कार्य सूत्र $W = F S \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ बल है,$S$ विस्थापन है,और $\theta$ बल और विस्थापन के बीच का कोण है।
जब कोई वस्तु वृत्ताकार पथ पर एक पूरा चक्कर लगाती है,तो अंतिम स्थिति प्रारंभिक स्थिति के समान होती है,जिससे कुल विस्थापन $S = 0$ हो जाता है।
वृत्ताकार गति में अभिकेंद्र बल हमेशा गति की दिशा के लंबवत कार्य करता है,इसलिए अभिकेंद्र बल द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है।
अतः,जब कोई वस्तु वृत्ताकार पथ पर गति करती है,तो बल द्वारा किया गया कुल कार्य $W = F \times 0 = 0$ होता है।

(N/A) एकसमान वृत्तीय गति को उस गति के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें कोई वस्तु एक वृत्ताकार पथ पर स्थिर चाल से चलती है।
$(b)$ हाँ,एकसमान वृत्तीय गति एक त्वरित गति है। यद्यपि वस्तु की चाल स्थिर रहती है,लेकिन वृत्ताकार पथ पर प्रत्येक बिंदु पर उसके वेग की दिशा लगातार बदलती रहती है। चूँकि त्वरण को वेग में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,और वेग एक सदिश राशि है (जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं),इसलिए दिशा में निरंतर परिवर्तन के कारण वेग में निरंतर परिवर्तन होता है,जिससे त्वरण उत्पन्न होता है।

(A) जब कोई वस्तु वृत्ताकार पथ का आधा भाग पूरा करती है, तो तय की गई दूरी वृत्त की परिधि की आधी होती है।
दूरी $= \pi R = \frac{22}{7} \times 7 = 22 \, m$.
विस्थापन प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की न्यूनतम दूरी है, जो वृत्त का व्यास है।
विस्थापन $= 2R = 2 \times 7 = 14 \, m$.
वस्तु एकसमान वृत्तीय गति प्रदर्शित करती है क्योंकि यह एक वृत्ताकार पथ पर स्थिर गति से चलती है।

(N/A) दूरी: किसी वस्तु द्वारा तय किए गए कुल पथ की लंबाई को दूरी कहा जाता है।
विस्थापन: किसी वस्तु की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की न्यूनतम दूरी को विस्थापन कहा जाता है।
दिया गया है कि वृत्ताकार पार्क की परिधि $176 \, m$ है। वस्तु $4$ मिनट में एक चक्कर पूरा करती है।
$6$ मिनट के बाद पूरे किए गए चक्करों की संख्या $= \frac{6}{4} = 1.5$ चक्कर।
चूंकि $1$ चक्कर पूरा करने पर वस्तु वापस प्रारंभिक बिंदु पर आ जाती है,इसलिए $1.5$ चक्कर के बाद वस्तु अपनी प्रारंभिक स्थिति के व्यासीय रूप से विपरीत (diametrically opposite) बिंदु पर होगी।
दिया गया है $2 \pi r = 176 \, m$,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
$r = \frac{176}{2 \pi} = \frac{176 \times 7}{2 \times 22} = 28 \, m$.
$1.5$ चक्कर के बाद विस्थापन वृत्ताकार पथ का व्यास होगा।
विस्थापन $= 2r = 2 \times 28 = 56 \, m$.

$(a)$ जब कोई वस्तु वृत्तीय पथ पर गति करती है, तो उसे वृत्तीय गति में कहा जाता है।
$(b)$ एकसमान वृत्तीय गति को त्वरित गति माना जाता है क्योंकि पथ के प्रत्येक बिंदु पर वेग की दिशा लगातार बदलती रहती है, भले ही वेग का परिमाण (चाल) स्थिर रहता है। चूँकि त्वरण को वेग में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है, इसलिए दिशा में परिवर्तन त्वरण उत्पन्न करता है।
$(c)$ एक चक्कर में तय की गई दूरी वृत्तीय कक्षा की परिधि होती है, जो $2 \pi r$ द्वारा दी जाती है।
दूरी $= 2 \times 3.14 \times 42250 \, km = 265330 \, km$.
लिया गया समय $(t) = 24 \, h$.
चाल $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{265330 \, km}{24 \, h} \approx 11055.42 \, km/h$.

(N/A) एकसमान रेखीय गति में,कोई वस्तु एक सीधी रेखा में स्थिर चाल से चलती है। जबकि एकसमान वृत्तीय गति में,कोई वस्तु एक वृत्ताकार पथ पर स्थिर चाल से चलती है।
$(b)$ $(i)$ घूमते हुए पहिये की रिम पर किसी बिंदु की गति।
$(ii)$ ग्रह के चारों ओर उपग्रह की गति।
$(iii)$ पृथ्वी के चारों ओर चंद्रमा की गति।
$(iv)$ घड़ी की सेकंड वाली सुई के सिरे की गति।
$(c)$ हाँ,एकसमान वृत्तीय गति एक त्वरित गति है। यद्यपि चाल स्थिर रहती है,लेकिन वृत्ताकार पथ पर प्रत्येक बिंदु पर गति की दिशा लगातार बदलती रहती है। चूँकि वेग एक सदिश राशि है (चाल और दिशा),इसलिए दिशा में परिवर्तन का अर्थ है वेग में परिवर्तन,जो त्वरण उत्पन्न करता है।

(A) वृत्ताकार पथ का व्यास $D = 105 \, m$ है। अतः, त्रिज्या $R = \frac{105}{2} = 52.5 \, m$ होगी।
एक चक्कर पूरा करने में लगा समय $t = 5 \, \text{मिनट} = 5 \times 60 \, s = 300 \, s$ है।
एक चक्कर में तय की गई दूरी वृत्त की परिधि के बराबर होती है, जो $2 \pi R$ है।
दूरी $= 2 \times 3.14 \times 52.5 = 329.7 \, m$.
चाल $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{329.7}{300} = 1.099 \, m/s \approx 1.1 \, m/s$.

(A) एक चक्कर पूरा करने में लगा समय $t = 1 \text{ घंटा } 30 \text{ मिनट} = 90 \text{ मिनट}$ है।
इसे सेकंड में बदलने पर: $t = 90 \times 60 = 5400 \text{ s}$.
एक पूर्ण चक्कर में तय किया गया कोण $\theta = 2\pi \text{ रेडियन}$ है।
कोणीय चाल का सूत्र $\omega = \frac{\theta}{t}$ है।
मान रखने पर: $\omega = \frac{2\pi}{5400} = \frac{\pi}{2700} \text{ rad/s}$.
संख्यात्मक मान की गणना करने पर: $\omega \approx \frac{3.14159}{2700} \approx 1.1635 \times 10^{-3} \text{ rad/s}$.
अतः,कोणीय चाल लगभग $1.16 \times 10^{-3} \text{ rad/s}$ है।

(A) दिया गया है:
त्रिज्या $r = 42,250 \, km = 42,250,000 \, m$
समय अवधि $T = 24 \, \text{घंटे} = 24 \times 60 \times 60 \, s = 86,400 \, s$
वृत्ताकार पथ पर गति करने वाली वस्तु का रैखिक वेग $v$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v = \frac{2 \pi r}{T}$
मान रखने पर:
$v = \frac{2 \times 3.14159 \times 42,250 \, km}{86,400 \, s}$
$v \approx \frac{265,464}{86,400} \, km/s$
$v \approx 3.07 \, km/s$
अतः, उपग्रह का रैखिक वेग लगभग $3.07 \, km/s$ है।

(DISTANCE = 231 M, DISPLACEMENT = 49 M) दिया गया है: व्यास $d = 49 \,m$,एक चक्कर का समय $T = 20 \,s$,कुल समय $t = 30 \,s$।
सबसे पहले,$30 \,s$ में पूरे किए गए चक्करों की संख्या ज्ञात करें:
$n = \frac{t}{T} = \frac{30}{20} = 1.5 \, \text{चक्कर}$।
तय की गई दूरी कुल पथ की लंबाई है:
$S = n \times (2 \pi r) = n \times (\pi d) = 1.5 \times \frac{22}{7} \times 49 = 1.5 \times 22 \times 7 = 231 \,m$।
विस्थापन प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की न्यूनतम दूरी है:
$1.5$ चक्कर पूरे करने के बाद,एथलीट शुरुआती बिंदु के व्यासीय रूप से विपरीत बिंदु पर होगा।
इसलिए,विस्थापन वृत्ताकार ट्रैक के व्यास के बराबर होगा,जो कि $49 \,m$ है।

(D) जब कोई वस्तु एक समान चाल से वृत्ताकार पथ पर गति करती है,तो प्रत्येक बिंदु पर दिशा बदलने के कारण उसका वेग लगातार बदलता रहता है।
वेग में होने वाले इस परिवर्तन के कारण उत्पन्न त्वरण को अभिकेंद्र त्वरण (centripetal acceleration) कहा जाता है।
परिभाषा के अनुसार,अभिकेंद्र त्वरण हमेशा वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) यह कथन $True$ (सत्य) है।
कार्य $(W)$ को सूत्र $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $F$ बल है,$s$ विस्थापन है,और $\theta$ बल और विस्थापन के बीच का कोण है।
वृत्तीय गति में,अभिकेंद्र बल हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर कार्य करता है,जबकि विस्थापन (स्पर्शरेखीय वेग) हमेशा त्रिज्या के लंबवत होता है।
चूंकि अभिकेंद्र बल और विस्थापन के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ है,इसलिए किया गया कार्य $W = F \cdot s \cdot \cos(90^{\circ})$ होता है।
चूंकि $\cos(90^{\circ}) = 0$ होता है,इसलिए अभिकेंद्र बल द्वारा किया गया कार्य $0$ होता है।